Paradoxe de l’information des trous noirs

Retrouver les mots d’un livre tombé dans un trou noir serait difficile. Le paradoxe de l’information pose une question plus précise : deux états quantiques initiaux distincts peuvent-ils devenir le même état final, même pour un observateur capable de contrôler parfaitement tout ce qui reste ? Une combustion ordinaire disperse l’information dans la fumée, la lumière et leurs corrélations. Un effacement fondamental modifierait les lois quantiques.

Ce problème relie la relativité générale, la théorie quantique des champs et la mécanique statistique. Leur combinaison reste incomplète lorsque la géométrie elle-même doit être quantique. Nous distinguerons les approximations contrôlées, les conclusions conditionnelles à l’unitarité et les observations.

Conventions : constantes SI explicites, sauf dans la formule des îlots où $c=k_B=1$. $S_{\mathrm{BH}}$ est une entropie thermodynamique ; $S(R)$ est l’entropie de von Neumann sans dimension, avec logarithmes naturels. Multiplier cette dernière par $k_B$ donne les unités thermodynamiques ; la diviser par $\ln 2$ donne des bits. Nous considérons surtout un trou noir sans rotation ni charge.

1. Les trous noirs classiques

Un horizon des événements délimite la région dont aucun signal ne peut atteindre l’extérieur lointain dans le futur. Ce n’est pas une surface matérielle, mais une propriété des chemins causaux de l’espace-temps entier. Dans le vide extérieur à un corps sphérique sans rotation, la métrique de Schwarzschild est

$$d{s}^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^{2}d{t}^2+{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^{2}d{\Omega }^2,r_s=\frac{2GM}{c^2}.$$

$M$ désigne la masse, $r$ le rayon aréolaire et $d{\Omega }^2=d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2$ la métrique de la sphère unité. Une sphère de rayon $r$ a l’aire $4\pi r^2$. La divergence apparente en $r=r_s$ disparaît dans des coordonnées régulières à l’horizon ; ce n’est pas la singularité de courbure située en $r=0$.

Pour un trou noir assez grand, un observateur en chute libre peut traverser l’horizon dans une région de faible courbure locale. L’impossibilité de ressortir tient à l’orientation des cônes de lumière futurs, pas à une force locale infinie à l’horizon. Un extérieur stabilisé décrit par la masse, le moment cinétique et la charge ne signifie pas que l’état quantique complet ne possède que ces trois propriétés.

Cacher n’est pas encore détruire. L’observateur extérieur n’accède pas à l’intérieur, comme un observateur d’une partie d’un système intriqué n’accède pas aux corrélations communes. L’état global peut rester intact. Le problème devient aigu si l’émission quantique fait entièrement disparaître le trou noir, sans intérieur restant pour purifier le rayonnement. L’évaporation complète jusqu’au régime final de gravitation quantique constitue elle-même une hypothèse.

2. Le rayonnement de Hawking

Dans le calcul de Hawking (1975), les champs quantiques se propagent sur une géométrie classique d’effondrement. Un mode de fréquence positive dans le passé lointain mélange des fréquences positives et négatives dans le futur lointain. Le vide initial peut donc contenir des particules sortantes pour les observateurs futurs. Pour un trou noir de Schwarzschild évoluant lentement,

$$T_H=\frac{\hslash c^3}{8\pi GM{k}_B},⟨N_{\omega }⟩=\frac{1}{e^{\hslash \omega /(k_B{T}_H)}-1}.$$

$\omega$ est la fréquence angulaire. Le nombre d’occupation représente le facteur thermique bosonique ; les fermions ont un signe plus au dénominateur. La courbure diffuse les ondes sortantes : le flux comporte aussi des facteurs de transmission de corps gris, dépendant de la fréquence et du moment cinétique. Ils modifient le spectre sans résoudre à eux seuls l’intrication avec les degrés de liberté inaccessibles. L’image des paires particule–antiparticule est un aide-mémoire, pas une dérivation ni une localisation unique de la création.

Ordres de grandeur. Avec $M_{\odot }\simeq 1.99\times 10^{30}\mathrm{kg}$, on obtient $r_s\simeq 2.95\mathrm{km}$ et $T_H\simeq 6.2\times 10^{-8}\mathrm{K}$. Une masse dix fois supérieure donne un rayon dix fois supérieur et une température dix fois inférieure. Le gaz lumineux entourant les trous noirs astrophysiques n’est donc pas leur rayonnement de Hawking. Le calcul est fiable pour un grand trou noir changeant lentement ; l’extrapolation jusqu’à la masse de Planck n’est pas contrôlée.

L’entropie de l’horizon vaut

$$A=4\pi r_s^2,S_{\mathrm{BH}}=\frac{k_{B}A}{4{\ell }_P^2}=\frac{4\pi k_{B}G{M}^2}{\hslash c},{\ell }_P^2=\frac{G\hslash }{c^3}.$$

La dépendance en aire, motivée par Bekenstein (1973), diffère de la dépendance en volume habituelle dans la matière. Pour une masse solaire, $S_{\mathrm{BH}}/k_B\simeq 1.05\times 10^{77}$. Y voir le logarithme du nombre d’états microscopiques compatibles est une interprétation statistique, pas un dénombrement direct réalisé pour tout trou noir réel.

La cohérence thermodynamique se vérifie en dérivant $S_{\mathrm{BH}}\propto M^2$ :

$$\frac{d{S}_{\mathrm{BH}}}{dM}=\frac{8\pi k_{B}GM}{\hslash c},T_{H}d{S}_{\mathrm{BH}}=c^{2}dM=dE.$$

C’est le premier principe sans rotation ni charge. Comme $T_H\propto 1/M$, perdre de l’énergie augmente la température : la capacité thermique du trou noir isolé est négative. Cela ne signifie pas une température absolue négative.

3. Le paradoxe de l’information

Notons $R$ le rayonnement émis et $B$ le trou noir restant. Si leur état commun est pur, l’état accessible au seul observateur du rayonnement s’obtient par une trace partielle :

$${\rho }_R={\mathrm{Tr}}_B|\Psi ⟩⟨\Psi |,S(R)=-\mathrm{Tr}({\rho }_R\ln {\rho }_R).$$

Cette opération supprime l’accès à $B$, sans affirmer sa disparition physique. Une matrice densité pure possède une seule valeur propre égale à un, donc $S=0$ ; une matrice mixte a plusieurs valeurs propres non nulles. L’évolution unitaire $\rho \mapsto U\rho U^{†}$ conserve ces valeurs propres pour le système fermé complet. Un sous-système peut néanmoins devenir mixte par intrication.

Exemple à deux qubits. Prenons

$$|\Psi {⟩}_{RB}=\frac{|0{⟩}_R|0{⟩}_B+|1{⟩}_R|1{⟩}_B}{\sqrt{2}},{\rho }_R=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$$

La trace sur $B$ annule les termes croisés puisque $⟨0|1⟩=0$. Le qubit de rayonnement a deux valeurs propres $1/2$, d’où $S(R)=\ln 2$, tandis que $S(RB)=0$. Aucun qubit seul ne révèle les corrélations. Si les deux deviennent finalement accessibles comme rayonnement, leur état commun peut être pur malgré des résultats individuels aléatoires.

La liaison représente une corrélation quantique, pas un signal traversant l’horizon. $S(R)=S(B)=\ln 2$, mais $S(RB)=0$. Collecter les deux parties change l’accès à l’état, pas sa pureté globale.

Au premier ordre semi-classique, les modes sortants sont intriqués avec des partenaires intérieurs. Si l’intérieur disparaît sans autre dépositaire des corrélations, l’état extérieur final reste mixte malgré un état initial pur. C’est le conflit étudié par Hawking (1976). Il implique ensemble l’évaporation complète, une théorie locale des champs près d’un horizon lisse et une séparation naïve en états intérieurs et extérieurs indépendants.

Un spectre de Planck ou des statistiques thermiques à une particule ne prouvent pas que la matrice densité de toutes les particules soit exactement thermique. L’information peut résider dans des corrélations multiples. Dire que « de petites corrections suffiront » n’est toutefois pas une solution : l’argument de Mathur limite cette possibilité tant que ses hypothèses de création locale de paires et d’indépendance des sous-systèmes restent valables.

4. La courbe de Page

Pour un état biparti pur, la décomposition de Schmidt donne les mêmes valeurs propres non nulles à ${\rho }_R$ et ${\rho }_B$. Avec des espaces d’états de dimensions $d_R,d_B$,

$$S(R)=S(B)\le \min (\ln d_R,\ln d_B),S(R)\approx \min \left(S_R^{\mathrm{coarse}},\frac{S_{\mathrm{BH}}}{k_B}\right).$$

La première relation est une borne générale en dimension finie. La seconde est une approximation d’état typique : $S_R^{\mathrm{coarse}}$ désigne l’entropie sans dimension obtenue en négligeant les corrélations fines. Le calcul des sous-systèmes de Page explique pourquoi une petite partie d’un grand état pur générique est presque maximalement mixte. Son application au rayonnement des trous noirs suppose une dynamique unitaire et un dénombrement effectif des états.

Au début, l’espace du rayonnement grandit et son entropie augmente. Ensuite, le nombre effectif d’états du trou noir diminue : il ne peut purifier une entropie de rayonnement arbitrairement grande. La courbe redescend et atteint zéro après l’évaporation complète et unitaire d’un système isolé initialement pur. Ni l’énergie ni la température du rayonnement ne doivent pour autant s’annuler. Un état initial mixte ou intriqué avec une référence extérieure n’impose pas un rayonnement final pur.

Axe horizontal : temps écoulé ; axe vertical : entropie sans dimension. La courbe montante en tirets est $S_R^{\mathrm{coarse}}$, la descendante en points est $S_{\mathrm{BH}}/k_B$, et l’enveloppe épaisse est $S(R)$. Le croisement définit le retournement dans cette approximation, sans fraction universelle de la durée totale.

Un modèle simple du temps de Page. Supposons un trou noir isolé de Schwarzschild, avec $\alpha >0$ constant et sans changement d’espèces émises :

$$\frac{dM}{dt}=-\frac{\alpha }{M^2},M(t{)}^3=M_0^3-3\alpha t,t_{\mathrm{evap}}=\frac{M_0^3}{3\alpha }.$$

Ajoutons l’idéalisation $S_R^{\mathrm{coarse}}=[S_{\mathrm{BH}}(0)-S_{\mathrm{BH}}(t)]/k_B$. Les branches se croisent quand l’entropie du trou noir vaut la moitié de sa valeur initiale. Puisqu’elle est proportionnelle à $M^2$,

$$M_{\mathrm{Page}}=\frac{M_0}{\sqrt{2}},\frac{t_{\mathrm{Page}}}{t_{\mathrm{evap}}}=1-2^{-3/2}\approx \mathrm{0.646.}$$

Le nombre $0.646$ découle de ces seules hypothèses : ce n’est pas une prédiction réaliste. La production d’entropie, les facteurs de corps gris, la rotation, la matière environnante et les seuils de particules changent le bilan. La moitié de l’entropie ne signifie ni la moitié de la masse ni la moitié de la durée de vie.

5. Les solutions proposées

Une solution doit préciser les hypothèses modifiées et expliquer les corrélations finales. Obtenir une courbe d’entropie, décrire l’état microscopique et fournir un décodeur praticable sont des résultats différents. Les approches suivantes ne s’excluent pas nécessairement à tous les niveaux.

(a) La perte d’information

Une perte fondamentale remplacerait l’évolution unitaire des systèmes fermés par une loi plus générale. Tracer un environnement encore présent ne suffit pas : c’est l’évolution ordinaire d’un système ouvert. Une théorie de perte doit fournir une dynamique cohérente et retrouver les prédictions quantiques vérifiées lorsque la gravitation est faible. Le paradoxe incite à examiner les hypothèses ; il ne constitue pas une preuve expérimentale de l’échec de la mécanique quantique.

(b) Les vestiges

Un petit vestige stable ou durable pourrait conserver l’information ; le rayonnement ne serait alors pas tout le système final. Si sa masse est bornée mais qu’il doit mémoriser les états de précurseurs arbitrairement massifs, le nombre d’états internes devient immense. Les taux de production et le dénombrement posent alors des difficultés, étudiées par Giddings (1993). Elles dépendent des couplages aux champs extérieurs : tous les modèles de vestiges ne sont pas simplement réfutés.

(c) L’information sort avec le rayonnement

Dans une description unitaire, l’information persiste dans les corrélations des quanta émis. La proposition AdS/CFT de Maldacena relie certaines théories gravitationnelles à conditions au bord anti-de Sitter à des théories quantiques sans gravitation sur le bord. En supposant la dualité, l’unitarité au bord contraint fortement la description gravitationnelle. C’est un argument théorique puissant, pas une mesure du rayonnement ni une construction directe pour toute étoile s’effondrant dans un espace asymptotiquement plat.

L’expérience du journal. On conserve le rayonnement ancien et jette un petit message quantique dans un vieux trou noir mélangeant rapidement l’information. Dans le modèle de Hayden–Preskill, assez de rayonnement supplémentaire permet de récupérer le message dans les corrélations. Cela suppose un mélange unitaire et un contrôle presque complet du rayonnement. Les derniers photons seuls ne livrent pas le journal ; l’existence d’une opération de récupération ne garantit pas sa faisabilité informatique ou expérimentale.

(d) Les murs de feu

L’argument AMPS (2012) concerne un mode tardif $b$, son partenaire intérieur $a$ et le rayonnement ancien $R$. Un horizon lisse exige une forte intrication entre $a$ et $b$. Après le retournement de Page, la purification exige aussi des corrélations appropriées entre $b$ et $R$. S’ils sont indépendants, ces sous-systèmes rencontrent la monogamie de l’intrication : $b$ ne peut être maximalement intriqué avec deux systèmes indépendants.

Le mur de feu remplace le vide lisse à l’horizon par des excitations énergétiques. Il s’agit d’une réponse proposée à une incompatibilité, pas d’un mur observé ni d’une conclusion unique. D’autres approches réexaminent l’indépendance des sous-systèmes ou l’encodage des opérateurs intérieurs dans le rayonnement.

(e) Les îlots et les surfaces quantiques extrémales

La prescription des îlots inclut une région intérieure $\mathcal{I}$ dans le calcul de l’entropie fine du rayonnement :

$$S(R)=\underset{\mathcal{I}}{\min }\underset{\partial \mathcal{I}}{\mathrm{ext}}\left[\frac{\mathrm{Area}(\partial \mathcal{I})}{4G\hslash }+S_{\mathrm{bulk}}(R\cup \mathcal{I})\right].$$

On fait d’abord varier les frontières candidates $\partial \mathcal{I}$ jusqu’à rendre l’expression stationnaire, puis on choisit la plus petite entropie généralisée parmi les extrema autorisés, îlot vide compris. Le terme d’aire est le coût entropique gravitationnel ; $S_{\mathrm{bulk}}$ est l’entropie des champs quantiques sur l’union. Leurs divergences ultraviolettes doivent être traitées par une renormalisation cohérente. Chercher les extrema puis le minimum n’est pas minimiser librement sur toute région imaginable.

Dans des modèles contrôlés d’évaporation, la branche sans îlot domine tôt et une branche avec îlot domine tard. Penington (2019) et Almheiri et ses collègues (2019) ont obtenu le comportement de Page dans des cadres holographiques. Les calculs de trous de ver de répliques en donnent une dérivation par intégrale de chemin dans certains modèles : de nouveaux points-selles relient les copies utilisées pour calculer l’entropie. Ce ne sont pas des tunnels traversables exportant un message d’un trou noir astrophysique.

Le résultat concerne le dénombrement gravitationnel des états et l’encodage de l’intérieur. Un îlot n’est pas de la matière supplémentaire expulsée par l’horizon. Reproduire l’entropie ne fournit pas à lui seul toutes les amplitudes de l’état sortant ni un décodeur efficace.

6. État des recherches

Portée des preuves, vérifiée le 13 octobre 2026. Les ondes gravitationnelles de fusions binaires et l’analyse de l’ombre de M87 soutiennent la description astrophysique des trous noirs par la relativité générale. Elles ne mesurent pas l’entropie fine du rayonnement de Hawking. Les travaux originaux cités étayent théoriquement l’unitarité dans des cadres spécifiés ; ils ne rapportent pas la détection directe d’une courbe de Page astrophysique.

Restent notamment la description microscopique complète des trous noirs en rotation dans notre contexte cosmologique, le point précis où le raisonnement semi-classique sur les sous-systèmes échoue, la fin de l’évaporation et le lien entre calculs d’entropie et observables accessibles. Il faut expliquer l’état quantique complet tout en préservant les succès de la physique à basse énergie.

Trois distinctions sont essentielles : l’inaccessibilité n’est pas un effacement fondamental ; un spectre apparemment thermique ne prouve pas un état global mixte ; une courbe de Page calculée dans un modèle ne démontre pas expérimentalement la résolution de tous les aspects du paradoxe.