Paradoxo da informação dos buracos negros

Recuperar as palavras de um livro que caiu em um buraco negro seria difícil. O paradoxo da informação faz uma pergunta mais precisa: dois estados quânticos iniciais distintos podem se transformar no mesmo estado final, mesmo para alguém capaz de controlar perfeitamente tudo o que restou? Uma queima comum espalha informação pela fumaça, pela luz e por suas correlações. Um apagamento fundamental mudaria as leis quânticas.

O problema conecta relatividade geral, teoria quântica de campos e mecânica estatística. A combinação dessas teorias fica incompleta quando a própria geometria exige tratamento quântico. Vamos distinguir aproximações controladas, conclusões que pressupõem unitariedade e observações reais.

Convenções: as constantes SI aparecem explicitamente, exceto na fórmula das ilhas, que usa $c=k_B=1$. $S_{\mathrm{BH}}$ é a entropia termodinâmica; $S(R)$ é a entropia de von Neumann adimensional com logaritmos naturais. Multiplicar esta última por $k_B$ fornece unidades termodinâmicas; dividi-la por $\ln 2$ fornece bits. Consideramos principalmente um buraco negro sem rotação nem carga.

1. Buracos negros clássicos

Um horizonte de eventos delimita a região da qual nenhum sinal pode alcançar o exterior distante no futuro. Não é uma superfície material, mas uma propriedade das trajetórias causais no espaço-tempo inteiro. No vácuo externo a um corpo esférico sem rotação, a métrica de Schwarzschild é

$$d{s}^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^{2}d{t}^2+{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^{2}d{\Omega }^2,r_s=\frac{2GM}{c^2}.$$

$M$ representa a massa, $r$ o raio areal e $d{\Omega }^2=d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2$ a métrica da esfera unitária. Uma esfera de raio $r$ tem área $4\pi r^2$. A divergência aparente em $r=r_s$ desaparece com coordenadas regulares no horizonte; ela não é a singularidade de curvatura em $r=0$.

Em um buraco negro suficientemente grande, um observador em queda livre pode cruzar o horizonte onde a curvatura local ainda é pequena. O que impede a fuga é a orientação dos cones de luz futuros, não uma força local infinita. O fato de o exterior se estabilizar em uma forma descrita por massa, momento angular e carga não demonstra que o estado quântico completo tenha apenas essas três propriedades.

Esconder ainda não é destruir. Um observador externo não acessa o interior, assim como quem mede apenas parte de um sistema emaranhado não conhece suas correlações conjuntas. O estado global pode permanecer intacto. O problema se torna agudo se a emissão quântica faz o buraco negro desaparecer inteiramente, sem interior restante para purificar a radiação. A evaporação completa até a fase final de gravidade quântica também é uma hipótese.

2. Radiação Hawking

No cálculo de Hawking (1975), campos quânticos se propagam sobre uma geometria clássica de colapso. Um modo de frequência positiva no passado distante mistura frequências positivas e negativas no futuro distante. Assim, o vácuo inicial pode conter partículas de saída para observadores futuros. Para um buraco negro de Schwarzschild que varia lentamente,

$$T_H=\frac{\hslash c^3}{8\pi GM{k}_B},⟨N_{\omega }⟩=\frac{1}{e^{\hslash \omega /(k_B{T}_H)}-1}.$$

$\omega$ é a frequência angular. A ocupação é o fator térmico bosônico; férmions têm sinal positivo no denominador. A curvatura espalha as ondas que saem, por isso o fluxo efetivo também inclui fatores de transmissão de corpo cinzento, dependentes de frequência e momento angular. Eles alteram o espectro sem resolver, sozinhos, o emaranhamento com graus de liberdade inacessíveis. A imagem de pares partícula–antipartícula é uma ajuda intuitiva, não uma derivação nem uma localização única da criação.

Exemplo numérico. Substituindo $M_{\odot }\simeq 1.99\times 10^{30}\mathrm{kg}$, obtemos $r_s\simeq 2.95\mathrm{km}$ e $T_H\simeq 6.2\times 10^{-8}\mathrm{K}$. Dez massas solares produzem um raio dez vezes maior e uma temperatura dez vezes menor. O gás brilhante ao redor de buracos negros astrofísicos não é, portanto, sua radiação Hawking. O cálculo é mais confiável para objetos grandes e lentamente variáveis; extrapolá-lo até a massa de Planck não é uma aproximação controlada.

A entropia do horizonte é

$$A=4\pi r_s^2,S_{\mathrm{BH}}=\frac{k_{B}A}{4{\ell }_P^2}=\frac{4\pi k_{B}G{M}^2}{\hslash c},{\ell }_P^2=\frac{G\hslash }{c^3}.$$

A dependência da área, motivada por Bekenstein (1973), difere da dependência do volume familiar na matéria comum. Para uma massa solar, $S_{\mathrm{BH}}/k_B\simeq 1.05\times 10^{77}$. Interpretá-la como o logaritmo do número de microestados compatíveis é uma interpretação estatística, não uma contagem direta já realizada para todo buraco negro real.

Podemos verificar a consistência termodinâmica derivando $S_{\mathrm{BH}}\propto M^2$:

$$\frac{d{S}_{\mathrm{BH}}}{dM}=\frac{8\pi k_{B}GM}{\hslash c},T_{H}d{S}_{\mathrm{BH}}=c^{2}dM=dE.$$

Essa é a primeira lei sem rotação nem carga. Como $T_H\propto 1/M$, perder energia aumenta a temperatura: o buraco isolado tem capacidade térmica negativa. Isso não significa temperatura absoluta negativa.

3. O paradoxo da informação

Sejam $R$ a radiação emitida e $B$ o buraco negro restante. Se o estado conjunto é puro, o estado acessível a quem observa apenas a radiação é dado pelo traço parcial:

$${\rho }_R={\mathrm{Tr}}_B|\Psi ⟩⟨\Psi |,S(R)=-\mathrm{Tr}({\rho }_R\ln {\rho }_R).$$

A operação descarta o acesso a $B$, sem afirmar que ele desapareceu fisicamente. Uma matriz densidade pura tem somente um autovalor igual a um, com $S=0$; uma mista possui vários autovalores não nulos. A evolução unitária $\rho \mapsto U\rho U^{†}$ preserva esses autovalores no sistema fechado completo. Um subsistema pode, ainda assim, ficar misto por emaranhamento.

Cálculo com dois qubits. Considere

$$|\Psi {⟩}_{RB}=\frac{|0{⟩}_R|0{⟩}_B+|1{⟩}_R|1{⟩}_B}{\sqrt{2}},{\rho }_R=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$$

O traço sobre $B$ elimina os termos cruzados, pois $⟨0|1⟩=0$. O qubit de radiação tem dois autovalores $1/2$, portanto $S(R)=\ln 2$, enquanto o par tem $S(RB)=0$. Nenhum qubit isolado revela as correlações. Se ambos acabam acessíveis como radiação, o conjunto pode ser puro mesmo que os resultados individuais pareçam aleatórios.

A linha representa uma correlação quântica, não um sinal atravessando o horizonte. $S(R)=S(B)=\ln 2$, mas $S(RB)=0$. Reunir as duas partes altera o acesso ao estado, não sua pureza global.

Na ordem semiclássica dominante, os modos Hawking que saem estão emaranhados com parceiros internos. Se o interior desaparece sem outro portador dessas correlações, o exterior final permanece misto apesar de um estado inicial puro. Esse é o conflito analisado por Hawking (1976). A combinação problemática é evaporação completa, teoria local de campos perto de um horizonte suave e uma separação ingênua em estados internos e externos independentes.

Um espectro de Planck ou estatísticas térmicas de uma partícula não significam que a matriz densidade completa de muitas partículas seja exatamente térmica. A informação pode residir em correlações entre muitos quanta. Por outro lado, dizer que “pequenas correções resolvem” também não basta: o argumento de Mathur limita essa possibilidade enquanto valerem suas hipóteses de criação local de pares e independência dos subsistemas.

4. A curva de Page

A decomposição de Schmidt de um estado bipartido puro fornece os mesmos autovalores não nulos para ${\rho }_R$ e ${\rho }_B$. Se os espaços de estados têm dimensões $d_R,d_B$,

$$S(R)=S(B)\le \min (\ln d_R,\ln d_B),S(R)\approx \min \left(S_R^{\mathrm{coarse}},\frac{S_{\mathrm{BH}}}{k_B}\right).$$

A primeira relação é um limite geral em dimensão finita. A segunda é uma aproximação para estados típicos: $S_R^{\mathrm{coarse}}$ é a entropia adimensional da radiação quando se ignoram correlações detalhadas. O cálculo de subsistemas de Page explica por que uma pequena parte de um grande estado puro genérico é quase maximamente mista. Sua aplicação à radiação de buracos negros requer dinâmica unitária e contagem efetiva de estados.

No início, o espaço de estados da radiação cresce, assim como sua entropia. Depois, os estados efetivos do buraco restante diminuem: ele não pode purificar uma entropia de radiação arbitrariamente grande. A curva cai e termina em zero quando um sistema isolado inicialmente puro evapora completa e unitariamente. Isso não significa que a energia ou a temperatura da radiação se anulem. Se o início era misto ou emaranhado com uma referência externa, a radiação final sozinha não precisa ser pura.

Eixo horizontal: tempo de evaporação transcorrido; vertical: entropia adimensional. A curva tracejada crescente é $S_R^{\mathrm{coarse}}$, a pontilhada decrescente é $S_{\mathrm{BH}}/k_B$ e a envoltória grossa é $S(R)$. O cruzamento dá a inversão nesta aproximação, sem fixar uma fração universal da duração total.

Um modelo simples do tempo de Page. Suponha um buraco isolado de Schwarzschild, com $\alpha >0$ constante e sem mudança das espécies emitidas:

$$\frac{dM}{dt}=-\frac{\alpha }{M^2},M(t{)}^3=M_0^3-3\alpha t,t_{\mathrm{evap}}=\frac{M_0^3}{3\alpha }.$$

Acrescente a idealização $S_R^{\mathrm{coarse}}=[S_{\mathrm{BH}}(0)-S_{\mathrm{BH}}(t)]/k_B$. Os ramos coincidem quando a entropia do buraco vale metade da inicial. Como ela é proporcional a $M^2$,

$$M_{\mathrm{Page}}=\frac{M_0}{\sqrt{2}},\frac{t_{\mathrm{Page}}}{t_{\mathrm{evap}}}=1-2^{-3/2}\approx \mathrm{0.646.}$$

$0.646$ resulta dessas hipóteses, não é uma previsão realista. Produção de entropia, fatores de corpo cinzento, rotação, matéria ao redor e limiares de partículas alteram o balanço. Metade da entropia não significa metade da massa nem metade da vida.

5. Soluções propostas

Uma solução deve especificar quais hipóteses mudam e como as correlações finais são explicadas. Obter uma curva de entropia, descrever o estado microscópico e fornecer um decodificador viável são conquistas distintas. As abordagens seguintes não são necessariamente incompatíveis em todos os níveis.

(a) Perda de informação (visão original de Hawking)

A perda fundamental substituiria a evolução unitária de sistemas fechados por uma lei mais geral. Tomar o traço de um ambiente que ainda existe não basta: isso é evolução comum de um sistema aberto. Uma teoria de perda deve fornecer dinâmica consistente e recuperar previsões quânticas verificadas quando a gravidade é fraca. O paradoxo motiva a revisão de hipóteses, mas não constitui evidência experimental de falha da mecânica quântica.

(b) Remanescentes

Um remanescente pequeno, estável ou duradouro poderia guardar informação; a radiação não seria o sistema final inteiro. Se uma massa limitada precisa armazenar os estados de progenitores arbitrariamente massivos, seus estados internos possíveis se tornam muito numerosos. Taxas de produção e contagem de estados criam dificuldades, estudadas por Giddings (1993). Elas dependem do acoplamento aos campos externos; não se pode simplesmente afirmar que todos os modelos de remanescentes foram refutados.

(c) A informação escapa com a radiação

Em uma descrição unitária, a informação permanece nas correlações entre quanta emitidos. A proposta AdS/CFT de Maldacena relaciona certas teorias gravitacionais com condições de contorno anti-de Sitter a teorias quânticas sem gravidade na borda. Assumindo a dualidade, a unitariedade da borda restringe fortemente a descrição gravitacional. É um argumento teórico importante, não uma medição de radiação nem uma construção direta para toda estrela que colapsa em espaço-tempo assintoticamente plano.

O experimento do diário. Guardamos a radiação antiga e lançamos uma pequena mensagem quântica em um buraco velho que mistura informação rapidamente. No modelo de Hayden–Preskill, radiação posterior suficiente permite recuperar a mensagem a partir das correlações. Supõem-se mistura unitária e controle quase completo da radiação. Apenas os fótons mais recentes não revelam o diário; existir uma operação de recuperação não garante viabilidade computacional nem coleta prática.

(d) Paredes de fogo

O argumento AMPS (2012) envolve um modo tardio $b$, seu parceiro interno $a$ e a radiação antiga $R$. Um horizonte suave exige forte emaranhamento entre $a$ e $b$. Após o máximo de Page, a purificação também exige correlações apropriadas entre $b$ e $R$. Tratá-los como subsistemas independentes entra em conflito com a monogamia do emaranhamento: $b$ não pode estar maximamente emaranhado com dois sistemas independentes.

A parede de fogo substitui o vácuo suave no horizonte por excitações energéticas. É uma resposta proposta à incompatibilidade, não uma parede observada nem a única conclusão possível. Outras abordagens reavaliam a independência dos subsistemas ou a codificação de operadores internos na radiação.

(e) Ilhas e superfícies quânticas extremais

A prescrição das ilhas permite incluir uma região interna $\mathcal{I}$ no cálculo da entropia fina da radiação, sem descartar correlações detalhadas:

$$S(R)=\underset{\mathcal{I}}{\min }\underset{\partial \mathcal{I}}{\mathrm{ext}}\left[\frac{\mathrm{Area}(\partial \mathcal{I})}{4G\hslash }+S_{\mathrm{bulk}}(R\cup \mathcal{I})\right].$$

Primeiro variam-se as fronteiras candidatas $\partial \mathcal{I}$ até tornar a expressão estacionária. Depois escolhe-se a menor entropia generalizada entre os extremos permitidos, incluindo a ilha vazia. A área representa um custo entrópico gravitacional; $S_{\mathrm{bulk}}$ é a entropia dos campos na união. Divergências ultravioletas exigem renormalização consistente. Procurar extremos e então escolher o mínimo não é minimizar livremente sobre regiões arbitrárias.

Em modelos controlados de evaporação, o ramo sem ilha domina cedo, e um ramo com ilha domina tarde. Penington (2019) e Almheiri e colaboradores (2019) obtiveram o comportamento de Page em cenários holográficos. Os cálculos de buracos de minhoca de réplicas fornecem uma derivação por integral de caminhos gravitacional em modelos específicos: novos pontos de sela conectam as cópias usadas para calcular a entropia. Não são túneis atravessáveis que levam mensagens para fora de buracos astrofísicos.

O resultado trata da contagem gravitacional de estados e da codificação do interior. Uma ilha não é matéria adicional expelida pelo horizonte. Reproduzir a curva de entropia não fornece, por si só, todas as amplitudes do estado emitido ou um decodificador eficiente.

6. Situação atual

Evidências e alcance, verificados em 13 de outubro de 2026. As ondas gravitacionais de fusões binárias e a análise da sombra de M87 sustentam a descrição astrofísica dos buracos negros na relatividade geral. Elas não medem a entropia fina da radiação Hawking. Os estudos originais citados apoiam teoricamente descrições unitárias em situações especificadas, sem relatar detecção direta de uma curva de Page astrofísica.

Continuam abertos a descrição microscópica completa de buracos rotantes realistas no nosso contexto cosmológico, o ponto preciso em que falha o raciocínio semiclássico sobre subsistemas, o estágio final da evaporação e a ligação com observáveis mensuráveis. É preciso explicar o estado quântico completo preservando os sucessos da física de baixas energias.

Três distinções evitam equívocos: inacessibilidade não é apagamento fundamental; um espectro aparentemente térmico não prova um estado global misto; uma curva de Page em um modelo gravitacional não demonstra experimentalmente a solução de todos os aspectos do paradoxo.