1. O mundo antes de Newton — De Aristóteles a Galileu

Antes de Newton, o movimento era uma questão de metafísica, não de matemática. A física de Aristóteles dominara a Europa por quase dois milênios:

• A visão aristotélica de mundo: Os objetos tinham um lugar natural. Uma pedra caía porque buscava a Terra; o fogo subia porque buscava os céus. O movimento exigia um agente motor contínuo. Se o empurrão cessasse, o movimento terminaria.

Esse modelo correspondia à intuição cotidiana, mas não resistia a uma análise rigorosa.

O dilema aristotélico

• Por que uma flecha continua voando depois de deixar a corda do arco?
• Por que os planetas não caem na Terra?

Os estudiosos medievais responderam com a “teoria do ímpeto”: uma força transmitida continuaria agindo por algum tempo antes de se dissipar. Era um passo em direção à inércia, mas ainda vinculava o movimento a “qualidades” metafísicas.

Entra em cena Galileu (1564–1642)

Galileu Galilei abalou a ortodoxia aristotélica por meio de experimentos:

1. O experimento do plano inclinado
   Galileu fez esferas rolarem por planos inclinados para tornar mais lenta a ação da gravidade.
   Ele descobriu o movimento uniformemente acelerado; para a queda livre a partir do repouso, o deslocamento é:

   $$s=\frac{1}{2}g{t}^2$$

   em que $s$ é o deslocamento, $t$ é o tempo e $g$ é a aceleração da gravidade.

   → Em um dado local, a mesma aceleração gravitacional $g$ rege a queda livre, independentemente da massa do corpo que cai.

   Exercício 1.1: Solte um martelo e uma pena no vácuo. Qual chega primeiro ao chão?

   Resposta: Os dois chegam simultaneamente, pois a aceleração $g$ independe da massa.

2. Lei da inércia (forma inicial)
   Galileu observou que uma esfera rolando sobre um plano sem atrito não pararia sozinha.
   Se nenhuma força atuasse, sua velocidade permaneceria constante.

   $$\frac{d\mathbf{v}}{dt}=0\text{se }\mathbf{F}=0$$

   Esse foi o embrião da primeira lei de Newton.

   Exercício 1.2: Um disco desliza sobre gelo liso e perde velocidade lentamente. Que força o desacelera?
   Resposta: O atrito com o gelo e a resistência do ar. Em uma superfície ideal sem atrito, ele nunca pararia.

Kepler e o enigma celeste

Johannes Kepler (1571–1630) trouxe mais uma peça. Usando os dados de Tycho Brahe (1546–1601), extraiu três leis do movimento planetário:

1. Os planetas descrevem elipses com o Sol em um dos focos.
2. Eles varrem áreas iguais em tempos iguais.
3. O quadrado do período orbital é proporcional ao cubo do semieixo maior ($T^2\propto a^3$).

Mas Kepler não tinha uma causa. Por que elipses? Por que $T^2\propto a^3$? Ele descrevia os céus com elegância, mas não dispunha de um mecanismo.

Descartes e o sonho mecânico

René Descartes (1596–1650) imaginou um universo semelhante a um relógio, preenchido por vórtices de matéria sutil que impulsionavam os planetas. Era poético, mas não verificável. Ainda assim, persistia o sonho de explicar o cosmos mecanicamente.

Um mundo à espera de Newton

Assim, em meados do século XVII:

• Galileu fornecera leis do movimento terrestre.
• Kepler fornecera leis planetárias.
• Descartes fornecera uma filosofia mecanicista.

Mas ninguém as unificara.
Foi nesse cenário que Isaac Newton nasceu, em 1642, o ano da morte de Galileu.

2. A origem das leis

Newton não inventou a física, mas a organizou em um sistema. Assimilou a inércia de Galileu, as harmonias de Kepler e a mecânica de Descartes. Em 1687, publicou Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica — os Principia.

Nessa obra, apresentou as três leis do movimento e a lei da gravitação universal.

Pela primeira vez, os movimentos terrestres e celestes eram regidos pelos mesmos princípios. Maçãs e luas obedeciam à mesma lei.

Ainda hoje, nos apoiamos nessa unificação.

3. A primeira lei – Inércia e isolamento

A primeira lei do movimento de Newton aprofundou a ideia de inércia de Galileu:

“Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em linha reta, a menos que forças aplicadas a ele o obriguem a mudar esse estado.”

Formulação matemática

Se nenhuma força resultante atua sobre um corpo:

$$\frac{d\mathbf{v}}{dt}=0\Rightarrow \mathbf{v}=\text{constante}$$

De forma equivalente, em termos da posição:

$$\mathbf{r}(t)={\mathbf{r}}_0+{\mathbf{v}}_{0}t$$

Assim, um referencial inercial é aquele em que as leis de Newton valem e os objetos mantêm sua velocidade na ausência de forças.

Demonstração pelo plano inclinado de Galileu

Considere uma esfera que rola descendo uma rampa, atravessa uma superfície horizontal e sobe outra rampa:

• Com atrito, ela sobe menos.
• Com menos atrito, sobe mais.
• No limite de atrito nulo, atingiria a mesma altura — ou, em uma superfície perfeitamente horizontal, continuaria para sempre.

Esse experimento mostra que o movimento uniforme não exige uma causa contínua.

Exemplo 3.1 – Deslizamento no gelo

Problema: Um disco de hóquei é lançado sobre gelo sem atrito com velocidade $v_0$. Que distância percorre em 10 s?
Solução: Como $a=0$, a velocidade é constante:
$x=v_{0}t$
Se $v_0=5\text{m/s}$, após $t=10\text{s}$ ele percorreu $50\text{m}$.

4. A segunda lei – Força e genialidade

A segunda lei de Newton fornece o vínculo causal:

“A variação do movimento é proporcional à força motora aplicada e ocorre na direção da reta ao longo da qual essa força atua.”

Matematicamente:

$$\mathbf{F}=m\mathbf{a}=m\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}$$ $$\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}$$

Essa única relação torna o universo calculável.

Dedução a partir da lagrangiana

Considere a lagrangiana $L=T-V=\frac{1}{2}m{\dot{\mathbf{r}}}^2-V(\mathbf{r})$.

A lagrangiana é definida como a diferença entre a energia cinética $T$ e a energia potencial $V$.

A equação de Euler–Lagrange:

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}}=0$$

fornece

$$m\ddot{\mathbf{r}}+\nabla V=0\Rightarrow m\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}$$

Assim, a relação de Newton $F=ma$ surge naturalmente dos princípios variacionais.

Simetria de translação temporal → Conservação da energia

Se $L$ não depende explicitamente do tempo, a energia $E$, definida por

$$E=\dot{\mathbf{r}}\cdot \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}-L$$

é conservada.

Para uma partícula:

$$E=\frac{1}{2}m{v}^2+V(\mathbf{r})=\text{constante}$$

Portanto, simetria temporal = conservação da energia.

Demonstração

A partir da definição,

$$E={\dot{q}}_i\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}-L,$$

sua derivada temporal é

$$\frac{dE}{dt}={\ddot{q}}_i\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}+{\dot{q}}_i\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)-\frac{dL}{dt}.$$

Usando a equação de Euler–Lagrange

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)=\frac{\partial L}{\partial q_i},$$

obtemos

$$\frac{dE}{dt}=-\frac{\partial L}{\partial t}.$$

Portanto, se $L$ não depende explicitamente do tempo,

$$\frac{\partial L}{\partial t}=0\Rightarrow \frac{dE}{dt}=0,$$

e, assim, $E$ é conservada.

Esse é um exemplo direto do teorema de Noether:
a simetria de translação temporal corresponde à conservação da energia.

Exemplo 4.1 – Bloco em um plano inclinado

Problema: Um bloco de massa $m$ desliza por um plano sem atrito inclinado de um ângulo $\theta$. Determine sua aceleração $a$.

Solução:
Força ao longo da rampa: $F=mg\sin \theta$
Segunda lei de Newton: $F=ma$
Logo, $a=g\sin \theta$.

Se $\theta =30^{\circ }$, então $a=4.9{\text{m/s}}^2$.

Exemplo 4.2 – Pêndulo simples (ângulos pequenos)

Considere um pêndulo simples formado por uma massa pontual $m$ presa a uma haste rígida e sem massa (ou a um fio) de comprimento $\ell$. O pivô não tem atrito, e o ângulo em relação à vertical é indicado por $\theta (t)$.

A massa se move em um arco circular de raio $\ell$. Sua aceleração tangencial é

$$a_{\text{tan}}=\ell \ddot{\theta },$$

e o módulo de sua aceleração radial (centrípeta) é

$$a_{\text{rad}}=\ell {\dot{\theta }}^2.$$

Duas forças atuam sobre a massa:

• A tração $T$ ao longo da haste.
• A força gravitacional $mg$ verticalmente para baixo.

A componente tangencial da força gravitacional é

$$F_{\text{tan}}=-mg\sin \theta ,$$

em que o sinal negativo indica que a gravidade tende a restaurar o pêndulo à posição $\theta =0$.

Aplicando a segunda lei de Newton na direção tangencial,

$$m{a}_{\text{tan}}=\sum F_{\text{tan}},$$

encontramos

$$m(\ell \ddot{\theta })=-mg\sin \theta .$$

Simplificando,

$$\ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\sin \theta =0.$$

Essa é a equação de movimento não linear exata de um pêndulo simples.

Para pequenos deslocamentos angulares $|\theta |\ll 1$ (em radianos), podemos usar

$$\sin \theta \approx \theta .$$

A equação então se torna

$$\boxed{\ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\theta =0}.$$

Essa é a conhecida equação do oscilador harmônico simples, com frequência angular

$${\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{\ell }},T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}.$$

• Método do torque:
  Em relação ao pivô, o torque da gravidade é

  $$\tau =-mg\ell \sin \theta ,$$

  e, com momento de inércia $I=m{\ell }^2$,

  $$I\ddot{\theta }=\tau \Rightarrow \ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\sin \theta =0.$$

• Método lagrangiano:

  $$T=\frac{1}{2}m{\ell }^2{\dot{\theta }}^2,V=mg\ell (1-\cos \theta ),$$ $$L=T-V.$$

  A aplicação da equação de Euler–Lagrange fornece o mesmo resultado.

Como

$$\sin \theta =\theta -\frac{{\theta }^3}{6}+\cdots ,$$

o erro relativo é $\sim {\theta }^2/6$:

• Para $\theta =10^{\circ }\approx 0.17$ rad → erro $\approx 0.5\%$.
• Para $\theta =20^{\circ }\approx 0.35$ rad → erro $\approx 2\%$.

Assim, a equação para pequenos ângulos é precisa para oscilações moderadas.

Equação de movimento:

$$\ddot{\theta }+\frac{g}{l}\theta =0$$

Solução:

$$\theta (t)={\theta }_0\cos \left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)$$

Período:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

5. A terceira lei – Simetria e oposição

A terceira lei de Newton introduz a reciprocidade:

“A toda ação se opõe sempre uma reação de igual intensidade.”

Matematicamente:

$${\mathbf{F}}_{12}=-{\mathbf{F}}_{21}$$

Demonstração → Conservação do momento linear

Para um sistema de duas partículas:

$$m_1{\ddot{\mathbf{r}}}_1={\mathbf{F}}_{12},m_2{\ddot{\mathbf{r}}}_2={\mathbf{F}}_{21}$$

Somando:

$$m_1{\ddot{\mathbf{r}}}_1+m_2{\ddot{\mathbf{r}}}_2={\mathbf{F}}_{12}+{\mathbf{F}}_{21}=0$$

Portanto:

$$\frac{d}{dt}(m_1{\dot{\mathbf{r}}}_1+m_2{\dot{\mathbf{r}}}_2)=0$$

Assim, o momento linear total $\mathbf{P}$ = $(m_1{\mathbf{v}}_1+m_2{\mathbf{v}}_2)$ é conservado.
Esse é o fundamento matemático das colisões e do recuo.

Simetria de translação espacial → Conservação do momento linear

Se a lagrangiana é invariante sob $\mathbf{r}\to \mathbf{r}+ϵ$, então:

$$\mathbf{P}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}=m\mathbf{v}$$

é conservado.

Exemplo 5.1 – Colisão elástica

Problema: Duas massas $m_1,m_2$ colidem elasticamente em uma dimensão. As velocidades iniciais são $v_1,v_2$. Determine $v_1^{\prime },v_2^{\prime }$.

Solução:
Momento linear:

$$m_1{v}_1+m_2{v}_2=m_1{v}_1^{\prime }+m_2{v}_2^{\prime }$$

Energia:

$$\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2=\frac{1}{2}{m}_1(v_1^{\prime }{)}^2+\frac{1}{2}{m}_2(v_2^{\prime }{)}^2$$

Resolvendo:

$$v_1^{\prime }=\frac{(m_1-m_2)v_1+2m_2{v}_2}{m_1+m_2},v_2^{\prime }=\frac{(m_2-m_1)v_2+2m_1{v}_1}{m_1+m_2}$$

Exemplo 5.2 – A equação do foguete (Tsiolkovski)

Considere um foguete de massa instantânea $M(t)$ movendo-se com velocidade $v(t)$ no espaço livre (sem forças externas).
Durante um pequeno intervalo $dt$, o foguete expele uma massa $|dM|$ para trás com velocidade de exaustão $u$ em relação ao foguete.

1 Conservação do momento linear

A variação do momento linear do foguete é

$$d{P}_{\text{rocket}}=Mdv+vdM.$$

O combustível expelido tem velocidade $(v-u)$ no referencial inercial, de modo que seu momento linear é

$$d{P}_{\text{exhaust}}=-(dM)(v-u).$$

Aqui, $dM<0$, pois o foguete perde massa.
A conservação do momento linear total fornece

$$Mdv+vdM-(dM)(v-u)=0,$$

o que se simplifica para

$$Mdv=-udM.$$

2 Forma diferencial

Dividindo por $dt$,

$$M\frac{dv}{dt}=-u\frac{dM}{dt}.$$

3 Integração

Reescrevendo,

$$dv=-u\frac{dM}{M}.$$

Integrando de $(M_0,v_0)$ até $(M,v)$,

$${\int }_{v_0}^{v}d{v}^{\prime }=-u{\int }_{M_0}^M\frac{d{M}^{\prime }}{M^{\prime }},$$

o que fornece

$$v-v_0=u\ln \left(\frac{M_0}{M}\right).$$

Assim, a equação geral do foguete é

$$\boxed{v(t)=v_0+u\ln \left(\frac{M_0}{M(t)}\right)}.$$

4 Observações sobre a interpretação

• A forma simplificada

  $$v=u\ln \left(\frac{M_0}{M}\right)$$

  pressupõe $v_0=0$ (o foguete parte do repouso).

• $u$ é a velocidade de exaustão em relação ao foguete. Alguns textos definem $u$ com sinal negativo (direção para trás), o que pode inverter sinais na fórmula.

• Essa dedução pressupõe a ausência de forças externas (sem gravidade nem resistência do ar). Incluí-las modifica significativamente a equação.

5 Significado físico

A equação mostra que a velocidade do foguete cresce logaritmicamente com a razão entre a massa inicial e a final:

$$\frac{M_0}{M}=\text{“raza˜o de massas”}.$$

Uma velocidade de exaustão $u$ maior ou uma razão de massas maior leva a uma velocidade final mais alta.

A equação do foguete decorre da conservação do momento linear.
Para um foguete de massa $M$ que expele uma massa $dm$ com velocidade $u$:

$$M\frac{dv}{dt}=-u\frac{dM}{dt}$$

Integrando:

$$v=u\ln \left(\frac{M_0}{M}\right)$$

Essa é a equação do foguete de Tsiolkovski.

6. Por que essas leis ainda importam

As três leis de Newton formam a base de todo curso de mecânica, de todo cálculo de engenharia e de toda órbita planejada por agências espaciais.
Mas também expressam simetrias profundas:

• Simetria de translação espacial → conservação do momento linear
• Simetria de rotação → conservação do momento angular
• Simetria de translação temporal → conservação da energia

Veremos agora como elas surgem diretamente da formulação newtoniana.

7. Uma pergunta vinda dos céus

Na década de 1670, Newton se perguntava: O que mantém a Lua em sua órbita?
Kepler havia fornecido as leis empíricas, mas não a causa. Newton percebeu que a mesma força que puxa uma maçã também governa a Lua.

Se a Lua, a uma distância $r\approx 60R_{\oplus }$, cai em direção à Terra com aceleração $a=g/60^2$, então é a mesma lei do inverso do quadrado que atua perto da superfície.

Exemplo 7.1 – A aceleração da Lua

Problema: Para a Terra, $g=9.8{\text{m/s}}^2$ e o raio é $R_{\oplus }=6.4\times 10^6\text{m}$. Qual é a aceleração centrípeta da Lua a $r=60R_{\oplus }$?

Solução:

$$a=\frac{g}{60^2}\approx \frac{9.8}{3600}\approx 0.0027{\text{m/s}}^2$$

Isso corresponde à aceleração centrípeta observada da Lua. Newton percebeu a conexão: maçãs e luas obedecem à mesma lei.

8. A lei da gravitação universal

Newton propôs:

$$\mathbf{F}=-\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}\hat{r}$$

Toda massa atrai qualquer outra. Trata-se de uma força central, sempre dirigida ao longo da linha que une os corpos.

Demonstração do teorema das cascas

Newton demonstrou que:

• Uma casca esférica uniforme atrai uma partícula externa como se toda a massa estivesse concentrada em seu centro.
• No interior da casca, a força resultante é nula.

Isso exige cálculo e geometria, mas o resultado é profundo: no estudo do movimento orbital, os planetas podem ser tratados como massas pontuais.

Exemplo 8.1 – Peso no monte Everest

Problema: O raio da Terra é $R=6.4\times 10^6\text{m}$ e a altura do Everest é $h=8.8\times 10^3\text{m}$. Quanto a gravidade diminui no cume?

Solução:

$$g^{\prime }=g{\left(\frac{R}{R+h}\right)}^2$$ $$\frac{g^{\prime }}{g}\approx {\left(\frac{6.4\times 10^6}{6.4\times 10^6+8.8\times 10^3}\right)}^2\approx 0.997256$$

Nessa aproximação de uma Terra esférica, a gravidade é cerca de $0.274\%$ mais fraca no cume.

9. Forças centrais e movimento orbital

Para forças centrais:

$$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}$$

Torque:

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{r}\times \mathbf{F}$$

Mas, se $\mathbf{F}\parallel \mathbf{r}$, então $\mathbf{r}\times \mathbf{F}=0$, de modo que:

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=0\Rightarrow \mathbf{L}=\text{const.}$$

Assim, simetria de rotação → conservação do momento angular.

Exemplo 9.1 – O sistema Terra–Sol

Problema: Se a Terra estiver duas vezes mais distante do Sol, como sua velocidade deve mudar para conservar o momento angular?

Solução:
$L=mvr$ é constante, em que $v$ é a componente tangencial da velocidade. Se $r\to 2r$, então $v\to v/2$.

10. O problema de Kepler revisitado

Sob uma força que segue a lei do inverso do quadrado, a equação da órbita é:

$$r(\theta )=\frac{p}{1+e\cos \theta }$$

em que $e$ é a excentricidade.

• $0\le e<1$: elipse
• $e=1$: parábola
• $e>1$: hipérbole

Demonstração da segunda lei de Kepler

Da conservação do momento angular:

$$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }=\frac{L}{2m}=\text{constante}$$

Portanto, áreas iguais são varridas em tempos iguais.

Exemplo 10.1 – Período de um satélite

Problema: Um satélite orbita a Terra a uma altitude $h=R_{\oplus }$. Determine seu período.

Solução:
Raio orbital $a=2R_{\oplus }=1.28\times 10^7\text{m}$.

Terceira lei de Kepler:

$$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3$$

Com $GM=3.986\times 10^{14}$,

$$T\approx 1.44\times 10^4\text{s}\approx 4.00\text{horas}$$

11. As três leis de Kepler pelos olhos de Newton

Newton deduziu as regras empíricas de Kepler:

1. Órbitas elípticas: a partir da lei do inverso do quadrado.
2. Áreas iguais em tempos iguais: a partir da conservação do momento angular.
3. Lei harmônica:

$$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3$$

Exemplo 11.1 – Órbita de um cometa

Problema: Um cometa em órbita parabólica ($e=1$) se aproxima do Sol. Qual é sua velocidade no periélio, à distância $r_p$?

Solução:
Para uma órbita parabólica, a energia específica é $E=0$:

$$\frac{1}{2}{v}^2-\frac{GM}{r_p}=0\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2GM}{r_p}}$$

Assim, cometas em órbitas parabólicas têm a velocidade de escape no periélio.

12. O encontro com Halley

Em 1684, Edmond Halley visitou Cambridge. Os astrônomos se perguntavam: se a gravidade obedece à lei do inverso do quadrado, qual é a forma das órbitas planetárias?
Halley perguntou a Newton. Newton respondeu: “Seria uma elipse.”

Essa observação casual deu origem aos Principia, financiados por Halley. Sem seu incentivo, a unificação das mecânicas terrestre e celeste poderia ter permanecido inédita.

Exemplo 12.1 – Período do cometa Halley

Problema: O cometa Halley tem semieixo maior $a=17.8\text{AU}$. Determine seu período orbital.

Solução:
Terceira lei de Kepler (em UA e anos): $T^2=a^3$
Logo, $T=\sqrt{(17.8{)}^3}\approx 75.1\text{anos}$
Esse valor é próximo do período observado de cerca de 76 anos; perturbações planetárias fazem variar o intervalo entre os retornos.

13. O universo como um relógio

A mecânica de Newton revelou um cosmos semelhante a uma máquina: marés, eclipses e cometas previsíveis. O Iluminismo abraçou essa visão determinista de mundo.

Mas, por trás disso, estavam leis profundas de conservação — as regras de funcionamento do universo.

Exemplo 13.1 – Marés

Problema: Por que muitas costas apresentam duas marés altas por dia lunar?
Resposta: No modelo simplificado de maré de equilíbrio, a diferença da atração gravitacional da Lua entre pontos da Terra produz dois bojos, nos lados próximo e distante. A Terra gira através desse padrão em um dia lunar de cerca de 24 horas e 50 minutos. Costas reais podem apresentar marés semidiurnas, diurnas ou mistas, pois as bacias oceânicas, a geometria costeira e outros efeitos modificam a resposta.

14. O legado da gravitação

A gravitação de Newton orientou navios, calendários e, mais tarde, espaçonaves.
Até a relatividade de Einstein se reduz à lei de Newton nas escalas humanas.

Exemplo 14.1 – Velocidade de escape

Problema: Determine a velocidade de escape a partir da superfície da Terra.

Solução:
Conservação da energia:

$$\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{R}=0$$ $$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}\approx 11.2\text{km/s}$$

15. Mecânica dos corpos rígidos

A mecânica newtoniana se estende de partículas a corpos extensos.

15.1 Rotação em torno de um eixo fixo

Momento de inércia:

$$I=\sum _i{m}_i{r}_i^2$$

Energia cinética:

$$T=\frac{1}{2}I{\omega }^2$$

Momento angular:

$$L=I\omega$$

Exemplo 15.1 – Haste uniforme

Problema: Uma haste uniforme de comprimento $L$ gira em torno de um eixo que passa por seu centro e é perpendicular à haste. Determine $I$.

Solução:

$$I={\int }_{-L/2}^{L/2}{x}^2\frac{M}{L}dx=\frac{M{L}^2}{12}$$

15.2 As equações de Euler

Para a rotação geral de um corpo rígido, em componentes fixas no corpo, com $I$ sendo o tensor de inércia e a derivada temporal tomada nesse referencial:

$$\frac{d}{dt}(I\omega )+\omega \times (I\omega )=\tau$$

Essas equações descrevem piões, giroscópios e espaçonaves.

Exemplo 15.2 – Giro de uma patinadora

Problema: Uma patinadora recolhe os braços, reduzindo $I$ pela metade. O que acontece com $\omega$?

Solução:
O momento angular é conservado: $I\omega =\text{const.}$
Se $I\to I/2$, então $\omega \to 2\omega$.
Ela gira duas vezes mais rápido.

16. Referenciais não inerciais

As leis de Newton valem em referenciais inerciais. Mas, na Terra, que gira, precisamos acrescentar forças fictícias.

16.1 Forças de Coriolis e centrífuga

Em um referencial que gira com velocidade angular constante $\vec{\Omega }$, sem aceleração translacional de sua origem:

$${\mathbf{a}}^{\prime }=\mathbf{a}-2\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }-\mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r})$$

• $-2\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }$ = aceleração de Coriolis
• $-\mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r})$ = aceleração centrífuga

Exemplo 16.1 – Desvio de um corpo em queda

Problema: Um corpo cai de uma altura $h$ na latitude $\varphi$. Qual é seu desvio para leste devido à força de Coriolis?

Solução (aproximada):
Tempo de queda $t=\sqrt{2h/g}$.
Aceleração para leste $\approx 2\Omega \cos \varphi \cdot v_z$, tomando $v_z$ positivo para baixo.
Deslocamento:

$$x\approx \frac{1}{3}\Omega \cos \varphi g{t}^3$$

Para $h=100\text{m},\varphi =45^{\circ }$: $x\approx 2\text{cm}$.

Exemplo 16.2 – Ciclones

Problema: Por que os ciclones giram no sentido anti-horário no hemisfério norte?

Resposta: A força de Coriolis desvia o ar em movimento para a direita de sua trajetória. Em sistemas de baixa pressão, o ar que converge se curva no sentido anti-horário no norte e horário no sul.

17. Newton, o ser humano

Newton, o cientista, era brilhante; Newton, o homem, era complexo. Dedicou décadas não apenas à física, mas também à alquimia, à teologia e a disputas políticas.
Como mestre da Casa da Moeda, reformou a cunhagem inglesa e perseguiu falsificadores com precisão forense. Como presidente da Royal Society, promoveu a ciência inglesa — e, às vezes, esmagou rivais.

Ainda assim, sua mecânica transcendeu suas falhas pessoais: uma estrutura ao mesmo tempo duradoura e universal.

Exemplo 17.1 – A moeda de ouro da Casa da Moeda

Problema: Se uma moeda falsa pesa 1% menos que uma verdadeira, como Newton detectaria isso com uma balança?

Solução: O equilíbrio estático de rotação exige torque resultante nulo, de modo que os dois torques gravitacionais se equilibram.
Uma diferença de massa de 1% causa um desequilíbrio mensurável quando comparada a um padrão de referência. A obsessão de Newton pela precisão fazia com que nenhum falsificador escapasse por muito tempo.

18. Legado e transição

Em 1727, quando Newton morreu, sua mecânica já se tornara o fundamento intelectual do Iluminismo.
Por 200 anos, engenheiros e astrônomos se apoiaram exclusivamente em Newton.

Mas surgiram fissuras:

• A precessão de Mercúrio contrariava as previsões de Newton.
• A luz, tratada por Newton como partículas, apresentava fenômenos ondulatórios.
• Átomos e elétrons exigiam regras quânticas.

Exemplo 18.1 – A órbita de Mercúrio

Problema: O periélio de Mercúrio apresenta uma precessão adicional de $43^{\prime \prime }$ por século em relação à previsão da gravitação de Newton. Por quê?

Resposta: A relatividade geral explica a correção: a curvatura do espaço-tempo modifica a lei de Newton em medidas de alta precisão.

Exemplo 18.2 – Quando Newton falha

• Em velocidades próximas à da luz → A relatividade especial substitui $F=ma$ por $F=dp/dt$, com $p=\gamma mv$.
• Em escalas atômicas → A mecânica quântica substitui trajetórias por funções de onda.

Ainda assim, Newton continua sendo a primeira aproximação:

• Para $v\ll c$ e em grandes escalas, Newton ainda é preciso o suficiente para guiar foguetes até Marte.

19. Por que ainda estudamos mecânica newtoniana

Apesar da relatividade e da física quântica, Newton ainda é ensinado primeiro, porque:

• Sua teoria é precisa nas escalas humanas.
• Ela fornece a gramática da física: traduzir palavras → equações → previsões.
• Ela revela a ligação entre simetria e leis de conservação.

Revisão das simetrias e leis de conservação

• Invariância por translações espaciais → conservação do momento linear
  $\mathbf{P}=\sum m_i{\mathbf{v}}_i=\text{const.}$

• Invariância por rotações → conservação do momento angular
  $\mathbf{L}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}=\text{const.}$

• Invariância por translações temporais → conservação da energia
  $E=T+V=\text{const.}$

Essas são as sementes do teorema de Noether, que floresceu plenamente no século XX.

Exemplo 19.1 – Salto de bungee jump

Problema: Uma pessoa de 70 kg salta presa a uma corda modelada como uma mola de constante $k=50\text{N/m}$ e comprimento não esticado $L=30\text{m}$. Determine o alongamento máximo.

Solução:
Conservação da energia:

$$mg(L+x)=\frac{1}{2}k{x}^2$$

Resolvendo a equação do segundo grau com $g=9.8{\text{m/s}}^2$: $x\approx 45.5\text{m}$.
Portanto, a queda máxima é $L+x\approx 75.5\text{m}$.

20. Resumo

• Três leis do movimento: inércia, força, reação.
• Gravitação universal: une a Terra e o céu.
• Leis de conservação: momento linear, momento angular e energia decorrem de simetrias.
• Corpos rígidos e referenciais não inerciais: ampliam as leis para a complexidade do mundo real.
• Newton, o homem: brilhante, falho, mas fundamental.

A visão de Newton não era a verdade final, mas o primeiro mapa matemático do universo.
Todo estudante que aprende mecânica passa a fazer parte dessa tradição.

Epílogo

Do pomar de maçãs de Woolsthorpe às espaçonaves que deixam o Sistema Solar, as equações de Newton perduram.

• Engenheiros ainda usam $F=ma$.
• Astrônomos ainda preveem órbitas com $T^2\propto a^3$.
• Arquitetos ainda calculam cargas com a estática newtoniana.

Mesmo quando Einstein ou Schrödinger o superam, Newton nunca é descartado.

Ele escreveu certa vez:

“Não sei como posso parecer ao mundo, mas, para mim mesmo, pareço ter sido apenas um menino brincando à beira-mar, encontrando uma pedra mais lisa ou uma concha mais bonita que o comum, enquanto o grande oceano da verdade permanecia inteiramente desconhecido diante de mim.”

Quatro séculos depois, ainda exploramos esse oceano com a bússola que Newton nos deu.