Fisica statistica
9.1 Fondamenti: dai microstati alla termodinamica
La fisica statistica è l'arte di prevedere leggi macroscopiche a partire dall'incertezza microscopica. Non conosciamo mai lo stato esatto a corpi; organizziamo invece l'ignoranza in ensemble le cui medie riproducono temperatura, pressione, magnetizzazione e altre grandezze. Questa sezione costruisce il nucleo: microstati e macrostati, postulato fondamentale, i tre ensemble standard e limite termodinamico. Mostriamo inoltre come il punto di vista della teoria dell'informazione trasformi la «massima entropia» nel motore unico delle distribuzioni familiari.
9.1.1 Microstati, macrostati e spazio delle fasi
Un microstato è una specificazione completa dei gradi di libertà del sistema. Per particelle puntiformi classiche è un punto nello spazio delle fasi a dimensioni, con coordinate
Un macrostato è definito da poche variabili globali, per esempio per un gas isolato. Molti microstati corrispondono allo stesso macrostato. Contarli conduce all'entropia.
Il teorema di Liouville afferma che il flusso hamiltoniano è incomprimibile nello spazio delle fasi, quindi gli elementi di volume si conservano lungo le traiettorie. Questo rende dinamicamente coerenti le distribuzioni uniformi sui gusci energetici.
9.1.2 Postulato fondamentale e principio di Boltzmann
Postulato fondamentale. Per un sistema isolato all'equilibrio con fissati, tutti i microstati compatibili con questi vincoli sono equiprobabili.
Sia il numero di microstati con energie in per un piccolo ma macroscopico. Allora l'entropia è
La temperatura termodinamica deriva da
e pressione e potenziale chimico sono
Per sottosistemi debolmente interagenti e , l'additività di a totale fissato produce la condizione di equilibrio massimizzando sotto il vincolo .
9.1.3 Limite termodinamico, estensività e concavità
Definiamo il limite termodinamico come , con fissato. In questo limite:
- L'entropia diventa estensiva:
- è concava nelle sue variabili naturali, assicurando stabilità e capacità termiche positive dove appropriato
- Le fluttuazioni delle variabili intensive diminuiscono come , rendendo la termodinamica precisa
Le interazioni a corto raggio garantiscono l'equivalenza degli ensemble; i casi a lungo raggio (autogravitazione, Coulomb non schermato) possono violare l'additività e richiedono attenzione.
9.1.4 Ensemble microcanonico
La densità di probabilità microcanonica è uniforme rispetto alla misura invariante sul guscio energetico indotta dalla misura di Liouville, non rispetto all'area euclidea dell'ipersuperficie. Qui è la densità degli stati, distinta dal conteggio su un guscio finito di ampiezza energetica stretta e fissata:
I valori di aspettazione sono
Massimizzare sotto i vincoli riproduce le relazioni termodinamiche. Per molti sistemi questo è il fondamento concettuale; in pratica l'ensemble canonico è spesso più semplice per i calcoli e diventa equivalente a grandi .
9.1.5 Ensemble canonico mediante un bagno termico
Poniamo il sistema debolmente accoppiato a un enorme serbatoio con fissata. La probabilità di trovare nel microstato di energia è proporzionale al numero di stati del serbatoio all'energia :
con temperatura inversa . Normalizzando si ottiene
è la funzione di partizione. Ne seguono i potenziali termodinamici:
Le fluttuazioni energetiche soddisfano
quindi le fluttuazioni relative scalano come per i sistemi normali.
9.1.6 Ensemble gran canonico: scambio di particelle
Se con un serbatoio si scambiano sia energia sia particelle, la probabilità del microstato con è
con funzione di gran partizione
Definiamo il gran potenziale
Allora
Fluttuazioni:
e le covarianze tra energia e numero derivano dalle derivate miste di .
9.1.7 Trasformate di Legendre e potenziali termodinamici
La termodinamica è organizzata da trasformate di Legendre che scambiano le variabili naturali:
- con variabili naturali
- con
- con
- con
Le relazioni di Maxwell discendono dall'uguaglianza delle derivate parziali miste, per esempio
9.1.8 Fondamento nella teoria dell'informazione (punto di vista di Jaynes)
Siano le probabilità sui microstati. Massimizziamo l'entropia di Shannon
sotto i vincoli noti. Con soltanto normalizzazione ed energia media fissate, i moltiplicatori di Lagrange danno
Con vincoli su energia e numero di particelle si ottiene la forma gran canonica . Gli ensemble sono dunque le distribuzioni meno arbitrarie compatibili con i dati macroscopici.
L'entropia relativa misura la distanza da una distribuzione a priori . Molti teoremi di fluttuazione e risultati di risposta lineare assumono una forma compatta in questo linguaggio.
9.1.9 Grandi deviazioni, concentrazione ed equivalenza degli ensemble
Per , le probabilità si concentrano esponenzialmente vicino ai valori termodinamici. Se è un'osservabile additiva,
con una funzione di tasso che si annulla al valore di equilibrio. Sotto le consuete condizioni di convessità:
- Gli ensemble microcanonico, canonico e gran canonico sono equivalenti nel limite termodinamico
- Le non concavità segnalano coesistenza di fasi; le costruzioni di Maxwell le correggono a livello dei potenziali termodinamici
9.1.10 Brevi esempi svolti
(a) Sistema a due livelli
Livelli energetici e per siti non interagenti. Funzione di partizione canonica per sito
Totale . Energia media e capacità termica con un picco di Schottky vicino a .
(b) Oscillatore armonico quantistico
Un singolo oscillatore con dà
L'energia media tende a ad alte (equipartizione) e a per .
(c) Lancio di monete e Stirling
Per monete eque indipendenti, la molteplicità di teste è con ed entropia binaria . È l'archetipo delle grandi deviazioni.
(d) Temperatura microcanonica del gas ideale
Per un gas ideale classico, il conteggio degli stati dà
quindi, a larghezza fissata del guscio energetico, dà e . Nel limite termodinamico, .
(e) Fluttuazioni canoniche
Mostrare calcolando e collegare la capacità termica alla curvatura di .
9.1.11 Raccolta minima di problemi
- Partendo da , ricavare e
- Ricavare l'ensemble canonico massimizzando con i vincoli e
- Mostrare che implica e
- Per un gas ideale classico, calcolare a meno di una costante usando il volume nello spazio delle fasi e ottenere l'entropia di Sackur–Tetrode
- Dimostrare nell'ensemble gran canonico
- Discutere quando l'equivalenza degli ensemble fallisce e fornire un esempio fisico con forze a lungo raggio
9.2 Funzioni di partizione e potenziali termodinamici
Le funzioni di partizione generano tutto ciò che è termodinamico. Una volta nota , o l'analogo , le derivate danno e tutti i coefficienti di risposta. Questa sezione costruisce gli strumenti canonici e gran canonici, aggiunge l'ensemble isotermo-isobaro e mostra come trasformate di Legendre e punti di sella li ricolleghino all'entropia microcanonica. Gli esempi svolti rendono concrete le formule.
9.2.1 Funzione di partizione canonica e cumulanti
Per fissati, i pesi canonici sono con
Energia libera di Helmholtz
Derivate standard
I cumulanti energetici derivano dalle derivate di rispetto a . Per esempio
Le forze generalizzate per un parametro di controllo che entra in obbediscono a
Esempi: per un campo magnetico e per il volume.
9.2.2 Funzione di gran partizione, fugacità e pressione
Quando il numero di particelle fluttua a fissati
Definiamo il gran potenziale
La termodinamica in questo ensemble è compatta
È comune usare la fugacità . Le fluttuazioni del numero e la comprimibilità sono collegate da
Per un gas ideale uniforme si trova l'identità utile .
9.2.3 Ensemble isotermo-isobaro ed energia libera di Gibbs
Molti esperimenti mantengono fissati. La funzione di partizione isoterma-isobara è la trasformata di Laplace di rispetto a , con un volume di riferimento fisso che la rende adimensionale:
Il suo potenziale termodinamico è l'energia libera di Gibbs
Allora
Le fluttuazioni di a fissati sono generate dalle derivate di .
9.2.4 Struttura di Legendre e collegamento microcanonico
Gli ensemble canonico e gran canonico sono trasformate di Laplace del conteggio microcanonico degli stati
Per sistemi grandi, l'integrale è dominato da un punto di sella con , cioè . Valutare alla sella produce la relazione di Legendre
Analogamente, la trasformata gran canonica rispetto sia a sia a dà
Ecco perché i potenziali termodinamici sono trasformate di Legendre di .
9.2.5 Gas ideale classico nell'ensemble canonico
Prendiamo particelle indistinguibili di massa con hamiltoniana e trascuriamo le interazioni. La funzione di partizione canonica si fattorizza in una parte traslazionale
con lunghezza d'onda termica
Allora
L'equazione di stato segue immediatamente
L'entropia assume la forma di Sackur–Tetrode
e l'energia interna è con . Il fattore risolve il paradosso di Gibbs imponendo l'indistinguibilità.
9.2.6 Gas ideali quantistici mediante lo sviluppo in cluster
Per bosoni o fermioni non interagenti con energie di singola particella
segno superiore per i bosoni, inferiore per i fermioni. Le occupazioni sono
Nel limite continuo si sostituisce per ottenere la termodinamica di gas di fotoni, fononi o elettroni. Le interazioni si possono includere perturbativamente mediante sviluppi viriali o in cluster, che correggono tramite coefficienti .
9.2.7 Forze generalizzate e matrici di risposta
Se un'hamiltoniana classica dipende linearmente da controlli esterni , la matrice delle derivate seconde di dà la risposta tramite covarianze riportata sotto. La stessa forma a tempi uguali si applica a osservabili quantistiche che commutano con l'hamiltoniana. Un accoppiamento non lineare richiede un ulteriore termine di derivata esplicita e osservabili quantistiche non commutanti richiedono la correlazione di Kubo in tempo immaginario:
dove è l'osservabile coniugata. Esempi includono suscettività magnetica, comprimibilità e capacità termiche. Le derivate miste codificano le relazioni di Maxwell, per esempio .
9.2.8 Sistemi reticolari di tipo Ising ed esercizi di conteggio
Per un reticolo finito con spin e hamiltoniana , la funzione di partizione canonica è
Benché il calcolo esatto sia difficile oltre una dimensione, le derivate di definiscono comunque magnetizzazione e suscettività . Approcci di campo medio o a matrice di trasferimento approssimano sistematicamente.
9.2.9 Gibbs–Duhem e verifiche di estensività
Per un sistema estensivo con omogenea di primo grado, vale la relazione di Eulero
Derivando si ottiene l'equazione di Gibbs–Duhem
È una verifica di coerenza per qualsiasi equazione di stato ricavata da una funzione di partizione.
9.2.10 Tecniche di Laplace, punti di sella ed equivalenza degli ensemble
Poiché e sono trasformate di Laplace, la termodinamica a grandi deriva dalla loro sella dominante. La concavità di garantisce l'equivalenza degli ensemble. Nelle transizioni del primo ordine, sviluppa più selle in competizione; le trasformate di Legendre selezionano l'inviluppo convesso e le fluttuazioni diventano non gaussiane nei sistemi finiti.
9.2.11 Brevi esempi svolti
(a) Gas ideale
Calcolare per il gas ideale usando per mostrare
e verificare e . Per grandi , la correzione relativa si annulla e .
(b) Pressione da tramite il viriale
Per un gas classico interagente con potenziale di coppia , mostrare che usando e un argomento di riscalamento uniforme, dove e è la distribuzione di coppia.
(c) Fluttuazioni del numero e comprimibilità
Nell'ensemble gran canonico, verificare e collegarlo alla comprimibilità isoterma .
(d) Microcanonico ↔ canonico
Partendo da , eseguire uno sviluppo quadratico di attorno a per ottenere fluttuazioni energetiche gaussiane con varianza .
(e) Energia libera del sistema a due livelli
Per siti indipendenti a due livelli con energie e , calcolare , poi , e e individuare il picco di Schottky.
9.2.12 Raccolta minima di problemi
- Ricavare tutte le relazioni canoniche per partendo da e verificare la relazione di Maxwell
- Mostrare che nell'ensemble gran canonico per un gas ideale e ottenere e dalle derivate di
- Calcolare la funzione di partizione isoterma-isobara per un solido armonico classico trattato come oscillatori indipendenti ed estrarre nel limite di piccola comprimibilità
- Usando , recuperare le distribuzioni di Bose–Einstein e Fermi–Dirac e il limite classico quando
- Dall'estensività, dimostrare la relazione di Eulero e poi l'equazione di Gibbs–Duhem, verificandole sui risultati del gas ideale precedenti
9.3 Gas ideale classico ed equipartizione
Il gas ideale classico è la palestra della fisica statistica: si impara a contare stati, a calcolare le derivate dei logaritmi delle funzioni di partizione e a vedere emergere leggi macroscopiche come se nulla fosse. Ricaviamo la distribuzione di Maxwell–Boltzmann, dimostriamo l'equipartizione, recuperiamo e sviluppiamo intuizione su adiabatiche, velocità del suono e limiti del quadro classico (ecco ).
9.3.1 Riepilogo del conteggio canonico e Z del gas ideale
Per particelle puntiformi indistinguibili di massa nel volume con hamiltoniana , la funzione di partizione canonica si fattorizza:
con lunghezza d'onda termica
La termodinamica segue immediatamente:
Capacità termiche:
L'entropia ha la forma di Sackur–Tetrode:
Il fattore elimina il paradosso di Gibbs codificando l'indistinguibilità.
9.3.2 Distribuzione di Maxwell–Boltzmann (velocità, moduli ed energie)
Ogni componente della quantità di moto è gaussiana:
Equivalentemente, ogni componente della velocità è gaussiana con varianza . La distribuzione del modulo della velocità (radiale nello spazio delle velocità) è
Momenti utili:
La distribuzione dell'energia cinetica è di tipo con gradi di libertà:
9.3.3 Teorema di equipartizione
Enunciato. Ogni grado di libertà quadratico nell'hamiltoniana contribuisce con all'energia media.
Schema di dimostrazione (canonica, integrazione per parti). Se contiene un termine , allora
Per , ogni quadratico dà . Un gas monoatomico ha quantità di moto traslazionali → .
Quando fallisce (e perché è utile). L'equipartizione classica fallisce quando rotazioni o vibrazioni quantizzate hanno distanze tra livelli maggiori di , anche se l'hamiltoniana è quadratica. I loro contributi termici si «congelano». Questo spiega la diminuzione dei calori specifici a basse e l'intervallo di validità di Dulong–Petit.
9.3.4 Teoria cinetica
Dagli urti elastici su una parete, la pressione si può scrivere
Combinando con si ottiene . Più in generale, per interazioni di coppia il teorema del viriale dà
Il gas ideale ha , quindi il secondo termine si annulla.
9.3.5 Adiabatiche, velocità del suono e rapidi passaggi termodinamici
Per una trasformazione adiabatica reversibile () di un gas ideale monoatomico,
con . La velocità del suono (piccole onde adiabatiche di densità) è
Per miscele, sostituire con la massa molecolare media e con il rapporto appropriato delle capacità termiche.
9.3.6 Campi esterni: formula barometrica e separabilità
In un campo gravitazionale uniforme , il peso di Boltzmann a un corpo si fattorizza:
Le parti di quantità di moto e posizione si separano, quindi i risultati sull'energia cinetica (equipartizione, velocità MB) rimangono invariati.
9.3.7 Trasporto in una schermata: cammino libero medio e altre grandezze
Per sfere rigide di diametro e densità numerica , il cammino libero medio è
Usando una velocità tipica ,
Queste dipendenze della teoria cinetica sono notevolmente accurate per gas diluiti; sezioni d'urto reali e miscele affinano i prefattori.
9.3.8 Validità del quadro classico
Il comportamento classico non degenere richiede che il parametro di diluizione sia piccolo:
Se (bassa o alta ), entra in gioco la statistica quantistica: i bosoni richiedono Bose–Einstein, i fermioni seguono Pauli e la distribuzione MB non è più adatta.
9.3.9 Oltre il gas monoatomico: che cosa conta l'equipartizione
Per una molecola biatomica lineare rigida a intermedia:
- modi quadratici traslazionali + rotazionali → gradi di libertà efficaci, quindi ,
- Le vibrazioni aggiungono altri modi quadratici, ma soltanto quando supera la separazione quantistica vibrazionale; altrimenti sono congelate
Morale: contare soltanto i modi attivi alla propria .
9.3.10 Brevi esempi svolti
(a) Velocità quadratica media dell'aria a ambiente
Per con a ,
Inserire i numeri per ottenere alcune centinaia di ; confrontare con e .
(b) Compressione adiabatica
Un gas monoatomico viene compresso adiabaticamente da a . Usare per trovare .
(c) Altezza di scala barometrica dell'elio
Per He a , calcolare e confrontarlo con per evidenziare la dipendenza dalla massa.
(d) Cammino libero medio a condizioni standard di temperatura e pressione
Prendere , ; stimare e commentare perché gli odori diffondono rapidamente.
(e) Verifica di coerenza dell'equipartizione
Mostrare direttamente da che ed estendere a tre componenti.
9.3.11 Raccolta minima di problemi
- Partendo da , ricavare , e
- Dimostrare l'identità di equipartizione per una coordinata quadratica e applicarla a
- Ricavare contando gli urti sulle pareti e recuperare
- Per una molecola biatomica lineare con costante rotazionale , stimare la temperatura alla quale le rotazioni si «attivano» confrontando con
- Verificare il criterio di classicità per un gas atomico freddo di densità e temperatura : calcolare e discutere quando sia necessaria la statistica quantistica
9.4 Fluttuazioni e principio di fluttuazione–risposta
Le leggi macroscopiche appaiono nette perché le fluttuazioni relative scalano come , finché smettono di farlo. Questa sezione organizza che cosa fluttua, quanto e perché le risposte equivalgono alle fluttuazioni. Colleghiamo gli ensemble canonico, gran canonico e isotermo-isobaro; introduciamo le relazioni statiche di fluttuazione–dissipazione; colleghiamo le correlazioni di coppia alla comprimibilità e anticipiamo ciò che non funziona vicino ai punti critici.
9.4.1 Energia e numero: le due varianze principali
Canonico ( fissati):
L'entità relativa diminuisce come per sistemi normali.
Gran canonico ( fissati):
Equivalentemente, in termini di densità e comprimibilità isoterma ,
per un fluido a un componente, usando e le identità termodinamiche standard.
9.4.2 Fluttuazioni del volume a pressione fissata
Mantenendo fissati, la funzione di partizione isoterma-isobara genera
Di nuovo, fluttuazione = risposta: la comprimibilità misura quanto varia quando viene perturbato; lo stesso coefficiente determina la varianza di equilibrio.
9.4.3 Fluttuazione–risposta statica in una riga
Sia un controllo accoppiato a un'osservabile indipendente dalla sorgente tramite (quindi ). In un ensemble canonico classico, oppure per un'osservabile quantistica che commuta con l'hamiltoniana,
Casi particolari:
- Per l'energia, e danno . Qui la temperatura inversa è il parametro coniugato nel peso di Boltzmann; variarla è diverso dalla sorgente a temperatura fissata precedente.
- nell'ensemble gran canonico dà
Positività delle varianze stabilità: , negli ensemble con fissata.
9.4.4 Correlazioni, fattore di struttura e regola di somma della comprimibilità
Definiamo la densità microscopica , la correlazione di coppia e il fattore di struttura statico
In un fluido uniforme,
Prendere collega le correlazioni microscopiche alla risposta macroscopica:
È la regola di somma della comprimibilità. Vicino a un punto critico, e presenta un picco: la cosiddetta opalescenza critica.
9.4.5 Punti di sella, curvatura e grandi deviazioni
L'entropia microcanonica controlla le fluttuazioni tramite la sua curvatura. Sviluppiamo attorno all'energia più probabile :
Eseguire la trasformata di Laplace verso l'ensemble canonico dà una gaussiana per con varianza , equivalente a . Più in generale, le osservabili additive obbediscono a un principio delle grandi deviazioni:
dove è la funzione di tasso (trasformata di Legendre della funzione generatrice dei cumulanti). Nelle transizioni del primo ordine, il potenziale termodinamico rilevante sviluppa più selle in competizione → fluttuazioni non gaussiane e coesistenza di fasi.
9.4.6 Fluttuazioni critiche e lunghezza di correlazione
Sia un parametro d'ordine (per esempio la densità di magnetizzazione). Definiamo il correlatore connesso
Lontano dalla criticità, la legge di potenza critica viene troncata a una lunghezza di correlazione finita. Schematicamente si può scrivere
con lunghezza di correlazione finita ; il prefattore mostrato non è una formula asintotica esatta generale a grande distanza. La suscettività statica ridotta , con il fattore di normalizzazione termica assorbito nella definizione, scala come
Pertanto, in un volume , la varianza del parametro d'ordine mediato spazialmente scala come . Quando è finita, le fluttuazioni relative . Quando , e la legge cessa di valere.
9.4.7 Scaling a taglia finita: quando N è grande ma non infinito
- Per sistemi non critici: per additiva → entità relativa .
- Vicino alla criticità: con confrontabile con la dimensione del sistema , sostituire con nelle formule di scaling; i picchi del calore specifico o della suscettività si arrotondano e si spostano con in modi prevedibili (usati per estrarre numericamente gli esponenti critici).
9.4.8 Esempio: paramagnete non interagente e legge di Curie
spin nel campo con hamiltoniana , . La funzione di partizione di un singolo spin è , la magnetizzazione per spin
La varianza di è binomiale:
La suscettività statica concorda con fluttuazione–risposta:
Nel limite di campo debole, legge di Curie:
9.4.9 Esempio: fluttuazioni di densità del gas ideale e S(0)
In un gas ideale classico gran canonico, le particelle sono incorrelate: . Quindi per ogni e
dunque , il risultato del gas ideale. In questo ensemble con serbatoio, la varianza del numero in un sottovolume è poissoniana: . Con un numero totale di particelle fissato, le fluttuazioni nei sottovolumi sono invece binomiali (vedi 9.4.11(e)) e il fattore di struttura a vettore d'onda esattamente nullo si annulla. In quel caso, la regola di somma della comprimibilità si riferisce al limite di grande lunghezza d'onda preso dopo il limite termodinamico.
9.4.10 Errori comuni
- Mescolare gli ensemble. Non usare canonico con fluttuazioni gran canoniche del numero senza avere adattato l'ensemble alla misura.
- Forzare interpolazioni gaussiane vicino alle transizioni. Al primo ordine, le distribuzioni possono essere bimodali (due fasi); alla criticità, le distribuzioni del parametro d'ordine sono generalmente non gaussiane, ma le loro code non devono necessariamente essere leggi di potenza.
- Ignorare i vincoli. I totali conservati sopprimono le varianze (per esempio un totale fissato riduce le fluttuazioni nei sottovolumi).
- Chiamare «instabilità» un negativo. Nei piccoli sistemi microcanonici con forze a lungo raggio può comparire ; segnala inequivalenza degli ensemble, non un errore algebrico.
9.4.11 Brevi esempi svolti
(a) Varianza del volume
Da , mostrare e verificarlo per un gas ideale.
(b) Regola di somma della comprimibilità
Partendo da , prendere e usare la termodinamica per ricavare .
(c) Grandi deviazioni dell'energia
Da , eseguire lo sviluppo quadratico e ricavare ; individuare quando l'approssimazione gaussiana fallisce.
(d) Varianza del paramagnete → Curie
Calcolare e da e mostrare ; prendere per ottenere .
(e) Fluttuazioni nei sottovolumi
Per un gas ideale, dividere una scatola in due volumi e . Con totale fissato, mostrare (binomiale), confrontandolo con la varianza poissoniana gran canonica.
9.4.12 Raccolta minima di problemi
- Dimostrare la relazione statica generale dalle derivate di con un termine di sorgente
- Ricavare e collegarlo a per un fluido a un componente
- Mostrare che implica quando un liquido si avvicina al proprio punto critico gas–liquido e spiegare qualitativamente l'«opalescenza critica»
- Usando un'energia libera di Landau , , calcolare le fluttuazioni gaussiane sopra ed estrarre a livello di campo medio
- Per un modello reticolare con parametro d'ordine conservato, discutere come la conservazione modifichi il rilassamento a tempi lunghi (ma non le varianze statiche a tempi uguali) a fissato
9.5 Gas quantistici: statistiche di Bose e Fermi, polilogaritmi e strada verso la degenerazione
La statistica classica MB è ottima, finché non cessa di essere minuscolo. Allora indistinguibilità e simmetria di scambio cambiano le regole. Questa sezione ricava Bose–Einstein e Fermi–Dirac dall'ensemble gran canonico, calcola la termodinamica con funzioni polilogaritmiche, si collega al limite classico mediante sviluppi viriali e costruisce gli strumenti del gas di Fermi degenere, incluso lo sviluppo di Sommerfeld. Descriviamo anche come il potenziale chimico varia con e .
Qui e l’occupazione è per singolo stato, senza un fattore di densità degli stati. Per x grande, tutte tendono al risultato classico. L’occupazione di Bose può superare uno e diverge quando x tende a zero da destra; lo stato fondamentale condensato richiede un trattamento separato. Le curve descrivono un gas ideale in equilibrio termico.
- Bose–Einstein: , curva superiore.
- Maxwell–Boltzmann: , curva intermedia.
- Fermi–Dirac: , curva inferiore. Il grafico copre solo , non il mare di Fermi occupato.
9.5.1 Ensemble gran canonico → distribuzioni BE/FD
Poniamo particelle identiche non interagenti nell'ensemble gran canonico a . Con fugacità e livelli di singola particella ,
segno superiore per i bosoni, inferiore per i fermioni. Le occupazioni sono
Il meno al denominatore dà il raggruppamento di Bose–Einstein, il più dà il blocco di Fermi–Dirac.
9.5.2 Densità degli stati in tre dimensioni e passaggio al continuo
Per degenerazione di spin e dispersione non relativistica nel volume ,
Le somme diventano integrali .
Definiamo la lunghezza d'onda termica
e il polilogaritmo .
9.5.3 Termodinamica con i polilogaritmi: N, U e p
Sia per bosoni sia per fermioni, i risultati si compattano mediante polilogaritmi. Poniamo
Allora in , per un gas uniforme non relativistico,
- Bosoni
- Fermioni
L'identità del viriale vale per qualsiasi gas ideale non relativistico con dispersione quadratica.
9.5.4 Limite classico e prima correzione quantistica
Quando (alta o bassa ), entrambe le statistiche si riducono a MB, poiché e . Proseguire lo sviluppo dà la correzione quantistica dominante alla legge del gas ideale
segno superiore per i fermioni (la «repulsione» di Pauli aumenta la pressione), segno inferiore per i bosoni (l'«attrazione» di Bose la diminuisce)
9.5.5 Comportamento del potenziale chimico
- Bosoni: . A fissata, quando diminuisce, sale verso . Per un gas ideale uniforme, la capacità degli stati eccitati è limitata da , conducendo alla condensazione di Bose–Einstein quando supera una costante. Approfondiamo la BEC nel §9.7.
- Fermioni: è positivo a basse e si avvicina all'energia di Fermi quando . Con e degenerazione di spin ,
A finita ma piccola, diminuisce rispetto a di .
9.5.6 Gas di Fermi degenere e sviluppo di Sommerfeld
Per , calcoliamo asintoticamente gli integrali di Fermi. Poniamo .
- Potenziale chimico
- Energia interna e pressione a basse
- Capacità termica per particella
La linearità in è la firma di una superficie di Fermi con un sottile guscio di stati termicamente attivi di spessore .
9.5.7 Gas di Bose non degenere e soglia della BEC
Sopra la condensazione (nessuna occupazione macroscopica dello stato fondamentale), risolve . La termodinamica segue dal §9.5.3 con . Quando diminuisce a fissata, , e la densità degli stati eccitati satura a
Le particelle «in eccesso» devono andare nello stato fondamentale alla temperatura critica trovata nel §9.7 e al di sotto di essa.
9.5.8 Limiti relativistici e senza massa (anticipazione)
Per particelle senza massa con , la densità degli stati è . La dispersione massiva si avvicina a questa forma soltanto nel limite ultrarelativistico. I bosoni senza massa (fotoni) hanno con . Sviluppiamo fotoni e fononi nel §9.6.
9.5.9 Brevi esempi svolti
(a) Verifica del limite classico
Mostrare che prendere in e riproduce all'ordine dominante e dà poi la correzione .
(b) Densità degli stati tridimensionale
Ricavare contando gli stati di quantità di moto in una scatola e usando .
(c) Calcolo numerico dell'energia di Fermi
Per elettroni in un metallo con e , calcolare e , poi stimare a .
(d) A basse : per fermioni
Usare lo sviluppo di Sommerfeld di per ottenere la serie di fino a .
(e) Gas di Bose vicino a
Calcolare numericamente vicino a usando lo sviluppo del polilogaritmo e mostrare come si avvicini a .
9.5.10 Raccolta minima di problemi
- Partendo da , ricavare e le forme BE/FD
- Sostituire le somme con per ottenere le formule polilogaritmiche per , e in
- Sviluppare in potenze di e individuare il segno del secondo coefficiente viriale per bosoni e fermioni
- Ricavare l'energia di Fermi e , poi usare Sommerfeld per ottenere
- A fissata per un gas ideale di Bose, mostrare quando e calcolare la pendenza a dall'equazione del numero
9.6 Fotoni e fononi: radiazione di corpo nero e capacità termica dei solidi
Due gas di Bose archetipici, due mondi molto diversi. Fotoni: senza massa, spin 1, numero non conservato, , pressione , legge . Fononi: vibrazioni reticolari con dispersione lineare a grandi lunghezze d'onda, tre polarizzazioni e un taglio di Debye che impone modi. Insieme spiegano lo spettro della luce e perché i calori specifici dei solidi precipitino a zero a basse .
9.6.1 Fondamenti del gas di fotoni
I fotoni vengono creati e annichilati liberamente all'equilibrio termico, quindi il potenziale chimico deve essere zero. Poniamo onde elettromagnetiche in una grande cavità cubica di volume con condizioni al contorno periodiche. Contare i modi trasversi per frequenza angolare dà la densità degli stati
L'occupazione di Bose con è e produce la densità di energia di Planck
Lo spettro del numero si ottiene dividendo per
9.6.2 Stefan–Boltzmann e Wien: due celebri corollari
Integrare su tutte le dà
La pressione di radiazione per un gas isotropo di fotoni è
Il flusso radiativo da una superficie nera è con
La lunghezza d'onda del massimo dell'emittanza spettrale soddisfa la legge di spostamento di Wien
ottenuta massimizzando la forma in della legge di Planck.
Densità di entropia ed entalpia discendono da :
9.6.3 Fononi: suono quantizzato con dispersione lineare
In un cristallo, piccoli spostamenti reticolari formano modi normali. A grandi lunghezze d'onda, i rami acustici hanno
con velocità del suono e tre polarizzazioni (una longitudinale, due trasverse). Trattandoli come un gas di bosoni non interagenti, l'occupazione di Bose è la stessa , ma la densità degli stati usa al posto di e deve essere troncata per imporre un numero finito di modi.
La mossa chiave di Debye: approssimare i rami acustici come lineari fino a un taglio scelto in modo che il numero totale di modi sia per atomi
Definiamo la frequenza di Debye e la temperatura di Debye
Un unico «medio» rappresenta le tre polarizzazioni con buona accuratezza per la termodinamica del volume.
9.6.4 Modello di Debye
L'energia interna dei fononi, omettendo i contributi di punto zero, è
con densità degli stati di Debye
Cambiamo variabile per ottenere la capacità termica standard di Debye
Comportamenti asintotici:
- Basse
- Alte
recuperando Dulong–Petit.
9.6.5 Modello di Einstein: modi ottici e passaggio tra regimi
Einstein immaginò ogni atomo come un oscillatore indipendente con un'unica frequenza . Allora
Riproduce il limite ad alte e il congelamento esponenziale a basse , ma non la legge , perché mancano i modi acustici a bassa frequenza. I cristalli reali spesso interpolano: i modi ottici assomigliano a Einstein, quelli acustici a Debye.
9.6.6 Termodinamica del gas di fononi
Con e tre polarizzazioni, la densità di energia di un gas libero di fononi a basse rispecchia quella dei fotoni con e un fattore , perché tre rami acustici sostituiscono due polarizzazioni fotoniche
Derivando si ottiene come in Debye. In un solido, la «pressione» dei fononi modifica la risposta elastica anziché spingere su un volume come un gas, ma l'intuizione dello scaling è identica.
9.6.7 Corpi neri in natura: breve panoramica
- La radiazione cosmica di fondo a microonde è un corpo nero quasi perfetto a , un gas fossile di fotoni che riempie l'universo
- Le stelle approssimano corpi neri su parti del loro spettro; le deviazioni codificano atmosfere e righe
- Le cavità di laboratorio con piccole aperture imitano emettitori di corpo nero e definiscono standard radiometrici
9.6.8 Errori comuni
- Dimenticare per i fotoni. Qualsiasi tentativo di fissare il numero di fotoni all'equilibrio è non fisico, a meno di vincolare anche lo spettro tramite pompaggio
- Confondere i massimi in e . Il massimo di e quello di si trovano in punti diversi; il valore di Wien si riferisce al massimo in lunghezza d'onda
- Ignorare polarizzazioni o tagli. Debye richiede modi totali; perdere il fattore 3 o il taglio compromette
- Limite ad alte con unità quantistiche. Verificare sempre o prima di affermare un comportamento «classico»
9.6.9 Brevi esempi svolti
(a) Recuperare Stefan–Boltzmann.
Integrare usando dopo per ottenere e .
(b) Spostamento di Wien.
Massimizzare la densità spettrale in lunghezza d'onda per mostrare ed estrarre numericamente dall'equazione trascendente.
(c) Asintotica di Debye a basse .
Sviluppare l'integrale di Debye per per ricavare .
(d) Einstein e Debye a intermedia.
Tracciare rispetto a per entrambi i modelli e spiegare perché i dati reali di solito si collochino tra essi.
(e) Densità di entropia del gas di fotoni.
Usando e , ricavare .
9.6.10 Raccolta minima di problemi
- Partendo dal conteggio dei modi della cavità, ricavare e di Planck
- Dimostrare mediando il tensore degli sforzi di Maxwell per radiazione isotropa
- Mostrare che il numero di modi fononici con taglio di Debye è e ottenere
- Calcolare numericamente l'integrale della capacità termica di Debye per e confrontarlo con la previsione di Einstein alla stessa usando
- Ricavare lo scaling della densità di energia fononica a basse adattando il calcolo fotonico con
9.7 Condensazione di Bose–Einstein e gas di Fermi degenere
Portiamo il sistema a bassa temperatura e alta densità nello spazio delle fasi: la statistica quantistica comincia a prendere decisioni. I bosoni si accumulano nello stato fondamentale → condensazione di Bose–Einstein (BEC). I fermioni si dispongono in un mare di Fermi con pressione di Pauli. Costruiamo il riferimento del gas ideale per la BEC in tre dimensioni, aggiungiamo trappole e correzioni d'interazione, delineiamo la superfluidità tramite Bogoliubov e riepiloghiamo il gas di Fermi degenere con un paio di tappe sul perché sia importante.
9.7.1 BEC in un gas ideale uniforme di Bose (tre dimensioni)
Dal §9.5, per bosoni non interagenti
con e polilogaritmo. Poiché , gli stati eccitati possono contenere al massimo
A densità fissata , abbassare diminuisce e quindi la capacità massima degli stati eccitati. La temperatura alla quale tale capacità coincide con il numero totale di particelle è la temperatura critica
Sotto , il potenziale chimico si fissa a e la frazione condensata è
La termodinamica sotto deriva interamente dalle eccitazioni ( non contribuisce all'energia nel gas ideale):
Calore specifico per particella per
Sopra , risolve e si avvicina al valore classico ad alte . A , del gas ideale presenta una cuspide.
9.7.2 Nessuna BEC uniforme in una o due dimensioni a finita
Per un gas ideale omogeneo, in dimensioni. La serie diverge a per : in due dimensioni diverge e cresce logaritmicamente, mentre in una dimensione la divergenza è più forte. Quindi non si verifica una vera BEC uniforme in una o due dimensioni a finita nel limite termodinamico; le interazioni in due dimensioni possono comunque sostenere superfluidità tramite una transizione di Kosterlitz–Thouless, ma non si tratta di una popolazione macroscopica di un singolo modo .
9.7.3 Gas di Bose intrappolati: potenziale armonico
Gli esperimenti confinano gli atomi in trappole approssimativamente armoniche . La densità degli stati di singola particella diventa con media geometrica . La temperatura critica di un gas ideale intrappolato è
e, per ,
L'esponente più elevato riflette la diversa densità degli stati.
9.7.4 Fluttuazioni canoniche e gran canoniche: la «catastrofe»
Nell'ensemble gran canonico per una BEC ideale sotto , uno stato fondamentale occupato macroscopicamente ha ; questo risultato basato su un serbatoio è inadatto a una nube finita con numero di particelle fissato. L'ensemble canonico impone un totale fissato, ma lo scaling rimanente dipende dallo spettro. Nel consueto regime condensato, una trappola armonica tridimensionale dà , mentre un gas ideale uniforme tridimensionale a densità fissata ha . Scegliere sia l'ensemble sia il confinamento appropriati all'esperimento.
9.7.5 Interazioni e campo medio di Gross–Pitaevskii (GP)
A ultrafredda, domina la diffusione in onda , con ampiezza determinata dalla lunghezza di diffusione . L'accoppiamento efficace è
Per un condensato debolmente interagente con funzione d'onda macroscopica ,
È l'equazione di Gross–Pitaevskii. In materia uniforme di densità ,
dove è la velocità del suono e la lunghezza di guarigione, la scala su cui il parametro d'ordine recupera il proprio valore vicino a difetti o bordi.
9.7.6 Spettro di Bogoliubov e superfluidità (cenni)
Linearizzare le fluttuazioni attorno al condensato dà la dispersione di Bogoliubov
A basso è fononica, , e ad alto passa alla forma di particella libera . Il criterio di Landau fissa la velocità critica del flusso
per questo le BEC debolmente interagenti sono superfluidi, con flusso senza attrito sotto .
9.7.7 Riepilogo del gas di Fermi degenere: T=0 e piccole T
Dal §9.5, il gas di Fermi non interagente ha energia di Fermi
Le correzioni a finita derivano dallo sviluppo di Sommerfeld: , . La pressione a incorpora la pressione di Pauli, stabilizzando i sistemi contro il collasso e fissando le scale nei metalli e negli oggetti compatti.
Trappola armonica. Per fermioni in una trappola armonica tridimensionale con , l'energia di Fermi a è
e il raggio della nube deriva da un profilo di Thomas–Fermi.
9.7.8 Due applicazioni rapide
- Nane bianche (schema). Gli elettroni formano un gas fortemente degenere. Nel limite relativistico, anziché , il che conduce a una massa massima sostenibile (limite di Chandrasekhar). Qui il punto è qualitativo: la pressione di degenerazione è reale, quella termica è facoltativa.
- Laboratori di atomi freddi. Le risonanze di Feshbach regolano attraverso lo zero → BEC debolmente interagenti, gas di Fermi unitari fortemente interagenti e passaggio BEC–BCS. Il suono di Bogoliubov e i modi collettivi sono conferme esemplari della teoria precedente.
9.7.9 Errori comuni
- Dimenticare che sotto per il gas ideale di Bose. Non imporre un negativo una volta formato il condensato
- Usare fluttuazioni gran canoniche per una trappola a fissato. La varianza canonica è quella appropriata per le nubi di atomi freddi
- Affermare una BEC uniforme bidimensionale. Non a finita; cercare invece la superfluidità KT
- Trattare le interazioni come «piccole» senza verificare . GP/Bogoliubov a debole accoppiamento richiede
9.7.10 Brevi esempi svolti
(a) per una BEC tipica.
Prendere con , e densità . Inserire nella formula di e stimare la frazione condensata a .
(b) Nessuna BEC in due dimensioni.
Mostrare che diverge come per un gas uniforme bidimensionale trasformando la somma in un integrale e individuando il logaritmo.
(c) in trappola.
Dati atomi e , calcolare e la frazione condensata a .
(d) Lunghezza di guarigione.
Per e , stimare , e .
(e) Pendenza di Bogoliubov.
Verificare che a e trovare il valore di transizione al quale la dispersione si discosta, per esempio, del .
(f) Verifica numerica della pressione di Fermi.
Per elettroni con , calcolare e ; confrontare con la pressione atmosferica.
9.7.11 Raccolta minima di problemi
- Ricavare e la frazione condensata per un gas ideale uniforme di Bose, poi ripetere per una trappola armonica usando la densità degli stati appropriata
- Partendo da , calcolare sotto e mostrare la cuspide a
- Mostrare esplicitamente perché converga in tre dimensioni ma diverga in due, collegandolo all'assenza di BEC uniforme bidimensionale
- Linearizzare l'equazione GP attorno a una soluzione uniforme e ricavare la dispersione di Bogoliubov e la velocità critica di Landau
- Usare lo sviluppo di Sommerfeld per ottenere e di un gas di Fermi tridimensionale fino all'ordine ; ricavare per un confinamento armonico
9.8 Campo medio e teoria di Landau: parametri d'ordine, van der Waals, Curie–Weiss
Il campo medio è l'approssimazione del «lavoro di gruppo»: ogni grado di libertà sente la media di tutti gli altri. Spesso riproduce la forma dei diagrammi di fase e fornisce esponenti critici analitici. La teoria di Landau trasforma questa idea in uno sviluppo controllato nel parametro d'ordine e nelle simmetrie. Questa sezione costruisce il magnetismo di Curie–Weiss, il fluido di van der Waals con costruzione di Maxwell, le energie libere e gli esponenti di Landau, la lunghezza di correlazione da Landau–Ginzburg, il criterio di Ginzburg e i casi in cui compaiono transizioni del primo ordine e punti tricritici.
9.8.1 Che cosa assume il campo medio
Scegliamo un parametro d'ordine che cambi segno sotto la simmetria rotta:
- Ferromagnete: (densità di magnetizzazione), simmetria
- Liquido–gas: (scostamento della densità), nessuna simmetria di Ising, ma stessa matematica vicino a
Idea del campo medio: sostituire i vicini con la loro media. Si ignorano le fluttuazioni quando la coordinazione è elevata o l'interazione è a lungo raggio, condizioni sempre meglio soddisfatte a dimensione spaziale maggiore.
9.8.2 Ferromagnete di Curie–Weiss (tipo Ising, z vicini)
Partiamo da spin di Ising , accoppiamento , campo . Nel campo medio ogni spin sente un campo efficace con . La funzione di partizione del singolo sito è e dà l'equazione di autoconsistenza
A , sviluppiamo per piccoli per ottenere la temperatura critica di Curie–Weiss
Comportamento critico:
- piccolo : con
quindi
- a : compaiono soluzioni non nulle
quindi
- A , , quindi
Il calore specifico presenta un salto finito (nessuna divergenza):
9.8.3 Energia libera di Landau: la simmetria ne determina la forma
Scriviamo uno sviluppo analitico nel parametro d'ordine compatibile con le simmetrie. Per uno scalare di tipo Ising in un sistema uniforme
con scostamento della temperatura e per una transizione standard del secondo ordine. Vicino a questo punto critico ordinario, tronchiamo all'ordine quartico, trascurando il termine sestico nella minimizzazione seguente e nelle formule critiche dominanti:
Conseguenze a :
- Per : minimo a
- Per : minimi a
quindi
Suscettività sopra dalla risposta lineare:
quindi e
A con :
quindi
Salto del calore specifico. Inseriamo in :
Pertanto presenta un gradino finito a , cioè con una discontinuità.
9.8.4 Primo ordine e tricriticità
Se la fisica microscopica porta a , il termine destabilizza. Stabilizziamo con . Al variare di compaiono allora due minimi a prima di e il sistema compie un salto alla coesistenza , dove le buche hanno uguale profondità. Questo salto è una transizione del primo ordine con calore latente.
Il punto in cui cambia segno a è un punto tricritico. L'analisi di Landau con prevede esponenti diversi, per esempio .
9.8.5 Funzionale di Landau–Ginzburg e lunghezza di correlazione
Consentiamo variazioni spaziali lente del parametro d'ordine. Il funzionale di energia libera di Landau–Ginzburg è
con . Nel regime gaussiano ( piccolo, ), il correlatore a due punti nello spazio di Fourier ha la forma di Ornstein–Zernike
Definiamo la lunghezza di correlazione
dunque . In tre dimensioni, il correlatore nello spazio reale ha la forma ; questo prefattore esponenziale non è la formula per dimensione generica. Alla criticità, in dimensioni maggiori di due, il correlatore gaussiano ha una potenza inversa della distanza fissata dalla dimensione meno due, dando .
9.8.6 Criterio di Ginzburg: quando il campo medio fallisce
Il campo medio ignora le fluttuazioni del parametro d'ordine. Confrontiamo la loro entità in un volume di correlazione con . Approssimativamente,
Usare e dà un numero di Ginzburg tale che il campo medio sia valido soltanto per
In breve: per l'integrale delle fluttuazioni è benigno e il campo medio è asintoticamente esatto. Per , una finestra vicina a è dominata dalle fluttuazioni e richiede il gruppo di rinormalizzazione (§9.10).
9.8.7 Fluido di van der Waals: liquido–gas in campo medio
Scriviamo l'equazione di stato in termini della densità numerica :
con volume escluso e attrazione . Il punto critico soddisfa e dà
Nella forma molare si ottengono , , .
Definiamo le variabili ridotte , , per ottenere la legge degli stati corrispondenti
Sotto , ha forma a S. La regione di instabilità meccanica soddisfa ; le spinodali risolvono . La pressione di coesistenza a una data è fissata dalla regola delle aree uguali di Maxwell (poiché deve essere uguale nelle due fasi).
Vicino a , la differenza di densità obbedisce alla legge di campo medio
in accordo con .
9.8.8 Metastabilità, nucleazione e spinodali
La doppia buca di Landau per con un piccolo campo mostra due minimi di diversa profondità: quello più alto è metastabile. Il decadimento procede tramite nucleazione di gocce critiche, non descritta dal campo medio statico ma suggerita dalla barriera tra i minimi. Avvicinandosi a una spinodale, la barriera scompare; nel campo medio suscettività e lunghezza di correlazione divergono lungo quel limite.
9.8.9 Prontuario: esponenti di campo medio e relazioni di scaling
Esponenti di campo medio (tipo Ising):
| Esponente | Significato | Valore |
|---|---|---|
| con salto | ||
| a | ||
| a |
Relazioni di scaling (soddisfatte dal campo medio):
- Widom:
- Rushbrooke:
- Josephson (iperscaling):
- Con gli esponenti di campo medio vale a al livello delle leggi di potenza (possono comparire correzioni logaritmiche); fallisce per . Sotto , usare gli esponenti corretti dalle fluttuazioni.
9.8.10 Errori comuni
- Imporre sopra a . In Landau con , l'unico minimo per è
- Confondere coesistenza e spinodale. La costruzione di Maxwell determina la coesistenza; la spinodale è il limite di metastabilità in cui
- Ignorare la simmetria. Se la simmetria vieta termini dispari, non inserirli a mano. Se un campo la rompe, includere
- Dichiarare «esatto» il campo medio. È valido lontano da , ad alta o con interazioni a lungo raggio; vicino a in , vedere §9.10
9.8.11 Brevi esempi svolti
(a) di Curie–Weiss
Linearizzare per piccoli a per ricavare e individuare .
(b) di Landau e salto di
Minimizzare a per per ottenere . Inserire in e calcolare la discontinuità del calore specifico a .
(c) Ornstein–Zernike
Dal funzionale LG quadratico, ricavare e individuare .
(d) Punto critico di van der Waals
Usando , porre per trovare ; poi scrivere l'equazione di stato ridotta.
(e) Scaling tricritico
Porre , conservare , minimizzare . Mostrare ed estrarre .
9.8.12 Raccolta minima di problemi
- Ricavare gli esponenti di campo medio dal polinomio di Landau e verificare le relazioni di Widom e Rushbrooke
- Partendo dal funzionale LG, calcolare il correlatore nello spazio reale in dimensioni e confermare
- Applicare il criterio di Ginzburg per stimare la larghezza della regione critica oltre il campo medio per un magnete tridimensionale di tipo Ising con e dati
- Per van der Waals, implementare analiticamente la costruzione delle aree uguali di Maxwell vicino a e mostrare
- Esplorare il caso del primo ordine con : trovare la coesistenza uguagliando le profondità delle buche e individuare le spinodali dove la derivata seconda in un minimo si annulla
9.9 Il modello di Ising: matrici di trasferimento, dualità e criticità esatta bidimensionale
Se la fisica statistica avesse una mascotte, sarebbe il modello di Ising: spin che comunicano soltanto con i vicini, ma ricreano tutta la complessità delle transizioni di fase. In una dimensione è tranquillo (nessuna transizione a finita). In due è iconico: un punto critico esatto con esponenti diversi dal campo medio e divergenza logaritmica del calore specifico. Questa sezione tratta la soluzione esatta unidimensionale, l'intuizione delle pareti di dominio, la dualità di Kramers–Wannier, i risultati principali di Onsager e i dati di scaling di uso concreto.
9.9.1 Definizione e notazione
Su un reticolo con primi vicini e campo esterno ,
Useremo anche gli accoppiamenti adimensionali
Un positivo favorisce l'allineamento (ferromagnete). Funzione di partizione .
9.9.2 Catena unidimensionale: soluzione esatta con matrice di trasferimento
Per un anello di spin (condizioni al contorno periodiche), costruiamo la matrice di trasferimento
I suoi autovalori sono
La termodinamica nel limite è governata da :
In campo nullo ,
Non esiste magnetizzazione spontanea per alcun , cioè . La funzione a due punti connessa decade esponenzialmente,
quindi la lunghezza di correlazione è
Finita per tutti gli , diverge soltanto a . Verdetto: Ising unidimensionale non ha transizioni di fase a finita.
9.9.3 Intuizione delle pareti di dominio (kink): perché una dimensione resta disordinata
Invertendo un blocco contiguo si creano due pareti di dominio, ciascuna di costo energetico . Ma la loro entropia cresce come (molti posti in cui collocarle). L'energia libera di una coppia di pareti è , quindi per qualsiasi e grande vince il termine entropico → le pareti di dominio proliferano → l'ordine a lungo raggio scompare. In due dimensioni l'energia cresce con il perimetro e l'entropia compete diversamente, consentendo un finito.
9.9.4 Reticolo quadrato bidimensionale
La dualità di Kramers–Wannier collega la funzione di partizione all'accoppiamento a quella a un accoppiamento duale tramite
Il punto critico si trova all'autodualità, , dando
Equivalentemente,
Per accoppiamenti anisotropi , la linea critica è .
9.9.5 Soluzione di Onsager: comportamento critico esatto (a H=0)
L'energia libera completa a è nota esattamente (non riscriveremo qui l'integrale), ma i risultati fondamentali sono:
- Il calore specifico diverge logaritmicamente
quindi con un logaritmo
- Magnetizzazione spontanea per (Yang)
- Esponenti critici (universalità di Ising bidimensionale)
- La lunghezza di correlazione diverge come con ; il correlatore critico decade come in due dimensioni
Il punto critico di Ising bidimensionale è anche una teoria conforme dei campi con carica centrale (utile in seguito per lo scaling a taglia finita e i rapporti esatti delle ampiezze).
9.9.6 Matrici di trasferimento, scaling e tecniche a taglia finita
- Corrispondenza matrice di trasferimento ↔ quantistica. Il modello di Ising classico bidimensionale si collega alla catena di Ising quantistica unidimensionale in campo trasverso tramite decomposizione di Trotter. classica punto critico quantistico a temperatura zero. Molte formule a taglia finita si trasferiscono direttamente.
- Scaling a taglia finita. In una scatola di dimensione lineare , suscettività e momenti del parametro d'ordine scalano a come
I cumulanti di Binder e i metodi degli incroci sono strumenti pratici per individuare nelle simulazioni.
9.9.7 Che cosa offre l'universalità
Non serve più rifare la matematica a livello reticolare. Qualsiasi sistema bidimensionale a corto raggio con rottura della simmetria (liquido–gas lungo l'isoterma critica, magneti uniassiali, leghe binarie) condivide gli stessi esponenti e funzioni di scaling vicino alla criticità. Il campo medio di Landau (§9.8) è qualitativamente corretto, ma i suoi esponenti differiscono; la rinormalizzazione (§9.10) spiega perché.
9.9.8 Errori comuni
- Dimenticare che una dimensione non ha ordine a finita. Se il codice trova in una dimensione a con , la taglia finita inganna oppure l'algoritmo rompe la simmetria
- Confondere i campi. L'espressione chiusa di precedente vale soltanto per ; attivare elimina le singolarità critiche proprio in quella forma esatta
- errato. È , non o ; equivalentemente
- Esponenti di campo medio in due dimensioni. Il campo medio dà , ecc.: non sono corretti per Ising bidimensionale; usare l'insieme esatto precedente
- Errori di segno nella lunghezza di correlazione. In una dimensione, ; notare il segno meno e che per
9.9.9 Brevi esempi svolti
(a) Matrice di trasferimento unidimensionale a .
Ricavare , ottenere e mostrare .
(b) Dualità di Kramers–Wannier.
Partendo dalle serie ad alta e bassa temperatura per , mostrare che, a meno di un prefattore, coincidono sotto , poi dedurre dall'autodualità.
(c) Verifica della magnetizzazione.
Verificare da e che .
(d) Scaling a taglia finita di .
Assumendo , mostrare che il valore del picco scala come in due dimensioni e spiegare come estrarre dal collasso dei dati.
(e) Gas di pareti di dominio unidimensionale.
Trattare i kink come non interagenti con fugacità . Mostrare la funzione a due punti all'ordine dominante, riproducendo per .
9.9.10 Raccolta minima di problemi
- Costruire la matrice di trasferimento unidimensionale con campo e ricavare e ; calcolare e verificare per
- Usare la dualità per ottenere la linea critica anisotropa bidimensionale ; ridurla al valore isotropo
- Dall'espressione esatta , estrarre e confermare la relazione di Widom con e
- Mostrare che il calore specifico bidimensionale si comporta come sviluppando l'integrale dell'energia libera di Onsager vicino a
- Collegare il modello classico bidimensionale alla catena di Ising quantistica unidimensionale in campo trasverso e individuare il punto critico quantistico in termini di campo trasverso e scambio
9.10 Fenomeni critici e fondamenti del gruppo di rinormalizzazione
Vicino a una transizione di fase continua, il sistema dimentica i dettagli microscopici e diventa invariante di scala. La lunghezza di correlazione diverge, le fluttuazioni coinvolgono tutte le dimensioni e la termodinamica sviluppa leggi di potenza con esponenti universali. Il gruppo di rinormalizzazione (RG) lo traduce in matematica: mediare su scale più grandi, riscalare, seguire il flusso degli accoppiamenti. I punti fissi governano il comportamento circostante e i loro autovalori fissano gli esponenti.
9.10.1 Perché il campo medio fallisce
Il campo medio finge che le fluttuazioni siano piccole. Ma in un punto critico la lunghezza di correlazione
diverge, il correlatore a diventa una legge di potenza
e la parte singolare della densità di energia libera scala come . Non si può sviluppare attorno a un'unica scala di lunghezza quando non ne esiste una.
9.10.2 Ipotesi di scaling e leggi di omogeneità
Assumiamo che la densità di energia libera singolare soddisfi una relazione di omogeneità sotto un riscalamento di fattore
Qui è il campo coniugato al parametro d'ordine. Scegliamo e identifichiamo gli esponenti:
- Calore specifico con
- Parametro d'ordine con
- Suscettività con
A , scegliamo per ottenere con
La relazione di Fisher collega a tramite il correlatore critico:
Raccogliamo le classiche relazioni di scaling
- Widom:
- Rushbrooke:
- Josephson (iperscaling):
- Fisher:
L'iperscaling vale tipicamente al di sotto della dimensione critica superiore .
9.10.3 Spin a blocchi di Kadanoff: lo schema che funziona
Raggruppiamo gli spin in blocchi di dimensione , mediamo per ottenere un nuovo campo e riscaliamo le lunghezze al reticolo originale. Gli accoppiamenti fluiscono verso nuovi accoppiamenti . Iteriamo:
- Le direzioni rilevanti crescono sotto RG ( con )
- Le direzioni irrilevanti diminuiscono ()
- Le direzioni marginali richiedono un'analisi a ordini superiori
La criticità è un flusso verso un punto fisso non banale con almeno una direzione rilevante (temperatura). L'esponente della lunghezza di correlazione è l'inverso dell'autovalore termico:
e l'autovalore del campo determina e quindi tramite il §9.10.2.
9.10.4 RG di Wilson a gusci di quantità di moto e funzioni beta
Per un parametro d'ordine scalare, il funzionale di Landau–Ginzburg–Wilson (LGW)
Mediando sulle scale brevi si integrano ed eliminano i modi in un guscio di quantità di moto , poi si riscalano e . Gli accoppiamenti fluiscono con il «tempo RG» come mostrato schematicamente sotto; i puntini includono termini di loop dipendenti dalla massa necessari per determinare l'autovalore termico:
con . Le costanti dipendono dalle convenzioni; ciò che conta:
- Per () esiste un punto fisso di Wilson–Fisher che dà esponenti diversi dal campo medio
- Per () il punto fisso gaussiano è stabile e valgono gli esponenti di campo medio (con possibili logaritmi a )
Per il modello , lo sviluppo in dà il seguente esponente della lunghezza di correlazione a un loop e la dimensione anomala dominante a due loop:
Per l'universalità Ising ():
Inserire dà stime approssimate tridimensionali; loop superiori e risommazione le affinano.
9.10.5 Dimensione critica superiore e variabili pericolosamente irrilevanti
L'accoppiamento , , è marginale a e irrilevante per . Tuttavia per può essere pericolosamente irrilevante: si annulla sotto RG, ma determina ancora l'ampiezza di sotto , modificando l'iperscaling ingenuo. Conseguenze:
- Gli esponenti di campo medio valgono per
- L'iperscaling fallisce per (la densità di energia libera non scala come senza un riscalamento dipendente da )
Compaiono logaritmi a , per esempio .
9.10.6 Scaling a taglia finita e collasso dei dati
Con una scatola periodica di dimensione , RG e omogeneità implicano l'ansatz di scaling a taglia finita (FSS) per la parte singolare dell'energia libera
Forme per le osservabili:
- Parametro d'ordine:
- Suscettività:
- Calore specifico: a meno di un fondo analitico additivo
Vantaggi pratici: le curve per diversi collassano quando vengono tracciate rispetto a , moltiplicando verticalmente per per il parametro d'ordine o per per la suscettività, e le temperature pseudocritiche si spostano come
9.10.7 Classi di universalità (mappa rapida)
- Ising (, simmetria ): magneti uniassiali, liquido–gas lungo l'isoterma critica, leghe binarie
- XY (): elio superfluido, spin planari, superconduttori a film sottile; in due dimensioni presenta una transizione di Kosterlitz–Thouless (essenziale, non a legge di potenza)
- Heisenberg (): magneti isotropi
- Percolazione: transizione di connettività geometrica con propri esponenti
- Percolazione diretta: transizioni di fase verso stati assorbenti (fuori equilibrio)
Stessa dimensione + stesse simmetrie + regole di conservazione simili → stessi esponenti.
9.10.8 Interludio KT (XY bidimensionale)
In due dimensioni, le coppie di vortici si dissociano a con lunghezza di correlazione
Nessun esponente standard a legge di potenza; c'è invece un salto universale della rigidità superfluida. È ancora RG, soltanto su un diverso diagramma di flusso, con fugacità dei vortici e rigidità come accoppiamenti.
9.10.9 Brevi esempi svolti
(a) Relazioni di scaling in due righe
Partire da . Ricavare e verificare Widom e Rushbrooke.
(b) RG a gusci a un loop per
Integrare i modi in per LGW, riscalare e mostrare schematicamente e . Individuare . Per estrarre all'ordine , conservare i termini a un loop dipendenti dalla massa omessi da questo flusso schematico, spostarsi sulla superficie critica e linearizzare lì.
(c) Spostamento a taglia finita
Assumendo , mostrare la posizione del picco della suscettività .
(d) Procedura per il collasso dei dati
Dati risultati Monte Carlo per in Ising bidimensionale a , riscalare e con , . Spiegare i parametri regolabili e i controlli di qualità.
(e) pericolosamente irrilevante sopra
In , mostrare che a livello di campo medio, illustrando come un accoppiamento «irrilevante» determini le ampiezze e rompa l'iperscaling ingenuo.
9.10.10 Errori comuni
- Usare l'iperscaling dove fallisce. Sopra per sistemi di tipo Ising, non vale senza precisazioni
- Confondere passaggio tra regimi e criticità. Un flusso vicino a un punto fisso, ma non su di esso, mostra esponenti efficaci che cambiano con la scala
- Ignorare i fondi analitici. Il calore specifico ha spesso una parte non singolare che può mascherare piccoli
- Dimenticare le condizioni al contorno nello FSS. Gli esponenti sono universali; le funzioni di scaling e le correzioni subdominanti non lo sono
- Confondere KT e scaling a legge di potenza. In XY bidimensionale, aspettarsi singolarità essenziali e un salto della rigidità, non ecc.
9.10.11 Raccolta minima di problemi
- Dall'ipotesi di omogeneità, ricavare le quattro relazioni di scaling standard e individuare l'insieme di esponenti indipendenti
- Calcolare e all'ordine per il modello e specializzare a
- Mostrare che a il punto fisso gaussiano è marginale e ricavare una correzione logaritmica a nella teoria
- Usare lo FSS per stimare da picchi della suscettività di Ising sintetici o simulati a taglie
- Per il flusso RG di KT, scrivere le equazioni all'ordine più basso per la rigidità e la fugacità dei vortici e mostrare la separatrice corrispondente a
9.11 Risposta lineare e fluttuazione–dissipazione
Diamo un piccolo impulso a un sistema e osserviamo come oscilla. La teoria della risposta lineare trasforma piccole perturbazioni in formule universali che collegano dissipazione e fluttuazioni di equilibrio. Il correlatore ritardato determina la risposta, la causalità dà Kramers–Kronig e il teorema di fluttuazione–dissipazione (FDT) collega gli spettri di rumore alla parte immaginaria delle suscettività. I coefficienti di trasporto emergono poi dagli integrali temporali delle autocorrelazioni di corrente (Green–Kubo).
9.11.1 Impostazione: sorgente, osservabile e nucleo di risposta
Perturbiamo un'hamiltoniana di equilibrio con un debole campo dipendente dal tempo accoppiato a un operatore :
Misuriamo un'altra osservabile . All'ordine lineare,
con suscettività causale . Nello spazio delle frequenze,
La potenza assorbita da una sollecitazione sinusoidale è determinata dalla parte dissipativa .
9.11.2 Formula di Kubo: limiti quantistico e classico
Nella rappresentazione di Heisenberg, con media di equilibrio , la suscettività ritardata è
Equivalentemente,
Limite classico. Sostituire i commutatori con volte le parentesi di Poisson e ottenere
È la forma del FDT nel dominio temporale per variabili coniugate.
9.11.3 Causalità ⇒ Kramers–Kronig
La causalità rende analitica nel semipiano superiore. Parti reale e immaginaria sono trasformate di Hilbert:
Dissipazione dispersione: non si può avere l'una senza l'altra.
9.11.4 Teorema di fluttuazione–dissipazione nello spazio delle frequenze
Definiamo la densità spettrale di equilibrio simmetrizzata di ,
Allora il FDT quantistico afferma
Il limite classico dà
Interpretazione: gli stessi modi che dissipano energia sotto sollecitazione fluttuano anche all'equilibrio, e il rapporto è fissato da (o da ad alta frequenza).
9.11.5 Relazioni di Green–Kubo: trasporto dalle autocorrelazioni
I coefficienti di trasporto sono integrali temporali delle autocorrelazioni di corrente.
- Autodiffusione in dimensioni con velocità :
- Conducibilità elettrica per corrente totale nel volume :
- Viscosità di taglio dalla componente microscopica dello sforzo integrata sul volume :
- Conducibilità termica in un sistema isotropo a dimensioni, con corrente termica totale (integrale sul volume della densità di flusso termico):
Sono tutte medie di equilibrio con la dinamica imperturbata.
9.11.6 Langevin, Fokker–Planck e relazione di Einstein
Per una particella browniana di posizione in un fluido viscoso,
con rumore bianco gaussiano . Risolvendo si ottiene la relazione di Einstein
e l'autocorrelazione della velocità con . L'equazione di Fokker–Planck associata fa evolvere la densità di probabilità e rilassa allo stato stazionario di Maxwell–Boltzmann.
9.11.7 Esempi di rumore: Johnson–Nyquist e altri
Per un resistore nel regime classico , la densità spettrale unilaterale (a frequenze positive) del rumore di tensione è il doppio della densità bilaterale definita in 9.11.4:
La correzione quantistica moltiplica per . Il rumore di corrente segue come per un resistore isolato. La stessa logica è alla base del rumore magnetico nella NMR, del rumore di forza nella AFM e dei limiti di rumore granulare nei conduttori mesoscopici.
9.11.8 Reciprocità di Onsager e reversibilità microscopica
Quando flussi generalizzati rispondono linearmente a forze termodinamiche ,
la simmetria per inversione temporale implica le relazioni di Onsager–Casimir
dove è la parità sotto inversione temporale di . A campo magnetico nullo e per forze e flussi con la stessa parità, . La reciprocità è un'eco macroscopica della simmetria delle correlazioni di equilibrio.
9.11.9 Causalità, passività e regole di somma
- Passività: per nei sistemi stabili e passivi; codifica la dissipazione positiva.
- Regole di somma: i momenti di si collegano ai commutatori a tempi uguali o alle suscettività statiche, per esempio una regola di somma per la risposta di carica.
- Code ad alta frequenza: spesso fissate dall'algebra degli operatori a tempi brevi; utili per verificare calcoli numerici o modelli troncati.
9.11.10 Errori comuni
- Usare correlatori simmetrici anziché ritardati in . La di Kubo richiede il commutatore e .
- Dimenticare la scelta dell'ensemble. Le medie di Green–Kubo si eseguono nell'ensemble di equilibrio corrispondente alle quantità conservate.
- Abusare del FDT classico ad alta frequenza. Usare il fattore quantistico quando .
- Confondere i canali di risposta. L'accoppiamento significa che il FDT corretto collega a , non a un altro operatore.
- Ignorare le leggi di conservazione. Le correnti legate a densità conservate hanno code idrodinamiche a tempi lunghi che possono alterare la convergenza ingenua degli integrali.
9.11.11 Brevi esempi svolti
(a) Kramers–Kronig dalla causalità
Assumere per , trasformare in Fourier e mostrare le relazioni di trasformata di Hilbert per e .
(b) FDT classico nel dominio temporale
Con e , dimostrare e recuperare .
(c) Rumore di Johnson
Prendere un circuito con il solo resistore. Usando e il FDT, ricavare nella banda classica.
(d) Diffusione dalle correlazioni di velocità
Per una singola componente cartesiana della velocità con correlatore esponenziale , integrare per ottenere e confrontare con con e .
(e) Green–Kubo per la conducibilità
Mostrare che un campo elettrico uniforme si accoppia come nel gauge temporale, con potenziale vettore uguale all'opposto del campo elettrico moltiplicato per il tempo, e ricavare .
(f) Verifica della reciprocità di Onsager
Per il trasporto termoelettrico con correnti elettrica e termica, scrivere la matrice e argomentare .
9.11.12 Raccolta minima di problemi
- Partendo dalla formula di Kubo, dimostrare il FDT quantistico
- Ricavare la relazione di Einstein collegando la mobilità al limite a bassa frequenza della risposta della velocità
- Mostrare che per un sistema passivo calcolando la potenza media assorbita da una sollecitazione sinusoidale
- Dall'equazione di continuità, collegare le code a tempi lunghi delle correlazioni di corrente alla diffusione idrodinamica e discutere la convergenza degli integrali di Green–Kubo
- Calcolare da un modello microscopico di sfere rigide tramite l'autocorrelazione dello sforzo e confrontare con lo scaling della teoria cinetica
9.12 Teoria cinetica ed equazione di Boltzmann
La meccanica statistica ci ha insegnato che aspetto ha l'equilibrio. La teoria cinetica spiega come i sistemi vi si avvicinino e che cosa accada mentre non vi si trovano. La protagonista è l'equazione di Boltzmann, una legge di evoluzione mesoscopica per la distribuzione a una particella . Da essa ricaveremo coefficienti di trasporto, ci collegheremo all'idrodinamica e vedremo dove e perché la teoria fallisce.
9.12.1 Dal microscopico al mesoscopico: la funzione di distribuzione
Definiamo in modo che sia il numero atteso di particelle nella cella dello spazio delle fasi. Normalizziamo a . Le densità conservate sono momenti di :
Il tensore della pressione e il flusso di calore sono momenti superiori della velocità peculiare .
9.12.2 Equazione di Boltzmann e caos molecolare
In presenza di una forza esterna ,
L'integrale di collisione codifica gli urti binari. Per interazioni a corto raggio e caos molecolare (Stosszahlansatz: velocità prima dell'urto incorrelate),
con , sezione d'urto differenziale e valori dopo l'urto determinati dalla conservazione di energia e quantità di moto.
Invarianti di collisione. Per qualsiasi uguale a , o ,
conducendo alla conservazione locale di massa, quantità di moto ed energia.
9.12.3 Equilibrio locale = Maxwell–Boltzmann
(per tutte le sezioni d'urto) se e soltanto se è una maxwelliana locale,
Questa massimizza la densità di entropia locale dati ed è il punto fisso delle collisioni.
9.12.4 Teorema H: l'entropia cresce
Definiamo la di Boltzmann. Usando l'integrale di collisione,
con uguaglianza soltanto per . Identificare dà un aumento monotono dell'entropia verso l'equilibrio locale. Precisazioni: si basa sul caos molecolare e su urti binari in regime diluito; forze a lungo raggio e correlazioni prima degli urti possono invalidare la dimostrazione.
9.12.5 Idrodinamica come equazioni dei momenti
Prendiamo i momenti dell'equazione di Boltzmann e usiamo gli invarianti di collisione per ottenere le equazioni di Eulero (ideali) o di Navier–Stokes–Fourier (dissipative). Poniamo , .
- Continuità
- Quantità di moto
- Energia
è lo sforzo viscoso, il flusso di calore. Per chiudere queste equazioni, sviluppiamo attorno a .
9.12.6 Chapman–Enskog e coefficienti di trasporto
Assumiamo gradienti deboli (piccolo numero di Knudsen ) e scriviamo , dove è lineare nei gradienti. Risolvere Boltzmann al primo ordine dà la viscosità newtoniana e la legge del calore di Fourier:
Per sfere rigide (massa , diametro ) a densità numerica e temperatura ,
a meno di modesti fattori correttivi dei polinomi di Sonine; la viscosità di volume si annulla per gas ideali monoatomici.
9.12.7 Modelli a tempo di rilassamento e BGK
Gli integrali di collisione esatti sono laboriosi. Il modello di Bhatnagar–Gross–Krook (BGK) sostituisce con un unico tasso di rilassamento verso l'equilibrio locale:
Scegliere per riprodurre riproduce l'idrodinamica al primo ordine e fissa come previsione. Per un gas monoatomico, il modello BGK a un solo tempo di rilassamento ha , quindi non può adattare indipendentemente entrambi i coefficienti. Questi modelli di rilassamento sono ampiamente usati nel metodo di Boltzmann su reticolo e nel trasporto nei semiconduttori. La più semplice approssimazione del tempo di rilassamento nei solidi fa lo stesso per la diffusione elettronica.
9.12.8 Numero di Knudsen, strati limite e cedimenti della teoria
- Regime idrodinamico : Navier–Stokes–Fourier è valido.
- Transizione : flussi con scorrimento, strati di Knudsen vicino alle pareti; servono condizioni al contorno cinetiche.
- Balistico : flusso molecolare libero; Boltzmann senza sviluppi in gradienti o persino dinamica di Vlasov senza collisioni (per forze a lungo raggio).
- Gas densi: le correzioni di Enskog modificano e il trasporto.
- Coulomb a lungo raggio: molte deflessioni a piccolo angolo → operatore di collisione di Landau (Fokker–Planck).
9.12.9 Boltzmann quantistico e fattori di Pauli/Bose
Per gas quantistici diluiti a abbastanza alta da avere lunghezze di coerenza corte, il termine di collisione acquista stati finali stimolati o bloccati:
segno superiore per i bosoni, inferiore per i fermioni. È la modifica di Uehling–Uhlenbeck. A bassissima nei superfluidi, la teoria cinetica deve includere modi collettivi (fononi, quasiparticelle di Bogoliubov).
9.12.10 Trasporto di Boltzmann nei solidi (elettroni e fononi)
Nei cristalli, evolve nello spazio con velocità di banda e forze da campi elettrici e curvatura di Berry (argomento avanzato). Con un tempo di rilassamento ,
riproduce Drude nelle bande di elettroni liberi, mentre Boltzmann per i fononi spiega la conducibilità termica reticolare tramite diffusione a tre fononi e limiti imposti dai bordi.
9.12.11 Risposta lineare e teoria cinetica: stesso gioco, schermate diverse
Green–Kubo (9.11) afferma che trasporto = integrali temporali di autocorrelatori. Chapman–Enskog afferma che trasporto = soluzioni di Boltzmann al primo ordine nei gradienti. Concordano quando entrambi si applicano. La teoria cinetica prevale quando cammini liberi medi e sezioni d'urto sono espliciti; Green–Kubo prevale per liquidi interagenti in cui le quasiparticelle sono poco definite, ma le simulazioni possono misurare correlazioni.
9.12.12 Brevi esempi svolti
(a) Cammino libero medio e viscosità
Per sfere rigide a densità numerica con sezione d'urto , mostrare e stimare ; confrontare con il valore di Chapman–Enskog.
(b) Da BGK a Navier–Stokes
Inserire in Boltzmann, risolvere per e ricavare e per un gas monoatomico.
(c) Attenuazione del suono
Linearizzare Boltzmann attorno a per un'onda piana e calcolare il coefficiente di attenuazione in termini di e .
(d) Gas di Lorentz
Per particelle leggere diffuse elasticamente da centri rigidi fissi di densità , calcolare e mostrare come sezioni d'urto anisotrope modifichino il trasporto.
(e) Modifica quantistica
Ricavare il bilancio dettagliato con blocco di Pauli per una collisione fermionica a due stati e mostrare come riduca lo spazio delle fasi disponibile per la diffusione con sezione d'urto a basse . Spiegare perché l'effetto sulla conducibilità dipenda dal fatto che tali collisioni rilassino o meno la quantità di moto.
9.12.13 Errori comuni
- Dimenticare i vincoli di conservazione in . Qualsiasi operatore di collisione modellistico deve conservare massa, quantità di moto ed energia (BGK lo fa per costruzione se riproduce i momenti locali).
- Usare Navier–Stokes a grandi . Aspettarsi scorrimento, strati di Knudsen o comportamento balistico; passare alla teoria cinetica.
- Assumere in generale. Vale soltanto per gas ideali monoatomici; i modi interni generano viscosità di volume.
- Ignorare le condizioni al contorno. La riflessione speculare rispetto a quella diffusa alle pareti cambia di un fattore di ordine uno il trasporto vicino alle pareti.
- Trattare Coulomb come sfere rigide. Il predominio a molti corpi di piccoli angoli richiede Landau/Fokker–Planck, non Boltzmann con rari urti intensi.
9.12.14 Raccolta minima di problemi
- Partendo dall'equazione di Boltzmann, ricavare le equazioni di continuità, quantità di moto ed energia e individuare e
- Eseguire il primo passo dello sviluppo in polinomi di Sonine per sfere rigide per calcolare all'ordine dominante e confrontare con la stima euristica
- Implementare BGK e mostrare ; adattare a una viscosità misurata per prevedere conducibilità termica e numero di Prandtl
- Per un gas elettronico diluito con diffusione elastica da impurità, calcolare nell'approssimazione del tempo di rilassamento e discutere qualitativamente la regola di Matthiessen
- Ricavare il termine di collisione di Uehling–Uhlenbeck per particelle indistinguibili e mostrare come si riduca a Boltzmann classico quando
In sintesi: l'equazione di Boltzmann è il ponte dagli urti microscopici ai flussi macroscopici. Con caos molecolare e diffusione a corto raggio, conduce a una maxwelliana locale, i cui gradienti lenti generano l'idrodinamica con calcolabili dalle sezioni d'urto. Se il cammino libero medio diventa troppo grande, la densità troppo alta o le interazioni troppo estese, l'equazione cambia aspetto, ma sopravvive l'idea centrale: la dinamica delle distribuzioni, non soltanto delle particelle, governa la fisica fuori equilibrio