1. Le monde avant Newton — D’Aristote à Galilée

Avant Newton, le mouvement relevait de la métaphysique plutôt que des mathématiques. La physique d’Aristote avait dominé l’Europe pendant près de deux millénaires :

• La vision aristotélicienne du monde : les objets avaient un lieu naturel. Une pierre tombait parce qu’elle cherchait la Terre ; le feu montait parce qu’il cherchait les cieux. Le mouvement exigeait un moteur continu. Si l’on cessait de pousser, le mouvement s’arrêtait.

Ce modèle correspondait à l’intuition quotidienne, mais ne résistait pas à un examen approfondi.

Le dilemme aristotélicien

• Pourquoi une flèche continue-t-elle de voler après avoir quitté la corde de l’arc ?
• Pourquoi les planètes ne tombent-elles pas sur Terre ?

Les savants médiévaux répondaient par la « théorie de l’impetus » : l’idée qu’une force communiquée persiste un certain temps avant de se dissiper. C’était un pas vers l’inertie, mais le mouvement restait lié à des « qualités » métaphysiques.

L’entrée en scène de Galilée (1564–1642)

Galileo Galilei ébranla l’orthodoxie aristotélicienne par ses expériences :

1. L’expérience du plan incliné
   Galilée faisait rouler des sphères sur des plans inclinés pour ralentir les effets de la pesanteur.
   Il découvrit le mouvement uniformément accéléré ; pour une chute libre depuis le repos, le déplacement est :

   $$s=\frac{1}{2}g{t}^2$$

   où $s$ est le déplacement, $t$ le temps et $g$ l’accélération de la pesanteur.

   → En un lieu donné, la même accélération de la pesanteur $g$ gouverne la chute libre, quelle que soit la masse du corps qui tombe.

   Exercice 1.1 : Lâchez un marteau et une plume dans le vide. Lequel touche le sol en premier ?

   Réponse : Ils arrivent simultanément, car l’accélération $g$ est indépendante de la masse.

2. Le principe d’inertie à ses débuts
   Galilée remarqua qu’une boule roulant sur un plan sans frottement ne s’arrêterait pas d’elle-même.
   Si aucune force n’agissait, sa vitesse restait constante.

   $$\frac{d\mathbf{v}}{dt}=0\text{si }\mathbf{F}=0$$

   C’était l’ébauche de la première loi de Newton.

   Exercice 1.2 : Un palet glisse sur une glace lisse et ne ralentit que progressivement. Quelle force le ralentit ?
   Réponse : Le frottement sur la glace et la résistance de l’air. Sur une surface idéale sans frottement, il ne s’arrêterait jamais.

Kepler et l’énigme céleste

Johannes Kepler (1571–1630) apporta une autre pièce du puzzle. À partir des données de Tycho Brahe (1546–1601), il dégagea trois lois du mouvement planétaire :

1. Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe un foyer.
2. Elles balayent des aires égales en des temps égaux.
3. Le carré de la période orbitale est proportionnel au cube du demi-grand axe ($T^2\propto a^3$).

Mais Kepler n’avait pas de cause. Pourquoi des ellipses ? Pourquoi $T^2\propto a^3$ ? Il décrivait admirablement le ciel, mais il lui manquait un mécanisme.

Descartes et le rêve mécanique

René Descartes (1596–1650) imaginait un univers d’horlogerie rempli de tourbillons de matière subtile qui entraînaient les planètes. L’image était poétique, mais invérifiable. Le rêve d’une mécanique du cosmos persistait néanmoins.

Un monde en attente de Newton

Ainsi, au milieu du XVIIe siècle :

• Galilée avait fourni les lois du mouvement terrestre.
• Kepler avait fourni les lois planétaires.
• Descartes avait fourni le mécanisme philosophique.

Mais personne ne les avait unifiés.
Dans cette lacune naquit Isaac Newton, en 1642, l’année de la mort de Galilée.

2. La genèse des lois

Newton n’inventa pas la physique, mais il en fit un système. Il assimila l’inertie de Galilée, les harmonies de Kepler et la mécanique de Descartes. En 1687, il publia les Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, les Principia.

Il y exposait les trois lois du mouvement et la loi de la gravitation universelle.

Pour la première fois, les mouvements terrestres et célestes étaient gouvernés par les mêmes principes. Les pommes et les lunes suivaient la même loi.

Nous nous appuyons encore aujourd’hui sur cette unification.

3. La première loi — Inertie et isolement

La première loi du mouvement de Newton approfondissait l’idée d’inertie de Galilée :

« Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme, à moins que des forces qui s’exercent sur lui ne le contraignent à changer cet état. »

Formulation mathématique

Si la résultante des forces exercées sur un corps est nulle :

$$\frac{d\mathbf{v}}{dt}=0\Rightarrow \mathbf{v}=\text{constante}$$

De manière équivalente, en termes de position :

$$\mathbf{r}(t)={\mathbf{r}}_0+{\mathbf{v}}_{0}t$$

Un référentiel inertiel est donc défini comme un référentiel dans lequel les lois de Newton s’appliquent et où les objets conservent leur vitesse en l’absence de forces.

Démonstration par le plan incliné de Galilée

Considérons une boule qui descend une pente, traverse une surface plane, puis remonte une autre pente :

• Avec des frottements, elle remonte moins haut.
• Si les frottements diminuent, elle remonte plus haut.
• À la limite où les frottements s’annulent, elle retrouverait la même hauteur ou, sur un plan parfaitement horizontal, poursuivrait indéfiniment son mouvement.

Cette expérience montre que le mouvement uniforme n’exige aucune cause continue.

Exemple 3.1 — Glissement sur la glace

Énoncé : On lance un palet de hockey sur une glace sans frottement à la vitesse $v_0$. Quelle distance parcourt-il en 10 s ?
Solution : Comme $a=0$, la vitesse est constante :
$x=v_{0}t$
Si $v_0=5\text{m/s}$, après $t=10\text{s}$, il a parcouru $50\text{m}$.

4. La deuxième loi — Force et génie

La deuxième loi de Newton fournit le lien causal :

« Le changement de mouvement est proportionnel à la force motrice appliquée ; il s’effectue suivant la droite dans laquelle cette force est appliquée. »

Mathématiquement :

$$\mathbf{F}=m\mathbf{a}=m\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}$$ $$\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}$$

Cette seule relation rend l’univers calculable.

Démonstration à partir du lagrangien

Prenons le lagrangien $L=T-V=\frac{1}{2}m{\dot{\mathbf{r}}}^2-V(\mathbf{r})$.

Le lagrangien est défini comme la différence entre l’énergie cinétique $T$ et l’énergie potentielle $V$.

L’équation d’Euler–Lagrange :

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}}=0$$

donne

$$m\ddot{\mathbf{r}}+\nabla V=0\Rightarrow m\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}$$

Ainsi, la relation $F=ma$ de Newton émerge naturellement des principes variationnels.

Symétrie de translation dans le temps → Conservation de l’énergie

Si $L$ ne dépend pas explicitement du temps, l’énergie $E$, définie par :

$$E=\dot{\mathbf{r}}\cdot \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}-L$$

est conservée.

Pour une particule :

$$E=\frac{1}{2}m{v}^2+V(\mathbf{r})=\text{constante}$$

Ainsi, symétrie temporelle = conservation de l’énergie.

Démonstration

À partir de la définition,

$$E={\dot{q}}_i\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}-L,$$

sa dérivée temporelle vaut

$$\frac{dE}{dt}={\ddot{q}}_i\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}+{\dot{q}}_i\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)-\frac{dL}{dt}.$$

En utilisant l’équation d’Euler–Lagrange

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)=\frac{\partial L}{\partial q_i},$$

on obtient

$$\frac{dE}{dt}=-\frac{\partial L}{\partial t}.$$

Par conséquent, si $L$ ne dépend pas explicitement du temps,

$$\frac{\partial L}{\partial t}=0\Rightarrow \frac{dE}{dt}=0,$$

donc $E$ est conservée.

C’est un exemple direct du théorème de Noether :
la symétrie de translation dans le temps correspond à la conservation de l’énergie.

Exemple 4.1 — Bloc sur un plan incliné

Énoncé : Un bloc de masse $m$ glisse sur un plan incliné d’angle $\theta$, sans frottement. Déterminez son accélération $a$.

Solution :
Force parallèle au plan : $F=mg\sin \theta$
Deuxième loi de Newton : $F=ma$
Donc $a=g\sin \theta$.

Si $\theta =30^{\circ }$, $a=4.9{\text{m/s}}^2$.

Exemple 4.2 — Pendule simple aux petits angles

Considérons un pendule simple formé d’une masse ponctuelle $m$ fixée à une tige rigide sans masse, ou à un fil, de longueur $\ell$. Le pivot est sans frottement et l’angle par rapport à la verticale est noté $\theta (t)$.

La masse se déplace sur un arc de cercle de rayon $\ell$. Son accélération tangentielle vaut

$$a_{\text{tan}}=\ell \ddot{\theta },$$

et son accélération radiale, ou centripète, vaut

$$a_{\text{rad}}=\ell {\dot{\theta }}^2.$$

Deux forces agissent sur la masse :

• La tension $T$ dirigée suivant la tige.
• La force de pesanteur $mg$ dirigée verticalement vers le bas.

La composante tangentielle de la pesanteur est

$$F_{\text{tan}}=-mg\sin \theta ,$$

où le signe moins indique que la pesanteur ramène le pendule vers $\theta =0$.

En appliquant la deuxième loi de Newton dans la direction tangentielle,

$$m{a}_{\text{tan}}=\sum F_{\text{tan}},$$

on trouve

$$m(\ell \ddot{\theta })=-mg\sin \theta .$$

En simplifiant,

$$\ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\sin \theta =0.$$

C’est l’équation exacte et non linéaire du mouvement d’un pendule simple.

Pour de petits déplacements angulaires $|\theta |\ll 1$, en radians, on peut utiliser

$$\sin \theta \approx \theta .$$

L’équation devient alors

$$\boxed{\ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\theta =0}.$$

C’est l’équation bien connue de l’oscillateur harmonique simple, de pulsation

$${\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{\ell }},T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}.$$

• Méthode du moment des forces :
  Par rapport au pivot, le moment de la pesanteur vaut

  $$\tau =-mg\ell \sin \theta ,$$

  et, avec le moment d’inertie $I=m{\ell }^2$,

  $$I\ddot{\theta }=\tau \Rightarrow \ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\sin \theta =0.$$

• Méthode lagrangienne :

  $$T=\frac{1}{2}m{\ell }^2{\dot{\theta }}^2,V=mg\ell (1-\cos \theta ),$$ $$L=T-V.$$

  L’application de l’équation d’Euler–Lagrange donne le même résultat.

Puisque

$$\sin \theta =\theta -\frac{{\theta }^3}{6}+\cdots ,$$

l’erreur relative est $\sim {\theta }^2/6$ :

• Pour $\theta =10^{\circ }\approx 0.17$ rad → erreur $\approx 0.5\%$.
• Pour $\theta =20^{\circ }\approx 0.35$ rad → erreur $\approx 2\%$.

L’équation aux petits angles est donc précise pour des oscillations d’amplitude modérée.

Équation du mouvement :

$$\ddot{\theta }+\frac{g}{l}\theta =0$$

Solution :

$$\theta (t)={\theta }_0\cos \left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)$$

Période :

$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

5. La troisième loi — Symétrie et opposition

La troisième loi de Newton introduit la réciprocité :

« À toute action s’oppose toujours une réaction égale. »

Mathématiquement :

$${\mathbf{F}}_{12}=-{\mathbf{F}}_{21}$$

Démonstration → Conservation de la quantité de mouvement

Pour un système de deux particules :

$$m_1{\ddot{\mathbf{r}}}_1={\mathbf{F}}_{12},m_2{\ddot{\mathbf{r}}}_2={\mathbf{F}}_{21}$$

En additionnant :

$$m_1{\ddot{\mathbf{r}}}_1+m_2{\ddot{\mathbf{r}}}_2={\mathbf{F}}_{12}+{\mathbf{F}}_{21}=0$$

Donc :

$$\frac{d}{dt}(m_1{\dot{\mathbf{r}}}_1+m_2{\dot{\mathbf{r}}}_2)=0$$

Ainsi, la quantité de mouvement totale $\mathbf{P}$ = $(m_1{\mathbf{v}}_1+m_2{\mathbf{v}}_2)$ est conservée.
C’est le fondement mathématique des collisions et du recul.

Symétrie de translation dans l’espace → Conservation de la quantité de mouvement

Si le lagrangien est invariant sous $\mathbf{r}\to \mathbf{r}+ϵ$, alors :

$$\mathbf{P}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}=m\mathbf{v}$$

est conservée.

Exemple 5.1 — Collision élastique

Énoncé : Deux masses $m_1,m_2$ subissent une collision élastique à une dimension. Leurs vitesses initiales sont $v_1,v_2$. Déterminez $v_1^{\prime },v_2^{\prime }$.

Solution :
Quantité de mouvement :

$$m_1{v}_1+m_2{v}_2=m_1{v}_1^{\prime }+m_2{v}_2^{\prime }$$

Énergie :

$$\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2=\frac{1}{2}{m}_1(v_1^{\prime }{)}^2+\frac{1}{2}{m}_2(v_2^{\prime }{)}^2$$

La résolution donne :

$$v_1^{\prime }=\frac{(m_1-m_2)v_1+2m_2{v}_2}{m_1+m_2},v_2^{\prime }=\frac{(m_2-m_1)v_2+2m_1{v}_1}{m_1+m_2}$$

Exemple 5.2 — L’équation de la fusée de Tsiolkovski

Considérons une fusée de masse instantanée $M(t)$ se déplaçant à la vitesse $v(t)$ dans l’espace libre, sans forces extérieures.
Pendant un petit intervalle $dt$, elle expulse vers l’arrière une masse $|dM|$ à la vitesse d’éjection $u$ par rapport à la fusée.

1 Conservation de la quantité de mouvement

La variation de la quantité de mouvement de la fusée est

$$d{P}_{\text{rocket}}=Mdv+vdM.$$

Le carburant éjecté a la vitesse $(v-u)$ dans le référentiel inertiel ; sa quantité de mouvement est donc

$$d{P}_{\text{exhaust}}=-(dM)(v-u).$$

Ici, $dM<0$, car la fusée perd de la masse.
La conservation de la quantité de mouvement totale donne

$$Mdv+vdM-(dM)(v-u)=0,$$

ce qui se simplifie en

$$Mdv=-udM.$$

2 Forme différentielle

En divisant par $dt$,

$$M\frac{dv}{dt}=-u\frac{dM}{dt}.$$

3 Intégration

En réécrivant,

$$dv=-u\frac{dM}{M}.$$

En intégrant de $(M_0,v_0)$ à $(M,v)$,

$${\int }_{v_0}^{v}d{v}^{\prime }=-u{\int }_{M_0}^M\frac{d{M}^{\prime }}{M^{\prime }},$$

on obtient

$$v-v_0=u\ln \left(\frac{M_0}{M}\right).$$

L’équation générale de la fusée est donc

$$\boxed{v(t)=v_0+u\ln \left(\frac{M_0}{M(t)}\right)}.$$

4 Remarques d’interprétation

• La forme simplifiée

  $$v=u\ln \left(\frac{M_0}{M}\right)$$

  suppose $v_0=0$ : la fusée part du repos.

• $u$ est la vitesse d’éjection par rapport à la fusée. Certains textes définissent $u$ avec un signe moins pour indiquer la direction vers l’arrière, ce qui peut inverser les signes dans la formule.

• Cette démonstration suppose l’absence de forces extérieures, donc de gravité et de traînée. Leur prise en compte modifie sensiblement l’équation.

5 Signification physique

L’équation montre que la vitesse de la fusée croît logarithmiquement avec le rapport entre la masse initiale et la masse finale :

$$\frac{M_0}{M}=\text{rapport de masses}.$$

Une vitesse d’éjection $u$ plus élevée ou un rapport de masses plus grand conduit à une vitesse finale supérieure.

L’équation de la fusée découle de la conservation de la quantité de mouvement.
Pour une fusée de masse $M$ éjectant une masse $dm$ à la vitesse $u$ :

$$M\frac{dv}{dt}=-u\frac{dM}{dt}$$

En intégrant :

$$v=u\ln \left(\frac{M_0}{M}\right)$$

C’est l’équation de la fusée de Tsiolkovski.

6. Pourquoi ces lois restent essentielles

Les trois lois de Newton fondent tous les cours de mécanique, tous les calculs d’ingénierie et toutes les orbites planifiées par les agences spatiales.
Mais elles expriment aussi de profondes symétries :

• Symétrie de translation dans l’espace → conservation de la quantité de mouvement
• Symétrie de rotation → conservation du moment cinétique
• Symétrie de translation dans le temps → conservation de l’énergie

Voyons maintenant comment elles émergent directement du cadre newtonien.

7. Une question venue du ciel

Dans les années 1670, Newton se demandait : qu’est-ce qui maintient la Lune sur son orbite ?
Kepler avait donné les lois empiriques, mais pas la cause. Newton comprit que la force qui attire une pomme gouverne aussi la Lune.

Si la Lune, à la distance $r\approx 60R_{\oplus }$, tombe vers la Terre avec l’accélération $a=g/60^2$, c’est la même loi en inverse du carré de la distance qui agit près de la surface.

Exemple 7.1 — Accélération de la Lune

Énoncé : Pour la Terre, $g=9.8{\text{m/s}}^2$ et le rayon vaut $R_{\oplus }=6.4\times 10^6\text{m}$. Quelle est l’accélération centripète de la Lune à $r=60R_{\oplus }$ ?

Solution :

$$a=\frac{g}{60^2}\approx \frac{9.8}{3600}\approx 0.0027{\text{m/s}}^2$$

Cette valeur correspond à l’accélération centripète observée de la Lune. Newton reconnut le lien : les pommes et les lunes obéissent à la même loi.

8. La loi de la gravitation universelle

Newton proposa :

$$\mathbf{F}=-\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}\hat{r}$$

Toute masse attire toutes les autres. C’est une force centrale, toujours dirigée suivant la droite qui relie les corps.

Démonstration du théorème des coquilles

Newton démontra que :

• Une coquille sphérique uniforme attire une particule extérieure comme si toute sa masse était concentrée en son centre.
• À l’intérieur de la coquille, la résultante des forces est nulle.

Cela exige du calcul intégral et de la géométrie, mais le résultat est profond : pour étudier leur mouvement orbital, on peut traiter les planètes comme des masses ponctuelles.

Exemple 8.1 — Poids au sommet de l’Everest

Énoncé : Le rayon de la Terre vaut $R=6.4\times 10^6\text{m}$ et la hauteur de l’Everest $h=8.8\times 10^3\text{m}$. De combien la pesanteur diminue-t-elle au sommet ?

Solution :

$$g^{\prime }=g{\left(\frac{R}{R+h}\right)}^2$$ $$\frac{g^{\prime }}{g}\approx {\left(\frac{6.4\times 10^6}{6.4\times 10^6+8.8\times 10^3}\right)}^2\approx 0.997256$$

Dans cette approximation d’une Terre sphérique, la pesanteur est environ $0.274\%$ plus faible au sommet.

9. Forces centrales et mouvement orbital

Pour les forces centrales :

$$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}$$

Moment des forces :

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{r}\times \mathbf{F}$$

Mais si $\mathbf{F}\parallel \mathbf{r}$, alors $\mathbf{r}\times \mathbf{F}=0$, donc :

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=0\Rightarrow \mathbf{L}=\text{const.}$$

Ainsi, symétrie de rotation → conservation du moment cinétique.

Exemple 9.1 — Système Terre–Soleil

Énoncé : Si la Terre est deux fois plus éloignée du Soleil, comment sa vitesse doit-elle changer pour conserver le moment cinétique ?

Solution :
$L=mvr$ est constant, où $v$ est la composante tangentielle de la vitesse. Si $r\to 2r$, alors $v\to v/2$.

10. Le problème de Kepler revisité

Sous une force en inverse du carré de la distance, l’équation de l’orbite est :

$$r(\theta )=\frac{p}{1+e\cos \theta }$$

où $e$ est l’excentricité.

• $0\le e<1$ : ellipse
• $e=1$ : parabole
• $e>1$ : hyperbole

Démonstration de la deuxième loi de Kepler

La conservation du moment cinétique donne :

$$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }=\frac{L}{2m}=\text{constante}$$

Des aires égales sont donc balayées en des temps égaux.

Exemple 10.1 — Période d’un satellite

Énoncé : Un satellite orbite autour de la Terre à l’altitude $h=R_{\oplus }$. Déterminez sa période.

Solution :
Le rayon de l’orbite vaut $a=2R_{\oplus }=1.28\times 10^7\text{m}$.

Troisième loi de Kepler :

$$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3$$

Avec $GM=3.986\times 10^{14}$,

$$T\approx 1.44\times 10^4\text{s}\approx 4.00\text{heures}$$

11. Les trois lois de Kepler vues par Newton

Newton déduisit les règles empiriques de Kepler :

1. Orbites elliptiques : à partir de la loi en inverse du carré de la distance.
2. Aires égales en des temps égaux : à partir de la conservation du moment cinétique.
3. Loi harmonique :

$$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3$$

Exemple 11.1 — Orbite d’une comète

Énoncé : Une comète sur une orbite parabolique ($e=1$) s’approche du Soleil. Quelle est sa vitesse au périhélie, à la distance $r_p$ ?

Solution :
Pour une orbite parabolique, l’énergie spécifique vaut $E=0$ :

$$\frac{1}{2}{v}^2-\frac{GM}{r_p}=0\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2GM}{r_p}}$$

Les comètes paraboliques se déplacent donc à la vitesse de libération au périhélie.

12. La rencontre avec Halley

En 1684, Edmond Halley se rendit à Cambridge. Les astronomes s’interrogeaient : si la gravité suit une loi en inverse du carré de la distance, quelle forme ont les orbites planétaires ?
Halley posa la question à Newton, qui répondit : « Ce serait une ellipse. »

Cette remarque spontanée devint les Principia, financés par Halley. Sans son insistance, l’unification des mécaniques terrestre et céleste aurait pu rester inédite.

Exemple 12.1 — Période de la comète de Halley

Énoncé : La comète de Halley a un demi-grand axe $a=17.8\text{AU}$. Déterminez sa période orbitale.

Solution :
Troisième loi de Kepler, en unités astronomiques et en années : $T^2=a^3$
Donc $T=\sqrt{(17.8{)}^3}\approx 75.1\text{ans}$
Cette valeur est proche de la période observée, d’environ 76 ans ; les perturbations planétaires font varier l’intervalle entre deux retours.

13. L’univers d’horlogerie

La mécanique de Newton révélait un cosmos semblable à une machine : marées, éclipses et comètes devenaient prévisibles. Les Lumières adoptèrent cette vision déterministe du monde.

Mais derrière elle se trouvaient de profondes lois de conservation, le code de fonctionnement de l’univers.

Exemple 13.1 — Marées

Énoncé : Pourquoi de nombreuses côtes connaissent-elles deux marées hautes par jour lunaire ?
Réponse : Dans le modèle simplifié de la marée d’équilibre, les différences d’attraction gravitationnelle de la Lune produisent deux bourrelets de marée, du côté proche et du côté éloigné de la Terre. La Terre tourne à travers cette configuration en un jour lunaire d’environ 24 heures et 50 minutes. Sur les côtes réelles, les marées peuvent être semi-diurnes, diurnes ou mixtes, car les bassins océaniques, la géométrie côtière et d’autres effets modifient la réponse.

14. L’héritage de la gravitation

La gravitation de Newton guida les navires, les calendriers et, plus tard, les engins spatiaux.
Même la relativité d’Einstein se ramène à la loi de Newton aux échelles humaines.

Exemple 14.1 — Vitesse de libération

Énoncé : Déterminez la vitesse de libération à la surface de la Terre.

Solution :
Conservation de l’énergie :

$$\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{R}=0$$ $$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}\approx 11.2\text{km/s}$$

15. Mécanique du solide

La mécanique newtonienne s’étend des particules aux corps étendus.

15.1 Rotation autour d’un axe fixe

Moment d’inertie :

$$I=\sum _i{m}_i{r}_i^2$$

Énergie cinétique :

$$T=\frac{1}{2}I{\omega }^2$$

Moment cinétique :

$$L=I\omega$$

Exemple 15.1 — Tige uniforme

Énoncé : Une tige uniforme de longueur $L$ tourne autour d’un axe passant par son centre et perpendiculaire à la tige. Déterminez $I$.

Solution :

$$I={\int }_{-L/2}^{L/2}{x}^2\frac{M}{L}dx=\frac{M{L}^2}{12}$$

15.2 Équations d’Euler

Pour la rotation générale d’un solide, en utilisant les composantes dans le référentiel lié au solide, avec $I$ le tenseur d’inertie et la dérivée temporelle calculée dans ce référentiel :

$$\frac{d}{dt}(I\omega )+\omega \times (I\omega )=\tau$$

Ces équations gouvernent les toupies, les gyroscopes et les engins spatiaux.

Exemple 15.2 — Pirouette d’une patineuse

Énoncé : Une patineuse rapproche ses bras du corps, ce qui réduit $I$ de moitié. Que devient $\omega$ ?

Solution :
Le moment cinétique se conserve : $I\omega =\text{const.}$
Si $I\to I/2$, alors $\omega \to 2\omega$.
Elle tourne deux fois plus vite.

16. Référentiels non inertiels

Les lois de Newton s’appliquent dans les référentiels inertiels. Mais sur la Terre, qui tourne, il faut ajouter des forces d’inertie.

16.1 Forces de Coriolis et centrifuge

Dans un référentiel tournant à la vitesse angulaire constante $\vec{\Omega }$, dont l’origine n’a pas d’accélération de translation :

$${\mathbf{a}}^{\prime }=\mathbf{a}-2\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }-\mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r})$$

• $-2\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }$ = accélération de Coriolis
• $-\mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r})$ = accélération centrifuge

Exemple 16.1 — Déviation d’un corps en chute

Énoncé : Un corps tombe d’une hauteur $h$ à la latitude $\varphi$. De quelle distance la force de Coriolis le dévie-t-elle vers l’est ?

Solution approchée :
La durée de chute vaut $t=\sqrt{2h/g}$.
L’accélération vers l’est est $\approx 2\Omega \cos \varphi \cdot v_z$, en prenant $v_z$ positive vers le bas.
Déplacement :

$$x\approx \frac{1}{3}\Omega \cos \varphi g{t}^3$$

Pour $h=100\text{m},\varphi =45^{\circ }$ : $x\approx 2\text{cm}$.

Exemple 16.2 — Cyclones

Énoncé : Pourquoi les cyclones tournent-ils dans le sens inverse des aiguilles d’une montre dans l’hémisphère Nord ?

Réponse : La force de Coriolis dévie l’air en mouvement vers la droite de sa trajectoire. Dans les systèmes dépressionnaires, l’air convergent s’incurve dans le sens inverse des aiguilles d’une montre au nord, et dans le sens des aiguilles d’une montre au sud.

17. Newton, l’homme

Newton le savant était brillant, mais Newton l’homme était complexe. Pendant des décennies, il se consacra à la physique, mais aussi à l’alchimie, à la théologie et aux luttes politiques.
Comme maître de la Monnaie, il réforma la monnaie anglaise et poursuivit les faux-monnayeurs avec une précision d’enquêteur. Comme président de la Royal Society, il favorisa la science anglaise, tout en écrasant parfois ses rivaux.

Sa mécanique dépassait pourtant ses défauts personnels : un cadre à la fois intemporel et universel.

Exemple 17.1 — La pièce d’or de la Monnaie

Énoncé : Si une fausse pièce pèse 1 % de moins qu’une vraie, comment Newton la détecterait-il avec une balance ?

Solution : L’équilibre statique de rotation exige un moment résultant nul ; les deux moments dus à la pesanteur s’équilibrent donc.
Une différence de masse de 1 % produit un déséquilibre mesurable par comparaison à un étalon. L’obsession de Newton pour la précision empêchait les faux-monnayeurs de lui échapper longtemps.

18. Héritage et transition

En 1727, à la mort de Newton, sa mécanique était devenue le fondement intellectuel des Lumières.
Pendant 200 ans, ingénieurs et astronomes s’appuyèrent uniquement sur Newton.

Mais des fissures apparurent :

• La précession de Mercure défiait les prévisions newtoniennes.
• La lumière, que Newton traitait comme des particules, présentait des phénomènes ondulatoires.
• Les atomes et les électrons exigeaient des règles quantiques.

Exemple 18.1 — Orbite de Mercure

Énoncé : Le périhélie de Mercure présente une précession supplémentaire de $43^{\prime \prime }$ par siècle par rapport à la gravitation newtonienne. Pourquoi ?

Réponse : La relativité générale explique la correction : la courbure de l’espace-temps modifie la loi de Newton lorsque l’on recherche une grande précision.

Exemple 18.2 — Quand Newton ne suffit plus

• Aux vitesses proches de celle de la lumière → la relativité restreinte remplace $F=ma$ par $F=dp/dt$, où $p=\gamma mv$.
• Aux échelles atomiques → la mécanique quantique remplace les trajectoires par des fonctions d’onde.

Newton reste pourtant la première approximation :

• Pour $v\ll c$ et aux grandes échelles, sa théorie demeure assez précise pour guider des fusées vers Mars.

19. Pourquoi nous étudions encore la mécanique newtonienne

Malgré la relativité et la physique quantique, Newton est toujours enseigné en premier, car :

• Sa théorie est précise aux échelles humaines.
• Elle fournit la grammaire de la physique : traduire les mots → en équations → en prédictions.
• Elle révèle le lien entre symétrie et lois de conservation.

Récapitulatif des symétries et des conservations

• Invariance par translation dans l’espace → conservation de la quantité de mouvement
  $\mathbf{P}=\sum m_i{\mathbf{v}}_i=\text{const.}$

• Invariance par rotation → conservation du moment cinétique
  $\mathbf{L}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}=\text{const.}$

• Invariance par translation dans le temps → conservation de l’énergie
  $E=T+V=\text{const.}$

Ce sont les germes du théorème de Noether, qui s’épanouira pleinement au XXe siècle.

Exemple 19.1 — Saut à l’élastique

Énoncé : Une personne de 70 kg saute avec un élastique modélisé par un ressort de raideur $k=50\text{N/m}$ et de longueur au repos $L=30\text{m}$. Déterminez son allongement maximal.

Solution :
Conservation de l’énergie :

$$mg(L+x)=\frac{1}{2}k{x}^2$$

La résolution de l’équation du second degré avec $g=9.8{\text{m/s}}^2$ donne $x\approx 45.5\text{m}$.
La chute maximale vaut donc $L+x\approx 75.5\text{m}$.

20. Bilan

• Trois lois du mouvement : inertie, force, réaction.
• Gravitation universelle : elle unit la Terre et le ciel.
• Lois de conservation : quantité de mouvement, moment cinétique et énergie émergent des symétries.
• Solides et référentiels non inertiels : ils étendent les lois à la complexité du monde réel.
• Newton, l’homme : brillant, imparfait, mais fondateur.

La vision de Newton n’était pas la vérité ultime, mais la première carte mathématique de l’univers.
Chaque élève qui apprend la mécanique s’inscrit dans cette même tradition.

Épilogue

Du verger de Woolsthorpe aux sondes quittant le Système solaire, les équations de Newton perdurent.

• Les ingénieurs utilisent encore $F=ma$.
• Les astronomes prédisent encore les orbites avec $T^2\propto a^3$.
• Les architectes calculent encore les charges à l’aide de la statique newtonienne.

Même dépassé par Einstein ou Schrödinger, Newton n’est jamais abandonné.

Il écrivit un jour :

« Je ne sais quelle image le monde peut avoir de moi, mais, à mes propres yeux, je n’ai été qu’un enfant jouant sur le rivage, trouvant de temps à autre un galet plus lisse ou un coquillage plus joli qu’à l’ordinaire, tandis que le grand océan de la vérité s’étendait devant moi, entièrement inexploré. »

Quatre siècles plus tard, nous explorons toujours cet océan avec la boussole que Newton nous a donnée.