Física estadística
9.1 Fundamentos: de los microestados a la termodinámica
La física estadística es el arte de predecir leyes macroscópicas a partir de incertidumbre microscópica. Nunca conocemos el estado exacto de cuerpos; en su lugar, organizamos el desconocimiento en colectividades estadísticas cuyos promedios reproducen la temperatura, la presión, la magnetización y demás. Esta sección construye el núcleo: microestados frente a macroestados, el postulado fundamental, las tres colectividades estándar y el límite termodinámico. También mostramos cómo la perspectiva de la teoría de la información convierte la «máxima entropía» en el motor único de las distribuciones conocidas.
9.1.1 Microestados, macroestados y espacio de fases
Un microestado es una especificación completa de los grados de libertad del sistema. Para partículas puntuales clásicas, es un punto del espacio de fases de dimensiones con coordenadas
Un macroestado se define mediante unas pocas variables globales, por ejemplo, para un gas aislado. Muchos microestados corresponden al mismo macroestado. Contar cuántos conduce a la entropía.
El teorema de Liouville establece que el flujo hamiltoniano es incompresible en el espacio de fases, por lo que los elementos de volumen se conservan a lo largo de las trayectorias. Esto hace que las distribuciones uniformes sobre capas de energía sean dinámicamente consistentes.
9.1.2 Postulado fundamental y principio de Boltzmann
Postulado fundamental. Para un sistema aislado con fijos en equilibrio, todos los microestados compatibles con estas restricciones son igualmente probables.
Sea el número de microestados con energías en para un pequeño, pero macroscópico. Entonces la entropía es
La temperatura termodinámica se obtiene de
y la presión y el potencial químico son
Para subsistemas débilmente interactuantes y , la aditividad de a total fija da la condición de equilibrio al maximizar sujeto a .
9.1.3 Límite termodinámico, extensividad y concavidad
Definimos el límite termodinámico como , con fijo. En este límite:
- La entropía se vuelve extensiva:
- es cóncava en sus variables naturales, garantizando estabilidad y capacidades caloríficas positivas cuando corresponde
- Las fluctuaciones de variables intensivas disminuyen como , haciendo precisa la termodinámica
Las interacciones de corto alcance garantizan la equivalencia de colectividades; los casos de largo alcance (autogravitación, Coulomb sin apantallar) pueden violar la aditividad y requieren cuidado.
9.1.4 Colectividad microcanónica
La densidad de probabilidad microcanónica es uniforme respecto de la medida invariante sobre la capa de energía inducida por la medida de Liouville, no respecto del área euclídea de la hipersuperficie. Aquí es la densidad de estados, distinta del recuento en una capa finita para una anchura de energía estrecha y fija:
Los valores esperados son
Maximizar sujeto a restricciones reproduce las relaciones termodinámicas. Para muchos sistemas, este es el anclaje conceptual; en la práctica, la colectividad canónica suele ser más fácil de calcular y se vuelve equivalente para grande.
9.1.5 Colectividad canónica mediante un baño térmico
Colocamos el sistema débilmente acoplado a un enorme foco con fija. La probabilidad de encontrar en el microestado con energía es proporcional al número de estados del foco con energía :
con temperatura inversa . Normalizamos para obtener
es la función de partición. Los potenciales termodinámicos se obtienen así:
Las fluctuaciones de energía satisfacen
por lo que las fluctuaciones relativas escalan como para sistemas normales.
9.1.6 Colectividad gran canónica: intercambio de partículas
Si se intercambian tanto energía como partículas con un reservorio, la probabilidad del microestado con es
con función de partición gran canónica
Definimos el gran potencial
Entonces
Fluctuaciones:
y las covarianzas entre energía y número proceden de derivadas mixtas de .
9.1.7 Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos
La termodinámica se organiza mediante transformadas de Legendre que intercambian variables naturales:
- con variables naturales
- con
- con
- con
Las relaciones de Maxwell se deducen de la igualdad de derivadas parciales mixtas, por ejemplo,
9.1.8 Fundamento en teoría de la información (perspectiva de Jaynes)
Sean probabilidades sobre microestados. Maximizamos la entropía de Shannon
sujeta a las restricciones conocidas. Con solo la normalización y la energía media fijas, los multiplicadores de Lagrange dan
Con restricciones de energía y número de partículas, se obtiene la forma gran canónica . Así, las colectividades son las distribuciones menos sesgadas compatibles con los datos macroscópicos.
La entropía relativa mide la distancia respecto de una distribución previa . Muchos teoremas de fluctuaciones y resultados de respuesta lineal son compactos en este lenguaje.
9.1.9 Grandes desviaciones, concentración y equivalencia de colectividades
Para , las probabilidades se concentran exponencialmente cerca de los valores termodinámicos. Si es un observable aditivo,
con una función de tasa que se anula en el valor de equilibrio. Bajo condiciones estándar de convexidad:
- Las colectividades microcanónica, canónica y gran canónica son equivalentes en el límite termodinámico
- Las faltas de concavidad indican coexistencia de fases; las construcciones de Maxwell las corrigen al nivel de los potenciales termodinámicos
9.1.10 Pequeños ejemplos resueltos
(a) Sistema de dos niveles
Niveles de energía y para sitios no interactuantes. Función de partición canónica por sitio
Total . La energía media es y la capacidad calorífica muestra un máximo de Schottky cerca de .
(b) Oscilador armónico cuántico
Un único oscilador con da
La energía media tiende a a alta (equipartición) y a en .
(c) Lanzamiento de monedas y Stirling
Para monedas independientes y equilibradas, la multiplicidad de caras es con y entropía binaria . Este es el arquetipo de las grandes desviaciones.
(d) Temperatura microcanónica del gas ideal
Para un gas ideal clásico, contar estados da
por lo que, a anchura fija de la capa de energía, da y . En el límite termodinámico, .
(e) Fluctuaciones canónicas
Demuestra tomando y relaciona la capacidad calorífica con la curvatura de .
9.1.11 Colección mínima de problemas
- Partiendo de , deduce y
- Deduce la colectividad canónica maximizando con las restricciones y
- Demuestra que implica y
- Para un gas ideal clásico, calcula salvo una constante usando el volumen del espacio de fases y obtén la entropía de Sackur–Tetrode
- Demuestra en la colectividad gran canónica
- Analiza cuándo falla la equivalencia de colectividades y da un ejemplo físico con fuerzas de largo alcance
9.2 Funciones de partición y potenciales termodinámicos
Las funciones de partición generan todo lo termodinámico. Una vez que tienes o o el análogo , las derivadas te dan y todos los coeficientes de respuesta. Esta sección construye la maquinaria canónica y gran canónica, añade la colectividad isotérmica–isobárica y muestra cómo las transformadas de Legendre y los puntos de silla las vinculan con la entropía microcanónica. Los ejemplos resueltos concretan las fórmulas.
9.2.1 Función de partición canónica y cumulantes
Para fijos, los pesos canónicos son con
Energía libre de Helmholtz
Derivadas estándar
Los cumulantes de energía se obtienen de las derivadas de respecto de . Por ejemplo,
Las fuerzas generalizadas para un parámetro de control que entra en obedecen
Ejemplos: para un campo magnético y para el volumen.
9.2.2 Función de partición gran canónica, fugacidad y presión
Cuando el número de partículas fluctúa a fijos
Definimos el gran potencial
La termodinámica en esta colectividad es compacta
Es habitual usar la fugacidad . Las fluctuaciones del número y la compresibilidad se relacionan mediante
Para un gas ideal uniforme se encuentra la identidad útil .
9.2.3 Colectividad isotérmica–isobárica y energía libre de Gibbs
Muchos experimentos mantienen fijos. La función de partición isotérmica–isobárica es la transformada de Laplace de respecto de , con un volumen de referencia fijo que la hace adimensional:
Su potencial termodinámico es la energía libre de Gibbs
Entonces
Las fluctuaciones de a fijos se generan mediante derivadas de .
9.2.4 Estructura de Legendre y vínculo microcanónico
Las colectividades canónica y gran canónica son transformadas de Laplace del recuento microcanónico de estados
Para sistemas grandes, la integral está dominada por un punto de silla con , es decir, . Evaluar en el punto de silla da la relación de Legendre
Análogamente, la transformación gran canónica respecto de y da
Por eso los potenciales termodinámicos son transformadas de Legendre de .
9.2.5 Gas ideal clásico en la colectividad canónica
Tomamos partículas indistinguibles de masa con hamiltoniano e ignoramos las interacciones. La función de partición canónica se factoriza en una parte traslacional
con longitud de onda térmica
Entonces
La ecuación de estado se obtiene inmediatamente
La entropía tiene la forma de Sackur–Tetrode
y la energía interna es con . El resuelve la paradoja de Gibbs al imponer la indistinguibilidad.
9.2.6 Gases ideales cuánticos mediante el desarrollo en conglomerados
Para bosones o fermiones no interactuantes con energías de una partícula
signo superior para bosones, inferior para fermiones. Las ocupaciones son
En el límite continuo se sustituye para obtener la termodinámica de gases de fotones, fonones o electrones. Las interacciones pueden incluirse perturbativamente mediante desarrollos viriales o en conglomerados que corrigen mediante coeficientes .
9.2.7 Fuerzas generalizadas y matrices de respuesta
Si un hamiltoniano clásico depende linealmente de controles externos , la matriz de segundas derivadas de da la respuesta de covarianza que aparece abajo. La misma forma a tiempos iguales se aplica a observables cuánticos que conmutan con el hamiltoniano. El acoplamiento no lineal requiere un término adicional de derivada explícita, y los observables cuánticos que no conmutan requieren la correlación de Kubo en tiempo imaginario:
donde es el observable conjugado. Los ejemplos incluyen la susceptibilidad magnética, la compresibilidad y las capacidades caloríficas. Las derivadas mixtas codifican relaciones de Maxwell, por ejemplo, .
9.2.8 Sistemas de red de tipo Ising y práctica de recuento
Para una red finita con espines y hamiltoniano , la función de partición canónica es
Aunque la evaluación exacta es difícil más allá de una dimensión, las derivadas de siguen definiendo la magnetización y la susceptibilidad . Los métodos de campo medio o matriz de transferencia aproximan sistemáticamente.
9.2.9 Gibbs–Duhem y comprobaciones de extensividad
Para un sistema extensivo con homogénea de grado uno, se cumple la relación de Euler
Al derivar se obtiene la ecuación de Gibbs–Duhem
Esta es una comprobación de coherencia para cualquier ecuación de estado que deduzcas de una función de partición.
9.2.10 Trucos de Laplace, puntos de silla y coincidencia de colectividades
Como y son transformadas de Laplace, la termodinámica de grande se obtiene de su punto de silla dominante. La concavidad de garantiza la equivalencia de colectividades. En transiciones de primer orden, desarrolla varios puntos de silla en competencia; las transformadas de Legendre seleccionan la envolvente convexa y las fluctuaciones se vuelven no gaussianas en sistemas finitos.
9.2.11 Pequeños ejemplos resueltos
(a) Gas ideal
Calcula para el gas ideal usando para demostrar
y verifica y . Para grande, la corrección relativa se anula y .
(b) Presión a partir de mediante el virial
Para un gas clásico interactuante con potencial de pares , demuestra que usando y un argumento de cambio uniforme de escala, donde y es la distribución de pares.
(c) Fluctuaciones del número y compresibilidad
En la colectividad gran canónica, verifica y relaciónalo con la compresibilidad isotérmica .
(d) Microcanónica ↔ canónica
Partiendo de , realiza un desarrollo cuadrático de alrededor de para obtener fluctuaciones gaussianas de energía con varianza .
(e) Energía libre del sistema de dos niveles
Para sitios independientes de dos niveles con energías y , calcula , después , y , y localiza el máximo de Schottky.
9.2.12 Colección mínima de problemas
- Deduce todas las relaciones canónicas para partiendo de y verifica la relación de Maxwell
- Demuestra que en la colectividad gran canónica, para un gas ideal, y obtén y mediante derivadas de
- Calcula la función de partición isotérmica–isobárica de un sólido armónico clásico tratado como osciladores independientes y extrae en el límite de compresibilidad débil
- Usando , recupera las distribuciones de Bose–Einstein y Fermi–Dirac y el límite clásico cuando
- A partir de la extensividad, demuestra la relación de Euler y después la ecuación de Gibbs–Duhem, y compruébalas con los resultados del gas ideal anteriores
9.3 Gas ideal clásico y equipartición
El gas ideal clásico es el entrenamiento de la física estadística: aprendes a contar estados, calcular derivadas de los logaritmos de las funciones de partición y ver surgir leyes macroscópicas como si nada. Deducimos la distribución de Maxwell–Boltzmann, demostramos la equipartición, recuperamos y construimos intuición sobre adiabáticas, velocidad del sonido y cuándo falla la descripción clásica (hola, ).
9.3.1 Repaso del recuento canónico y Z del gas ideal
Para partículas puntuales indistinguibles de masa en un volumen con hamiltoniano , la función de partición canónica se factoriza:
con longitud de onda térmica
La termodinámica se obtiene inmediatamente:
Capacidades caloríficas:
La entropía tiene la forma de Sackur–Tetrode:
El elimina la paradoja de Gibbs al codificar la indistinguibilidad.
9.3.2 Distribución de Maxwell–Boltzmann (velocidades, rapideces y energías)
Cada componente del momento es gaussiana:
Equivalentemente, cada componente de la velocidad es gaussiana con varianza . La distribución de rapideces (radial en el espacio de velocidades) es
Momentos útiles:
La distribución de energía cinética es de tipo con grados de libertad:
9.3.3 Teorema de equipartición
Enunciado. Cada grado de libertad cuadrático del hamiltoniano contribuye a la energía media.
Esbozo de demostración (canónica, integración por partes). Si contiene un término , entonces
Para , cada cuadrático da . Un gas monoatómico tiene momentos traslacionales → .
Cuándo falla (y por qué eso es bueno). La equipartición clásica falla cuando las rotaciones o vibraciones cuantizadas tienen separaciones entre niveles mayores que , aunque el hamiltoniano sea cuadrático. Sus contribuciones térmicas se «congelan». Esto explica la caída de los calores específicos a bajas y el intervalo de validez de Dulong–Petit.
9.3.4 Teoría cinética
A partir de los impactos elásticos contra una pared, la presión puede escribirse
La combinamos con para obtener . Más generalmente, para interacciones por pares , el teorema del virial da
El gas ideal tiene , por lo que el segundo término se anula.
9.3.5 Adiabáticas, velocidad del sonido y maniobras termodinámicas rápidas
Para un cambio adiabático reversible () de un gas ideal monoatómico,
con . La velocidad del sonido (pequeñas ondas adiabáticas de densidad) es
Para mezclas, sustituye por la masa molecular media y por la razón apropiada de capacidades caloríficas.
9.3.6 Campos externos: fórmula barométrica y separabilidad
En un campo gravitatorio uniforme , el peso de Boltzmann de un cuerpo se factoriza:
Las partes de momento y posición se separan, por lo que los resultados de energía cinética (equipartición, rapideces MB) permanecen inalterados.
9.3.7 Transporte en una pantalla: camino libre medio y compañía
Para esferas duras de diámetro a densidad numérica , el camino libre medio es
Usando una rapidez típica ,
Estas dependencias de la teoría cinética son notablemente buenas para gases diluidos; las secciones eficaces reales y las mezclas refinan los prefactores.
9.3.8 Validez de la descripción clásica
El comportamiento clásico no degenerado requiere que el parámetro de dilución sea pequeño:
Si ( baja o alta), entra en juego la estadística cuántica: los bosones piden Bose–Einstein, los fermiones siguen a Pauli y la distribución MB deja de servir.
9.3.9 Más allá de los monoatómicos: qué cuenta la equipartición
Para una molécula diatómica lineal rígida a intermedia:
- modos cuadráticos traslacionales más rotacionales → grados de libertad efectivos, por lo que ,
- Las vibraciones añaden modos cuadráticos más, pero solo cuando supera la separación cuántica vibracional; de lo contrario, están congeladas
Moraleja: cuenta solo los modos activos a tu .
9.3.10 Pequeños ejemplos resueltos
(a) Rapidez cuadrática media del aire a ambiente
Para con a ,
Sustituye los números para obtener unos cientos de ; compara con y .
(b) Compresión adiabática
Un gas monoatómico se comprime adiabáticamente de a . Usa para encontrar .
(c) Altura de escala barométrica del helio
Para He a , calcula y compara con para ver claramente la dependencia con la masa.
(d) Camino libre medio en condiciones estándar de temperatura y presión
Toma , ; estima y comenta por qué los olores se difunden rápidamente.
(e) Comprobación de coherencia de la equipartición
Demuestra directamente a partir de que y amplía el resultado a tres componentes.
9.3.11 Colección mínima de problemas
- Partiendo de , deduce , y
- Demuestra la identidad de equipartición para una coordenada cuadrática y aplícala a
- Deduce contando colisiones con las paredes y recupera
- Para una diatómica lineal con constante rotacional , estima la temperatura a la que se «activan» las rotaciones comparando con
- Comprueba el criterio de clasicidad para un gas atómico frío de densidad y temperatura : calcula y analiza cuándo se necesita estadística cuántica
9.4 Fluctuaciones y principio de fluctuación–respuesta
Las leyes macroscópicas parecen precisas porque las fluctuaciones relativas escalan como , hasta que dejan de hacerlo. Esta sección organiza qué fluctúa, cuánto y por qué las respuestas equivalen a fluctuaciones. Conectamos las colectividades canónica, gran canónica e isotérmica–isobárica; introducimos relaciones estáticas de fluctuación–disipación; vinculamos las correlaciones de pares con la compresibilidad y adelantamos qué falla cerca de los puntos críticos.
9.4.1 Energía y número: las dos varianzas emblemáticas
Canónica ( fijos):
La magnitud relativa disminuye como para sistemas normales.
Gran canónica ( fijos):
Equivalentemente, en términos de densidad y compresibilidad isotérmica ,
para un fluido de un componente, donde se han usado y las identidades termodinámicas estándar.
9.4.2 Fluctuaciones de volumen a presión fija
Manteniendo fijos, la función de partición isotérmica–isobárica genera
De nuevo, fluctuación = respuesta: la compresibilidad mide cuánto varía cuando se modifica ; ese mismo coeficiente fija la varianza de equilibrio.
9.4.3 Fluctuación–respuesta estática en una línea
Sea un control acoplado a un observable independiente de la fuente mediante (por lo que ). En una colectividad canónica clásica, o para un observable cuántico que conmuta con el hamiltoniano,
Casos especiales:
- Para la energía, y dan . Aquí la temperatura inversa es el parámetro conjugado en el peso de Boltzmann; variarla es distinto de variar la fuente a temperatura fija de arriba.
- en la colectividad gran canónica da
Positividad de las varianzas estabilidad: , en colectividades con fija.
9.4.4 Correlaciones, factor de estructura y regla de suma de la compresibilidad
Definimos la densidad microscópica , la correlación de pares y el factor de estructura estático
En un fluido uniforme,
Tomar conecta las correlaciones microscópicas con la respuesta macroscópica:
Esta es la regla de suma de la compresibilidad. Cerca de un punto crítico, y se disparan: la llamada opalescencia crítica.
9.4.5 Puntos de silla, curvatura y grandes desviaciones
La entropía microcanónica controla las fluctuaciones mediante su curvatura. Desarrollamos alrededor de la energía más probable :
Realizar la transformada de Laplace a la colectividad canónica da una gaussiana para con varianza , equivalente a . Más generalmente, los observables aditivos obedecen un principio de grandes desviaciones:
donde es la función de tasa (transformada de Legendre de la función generadora de cumulantes). En transiciones de primer orden, el potencial termodinámico pertinente desarrolla varios puntos de silla en competencia → fluctuaciones no gaussianas y coexistencia de fases.
9.4.6 Fluctuaciones críticas y longitud de correlación
Sea un parámetro de orden (por ejemplo, densidad de magnetización). Definimos el correlador conexo
Lejos de la criticidad, la ley de potencias crítica se corta a una longitud de correlación finita. Esquemáticamente, se puede escribir
con longitud de correlación finita ; el prefactor mostrado no es una fórmula asintótica exacta general a grandes distancias. La susceptibilidad estática reducida , con su factor de normalización térmica absorbido en la definición, escala como
Por tanto, en un volumen , la varianza del parámetro de orden promediado espacialmente escala como . Cuando es finita, las fluctuaciones relativas . Cuando , y la ley deja de ser válida.
9.4.7 Escalado de tamaño finito: cuando N es grande, pero no infinita
- Para sistemas no críticos: para aditivo → magnitud relativa .
- Cerca de la criticidad: con comparable al tamaño del sistema , sustituye por en las fórmulas de escalado; los máximos del calor específico o de la susceptibilidad se redondean y desplazan con de manera predecible (lo que se usa para extraer exponentes críticos numéricamente).
9.4.8 Ejemplo: paramagneto no interactuante y ley de Curie
espines en un campo con hamiltoniano , . La función de partición de un espín es , y la magnetización por espín
La varianza de es binomial:
La susceptibilidad estática coincide con fluctuación–respuesta:
En el límite de campo débil, ley de Curie:
9.4.9 Ejemplo: fluctuaciones de densidad del gas ideal y S(0)
En un gas ideal clásico gran canónico, las partículas no están correlacionadas: . Entonces para todo y
por lo que , el resultado del gas ideal. En esta colectividad con reservorio, la varianza del número en un subvolumen es poissoniana: . Con número total de partículas fijo, las fluctuaciones de subvolumen son, en cambio, binomiales (véase 9.4.11(e)), y el factor de estructura a vector de onda exactamente nulo se anula. En ese caso, la regla de suma de la compresibilidad se refiere al límite de longitud de onda larga tomado después del límite termodinámico.
9.4.10 Errores habituales
- Mezclar colectividades. No uses la canónica con fluctuaciones gran canónicas del número salvo que hayas ajustado la colectividad a la medida.
- Forzar ajustes gaussianos cerca de transiciones. A primer orden, las distribuciones pueden ser bimodales (dos fases); en la criticidad, las distribuciones del parámetro de orden suelen ser no gaussianas, pero sus colas no tienen por qué ser leyes de potencias.
- Ignorar restricciones. Los totales conservados suprimen varianzas (por ejemplo, total fijo reduce las fluctuaciones de subvolumen).
- Llamar «inestabilidad» a una negativa. En pequeños sistemas microcanónicos con fuerzas de largo alcance puede aparecer ; indica falta de equivalencia entre colectividades, no un fallo algebraico.
9.4.11 Pequeños ejemplos resueltos
(a) Varianza del volumen
A partir de , demuestra y verifícalo para un gas ideal.
(b) Regla de suma de la compresibilidad
Partiendo de , toma y usa la termodinámica para deducir .
(c) Grandes desviaciones de energía
A partir de , realiza el desarrollo cuadrático e identifica ; determina cuándo falla la aproximación gaussiana.
(d) Varianza del paramagneto → Curie
Calcula y a partir de y demuestra ; toma para obtener .
(e) Fluctuaciones de subvolumen
Para un gas ideal, divide una caja en dos volúmenes y . Con total fijo, demuestra (binomial), en contraste con la varianza poissoniana gran canónica.
9.4.12 Colección mínima de problemas
- Demuestra la relación estática general a partir de derivadas de con un término fuente
- Deduce y conéctalo con para un fluido de un componente
- Demuestra que implica cuando un líquido se aproxima a su punto crítico gas–líquido y explica cualitativamente la «opalescencia crítica»
- Usando una energía libre de Landau , , calcula fluctuaciones gaussianas por encima de y extrae a nivel de campo medio
- Para un modelo de red con parámetro de orden conservado, analiza cómo la conservación modifica la relajación a tiempos largos (pero no las varianzas estáticas a tiempos iguales) a fijo
9.5 Gases cuánticos: estadísticas de Bose y Fermi, polilogaritmos y camino hacia la degeneración
La estadística clásica MB es excelente… hasta que deja de ser diminuto. Entonces la indistinguibilidad y la simetría de intercambio cambian las reglas. Esta sección deduce Bose–Einstein y Fermi–Dirac a partir de la colectividad gran canónica, calcula la termodinámica con funciones polilogaritmo, conecta con el límite clásico mediante desarrollos viriales y construye las herramientas del gas de Fermi degenerado, incluido el desarrollo de Sommerfeld. También describimos cómo cambia el potencial químico con y .
Aquí y la ocupación corresponde a un estado de una partícula, sin factor de densidad de estados. Para x grande, las tres se aproximan al resultado clásico. La ocupación de Bose puede superar uno y diverge cuando x tiende a cero por valores positivos; el estado fundamental condensado exige un tratamiento aparte. Las curvas describen un gas ideal en equilibrio térmico.
- Bose–Einstein: , curva superior.
- Maxwell–Boltzmann: , curva intermedia.
- Fermi–Dirac: , curva inferior. El gráfico solo abarca , no el mar de Fermi ocupado.
9.5.1 Colectividad gran canónica → distribuciones BE/FD
Colocamos partículas idénticas no interactuantes en la colectividad gran canónica a . Con fugacidad y niveles de una partícula ,
signo superior para bosones, inferior para fermiones. Las ocupaciones son
El menos del denominador da el agrupamiento de Bose–Einstein; el más da el bloqueo de Fermi–Dirac.
9.5.2 Densidad de estados en tres dimensiones y sustitución por el continuo
Para degeneración de espín y dispersión no relativista en un volumen ,
Las sumas se convierten en integrales .
Definimos la longitud de onda térmica
y el polilogaritmo .
9.5.3 Termodinámica con polilogaritmos: N, U y p
Tanto para bosones como para fermiones, los resultados se compactan mediante polilogaritmos. Sea
Entonces, en para un gas no relativista uniforme,
- Bosones
- Fermiones
La identidad virial se cumple para cualquier gas ideal no relativista con dispersión cuadrática.
9.5.4 Límite clásico y primera corrección cuántica
Cuando ( alta o baja), ambas estadísticas se reducen a MB, ya que y . Continuar el desarrollo da la corrección cuántica dominante a la ley del gas ideal
signo superior para fermiones (la «repulsión» de Pauli aumenta la presión), inferior para bosones (la «atracción» de Bose la reduce)
9.5.5 Comportamiento del potencial químico
- Bosones: . A fija, cuando disminuye , aumenta hacia . Para un gas ideal uniforme, la capacidad de los estados excitados está limitada por , lo que conduce a condensación de Bose–Einstein cuando supera una constante. Detallamos la condensación en §9.7.
- Fermiones: es positivo a baja y se aproxima a la energía de Fermi cuando . Con y degeneración de espín ,
A finita pero pequeña, disminuye respecto de en .
9.5.6 Gas de Fermi degenerado y desarrollo de Sommerfeld
Para , evaluamos asintóticamente las integrales de Fermi. Sea .
- Potencial químico
- Energía interna y presión a baja
- Capacidad calorífica por partícula
La linealidad en es la señal de una superficie de Fermi con una capa delgada de estados térmicamente activos de espesor .
9.5.7 Gas de Bose no degenerado y umbral de la condensación
Por encima de la condensación (sin ocupación macroscópica del estado fundamental), resuelve . La termodinámica se obtiene de §9.5.3 con . Al reducir a fija, , , y la densidad de estados excitados se satura en
Las partículas «sobrantes» deben ocupar el estado fundamental a la temperatura crítica obtenida en §9.7 y por debajo de ella.
9.5.8 Límites relativista y sin masa (adelanto)
Para partículas sin masa con , la densidad de estados es . La dispersión masiva solo se aproxima a esta forma en el límite ultrarrelativista. Los bosones sin masa (fotones) tienen con . Desarrollamos los fotones y fonones en §9.6.
9.5.9 Pequeños ejemplos resueltos
(a) Comprobación del límite clásico
Demuestra que tomar en y reproduce a orden dominante y da después la corrección .
(b) Densidad de estados tridimensional
Deduce contando estados de momento en una caja y usando .
(c) Cálculo numérico de la energía de Fermi
Para electrones en un metal con y , calcula y , y después estima a .
(d) A baja: para fermiones
Usa el desarrollo de Sommerfeld de para obtener la serie de hasta .
(e) Gas de Bose cerca de
Evalúa numéricamente cerca de usando el desarrollo del polilogaritmo y muestra cómo se aproxima a .
9.5.10 Colección mínima de problemas
- Partiendo de , deduce y las formas BE/FD
- Sustituye las sumas por para obtener las fórmulas con polilogaritmos de , y en
- Desarrolla en potencias de e identifica el signo del segundo coeficiente virial para bosones frente a fermiones
- Deduce la energía de Fermi y , y después usa Sommerfeld para obtener
- A fija para un gas ideal de Bose, demuestra cuando y calcula la pendiente en a partir de la ecuación del número
9.6 Fotones y fonones: radiación del cuerpo negro y capacidad calorífica de los sólidos
Dos gases de Bose arquetípicos, dos mundos muy distintos. Fotones: sin masa, espín 1, número no conservado, , presión , ley . Fonones: vibraciones de red con dispersión lineal a longitudes de onda largas, tres polarizaciones y un corte de Debye que impone modos. Juntos explican el espectro de la luz y por qué los calores específicos de los sólidos caen a cero a baja.
9.6.1 Fundamentos del gas de fotones
Los fotones se crean y aniquilan libremente en equilibrio térmico, por lo que el potencial químico debe ser cero. Colocamos ondas electromagnéticas en una gran cavidad cúbica de volumen con condiciones de contorno periódicas. Contar los modos transversales por frecuencia angular da la densidad de estados
La ocupación de Bose con es , dando la densidad de energía de Planck
El espectro de número se obtiene dividiendo por
9.6.2 Stefan–Boltzmann y Wien: dos corolarios famosos
Integrar sobre todas las da
La presión de radiación de un gas isótropo de fotones es
El flujo radiativo de una superficie negra es con
La longitud de onda del máximo de emitancia espectral satisface el desplazamiento de Wien
obtenido al maximizar la forma en de la ley de Planck.
La densidad de entropía y la entalpía se obtienen de :
9.6.3 Fonones: sonido cuantizado con dispersión lineal
En un cristal, los pequeños desplazamientos de la red forman modos normales. A longitudes de onda largas, las ramas acústicas tienen
con velocidad del sonido y tres polarizaciones (una longitudinal y dos transversales). Al tratarlos como un gas de bosones no interactuantes, la ocupación de Bose es la misma , pero la densidad de estados usa en lugar de y debe tener un corte para imponer un número finito de modos.
La idea clave de Debye: aproximar las ramas acústicas como lineales hasta un corte elegido de modo que el número total de modos sea para átomos
Definimos la frecuencia de Debye y la temperatura de Debye
Una sola «media» representa las tres polarizaciones con buena precisión para la termodinámica global.
9.6.4 Modelo de Debye
La energía interna de los fonones, omitiendo términos de punto cero, es
con densidad de estados de Debye
Cambiamos de variable para obtener la capacidad calorífica estándar de Debye
Comportamientos asintóticos:
- baja
- alta
recuperando Dulong–Petit.
9.6.5 Modelo de Einstein: modos ópticos y transición de regímenes
Einstein imaginó cada átomo como un oscilador independiente de una única frecuencia . Entonces
Capta el límite de alta y la congelación exponencial a baja, pero no la ley , porque carece de modos acústicos de baja frecuencia. Los cristales reales suelen interpolar: los modos ópticos se parecen a Einstein y los acústicos a Debye.
9.6.6 Termodinámica del gas de fonones
Con y tres polarizaciones, la densidad de energía de un gas libre de fonones a baja reproduce la de los fotones con y un factor , porque tres ramas acústicas sustituyen a dos polarizaciones de fotones
Derivar da como en Debye. En un sólido, la «presión» de los fonones modifica la respuesta elástica en lugar de empujar un volumen como un gas, pero la intuición de escalado es idéntica.
9.6.7 Cuerpos negros en la naturaleza: recorrido breve
- El fondo cósmico de microondas es un cuerpo negro casi perfecto a , un gas fósil de fotones que llena el universo
- Las estrellas aproximan cuerpos negros en partes de su espectro; las desviaciones codifican atmósferas y líneas
- Las cavidades de laboratorio con aberturas pequeñas imitan emisores de cuerpo negro y establecen patrones de radiometría
9.6.8 Errores habituales
- Olvidar para los fotones. Cualquier intento de fijar el número de fotones en equilibrio es no físico salvo que también restrinjas el espectro mediante bombeo
- Mezclar los máximos en y . Los máximos de y de ocurren en lugares distintos; la de Wien se refiere al máximo en longitud de onda
- Ignorar polarizaciones o cortes. Debye necesita modos en total; omitir el factor 3 o el corte estropea
- Límite de alta con unidades cuánticas. Comprueba siempre o antes de afirmar un comportamiento «clásico»
9.6.9 Pequeños ejemplos resueltos
(a) Recuperar Stefan–Boltzmann.
Integra usando después de para obtener y .
(b) Desplazamiento de Wien.
Maximiza la densidad espectral en longitud de onda para demostrar y extrae numéricamente de la ecuación trascendente.
(c) Comportamiento asintótico de Debye a baja.
Desarrolla la integral de Debye para para deducir .
(d) Einstein frente a Debye a intermedia.
Representa frente a para ambos modelos y explica por qué los datos reales suelen situarse entre ellos.
(e) Densidad de entropía del gas de fotones.
Usando y , deduce .
9.6.10 Colección mínima de problemas
- Partiendo del recuento de modos de la cavidad, deduce y la de Planck
- Demuestra promediando el tensor de tensiones de Maxwell para radiación isótropa
- Demuestra que el recuento de modos de fonones con corte de Debye es igual a y obtén
- Evalúa numéricamente la integral de capacidad calorífica de Debye para y compara con la predicción de Einstein a la misma usando
- Deduce el escalado de la densidad de energía de fonones a baja adaptando el cálculo de fotones con
9.7 Condensación de Bose–Einstein y gas de Fermi degenerado
Baja la temperatura y aumenta la densidad en el espacio de fases, y la estadística cuántica empieza a tomar decisiones ejecutivas. Los bosones se acumulan en el estado fundamental → condensación de Bose–Einstein (BEC). Los fermiones forman un mar de Fermi con presión de Pauli. Construimos la referencia del gas ideal para BEC en tres dimensiones, añadimos trampas y correcciones de interacción, esbozamos la superfluidez mediante Bogoliubov y repasamos el gas de Fermi degenerado con un par de paradas sobre «por qué importa».
9.7.1 BEC en un gas ideal de Bose uniforme (3D)
De §9.5, para bosones no interactuantes
con y el polilogaritmo. Como , los estados excitados pueden albergar como máximo
A densidad fija , reducir disminuye y, por tanto, la capacidad máxima de los estados excitados. La temperatura a la que esta capacidad iguala el número total de partículas es la temperatura crítica
Por debajo de , el potencial químico queda fijado en y la fracción condensada es
La termodinámica por debajo de proviene enteramente de las excitaciones ( no aporta energía en el gas ideal):
Calor específico por partícula para
Por encima de , resuelve y se aproxima al valor clásico a alta. En , la del gas ideal muestra una cúspide.
9.7.2 Ausencia de BEC uniforme en 1D y 2D a finita
Para un gas ideal homogéneo, en dimensiones. La serie diverge en para : en dos dimensiones diverge y crece logarítmicamente, mientras que en una dimensión la divergencia es más fuerte. Así, no hay verdadera BEC en sistemas uniformes 1D/2D a finita en el límite termodinámico; las interacciones en 2D aún pueden sostener superfluidez mediante una transición de Kosterlitz–Thouless, pero eso no es una población macroscópica de un único modo .
9.7.3 Gases de Bose atrapados: potencial armónico
Los experimentos confinan átomos en trampas aproximadamente armónicas . La densidad de estados de una partícula se convierte en con media geométrica . La temperatura crítica de un gas ideal atrapado es
y, para ,
El exponente mayor refleja la distinta densidad de estados.
9.7.4 Fluctuaciones canónicas frente a gran canónicas: la «catástrofe»
En la colectividad gran canónica de un BEC ideal por debajo de , un estado fundamental macroscópicamente ocupado tiene ; este resultado basado en un reservorio no es adecuado para una nube finita con número fijo de partículas. La colectividad canónica impone total fijo, pero el escalado restante depende del espectro. En el régimen condensado habitual, una trampa armónica tridimensional da , mientras que un gas ideal tridimensional uniforme a densidad fija tiene . Elige tanto la colectividad como el confinamiento apropiados para el experimento.
9.7.5 Interacciones y campo medio de Gross–Pitaevskii (GP)
A ultrabaja domina la dispersión de onda , con amplitud fijada por la longitud de dispersión . El acoplamiento efectivo es
Para un condensado débilmente interactuante con función de onda macroscópica ,
Esta es la ecuación de Gross–Pitaevskii. En materia uniforme de densidad ,
donde es la velocidad del sonido y la longitud de recuperación, la escala en la que el parámetro de orden se recupera cerca de defectos o fronteras.
9.7.6 Espectro de Bogoliubov y superfluidez (esbozo)
Linealizar las fluctuaciones alrededor del condensado da la dispersión de Bogoliubov
A pequeña es fonónica, , y a grande pasa a la de partícula libre . El criterio de Landau fija la rapidez crítica del flujo
por lo que los BEC débilmente interactuantes son superfluidos con flujo sin fricción por debajo de .
9.7.7 Repaso del gas de Fermi degenerado: T=0 y T pequeña
De §9.5, el gas de Fermi no interactuante tiene energía de Fermi
Las correcciones a finita se obtienen del desarrollo de Sommerfeld: , . La presión a encarna la presión de Pauli, estabilizando sistemas frente al colapso y fijando escalas en metales y objetos compactos.
Trampa armónica. Para fermiones en una trampa armónica tridimensional con , la energía de Fermi a es
y el radio de la nube se obtiene de un perfil de Thomas–Fermi.
9.7.8 Dos aplicaciones rápidas
- Enanas blancas (esquema). Los electrones forman un gas muy degenerado. En el límite relativista, en lugar de , lo que conduce a una masa máxima sostenible (límite de Chandrasekhar). Aquí el mensaje es cualitativo: la presión de degeneración es real, la presión térmica es opcional.
- Laboratorios de átomos fríos. Las resonancias de Feshbach ajustan atravesando cero → BEC débilmente interactuantes, gases de Fermi unitarios fuertemente interactuantes y transición BEC–BCS. El sonido de Bogoliubov y los modos colectivos son confirmaciones de libro de texto de la teoría anterior.
9.7.9 Errores habituales
- Olvidar que por debajo de para el gas ideal de Bose. No fuerces una negativa una vez formado el condensado
- Usar fluctuaciones gran canónicas para una trampa de fija. La varianza canónica es la apropiada para las nubes de átomos fríos
- Afirmar que existe BEC uniforme en 2D. No a finita; busca en cambio superfluidez KT
- Tratar las interacciones como «pequeñas» sin comprobar . GP/Bogoliubov de acoplamiento débil requiere
9.7.10 Pequeños ejemplos resueltos
(a) para un BEC típico.
Toma con , y densidad . Sustituye en la fórmula de y estima la fracción condensada a .
(b) Ausencia de BEC en 2D.
Demuestra que diverge cuando para un gas uniforme 2D convirtiendo la suma en una integral e identificando el logaritmo.
(c) de una trampa.
Dados átomos y , calcula y la fracción condensada a .
(d) Longitud de recuperación.
Para y , estima , y .
(e) Pendiente de Bogoliubov.
Verifica que en y encuentra el valor de transición donde la dispersión se desvía, por ejemplo, un .
(f) Comprobación numérica de la presión de Fermi.
Para electrones con , calcula y ; compara con la presión atmosférica.
9.7.11 Colección mínima de problemas
- Deduce y la fracción condensada de un gas ideal de Bose uniforme; repite después para una trampa armónica usando la densidad de estados apropiada
- Partiendo de , calcula por debajo de y muestra la cúspide en
- Muestra explícitamente por qué converge en 3D, pero diverge en 2D, y relaciónalo con la ausencia de BEC uniforme en 2D
- Linealiza la ecuación GP alrededor de una solución uniforme y deduce la dispersión de Bogoliubov y la velocidad crítica de Landau
- Usa el desarrollo de Sommerfeld para obtener y de un gas de Fermi tridimensional hasta orden ; deduce para confinamiento armónico
9.8 Campo medio y teoría de Landau: parámetros de orden, van der Waals y Curie–Weiss
El campo medio es la aproximación del «trabajo en grupo»: cada grado de libertad siente el promedio de todos los demás. A menudo acierta con la forma de los diagramas de fases y da exponentes críticos analíticos. La teoría de Landau convierte esa idea en un desarrollo controlado en el parámetro de orden y las simetrías. Esta sección construye el magnetismo de Curie–Weiss, el fluido de van der Waals con construcción de Maxwell, las energías libres y exponentes de Landau, la longitud de correlación de Landau–Ginzburg, el criterio de Ginzburg y la aparición de transiciones de primer orden y puntos tricríticos.
9.8.1 Qué supone el campo medio
Elegimos un parámetro de orden que cambia de signo bajo la simetría rota:
- Ferromagneto: (densidad de magnetización), simetría
- Líquido–gas: (desviación de densidad), sin simetría de Ising, pero con las mismas matemáticas cerca de
Idea del campo medio: sustituir los vecinos por su promedio. Se ignoran las fluctuaciones cuando la coordinación es alta o la interacción es de largo alcance, condiciones cada vez más justificadas a mayor dimensión espacial .
9.8.2 Ferromagneto de Curie–Weiss (tipo Ising, z vecinos)
Partimos de espines de Ising , acoplamiento y campo . En campo medio, cada espín ve un campo efectivo con . La función de partición de un sitio es , dando la ecuación de autoconsistencia
En , desarrollamos para pequeña y obtenemos la temperatura crítica de Curie–Weiss
Comportamiento crítico:
- pequeño : con
por lo que
- en : aparecen soluciones no nulas
por lo que
- En , , por lo que
El calor específico presenta un salto finito (sin divergencia):
9.8.3 Energía libre de Landau: la simetría dicta la forma
Escribimos un desarrollo analítico en el parámetro de orden compatible con las simetrías. Para un escalar de tipo Ising en un sistema uniforme
con desviación de temperatura y para una transición estándar de segundo orden. Cerca de este punto crítico ordinario, truncamos a orden cuártico, despreciando el término séxtico en la minimización y las fórmulas críticas dominantes siguientes:
Consecuencias en :
- Para : mínimo en
- Para : mínimos en
por lo que
Susceptibilidad por encima de a partir de respuesta lineal:
por lo que y
En con :
por lo que
Salto del calor específico. Sustituimos en :
Por tanto, adquiere un escalón finito en , es decir, con discontinuidad.
9.8.4 Primer orden y tricriticidad
Si la física microscópica hace que , el término desestabiliza. Se estabiliza con . Entonces, al variar , aparecen dos mínimos en antes de y el sistema salta en la coexistencia , donde los pozos tienen la misma profundidad. Ese salto es una transición de primer orden con calor latente.
El punto donde cambia de signo en es un punto tricrítico. El análisis de Landau con predice exponentes distintos, por ejemplo, .
9.8.5 Funcional de Landau–Ginzburg y longitud de correlación
Permitimos variaciones espaciales lentas del parámetro de orden. El funcional de energía libre de Landau–Ginzburg es
con . En el régimen gaussiano ( pequeña, ), el correlador de dos puntos en espacio de Fourier tiene forma de Ornstein–Zernike
Definimos la longitud de correlación
por tanto . En tres dimensiones, el correlador en espacio real tiene la forma ; este prefactor exponencial no es la fórmula general en cualquier dimensión. En la criticidad, en dimensiones mayores que dos, el correlador gaussiano tiene la potencia de distancia inversa fijada por la dimensión menos dos, dando .
9.8.6 Criterio de Ginzburg: cuándo falla el campo medio
El campo medio ignora las fluctuaciones del parámetro de orden. Comparamos la magnitud de las fluctuaciones en un volumen de correlación con . Aproximadamente,
Usar y da un número de Ginzburg tal que el campo medio solo es válido para
En resumen: para la integral de fluctuaciones es benigna y el campo medio es asintóticamente exacto. Para , un intervalo próximo a está dominado por fluctuaciones y requiere el grupo de renormalización (§9.10).
9.8.7 Fluido de van der Waals: líquido–gas en campo medio
Escribimos la ecuación de estado en forma de densidad numérica :
con volumen excluido y atracción . El punto crítico satisface , dando
En forma molar se obtiene , , .
Definimos variables reducidas , , para obtener la ley de estados correspondientes
Por debajo de , tiene forma de S. La región de inestabilidad mecánica satisface ; las espinodales resuelven . La presión de coexistencia a una dada queda fijada por la regla de igualdad de áreas de Maxwell (ya que debe ser igual en ambas fases).
Cerca de , la diferencia de densidades obedece la ley de campo medio
coincidiendo con .
9.8.8 Metaestabilidad, nucleación y espinodales
El doble pozo de Landau para con un campo pequeño muestra dos mínimos de distinta profundidad: el más alto es metaestable. El decaimiento ocurre por nucleación de gotas críticas, que no describe el campo medio estático, pero que sugiere la barrera entre mínimos. Al acercarse a una espinodal, la barrera desaparece; la susceptibilidad y la longitud de correlación divergen en ese límite en campo medio.
9.8.9 Guía rápida: exponentes de campo medio y relaciones de escalado
Exponentes de campo medio (tipo Ising):
| Exponente | Significado | Valor |
|---|---|---|
| con salto | ||
| en | ||
| en |
Relaciones de escalado (satisfechas por el campo medio):
- Widom:
- Rushbrooke:
- Josephson (hiperescalado):
- Con exponentes de campo medio se cumple en al nivel de leyes de potencias (puede haber correcciones logarítmicas); falla para . Por debajo de , usa los exponentes corregidos por fluctuaciones.
9.8.10 Errores habituales
- Forzar por encima de en . En Landau con , el único mínimo para es
- Confundir coexistencia y espinodal. La construcción de Maxwell fija la coexistencia; la espinodal es el límite de metaestabilidad donde
- Ignorar la simetría. Si la simetría prohíbe términos impares, no los añadas a mano. Si un campo la rompe, incluye
- Declarar «exacto» el campo medio. Es bueno lejos de , en alta o con interacciones de largo alcance; cerca de en , véase §9.10
9.8.11 Pequeños ejemplos resueltos
(a) de Curie–Weiss
Linealiza para pequeña en para deducir e identificar .
(b) de Landau y salto de
Minimiza en para y obtén . Sustituye en y calcula la discontinuidad del calor específico en .
(c) Ornstein–Zernike
A partir del funcional LG cuadrático, deduce e identifica .
(d) Punto crítico de van der Waals
Usando , impón para encontrar ; después escribe la ecuación de estado reducida.
(e) Escalado tricrítico
Fija , conserva y minimiza . Demuestra y extrae .
9.8.12 Colección mínima de problemas
- Deduce los exponentes de campo medio a partir del polinomio de Landau y verifica las relaciones de Widom y Rushbrooke
- Partiendo del funcional LG, calcula el correlador en espacio real en dimensiones y confirma
- Aplica el criterio de Ginzburg para estimar la anchura de la región crítica fuera del campo medio de un imán tridimensional de tipo Ising con y dados
- Para van der Waals, implementa analíticamente la construcción de igual área de Maxwell cerca de y demuestra
- Explora el caso de primer orden con : encuentra la coexistencia igualando las profundidades de los pozos y localiza las espinodales donde se anula la segunda derivada en un mínimo
9.9 El modelo de Ising: matrices de transferencia, dualidad y criticidad exacta en 2D
Si la física estadística tuviera una mascota, sería el modelo de Ising: espines que solo hablan con sus vecinos y, aun así, recrean todo el drama de las transiciones de fase. En 1D es tranquilo (sin transición a finita). En 2D es icónico: un punto crítico exacto con exponentes distintos de los de campo medio y divergencia logarítmica del calor específico. Esta sección aborda la solución exacta 1D, la intuición de paredes de dominio, la dualidad de Kramers–Wannier, los resultados principales de Onsager y los datos de escalado que realmente usarás.
9.9.1 Definición y notación
En una red con vecinos más próximos y campo externo ,
También usaremos los acoplamientos adimensionales
positivo favorece la alineación (ferromagneto). Función de partición .
9.9.2 Cadena 1D: solución exacta con matriz de transferencia
Para un anillo de espines (condiciones de contorno periódicas), construimos la matriz de transferencia
Sus autovalores son
La termodinámica en el límite está gobernada por :
En campo nulo ,
No hay magnetización espontánea a ningún , es decir, . La función conexa de dos puntos decae exponencialmente,
por lo que la longitud de correlación es
Finita para todo , y divergente solo en . Veredicto: Ising 1D no tiene transición de fase a finita.
9.9.3 Intuición de paredes de dominio (kinks): por qué 1D permanece desordenado
Invierte un bloque contiguo y crearás dos paredes de dominio, cada una con coste energético . Pero su entropía crece como (muchos lugares donde ponerlas). La energía libre de un par de paredes es , por lo que, para cualquier y grande, gana el término entrópico → proliferan las paredes de dominio → desaparece el orden de largo alcance. En 2D, la energía crece con el perímetro y la entropía compite de otra forma, permitiendo una finita.
9.9.4 Red cuadrada 2D
La dualidad de Kramers–Wannier relaciona la función de partición a acoplamiento con la de un acoplamiento dual mediante
El punto crítico está en la autodualidad, , dando
Equivalentemente,
Para acoplamientos anisótropos , la línea crítica es .
9.9.5 Solución de Onsager: comportamiento crítico exacto (en H=0)
La energía libre completa en se conoce exactamente (no reescribiremos aquí la integral), pero los resultados clave son:
- El calor específico diverge logarítmicamente
por lo que con un logaritmo
- Magnetización espontánea para (Yang)
- Exponentes críticos (universalidad de Ising 2D)
- La longitud de correlación diverge como con ; el correlador crítico decae como en 2D
El punto crítico de Ising 2D también es una teoría conforme de campos con carga central (útil después para el escalado de tamaño finito y las razones exactas de amplitudes).
9.9.6 Matrices de transferencia, escalado y trucos de tamaño finito
- Correspondencia matriz de transferencia ↔ cuántica. El modelo clásico de Ising 2D se transforma en la cadena cuántica de Ising 1D en campo transverso mediante descomposición de Trotter. clásica punto crítico cuántico a temperatura cero. Muchas fórmulas de tamaño finito se trasladan directamente.
- Escalado de tamaño finito. En una caja de tamaño lineal , las susceptibilidades y los momentos del parámetro de orden escalan en como
Los cumulantes de Binder y los métodos de cruce son formas prácticas de localizar en simulaciones.
9.9.7 Qué aporta la universalidad
Ya no necesitas repetir las matemáticas a escala de red. Cualquier sistema bidimensional de corto alcance con ruptura de una simetría (líquido–gas a lo largo de la isoterma crítica, imanes uniaxiales, aleaciones binarias) comparte los mismos exponentes y funciones de escalado cerca de la criticidad. El campo medio de Landau (§9.8) es cualitativamente correcto, pero sus exponentes difieren; la renormalización (§9.10) explica por qué.
9.9.8 Errores habituales
- Olvidar que en 1D no hay orden a finita. Si tu código encuentra en 1D a con , te engaña el tamaño finito o el algoritmo rompe la simetría
- Mezclar campos. La expresión cerrada anterior solo vale para ; activar destruye las singularidades críticas de esa forma exacta
- incorrecta. Es , no ni ; equivalentemente,
- Exponentes de campo medio en 2D. El campo medio da , , etc., que no son correctos para Ising 2D; usa el conjunto exacto anterior
- Errores de signo en la longitud de correlación. En 1D, ; observa el signo menos y que para
9.9.9 Pequeños ejemplos resueltos
(a) Matriz de transferencia 1D en .
Deduce , obtén y demuestra .
(b) Dualidad de Kramers–Wannier.
Partiendo de las series de alta y baja temperatura para , demuestra que coinciden salvo un prefactor bajo y después deduce de la autodualidad.
(c) Comprobación de la magnetización.
Verifica a partir de y que .
(d) Escalado de tamaño finito de .
Suponiendo , demuestra que el valor máximo escala como en 2D y explica cómo extraerías mediante colapso de datos.
(e) Gas de paredes de dominio 1D.
Trata los kinks como no interactuantes con fugacidad . Obtén la función de dos puntos a orden dominante, reproduciendo para .
9.9.10 Colección mínima de problemas
- Construye la matriz de transferencia 1D con campo y deduce y ; calcula y comprueba para
- Usa la dualidad para obtener la línea crítica anisótropa 2D ; redúcela a la isótropa
- A partir de la exacta, extrae y confirma la relación de Widom con y
- Demuestra que el calor específico 2D se comporta como desarrollando la integral de energía libre de Onsager cerca de
- Transforma el modelo clásico 2D en la cadena cuántica de Ising 1D en campo transverso e identifica el punto crítico cuántico en términos de campo transverso e intercambio
9.10 Fenómenos críticos y fundamentos del grupo de renormalización
Cerca de una transición de fase continua, el sistema olvida los detalles microscópicos y se vuelve invariante de escala. La longitud de correlación diverge, las fluctuaciones abarcan todos los tamaños y la termodinámica desarrolla leyes de potencias con exponentes universales. El grupo de renormalización (RG) convierte esto en matemáticas: describir a grano grueso, reescalar y seguir cómo fluyen los acoplamientos. Los puntos fijos gobiernan su entorno y sus autovalores fijan los exponentes.
9.10.1 Por qué falla el campo medio
El campo medio supone que las fluctuaciones son pequeñas. Pero en un punto crítico la longitud de correlación
diverge, el correlador en se convierte en una ley de potencias
y la parte singular de la densidad de energía libre escala como . No puedes desarrollar alrededor de una única escala de longitud cuando no la hay.
9.10.2 Hipótesis de escalado y leyes de homogeneidad
Suponemos que la densidad de energía libre singular satisface una relación de homogeneidad al reescalar por un factor
Aquí es el campo conjugado al parámetro de orden. Elegimos e identificamos exponentes:
- Calor específico con
- Parámetro de orden con
- Susceptibilidad con
En , elegimos para obtener con
La relación de Fisher vincula con mediante el correlador crítico:
Reuniendo las relaciones de escalado clásicas
- Widom:
- Rushbrooke:
- Josephson (hiperescalado):
- Fisher:
El hiperescalado suele cumplirse por debajo de la dimensión crítica superior .
9.10.3 Espines de bloque de Kadanoff: el esquema que funciona
Agrupamos los espines en bloques de tamaño , promediamos para obtener un nuevo campo y reescalamos las longitudes hasta la red original. Los acoplamientos fluyen hacia nuevos acoplamientos . Iteramos:
- Las direcciones relevantes crecen bajo RG ( con )
- Las direcciones irrelevantes disminuyen ()
- Las marginales necesitan análisis de orden superior
La criticidad es un flujo hacia un punto fijo no trivial con al menos una dirección relevante (temperatura). El exponente de longitud de correlación es el inverso del autovalor térmico:
y el autovalor del campo controla y, por tanto, mediante §9.10.2.
9.10.4 RG de Wilson por capas de momento y funciones beta
Para un parámetro de orden escalar, el funcional de Landau–Ginzburg–Wilson (LGW)
Describimos a grano grueso integrando y eliminando modos en una capa de momentos , y después reescalamos y . Los acoplamientos fluyen con el «tiempo RG» como se muestra esquemáticamente abajo; los puntos suspensivos incluyen términos de bucle dependientes de la masa necesarios para determinar el autovalor térmico:
con . Las constantes dependen de los convenios; lo importante:
- Para () existe un punto fijo de Wilson–Fisher que da exponentes distintos de los de campo medio
- Para (), el punto fijo gaussiano es estable y valen los exponentes de campo medio (con posibles logaritmos en )
Para el modelo , el desarrollo en da el siguiente exponente de longitud de correlación a un bucle y la dimensión anómala dominante a dos bucles:
Para la universalidad de Ising ():
Sustituir da estimaciones aproximadas en 3D; los bucles superiores junto con la resumación las refinan.
9.10.5 Dimensión crítica superior y variables peligrosamente irrelevantes
El acoplamiento , , es marginal en e irrelevante para . Sin embargo, para puede ser peligrosamente irrelevante: se anula bajo RG, pero sigue controlando la amplitud de por debajo de , modificando el hiperescalado ingenuo. Consecuencias:
- Los exponentes de campo medio valen para
- El hiperescalado falla para (la densidad de energía libre no escala como sin un reescalado dependiente de )
Aparecen logaritmos en , por ejemplo, .
9.10.6 Escalado de tamaño finito y colapso de datos
Con una caja periódica de tamaño , RG y homogeneidad implican el ansatz de escalado de tamaño finito (FSS) para la parte singular de la energía libre
Formas para observables:
- Parámetro de orden:
- Susceptibilidad:
- Calor específico: salvo un fondo analítico aditivo
Ventajas prácticas: las curvas para distintos colapsan al representarlas frente a con multiplicación vertical por para el parámetro de orden o para la susceptibilidad, y las temperaturas seudocríticas se desplazan como
9.10.7 Clases de universalidad (mapa rápido)
- Ising (, simetría ): imanes uniaxiales, líquido–gas a lo largo de la isoterma crítica, aleaciones binarias
- XY (): helio superfluido, espines planos, superconductores de película delgada; en 2D tiene una transición de Kosterlitz–Thouless (esencial, no de ley de potencias)
- Heisenberg (): imanes isótropos
- Percolación: transición de conectividad geométrica con exponentes propios
- Percolación dirigida: transiciones de fase hacia estados absorbentes (fuera del equilibrio)
Misma dimensión, mismas simetrías y reglas de conservación similares → mismos exponentes.
9.10.8 Interludio KT (XY 2D)
En 2D, los vórtices se disocian en con longitud de correlación
No hay exponentes estándar de ley de potencias; en su lugar hay un salto universal de la rigidez superfluida. Esto sigue siendo RG, pero en otro diagrama de flujo con fugacidad de vórtices y rigidez como acoplamientos.
9.10.9 Pequeños ejemplos resueltos
(a) Relaciones de escalado en dos líneas
Parte de . Deduce y verifica Widom y Rushbrooke.
(b) RG por capas de a un bucle
Integra los modos en para LGW, reescala y muestra esquemáticamente y . Identifica . Para extraer a , conserva los términos de un bucle dependientes de la masa omitidos en este flujo esquemático, desplázate a la superficie crítica y linealiza allí.
(c) Desplazamiento por tamaño finito
Suponiendo , obtén la posición del máximo de susceptibilidad .
(d) Receta para el colapso de datos
Dados datos de Monte Carlo de en Ising 2D a , reescala y con , . Explica los parámetros ajustables y las comprobaciones de calidad.
(e) peligrosamente irrelevante por encima de
En , demuestra que a nivel de campo medio, ilustrando cómo un acoplamiento «irrelevante» fija amplitudes y rompe el hiperescalado ingenuo.
9.10.10 Errores habituales
- Usar hiperescalado donde falla. Por encima de para sistemas de tipo Ising, no es válido sin matices
- Confundir transición de regímenes y criticidad. Un flujo próximo a un punto fijo, pero no en él, muestra exponentes efectivos que cambian con la escala
- Ignorar fondos analíticos. El calor específico suele tener una parte no singular que puede ocultar una pequeña
- Olvidar las condiciones de contorno en FSS. Los exponentes son universales; las funciones de escalado y las correcciones subdominantes no lo son
- Mezclar KT con escalado de ley de potencias. En XY 2D, espera singularidades esenciales y un salto de rigidez, no , etc.
9.10.11 Colección mínima de problemas
- A partir de la hipótesis de homogeneidad, deduce las cuatro relaciones estándar de escalado e identifica el conjunto de exponentes independientes
- Calcula y hasta para el modelo y particulariza a
- Demuestra que en el punto fijo gaussiano es marginal y deduce una corrección logarítmica a en la teoría
- Usa FSS para estimar a partir de máximos sintéticos o simulados de susceptibilidad de Ising a tamaños
- Para el flujo RG de KT, escribe las ecuaciones de orden más bajo para la rigidez y la fugacidad de vórtices , y muestra la separatriz correspondiente a
9.11 Respuesta lineal y fluctuación–disipación
Perturba suavemente un sistema y observa cómo responde. La teoría de respuesta lineal convierte pequeñas perturbaciones en fórmulas universales que vinculan disipación y fluctuaciones de equilibrio. El correlador retardado fija la respuesta, la causalidad da Kramers–Kronig y el teorema de fluctuación–disipación (FDT) une los espectros de ruido con la parte imaginaria de las susceptibilidades. Los coeficientes de transporte se obtienen entonces de integrales temporales de autocorrelaciones de corrientes (Green–Kubo).
9.11.1 Planteamiento: fuente, observable y núcleo de respuesta
Perturbamos un hamiltoniano de equilibrio mediante un campo débil dependiente del tiempo acoplado a un operador :
Medimos otro observable . A orden lineal,
con susceptibilidad causal . En espacio de frecuencias,
La potencia absorbida de una excitación sinusoidal queda fijada por la parte disipativa .
9.11.2 Fórmula de Kubo: límites cuántico y clásico
En la representación de Heisenberg con promedio de equilibrio , la susceptibilidad retardada es
Equivalentemente,
Límite clásico. Sustituimos los conmutadores por multiplicado por corchetes de Poisson y obtenemos
Esta es la forma del FDT en el dominio temporal para variables conjugadas.
9.11.3 Causalidad ⇒ Kramers–Kronig
La causalidad hace que sea analítica en el semiplano superior. Las partes real e imaginaria son transformadas de Hilbert:
Disipación dispersión: no puedes tener una sin la otra.
9.11.4 Teorema de fluctuación–disipación en espacio de frecuencias
Definimos la densidad espectral de equilibrio simetrizada de ,
Entonces el FDT cuántico establece
El límite clásico da
Interpretación: los mismos modos que disipan energía al ser excitados también fluctúan en equilibrio, y la razón queda fijada por (o por a alta frecuencia).
9.11.5 Relaciones de Green–Kubo: transporte a partir de autocorrelaciones
Los coeficientes de transporte son integrales temporales de autocorrelaciones de corrientes.
- Autodifusión en dimensiones con velocidad :
- Conductividad eléctrica para corriente total en volumen :
- Viscosidad de cizalladura a partir de la componente de tensión microscópica integrada en volumen :
- Conductividad térmica en un sistema isótropo de dimensiones, con corriente total de calor (integral en volumen de la densidad de flujo de calor):
Todos son promedios de equilibrio con la dinámica sin perturbar.
9.11.6 Langevin, Fokker–Planck y relación de Einstein
Para una partícula browniana de posición en un fluido viscoso,
con ruido blanco gaussiano . Al resolver se obtiene la relación de Einstein
y la autocorrelación de velocidad con . La ecuación de Fokker–Planck asociada hace evolucionar la densidad de probabilidad y la relaja hacia el estado estacionario de Maxwell–Boltzmann.
9.11.7 Ejemplos de ruido: Johnson–Nyquist y compañía
Para una resistencia en el régimen clásico , la densidad espectral de ruido de tensión unilateral (frecuencias positivas) es el doble de la densidad bilateral definida en 9.11.4:
La corrección cuántica multiplica por . Para una resistencia sola, el ruido de corriente se obtiene como . La misma lógica sustenta el ruido magnético en RMN, el ruido de fuerza en microscopía de fuerza atómica y los límites de ruido de disparo en conductores mesoscópicos.
9.11.8 Reciprocidad de Onsager y reversibilidad microscópica
Cuando los flujos generalizados responden linealmente a fuerzas termodinámicas ,
la simetría de inversión temporal implica las relaciones de Onsager–Casimir
donde es la paridad bajo inversión temporal de . A campo magnético nulo y para fuerzas y flujos con la misma paridad, . La reciprocidad es un eco macroscópico de la simetría de correlación en equilibrio.
9.11.9 Causalidad, pasividad y reglas de suma
- Pasividad: para en sistemas estables y pasivos; codifica disipación positiva.
- Reglas de suma: los momentos de se vinculan con conmutadores a tiempos iguales o susceptibilidades estáticas, por ejemplo, una regla de suma para la respuesta de carga.
- Colas de alta frecuencia: a menudo fijadas por el álgebra de operadores a tiempos cortos; útiles para comprobar cálculos numéricos o modelos truncados.
9.11.10 Errores habituales
- Usar correladores simétricos en lugar de retardados en . La de Kubo necesita el conmutador y .
- Olvidar la elección de colectividad. Los promedios de Green–Kubo se toman en la colectividad de equilibrio que corresponde a las magnitudes conservadas.
- Abusar del FDT clásico a alta frecuencia. Usa el factor cuántico cuando .
- Mezclar canales de respuesta. El acoplamiento significa que el FDT correcto relaciona con , no con otro operador.
- Ignorar leyes de conservación. Las corrientes vinculadas a densidades conservadas tienen colas hidrodinámicas a tiempos largos que pueden alterar la convergencia ingenua de las integrales.
9.11.11 Pequeños ejemplos resueltos
(a) Kramers–Kronig a partir de causalidad
Supón para , transforma por Fourier y demuestra las relaciones de transformada de Hilbert para y .
(b) FDT clásico en el dominio temporal
Con y , demuestra y recupera .
(c) Ruido de Johnson
Toma un circuito con una resistencia únicamente. Usando y el FDT, deduce en la banda clásica.
(d) Difusión a partir de correlaciones de velocidad
Para una componente cartesiana de velocidad con correlador exponencial , integra para obtener y compara con con y .
(e) Green–Kubo para conductividad
Demuestra que un campo eléctrico uniforme se acopla como en gauge temporal con potencial vector igual a menos el campo eléctrico por el tiempo, y deduce .
(f) Comprobación de la reciprocidad de Onsager
Para transporte termoeléctrico con corrientes eléctrica y de calor, escribe la matriz de y justifica .
9.11.12 Colección mínima de problemas
- Partiendo de la fórmula de Kubo, demuestra el FDT cuántico
- Deduce la relación de Einstein relacionando la movilidad con el límite de baja frecuencia de la respuesta de velocidad
- Demuestra que para un sistema pasivo evaluando la potencia media absorbida de una excitación sinusoidal
- A partir de la ecuación de continuidad, conecta las colas de tiempos largos de las correlaciones de corriente con la difusión hidrodinámica y analiza la convergencia de las integrales de Green–Kubo
- Calcula a partir de un modelo microscópico de esferas duras mediante la autocorrelación de tensiones y compara con el escalado de la teoría cinética
9.12 Teoría cinética y ecuación de Boltzmann
La mecánica estadística nos enseñó cómo es el equilibrio. La teoría cinética explica cómo avanzan los sistemas hacia él y qué ocurre mientras aún no están allí. La protagonista es la ecuación de Boltzmann, una ley mesoscópica de evolución para la distribución de una partícula . A partir de ella deduciremos coeficientes de transporte, conectaremos con la hidrodinámica y veremos dónde y por qué falla la teoría.
9.12.1 De lo microscópico a lo mesoscópico: la función de distribución
Definimos de modo que sea el número esperado de partículas en la celda del espacio de fases. Normalizamos a . Las densidades conservadas son momentos de :
El tensor de presión y el flujo de calor son momentos superiores de la velocidad peculiar .
9.12.2 La ecuación de Boltzmann y el caos molecular
En una fuerza externa ,
La integral de colisión codifica colisiones binarias. Para interacciones de corto alcance y caos molecular (Stosszahlansatz: velocidades previas a la colisión no correlacionadas),
con , sección eficaz diferencial y los valores posteriores a la colisión determinados por la conservación de energía y momento.
Invariantes de colisión. Para cualquier igual a , o ,
lo que conduce a conservación local de masa, momento y energía.
9.12.3 Equilibrio local = Maxwell–Boltzmann
(para todas las secciones eficaces) si y solo si es una maxwelliana local,
Esta maximiza la densidad local de entropía dados y es el punto fijo de las colisiones.
9.12.4 Teorema H: la entropía crece
Definimos la de Boltzmann. Usando la integral de colisión,
con igualdad solo para . Identificar da un aumento monótono de entropía hacia el equilibrio local. Salvedades: depende del caos molecular y de colisiones binarias diluidas; las fuerzas de largo alcance y las correlaciones previas a las colisiones pueden invalidar la demostración.
9.12.5 Hidrodinámica como ecuaciones de momentos
Tomamos momentos de Boltzmann y usamos los invariantes de colisión para obtener las ecuaciones de Euler (ideales) o Navier–Stokes–Fourier (disipativas). Sean , .
- Continuidad
- Momento
- Energía
es la tensión viscosa y el flujo de calor. Para cerrar estas ecuaciones, desarrollamos alrededor de .
9.12.6 Chapman–Enskog y coeficientes de transporte
Suponemos gradientes débiles (número de Knudsen pequeño ) y escribimos , donde es lineal en los gradientes. Resolver Boltzmann a primer orden da la viscosidad newtoniana y la ley de Fourier del calor:
Para esferas duras (masa , diámetro ) a densidad numérica y temperatura ,
salvo factores de corrección modestos de polinomios de Sonine; la viscosidad volumétrica se anula para gases ideales monoatómicos.
9.12.7 Modelos de tiempo de relajación y BGK
Las integrales de colisión exactas son difíciles. El modelo de Bhatnagar–Gross–Krook (BGK) sustituye por una única tasa de relajación hacia el equilibrio local:
Elegir para reproducir recupera la hidrodinámica de primer orden y fija como predicción. Para un gas monoatómico, el modelo BGK de un único tiempo de relajación tiene , por lo que no puede ajustar ambos coeficientes independientemente. Estos modelos de relajación se usan ampliamente en Boltzmann en redes y transporte en semiconductores. La aproximación de tiempo de relajación más sencilla en sólidos hace lo mismo para la dispersión electrónica.
9.12.8 Número de Knudsen, capas límite y fallos
- Régimen hidrodinámico : Navier–Stokes–Fourier es válido.
- Transición : flujos con deslizamiento, capas de Knudsen cerca de paredes; se necesitan condiciones de contorno cinéticas.
- Balístico : flujo molecular libre; Boltzmann sin desarrollos en gradientes o incluso dinámica de Vlasov sin colisiones (para fuerzas de largo alcance).
- Gases densos: las correcciones de Enskog modifican y el transporte.
- Coulomb de largo alcance: muchas desviaciones de ángulo pequeño → operador de colisión de Landau (Fokker–Planck).
9.12.9 Boltzmann cuántico y factores de Pauli y Bose
Para gases cuánticos diluidos a suficientemente alta para que las longitudes de coherencia sean cortas, el término de colisión adquiere estados finales estimulados o bloqueados:
signo superior para bosones, inferior para fermiones. Esta es la modificación de Uehling–Uhlenbeck. A muy baja en superfluidos, la teoría cinética debe incluir modos colectivos (fonones, cuasipartículas de Bogoliubov).
9.12.10 Transporte de Boltzmann en sólidos (electrones y fonones)
En cristales, evoluciona en el espacio con velocidad de banda y fuerzas debidas a campos eléctricos y curvatura de Berry (tema avanzado). Con un tiempo de relajación ,
reproduce Drude en bandas de electrones libres, mientras que Boltzmann para fonones explica la conductividad térmica de la red mediante dispersión de tres fonones y límites de frontera.
9.12.11 Respuesta lineal frente a teoría cinética: el mismo juego, distintas pantallas
Green–Kubo (9.11) dice transporte = integrales temporales de autocorreladores. Chapman–Enskog dice transporte = soluciones de Boltzmann a primer orden en gradientes. Coinciden cuando ambos son aplicables. La teoría cinética gana cuando los caminos libres medios y las secciones eficaces son explícitos; Green–Kubo gana para líquidos interactuantes donde las cuasipartículas son poco claras, pero las simulaciones pueden medir correlaciones.
9.12.12 Pequeños ejemplos resueltos
(a) Camino libre medio y viscosidad
Para esferas duras a densidad numérica con sección eficaz , demuestra y estima ; compara con el valor de Chapman–Enskog.
(b) De BGK a Navier–Stokes
Introduce en Boltzmann, resuelve para y deduce y para un gas monoatómico.
(c) Atenuación del sonido
Linealiza Boltzmann alrededor de para una onda plana y calcula el coeficiente de atenuación en términos de y .
(d) Gas de Lorentz
Para partículas ligeras dispersadas elásticamente por centros duros fijos de densidad , calcula y muestra cómo las secciones eficaces anisótropas modifican el transporte.
(e) Modificación cuántica
Deduce el balance detallado con bloqueo de Pauli para una colisión fermiónica de dos estados y muestra cómo suprime el espacio de fases disponible para dispersión con sección eficaz a baja. Explica por qué el efecto sobre la conductividad depende de si esas colisiones relajan el momento.
9.12.13 Errores habituales
- Olvidar las restricciones de conservación en . Todo operador de colisión de un modelo debe conservar masa, momento y energía (BGK lo hace por construcción si reproduce los momentos locales).
- Usar Navier–Stokes a grande. Espera deslizamiento, capas de Knudsen o comportamiento balístico; pasa a la descripción cinética.
- Suponer en general. Solo es cierto para gases ideales monoatómicos; los modos internos crean viscosidad volumétrica.
- Ignorar condiciones de contorno. La reflexión especular frente a la difusa en las paredes cambia el transporte cercano a ellas en un factor de orden uno.
- Tratar Coulomb como esferas duras. El predominio de muchos cuerpos y ángulos pequeños exige Landau/Fokker–Planck, no Boltzmann con raros impactos fuertes.
9.12.14 Colección mínima de problemas
- Partiendo de la ecuación de Boltzmann, deduce las ecuaciones de continuidad, momento y energía e identifica y
- Realiza el primer paso de polinomios de Sonine para esferas duras y calcula a orden dominante; compara con la estimación heurística
- Implementa BGK y demuestra ; ajusta a una viscosidad medida para predecir la conductividad térmica y el número de Prandtl
- Para un gas diluido de electrones con dispersión elástica por impurezas, calcula en la aproximación de tiempo de relajación y analiza cualitativamente la regla de Matthiessen
- Deduce el término de colisión de Uehling–Uhlenbeck para partículas indistinguibles y muestra cómo se reduce a Boltzmann clásico cuando
En resumen: la ecuación de Boltzmann es el puente entre colisiones microscópicas y flujos macroscópicos. Con caos molecular y dispersión de corto alcance, conduce hacia una maxwelliana local, cuyos gradientes lentos originan hidrodinámica con calculables a partir de secciones eficaces. Haz demasiado grande el camino libre medio, demasiado alta la densidad o demasiado largas las interacciones, y la ecuación cambia de aspecto, pero la idea central sobrevive: la dinámica de distribuciones, no solo de partículas, gobierna la física fuera del equilibrio