Relativitätstheorie

5.1 Galileische Relativität und das Ende des Äthers

Die spezielle Relativitätstheorie fiel nicht vom Himmel. Sie entstand aus dem Erfolg und dem anschließenden Scheitern eines älteren Rahmens: der galileischen Relativität. Wir entwickeln diesen Rahmen, konfrontieren ihn mit dem Elektromagnetismus, verfolgen seine Bruchstellen und erkennen, weshalb der Äther weichen musste.

5.1.1 Galileis Schiff: das ursprüngliche Relativitätsprinzip

Galilei ließ uns ein Schiff vorstellen, das gleichmäßig über ruhige See gleitet. Unter Deck summen Fliegen, Tropfen fallen, und ein hochgeworfener Schlüssel landet in Ihrer Hand, als ruhte das Schiff. Daraus gewann er ein Prinzip:

Galileische Relativität: Die Gesetze der Mechanik haben in allen Inertialsystemen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit gegeneinander bewegen, dieselbe Form.

5.1.2 Mathematik der Galilei-Transformationen

Zwei Inertialsysteme S und S' mögen sich mit der konstanten Relativgeschwindigkeit v entlang der x-Achse bewegen. Die Transformation lautet

$$\begin{array}{rl}{t}^{\prime }& =t,\\ x^{\prime }& =x-vt,\\ y^{\prime }& =y,\\ z^{\prime }& =z\end{array}$$

Geschwindigkeiten transformieren sich gemäß

$$\begin{array}{rl}{u}_x^{\prime }& =u_x-v,\\ u_y^{\prime }& =u_y,\\ u_z^{\prime }& =u_z\end{array}$$

Beschleunigungen sind invariant:

$${\mathbf{a}}^{\prime }=\mathbf{a}$$

Eine bekannte Folgerung ist die Geschwindigkeitsaddition:

$$u_x=u_x^{\prime }+v$$

Da die Beschleunigung in allen Inertialsystemen gleich ist, behält Newtons zweites Gesetz $m\mathbf{a}=\mathbf{F}$ seine Form, sofern die Kräfte auf eine mit diesen Regeln verträgliche Weise von relativen Positionen und Geschwindigkeiten abhängen.

5.1.3 Wo Wellen auf Galilei treffen

Betrachten wir eine eindimensionale Wellengleichung:

$$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}=0$$

Unter einer Galilei-Transformation $x^{\prime }=x-vt,t^{\prime }=t$ mischen sich die Ableitungen, und die Gleichung in S' wird zu

$$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^{\prime 2}}-\frac{1}{c^2}{\left(\frac{\partial }{\partial t^{\prime }}-v\frac{\partial }{\partial x^{\prime }}\right)}^2\varphi =0$$

Sie hat also nicht dieselbe Form. In der galileischen Kinematik legt eine Wellengleichung implizit ein bevorzugtes Medium fest: Die Wellengeschwindigkeit wird relativ zu diesem Stoff gemessen. Bei Schall ist das Medium Luft; ein Beobachter am Boden misst näherungsweise $c_{\text{sound}}\pm v$.

Maxwells Gleichungen sagen im Vakuum elektromagnetische Wellen mit der Geschwindigkeit c voraus, führen aber kein materielles Medium ein. Würde man Maxwell in eine galileische Welt zwängen, müssten verschiedene Beobachter $c\pm v$ messen. Das bestätigten die Experimente nicht.

5.1.4 Die Ätherhypothese

Physiker des 19. Jahrhunderts schlugen ein Medium vor, das den Raum ausfüllen sollte, ohne die Planeten mitzuschleppen: den Lichtäther. Licht wäre eine transversale Schwingung dieses Äthers, ähnlich wie Schall eine Schwingung der Luft ist. Dann wäre c die Geschwindigkeit relativ zum Äther, und die gewöhnliche galileische Addition würde gelten.

Fizeau schickte 1851 Licht durch strömendes Wasser. Die gemessene Lichtgeschwindigkeit ergab sich nicht durch einfache Addition $c/n\pm v$, sondern enthielt den fresnelschen Mitführungsfaktor. Die beobachtete effektive Geschwindigkeit lässt sich kompakt schreiben als

$$v_{\text{Licht im Wasser}}\approx \frac{c}{n}+v\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$$

Man deutete dies als teilweise Mitführung des Äthers durch Materie. Der Äther überlebte: angeschlagen, mit Zusatzannahmen geflickt und nie direkt beobachtet.

5.1.5 Michelson–Morley: ein folgenreiches Nullresultat

Bewegt sich die Erde durch einen ruhenden Äther, müsste ein Ätherwind entstehen. Licht entlang oder entgegen diesem Wind hätte etwas andere Laufzeiten als Licht quer dazu. Das Michelson–Morley-Interferometer (1887) teilte einen Strahl, schickte die Teilstrahlen durch senkrechte Arme, vereinigte sie wieder und suchte beim Drehen nach Verschiebungen der Interferenzstreifen. Es zeigte sich praktisch keine Verschiebung. Wiederholungen zu anderen Jahreszeiten lieferten ebenfalls Nullresultate. Der bei Erdumlaufgeschwindigkeiten erwartete Effekt der Ordnung $v^2/c^2$ blieb aus.

Weitere Experimente folgten: Trouton–Noble suchten nach einem Drehmoment an einem bewegten geladenen Kondensator; Kennedy–Thorndike untersuchten die Frequenzstabilität mit einer anderen Geometrie. Wieder Nullresultate. Falls ein Äther existiert, entzieht er sich demnach sowohl dynamischen als auch kinematischen Nachweisen.

5.1.6 Lorentz’ Rettungsversuche: Kontraktion und Ortszeit

Vor Einstein versuchte man, den Äther durch Änderungen an der Materie statt an der Raumzeit zu retten. George FitzGerald und Hendrik Lorentz schlugen vor, dass sich Körper in Bewegungsrichtung um den Faktor

$$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

zusammenziehen. Lorentz ging weiter: Um die Gleichungen des Elektromagnetismus zu erhalten, führte er eine mathematische Hilfsgröße namens Ortszeit ein und fand schließlich die vollständige Transformation, welche die Maxwell-Gleichungen invariant lässt:

$$\begin{array}{rl}{t}^{\prime }& =\gamma \left(t-\frac{vx}{c^2}\right),\\ x^{\prime }& =\gamma (x-vt),\\ y^{\prime }& =y,\\ z^{\prime }& =z,\\ \gamma & =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\end{array}$$

Lorentz hielt weiterhin an einem realen Äther fest und deutete diese Beziehungen als dessen Verschleierung. Mathematisch hatte er die richtige Symmetrie gefunden. Begrifflich war der Äther zu einem Zuschauer ohne messbare Funktion geworden.

5.1.7 Warum galileische Relativität beim Licht scheitert

Der Konflikt lässt sich nun klar benennen. Galileische Kinematik setzt absolute Zeit und einfache Geschwindigkeitsaddition voraus. Maxwells Elektrodynamik sagt die universelle Vakuumwellengeschwindigkeit c voraus. Experimente zeigen weder $c\pm v$ noch einen Ätherwind. Wer an der galileischen Struktur festhält, muss ein Zusammenspiel von Längenkontraktion, veränderten Uhren und dynamischen Kräften annehmen, das jeden beobachtbaren Effekt für sämtliche Materialien, Orientierungen, Jahreszeiten und Apparate aufhebt. Das erscheint unplausibel. Die Alternative: c und die Nullresultate beibehalten und eine Kinematik einführen, die ein universelles c respektiert.

5.1.8 Das Scheitern im direkten Vergleich

Ein Lichtpuls bewege sich im System S entlang +x:

$$x=ct$$

Unter der Galilei-Transformation $x^{\prime }=x-vt,t^{\prime }=t$ wird dieselbe Weltlinie zu

$$x^{\prime }=(c-v)t^{\prime }$$

Die gemessene Geschwindigkeit wäre also $c-v$. Genau hier entsteht der Konflikt mit Maxwell.

Unter einer Lorentz-Transformation bleibt dieselbe Weltlinie dagegen lichtartig und erfüllt für jeden Inertialbeobachter $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$, denn Lorentz-Transformationen sind lineare Abbildungen, die den Lichtkegel unverändert lassen.

5.1.9 Was ist mit Doppler, Aberration und Fizeau?

Drei häufig verwechselte Phänomene stimmen bei sorgfältiger Analyse mit der Relativitätstheorie überein.

Die Dopplerverschiebung verändert die beobachtete Frequenz aufgrund relativer Bewegung. Ihre relativistische Formel geht bei kleinen Geschwindigkeiten in die klassische über und stimmt mit astronomischen Daten bei hohen Geschwindigkeiten überein.

Die Aberration des Sternenlichts ist die scheinbare Richtungsänderung von Sternen aufgrund der endlichen Lichtgeschwindigkeit und der Erdbewegung. Sie ist mit der Relativitätstheorie vereinbar und erfordert keinen Ätherwind im Messgerät.

Fizeaus Ergebnis mit strömendem Wasser folgt aus der relativistischen Geschwindigkeitsaddition für Licht in einem bewegten Medium mit Brechungsindex $n$. Ein Ätherstoff ist dafür unnötig.

5.1.10 Begriffliche Bestandsaufnahme: Was bleibt von Galilei?

Galileis Kerngedanke bleibt erhalten: Die Physik ist in allen Inertialsystemen dieselbe. Nur die Umsetzung ändert sich. In der galileischen Kinematik ist die Zeit absolut, und die Transformationsgruppe erhält $t$. In der relativistischen Kinematik ist das Raumzeitintervall invariant:

$$\Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2$$

Die Transformationsgruppe, die Lorentz-Gruppe, erhält diese Größe.

5.1.11 Das Ende des Äthers und sein Ersatz

Anfang des 20. Jahrhunderts war der Äther zu einem metaphysischen Gerüst geworden, das nichts erklärte und nichts Neues vorhersagte. Einstein vollzog 1905 mit einem minimalen Schritt einen radikalen Wandel: Er verwarf den Äther, behielt nur Relativität und konstantes c als Prinzipien und zeigte, dass daraus Lorentz’ Mathematik folgt. Raum und Zeit wurden zur Raumzeit, elektrische und magnetische Felder zu Aspekten eines Tensors; Gleichzeitigkeit verlor ihren absoluten Status. An die Stelle des Äthers trat kein neuer Stoff, sondern eine neue Geometrie. Elektromagnetische Wellen sind Störungen des elektromagnetischen Feldes; ihre Lichtkegelstruktur wird durch die Raumzeitmetrik bestimmt, nicht durch einen materiellen Äther.

5.1.12 Das Wichtigste

• Galilei-Transformationen beschreiben absolute Zeit und einfache Geschwindigkeitsaddition; sie erhalten Newtons Gesetze, scheitern aber an Maxwells Gleichungen.
• Die Ätherhypothese sollte ein universelles c mit galileischer Kinematik versöhnen und scheiterte an präzisen Nullresultaten.
• Lorentz fand mathematisch die richtige Symmetrie; Einstein machte daraus Physik, erhob die Invarianz von c zum Prinzip und verabschiedete den Äther.
• Von Galilei bleibt das Relativitätsprinzip, nun umgesetzt durch die Lorentz-Gruppe und ein invariantes Raumzeitintervall.

5.2 Spezielle Relativitätstheorie: Postulate und Kinematik

Die spezielle Relativitätstheorie beruht auf zwei einfachen Prinzipien und viel Mut. Die Prinzipien sind

(i) das Relativitätsprinzip: Die Gesetze der Physik haben in allen Inertialsystemen dieselbe Form;

(ii) die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: Jeder Inertialbeobachter misst für Licht im Vakuum die Geschwindigkeit $c$,

unabhängig von der Bewegung der Quelle oder des Beobachters. Daraus folgt die vertraute Struktur der Raumzeit.

5.2.1 Uhrensynchronisation und das Ende absoluter Gleichzeitigkeit

Einstein schlug ein physikalisches Verfahren zur Definition von Gleichzeitigkeit vor. Um entfernte Uhren zu synchronisieren, sendet man einen Lichtpuls von A nach B und zurück und stellt B so ein, dass Hin- und Rückweg gleich lange dauern. Diese Konstruktion hängt vom Bezugssystem ab, weil verschiedene Inertialbeobachter die Raumzeit unterschiedlich in Zeitschichten aufteilen. Gleichzeitigkeit ist daher nicht absolut, sondern bewegungsabhängig. Zeitmessung wird zur Geometrie.

5.2.2 Herleitung der Lorentz-Transformation

Betrachten wir zwei Systeme $S$ und $S^{\prime }$ in Standardkonfiguration: $S^{\prime }$ bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit $v$ entlang der $x$-Achse von $S$, und die Ursprünge fallen bei $t=t^{\prime }=0$ zusammen. Homogenität und Isotropie der Raumzeit führen auf eine lineare Koordinatenbeziehung. Die Forderung, dass die Weltlinie eines Lichtpulses entlang $+x$ in $S$ die Form $x=ct$ und in $S^{\prime }$ die Form $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$ hat, bestimmt die Transformation bis auf einen Skalenfaktor. Relativität, räumliche Isotropie und wechselseitige Transformationen legen diesen fest, mit der Identität als Normierung bei $v=0$. Das Ergebnis lautet

$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }& =\gamma (x-vt),\\ t^{\prime }& =\gamma \left(t-\frac{vx}{c^2}\right),\\ y^{\prime }& =y,z^{\prime }=z,\\ \gamma & =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\end{array}$$

Die inverse Transformation (ersetze $v\to -v$) lautet

$$\begin{array}{rl}x& =\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime }),\\ t& =\gamma \left(t^{\prime }+\frac{v{x}^{\prime }}{c^2}\right),\\ y& =y^{\prime },z=z^{\prime }\end{array}$$

Unter diesen Annahmen erhalten die Transformationen das Raumzeitintervall und den Lichtkegel.

5.2.3 Invariantes Intervall und Eigenzeit

Aus der Lorentz-Transformation folgt das lorentzinvariante Raumzeitintervall

$$\Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2$$

Für eine zeitartige Weltlinie definieren wir die Eigenzeit $d\tau$ durch $c^{2}d{\tau }^2=d{s}^2$. Die Integration entlang eines Weges ergibt die von der mitbewegten Uhr gemessene Zeit. Weil $d{s}^2$ invariant ist, stimmen alle Inertialbeobachter für dieselbe Weltlinie über $\tau$ überein.

5.2.4 Zeitdilatation, Längenkontraktion und Verschiebung der Gleichzeitigkeit

Eine mitbewegte Lichtuhr oder direkt die Transformation liefert

$$\Delta t=\gamma \Delta \tau$$

Eine bewegte Uhr geht um den Faktor $\gamma$ langsamer. Bei einem entlang der $x$-Achse ausgerichteten Stab der Ruhelänge $L_0$ ergibt die gleichzeitige Messung seiner Endpunkte in $S$

$$L=\frac{L_0}{\gamma }$$

Gleichzeitigkeit hängt vom Bezugssystem ab. Zwei in $S$ durch $(\Delta t,\Delta x)$ getrennte Ereignisse haben in $S^{\prime }$ den Zeitabstand

$$\Delta t^{\prime }=\gamma \left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)$$

Selbst wenn $\Delta t=0$ in $S$ gilt, die Ereignisse dort also gleichzeitig sind, gilt in $S^{\prime }$ im Allgemeinen $\Delta t^{\prime }\ne 0$. Das ist der messtechnische Inhalt der Relativität der Gleichzeitigkeit.

5.2.5 Geschwindigkeitsaddition und transversale Komponenten

Geschwindigkeiten addieren sich nicht linear. Differenzieren der Lorentz-Transformation liefert die Regeln der einsteinschen Geschwindigkeitsaddition. Für ein Teilchen mit Geschwindigkeitskomponenten $(u_x,u_y,u_z)$ in $S$ lautet die in $S^{\prime }$ beobachtete Geschwindigkeit

$$u_x^{\prime }=\frac{u_x-v}{1-\frac{v{u}_x}{c^2}}$$ $$u_y^{\prime }=\frac{u_y}{\gamma \left(1-\frac{v{u}_x}{c^2}\right)},u_z^{\prime }=\frac{u_z}{\gamma \left(1-\frac{v{u}_x}{c^2}\right)}$$

Für kollineare Bewegung vereinfacht sich die Verknüpfung zu

$$u\oplus v=\frac{u+v}{1+\frac{uv}{c^2}}$$

Wie viele Unterlichtgeschwindigkeiten man auch kombiniert, das Ergebnis bleibt $<c$.

Oft ist die durch $\beta \equiv v/c=\tanh \eta$ definierte Rapidität $\eta$ praktisch. Dann gilt

$$\gamma =\cosh \eta ,\gamma \beta =\sinh \eta$$

Kollineare Geschwindigkeiten werden durch Addition ihrer Rapiditäten verknüpft:

$${\eta }_{\text{total}}={\eta }_1+{\eta }_2$$

So wird die Kinematik zu einfacher hyperbolischer Geometrie.

5.2.6 Geometrie von Minkowski-Diagrammen

Ereignisse sind Punkte, Weltlinien Kurven. Der Lichtkegel eines Ereignisses teilt die Raumzeit in zeitartige Zukunft und Vergangenheit innerhalb des Kegels, raumartige Bereiche außerhalb und lichtartige Richtungen auf dem Kegel. Kausalität verlangt, dass Signale innerhalb oder auf Lichtkegeln bleiben. Lorentz-Transformationen wirken als hyperbolische Drehungen: Sie erhalten die Kegel und verschieben die Flächen konstanter Zeit. Deshalb ändert sich die Gleichzeitigkeit, aber nicht die Lichtgeschwindigkeit.

5.2.7 Bekannte „Paradoxien“ und ihre mathematische Auflösung

Zwillingsszenario. Ein Zwilling reist schnell und kehrt jünger zurück. Seine Weltlinie hat eine kleinere Eigenzeit, weil er die Inertialsysteme wechselt, mit einer Beschleunigung beim Umkehren. Die Eigenzeit ist das Integral von $d\tau$ entlang des Weges und keine pauschale Aussage wie „dort läuft die Zeit langsamer“.

Leiter-und-Scheune-Szenario. Eine schnelle Leiter passt im Ruhesystem der Scheune wegen $L=L_0/\gamma$ in eine kurze Scheune. Im System der Leiter werden die Türen nicht gleichzeitig geschlossen; die Relativität der Gleichzeitigkeit bewahrt die Kausalität. Die obige Transformationsformel für $\Delta t^{\prime }$ erklärt den gesamten Sachverhalt.

Magnet und Leiter. Eine bewegte Ladung nahe einem neutralen Draht erfährt in ihrem System ein elektrisches Feld und im Labor eine magnetische Kraft. Beide entstehen aus demselben elektromagnetischen Tensor durch Lorentz-Transformation. Kinematik und Felder sind konsistent.

5.2.8 Nützliche algebraische Identitäten

Der Lorentz-Faktor erfüllt

$${\gamma }^2(1-{\beta }^2)=1,{\gamma }^2-(\gamma \beta {)}^2=1$$

Für kleine Geschwindigkeiten $v\ll c$ entwickeln wir

$$\gamma \approx 1+\frac{1}{2}{\beta }^2+\frac{3}{8}{\beta }^4+\cdots$$

Beim relativistischen Dopplereffekt für Bewegung direkt entlang der Sichtlinie verwendet man den Dopplerfaktor

$$\mathcal{D}=\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}$$

Die beobachtete Frequenz erfüllt also ${\nu }_{\text{obs}}=\mathcal{D}{\nu }_{\text{emit}}$ bei Annäherung und ${\nu }_{\text{obs}}={\nu }_{\text{emit}}/\mathcal{D}$ bei Entfernung.

5.2.9 Das Wichtigste

• In Standardkonfiguration und mit den üblichen Symmetrieannahmen ergeben die beiden Postulate die Lorentz-Transformation, die Raumzeitintervall und Lichtkegel erhält.
• Zeitdilatation, Längenkontraktion und die Verschiebung der Gleichzeitigkeit sind verschiedene Seiten derselben Transformation.
• Die Geschwindigkeitsaddition verhindert überlichtschnelle Zusammensetzungen; die Rapidität linearisiert kollineare Boosts.
• Das invariante Intervall begründet Eigenzeit und Kausalität; Minkowski-Geometrie ist die natürliche Sprache der Kinematik.

Als Nächstes formulieren wir die Dynamik — Impuls, Energie und $E=m{c}^2$ — in diesem geometrischen Rahmen neu.

5.3 Minkowski-Raumzeit und Kausalität

Die spezielle Relativitätstheorie macht Kinematik zu Geometrie. Raum und Zeit stehen nicht in getrennten Büchern, sondern bilden eine vierdimensionale Bühne, die Minkowski-Raumzeit, deren Geometrie Kausalität beschreibt. Wir definieren die Metrik, unterscheiden zeitartige, raumartige und lichtartige Abstände, führen Vierervektoren sowie Boosts als hyperbolische Drehungen ein und gewinnen praktische Regeln für Raumzeitdiagramme.

5.3.1 Ereignisse, Koordinaten und Metrik

Ein Ereignis ist ein Raumzeitpunkt mit Koordinaten $x^{\mu }=(ct,x,y,z)$. Lateinische Buchstaben bezeichnen räumliche Vektoren $\mathbf{x}=(x,y,z)$; griechische Indizes laufen über $0,1,2,3$. In inertialen kartesischen Koordinaten lautet die Minkowski-Metrik

$${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$$

Das invariante quadrierte Intervall zwischen benachbarten Ereignissen $x^{\mu }$ und $x^{\mu }+d{x}^{\mu }$ lautet

$$d{s}^2={\eta }_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }=c^{2}d{t}^2-d{\mathbf{x}}^2$$

Alle Inertialbeobachter berechnen dasselbe $d{s}^2$. Dieser einzelne Skalar erfasst die physikalisch bedeutsame Beziehung zwischen den Ereignissen.

5.3.2 Lichtkegel und die drei Arten von Abständen

Für jedes Ereignispaar A und B klassifiziert das Vorzeichen von $s^2$ die Beziehung:

• Zeitartig: $s^2>0$. Es gibt ein System, in dem die Ereignisse am selben Ort zu verschiedenen Zeiten stattfinden; ein Reisender mit Unterlichtgeschwindigkeit kann von A nach B gelangen.
• Lichtartig (nullartig): $s^2=0$. Nur ein Lichtsignal kann sie verbinden.
• Raumartig: $s^2<0$. Es gibt ein System, in dem die Ereignisse gleichzeitig an verschiedenen Orten stattfinden; kein Signal kann sie verbinden, ohne $c$ zu überschreiten.

An jedem Ereignis bildet die Menge $d{s}^2=0$ den Lichtkegel mit Erzeugenden $x=\pm ct$ in $1+1$ Dimensionen. Sein Inneres ist zeitartig, sein Äußeres raumartig. Lorentz-Transformationen erhalten den Kegel. Daher stimmen alle Inertialbeobachter über kausale Möglichkeiten überein, auch wenn sie Zeiten und Entfernungen verschieden bewerten.

5.3.3 Eigenzeit und Weltlinien

Eine Weltlinie ist eine Kurve $x^{\mu }(\lambda )$, welche die Geschichte eines Körpers beschreibt. Bei zeitartiger Bewegung misst die mitgeführte Uhr die Eigenzeit

$$d\tau =\frac{1}{c}\sqrt{d{s}^2}=\sqrt{d{t}^2-\frac{d{\mathbf{x}}^2}{c^2}}$$

Integration ergibt die auf dieser Uhr verstrichene Zeit:

$$\Delta \tau ={\int }_{\text{path}}d\tau$$

Unter allen zeitartigen Kurven zwischen denselben Endpunkten in flacher Raumzeit maximiert die Inertialbewegung $\Delta \tau$. Diese geometrische Aussage löst das Zwillingsszenario: Der reisende Zwilling nimmt einen nichtinertialen Weg mit geringerer Eigenzeit.

5.3.4 Vierergeschwindigkeit und Viererbeschleunigung

Wir definieren die Vierergeschwindigkeit

$$u^{\mu }\equiv \frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }$$

Aus $d{s}^2=c^{2}d{\tau }^2$ folgt die Normierung

$${\eta }_{\mu \nu }{u}^{\mu }{u}^{\nu }=c^2$$

Mit der räumlichen Geschwindigkeit $\mathbf{v}=d\mathbf{x}/dt$ und $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ erhält man

$$u^{\mu }=\gamma (c,\mathbf{v})$$

Die Viererbeschleunigung $a^{\mu }=d{u}^{\mu }/d\tau$ erfüllt die Orthogonalitätsbeziehung

$${\eta }_{\mu \nu }{u}^{\mu }{a}^{\nu }=0$$

Die Beschleunigung ist also im momentanen Ruhesystem rein „raumartig“. Diese Werkzeuge vereinfachen die relativistische Dynamik (§5.4).

5.3.5 Lorentz-Transformationen als hyperbolische Drehungen

Ein Boost entlang $x$ mit Geschwindigkeit $v$ lässt sich mit $\beta =v/c$ und $\gamma =1/\sqrt{1-{\beta }^2}$ schreiben als

$$\begin{array}{rl}c{t}^{\prime }& =\gamma (ct-\beta x)\\ x^{\prime }& =\gamma (x-\beta ct)\\ y^{\prime }& =y\\ z^{\prime }& =z\end{array}$$

Die Matrix ${\Lambda }^{\mu }{}_{\nu }$ dieser Transformation erfüllt die Invarianzbedingung

$${\eta }_{\alpha \beta }{\Lambda }^{\alpha }{}_{\mu }{\Lambda }^{\beta }{}_{\nu }={\eta }_{\mu \nu }$$

Das entspricht der Erhaltung euklidischer Längen durch gewöhnliche Drehungen. Definieren wir die Rapidität $\eta$ durch $\beta =\tanh \eta$, gilt tatsächlich

$$\gamma =\cosh \eta ,\gamma \beta =\sinh \eta$$

Der Boost wird damit zur hyperbolischen Drehung in der $ct$–$x$-Ebene. Bei der Zusammensetzung kollinearer Boosts addieren sich einfach die Rapiditäten. Deshalb hat die Geschwindigkeitsaddition Einsteins nichtlineare Form und bleibt dennoch im Rapiditätsraum assoziativ.

5.3.6 Minkowski-Diagramme lesen

Ein Minkowski-Diagramm zeigt $ct$ vertikal und $x$ horizontal. Lichtstrahlen haben die Steigungen $\pm 45^{\circ }$, da $x=\pm ct$ in Einheiten mit $c=1$. Einige praktische Regeln:

1. Achsen eines bewegten Systems. Die $x^{\prime }$-Achse ist die Ereignisgerade mit $t^{\prime }=0$ und neigt sich nach oben; die $c{t}^{\prime }$-Achse ist die Weltlinie $x^{\prime }=0$ und neigt sich nach rechts. Die Achsen sind bezüglich des Lichtkegels symmetrisch.
2. Gleichzeitigkeitsschichten. Linien mit konstantem $t^{\prime }$ sind nur bei $v=0$ horizontal; so wird die Relativität der Gleichzeitigkeit sichtbar.
3. Kalibrierung der Einheiten. Die Einheitshyperbel $ct=\sqrt{x^2+c^2{\tau }^2}$ beschreibt Eigenzeittakte; Loedel-Diagramme verwenden eine symmetrische Skalierung, sodass beide Systeme mit demselben Lichtkegelwinkel dargestellt werden.
4. Kausalitätstest. Liegt B außerhalb des Lichtkegels von A, verbindet keine Weltlinie mit $|v|<c$ die beiden Ereignisse. Bei raumartigen Paaren kann sich die Reihenfolge durch Boosts umkehren, bei zeitartigen nicht.

Diagramme sind mehr als Bilder: Sie sind Rechenhilfen für Ereignisfolgen, Zeitdilatation, Längenkontraktion und Gleichzeitigkeit.

5.3.7 Kausalität, Signalverbot und weshalb $c$ eine Geschwindigkeitsgrenze ist

Angenommen, in einem System gäbe es ein Signal mit Geschwindigkeit $u>c$. Bei raumartiger Trennung lässt sich ein Boost finden, der die zeitliche Reihenfolge von Aussendung und Empfang umkehrt. Zusammen mit der Möglichkeit, Signale in beide Richtungen zu senden, entsteht eine geschlossene Kausalschleife, also ein Paradox. Die spezielle Relativitätstheorie vermeidet dies durch das Verbot überlichtschneller Signalübertragung: Physikalische Weltlinien sind zeitartig oder nullartig, nie raumartig. Daraus folgt auch, dass vollkommen starre Körper nicht existieren. Ein Ruck an einem Stabende kann das andere nicht gleichzeitig beeinflussen, denn mechanische Störungen breiten sich mit den Schallgeschwindigkeiten des Materials $<c$ aus.

Das quantenfeldtheoretische Gegenstück ist die Mikrokausalität: Operatoren lokaler Observablen kommutieren bei raumartiger Trennung. Messungen dort können einander deshalb keine Signale übermitteln.

5.3.8 Energie und Impuls als Vierervektor: Vorschau

Später verwenden wir den Energie-Impuls-Vierervektor

$$p^{\mu }=\left(\frac{E}{c},\mathbf{p}\right)$$

mit der Invariante

$$p_{\mu }{p}^{\mu }={\left(\frac{E}{c}\right)}^2-{\mathbf{p}}^2=m^2{c}^2$$

Diese eine Beziehung umfasst sowohl die Ruheenergie $E_0=m{c}^2$ als auch die Dispersionsrelation $E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$. Die Erhaltung von $p^{\mu }$ bei Wechselwirkungen formuliert die Dynamik kompakt und unabhängig vom Bezugssystem.

5.3.9 Beschleunigte Bewegung in flacher Raumzeit

Beschleunigte Beobachter lassen sich auch ohne Gravitation behandeln. Eine Weltlinie mit konstanter Eigenbeschleunigung $a$ in $x$-Richtung beschreibt eine Hyperbel:

$$\begin{array}{rl}ct(\tau )& =\frac{c^2}{a}\sinh \left(\frac{a\tau }{c}\right)\\ x(\tau )& =\frac{c^2}{a}\cosh \left(\frac{a\tau }{c}\right)\end{array}$$

Sie nähert sich asymptotisch den Lichtgeraden $x=\pm ct$. Die Eigenbeschleunigung ist die Anzeige eines Beschleunigungsmessers und invariant, anders als die vom Bezugssystem abhängige Koordinatenbeschleunigung.

Beschleunigte Systeme führen selbst in flacher Raumzeit zu Rindler-Koordinaten und Horizonten — hilfreiche Vorstufen zum Äquivalenzprinzip (§5.7).

5.3.10 Tensoren und Indexrechnung: Grundwerkzeuge

Ein Vierervektor transformiert sich gemäß $A^{\prime \mu }={\Lambda }^{\mu }{}_{\nu }{A}^{\nu }$. Zum Senken und Heben der Indizes dienen ${\eta }_{\mu \nu }$ und ihre Inverse:

$$A_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{A}^{\nu },A^{\mu }={\eta }^{\mu \nu }{A}_{\nu }$$

Lorentzinvariante Skalare entstehen durch Indexkontraktion, beispielsweise $A_{\mu }{B}^{\mu }$. Das elektromagnetische Feld erscheint als antisymmetrischer Tensor $F_{\mu \nu }$. In dieser Sprache zeigen Maxwells Gleichungen ihre Symmetrie und erhalten automatisch die Kausalität, da $F_{\mu \nu }$-Transformationen die Lichtkegel bewahren.

5.3.11 Was sich ändert und was gleich bleibt

• Veränderlich: Zeitintervalle, Längen und Gleichzeitigkeitsschichten beim Wechsel des Systems.
• Unveränderlich: Lichtkegel, Intervall $d{s}^2$, Eigenzeit $\tau$ und kausale Reihenfolge zeitartig verbundener Ereignisse.

Die Leitregel relativistischen Denkens lautet: Zuerst Invarianten berechnen; alles andere hängt von der Perspektive ab.

5.3.12 Kurze Aufgabenschemata

1. Kann A B beeinflussen? Berechne $s^2$. Bei $s^2<0$ nein; bei $s^2=0$ nur mit Licht; bei $s^2>0$ durch Bewegung mit Unterlichtgeschwindigkeit.
2. Wie viel ist der Reisende gealtert? Integriere $d\tau =\sqrt{1-v^2/c^2}dt$ entlang des tatsächlichen Geschwindigkeitsverlaufs.
3. Was sieht ein bewegter Beobachter? Führe den Boost aus, zeichne die Achsen neu und verwende bei Bedarf die Gleichzeitigkeitstransformation und Längenkontraktion.

Zusammenfassung: Minkowski-Raumzeit fasst Relativität geometrisch. Die Metrik $d{s}^2=c^{2}d{t}^2-d{\mathbf{x}}^2$ definiert Lichtkegel und Eigenzeit; Boosts sind hyperbolische Drehungen, die diese Kegel erhalten. Kausalität wird zur geometrischen Bedingung: Weltlinien müssen innerhalb oder auf den Lichtkegeln bleiben. Die Dynamik beschreibt man durch kovariant transformierende Vierervektoren. Wer in Intervallen, Kegeln und Rapiditäten denkt, löst die Paradoxien auf und vereinfacht die Rechnungen.

5.4 Relativistische Dynamik

Die Kinematik beschreibt die Transformation von Koordinaten. Die Dynamik fragt, wie sich Impuls, Energie und Kräfte verhalten, damit die Gesetze für jeden Inertialbeobachter gleich aussehen. Der Leitgedanke ist einfach: Alles wird aus lorentzinvarianten oder kovarianten Größen aufgebaut, damit physikalische Vorhersagen unabhängig vom Bezugssystem sind.

5.4.1 Viererimpuls und Energie-Impuls-Beziehung

Wir definieren Vierergeschwindigkeit und Viererimpuls:

$$u^{\mu }\equiv \frac{d{x}^{\mu }}{d\tau },p^{\mu }\equiv m{u}^{\mu }$$

Dabei ist $d\tau$ die Eigenzeit. Mit $u^{\mu }{u}_{\mu }=c^2$ folgt

$$p^{\mu }=\gamma (mc,m\mathbf{v}),\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

Die Zeitkomponente definiert die Energie:

$$E\equiv p^{0}c=\gamma m{c}^2$$

Der räumliche Teil definiert den Impuls:

$$\mathbf{p}\equiv \gamma m\mathbf{v}$$

Die invariante Norm von $p^{\mu }$ liefert die grundlegende Beziehung

$$p_{\mu }{p}^{\mu }=m^2{c}^2$$

oder, in skalaren Größen geschrieben,

$$E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$$

Bei kleinen Geschwindigkeiten ergeben sich die vertrauten newtonschen Formen. Entwickelt man $\gamma$ für $v\ll c$, erhält man

$$E=\gamma m{c}^2\approx m{c}^2+\frac{p^2}{2m}+\cdots$$

Die newtonsche kinetische Energie erscheint somit als erste Korrektur zur Ruheenergie $m{c}^2$.

5.4.2 Arbeit, Leistung und relativistisches Kraftgesetz

Wir behalten die newtonschen Definitionen, verwenden jedoch relativistische Größen $\mathbf{p}$ und $E$:

$$\mathbf{F}\equiv \frac{d\mathbf{p}}{dt},\frac{dE}{dt}=\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}$$

Mit $\mathbf{p}=\gamma m\mathbf{v}$ findet man

$$\mathbf{F}=\gamma m\mathbf{a}+{\gamma }^{3}m\frac{\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot \mathbf{a})}{c^2}$$

Die Zerlegung parallel und senkrecht zu $\mathbf{v}$ ergibt die kompakten Regeln

$$a_{\parallel }=\frac{F_{\parallel }}{{\gamma }^{3}m},a_{\perp }=\frac{F_{\perp }}{\gamma m}$$

Nähert sich die Geschwindigkeit $c$, bewirkt dieselbe Kraft eine kleinere Beschleunigung, besonders in Bewegungsrichtung. Die Geschwindigkeitsgrenze ist also sowohl dynamisch als auch kinematisch begründet.

Oft ist es übersichtlicher, die Kraft als Vierervektor zu beschreiben. Wir definieren die Viererkraft

$$K^{\mu }\equiv \frac{d{p}^{\mu }}{d\tau }$$

Sie erfüllt automatisch die Orthogonalitätsbeziehung

$$K^{\mu }{u}_{\mu }=0$$

weil $p^{\mu }{p}_{\mu }$ konstant ist. In §5.5 wenden wir dies auf geladene Teilchen in elektromagnetischen Feldern an.

5.4.3 Wirkungsprinzip und Lagrange-Funktion des freien Teilchens

Die relativistische Dynamik folgt aus einer geometrischen Wirkung. Für ein neutrales Teilchen gilt

$$S=-mc\int ds$$

In einem gegebenen System ist $ds=cdt\sqrt{1-v^2/c^2}$, sodass die Lagrange-Funktion lautet

$$L_0=-m{c}^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

Daraus folgen kanonischer Impuls und Hamilton-Funktion:

$$\mathbf{p}=\frac{\partial L_0}{\partial \mathbf{v}}=\gamma m\mathbf{v}$$ $$H=\mathbf{p}\cdot \mathbf{v}-L_0=\gamma m{c}^2=E$$

Die Energie-Impuls-Beziehungen sind damit keine zusätzlichen Annahmen, sondern Folgen des Variationsprinzips, das aus der invarianten Länge von Weltlinien aufgebaut ist.

Trägt ein Teilchen die Ladung $q$ und wechselwirkt mit einem elektromagnetischen Viererpotenzial $A_{\mu }=(\varphi /c,-\mathbf{A})$, fügt die minimale Kopplung der Wirkung den Term $-q\int A_{\mu }d{x}^{\mu }$ hinzu. In gewöhnlichen Variablen wird die Lagrange-Funktion zu

$$L=-m{c}^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}+q\mathbf{v}\cdot \mathbf{A}-q\varphi$$

Ihre Euler-Lagrange-Gleichungen ergeben die Lorentz-Kraft in kovarianter Form, wie §5.5 zeigt.

5.4.4 Impuls- und Energiebilanz bei Stößen

Da der Viererimpuls erhalten bleibt, gilt

$$\sum _{\text{in}}{p}^{\mu }=\sum _{\text{out}}{p}^{\mu }$$

Diese eine Vektorgleichung beschreibt sowohl die gewöhnliche Impuls- als auch die Energieerhaltung in allen Systemen. Das Quadrieren beider Seiten ergibt bezugssystemunabhängige Beziehungen für Teilchenreaktionen.

Eine wichtige Invariante ist die Mandelstam-Variable $s$ für zwei Teilchen mit Viererimpulsen $p_1,p_2$:

$$s\equiv (p_1+p_2{)}^2$$

Im Schwerpunktsystem (CM) gilt $s=(E_{\text{CM}}/c{)}^2$, also $E_{\text{CM}}=\sqrt{s}c$. In einem Laborsystem, in dem das Target $b$ ruht und das Strahlteilchen $a$ die Energie $E_a$ hat, gilt

$$s=m_a^2{c}^2+m_b^2{c}^2+2m_b{E}_a$$

oder, übersichtlicher geschrieben,

$$s{c}^2=m_a^2{c}^4+m_b^2{c}^4+2m_b{c}^2{E}_a$$

An der Schwelle zur Erzeugung von Endteilchen mit gesamter Ruhemasse $M_{\text{final}}$ verschwindet gerade die kinetische Energie im Schwerpunktsystem. Daher

$$s_{\text{th}}=M_{\text{final}}^2{c}^2$$

Die erforderliche Strahlenergie im Labor ist somit

$$E_{a,\text{th}}=\frac{M_{\text{final}}^2{c}^4-\left(m_a^2+m_b^2\right)c^4}{2m_b{c}^2}$$

Als Beispiel betrachten wir $p+p\to p+p+{\pi }^0$ mit einem ruhenden Proton. Setzt man $m_p$ und $m_{\pi }$ als Ruhemassen ein, ist $M_{\text{final}}=2m_p+m_{\pi }$. Die obige Formel liefert eine Schwelle der Gesamtenergie des Strahlteilchens von etwa 1,22 GeV, entsprechend einer kinetischen Schwellenenergie von etwa 0,28 GeV.

5.4.5 Schwerpunktsystem und invariante Masse eines Systems

Für ein isoliertes System definieren wir den gesamten Viererimpuls

$$P^{\mu }\equiv \sum _i{p}_i^{\mu }$$

Die Invariante

$$M_{\text{sys}}^2{c}^2\equiv P_{\mu }{P}^{\mu }$$

ist die invariante Masse des Systems. Im Schwerpunktsystem gilt $\mathbf{P}=0$, also $M_{\text{sys}}{c}^2=E_{\text{CM}}$. Entscheidend ist, dass $M_{\text{sys}}$ nicht bloß die Summe der Ruhemassen ist, sondern auch kinetische und Bindungsenergien enthält. Beispielsweise hat eine mit Strahlung gefüllte Kiste ein größeres $M_{\text{sys}}$ als die leere, denn Photonen tragen Energie und Impuls, obwohl ihre einzelnen Ruhemassen null sind.

5.4.6 Masselose Teilchen und Dispersion

Für $m=0$ wird die invariante Beziehung zu

$$E=pc$$

Auf lichtartigen Weltlinien ist die Vierergeschwindigkeit undefiniert; der Viererimpuls bleibt jedoch endlich und transformiert sich korrekt. Die Photonenenergie hängt über $E=h\nu$ mit der Frequenz zusammen, vereinbar mit $p=h/\lambda$ und Maxwells Wellen mit Geschwindigkeit $c$. Massive Teilchen können $c$ nicht erreichen: Dafür wäre $\gamma \to \infty$ und somit unendliche Energie erforderlich.

5.4.7 Dynamik mit Nebenbedingungen und Strahlungsrückwirkung: Ausblick

Für geladene Teilchen lautet das Lorentz-Kraftgesetz in Dreiervektorschreibweise, in §5.5 kovariant hergeleitet,

$$\frac{d\mathbf{p}}{dt}=q\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B}\right),\frac{dE}{dt}=q\mathbf{E}\cdot \mathbf{v}$$

Beschleunigte Ladungen strahlen. Eine genauere Beschreibung enthält deshalb eine zusätzliche Strahlungsrückwirkungskraft. Ihr klassischer Ausdruck nach Abraham–Lorentz–Dirac ist subtil und kann zu unphysikalisch anwachsenden Lösungen führen; praktisch verwendet man Näherungen, die zu den äußeren Feldern passen. Für die Dynamik wesentlich: Die abgestrahlte Energie muss in $dE/dt$ bilanziert werden.

5.4.8 Eigenbeschleunigung und hyperbolische Bewegung

Eine Bahn mit konstanter Eigenbeschleunigung $a$ entlang $x$ erfüllt

$$\begin{array}{rl}ct(\tau )& =\frac{c^2}{a}\sinh \left(\frac{a\tau }{c}\right)\\ x(\tau )& =\frac{c^2}{a}\cosh \left(\frac{a\tau }{c}\right)\end{array}$$

Durch Differenzieren folgt die Geschwindigkeit

$$v(\tau )=\frac{dx}{dt}=c\tanh \left(\frac{a\tau }{c}\right)$$

Selbst bei konstanter Eigenbeschleunigung nimmt die Koordinatenbeschleunigung ab, wenn sich $v$ an $c$ annähert. Die Geschwindigkeitsgrenze wird asymptotisch eingehalten, während Eigenzeit langsamer verstreicht.

5.4.9 Kurzer Werkzeugkasten für Aufgaben

• Verwende $p^{\mu }=(E/c,\mathbf{p})$ und die Viererimpulserhaltung; einmaliges Quadrieren liefert bezugssystemunabhängige Antworten.
• Berechne bei Raketen oder Teilchenstrahlen die Leistung mit $dE/dt=\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}$ und verknüpfe den Schub mit $d\mathbf{p}/dt$.
• Wähle das Schwerpunktsystem, um die Algebra zu vereinfachen, und transformiere mit den Lorentz-Formeln aus §5.3 zurück.
• Denke daran: $M_{\text{sys}}$ enthält kinetische und Bindungsenergie. Die Systemmasse ist eine Invariante, nicht bloß die Summe der Ruhemassen ihrer Bestandteile.

Zusammenfassung: Relativistische Dynamik fasst Energie und Impuls zu einem Vierervektor zusammen, der $E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$ erfüllt. Kräfte ändern den Impuls gemäß $d\mathbf{p}/dt$ und verrichten Arbeit mit der Leistung $\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}$, während die kovariante Viererkraft $K^{\mu }=d{p}^{\mu }/d\tau$ orthogonal zu $u^{\mu }$ bleibt. Stöße werden durch Invarianten wie $s$ und die Systemmasse $M_{\text{sys}}$ übersichtlich. Alles ist Geometrie: Vierervektoren erhalten und den Lichtkegel respektieren — so wird Dynamik ebenso handhabbar wie Kinematik.

5.5 Elektromagnetismus in relativistischer Form

Maxwells Theorie trägt die Relativität bereits in sich. Hier machen wir die Symmetrie ausdrücklich sichtbar: Wir fassen $\mathbf{E}$ und $\mathbf{B}$ zu einem Feldtensor zusammen, schreiben Gleichungen und Kräfte vierdimensional und bestimmen die Invarianten, über die alle Beobachter übereinstimmen.

5.5.1 Viererstrom, Viererpotenzial und Feldtensor

Ladungsdichte und Stromdichte bilden den Viererstrom:

$$J^{\mu }\equiv \left(c\rho ,\mathbf{J}\right)$$

Skalar- und Vektorpotenzial bilden das Viererpotenzial:

$$A^{\mu }\equiv \left(\frac{\varphi }{c},\mathbf{A}\right)$$

Wir definieren den antisymmetrischen elektromagnetischen Feldtensor:

$$F_{\mu \nu }\equiv {\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }$$

Mit der Metrik ${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$ gilt in SI-Einheiten:

$$F^{0i}=-\frac{E_i}{c},F^{ij}=-{ϵ}^{ijk}{B}_k$$

$\mathbf{E}$ und $\mathbf{B}$ sind also keine getrennten Dinge, sondern unterschiedliche Aspekte desselben Tensors.

5.5.2 Maxwells Gleichungen als zwei kurze Tensorgesetze

Alle vier Maxwell-Gleichungen lassen sich auf zwei reduzieren:

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu }$$ $${\partial }_{[\alpha }{F}_{\beta \gamma ]}=0$$

Mit dem dualen Tensor ${\tilde{F}}^{\mu \nu }\equiv \frac{1}{2}{ϵ}^{\mu \nu \alpha \beta }{F}_{\alpha \beta }$ wird die zweite Gleichung zu

$${\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0$$

In dieser Schreibweise ist die Lorentz-Kovarianz offensichtlich: Die Gleichungen behalten in jedem Inertialsystem dieselbe Form.

5.5.3 Lorentz-Kraft in einer Zeile

Ein Teilchen mit Ladung $q$ und Vierergeschwindigkeit $u^{\mu }$ erfüllt

$$\frac{d{p}^{\mu }}{d\tau }=q{F}^{\mu }{}_{\nu }{u}^{\nu }$$

Die Zerlegung in Zeit- und Raumanteile liefert die bekannte Dreiervektorform:

$$\frac{d\mathbf{p}}{dt}=q\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B}\right),\frac{dE}{dt}=q\mathbf{E}\cdot \mathbf{v}$$

Eine kovariante Gleichung gilt in jedem Bezugssystem.

5.5.4 Eichsymmetrie und Wellengleichungen

Eichtransformationen lassen die Physik unverändert:

$$A_{\mu }\to A_{\mu }+{\partial }_{\mu }\chi$$

In der Lorenz-Eichung

$${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0$$

werden die Maxwell-Gleichungen zu Wellengleichungen für das Potenzial:

$$\square A^{\mu }={\mu }_0{J}^{\mu }$$

Dabei ist $\square \equiv {\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\nabla }^2$ der d’Alembert-Operator.

5.5.5 Feldtransformationen: Boosts mischen $\mathbf{E}$ und $\mathbf{B}$

In der Relativität sind „elektrisch“ und „magnetisch“ bezugssystemabhängige Zerlegungen eines Tensors. Bei einem Boost mit Geschwindigkeit $\mathbf{v}$ gilt

$${\mathbf{E}}_{\parallel }^{\prime }={\mathbf{E}}_{\parallel },{\mathbf{B}}_{\parallel }^{\prime }={\mathbf{B}}_{\parallel }$$ $${\mathbf{E}}_{\perp }^{\prime }=\gamma \left({\mathbf{E}}_{\perp }+\mathbf{v}\times \mathbf{B}\right),{\mathbf{B}}_{\perp }^{\prime }=\gamma \left({\mathbf{B}}_{\perp }-\frac{\mathbf{v}\times \mathbf{E}}{c^2}\right)$$

Für einen Boost entlang $x$ mit Geschwindigkeit $v$ gilt

$$\begin{array}{rl}{E}_x^{\prime }& =E_x\\ E_y^{\prime }& =\gamma \left(E_y-v{B}_z\right)\\ E_z^{\prime }& =\gamma \left(E_z+v{B}_y\right)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{B}_x^{\prime }& =B_x\\ B_y^{\prime }& =\gamma \left(B_y+\frac{v}{c^2}{E}_z\right)\\ B_z^{\prime }& =\gamma \left(B_z-\frac{v}{c^2}{E}_y\right)\end{array}$$

Ein in einem System rein elektrisches Feld erscheint in einem anderen im Allgemeinen als Mischung aus elektrischem und magnetischem Feld.

5.5.6 Zwei Lorentz-Invarianten zur systemunabhängigen Diagnose

Zwei unabhängige Lorentz-Skalare charakterisieren das Feld:

$${\mathcal{I}}_1\equiv F_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }$$ $${\mathcal{I}}_2\equiv \frac{1}{2}{ϵ}^{\mu \nu \alpha \beta }{F}_{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }$$

In SI-Größen lauten sie

$${\mathcal{I}}_1=2\left({\mathbf{B}}^2-\frac{{\mathbf{E}}^2}{c^2}\right),{\mathcal{I}}_2=-\frac{4}{c}\mathbf{E}\cdot \mathbf{B}$$

Für eine ebene Welle gilt

$$\mathbf{E}\perp \mathbf{B},|\mathbf{E}|=c|\mathbf{B}|,\mathbf{E}\cdot \mathbf{B}=0$$

also ${\mathcal{I}}_1={\mathcal{I}}_2=0$, ein Nullfeld. Falls ${\mathcal{I}}_1<0$ und ${\mathcal{I}}_2=0$, existiert ein System mit rein elektrischem Feld; falls ${\mathcal{I}}_1>0$ und ${\mathcal{I}}_2=0$, existiert ein System mit rein magnetischem Feld.

5.5.7 Energie, Impuls und Spannungen des Feldes

Energie, Impuls und Spannungen werden im elektromagnetischen Energie-Impuls-Tensor zusammengefasst:

$$T^{\mu \nu }=\frac{1}{{\mu }_0}\left(-F^{\mu \alpha }{F}^{\nu }{}_{\alpha }+\frac{1}{4}{\eta }^{\mu \nu }{F}^{\alpha \beta }{F}_{\alpha \beta }\right)$$

Seine Erhaltung beziehungsweise Nichterhaltung bei vorhandenen Quellen lautet

$${\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=-F^{\nu \lambda }{J}_{\lambda }$$

Komponenten:

$$T^{00}=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\mathbf{E}}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}{\mathbf{B}}^2$$ $$T^{0i}=\frac{1}{c}{S}_i,\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}$$

$T^{00}$ ist somit die Energiedichte, während $T^{0i}$ gleich $S_i/c$ mit dem Poynting-Vektor $\mathbf{S}$ ist. Die Impulsdichte lautet $S_i/c^2$. Der räumliche Block $T^{ij}$ ist der Impulsflusstensor, also das Negative des üblichen maxwellschen Spannungstensors, und beschreibt Drücke und Zugspannungen des Feldes.

5.5.8 Lagrange-Dichte: eine Zeile als Grundlage

Die feldtheoretische Grundlage passt in eine Zeile:

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4{\mu }_0}{F}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }-J^{\mu }{A}_{\mu }$$

Variation von $A_{\mu }$ ergibt Maxwells Gleichungen; die Eichsymmetrie führt über das Noether-Theorem zur Ladungserhaltung ${\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=0$.

5.5.9 Felder bewegter Ladungen: weshalb Magnetismus entsteht

Transformiert man ein statisches Coulomb-Feld durch einen Boost, erhält man ein anisotrop zusammengedrücktes elektrisches Feld und ein magnetisches Feld. Anders gesagt:

$$\text{Magnetfeld}=\text{elektrisches Feld aus einem bewegten Bezugssystem}$$

Magnetismus ist keine getrennte Kraft, sondern ein bezugssystemabhängiger Anteil von $F_{\mu \nu }$.

5.5.10 Kurze Wiederholung

• Das Feld ist $F_{\mu \nu }$, die Quellen sind $J^{\mu }$, das Potenzial ist $A^{\mu }$.
• Maxwell-Gleichungen: ${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu }$ und ${\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0$.
• Lorentz-Kraft: $d{p}^{\mu }/d\tau =q{F}^{\mu }{}_{\nu }{u}^{\nu }$.
• Boosts mischen $\mathbf{E}$ und $\mathbf{B}$, doch die Invarianten ${\mathcal{I}}_1,{\mathcal{I}}_2$ bleiben gleich.
• Energie und Impuls fließen gemäß $T^{\mu \nu }$; $\mathbf{S}=(1/{\mu }_0)\mathbf{E}\times \mathbf{B}$.

Zusammenfassung: Elektromagnetismus besteht nicht aus zwei unabhängigen Feldern, sondern aus einem Tensor $F_{\mu \nu }$. Lorentz-Transformationen ändern die Erscheinungsform von $\mathbf{E}$ und $\mathbf{B}$, nicht die Physik. Die vierdimensionale Darstellung macht die Kovarianz sichtbar, hebt Invarianten hervor und verwandelt lange Vektorrechnungen in kompakte Geometrie.

5.6 Relativistische Optik und Technik

Die spezielle Relativitätstheorie verändert das Erscheinungsbild von Licht bei schnellen Quellen oder Beobachtern. Ein kleiner Werkzeugkasten aus Dopplereffekt, Aberration und Strahlungsbündelung erklärt Phänomene von Quasarjets bis zur Beschleunigerstrahlung und ermöglicht Technologien von GPS bis zu Synchrotron-Röntgenquellen. Dieser Abschnitt sammelt die Hauptformeln, zeigt die Invarianten und skizziert Anwendungen.

5.6.1 Relativistischer Dopplereffekt: Frequenzverschiebung als Kinematik

Bei Bewegung entlang der Sichtlinie sei $v$ die vorzeichenbehaftete Radialgeschwindigkeit: positiv bei Annäherung, negativ bei Entfernung; wir definieren $\beta \equiv v/c$. Dann verbindet der Dopplerfaktor beobachtete und ausgesandte Frequenz:

$$\mathcal{D}\equiv \sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}$$

Sich nähernde Quellen sind blauverschoben, sich entfernende rotverschoben:

$${\nu }_{\text{obs}}=\mathcal{D}{\nu }_{\text{emit}}$$

Bei kleinen Geschwindigkeiten ergibt sich die klassische Verschiebung. Auch bei rein transversaler Relativbewegung, wenn sich die Quelle seitwärts bewegt, entsteht allein durch Zeitdilatation eine Rotverschiebung:

$${\nu }_{\text{obs}}=\frac{{\nu }_{\text{emit}}}{\gamma },\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$$

5.6.2 Lichtaberration: woher Strahlen zu kommen scheinen

Die Bewegung eines Beobachters verschiebt scheinbare Quellenrichtungen zur Bewegungsrichtung hin. Die Richtung, aus der eine Quelle erscheint, ist der Ausbreitungsrichtung des Photons entgegengesetzt. In der folgenden Formel ist $\theta$ der Winkel der Photonenausbreitung zur $x$-Achse in $S$. ${\theta }^{\prime }$ ist der entsprechende Ausbreitungswinkel in $S^{\prime }$, das sich mit Geschwindigkeit $v$ entlang $+x$ bewegt:

$$\cos {\theta }^{\prime }=\frac{\cos \theta -\beta }{1-\beta \cos \theta }$$

Gleichwertig gilt

$$\tan \left(\frac{{\theta }^{\prime }}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)$$

Sternenlicht erscheint verschoben, also aberriert, und bei großem $\gamma$ werden Strahlungsmuster nach vorn gebündelt.

5.6.3 Bündelung und Intensitätstransformation

Für die spezifische Intensität gilt eine nützliche Invariante:

$$\frac{I_{\nu }}{{\nu }^3}\text{ist lorentzinvariant}$$

Daher gilt für einen Boost mit Dopplerfaktor $\mathcal{D}$

$$I_{\nu }={\mathcal{D}}^3{I}_{{\nu }^{\prime }}^{\prime },\nu =\mathcal{D}{\nu }^{\prime }$$

Integration über die Frequenz ergibt die bolometrische Intensität:

$$I={\mathcal{D}}^4{I}^{\prime }$$

Dieser Scheinwerfereffekt lässt relativistische Jets viel heller erscheinen, wenn sie nahezu auf uns gerichtet sind, und schwächer, wenn sie wegweisen. Es entstehen keine zusätzlichen Photonen; der Boost verteilt die Phasenraumdichte lediglich um.

5.6.4 Synchrotron- und Krümmungsstrahlung

Geladene Teilchen auf gekrümmten Bahnen strahlen. Bei ultrarelativistischer Kreisbewegung mit Radius $\rho$ liegt das spektrale Maximum in der Nähe der kritischen Frequenz

$${\omega }_c=\frac{3}{2}{\gamma }^3\frac{c}{\rho }$$

Die gesamte Strahlungsleistung bei einer Bewegung mit Krümmung $\rho$ hängt stark von $\gamma$ ab:

$$P\propto \frac{q^{2}c}{{\rho }^2}{\gamma }^4$$

bis auf den üblichen SI-Vorfaktor. Zwei wichtige Folgen: (i) Hochenergetische Elektronen in Magnetfeldern erzeugen breitbandige Synchrotronstrahlung vom Radio- bis zum Röntgenbereich; (ii) Speicherringe und Undulatoren werden zu hellen, abstimmbaren Lichtquellen, etwa Synchrotronanlagen und Freie-Elektronen-Lasern, für Proteinkristallografie, Materialwissenschaft und Nanolithografie.

5.6.5 Helligkeitstemperaturen und Spektren: Faustregeln

Für einen Potenzgesetzemitter mit $I_{{\nu }^{\prime }}^{\prime }\propto {\nu }^{\prime \alpha }$ erfüllt das beobachtete Spektrum unter einem Boost

$$I_{\nu }\propto {\mathcal{D}}^{3-\alpha }{\nu }^{\alpha }$$

Im Ruhesystem isotrope Strahlung wird anisotrop: Scheinbare Öffnungswinkel skalieren wie $\sim 1/\gamma$, und Variabilitätszeiten verkürzen sich um $1/\mathcal{D}$. Auf diesen Skalierungen beruhen Schätzungen der Lorentz-Faktoren der Gesamtströmung in Blazaren und Gammastrahlenausbrüchen.

5.6.6 Schnelles Radar und Lidar: Annäherung ist keine einfache Addition

Bei relativistisch bewegten Plattformen folgen die gemessenen Schwebungsfrequenzen von Radar und Lidar derselben Doppleralgebra. Bei monostatischem Radar und einer Annäherungsgeschwindigkeit $v$ entlang der Sichtlinie wirkt die Verschiebung auf Hin- und Rückweg:

$${\nu }_{\text{beat}}\approx \left({\mathcal{D}}^2-1\right){\nu }_{\text{tx}}$$

Im Grenzfall kleiner $v$ folgt die bekannte $2v/c$-Formel. Bei großem $v$ vermeidet der exakte Faktor $\mathcal{D}$ systematische Fehler.

5.6.7 GPS und Uhren: Technik mit Relativität

Moderne Navigation beruht auf präziser Zeitmessung. In der speziellen Relativität geht eine Uhr mit Geschwindigkeit $v$ um den Faktor $\gamma$ langsamer:

$$\frac{\Delta t_{\text{sat}}}{\Delta t_{\text{ground}}}\approx \frac{1}{\gamma }\approx 1-\frac{v^2}{2c^2}$$

Satellitenuhren gehen wegen der Umlaufgeschwindigkeit langsamer, ein Effekt der speziellen Relativität, wegen des höheren Gravitationspotenzials aber schneller, ein Effekt der allgemeinen Relativität (§5.8). Die Bordsoftware berücksichtigt vorab angepasste Uhrenfrequenzen und korrigiert die Zeit fortlaufend mit relativistischen Modellen. Ohne diese Korrekturen wüchsen Positionsfehler täglich auf Kilometer an.

5.6.8 Bilder bei relativistischen Geschwindigkeiten: vom Gedankenexperiment ins Labor

Bewegt sich eine Kamera mit fast $c$ an einer Szene vorbei, bündelt Aberration die meisten Photonen in einen Vorwärtskegel, Dopplerverschiebungen verlagern die Spektren, und die geometrische Terrell-Rotation lässt Objekte gedreht statt zusammengedrückt erscheinen. Laboranaloga zeigen Teilaspekte: Relativistische Elektronenpakete „sehen“ Laserpulse ins Röntgengebiet dopplerverschoben. Darauf beruhende inverse Compton-Quellen ermöglichen kompakte Röntgenerzeugung.

5.6.9 Tscherenkow und Doppler nicht verwechseln

Tscherenkow-Strahlung entsteht, wenn sich eine Ladung durch ein Medium schneller bewegt als die Phasengeschwindigkeit des Lichts in diesem Medium. Sie ist im Vakuum nicht überlichtschnell und verletzt die Relativitätstheorie nicht. Relativistischer Dopplereffekt und Aberration betreffen dagegen die Vakuumkinematik. Beide Phänomengruppen treten in Detektoren und der Astrophysik auf, beantworten aber unterschiedliche Fragen.

5.6.10 Praktischer Merkzettel

• Dopplerfaktor: $\mathcal{D}=\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}$; verwende ${\nu }_{\text{obs}}=\mathcal{D}{\nu }_{\text{emit}}$.
• Transversaler Dopplereffekt: ${\nu }_{\text{obs}}={\nu }_{\text{emit}}/\gamma$.
• Aberration: $\cos {\theta }^{\prime }=\frac{\cos \theta -\beta }{1-\beta \cos \theta }$.
• Intensität: $I_{\nu }/{\nu }^3$ invariant $\Rightarrow I_{\nu }={\mathcal{D}}^3{I}_{{\nu }^{\prime }}^{\prime }$; bolometrisch $I={\mathcal{D}}^4{I}^{\prime }$.
• Synchrotron: ${\omega }_c=(3/2){\gamma }^{3}c/\rho$; Leistung $\propto {\gamma }^4/{\rho }^2$.

Zusammenfassung: Relativistische Kinematik bringt die Geometrie der Lichtkegel in die Alltagstechnik. Dopplereffekt und Aberration bestimmen beobachtete Frequenzen und Quellenrichtungen; Bündelung und Intensitätsinvarianten bestimmen die Helligkeit; Synchrotronformeln beschreiben die Strahlung abgelenkter Ladungen. Dieselben wenigen Beziehungen erklären kosmische Jets, ermöglichen extrem helle Lichtquellen und halten die Karte auf Ihrem Telefon genau.

5.7 Äquivalenzprinzip: auf dem Weg zur allgemeinen Relativitätstheorie

Die spezielle Relativitätstheorie formulierte Kinematik als Geometrie neu. Die Gravitation vollendet den Umbau, indem sie die Geometrie selbst verändert. Der Zugang ist Einsteins Äquivalenzprinzip: Lokal lässt sich ein homogenes Gravitationsfeld nicht von einem gleichmäßig beschleunigten Bezugssystem unterscheiden. Daraus folgen gravitative Rotverschiebung, Universalität des freien Falls und schließlich die Feldgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie.

5.7.1 Träge und schwere Masse: der entscheidende Hinweis

In der newtonschen Mechanik begegnen uns zwei Massen: die träge Masse $m_{\mathrm{i}}$ als Widerstand gegen Beschleunigung und die schwere Masse $m_{\mathrm{g}}$ als Maß der Gravitationswirkung. Experimente zeigen ihre Gleichheit mit erstaunlicher Genauigkeit; die Bewegung im Gravitationsfeld ist daher unabhängig von der Zusammensetzung. Diese Universalität des freien Falls legt nahe, dass Gravitation keine Kraft im üblichen Sinn ist, sondern eine Eigenschaft der Raumzeit, die auf sämtliche Materie gleich wirkt.

Einstein nahm $m_{\mathrm{g}}=m_{\mathrm{i}}$ als Postulat und fragte, in welchem Weltbild diese Gleichheit natürlich erscheint.

5.7.2 Einsteins Aufzug: Rotverschiebung und Lichtablenkung ohne Gravitation

Stellen Sie sich ein kleines, zunächst ruhendes Labor als Aufzug im fernen Weltraum vor. Seine Raketen beschleunigen es nun konstant mit $a$ nach oben. Ein Laser am Boden sendet nach oben; bis das Licht die Decke erreicht, hat diese Geschwindigkeit aufgenommen und misst eine Doppler-Rotverschiebung. Über die Höhe $h$ beträgt die relative Verschiebung

$$\frac{\Delta \nu }{\nu }\approx -\frac{ah}{c^2}$$

Ersetzt man $a$ durch $g$, ergibt sich die gravitative Rotverschiebung im homogenen Feld:

$$\frac{\Delta \nu }{\nu }\approx -\frac{gh}{c^2}$$

Dasselbe Labor, ein anderes Experiment: Ein horizontaler Lichtpuls durchquert die Kabine. Während seiner Flugzeit $t\approx \ell /c$ beschleunigt die Kabine gegenüber dem Strahl nach oben; das Licht scheint in der Kabine nach unten gekrümmt. Nach dem Äquivalenzprinzip sollte es sich auch nahe einer Masse ablenken. Das Aufzugexperiment deutet bereits die wichtigsten Vorhersagen der allgemeinen Relativitätstheorie an.

5.7.3 Lokale Inertialsysteme: Gravitation lässt sich wegtransformieren — lokal

An jedem Raumzeitereignis kann man Koordinaten wählen, in denen die Physik bis zur ersten Ordnung wie spezielle Relativität aussieht. Präzise: An einem Punkt $P$ gibt es lokale Inertialkoordinaten mit

$$g_{\mu \nu }(P)={\eta }_{\mu \nu },{\partial }_{\alpha }{g}_{\mu \nu }(P)=0$$

Darin bewegen sich frei fallende Testkörper auf Geraden durch $P$, und Uhren verhalten sich wie in der speziellen Relativität — lokal. Gravitation lässt sich nicht überall beseitigen, denn zweite Ableitungen der Metrik, also Krümmung, bleiben bestehen. Sie beschreiben Gezeiteneffekte.

5.7.4 Geodäten: freier Fall auf möglichst geraden Bahnen

In der allgemeinen Relativität ist freier Fall keine durch eine Kraft angetriebene Bewegung, sondern geodätische Bewegung: Kurven mit extremaler Eigenzeit in einer gekrümmten Mannigfaltigkeit. Die Bewegungsgleichung lautet

$$\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{\tau }^2}+{\Gamma }^{\mu }{}_{\alpha \beta }\frac{d{x}^{\alpha }}{d\tau }\frac{d{x}^{\beta }}{d\tau }=0$$

Hier sind ${\Gamma }^{\mu }{}_{\alpha \beta }$ die aus $g_{\mu \nu }$ gebildeten Christoffel-Symbole. In flacher Raumzeit lassen sie sich global auf null setzen; in gekrümmter Raumzeit verschwinden sie durch die Wahl eines lokalen Inertialsystems an einem Punkt.

5.7.5 Krümmung und Gezeiten: geodätische Abweichung

Zwei benachbarte frei fallende Teilchen mit Abstand ${\xi }^{\mu }$ und Vierergeschwindigkeit $u^{\mu }$ erfüllen die Gleichung der geodätischen Abweichung:

$$\frac{D^2{\xi }^{\mu }}{D{\tau }^2}=-R^{\mu }{}_{\nu \alpha \beta }{u}^{\nu }{\xi }^{\alpha }{u}^{\beta }$$

$R^{\mu }{}_{\nu \alpha \beta }$ ist der Riemann-Krümmungstensor. Bei $R^{\mu }{}_{\nu \alpha \beta }=0$ bleiben parallele frei fallende Weltlinien parallel; es gibt keine Gezeiten. Nichtverschwindende Krümmung lässt sie konvergieren oder divergieren — das ist Gravitation in der allgemeinen Relativität. Das „Gravitationsfeld“ ist kein Vektor, sondern Geometrie.

5.7.6 Von der Äquivalenz zu den Feldgleichungen

Einstein suchte möglichst einfache Feldgleichungen, die

1. bei schwachen Feldern und kleinen Geschwindigkeiten in die newtonsche Gravitation übergehen,
2. Energie und Impuls erhalten und
3. allgemein kovariant, also in beliebigen Koordinaten gültig sind.

Die Antwort ist die einsteinsche Feldgleichung:

$$G_{\mu \nu }\equiv R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$

Optional kann links eine kosmologische Konstante $\Lambda$ als $(-\Lambda g_{\mu \nu })$ ergänzt werden; zur Vereinfachung lassen wir sie hier weg. $T_{\mu \nu }$ ist der Energie-Impuls-Tensor von Materie und Feldern. Links die Geometrie $G_{\mu \nu }$, rechts die Quellen $T_{\mu \nu }$: „Materie sagt der Raumzeit, wie sie sich krümmen soll; Raumzeit sagt der Materie, wie sie sich bewegen soll.“

5.7.7 Newtonscher Grenzfall: die Poisson-Gleichung zurückgewinnen

Betrachten wir ein statisches schwaches Feld mit der Metrikkomponente

$$g_{00}\approx 1+\frac{2\Phi }{c^2}$$

Dabei ist $\Phi$ das newtonsche Potenzial mit $|\Phi |/c^2\ll 1$. Setzt man den Ansatz in die Feldgleichungen ein und behält die niedrigste Ordnung in $1/c^2$, erhält man

$${\nabla }^2\Phi =4\pi G\rho$$

Die Bahnen des freien Falls reduzieren sich auf $\mathbf{a}=-\nabla \Phi$. Die Plausibilitätsprüfung gelingt: Die allgemeine Relativität enthält Newtons Theorie als Grenzfall schwacher Felder und langsamer Bewegung.

5.7.8 Gravitative Zeitdilatation und Rotverschiebung: Eigenzeit im statischen Feld

Bei einer stationären Metrik misst eine Uhr an festen räumlichen Koordinaten die Eigenzeit

$$d\tau =\sqrt{g_{00}}dt$$

Nahe der Erde, mit $g_{00}\approx 1+2\Phi /c^2$ und einer kleinen Potenzialdifferenz nach oben $\Delta \Phi \approx g\Delta h$, beträgt die relative Frequenzverschiebung von Licht, das oberhalb seiner Quelle empfangen wird,

$$\frac{\Delta \nu }{\nu }\approx -\frac{\Delta \Phi }{c^2}\approx -\frac{g\Delta h}{c^2}$$

Deshalb gehen GPS-Satellitenuhren bei höherem $\Phi$ schneller als identische Bodenuhren und müssen vorab angepasst sowie korrigiert werden.

5.7.9 Beschleunigte Systeme und Rindler-Koordinaten: Vorbereitung in flacher Raumzeit

Gleichmäßig beschleunigte Beobachter in flacher Raumzeit überdecken einen Rindler-Keil. Eine praktische Karte in $1+1$ Dimensionen verwendet Parameter $(\rho ,\eta )$, die mit inertialen Koordinaten $(ct,x)$ zusammenhängen durch

$$ct=\rho \sinh \left(\frac{a\eta }{c}\right),x=\rho \cosh \left(\frac{a\eta }{c}\right)$$

In diesen Koordinaten lautet die Metrik

$$d{s}^2={\left(\frac{a\rho }{c^2}\right)}^2{c}^{2}d{\eta }^2-d{\rho }^2$$

Uhren bei verschiedenen $\rho$ gehen unterschiedlich schnell, ähnlich wie bei gravitativer Rotverschiebung. Die Äquivalenz zeigt, dass viele Effekte beschleunigter Systeme gravitative Entsprechungen haben, wenn die Krümmung über das Labor hinweg klein ist.

5.7.10 Lichtablenkung, Verzögerung und Perihel: Vorschau

Die vollständige allgemeine Relativität sagt quantitative Effekte voraus, die sich durch die Metrik ausdrücken lassen. Für einen an einer Masse $M$ vorbeilaufenden Lichtstrahl mit Stoßparameter $b$ beträgt der Ablenkwinkel

$$\Delta \theta \approx \frac{4GM}{c^{2}b}$$

Signale nahe einer Masse erfahren eine zusätzliche Shapiro-Laufzeitverzögerung, die mit $g_{00}$ und räumlicher Krümmung zusammenhängt. Gebundene Bahnen präzedieren; die Perihelverschiebung des Merkur stimmt nach Abzug der Planetenstörungen mit der allgemeinen Relativität überein. §5.8 sammelt die klassischen Tests.

5.7.11 Was das Äquivalenzprinzip tatsächlich aussagt

• Schwache Äquivalenz, Universalität des freien Falls: Testkörper mit vernachlässigbarer Eigengravitation folgen bei gleichen Anfangsbedingungen im selben Gravitationsfeld denselben Bahnen.
• Einsteinsche Äquivalenz: In jedem lokalen frei fallenden System reduziert sich nichtgravitative Physik auf spezielle Relativität; Versuchsergebnisse hängen nicht vom Ort und Zeitpunkt der Durchführung ab.

Äquivalenz bedeutet nicht, dass Gravitation überall wegtransformiert werden kann oder schlicht eine „Scheinkraft“ ist. Sie besagt, dass freier Fall lokale Gravitationseffekte beseitigt, während Krümmung, also Gezeitenterme, als invarianter Inhalt verbleibt.

5.7.12 Grundausstattung für Aufgaben

• Berechne aus einer Metrik $g_{\mu \nu }$ für ruhende Uhren $d\tau =\sqrt{g_{00}}dt$ und vergleiche die Gangraten.
• Lies für langsame Bewegung im schwachen Feld $\Phi$ aus $g_{00}\approx 1+2\Phi /c^2$ ab und gewinne den newtonschen Grenzfall zurück.
• Stelle für freien Fall die Geodätengleichung mit ${\Gamma }^{\mu }{}_{\alpha \beta }(g)$ auf und integriere sie, oder nutze aus Symmetrien folgende Erhaltungsgrößen, also Killing-Vektoren.

Zusammenfassung: Das Äquivalenzprinzip formuliert Gravitation als Geometrie. Lokal kann man das Feld durch freien Fall beseitigen, aber nicht die Krümmung: Gezeiten sind der tatsächliche, bezugssystemunabhängige Rest. Die Forderungen nach Äquivalenz, Energie-Impuls-Erhaltung und newtonschem Grenzfall führen zu Einsteins Gleichung $G_{\mu \nu }=(8\pi G/c^4)T_{\mu \nu }$. Von Rotverschiebung über Lichtablenkung bis zu orbitalen Uhrengangraten entwickelt sich das Aufzugexperiment zur vollständigen Theorie gekrümmter Raumzeit.

5.8 Tests und Grenzen des Wissens

Relativität wird nicht nach Gefühl beurteilt, sondern experimentell geprüft. Von Merkurs Bahn über Gravitationswellen bis zu Bildern Schwarzer Löcher besteht sie immer anspruchsvollere Tests. Dieser Abschnitt behandelt die Klassiker und anschließend Forschungsgrenzen, an denen Präzision, starke Gravitation oder kosmische Skalen die Theorie herausfordern.

5.8.1 Klassische Tests im schwachen Feld

Periheldrehung des Merkur. Newtonsche Gravitation samt Planetenstörungen erklärt einen kleinen zusätzlichen Anteil nicht. Für eine gebundene Bahn mit großer Halbachse $a$ und Exzentrizität $e$ um eine Masse $M$ sagt die allgemeine Relativität pro Umlauf voraus:

$$\Delta \phi \approx \frac{6\pi GM}{c^{2}a(1-e^2)}$$

Lichtablenkung. Ein Lichtstrahl mit Stoßparameter $b$ an einer Masse $M$ wird abgelenkt um

$$\Delta \theta \approx \frac{4GM}{c^{2}b}$$

Das ist doppelt so viel wie die naive Abschätzung für ein newtonsches Teilchen, weil die Raumzeitkrümmung sowohl Zeit als auch Raum betrifft.

Gravitative Rotverschiebung. In einem statischen schwachen Feld gehen Uhren bei höherem Potenzial schneller. Nach oben laufendes Licht wird dagegen mit geringerer Frequenz empfangen als ausgesandt. Für einen kleinen Höhenunterschied $h$ nahe der Erde mit Beschleunigung $g$ beträgt die Photonenfrequenzverschiebung

$$\frac{\Delta \nu }{\nu }\approx -\frac{gh}{c^2}$$

Shapiro-Laufzeitverzögerung. Radarsignale, die nahe an einem massiven Körper vorbeilaufen, treffen später ein als euklidisch erwartet. Für Hin- und Rückweg an einer Masse $M$ vorbei gilt bei geeigneter Geometrie

$$\Delta t\propto \frac{GM}{c^3}\ln \left(\frac{\text{Wegstrecken}}{\text{Stoßparameter}}\right)$$

Der Logarithmus ist die charakteristische Signatur der allgemeinen Relativität.

5.8.2 Tests des Äquivalenzprinzips

Fallen alle ungeladenen Testkörper gleich, muss der Eötvös-Parameter winzig sein:

$$\eta \equiv \frac{2|a_1-a_2|}{a_1+a_2}$$

Moderne Torsionswaagen, Atominterferometer und Laserentfernungsmessungen zum Mond begrenzen $\eta$ auf extrem kleine Werte. Einsteins Aufzug bleibt damit mit einem frei fallenden Labor vereinbar.

5.8.3 Doppelpulsare und Gravitationsstrahlung

Ein kompaktes Doppelsternsystem verliert Bahnenergie durch Gravitationswellen; seine Umlaufperiode schrumpft. In der allgemeinen Relativität hängt deren Ableitung von der Chirp-Masse $M_c$ ab:

$$M_c\equiv \frac{(m_1{m}_2{)}^{3/5}}{(m_1+m_2{)}^{1/5}}$$

Für ein annähernd kreisförmiges Doppelsternsystem mit Umlaufperiode $P$ gilt

$$\dot{P}=-\frac{192\pi }{5}{\left(\frac{G{M}_c}{c^3}\right)}^{5/3}{\left(\frac{2\pi }{P}\right)}^{5/3}$$

Die Radiozeitmessung von Pulsaren stimmt mit dieser Vorhersage überein und bestimmt $M_c$ präzise. Die allgemeine Relativität besteht auch diesen Test ihrer Strahlung im starken Feld.

5.8.4 Direkte Gravitationswellen und Chirps

Interferometer messen die dimensionslose Dehnung $h=\Delta L/L$ durch vorbeiziehende Wellen. Beim annähernd kreisförmigen Einspiralen wächst die Gravitationswellenfrequenz $f$ gemäß

$$\dot{f}=\frac{96}{5}{\pi }^{8/3}{\left(\frac{G{M}_c}{c^3}\right)}^{5/3}{f}^{11/3}$$

Aus $f(t)$ gewinnt man $M_c$; zusammen mit gemessener Wellenamplitude und Quellenorientierung erhält man Entfernungen ohne kosmische Entfernungsleiter. Triangulation mit mehreren Detektoren lokalisiert Quellen; Polarisation und Phasenverlauf prüfen die Wellenformmodelle der allgemeinen Relativität.

5.8.5 Schwarze Löcher und starke Gravitation

Wir definieren den Schwarzschild-Radius

$$r_s\equiv \frac{2GM}{c^2}$$

Lichtringe, innerste stabile Kreisbahnen und Gezeitenkräfte nahe $r_s$ untersuchen die Metrik bei großer Krümmung. Interferometrie mit sehr langen Basislinien löst Strukturen auf Horizontskalen auf; Sternbahnen um galaktische Kerne kartieren die Raumzeit und prüfen durch Präzessionen und Rotverschiebungen das Keine-Haare-Paradigma.

5.8.6 Mitführung von Bezugssystemen und geodätische Effekte

Eine rotierende Masse zieht Inertialsysteme mit. Um einen Körper mit Drehimpuls $\mathbf{J}$ beträgt die gravitomagnetische Präzessionsrate eines Kreisels größenordnungsmäßig

$${\mathbf{\Omega }}_{\text{LT}}\sim \frac{G\mathbf{J}}{c^2{r}^3}$$

Geodätische Präzession entsteht durch Bewegung in gekrümmter Raumzeit. Satellitenkreisel und die Vermessung von Bahnknoten messen beide Effekte im Erdschwerefeld und stimmen gut mit der allgemeinen Relativität überein.

5.8.7 Relativität in der Technik: Uhren, Navigation und Zeitübertragung

Zeitdilatation und gravitative Rotverschiebung sind in der Technik unverzichtbar. Satellitenuhren werden mithilfe spezieller und allgemeiner Relativität vorab angepasst und korrigiert, damit Entfernungsgleichungen auf Meter genau und besser konsistent bleiben. Glasfaser- und Mikrowellenverbindungen zur Zeitübertragung berücksichtigen diese Korrekturen; transportierte Atomuhren bestätigen die vorhergesagten Abweichungen.

5.8.8 Parametrisierter postnewtonscher Formalismus (PPN)

Zum Vergleich mit Alternativen zur allgemeinen Relativität schreibt man schwachfeldige Observablen mit Parametern wie $\gamma$ und $\beta$. Die Lichtablenkung ist beispielsweise proportional zu $1+\gamma$; die Periheldrehung hängt von einer Kombination aus $\gamma$ und $\beta$ ab. Die allgemeine Relativität sagt $\gamma =\beta =1$ voraus. Sonnensystem- und Pulsartests begrenzen die Parameter eng auf diese Werte.

5.8.9 Ausbreitungsgeschwindigkeit, Dispersion und Gravitonmasse

Eine von $c$ abweichende Gravitationsausbreitung lässt sich über Ankunftszeiten prüfen. Dispersion verlangt dagegen eine frequenzabhängige Ausbreitung, wie sie bei einer Gravitonmasse $m_g$ auftritt. Ein massives Graviton erfüllt

$$E^2=p^2{c}^2+m_g^2{c}^4$$

Dadurch würden höherfrequente Wellen derselben Quelle früher eintreffen als niederfrequente. Beobachtete Wellenformen und Multimessenger-Ereignisse begrenzen eine solche Dispersion sehr stark und sind innerhalb winziger relativer Abweichungen mit Ausbreitung bei $c$ vereinbar.

5.8.10 Kosmologische Forschungsgrenzen

Auf größten Skalen ergibt allgemeine Relativität mit einfachen Materiekomponenten Lösungen für ein expandierendes Universum. Eine kosmologische Konstante $\Lambda$ ermöglicht beschleunigte Expansion. Die Friedmann-Gleichung für den Skalenfaktor $a(t)$ verbindet Geometrie und Energieinhalt:

$${\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}+\frac{\Lambda c^2}{3}$$

Entfernungs-Rotverschiebungs-Beziehungen, Gravitationslinsen und das Wachstum von Strukturen prüfen die allgemeine Relativität über kosmische Zeiträume. Abweichungen würden sich als Widersprüche zwischen diesen Messungen zeigen.

5.8.11 Wo neue Physik auftreten könnte

• Strukturen im starken Feld. Obertöne des Abklingens nach Verschmelzungen Schwarzer Löcher prüfen das für eine Kerr-Metrik erwartete Spektrum.
• Grenzen des Äquivalenzprinzips. Ultraleichte Felder oder Kopplungen an einen dunklen Sektor könnten zusammensetzungsabhängige Beschleunigungen oder zeitveränderliche Konstanten verursachen.
• Gravitation auf kurzen Distanzen. Laborexperimente suchen auf Millimeter- bis Mikrometerskalen nach Abweichungen vom inversen Quadratgesetz.
• Lorentz-Symmetrie. Hochenergetische kosmische Strahlung und präzise Zeitmessungen suchen nach winzigen Verletzungen im Gravitationssektor.

Bisher bestätigen die Nullresultate den Vorsprung der allgemeinen Relativität, doch der mögliche Parameterraum schrumpft weiter.

5.8.12 Grundausstattung für Aufgaben

• Berechne mit obigem $\Delta \phi$ eine merkurähnliche Präzession und vergleiche über viele Umläufe mit einer newtonschen Ellipse.
• Schätze für einen streifenden Lichtweg Ablenkung und Shapiro-Verzögerung anhand der Formeln ab.
• Nutze für ein Doppelsternsystem mit gegebenen Massen und Periode $\dot{P}$ und $\dot{f}$ zur Vorhersage von Wellenformentwicklung und Einspiralzeit.
• Berechne für zwei Uhren mit Höhenunterschied $\Delta h$ die gravitative Rotverschiebung und verknüpfe sie mit GPS-Frequenzkorrekturen.

Zusammenfassung: Die Relativität hat ein Jahrhundert kritischer Prüfungen überstanden: Bahnen präzedieren, Licht wird abgelenkt und verzögert, Uhren verändern ihren Gang, Doppelsterne erzeugen Chirps und Horizonte werfen Schatten wie von den Gleichungen beschrieben. Die Grenzen liegen heute bei Präzision und Extremen: Mikrometern im Labor, Megaparsec im Kosmos und Krümmungen nahe $r_s$. Überall gilt dieselbe Vorgehensweise: Invarianten berechnen, den Lichtkegel respektieren und die Metrik die Bewegung der Materie bestimmen lassen.