1. Die Welt vor Newton — Von Aristoteles bis Galilei

Vor Newton war Bewegung keine Frage der Mathematik, sondern der Metaphysik. Fast zwei Jahrtausende lang hatte die Physik des Aristoteles Europa beherrscht:

• Das aristotelische Weltbild: Gegenstände hatten einen natürlichen Ort. Ein Stein fiel, weil er zur Erde strebte; Feuer stieg auf, weil es zum Himmel strebte. Bewegung erforderte einen fortwährenden Beweger. Hörte man auf zu schieben, endete die Bewegung.

Dieses Modell entsprach der Alltagserfahrung, hielt einer genaueren Prüfung jedoch nicht stand.

Das aristotelische Dilemma

• Warum fliegt ein Pfeil weiter, nachdem er die Bogensehne verlassen hat?
• Warum fallen die Planeten nicht auf die Erde?

Mittelalterliche Gelehrte antworteten mit der „Impetustheorie“: Eine übertragene Kraft wirke eine Zeit lang weiter, bevor sie sich erschöpfe. Das war ein Schritt zur Trägheit, verknüpfte Bewegung aber weiterhin mit metaphysischen „Qualitäten“.

Galilei tritt auf (1564–1642)

Galileo Galilei erschütterte die aristotelische Lehre durch Experimente:

1. Das Experiment mit der schiefen Ebene
   Galilei ließ Kugeln schiefe Ebenen hinabrollen, um die Wirkung der Schwerkraft zu verlangsamen.
   Er entdeckte die gleichmäßig beschleunigte Bewegung; beim freien Fall aus der Ruhe beträgt die Verschiebung:

   $$s=\frac{1}{2}g{t}^2$$

   Dabei ist $s$ die Verschiebung, $t$ die Zeit und $g$ die Fallbeschleunigung.

   → An einem gegebenen Ort bestimmt dieselbe Fallbeschleunigung $g$ den freien Fall, unabhängig von der Masse des fallenden Körpers.

   Aufgabe 1.1: Lassen Sie einen Hammer und eine Feder im Vakuum fallen. Was trifft zuerst auf?

   Antwort: Beide treffen gleichzeitig auf, da die Beschleunigung $g$ unabhängig von der Masse ist.

2. Das Trägheitsgesetz (in früher Form)
   Galilei erkannte, dass eine auf einer reibungsfreien Ebene rollende Kugel nicht von selbst zum Stillstand kommen würde.
   Ohne einwirkende Kraft bliebe ihre Geschwindigkeit konstant.

   $$\frac{d\mathbf{v}}{dt}=0\text{falls }\mathbf{F}=0$$

   Dies war der Keim von Newtons erstem Gesetz.

   Aufgabe 1.2: Ein Puck gleitet über glattes Eis und wird nur allmählich langsamer. Welche Kraft bremst ihn?
   Antwort: Reibung mit dem Eis und Luftwiderstand. Auf einer idealen reibungsfreien Fläche würde er niemals anhalten.

Kepler und das Rätsel des Himmels

Johannes Kepler (1571–1630) lieferte ein weiteres Puzzlestück. Aus den Daten von Tycho Brahe (1546–1601) gewann er drei Gesetze der Planetenbewegung:

1. Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
2. Sie überstreichen in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
3. Das Quadrat der Umlaufzeit ist proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse ($T^2\propto a^3$).

Doch Kepler fehlte die Ursache. Warum Ellipsen? Warum $T^2\propto a^3$? Er beschrieb den Himmel auf elegante Weise, hatte aber keinen Mechanismus.

Descartes und der Traum einer mechanischen Welt

René Descartes (1596–1650) stellte sich das Universum als Uhrwerk vor, erfüllt von Wirbeln feiner Materie, die die Planeten vorantrieben. Das war poetisch, aber nicht überprüfbar. Dennoch blieb der Traum einer mechanischen Erklärung des Kosmos bestehen.

Eine Welt wartet auf Newton

So sah die Lage Mitte des 17. Jahrhunderts aus:

• Galilei lieferte Gesetze für Bewegungen auf der Erde.
• Kepler lieferte Planetengesetze.
• Descartes lieferte eine mechanistische Philosophie.

Doch niemand führte sie zusammen.
In diese Lücke hinein wurde 1642, im Todesjahr Galileis, Isaac Newton geboren.

2. Die Entstehung der Gesetze

Newton erfand die Physik nicht, doch er verband sie zu einem System. Er nahm Galileis Trägheit, Keplers Harmonien und Descartes’ Mechanik auf. 1687 veröffentlichte er die Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica — die Principia.

Darin stellte er drei Bewegungsgesetze und das universelle Gravitationsgesetz auf.

Erstmals unterlagen irdische und himmlische Bewegungen denselben Prinzipien. Äpfel und Monde folgten demselben Gesetz.

Auf dieser Vereinigung bauen wir noch heute auf.

3. Das erste Gesetz – Trägheit und Isolation

Newtons erstes Bewegungsgesetz vertiefte Galileis Idee der Trägheit:

„Jeder Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, diesen Zustand zu ändern.“

Mathematische Formulierung

Wirkt auf einen Körper keine resultierende Kraft, gilt:

$$\frac{d\mathbf{v}}{dt}=0\Rightarrow \mathbf{v}=\text{konstant}$$

Gleichwertig in Ortskoordinaten:

$$\mathbf{r}(t)={\mathbf{r}}_0+{\mathbf{v}}_{0}t$$

Ein Inertialsystem ist somit ein Bezugssystem, in dem Newtons Gesetze gelten und Körper ohne Krafteinwirkung ihre Geschwindigkeit beibehalten.

Nachweis mit Galileis schiefer Ebene

Betrachten wir eine Kugel, die eine Schräge hinab-, über eine ebene Fläche und eine zweite Schräge hinaufrollt:

• Bei Reibung erreicht sie eine geringere Höhe.
• Bei geringerer Reibung steigt sie höher.
• Im Grenzfall ohne Reibung würde sie dieselbe Höhe erreichen — oder auf einer vollkommen ebenen Fläche unbegrenzt weiterrollen.

Dieses Experiment zeigt, dass gleichförmige Bewegung keine fortwährende Ursache benötigt.

Beispielaufgabe 3.1 – Gleiten auf Eis

Aufgabe: Ein Hockeypuck wird mit der Geschwindigkeit $v_0$ über reibungsfreies Eis geschossen. Welche Strecke legt er in 10 s zurück?
Lösung: Da $a=0$, ist die Geschwindigkeit konstant:
$x=v_{0}t$
Für $v_0=5\text{m/s}$ hat er nach $t=10\text{s}$ eine Strecke von $50\text{m}$ zurückgelegt.

4. Das zweite Gesetz – Kraft und Genialität

Newtons zweites Gesetz liefert die kausale Verknüpfung:

„Die Änderung der Bewegung ist der einwirkenden bewegenden Kraft proportional und erfolgt in Richtung der geraden Linie, entlang derer diese Kraft wirkt.“

Mathematisch:

$$\mathbf{F}=m\mathbf{a}=m\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}$$ $$\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}$$

Diese eine Beziehung macht das Universum berechenbar.

Herleitung aus der Lagrangefunktion

Wir wählen die Lagrangefunktion $L=T-V=\frac{1}{2}m{\dot{\mathbf{r}}}^2-V(\mathbf{r})$.

Die Lagrangefunktion ist als Differenz der kinetischen Energie $T$ und der potenziellen Energie $V$ definiert.

Die Euler-Lagrange-Gleichung

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}}=0$$

ergibt

$$m\ddot{\mathbf{r}}+\nabla V=0\Rightarrow m\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}$$

Damit folgt Newtons $F=ma$ auf natürliche Weise aus Variationsprinzipien.

Symmetrie unter Zeitverschiebungen → Energieerhaltung

Hängt $L$ nicht explizit von der Zeit ab, so ist die Energie $E$, definiert durch

$$E=\dot{\mathbf{r}}\cdot \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}-L$$

erhalten.

Für ein Teilchen gilt:

$$E=\frac{1}{2}m{v}^2+V(\mathbf{r})=\text{konstant}$$

Somit gilt Zeitsymmetrie = Energieerhaltung.

Beweis

Aus der Definition

$$E={\dot{q}}_i\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}-L,$$

folgt für die Zeitableitung

$$\frac{dE}{dt}={\ddot{q}}_i\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}+{\dot{q}}_i\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)-\frac{dL}{dt}.$$

Mit der Euler-Lagrange-Gleichung

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)=\frac{\partial L}{\partial q_i},$$

erhalten wir

$$\frac{dE}{dt}=-\frac{\partial L}{\partial t}.$$

Wenn $L$ also nicht explizit von der Zeit abhängt, gilt

$$\frac{\partial L}{\partial t}=0\Rightarrow \frac{dE}{dt}=0,$$

und $E$ ist erhalten.

Dies ist ein unmittelbares Beispiel für das Noether-Theorem:
Symmetrie unter Zeitverschiebungen entspricht der Erhaltung der Energie.

Beispielaufgabe 4.1 – Klotz auf einer schiefen Ebene

Aufgabe: Ein Klotz der Masse $m$ gleitet eine reibungsfreie, um den Winkel $\theta$ geneigte Ebene hinab. Bestimmen Sie seine Beschleunigung $a$.

Lösung:
Kraft entlang der Schräge: $F=mg\sin \theta$
Newtons zweites Gesetz: $F=ma$
Also ist $a=g\sin \theta$.

Für $\theta =30^{\circ }$ ist $a=4.9{\text{m/s}}^2$.

Beispielaufgabe 4.2 – Mathematisches Pendel (kleine Winkel)

Wir betrachten ein mathematisches Pendel aus einer Punktmasse $m$, die an einem starren, masselosen Stab (oder Faden) der Länge $\ell$ befestigt ist. Die Aufhängung ist reibungsfrei; den Winkel zur Vertikalen bezeichnen wir mit $\theta (t)$.

Der Pendelkörper bewegt sich auf einem Kreisbogen mit Radius $\ell$. Seine Tangentialbeschleunigung ist

$$a_{\text{tan}}=\ell \ddot{\theta },$$

und der Betrag seiner radialen (zentripetalen) Beschleunigung ist

$$a_{\text{rad}}=\ell {\dot{\theta }}^2.$$

Auf den Pendelkörper wirken zwei Kräfte:

• Die Zugkraft $T$ entlang des Stabes.
• Die Gewichtskraft $mg$ senkrecht nach unten.

Die tangentiale Komponente der Gewichtskraft lautet

$$F_{\text{tan}}=-mg\sin \theta ,$$

wobei das Minuszeichen ausdrückt, dass die Schwerkraft das Pendel in Richtung $\theta =0$ zurücktreibt.

Wenden wir Newtons zweites Gesetz in Tangentialrichtung an,

$$m{a}_{\text{tan}}=\sum F_{\text{tan}},$$

so erhalten wir

$$m(\ell \ddot{\theta })=-mg\sin \theta .$$

Nach Vereinfachung folgt

$$\ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\sin \theta =0.$$

Dies ist die exakte nichtlineare Bewegungsgleichung eines mathematischen Pendels.

Für kleine Winkelauslenkungen $|\theta |\ll 1$ (im Bogenmaß) können wir verwenden:

$$\sin \theta \approx \theta .$$

Damit wird die Gleichung zu

$$\boxed{\ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\theta =0}.$$

Dies ist die bekannte Gleichung des harmonischen Oszillators, mit der Kreisfrequenz

$${\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{\ell }},T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}.$$

• Drehmomentmethode:
  Bezüglich der Aufhängung beträgt das Drehmoment der Gewichtskraft

  $$\tau =-mg\ell \sin \theta ,$$

  und mit dem Trägheitsmoment $I=m{\ell }^2$ gilt

  $$I\ddot{\theta }=\tau \Rightarrow \ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\sin \theta =0.$$

• Lagrange-Methode:

  $$T=\frac{1}{2}m{\ell }^2{\dot{\theta }}^2,V=mg\ell (1-\cos \theta ),$$ $$L=T-V.$$

  Die Euler-Lagrange-Gleichung liefert dasselbe Ergebnis.

Wegen

$$\sin \theta =\theta -\frac{{\theta }^3}{6}+\cdots ,$$

beträgt der relative Fehler $\sim {\theta }^2/6$:

• Bei $\theta =10^{\circ }\approx 0.17$ rad → Fehler $\approx 0.5\%$.
• Bei $\theta =20^{\circ }\approx 0.35$ rad → Fehler $\approx 2\%$.

Damit ist die Kleinwinkelnäherung für mäßige Auslenkungen genau.

Bewegungsgleichung:

$$\ddot{\theta }+\frac{g}{l}\theta =0$$

Lösung:

$$\theta (t)={\theta }_0\cos \left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)$$

Periodendauer:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

5. Das dritte Gesetz – Symmetrie und Widerstreit

Newtons drittes Gesetz führt die Gegenseitigkeit ein:

„Jeder Wirkung steht stets eine gleich große Gegenwirkung entgegen.“

Mathematisch:

$${\mathbf{F}}_{12}=-{\mathbf{F}}_{21}$$

Beweis → Impulserhaltung

Für ein System aus zwei Teilchen gilt:

$$m_1{\ddot{\mathbf{r}}}_1={\mathbf{F}}_{12},m_2{\ddot{\mathbf{r}}}_2={\mathbf{F}}_{21}$$

Durch Addition:

$$m_1{\ddot{\mathbf{r}}}_1+m_2{\ddot{\mathbf{r}}}_2={\mathbf{F}}_{12}+{\mathbf{F}}_{21}=0$$

Also:

$$\frac{d}{dt}(m_1{\dot{\mathbf{r}}}_1+m_2{\dot{\mathbf{r}}}_2)=0$$

Damit ist der Gesamtimpuls $\mathbf{P}$ = $(m_1{\mathbf{v}}_1+m_2{\mathbf{v}}_2)$ erhalten.
Dies ist der mathematische Kern von Stößen und Rückstoß.

Symmetrie unter räumlichen Verschiebungen → Impulserhaltung

Ist die Lagrangefunktion unter $\mathbf{r}\to \mathbf{r}+ϵ$ invariant, so ist

$$\mathbf{P}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}=m\mathbf{v}$$

erhalten.

Beispielaufgabe 5.1 – Elastischer Stoß

Aufgabe: Zwei Massen $m_1,m_2$ stoßen in einer Dimension elastisch zusammen. Ihre Anfangsgeschwindigkeiten sind $v_1,v_2$. Bestimmen Sie $v_1^{\prime },v_2^{\prime }$.

Lösung:
Impuls:

$$m_1{v}_1+m_2{v}_2=m_1{v}_1^{\prime }+m_2{v}_2^{\prime }$$

Energie:

$$\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2=\frac{1}{2}{m}_1(v_1^{\prime }{)}^2+\frac{1}{2}{m}_2(v_2^{\prime }{)}^2$$

Auflösen ergibt:

$$v_1^{\prime }=\frac{(m_1-m_2)v_1+2m_2{v}_2}{m_1+m_2},v_2^{\prime }=\frac{(m_2-m_1)v_2+2m_1{v}_1}{m_1+m_2}$$

Beispielaufgabe 5.2 – Die Raketengleichung (Ziolkowski)

Betrachten wir eine Rakete mit der momentanen Masse $M(t)$ und der Geschwindigkeit $v(t)$ im freien Raum (ohne äußere Kräfte).
Während eines kleinen Zeitintervalls $dt$ stößt die Rakete die Masse $|dM|$ mit der Ausströmgeschwindigkeit $u$ relativ zur Rakete nach hinten aus.

1 Impulserhaltung

Die Impulsänderung der Rakete ist

$$d{P}_{\text{rocket}}=Mdv+vdM.$$

Der ausgestoßene Treibstoff hat im Inertialsystem die Geschwindigkeit $(v-u)$; sein Impuls ist daher

$$d{P}_{\text{exhaust}}=-(dM)(v-u).$$

Hier gilt $dM<0$, da die Rakete Masse verliert.
Die Erhaltung des Gesamtimpulses ergibt

$$Mdv+vdM-(dM)(v-u)=0,$$

und vereinfacht sich zu

$$Mdv=-udM.$$

2 Differentialform

Division durch $dt$ ergibt

$$M\frac{dv}{dt}=-u\frac{dM}{dt}.$$

3 Integration

Umgeschrieben lautet dies

$$dv=-u\frac{dM}{M}.$$

Integration von $(M_0,v_0)$ bis $(M,v)$ ergibt

$${\int }_{v_0}^{v}d{v}^{\prime }=-u{\int }_{M_0}^M\frac{d{M}^{\prime }}{M^{\prime }},$$

und damit

$$v-v_0=u\ln \left(\frac{M_0}{M}\right).$$

Die allgemeine Raketengleichung lautet somit

$$\boxed{v(t)=v_0+u\ln \left(\frac{M_0}{M(t)}\right)}.$$

4 Hinweise zur Interpretation

• Die vereinfachte Form

  $$v=u\ln \left(\frac{M_0}{M}\right)$$

  setzt $v_0=0$ voraus (die Rakete startet aus der Ruhe).

• $u$ ist die Ausströmgeschwindigkeit relativ zur Rakete. Manche Darstellungen definieren $u$ mit negativem Vorzeichen (Richtung nach hinten), wodurch sich Vorzeichen in der Formel ändern können.

• Diese Herleitung setzt voraus, dass keine äußeren Kräfte wirken (weder Schwerkraft noch Luftwiderstand). Ihre Berücksichtigung verändert die Gleichung erheblich.

5 Physikalische Bedeutung

Die Gleichung zeigt, dass die Raketengeschwindigkeit logarithmisch mit dem Verhältnis von Anfangs- zu Endmasse wächst:

$$\frac{M_0}{M}=\text{Massenverha¨ltnis}.$$

Eine höhere Ausströmgeschwindigkeit $u$ oder ein größeres Massenverhältnis führt zu einer höheren Endgeschwindigkeit.

Die Raketengleichung folgt aus der Impulserhaltung.
Für eine Rakete der Masse $M$, die die Abgasmasse $dm$ mit der Geschwindigkeit $u$ ausstößt, gilt:

$$M\frac{dv}{dt}=-u\frac{dM}{dt}$$

Integration ergibt:

$$v=u\ln \left(\frac{M_0}{M}\right)$$

Dies ist die Ziolkowski-Raketengleichung.

6. Warum diese Gesetze bis heute wichtig sind

Newtons drei Gesetze bilden die Grundlage jedes Mechanikkurses, jeder ingenieurtechnischen Berechnung und jeder von Raumfahrtagenturen geplanten Umlaufbahn.
Sie enthalten aber auch tiefgreifende Symmetrien:

• Symmetrie unter räumlichen Verschiebungen → Impulserhaltung
• Rotationssymmetrie → Drehimpulserhaltung
• Symmetrie unter Zeitverschiebungen → Energieerhaltung

Nun sehen wir, wie diese direkt aus Newtons Rahmenwerk folgen.

7. Eine Frage aus dem Himmel

In den 1670er-Jahren fragte sich Newton: Was hält den Mond auf seiner Bahn?
Kepler hatte die empirischen Gesetze geliefert, aber nicht die Ursache. Newton erkannte, dass dieselbe Kraft, die an einem Apfel zieht, auch den Mond lenkt.

Fällt der Mond im Abstand $r\approx 60R_{\oplus }$ mit der Beschleunigung $a=g/60^2$ zur Erde, dann wirkt dasselbe Abstandsgesetz mit inverser quadratischer Abhängigkeit wie nahe der Erdoberfläche.

Beispielaufgabe 7.1 – Die Beschleunigung des Mondes

Aufgabe: Für die Erde gelten $g=9.8{\text{m/s}}^2$ und der Radius $R_{\oplus }=6.4\times 10^6\text{m}$. Wie groß ist die Zentripetalbeschleunigung des Mondes bei $r=60R_{\oplus }$?

Lösung:

$$a=\frac{g}{60^2}\approx \frac{9.8}{3600}\approx 0.0027{\text{m/s}}^2$$

Dies stimmt mit der beobachteten Zentripetalbeschleunigung des Mondes überein. Newton erkannte den Zusammenhang: Äpfel und Monde gehorchen demselben Gesetz.

8. Das universelle Gravitationsgesetz

Newton schlug vor:

$$\mathbf{F}=-\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}\hat{r}$$

Jede Masse zieht jede andere an. Es handelt sich um eine Zentralkraft, die stets entlang der Verbindungslinie der Körper wirkt.

Beweis des Schalentheorems

Newton bewies:

• Eine homogene Kugelschale zieht ein äußeres Teilchen so an, als wäre ihre gesamte Masse im Mittelpunkt konzentriert.
• Im Inneren der Schale ist die resultierende Kraft null.

Der Beweis erfordert Infinitesimalrechnung und Geometrie, doch das Ergebnis ist weitreichend: Für die Bahnbewegung lassen sich Planeten als Punktmassen behandeln.

Beispielaufgabe 8.1 – Gewicht auf dem Mount Everest

Aufgabe: Der Erdradius beträgt $R=6.4\times 10^6\text{m}$, die Höhe des Everest $h=8.8\times 10^3\text{m}$. Um wie viel ist die Schwerkraft am Gipfel geringer?

Lösung:

$$g^{\prime }=g{\left(\frac{R}{R+h}\right)}^2$$ $$\frac{g^{\prime }}{g}\approx {\left(\frac{6.4\times 10^6}{6.4\times 10^6+8.8\times 10^3}\right)}^2\approx 0.997256$$

In dieser Näherung einer kugelförmigen Erde ist die Schwerkraft am Gipfel etwa $0.274\%$ schwächer.

9. Zentralkräfte und Bahnbewegung

Für Zentralkräfte gilt:

$$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}$$

Drehmoment:

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{r}\times \mathbf{F}$$

Ist aber $\mathbf{F}\parallel \mathbf{r}$, dann gilt $\mathbf{r}\times \mathbf{F}=0$, also:

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=0\Rightarrow \mathbf{L}=\text{const.}$$

Somit gilt Rotationssymmetrie → Drehimpulserhaltung.

Beispielaufgabe 9.1 – Das Erde-Sonne-System

Aufgabe: Wenn die Erde doppelt so weit von der Sonne entfernt ist, wie muss sich ihre Geschwindigkeit ändern, damit der Drehimpuls erhalten bleibt?

Lösung:
$L=mvr$ ist konstant, wobei $v$ die tangentiale Geschwindigkeitskomponente ist. Für $r\to 2r$ gilt dann $v\to v/2$.

10. Das Keplerproblem neu betrachtet

Bei einer Kraft mit inverser quadratischer Abstandsabhängigkeit lautet die Bahngleichung:

$$r(\theta )=\frac{p}{1+e\cos \theta }$$

Dabei ist $e$ die Exzentrizität.

• $0\le e<1$: Ellipse
• $e=1$: Parabel
• $e>1$: Hyperbel

Beweis des zweiten Keplerschen Gesetzes

Aus der Drehimpulserhaltung folgt:

$$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }=\frac{L}{2m}=\text{konstant}$$

Daher werden in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstrichen.

Beispielaufgabe 10.1 – Umlaufzeit eines Satelliten

Aufgabe: Ein Satellit umkreist die Erde in der Höhe $h=R_{\oplus }$. Bestimmen Sie seine Umlaufzeit.

Lösung:
Bahnradius $a=2R_{\oplus }=1.28\times 10^7\text{m}$.

Drittes Keplersches Gesetz:

$$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3$$

Mit $GM=3.986\times 10^{14}$ gilt

$$T\approx 1.44\times 10^4\text{s}\approx 4.00\text{Stunden}$$

11. Keplers drei Gesetze aus Newtons Sicht

Newton leitete Keplers empirische Regeln her:

1. Elliptische Bahnen: aus dem inversen quadratischen Kraftgesetz.
2. Gleiche Flächen in gleichen Zeiten: aus der Drehimpulserhaltung.
3. Harmonisches Gesetz:

$$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3$$

Beispielaufgabe 11.1 – Kometenbahn

Aufgabe: Ein Komet nähert sich der Sonne auf einer parabolischen Bahn ($e=1$). Wie groß ist seine Geschwindigkeit im Perihel bei einem Abstand $r_p$?

Lösung:
Für eine parabolische Bahn ist die spezifische Energie $E=0$:

$$\frac{1}{2}{v}^2-\frac{GM}{r_p}=0\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2GM}{r_p}}$$

Kometen auf parabolischen Bahnen bewegen sich im Perihel also mit Fluchtgeschwindigkeit.

12. Die Begegnung mit Halley

1684 besuchte Edmond Halley Cambridge. Astronomen rätselten: Wenn die Gravitation einem inversen quadratischen Gesetz folgt, welche Form haben dann die Planetenbahnen?
Halley fragte Newton. Newton antwortete: „Es wäre eine Ellipse.“

Aus dieser beiläufigen Bemerkung entstanden die von Halley finanzierten Principia. Ohne sein Drängen wäre die Vereinigung der irdischen und himmlischen Mechanik vielleicht unveröffentlicht geblieben.

Beispielaufgabe 12.1 – Umlaufzeit des Halleyschen Kometen

Aufgabe: Der Halleysche Komet hat eine große Halbachse von $a=17.8\text{AU}$. Bestimmen Sie seine Umlaufzeit.

Lösung:
Drittes Keplersches Gesetz (in AE und Jahren): $T^2=a^3$
Also ist $T=\sqrt{(17.8{)}^3}\approx 75.1\text{Jahre}$
Dies liegt nahe der beobachteten Umlaufzeit von etwa 76 Jahren; durch planetare Störungen schwankt der Abstand zwischen den Wiederkehren.

13. Das Universum als Uhrwerk

Newtons Mechanik offenbarte einen maschinenartigen Kosmos: Gezeiten, Finsternisse und Kometen wurden vorhersagbar. Die Aufklärung übernahm dieses deterministische Weltbild.

Dahinter lagen jedoch tiefgreifende Erhaltungssätze — die Funktionsregeln des Universums.

Beispielaufgabe 13.1 – Gezeiten

Aufgabe: Warum treten an vielen Küsten pro Mondtag zwei Hochwasser auf?
Antwort: Im vereinfachten Gleichgewichtsmodell erzeugt die räumlich unterschiedliche Anziehung des Mondes zwei Flutberge auf der mondzugewandten und der mondabgewandten Seite der Erde. Die Erde dreht sich in einem Mondtag von etwa 24 Stunden 50 Minuten durch dieses Muster. Tatsächliche Küsten können halbtägige, eintägige oder gemischte Gezeiten haben, weil Ozeanbecken, Küstenform und weitere Einflüsse die Reaktion verändern.

14. Das Erbe der Gravitation

Newtons Gravitation leitete Schiffe, Kalender und später Raumfahrzeuge.
Selbst Einsteins Relativitätstheorie geht auf menschlichen Größenskalen in Newtons Gesetz über.

Beispielaufgabe 14.1 – Fluchtgeschwindigkeit

Aufgabe: Bestimmen Sie die Fluchtgeschwindigkeit von der Erdoberfläche.

Lösung:
Energieerhaltung:

$$\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{R}=0$$ $$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}\approx 11.2\text{km/s}$$

15. Mechanik starrer Körper

Die Newtonsche Mechanik lässt sich von Teilchen auf ausgedehnte Körper erweitern.

15.1 Rotation um eine feste Achse

Trägheitsmoment:

$$I=\sum _i{m}_i{r}_i^2$$

Kinetische Energie:

$$T=\frac{1}{2}I{\omega }^2$$

Drehimpuls:

$$L=I\omega$$

Beispielaufgabe 15.1 – Homogener Stab

Aufgabe: Ein homogener Stab der Länge $L$ rotiert um eine durch seinen Mittelpunkt verlaufende, zum Stab senkrechte Achse. Bestimmen Sie $I$.

Lösung:

$$I={\int }_{-L/2}^{L/2}{x}^2\frac{M}{L}dx=\frac{M{L}^2}{12}$$

15.2 Die Eulerschen Gleichungen

Für die allgemeine Rotation eines starren Körpers gilt in körperfesten Komponenten, wobei $I$ der Trägheitstensor ist und die Zeitableitung in diesem Bezugssystem genommen wird:

$$\frac{d}{dt}(I\omega )+\omega \times (I\omega )=\tau$$

Diese Gleichungen beschreiben Kreisel, Gyroskope und Raumfahrzeuge.

Beispielaufgabe 15.2 – Die Pirouette einer Eiskunstläuferin

Aufgabe: Eine Eiskunstläuferin zieht die Arme an und halbiert damit $I$. Was geschieht mit $\omega$?

Lösung:
Der Drehimpuls bleibt erhalten: $I\omega =\text{const.}$
Für $I\to I/2$ gilt $\omega \to 2\omega$.
Sie dreht sich doppelt so schnell.

16. Nichtinertiale Bezugssysteme

Newtons Gesetze gelten in Inertialsystemen. Auf der rotierenden Erde müssen wir jedoch Scheinkräfte hinzufügen.

16.1 Coriolis- und Zentrifugalkraft

In einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\vec{\Omega }$ rotierenden Bezugssystem, dessen Ursprung keine Translationsbeschleunigung hat, gilt:

$${\mathbf{a}}^{\prime }=\mathbf{a}-2\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }-\mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r})$$

• $-2\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }$ = Coriolisbeschleunigung
• $-\mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r})$ = Zentrifugalbeschleunigung

Beispielaufgabe 16.1 – Ablenkung eines fallenden Körpers

Aufgabe: Ein Körper fällt aus der Höhe $h$ am Breitengrad $\varphi$. Wie weit wird er durch die Corioliskraft nach Osten abgelenkt?

Lösung (Näherung):
Fallzeit $t=\sqrt{2h/g}$.
Beschleunigung nach Osten $\approx 2\Omega \cos \varphi \cdot v_z$, wobei $v_z$ nach unten positiv gezählt wird.
Verschiebung:

$$x\approx \frac{1}{3}\Omega \cos \varphi g{t}^3$$

Für $h=100\text{m},\varphi =45^{\circ }$ gilt $x\approx 2\text{cm}$.

Beispielaufgabe 16.2 – Zyklonen

Aufgabe: Warum drehen sich Zyklonen auf der Nordhalbkugel gegen den Uhrzeigersinn?

Antwort: Die Corioliskraft lenkt bewegte Luft nach rechts bezüglich ihrer Bewegungsrichtung ab. In Tiefdruckgebieten krümmt sich die einströmende Luft auf der Nordhalbkugel gegen den Uhrzeigersinn, auf der Südhalbkugel im Uhrzeigersinn.

17. Der Mensch Newton

Newton als Wissenschaftler war brillant, Newton als Mensch jedoch vielschichtig. Er widmete Jahrzehnte nicht nur der Physik, sondern auch der Alchemie, Theologie und politischen Auseinandersetzungen.
Als Leiter der königlichen Münzprägeanstalt reformierte er das englische Münzwesen und verfolgte Falschmünzer mit kriminalistischer Genauigkeit. Als Präsident der Royal Society förderte er die englische Wissenschaft — und drängte bisweilen Rivalen beiseite.

Doch seine Mechanik überdauerte persönliche Schwächen: ein zeitloses und universelles Rahmenwerk.

Beispielaufgabe 17.1 – Die Goldmünze der Münzanstalt

Aufgabe: Eine falsche Münze wiegt 1 % weniger als eine echte. Wie würde Newton dies mit einer Waage feststellen?

Lösung: Statisches Drehgleichgewicht erfordert ein verschwindendes Gesamtdrehmoment; die beiden Drehmomente der Gewichtskräfte gleichen sich daher aus.
Ein Massenunterschied von 1 % führt beim Vergleich mit einem Referenzstandard zu einem messbaren Ungleichgewicht. Newtons Besessenheit von Genauigkeit sorgte dafür, dass kein Falschmünzer lange entkam.

18. Erbe und Übergang

Als Newton 1727 starb, war seine Mechanik zur geistigen Grundlage der Aufklärung geworden.
200 Jahre lang stützten sich Ingenieure und Astronomen allein auf Newton.

Doch es zeigten sich Risse:

• Die Periheldrehung des Merkur widersprach Newtons Vorhersagen.
• Licht, das Newton als Teilchen auffasste, zeigte Wellenerscheinungen.
• Atome und Elektronen verlangten nach Quantenregeln.

Beispielaufgabe 18.1 – Die Merkurbahn

Aufgabe: Das Perihel des Merkur dreht sich pro Jahrhundert um zusätzliche $43^{\prime \prime }$ gegenüber der Vorhersage der Newtonschen Gravitation. Warum?

Antwort: Die allgemeine Relativitätstheorie erklärt die Korrektur: Die Raumzeitkrümmung verändert Newtons Gesetz bei hoher Messgenauigkeit.

Beispielaufgabe 18.2 – Wenn Newton versagt

• Bei nahezu lichtschnellen Bewegungen → Die spezielle Relativitätstheorie ersetzt $F=ma$ durch $F=dp/dt$ mit $p=\gamma mv$.
• Auf atomaren Skalen → Die Quantenmechanik ersetzt Bahnen durch Wellenfunktionen.

Dennoch bleibt Newton die erste Näherung:

• Für $v\ll c$ und auf großen Skalen ist Newton weiterhin genau genug, um Raketen zum Mars zu lenken.

19. Warum wir weiterhin Newtonsche Mechanik lernen

Trotz Relativitätstheorie und Quantenphysik wird Newton noch immer zuerst gelehrt, denn:

• Die Theorie ist auf menschlichen Skalen genau.
• Sie liefert die Grammatik der Physik: Worte → Gleichungen → Vorhersagen.
• Sie offenbart die Verbindung zwischen Symmetrie und Erhaltungssätzen.

Rückblick auf Symmetrien und Erhaltungssätze

• Invarianz unter räumlichen Verschiebungen → Impulserhaltung
  $\mathbf{P}=\sum m_i{\mathbf{v}}_i=\text{const.}$

• Rotationsinvarianz → Drehimpulserhaltung
  $\mathbf{L}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}=\text{const.}$

• Invarianz unter Zeitverschiebungen → Energieerhaltung
  $E=T+V=\text{const.}$

Dies sind die Keime des Noether-Theorems, das sich im 20. Jahrhundert vollständig entfaltete.

Beispielaufgabe 19.1 – Bungeesprung

Aufgabe: Eine Person mit 70 kg springt an einem Seil, das als Feder mit $k=50\text{N/m}$ und ungedehnter Länge $L=30\text{m}$ modelliert wird. Bestimmen Sie die maximale Dehnung.

Lösung:
Energieerhaltung:

$$mg(L+x)=\frac{1}{2}k{x}^2$$

Lösung der quadratischen Gleichung mit $g=9.8{\text{m/s}}^2$: $x\approx 45.5\text{m}$.
Die maximale Fallstrecke beträgt daher $L+x\approx 75.5\text{m}$.

20. Zusammenfassung

• Drei Bewegungsgesetze: Trägheit, Kraft, Gegenwirkung.
• Universelle Gravitation: verbindet Erde und Himmel.
• Erhaltungssätze: Impuls, Drehimpuls und Energie folgen aus Symmetrien.
• Starre Körper und nichtinertiale Bezugssysteme: erweitern die Gesetze auf die Vielfalt realer Situationen.
• Der Mensch Newton: brillant, fehlerhaft und doch grundlegend.

Newtons Sicht war nicht die endgültige Wahrheit, sondern die erste mathematische Karte des Universums.
Jeder Mensch, der Mechanik lernt, tritt in diese Tradition ein.

Epilog

Vom Apfelgarten in Woolsthorpe bis zu Raumsonden, die das Sonnensystem verlassen: Newtons Gleichungen bestehen fort.

• Ingenieure verwenden weiterhin $F=ma$.
• Astronomen berechnen weiterhin Bahnen mit $T^2\propto a^3$.
• Architekten berechnen Lasten weiterhin mit Newtonscher Statik.

Selbst wenn Einstein oder Schrödinger über Newton hinausgehen, wird er niemals verworfen.

Er schrieb einst:

„Ich weiß nicht, wie ich der Welt erscheinen mag; mir selbst scheine ich nur wie ein Junge gewesen zu sein, der am Meeresufer spielt und hin und wieder einen glatteren Kiesel oder eine schönere Muschel als gewöhnlich findet, während der große Ozean der Wahrheit noch völlig unentdeckt vor mir lag.“

Vier Jahrhunderte später erkunden wir diesen Ozean noch immer mit dem Kompass, den Newton uns gegeben hat.