Teoria delle stringhe

1. Dai punti alle stringhe

La relatività generale descrive la gravità mediante una metrica dinamica dello spaziotempo; la teoria quantistica dei campi descrive campi fluttuanti e particelle. Quantizzare piccole fluttuazioni della metrica funziona come teoria efficace a bassa energia, ma ordini perturbativi superiori richiedono sempre più controtermini con derivate superiori. La non rinormalizzabilità non invalida ogni previsione a bassa energia: limita l’estrapolazione a distanze arbitrariamente brevi. La teoria delle stringhe cerca una descrizione microscopica più completa.

L’oggetto perturbativo di base è una stringa unidimensionale, la cui storia spazza un foglio di universo bidimensionale. Una particella puntiforme traccia una linea di universo. Eccitazioni quantistiche diverse possiedono masse e spin diversi; uno spettro appropriato di stringhe chiuse contiene uno stato senza massa di spin 2 con interazioni gravitazionali. Ciò motiva la teoria, ma non dimostra che la natura l’abbia scelta.

Il foglio rappresenta la storia della stringa, non due dimensioni aggiuntive dello spaziotempo.

Usiamo $\hslash =c=1$, lunghezza di stringa ${\ell }_s=\sqrt{{\alpha }^{\prime }}$ e tensione $T=1/(2\pi {\alpha }^{\prime })$. La tensione è energia per lunghezza, quindi ${\alpha }^{\prime }$ ha dimensione di lunghezza al quadrato. L’accoppiamento adimensionale $g_s$ controlla separazione, unione ed espansione nelle topologie del foglio, non la tensione. Una stringa fondamentale non è un filo elastico fatto di atomi. Le lezioni di Tong sviluppano questi punti. 1

2. Dinamica classica delle stringhe

Azione di Nambu–Goto

Nello spaziotempo piatto con segnatura $(-,+,\dots ,+)$, $X^{\mu }(\tau ,\sigma )$ specifica la posizione. La metrica indotta ${\gamma }_{ab}$ misura le distanze sul foglio:

$${\gamma }_{ab}={\partial }_a{X}^{\mu }{\partial }_b{X}^{\nu }{\eta }_{\mu \nu },S_{\mathrm{NG}}=-T\int d^2\sigma \sqrt{-\det {\gamma }_{ab}}.$$

Il determinante converte una regione di coordinate in area fisica; il segno riflette una superficie di tipo tempo. L’azione stazionaria dà un analogo relativistico di una superficie minima, senza minimizzare la lunghezza spaziale istantanea della stringa.

Azione di Polyakov

Una metrica ausiliaria $h_{ab}$ rende l’azione quadratica nelle derivate. Variando questa metrica indipendente si ottiene il vincolo sul tensore energia-impulso del foglio:

$$S_{\mathrm{P}}=-\frac{T}{2}\int d^2\sigma \sqrt{-h}{h}^{ab}{\partial }_a{X}^{\mu }{\partial }_b{X}_{\mu },T_{ab}={\gamma }_{ab}-\frac{1}{2}{h}_{ab}{h}^{cd}{\gamma }_{cd}=0.$$

Per una superficie non degenere, $h_{ab}$ risulta proporzionale a ${\gamma }_{ab}$; sostituendo si recupera Nambu–Goto. Il fattore resta libero: nella trasformazione locale di Weyl $h_{ab}\mapsto e^{2\omega }{h}_{ab}$, elemento di area e metrica inversa si compensano in due dimensioni. Riparametrizzazioni e simmetria di Weyl eliminano descrizioni ridondanti. È un’equivalenza classica; misura quantistica e anomalie richiedono ulteriori verifiche. 2

3. Quantizzazione ed espansione in modi

Scegliamo localmente il gauge conforme $h_{ab}={\eta }_{ab}$, mantenendo i vincoli. In uno spaziotempo bersaglio piatto,

$$({\partial }_{\tau }^2-{\partial }_{\sigma }^2)X^{\mu }=0.$$

È un’equazione d’onda sul foglio, non l’affermazione che lo spaziotempo abbia due dimensioni. I moduli globali del foglio richiedono un trattamento separato.

Profili schematici di modi, non fotografie di una stringa quantistica.

Espansione in modi (stringa chiusa)

Per una coordinata non compatta adottiamo $0\le \sigma <2\pi$ e condizioni periodiche:

$$X^{\mu }=x^{\mu }+{\alpha }^{\prime }{p}^{\mu }\tau +i\sqrt{\frac{{\alpha }^{\prime }}{2}}\sum _{n\ne 0}\frac{1}{n}\left({\alpha }_n^{\mu }{e}^{-in(\tau -\sigma )}+{\tilde{\alpha }}_n^{\mu }{e}^{-in(\tau +\sigma )}\right).$$

I primi termini descrivono il centro di massa; le due famiglie di oscillatori viaggiano in direzioni opposte. La periodicità impone $n$ intero. Una convenzione di periodo $\pi$ sposta fattori due tra modo zero ed esponenti senza cambiare la fisica. Le coordinate compatte ammettono anche avvolgimenti.

Vincoli di Virasoro

Le componenti di Fourier di $T_{ab}=0$ soddisfano classicamente $L_n={\tilde{L}}_n=0$. L’algebra quantistica acquista un termine centrale. Nella quantizzazione covariante bosonica gli stati fisici soddisfano

$$L_n|\psi ⟩=0(n>0),(L_0-a)|\psi ⟩=0.$$

e le corrispondenti condizioni nel settore con tilde. Non si possono annullare tutti i generatori quantistici come operatori. Le anomalie conformi di materia e fantasmi del fissaggio di gauge devono cancellarsi: $D-26=0$ nella stringa bosonica piatta, $D=10$ nella superstringa critica usuale. Gli sfondi curvi richiedono inoltre funzioni beta del foglio nulle. La simmetria classica di Weyl non basta a garantire una teoria conforme quantistica coerente. 3 4

4. Spettro di massa

Per una stringa bosonica chiusa non compattificata, le due condizioni di modo zero danno

$$L_0=\frac{{\alpha }^{\prime }{p}^2}{4}+N,{\tilde{L}}_0=\frac{{\alpha }^{\prime }{p}^2}{4}+\tilde{N},p^2=-M^2,$$ $$N=\tilde{N},M^2=\frac{2}{{\alpha }^{\prime }}(N+\tilde{N}-2a),a=1.$$

$N$ misura energia di eccitazione: il modo $n$ ha peso $n$, non conta semplicemente le stringhe. Per $(N,\tilde{N})=(0,0)$, $M^2=-4/{\alpha }^{\prime }$ segnala instabilità del vuoto bosonico; un tachione non è un messaggero superluminale utilizzabile. Il livello $(1,1)$ è senza massa; $(2,2)$ dà $M=2/{\ell }_s$. Questo esempio non predice le masse di elettrone e protone. I settori di superstringa hanno diverse costanti di ordinamento normale e proiezioni. 3

Stati particolari

Al livello $(1,1)$ i due indici di polarizzazione trasversale si decompongono in tensore simmetrico a traccia nulla (gravitone), tensore antisimmetrico (campo $B$) e scalare (dilatone). Le stringhe aperte possono fornire bosoni vettoriali senza massa, ma bosoni di gauge emergono anche da stringhe eterotiche chiuse: quelle aperte non sono l’unica via alle interazioni di gauge.

La gravità è più di un’etichetta di spin. All’ordine dominante in ${\alpha }^{\prime }$, con dilatone costante e campo $B$ nullo, la coerenza quantistica del foglio impone

$${\beta }_{\mu \nu }^G={\alpha }^{\prime }{R}_{\mu \nu }+O({\alpha }^{\prime 2})=0.$$

L’equazione dominante è quella di Einstein nel vuoto $R_{\mu \nu }=0$. Le correzioni di curvatura diventano importanti quando il raggio si avvicina a ${\ell }_s$; altri campi aggiungono termini. È una relazione controllata a bassa energia, non la prova che ogni singolarità sia risolta. 5

5. Le cinque teorie delle superstringhe

Le cinque teorie familiari classificano teorie perturbative supersimmetriche di stringhe in dieci dimensioni, non tutti gli sfondi possibili. Fermioni sul foglio e proiezioni coerenti producono spettri supersimmetrici senza tachioni; aggiungere fermioni da solo non basta. La supersimmetria è qui una proprietà della costruzione, non una simmetria osservata della natura.

(1) Tipo I

Stringhe aperte e chiuse non orientate, con 16 supercariche spaziotemporali. La cancellazione delle anomalie seleziona l’algebra di gauge solitamente chiamata $SO(32)$. Il settore aperto porta gradi di libertà di gauge, quello chiuso include la gravità.

(2) Tipo IIA

Stringhe chiuse orientate, con 32 supercariche di chiralità spaziotemporali opposte. La descrizione usuale senza massa contiene metrica, dilatone, campo $B$ e potenziali di Ramond–Ramond $C_1,C_3$, con intensità di campo di grado pari.

(3) Tipo IIB

Stringhe chiuse orientate, con 32 supercariche della stessa chiralità. I potenziali di Ramond–Ramond $C_0,C_2,C_4$ hanno intensità di campo di grado dispari; la cinque-forma è autoduale. Il grado del potenziale va distinto da quello della sua intensità di campo.

(4) Eterotica $SO(32)$

Un settore bosonico sinistrorso e uno supersimmetrico destrorso condividono dieci coordinate bersaglio. La carica centrale sinistrorsa aggiuntiva deriva da gradi di libertà interni, non da sedici dimensioni spaziali macroscopiche ulteriori. Il nome convenzionale $SO(32)$ ha più precisamente forma globale $\mathrm{Spin}(32)/{\mathbb{Z}}_2$.

(5) Eterotica $E_8\times E_8$

L’altro reticolo di gauge coerente dà $E_8\times E_8$, ancora con 16 supercariche. La compattificazione può produrre teorie di gauge chirali, ma il nome non determina univocamente particelle e accoppiamenti osservati. Vi sono anche oggetti estesi oltre le stringhe perturbative: le D-brane sono dinamiche, ospitano estremi di stringhe aperte e portano carica di Ramond–Ramond nel tipo II. 6 13

6. Teoria M e dualità

Una dualità identifica osservabili in descrizioni diverse, rendendo spesso calcolabile un problema difficile. La dualità T scambia impulso compatto e avvolgimento; la S collega certi regimi di accoppiamento debole e forte. Non ogni modello possiede la semplice simmetria $g_s\mapsto 1/g_s$.

Il tipo IIA fortemente accoppiato sviluppa un’interpretazione a undici dimensioni con $R_{11}=g_s{\ell }_s$. Il cerchio cresce con l’accoppiamento; la supergravità in undici dimensioni è il limite di bassa energia. Queste relazioni motivano la teoria M, ma non forniscono una formulazione universale per sfondi arbitrari o una scoperta sperimentale dell’undicesima dimensione. 6

Compattificazione: un cerchio calcolabile

Identifichiamo $Y\sim Y+2\pi R$. Una funzione d’onda univoca impone $e^{ip(Y+2\pi R)}=e^{ipY}$, dunque $p=n/R$ con $n$ intero. Una stringa chiusa può avvolgersi $w$ volte. Tensione per lunghezza dà l’energia $T(2\pi R|w|)=|w|R/{\alpha }^{\prime }$.

$$p_L=\frac{n}{R}+\frac{wR}{{\alpha }^{\prime }},p_R=\frac{n}{R}-\frac{wR}{{\alpha }^{\prime }},$$ $$M^2={\left(\frac{n}{R}\right)}^2+{\left(\frac{wR}{{\alpha }^{\prime }}\right)}^2+\frac{2}{{\alpha }^{\prime }}(N+\tilde{N}-2),N-\tilde{N}-nw=0.$$ $$M^2=p_R^2+\frac{4}{{\alpha }^{\prime }}(N-1)=p_L^2+\frac{4}{{\alpha }^{\prime }}(\tilde{N}-1).$$

Qui $Y(\sigma +2\pi )=Y(\sigma )+2\pi wR$; $N$ conta le precedenti eccitazioni ${\alpha }_n$, $\tilde{N}$ quelle ${\tilde{\alpha }}_n$. L’ultima uguaglianza fissa il segno del vincolo sui livelli. Scambiare $R\leftrightarrow {\alpha }^{\prime }/R$ e $n\leftrightarrow w$ preserva lo spettro. A $R=2{\ell }_s$ il contributo di impulso unitario è $1/(2{\ell }_s)$ e quello di un avvolgimento $2/{\ell }_s$; al raggio duale ${\ell }_s/2$ si scambiano. Sono contributi alla formula, non necessariamente la massa totale dello stato. 7

Blu: impulso $1/R$. Arancione: avvolgimento $R/{\alpha }^{\prime }$. Uno schema di calcolo, non un’osservazione di dimensioni extra.

Nei modelli quadridimensionali, sei dimensioni spaziali compatte possiedono geometria, flussi e talvolta brane. Dimensioni e forme diventano campi scalari detti moduli. Stabilizzarli è essenziale: variazioni libere potrebbero alterare accoppiamenti o mediare forze a lungo raggio non osservate. «Troppo piccolo per vederlo» non è un modello completo.

7. Corrispondenza AdS/CFT

L’esempio più studiato di Maldacena collega stringhe IIB su ${\mathrm{AdS}}_5\times S^5$ alla teoria di super-Yang–Mills $\mathcal{N}=4$ in quattro dimensioni. AdS ha costante cosmologica negativa. La teoria sul bordo non contiene gravità dinamica, ma si propone che codifichi l’interno gravitazionale. 8

$$Z_{\mathrm{string}}[\varphi {|}_{\partial }={\varphi }_0]={⟨\exp \left(\int d^{d}x{\varphi }_0\mathcal{O}\right)⟩}_{\mathrm{CFT}}.$$

Il valore al bordo ${\varphi }_0$ è sorgente dell’operatore $\mathcal{O}$; derivare rispetto alla sorgente produce funzioni di correlazione. Nella corrispondenza, la teoria sul bordo definisce non perturbativamente questo interno specifico. Non è una prova generale di tutte le dualità olografiche proposte. 9

Quando la geometria diventa un’approssimazione utile

Siano $N_c$ il numero di colori della teoria di gauge $SU(N_c)$ e $L$ il raggio AdS. Con una normalizzazione comune,

$$\lambda =g_{\mathrm{YM}}^2{N}_c,\frac{L^4}{{\alpha }^{\prime 2}}=\lambda ,g_s=\frac{\lambda }{4\pi N_c}.$$

Un grande accoppiamento di 't Hooft $\lambda$ sopprime correzioni di lunghezza di stringa; $N_c$ sufficientemente grande a $\lambda$ fisso sopprime i loop di stringhe. La supergravità classica richiede entrambi. Fisica di gauge fortemente accoppiata può quindi corrispondere a gravità debolmente curva; accoppiamento di gauge debole non dà generalmente la stessa semplice geometria.

Il disco è una sezione spaziale schematica. Sorgente sul bordo e campo interno descrivono osservabili corrispondenti. $\lambda \gg 1$ e $g_s\ll 1$ controllano correzioni diverse, non costituiscono prove sperimentali.

8. Sfide e problemi aperti

Tre domande differiscono: la costruzione è coerente? Una dualità collega due costruzioni? Una descrive il nostro universo? Risolvere le prime due non decide la terza. La nostra cosmologia non è il vuoto AdS esatto descritto sopra, e quella teoria di gauge non è il Modello standard.

Il paesaggio comprende molti candidati di compattificazioni e vuoti. Numeri come $10^{500}$ sono stime dipendenti dal modello, non un conteggio stabilito di tutti gli universi fisici. Contare scelte di flussi non decide stabilità, selezione cosmologica o probabilità. Denef e Douglas esplicitano un preciso problema di conteggio e le sue ipotesi. 10

Che cosa mostrano gli indizi e quali sono i limiti

Strominger e Vafa contarono stati protetti di una classe speciale di buchi neri estremali supersimmetrici in cinque dimensioni, riproducendo l’entropia dominante di Bekenstein–Hawking. Ciò collega stati quantistici e area dell’orizzonte, ma non conta direttamente gli stati di un buco nero astrofisico osservato né spiega integralmente l’evaporazione generica. 11

In un lavoro pubblicato nel 2026, Cheung e collaboratori derivano particolari ampiezze di scattering di stringhe assumendo dinamica a livello albero, comportamento ultrasoffice ad alta energia e un insieme minimo di zeri dei residui. Il risultato riguarda quella classe di ampiezze, non una derivazione senza ipotesi del nostro universo o una conferma sperimentale. 12

I test richiedono modelli definiti: particelle aggiuntive, scale compatte, stringhe cosmiche e segnali cosmologici dipendono da ulteriori scelte. I difetti macroscopici chiamati stringhe cosmiche non sono automaticamente stringhe fondamentali. Rilevare supersimmetria o una dimensione extra non selezionerebbe unicamente questo quadro; escludere un intervallo accessibile di parametri non esclude tutte le compattificazioni. La scala delle stringhe non è universalmente fissata alla scala di Planck quadridimensionale.

Stato della ricerca

Verificato fino al 13 ottobre 2026: la teoria delle stringhe è candidata alla gravità quantistica, con calcoli potenti e indizi di dualità, ma senza conferma sperimentale diretta stabilita di stringhe fondamentali in natura. I risultati matematici vanno letti con le loro ipotesi; le affermazioni cosmologiche, giudicate tramite previsioni osservabili. Resta aperto il collegamento fra un vuoto controllato, una storia cosmologica e una fisica caratteristica e verificabile.