Teoria das cordas

1. Dos pontos às cordas

A relatividade geral descreve a gravidade por uma métrica dinâmica do espaço-tempo; a teoria quântica de campos descreve campos flutuantes e suas partículas. Quantizar pequenas flutuações da métrica funciona como teoria efetiva de baixas energias, mas ordens superiores exigem cada vez mais contratermos com derivadas superiores. A não renormalizabilidade não invalida todas as previsões de baixa energia: limita a extrapolação para distâncias arbitrariamente curtas. A teoria das cordas busca uma descrição microscópica mais completa.

Seu objeto perturbativo básico é uma corda unidimensional, cuja história varre uma folha de universo bidimensional. Uma partícula pontual traça uma linha de universo. Diferentes excitações quânticas possuem massas e spins distintos; um espectro adequado de cordas fechadas contém um estado sem massa de spin 2 com interações gravitacionais. Isso motiva a teoria, mas não demonstra que a natureza a escolheu.

A folha representa a história da corda, não duas dimensões adicionais do espaço-tempo.

Usamos $\hslash =c=1$, comprimento de corda ${\ell }_s=\sqrt{{\alpha }^{\prime }}$ e tensão $T=1/(2\pi {\alpha }^{\prime })$. Tensão é energia por comprimento, portanto ${\alpha }^{\prime }$ tem dimensão de comprimento ao quadrado. O acoplamento adimensional $g_s$ controla divisão, união e a expansão em topologias da folha, não a tensão. Uma corda fundamental também não é um fio elástico feito de átomos. As notas de Tong desenvolvem essas bases. 1

2. Dinâmica clássica das cordas

Ação de Nambu–Goto

No espaço-tempo plano de assinatura $(-,+,\dots ,+)$, $X^{\mu }(\tau ,\sigma )$ especifica a posição. A métrica induzida ${\gamma }_{ab}$ mede distâncias na folha:

$${\gamma }_{ab}={\partial }_a{X}^{\mu }{\partial }_b{X}^{\nu }{\eta }_{\mu \nu },S_{\mathrm{NG}}=-T\int d^2\sigma \sqrt{-\det {\gamma }_{ab}}.$$

O determinante converte uma região de coordenadas em área física; seu sinal reflete uma superfície temporal. A ação estacionária fornece um análogo relativístico de superfície mínima, não a minimização do comprimento espacial instantâneo da corda.

Ação de Polyakov

Uma métrica auxiliar $h_{ab}$ torna a ação quadrática nas derivadas. Variar essa métrica independente fornece o vínculo do tensor de energia e momento da folha:

$$S_{\mathrm{P}}=-\frac{T}{2}\int d^2\sigma \sqrt{-h}{h}^{ab}{\partial }_a{X}^{\mu }{\partial }_b{X}_{\mu },T_{ab}={\gamma }_{ab}-\frac{1}{2}{h}_{ab}{h}^{cd}{\gamma }_{cd}=0.$$

Numa superfície não degenerada, o vínculo torna $h_{ab}$ proporcional a ${\gamma }_{ab}$. Substituir recupera Nambu–Goto. A proporcionalidade permanece livre: na transformação local de Weyl $h_{ab}\mapsto e^{2\omega }{h}_{ab}$, o elemento de área e a métrica inversa se compensam em duas dimensões. Reparametrizações e simetria de Weyl removem descrições redundantes. A equivalência é clássica; medida quântica e anomalias exigem cuidados adicionais. 2

3. Quantização e expansão em modos

Escolhemos localmente o calibre conforme $h_{ab}={\eta }_{ab}$, preservando os vínculos. Num espaço-tempo alvo plano, resulta

$$({\partial }_{\tau }^2-{\partial }_{\sigma }^2)X^{\mu }=0.$$

É uma equação de onda na folha, não a afirmação de que o espaço-tempo tem duas dimensões. Os módulos globais da folha precisam de tratamento separado.

Perfis esquemáticos de modos, não fotografias de uma corda quântica.

Expansão em modos (corda fechada):

Para uma coordenada não compacta, adotamos $0\le \sigma <2\pi$ e condições periódicas:

$$X^{\mu }=x^{\mu }+{\alpha }^{\prime }{p}^{\mu }\tau +i\sqrt{\frac{{\alpha }^{\prime }}{2}}\sum _{n\ne 0}\frac{1}{n}\left({\alpha }_n^{\mu }{e}^{-in(\tau -\sigma )}+{\tilde{\alpha }}_n^{\mu }{e}^{-in(\tau +\sigma )}\right).$$

Os primeiros termos descrevem o centro de massa; as duas famílias de osciladores viajam em sentidos opostos. A periodicidade exige $n$ inteiro. Na convenção de período $\pi$, fatores dois mudam de lugar entre o modo zero e os expoentes, sem alterar a física. Coordenadas compactas também admitem enrolamento.

Vínculos de Virasoro

As componentes de Fourier de $T_{ab}=0$ satisfazem classicamente $L_n={\tilde{L}}_n=0$. A álgebra quântica ganha um termo central. Na quantização covariante bosônica, estados físicos satisfazem

$$L_n|\psi ⟩=0(n>0),(L_0-a)|\psi ⟩=0.$$

e condições correspondentes no setor com til. Não se pode anular todos os geradores quânticos como operadores. As anomalias conformes da matéria e dos fantasmas da fixação de calibre devem se cancelar: $D-26=0$ para a corda bosônica plana, $D=10$ para a supercorda crítica usual. Fundos curvos também exigem funções beta da folha nulas. A simetria clássica de Weyl não basta para garantir uma teoria quântica conforme consistente. 3 4

4. Espectro de massas

Para uma corda bosônica fechada não compactificada, as duas condições de modo zero dão

$$L_0=\frac{{\alpha }^{\prime }{p}^2}{4}+N,{\tilde{L}}_0=\frac{{\alpha }^{\prime }{p}^2}{4}+\tilde{N},p^2=-M^2,$$ $$N=\tilde{N},M^2=\frac{2}{{\alpha }^{\prime }}(N+\tilde{N}-2a),a=1.$$

$N$ mede energia de excitação: o modo $n$ recebe peso $n$, em vez de simplesmente contar cordas. Para $(N,\tilde{N})=(0,0)$, $M^2=-4/{\alpha }^{\prime }$ sinaliza instabilidade desse vácuo bosônico. Um táquion não é um mensageiro superluminal utilizável. O nível $(1,1)$ não tem massa; $(2,2)$ dá $M=2/{\ell }_s$. Esse cálculo ilustrativo não prevê massas de elétrons ou prótons. Setores de supercordas têm interceptos e projeções diferentes. 3

Estados especiais:

Os dois índices transversais de polarização em $(1,1)$ se decompõem em tensor simétrico sem traço (gráviton), tensor antissimétrico (campo $B$) e escalar (dilaton). Cordas abertas podem fornecer bósons vetoriais sem massa, mas bósons de calibre também surgem em cordas heteróticas fechadas; cordas abertas não são a única origem de interações de calibre.

A gravidade não é apenas uma classificação de spin. Na ordem dominante em ${\alpha }^{\prime }$, com dilaton constante e campo $B$ nulo, a consistência quântica da folha requer

$${\beta }_{\mu \nu }^G={\alpha }^{\prime }{R}_{\mu \nu }+O({\alpha }^{\prime 2})=0.$$

A equação dominante é a equação de Einstein no vácuo $R_{\mu \nu }=0$. Correções de curvatura superior importam quando o raio de curvatura se aproxima de ${\ell }_s$; outros campos acrescentam termos. Trata-se de uma relação controlada de baixa energia, não de prova de resolução de todas as singularidades. 5

5. As cinco teorias de supercordas

As cinco teorias conhecidas classificam teorias perturbativas de cordas supersimétricas em dez dimensões, não todos os fundos possíveis. Férmions na folha e projeções consistentes produzem espectros supersimétricos sem táquions; apenas acrescentar férmions não garante isso. Supersimetria é aqui propriedade da construção, não uma simetria observada na natureza.

(1) Tipo I

Cordas abertas e fechadas não orientadas, com 16 supercargas no espaço-tempo. O cancelamento de anomalias seleciona a álgebra de calibre usualmente chamada $SO(32)$. O setor aberto contém os graus de liberdade de calibre; o fechado contém a gravidade.

(2) Tipo IIA

Cordas fechadas orientadas, com 32 supercargas de quiralidades opostas no espaço-tempo. A descrição sem massa usual contém métrica, dilaton, campo $B$ e potenciais de Ramond–Ramond $C_1,C_3$, com intensidades de campo de grau par.

(3) Tipo IIB

Cordas fechadas orientadas, com 32 supercargas da mesma quiralidade. Os potenciais de Ramond–Ramond $C_0,C_2,C_4$ têm intensidades de campo de grau ímpar; a intensidade de cinco-forma é autodual. Grau do potencial e grau da intensidade de campo são distintos.

(4) Heterótica $SO(32)$

Um setor bosônico que se propaga para a esquerda e um supersimétrico para a direita compartilham dez coordenadas do espaço-tempo alvo. A carga central adicional à esquerda vem de graus de liberdade internos, não de dezesseis dimensões espaciais macroscópicas adicionais. O nome convencional $SO(32)$ corresponde mais precisamente à forma global $\mathrm{Spin}(32)/{\mathbb{Z}}_2$.

(5) Heterótica $E_8\times E_8$

A outra rede de calibre consistente fornece $E_8\times E_8$, também com 16 supercargas. Compactificações podem produzir teorias de calibre quirais, mas esse nome não fixa unicamente partículas e acoplamentos observados. Há ainda objetos extensos além das cordas perturbativas: D-branas são objetos dinâmicos onde cordas abertas podem terminar e que carregam carga de Ramond–Ramond nas teorias tipo II. 6 13

6. Teoria M e dualidades

Uma dualidade identifica observáveis de descrições diferentes, frequentemente tornando calculável um problema difícil. Dualidade T troca momento compacto e enrolamento; dualidade S conecta determinados regimes de acoplamento fraco e forte. Nem todo modelo possui a simetria simples $g_s\mapsto 1/g_s$.

O tipo IIA fortemente acoplado admite uma interpretação em onze dimensões com $R_{11}=g_s{\ell }_s$. O círculo cresce com o acoplamento; a supergravidade em onze dimensões é o limite de baixa energia. Essas relações motivam a teoria M, mas não fornecem uma formulação universal para fundos arbitrários nem uma descoberta experimental da décima primeira dimensão. 6

Compactificação: um círculo que podemos calcular

Identifique $Y\sim Y+2\pi R$. Uma função de onda unívoca exige $e^{ip(Y+2\pi R)}=e^{ipY}$, logo $p=n/R$ com $n$ inteiro. Uma corda fechada também pode dar $w$ voltas. Tensão vezes comprimento fornece a energia de enrolamento $T(2\pi R|w|)=|w|R/{\alpha }^{\prime }$.

$$p_L=\frac{n}{R}+\frac{wR}{{\alpha }^{\prime }},p_R=\frac{n}{R}-\frac{wR}{{\alpha }^{\prime }},$$ $$M^2={\left(\frac{n}{R}\right)}^2+{\left(\frac{wR}{{\alpha }^{\prime }}\right)}^2+\frac{2}{{\alpha }^{\prime }}(N+\tilde{N}-2),N-\tilde{N}-nw=0.$$ $$M^2=p_R^2+\frac{4}{{\alpha }^{\prime }}(N-1)=p_L^2+\frac{4}{{\alpha }^{\prime }}(\tilde{N}-1).$$

Aqui $Y(\sigma +2\pi )=Y(\sigma )+2\pi wR$; $N$ conta as excitações ${\alpha }_n$ anteriores e $\tilde{N}$ conta ${\tilde{\alpha }}_n$. A última igualdade fixa o sinal da condição de níveis. Trocar $R\leftrightarrow {\alpha }^{\prime }/R$ e $n\leftrightarrow w$ preserva o espectro. Para $R=2{\ell }_s$, a contribuição de momento unitário é $1/(2{\ell }_s)$ e a de uma volta é $2/{\ell }_s$; no raio dual ${\ell }_s/2$, elas se invertem. São contribuições à fórmula, não necessariamente a massa total do estado. 7

Azul: contribuição de momento $1/R$. Laranja: enrolamento $R/{\alpha }^{\prime }$. É um esquema de cálculo, não uma observação de dimensões extras.

Em modelos quadridimensionais, seis dimensões espaciais compactas têm geometria, fluxos e possivelmente branas. Seus tamanhos e formas tornam-se campos escalares chamados módulos. Estabilizá-los importa: variações livres poderiam alterar acoplamentos ou mediar forças de longo alcance não observadas. “Pequeno demais para ver” não constitui um modelo completo.

7. Correspondência AdS/CFT

O exemplo mais estudado de Maldacena relaciona cordas tipo IIB em ${\mathrm{AdS}}_5\times S^5$ à teoria de super-Yang–Mills $\mathcal{N}=4$ em quatro dimensões. AdS tem constante cosmológica negativa. A teoria de fronteira não contém gravidade dinâmica, mas se propõe que codifique o interior gravitacional. 8

$$Z_{\mathrm{string}}[\varphi {|}_{\partial }={\varphi }_0]={⟨\exp \left(\int d^{d}x{\varphi }_0\mathcal{O}\right)⟩}_{\mathrm{CFT}}.$$

O valor de fronteira ${\varphi }_0$ é fonte do operador $\mathcal{O}$; derivadas na fonte fornecem funções de correlação. Pela correspondência, a teoria de fronteira define não perturbativamente esse interior específico. Isso não é uma prova geral de todas as dualidades holográficas propostas. 9

Quando a geometria se torna uma aproximação útil

Sejam $N_c$ o número de cores da teoria de calibre $SU(N_c)$ e $L$ o raio de AdS. Numa normalização usual,

$$\lambda =g_{\mathrm{YM}}^2{N}_c,\frac{L^4}{{\alpha }^{\prime 2}}=\lambda ,g_s=\frac{\lambda }{4\pi N_c}.$$

Acoplamento de 't Hooft $\lambda$ grande suprime correções de comprimento de corda; $N_c$ suficientemente grande com $\lambda$ fixo suprime laços de cordas. A supergravidade clássica requer ambos. Física de calibre fortemente acoplada pode corresponder à gravidade de curvatura fraca; acoplamento de calibre fraco geralmente não oferece a mesma geometria simples.

O disco é uma seção espacial esquemática. Fonte na fronteira e campo interior descrevem observáveis correspondentes. $\lambda \gg 1$ e $g_s\ll 1$ controlam correções distintas, não evidência experimental.

8. Desafios e questões em aberto

Três perguntas diferem: a construção é consistente? Uma dualidade relaciona duas construções? Alguma descreve nosso universo? Acertar as duas primeiras não resolve a terceira. Nossa cosmologia não é o vácuo AdS exato acima, e a teoria de calibre não é o Modelo Padrão.

A paisagem reúne muitos candidatos a compactificações e vácuos. Números como $10^{500}$ são estimativas dependentes do modelo, não uma contagem estabelecida de todos os universos físicos. Contar fluxos não resolve estabilidade, seleção cosmológica ou probabilidades. Denef e Douglas explicitam um problema concreto de contagem e suas hipóteses. 10

O que as evidências mostram e o que não mostram

Strominger e Vafa contaram estados protegidos de uma classe especial de buracos negros extremais supersimétricos em cinco dimensões, reproduzindo a entropia de Bekenstein–Hawking dominante. Isso liga estados quânticos à área do horizonte, mas não conta diretamente estados de um buraco negro astrofísico observado nem explica completamente a evaporação genérica. 11

Cheung e colaboradores, em trabalho publicado em 2026, derivam amplitudes específicas de espalhamento de cordas assumindo dinâmica em nível de árvore, comportamento ultrasuave em altas energias e um conjunto mínimo de zeros dos resíduos. O resultado vale para essa classe de amplitudes; não deriva nosso universo sem hipóteses nem confirma experimentalmente a teoria. 12

Testes exigem modelos especificados: partículas extras, escalas de compactificação, cordas cósmicas e sinais cosmológicos requerem escolhas adicionais. Defeitos macroscópicos chamados cordas cósmicas não são automaticamente cordas fundamentais. Descobrir supersimetria ou uma dimensão extra não selecionaria unicamente essa estrutura; excluir uma região acessível de parâmetros não exclui todas as compactificações. A escala de cordas também não é universalmente fixada na escala de Planck quadridimensional.

Situação atual

Verificado até 13 de outubro de 2026: a teoria das cordas é candidata à gravidade quântica, com cálculos poderosos e evidências de dualidade, mas sem confirmação experimental direta estabelecida de cordas fundamentais na natureza. Seus resultados matemáticos devem ser lidos com as hipóteses; suas afirmações cosmológicas, avaliadas por previsões observáveis. A tarefa aberta é ligar um vácuo controlado e uma história cosmológica a uma física característica e testável.