1. Il mondo prima di Newton — Da Aristotele a Galileo

Prima di Newton, il moto apparteneva alla metafisica, non alla matematica. La fisica di Aristotele aveva dominato l'Europa per quasi due millenni:

• La visione aristotelica del mondo: gli oggetti avevano un luogo naturale. Una pietra cadeva perché tendeva alla Terra; il fuoco saliva perché tendeva ai cieli. Il moto richiedeva un motore continuo. Smettendo di spingere, il moto cessava.

Questo modello spiegava l'intuizione quotidiana, ma non reggeva a un esame rigoroso.

Il dilemma aristotelico

• Perché una freccia continua a volare dopo aver lasciato la corda dell'arco?
• Perché i pianeti non cadono sulla Terra?

Gli studiosi medievali rispondevano con la «teoria dell'impeto»: l'idea che una forza impressa perduri per un certo tempo prima di dissiparsi. Era un passo verso l'inerzia, ma legava ancora il moto a «qualità» metafisiche.

Entra in scena Galileo (1564–1642)

Galileo Galilei infranse l'ortodossia aristotelica con gli esperimenti:

1. L'esperimento del piano inclinato
   Galileo faceva rotolare sfere lungo piani inclinati per rallentare l'effetto della gravità.
   Scoprì il moto uniformemente accelerato; per la caduta libera da fermo, lo spostamento è:

   $$s=\frac{1}{2}g{t}^2$$

   dove $s$ è lo spostamento, $t$ è il tempo e $g$ è l'accelerazione gravitazionale.

   → In un dato luogo, la stessa accelerazione gravitazionale $g$ governa la caduta libera, indipendentemente dalla massa del corpo che cade.

   Esercizio 1.1: lascia cadere un martello e una piuma nel vuoto. Quale arriva prima a terra?

   Risposta: arrivano simultaneamente, perché l'accelerazione $g$ è indipendente dalla massa.

2. Il principio d'inerzia (prima formulazione)
   Galileo osservò che una sfera in moto su un piano privo di attrito non si sarebbe fermata da sola.
   Se non agiva alcuna forza, la sua velocità rimaneva costante.

   $$\frac{d\mathbf{v}}{dt}=0\text{se }\mathbf{F}=0$$

   Era l'embrione della prima legge di Newton.

   Esercizio 1.2: un disco scivola sul ghiaccio liscio e rallenta solo gradualmente. Quale forza lo rallenta?
   Risposta: l'attrito con il ghiaccio e la resistenza dell'aria. Su una superficie ideale priva di attrito, non si fermerebbe mai.

Keplero e l'enigma celeste

Giovanni Keplero (1571–1630) aggiunse un altro tassello. Usando i dati di Tycho Brahe (1546–1601), ricavò tre leggi del moto planetario:

1. I pianeti si muovono lungo ellissi con il Sole in uno dei fuochi.
2. Spazzano aree uguali in tempi uguali.
3. Il quadrato del periodo orbitale è proporzionale al cubo del semiasse maggiore ($T^2\propto a^3$).

Ma a Keplero mancava una causa. Perché ellissi? Perché $T^2\propto a^3$? Descriveva mirabilmente i cieli, ma gli mancava un meccanismo.

Cartesio e il sogno meccanico

René Descartes, detto Cartesio (1596–1650), immaginava un universo a orologeria, pieno di vortici di materia sottile che trascinavano i pianeti. Era una visione poetica, ma non verificabile sperimentalmente. Tuttavia, il sogno di una spiegazione meccanica del cosmo rimase vivo.

Un mondo in attesa di Newton

Così, verso la metà del XVII secolo:

• Galileo aveva fornito le leggi del moto terrestre.
• Keplero aveva fornito le leggi planetarie.
• Cartesio aveva fornito il meccanicismo filosofico.

Ma nessuno le aveva unificate.
In questo vuoto, nel 1642, l'anno della morte di Galileo, nacque Isaac Newton.

2. La genesi delle leggi

Newton non inventò la fisica, ma la organizzò in un sistema. Assimilò l'inerzia di Galileo, le armonie di Keplero e la meccanica di Cartesio. Nel 1687 pubblicò i Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, i Principia.

Vi erano esposte le tre leggi del moto e la legge di gravitazione universale.

Per la prima volta, i moti terrestri e celesti erano governati dagli stessi principi. Mele e lune seguivano la stessa legge.

Ancora oggi ci fondiamo su quell'unificazione.

3. La prima legge — Inerzia e isolamento

La prima legge del moto di Newton approfondì l'idea galileiana d'inerzia:

«Ogni corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, a meno che forze impresse non lo costringano a mutare quello stato.»

Formulazione matematica

Se su un corpo non agisce alcuna forza risultante:

$$\frac{d\mathbf{v}}{dt}=0\Rightarrow \mathbf{v}=\text{costante}$$

Equivalentemente, in termini della posizione:

$$\mathbf{r}(t)={\mathbf{r}}_0+{\mathbf{v}}_{0}t$$

Si definisce dunque inerziale un sistema di riferimento in cui valgono le leggi di Newton e gli oggetti mantengono la propria velocità in assenza di forze.

Dimostrazione con il piano inclinato di Galileo

Consideriamo una sfera che scende lungo una pendenza, attraversa una superficie piana e risale lungo un'altra pendenza:

• In presenza di attrito, raggiunge un'altezza minore.
• Riducendo l'attrito, sale più in alto.
• Nel limite di attrito nullo, risalirebbe alla stessa altezza oppure, su un piano perfettamente orizzontale, proseguirebbe per sempre.

Questo esperimento dimostra che il moto uniforme non richiede una causa continua.

Esempio svolto 3.1 — Scivolare sul ghiaccio

Problema: un disco da hockey viene colpito su ghiaccio privo di attrito e acquista velocità $v_0$. Quale distanza percorre in 10 s?
Soluzione: poiché $a=0$, la velocità è costante:
$x=v_{0}t$
Se $v_0=5\text{m/s}$, dopo $t=10\text{s}$ ha percorso $50\text{m}$.

4. La seconda legge — Forza e genio

La seconda legge di Newton fornisce il nesso causale:

«Il cambiamento del moto è proporzionale alla forza motrice impressa e avviene nella direzione della retta lungo cui tale forza è impressa.»

Matematicamente:

$$\mathbf{F}=m\mathbf{a}=m\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}$$ $$\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}$$

Questa sola relazione rende l'universo calcolabile.

Dimostrazione a partire dalla lagrangiana

Consideriamo la lagrangiana $L=T-V=\frac{1}{2}m{\dot{\mathbf{r}}}^2-V(\mathbf{r})$.

La lagrangiana è definita come la differenza tra l'energia cinetica $T$ e l'energia potenziale $V$.

L'equazione di Eulero–Lagrange:

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}}=0$$

fornisce

$$m\ddot{\mathbf{r}}+\nabla V=0\Rightarrow m\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}$$

Dunque, la relazione newtoniana $F=ma$ emerge naturalmente dai principi variazionali.

Simmetria per traslazioni temporali → Conservazione dell'energia

Se $L$ non dipende esplicitamente dal tempo, allora l'energia $E$ è:

$$E=\dot{\mathbf{r}}\cdot \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}-L$$

e si conserva.

Per una particella:

$$E=\frac{1}{2}m{v}^2+V(\mathbf{r})=\text{costante}$$

Dunque simmetria temporale = conservazione dell'energia.

Dimostrazione

Dalla definizione,

$$E={\dot{q}}_i\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}-L,$$

la sua derivata temporale è

$$\frac{dE}{dt}={\ddot{q}}_i\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}+{\dot{q}}_i\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)-\frac{dL}{dt}.$$

Usando l'equazione di Eulero–Lagrange

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)=\frac{\partial L}{\partial q_i},$$

otteniamo

$$\frac{dE}{dt}=-\frac{\partial L}{\partial t}.$$

Pertanto, se $L$ non dipende esplicitamente dal tempo,

$$\frac{\partial L}{\partial t}=0\Rightarrow \frac{dE}{dt}=0,$$

quindi $E$ si conserva.

Questo è un esempio diretto del teorema di Noether:
la simmetria per traslazioni temporali corrisponde alla conservazione dell'energia.

Esempio svolto 4.1 — Un blocco su un piano inclinato

Problema: un blocco di massa $m$ scivola lungo un piano privo di attrito inclinato di un angolo $\theta$. Trovare la sua accelerazione $a$.

Soluzione:
Forza lungo il piano: $F=mg\sin \theta$
Seconda legge di Newton: $F=ma$
Quindi $a=g\sin \theta$.

Se $\theta =30^{\circ }$, $a=4.9{\text{m/s}}^2$.

Esempio svolto 4.2 — Pendolo semplice (piccoli angoli)

Consideriamo un pendolo semplice costituito da una massa puntiforme $m$ fissata a un'asta rigida priva di massa (o a un filo) di lunghezza $\ell$. Il perno è privo di attrito e l'angolo rispetto alla verticale è indicato con $\theta (t)$.

La massa si muove lungo un arco di circonferenza di raggio $\ell$. La sua accelerazione tangenziale è

$$a_{\text{tan}}=\ell \ddot{\theta },$$

e la sua accelerazione radiale (centripeta) è

$$a_{\text{rad}}=\ell {\dot{\theta }}^2.$$

Sulla massa agiscono due forze:

• La tensione $T$ lungo l'asta.
• La forza gravitazionale $mg$ verticalmente verso il basso.

La componente tangenziale della gravità è

$$F_{\text{tan}}=-mg\sin \theta ,$$

dove il segno meno indica che la gravità riporta il pendolo verso $\theta =0$.

Applicando la seconda legge di Newton nella direzione tangenziale,

$$m{a}_{\text{tan}}=\sum F_{\text{tan}},$$

troviamo

$$m(\ell \ddot{\theta })=-mg\sin \theta .$$

Semplificando,

$$\ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\sin \theta =0.$$

Questa è l'equazione esatta, non lineare, del moto di un pendolo semplice.

Per piccoli spostamenti angolari $|\theta |\ll 1$ (in radianti), possiamo usare

$$\sin \theta \approx \theta .$$

L'equazione diventa allora

$$\boxed{\ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\theta =0}.$$

È la consueta equazione dell'oscillatore armonico semplice, con pulsazione

$${\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{\ell }},T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}.$$

• Metodo del momento della forza:
  Rispetto al perno, il momento della forza di gravità è

  $$\tau =-mg\ell \sin \theta ,$$

  e, con momento d'inerzia $I=m{\ell }^2$,

  $$I\ddot{\theta }=\tau \Rightarrow \ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\sin \theta =0.$$

• Metodo lagrangiano:

  $$T=\frac{1}{2}m{\ell }^2{\dot{\theta }}^2,V=mg\ell (1-\cos \theta ),$$ $$L=T-V.$$

  Applicando l'equazione di Eulero–Lagrange si ottiene lo stesso risultato.

Poiché

$$\sin \theta =\theta -\frac{{\theta }^3}{6}+\cdots ,$$

l'errore relativo è $\sim {\theta }^2/6$:

• Per $\theta =10^{\circ }\approx 0.17$ rad → errore $\approx 0.5\%$.
• Per $\theta =20^{\circ }\approx 0.35$ rad → errore $\approx 2\%$.

L'equazione per piccoli angoli è dunque accurata per oscillazioni di ampiezza modesta.

Equazione del moto:

$$\ddot{\theta }+\frac{g}{l}\theta =0$$

Soluzione:

$$\theta (t)={\theta }_0\cos \left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)$$

Periodo:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

5. La terza legge — Simmetria e contrapposizione

La terza legge di Newton introduce la reciprocità:

«A ogni azione si oppone sempre una reazione uguale e contraria.»

Matematicamente:

$${\mathbf{F}}_{12}=-{\mathbf{F}}_{21}$$

Dimostrazione → Conservazione della quantità di moto

Per un sistema di due particelle:

$$m_1{\ddot{\mathbf{r}}}_1={\mathbf{F}}_{12},m_2{\ddot{\mathbf{r}}}_2={\mathbf{F}}_{21}$$

Sommando:

$$m_1{\ddot{\mathbf{r}}}_1+m_2{\ddot{\mathbf{r}}}_2={\mathbf{F}}_{12}+{\mathbf{F}}_{21}=0$$

Quindi:

$$\frac{d}{dt}(m_1{\dot{\mathbf{r}}}_1+m_2{\dot{\mathbf{r}}}_2)=0$$

Dunque la quantità di moto totale $\mathbf{P}$ = $(m_1{\mathbf{v}}_1+m_2{\mathbf{v}}_2)$ si conserva.
È il cuore matematico degli urti e del rinculo.

Simmetria per traslazioni spaziali → Conservazione della quantità di moto

Se la lagrangiana è invariante sotto $\mathbf{r}\to \mathbf{r}+ϵ$, allora:

$$\mathbf{P}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}=m\mathbf{v}$$

si conserva.

Esempio svolto 5.1 — Urto elastico

Problema: due masse $m_1,m_2$ si urtano elasticamente in una dimensione. Le velocità iniziali sono $v_1,v_2$. Trovare $v_1^{\prime },v_2^{\prime }$.

Soluzione:
Quantità di moto:

$$m_1{v}_1+m_2{v}_2=m_1{v}_1^{\prime }+m_2{v}_2^{\prime }$$

Energia:

$$\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2=\frac{1}{2}{m}_1(v_1^{\prime }{)}^2+\frac{1}{2}{m}_2(v_2^{\prime }{)}^2$$

Risolvendo:

$$v_1^{\prime }=\frac{(m_1-m_2)v_1+2m_2{v}_2}{m_1+m_2},v_2^{\prime }=\frac{(m_2-m_1)v_2+2m_1{v}_1}{m_1+m_2}$$

Esempio svolto 5.2 — L'equazione del razzo (Ciolkovskij)

Consideriamo un razzo di massa istantanea $M(t)$ che si muove con velocità $v(t)$ nello spazio libero (senza forze esterne).
Durante un piccolo intervallo $dt$, il razzo espelle all'indietro una massa $|dM|$ con velocità di scarico $u$ rispetto al razzo.

1 Conservazione della quantità di moto

La variazione della quantità di moto del razzo è

$$d{P}_{\text{rocket}}=Mdv+vdM.$$

Il combustibile espulso ha velocità $(v-u)$ nel sistema inerziale, quindi la sua quantità di moto è

$$d{P}_{\text{exhaust}}=-(dM)(v-u).$$

Qui $dM<0$ perché il razzo perde massa.
La conservazione della quantità di moto totale fornisce

$$Mdv+vdM-(dM)(v-u)=0,$$

che si semplifica in

$$Mdv=-udM.$$

2 Forma differenziale

Dividendo per $dt$,

$$M\frac{dv}{dt}=-u\frac{dM}{dt}.$$

3 Integrazione

Riscrivendo,

$$dv=-u\frac{dM}{M}.$$

Integrando da $(M_0,v_0)$ a $(M,v)$,

$${\int }_{v_0}^{v}d{v}^{\prime }=-u{\int }_{M_0}^M\frac{d{M}^{\prime }}{M^{\prime }},$$

si ottiene

$$v-v_0=u\ln \left(\frac{M_0}{M}\right).$$

L'equazione generale del razzo è dunque

$$\boxed{v(t)=v_0+u\ln \left(\frac{M_0}{M(t)}\right)}.$$

4 Note sull'interpretazione

• La forma semplificata

  $$v=u\ln \left(\frac{M_0}{M}\right)$$

  presuppone $v_0=0$ (il razzo parte da fermo).

• $u$ è la velocità di scarico rispetto al razzo. Alcuni testi definiscono $u$ con un segno meno (direzione all'indietro), il che può invertire i segni nella formula.

• Questa derivazione presuppone l'assenza di forze esterne (né gravità né resistenza). Includerle modifica sensibilmente l'equazione.

5 Significato fisico

L'equazione mostra che la velocità del razzo cresce logaritmicamente con il rapporto tra massa iniziale e massa finale:

$$\frac{M_0}{M}=\text{rapporto di massa}.$$

Una maggiore velocità di scarico $u$ o un rapporto di massa più elevato comportano una velocità finale maggiore.

L'equazione del razzo deriva dalla conservazione della quantità di moto.
Per un razzo di massa $M$ che espelle una massa $dm$ alla velocità $u$:

$$M\frac{dv}{dt}=-u\frac{dM}{dt}$$

Integrando:

$$v=u\ln \left(\frac{M_0}{M}\right)$$

Questa è l'equazione del razzo di Ciolkovskij.

6. Perché queste leggi contano ancora

Le tre leggi di Newton sono il fondamento di ogni corso di meccanica, di ogni calcolo ingegneristico e di ogni orbita pianificata dalle agenzie spaziali.
Ma racchiudono anche profonde simmetrie:

• Simmetria per traslazioni spaziali → conservazione della quantità di moto
• Simmetria per rotazioni → conservazione del momento angolare
• Simmetria per traslazioni temporali → conservazione dell'energia

Vediamo ora come emergono direttamente dal quadro newtoniano.

7. Una domanda dai cieli

Negli anni Settanta del Seicento, Newton si chiedeva: che cosa mantiene la Luna nella sua orbita?
Keplero aveva fornito le leggi empiriche, ma non la causa. Newton comprese che la stessa forza che attira una mela governa anche la Luna.

Se la Luna, alla distanza $r\approx 60R_{\oplus }$, cade verso la Terra con accelerazione $a=g/60^2$, allora agisce la stessa legge dell'inverso del quadrato che vale vicino alla superficie.

Esempio svolto 7.1 — L'accelerazione della Luna

Problema: per la Terra, $g=9.8{\text{m/s}}^2$ e raggio $R_{\oplus }=6.4\times 10^6\text{m}$. Qual è l'accelerazione centripeta della Luna a $r=60R_{\oplus }$?

Soluzione:

$$a=\frac{g}{60^2}\approx \frac{9.8}{3600}\approx 0.0027{\text{m/s}}^2$$

Il risultato coincide con l'accelerazione centripeta osservata della Luna. Newton colse il legame: mele e lune obbediscono alla stessa legge.

8. La legge di gravitazione universale

Newton propose:

$$\mathbf{F}=-\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}\hat{r}$$

Ogni massa attrae tutte le altre. È una forza centrale, sempre diretta lungo la retta che congiunge i corpi.

Dimostrazione del teorema del guscio sferico

Newton dimostrò che:

• Un guscio sferico uniforme attrae una particella esterna come se tutta la massa fosse concentrata nel suo centro.
• All'interno del guscio, la forza risultante è nulla.

La dimostrazione richiede analisi e geometria, ma il risultato è profondo: per il moto orbitale i pianeti possono essere trattati come masse puntiformi.

Esempio svolto 8.1 — Il peso sull'Everest

Problema: il raggio terrestre è $R=6.4\times 10^6\text{m}$ e l'altezza dell'Everest è $h=8.8\times 10^3\text{m}$. Di quanto si riduce la gravità sulla vetta?

Soluzione:

$$g^{\prime }=g{\left(\frac{R}{R+h}\right)}^2$$ $$\frac{g^{\prime }}{g}\approx {\left(\frac{6.4\times 10^6}{6.4\times 10^6+8.8\times 10^3}\right)}^2\approx 0.997256$$

In questa approssimazione di Terra sferica, la gravità sulla vetta è più debole di circa $0.274\%$.

9. Forze centrali e moto orbitale

Per le forze centrali:

$$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}$$

Momento della forza:

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{r}\times \mathbf{F}$$

Ma se $\mathbf{F}\parallel \mathbf{r}$, allora $\mathbf{r}\times \mathbf{F}=0$, quindi:

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=0\Rightarrow \mathbf{L}=\text{const.}$$

Dunque simmetria per rotazioni → conservazione del momento angolare.

Esempio svolto 9.1 — Sistema Terra–Sole

Problema: se la Terra si trova a una distanza doppia dal Sole, come deve cambiare la sua velocità per conservare il momento angolare?

Soluzione:
$L=mvr$ è costante, dove $v$ è la componente tangenziale della velocità. Se $r\to 2r$, allora $v\to v/2$.

10. Il problema di Keplero rivisitato

Sotto l'azione di una forza inversamente proporzionale al quadrato della distanza, l'equazione dell'orbita è:

$$r(\theta )=\frac{p}{1+e\cos \theta }$$

dove $e$ è l'eccentricità.

• $0\le e<1$: ellisse
• $e=1$: parabola
• $e>1$: iperbole

Dimostrazione della seconda legge di Keplero

Dalla conservazione del momento angolare:

$$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }=\frac{L}{2m}=\text{costante}$$

Dunque vengono spazzate aree uguali in tempi uguali.

Esempio svolto 10.1 — Periodo di un satellite

Problema: un satellite orbita attorno alla Terra a un'altitudine $h=R_{\oplus }$. Trovarne il periodo.

Soluzione:
Raggio orbitale $a=2R_{\oplus }=1.28\times 10^7\text{m}$.

Terza legge di Keplero:

$$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3$$

Con $GM=3.986\times 10^{14}$,

$$T\approx 1.44\times 10^4\text{s}\approx 4.00\text{ore}$$

11. Le tre leggi di Keplero attraverso gli occhi di Newton

Newton ricavò le regole empiriche di Keplero:

1. Orbite ellittiche: dalla legge dell'inverso del quadrato.
2. Aree uguali in tempi uguali: dalla conservazione del momento angolare.
3. Legge armonica:

$$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3$$

Esempio svolto 11.1 — L'orbita di una cometa

Problema: una cometa su un'orbita parabolica ($e=1$) si avvicina al Sole. Qual è la sua velocità al perielio, alla distanza $r_p$?

Soluzione:
Per un'orbita parabolica, l'energia specifica è $E=0$:

$$\frac{1}{2}{v}^2-\frac{GM}{r_p}=0\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2GM}{r_p}}$$

Dunque le comete su orbite paraboliche si muovono alla velocità di fuga al perielio.

12. L'incontro con Halley

Nel 1684 Edmond Halley visitò Cambridge. Gli astronomi si interrogavano: se la gravità obbedisce a una legge dell'inverso del quadrato, quale forma hanno le orbite planetarie?
Halley lo chiese a Newton. Newton rispose: «Sarebbe un'ellisse.»

Da questa osservazione informale nacquero i Principia, finanziati da Halley. Senza il suo impulso, l'unificazione della meccanica terrestre e celeste avrebbe potuto rimanere inedita.

Esempio svolto 12.1 — Il periodo della cometa di Halley

Problema: la cometa di Halley ha semiasse maggiore $a=17.8\text{AU}$. Trovarne il periodo orbitale.

Soluzione:
Terza legge di Keplero (in unità astronomiche e anni): $T^2=a^3$
Quindi $T=\sqrt{(17.8{)}^3}\approx 75.1\text{anni}$
Il risultato è vicino al periodo osservato di circa 76 anni; le perturbazioni planetarie fanno variare l'intervallo tra i ritorni.

13. L'universo a orologeria

La meccanica di Newton rivelò un cosmo simile a una macchina: maree, eclissi e comete prevedibili. L'Illuminismo accolse questa visione deterministica del mondo.

Ma dietro di essa si celavano profonde leggi di conservazione: il codice operativo dell'universo.

Esempio svolto 13.1 — Le maree

Problema: perché molte coste registrano due alte maree per giorno lunare?
Risposta: nel modello semplificato di marea di equilibrio, l'attrazione gravitazionale differenziale della Luna produce due rigonfiamenti mareali, sui lati vicino e lontano della Terra. La Terra ruota attraverso questa configurazione in un giorno lunare di circa 24 ore e 50 minuti. Le coste reali possono presentare maree semidiurne, diurne o miste perché i bacini oceanici, la geometria costiera e altri effetti modificano la risposta.

14. L'eredità della gravitazione

La gravità newtoniana guidò navi, calendari e, in seguito, veicoli spaziali.
Persino la relatività di Einstein si riduce alla legge di Newton alle scale umane.

Esempio svolto 14.1 — Velocità di fuga

Problema: trovare la velocità di fuga dalla superficie terrestre.

Soluzione:
Conservazione dell'energia:

$$\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{R}=0$$ $$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}\approx 11.2\text{km/s}$$

15. Meccanica del corpo rigido

La meccanica newtoniana si estende dalle particelle ai corpi estesi.

15.1 Rotazione attorno a un asse fisso

Momento d'inerzia:

$$I=\sum _i{m}_i{r}_i^2$$

Energia cinetica:

$$T=\frac{1}{2}I{\omega }^2$$

Momento angolare:

$$L=I\omega$$

Esempio svolto 15.1 — Asta uniforme

Problema: un'asta uniforme di lunghezza $L$ ruota attorno a un asse passante per il centro e perpendicolare all'asta. Trovare $I$.

Soluzione:

$$I={\int }_{-L/2}^{L/2}{x}^2\frac{M}{L}dx=\frac{M{L}^2}{12}$$

15.2 Le equazioni di Eulero

Per la rotazione generale di un corpo rigido, usando componenti solidali al corpo, con $I$ tensore d'inerzia e la derivata temporale calcolata in tale sistema:

$$\frac{d}{dt}(I\omega )+\omega \times (I\omega )=\tau$$

Queste equazioni governano trottole, giroscopi e veicoli spaziali.

Esempio svolto 15.2 — La rotazione di una pattinatrice

Problema: una pattinatrice avvicina le braccia al corpo, dimezzando $I$. Che cosa accade a $\omega$?

Soluzione:
Il momento angolare si conserva: $I\omega =\text{const.}$
Se $I\to I/2$, allora $\omega \to 2\omega$.
La pattinatrice ruota a velocità doppia.

16. Sistemi di riferimento non inerziali

Le leggi di Newton valgono nei sistemi di riferimento inerziali. Ma sulla Terra, che ruota, dobbiamo aggiungere forze apparenti.

16.1 Forza di Coriolis e forza centrifuga

In un sistema che ruota con velocità angolare costante $\vec{\Omega }$, senza accelerazione traslatoria della sua origine:

$${\mathbf{a}}^{\prime }=\mathbf{a}-2\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }-\mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r})$$

• $-2\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }$ = accelerazione di Coriolis
• $-\mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r})$ = accelerazione centrifuga

Esempio svolto 16.1 — Deviazione di un corpo in caduta

Problema: un corpo cade da un'altezza $h$ alla latitudine $\varphi$. Di quanto viene deviato verso est dalla forza di Coriolis?

Soluzione (approssimata):
Tempo di caduta $t=\sqrt{2h/g}$.
Accelerazione verso est $\approx 2\Omega \cos \varphi \cdot v_z$, considerando $v_z$ positivo verso il basso.
Spostamento:

$$x\approx \frac{1}{3}\Omega \cos \varphi g{t}^3$$

Per $h=100\text{m},\varphi =45^{\circ }$: $x\approx 2\text{cm}$.

Esempio svolto 16.2 — I cicloni

Problema: perché i cicloni ruotano in senso antiorario nell'emisfero boreale?

Risposta: la forza di Coriolis devia l'aria in movimento verso destra rispetto al suo moto. Nei sistemi di bassa pressione, l'aria che affluisce curva in senso antiorario a nord e orario a sud.

17. Newton, l'uomo

Newton scienziato era brillante, ma Newton uomo era complesso. Dedicò decenni non solo alla fisica, ma anche all'alchimia, alla teologia e alle battaglie politiche.
Come direttore della Zecca, riformò la monetazione inglese, perseguendo i falsari con precisione investigativa. Come presidente della Royal Society, promosse la scienza inglese e talvolta schiacciò i rivali.

Eppure, la sua meccanica trascese i difetti personali: un quadro al tempo stesso eterno e universale.

Esempio svolto 17.1 — La moneta d'oro della Zecca

Problema: se una moneta falsa pesa l'1% in meno di una autentica, come potrebbe Newton rilevarlo con una bilancia?

Soluzione: l'equilibrio rotazionale statico richiede un momento risultante nullo, quindi i due momenti gravitazionali si bilanciano.
Una differenza di massa dell'1% provoca uno squilibrio misurabile nel confronto con un campione di riferimento. L'ossessione di Newton per la precisione faceva sì che nessun falsario sfuggisse a lungo.

18. Eredità e transizione

Nel 1727, anno della morte di Newton, la sua meccanica era diventata il fondamento intellettuale dell'Illuminismo.
Per 200 anni ingegneri e astronomi si affidarono esclusivamente a Newton.

Ma emersero delle crepe:

• La precessione di Mercurio sfidava le previsioni newtoniane.
• La luce, trattata da Newton come un insieme di particelle, mostrava fenomeni ondulatori.
• Atomi ed elettroni richiedevano regole quantistiche.

Esempio svolto 18.1 — L'orbita di Mercurio

Problema: il perielio di Mercurio presenta una precessione aggiuntiva di $43^{\prime \prime }$ per secolo rispetto alla gravità newtoniana. Perché?

Risposta: la relatività generale spiega la correzione: la curvatura dello spaziotempo modifica la legge di Newton quando si richiede un'elevata precisione.

Esempio svolto 18.2 — Quando Newton non basta

• A velocità prossime a quella della luce → la relatività ristretta sostituisce $F=ma$ con $F=dp/dt$, dove $p=\gamma mv$.
• Alle scale atomiche → la meccanica quantistica sostituisce le traiettorie con funzioni d'onda.

Eppure Newton rimane la prima approssimazione:

• Per $v\ll c$ e su grandi scale, Newton è ancora sufficientemente preciso da guidare razzi verso Marte.

19. Perché studiamo ancora la meccanica newtoniana

Nonostante la relatività e la fisica quantistica, Newton viene ancora insegnato per primo, perché:

• È accurato alle scale umane.
• Fornisce la grammatica della fisica: tradurre parole → equazioni → previsioni.
• Rivela il legame tra simmetria e leggi di conservazione.

Riepilogo di simmetrie e conservazione

• Invarianza per traslazioni spaziali → conservazione della quantità di moto
  $\mathbf{P}=\sum m_i{\mathbf{v}}_i=\text{const.}$

• Invarianza per rotazioni → conservazione del momento angolare
  $\mathbf{L}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}=\text{const.}$

• Invarianza per traslazioni temporali → conservazione dell'energia
  $E=T+V=\text{const.}$

Sono i semi del teorema di Noether, giunto alla piena maturità nel XX secolo.

Esempio svolto 19.1 — Un salto con l'elastico

Problema: una persona di 70 kg si lancia con una corda modellata come una molla di costante $k=50\text{N/m}$ e lunghezza a riposo $L=30\text{m}$. Trovare l'allungamento massimo.

Soluzione:
Conservazione dell'energia:

$$mg(L+x)=\frac{1}{2}k{x}^2$$

Risolvendo l'equazione di secondo grado con $g=9.8{\text{m/s}}^2$: $x\approx 45.5\text{m}$.
La caduta massima è quindi $L+x\approx 75.5\text{m}$.

20. Riepilogo

• Tre leggi del moto: inerzia, forza, reazione.
• Gravitazione universale: unisce la Terra e il cielo.
• Leggi di conservazione: quantità di moto, momento angolare ed energia emergono dalle simmetrie.
• Corpi rigidi e sistemi non inerziali: estendono le leggi alla complessità del mondo reale.
• Newton, l'uomo: brillante, imperfetto, ma fondamentale.

La visione di Newton non fu la verità definitiva, ma la prima mappa matematica dell'universo.
Ogni studente che impara la meccanica entra nella stessa tradizione.

Epilogo

Dal meleto di Woolsthorpe ai veicoli spaziali che lasciano il Sistema solare, le equazioni di Newton resistono.

• Gli ingegneri usano ancora $F=ma$.
• Gli astronomi prevedono ancora le orbite con $T^2\propto a^3$.
• Gli architetti calcolano ancora i carichi con la statica newtoniana.

Anche quando viene superato da Einstein o Schrödinger, Newton non viene mai abbandonato.

Una volta scrisse:

«Non so come io possa apparire al mondo, ma a me stesso sembra di essere stato soltanto un bambino che gioca sulla riva del mare, trovando di tanto in tanto un ciottolo più liscio o una conchiglia più bella del solito, mentre il grande oceano della verità giaceva ancora inesplorato davanti a me.»

Quattro secoli dopo, esploriamo ancora quell'oceano con la bussola che Newton ci ha lasciato.