1. 牛頓之前的世界：從亞里斯多德到伽利略

在牛頓之前，人們主要用形而上學而非數學來解釋運動。亞里斯多德的物理學在歐洲佔據主導地位近兩千年：

• 亞里斯多德的世界觀：物體各有其「自然位置」。石頭下落，是因為它趨向大地；火焰上升，是因為它趨向天空。運動需要持續的推動者，一旦停止推動，運動就會停止。

這種模型符合日常直覺，卻經不起深入檢驗。

亞里斯多德理論的困境

• 箭離開弓弦後，為什麼還會繼續飛行？
• 行星為什麼不會落到地球上？

中世紀學者用「衝力說」回答這些問題：施加給物體的推動作用會持續一段時間，然後逐漸消散。這向慣性的概念邁進了一步，但仍把運動與形而上學的「性質」聯繫在一起。

伽利略登場（1564—1642）

伽利略·伽利萊透過實驗打破了亞里斯多德理論的權威：

1. 斜面實驗 伽利略讓小球沿斜面滾下，以減緩重力引起的運動，便於測量。 他發現了勻加速運動；對於從靜止開始的自由落體，位移為：

   $$s=\frac{1}{2}g{t}^2$$

   其中，$s$ 是位移，$t$ 是時間，$g$ 是重力加速度。

   → 在同一地點，自由落體由共同的重力加速度 $g$ 支配，與下落物體的質量無關。

   練習 1.1：在真空中同時釋放一把錘子和一根羽毛，哪一個先落地？

   答案：它們同時落地，因為加速度 $g$ 與質量無關。

2. 慣性定律的雛形 伽利略指出，在無摩擦平面上滾動的小球不會自行停止。 如果沒有力作用，它的速度就保持不變。

   $$\frac{d\mathbf{v}}{dt}=0\text{條件：}\mathbf{F}=0$$

   這就是牛頓第一定律的雛形。

   練習 1.2：冰球在光滑的冰面上滑行，速度只是逐漸減小。是什麼力使它減速？ 答案：冰面的摩擦力和空氣阻力。在理想的無摩擦、無空氣阻力條件下，它不會自行停止。

克卜勒與天體之謎

約翰內斯·克卜勒（1571—1630）補上了另一塊拼圖。他利用第谷·布拉赫（1546—1601）的觀測資料，總結出行星運動的三條定律：

1. 行星沿橢圓軌道運動，太陽位於橢圓的一個焦點上。
2. 行星與太陽的連線在相等時間內掃過相等面積。
3. 軌道週期的平方與半長軸的立方成正比（$T^2\propto a^3$）。

但克卜勒沒有給出背後的原因。為什麼是橢圓？為什麼有 $T^2\propto a^3$？他優美地描述了天體運動，卻缺少解釋它的機制。

笛卡爾與機械宇宙的夢想

勒內·笛卡爾（1596—1650）設想了一個像鐘錶般運轉的宇宙，其中充滿精微物質的渦旋，推動行星前行。這一設想富有詩意，卻難以檢驗。儘管如此，用機械原理解釋宇宙的夢想仍延續了下來。

一個等待牛頓的世界

因此，到17世紀中葉：

• 伽利略給出了地面上的運動規律。
• 克卜勒給出了行星運動規律。
• 笛卡爾提出了機械論的哲學圖景。

但還沒有人將它們統一起來。 正是在這一空缺之中，艾薩克·牛頓於1642年誕生；按當時英國使用的歷法，這也是伽利略去世的那一年。

2. 定律的誕生

牛頓並非憑空創造了物理學，而是將已有成果編織成一個體系。他吸收了伽利略的慣性思想、克卜勒的天體規律和笛卡爾的機械論。1687年，他出版了《自然哲學的數學原理》，通常簡稱《原理》。

書中系統闡述了三條運動定律和萬有重力定律。

地面運動與天體運動第一次由同一套原理支配。蘋果與月亮遵循同樣的規律。

今天的物理學仍以這一統一為重要基礎。

3. 第一定律：慣性與不受力的運動

牛頓第一運動定律深化了伽利略的慣性思想：

「任何物體都保持靜止或勻速直線運動的狀態，除非作用在它上面的力迫使它改變這種狀態。」

數學表述

如果物體所受合力為零：

$$\frac{d\mathbf{v}}{dt}=0\Rightarrow \mathbf{v}=\text{常數}$$

用位置來表示，等價地有：

$$\mathbf{r}(t)={\mathbf{r}}_0+{\mathbf{v}}_{0}t$$

因此，慣性參考系是牛頓定律成立的參考系；在其中，不受合力作用的物體會保持速度不變。

透過伽利略斜面實驗證明

設想一個小球沿一側斜面滾下，經過水平面，再滾上另一側斜面：

• 有摩擦時，它上升的高度較低。
• 摩擦減小時，它能上升得更高。
• 在零摩擦的極限下，它會回到原來的高度；若另一側完全水平，它就會一直運動下去。

這一實驗表明，勻速運動並不需要持續的推動。

例題 3.1：冰面上的滑行

題目：一個冰球以速度 $v_0$ 在無摩擦冰面上滑行。10秒內它能前進多遠？ 解答：因為 $a=0$，速度保持不變： $x=v_{0}t$ 若 $v_0=5\text{m/s}$，經過 $t=10\text{s}$ 後，它前進了 $50\text{m}$。

4. 第二定律：力與天才

牛頓第二定律給出了運動變化的原因：

「運動的變化與所施加的動力成正比，並且沿著該力作用的直線方向發生。」

數學表達式為：

$$\mathbf{F}=m\mathbf{a}=m\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}$$ $$\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}$$

僅憑這一關係，宇宙中的運動便可以定量計算。

從拉格朗日量推導

取拉格朗日量 $L=T-V=\frac{1}{2}m{\dot{\mathbf{r}}}^2-V(\mathbf{r})$。

拉格朗日量定義為動能 $T$ 與位能 $V$ 之差。

歐拉–拉格朗日方程為：

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}}=0$$

由此得到：

$$m\ddot{\mathbf{r}}+\nabla V=0\Rightarrow m\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}$$

因此，牛頓的 $F=ma$ 自然地從變分原理中出現。

時間平移對稱性 → 能量守恆

如果 $L$ 不顯含時間，則定義能量 $E$ 為：

$$E=\dot{\mathbf{r}}\cdot \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}-L$$

該量保持守恆。

對於一個粒子：

$$E=\frac{1}{2}m{v}^2+V(\mathbf{r})=\text{常數}$$

因此，時間平移對稱性對應能量守恆。

證明

根據定義：

$$E={\dot{q}}_i\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}-L,$$

對時間求導，得到：

$$\frac{dE}{dt}={\ddot{q}}_i\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}+{\dot{q}}_i\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)-\frac{dL}{dt}.$$

利用歐拉–拉格朗日方程：

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)=\frac{\partial L}{\partial q_i},$$

可得：

$$\frac{dE}{dt}=-\frac{\partial L}{\partial t}.$$

因此，如果 $L$ 不顯含時間：

$$\frac{\partial L}{\partial t}=0\Rightarrow \frac{dE}{dt}=0,$$

所以 $E$ 守恆。

這是諾特定理的一個直接例子： 時間平移對稱性對應能量守恆。

例題 4.1：斜面上的物塊

題目：質量為 $m$ 的物塊沿傾角為 $\theta$ 的無摩擦斜面下滑。求其加速度 $a$。

解答： 沿斜面的力：$F=mg\sin \theta$。 由牛頓第二定律：$F=ma$。 所以 $a=g\sin \theta$。

若 $\theta =30^{\circ }$，則 $a=4.9{\text{m/s}}^2$。

例題 4.2：單擺的小角度近似

考慮一個單擺：質量為 $m$ 的質點連接在長度為 $\ell$ 的無質量剛性杆或細線上。支點沒有摩擦，擺與鉛直方向的夾角記為 $\theta (t)$。

擺球沿半徑為 $\ell$ 的圓弧運動。其切向加速度為：

$$a_{\text{tan}}=\ell \ddot{\theta },$$

徑向，即向心加速度為：

$$a_{\text{rad}}=\ell {\dot{\theta }}^2.$$

擺球受到兩個力：

• 沿杆方向的張力 $T$。
• 鉛直向下的重力 $mg$。

重力的切向分量為：

$$F_{\text{tan}}=-mg\sin \theta ,$$

負號表示，重力使擺向 $\theta =0$ 的平衡位置恢復。

在切向應用牛頓第二定律：

$$m{a}_{\text{tan}}=\sum F_{\text{tan}},$$

得到：

$$m(\ell \ddot{\theta })=-mg\sin \theta .$$

化簡可得：

$$\ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\sin \theta =0.$$

這就是單擺的精確非線性運動方程。

對於小角位移 $|\theta |\ll 1$，角度以弧度計，可以使用：

$$\sin \theta \approx \theta .$$

於是方程變為：

$$\boxed{\ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\theta =0}.$$

這就是熟悉的簡諧振子方程，其角頻率和週期為：

$${\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{\ell }},T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}.$$

• 力矩法： 關於支點，重力產生的力矩為：

  $$\tau =-mg\ell \sin \theta ,$$

  轉動慣量為 $I=m{\ell }^2$，因此：

  $$I\ddot{\theta }=\tau \Rightarrow \ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\sin \theta =0.$$

• 拉格朗日法：

  $$T=\frac{1}{2}m{\ell }^2{\dot{\theta }}^2,V=mg\ell (1-\cos \theta ),$$ $$L=T-V.$$

  應用歐拉–拉格朗日方程，可以得到相同結果。

由於：

$$\sin \theta =\theta -\frac{{\theta }^3}{6}+\cdots ,$$

相對誤差約為 $\sim {\theta }^2/6$：

• 當 $\theta =10^{\circ }\approx 0.17$ 弧度時，誤差為 $\approx 0.5\%$。
• 當 $\theta =20^{\circ }\approx 0.35$ 弧度時，誤差為 $\approx 2\%$。

因此，對於振幅不大的擺動，小角度方程具有良好的精度。

運動方程：

$$\ddot{\theta }+\frac{g}{l}\theta =0$$

解為：

$$\theta (t)={\theta }_0\cos \left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)$$

週期為：

$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

5. 第三定律：對稱與抗衡

牛頓第三定律引入了交互作用的概念：

「每一個作用總有一個大小相等、方向相反的反作用。」

數學上表示為：

$${\mathbf{F}}_{12}=-{\mathbf{F}}_{21}$$

推導 → 動量守恆

對於一個雙粒子系統：

$$m_1{\ddot{\mathbf{r}}}_1={\mathbf{F}}_{12},m_2{\ddot{\mathbf{r}}}_2={\mathbf{F}}_{21}$$

將兩式相加：

$$m_1{\ddot{\mathbf{r}}}_1+m_2{\ddot{\mathbf{r}}}_2={\mathbf{F}}_{12}+{\mathbf{F}}_{21}=0$$

於是：

$$\frac{d}{dt}(m_1{\dot{\mathbf{r}}}_1+m_2{\dot{\mathbf{r}}}_2)=0$$

因此，總動量 $\mathbf{P}$ = $(m_1{\mathbf{v}}_1+m_2{\mathbf{v}}_2)$ 保持守恆。 這正是碰撞與反衝現象的數學核心。

空間平移對稱性 → 動量守恆

如果拉格朗日量在變換 $\mathbf{r}\to \mathbf{r}+ϵ$ 下不變，那麼：

$$\mathbf{P}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}=m\mathbf{v}$$

就是守恆量。

例題 5.1：彈性碰撞

題目：兩個質量分別為 $m_1,m_2$ 的物體發生一維彈性碰撞，初速度為 $v_1,v_2$。求碰撞後的速度 $v_1^{\prime },v_2^{\prime }$。

解答： 動量守恆：

$$m_1{v}_1+m_2{v}_2=m_1{v}_1^{\prime }+m_2{v}_2^{\prime }$$

能量守恆：

$$\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2=\frac{1}{2}{m}_1(v_1^{\prime }{)}^2+\frac{1}{2}{m}_2(v_2^{\prime }{)}^2$$

聯立求解，得到：

$$v_1^{\prime }=\frac{(m_1-m_2)v_1+2m_2{v}_2}{m_1+m_2},v_2^{\prime }=\frac{(m_2-m_1)v_2+2m_1{v}_1}{m_1+m_2}$$

例題 5.2：齊奧爾科夫斯基火箭方程

考慮一枚瞬時質量為 $M(t)$ 的火箭，以速度 $v(t)$ 在不受外力的空間中運動。 在很短的時間 $dt$ 內，火箭向後噴出質量為 $|dM|$ 的物質，其相對火箭的排氣速度為 $u$。

1 動量守恆

火箭的動量變化寫為：

$$d{P}_{\text{rocket}}=Mdv+vdM.$$

噴出燃料在慣性參考系中的速度為 $(v-u)$，其動量為：

$$d{P}_{\text{exhaust}}=-(dM)(v-u).$$

這裡 $dM<0$，因為火箭正在失去質量。 總動量守恆給出下式。由於火箭的質量變化為負，噴出物質的質量為其相反數。

$$Mdv+vdM-(dM)(v-u)=0,$$

化簡可得：

$$Mdv=-udM.$$

2 微分形式

除以 $dt$：

$$M\frac{dv}{dt}=-u\frac{dM}{dt}.$$

3 積分

改寫為：

$$dv=-u\frac{dM}{M}.$$

從 $(M_0,v_0)$ 積分到 $(M,v)$：

$${\int }_{v_0}^{v}d{v}^{\prime }=-u{\int }_{M_0}^M\frac{d{M}^{\prime }}{M^{\prime }},$$

得到：

$$v-v_0=u\ln \left(\frac{M_0}{M}\right).$$

因此，一般的火箭方程為：

$$\boxed{v(t)=v_0+u\ln \left(\frac{M_0}{M(t)}\right)}.$$

4 理解公式時的注意事項

• 簡化形式

  $$v=u\ln \left(\frac{M_0}{M}\right)$$

  假設 $v_0=0$，也就是火箭從靜止開始運動。

• $u$ 是相對於火箭的排氣速度。有些教材將向後的方向計為負，並以帶負號的 $u$ 表示，這會改變公式中相應的符號。

• 這一推導假設不存在重力、阻力等外力。加入這些作用後，方程需要作相應修改。

5 物理意義

方程表明，火箭速度隨初始質量與最終質量之比呈對數增長：

$$\frac{M_0}{M}=\text{「質量比」}.$$

更高的排氣速度 $u$ 或更大的質量比，都能帶來更高的最終速度。

火箭方程源自動量守恆。 對於質量為 $M$、以速度 $u$ 噴出質量為 $dm$ 的氣體的火箭：

$$M\frac{dv}{dt}=-u\frac{dM}{dt}$$

積分得到：

$$v=u\ln \left(\frac{M_0}{M}\right)$$

這就是齊奧爾科夫斯基火箭方程。

6. 為什麼這些定律仍然重要

牛頓三定律是力學課程、工程計算和太空軌道設計的基礎。 它們也蘊含著深刻的對稱性：

• 空間平移對稱性 → 動量守恆。
• 旋轉對稱性 → 角動量守恆。
• 時間平移對稱性 → 能量守恆。

接下來，我們將看到這些關係如何從牛頓力學的框架中顯現出來。

7. 來自天空的問題

17世紀70年代，牛頓思考著：是什麼讓月亮保持在軌道上？ 克卜勒給出了經驗規律，卻沒有解釋原因。牛頓意識到，使蘋果下落的力也支配著月亮的運動。

如果距離為 $r\approx 60R_{\oplus }$ 的月亮以加速度 $a=g/60^2$ 向地球下落，那麼它與地表附近的物體受到的就是同一種遵循平方反比定律的作用。

例題 7.1：月亮的加速度

題目：地表重力加速度為 $g=9.8{\text{m/s}}^2$，地球半徑為 $R_{\oplus }=6.4\times 10^6\text{m}$。月亮在 $r=60R_{\oplus }$ 處的向心加速度是多少？

解答：

$$a=\frac{g}{60^2}\approx \frac{9.8}{3600}\approx 0.0027{\text{m/s}}^2$$

這與觀測到的月亮向心加速度一致。牛頓看到了其中的聯繫：蘋果與月亮遵循同樣的定律。

8. 萬有重力定律

牛頓提出：

$$\mathbf{F}=-\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}\hat{r}$$

任何兩個有質量的物體都會相互吸引。這是一種有心力，方向始終沿著兩物體的連線。

球殼定理的證明

牛頓證明了：

• 均勻球殼對外部粒子的重力，等效於將全部質量集中在球心時產生的重力。
• 在球殼內部，合重力為零。

證明需要微積分和幾何，但結論十分重要：研究軌道運動時，球對稱的行星可以視為質點。

例題 8.1：珠穆朗瑪峰頂的重量

題目：地球半徑為 $R=6.4\times 10^6\text{m}$，珠穆朗瑪峰高度為 $h=8.8\times 10^3\text{m}$。峰頂的重力加速度會減小多少？

解答：

$$g^{\prime }=g{\left(\frac{R}{R+h}\right)}^2$$ $$\frac{g^{\prime }}{g}\approx {\left(\frac{6.4\times 10^6}{6.4\times 10^6+8.8\times 10^3}\right)}^2\approx 0.997256$$

在這一球形地球近似下，山頂的重力約減小 $0.274\%$。

9. 有心力與軌道運動

對於有心力運動，角動量為：

$$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}$$

力矩與角動量變化的關係為：

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{r}\times \mathbf{F}$$

若 $\mathbf{F}\parallel \mathbf{r}$，則 $\mathbf{r}\times \mathbf{F}=0$，所以：

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=0\Rightarrow \mathbf{L}=\text{const.}$$

因此，旋轉對稱性對應角動量守恆。

例題 9.1：地球–太陽系統

題目：如果地球到太陽的距離變為原來的兩倍，為保持角動量守恆，其切向速度應如何變化？

解答： 角動量 $L=mvr$ 保持不變，其中 $v$ 表示速度的切向分量。若 $r\to 2r$，則 $v\to v/2$。

10. 重新審視克卜勒問題

在平方反比力的作用下，軌道方程為：

$$r(\theta )=\frac{p}{1+e\cos \theta }$$

其中 $e$ 是偏心率。

• $0\le e<1$：橢圓。
• $e=1$：拋物線。
• $e>1$：雙曲線。

克卜勒第二定律的證明

根據角動量守恆：

$$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }=\frac{L}{2m}=\text{常數}$$

因此，在相等時間內掃過的面積相等。

例題 10.1：衛星的週期

題目：一顆衛星在距地表高度為 $h=R_{\oplus }$ 的圓軌道上繞地球運行。求其週期。

解答： 軌道半徑為 $a=2R_{\oplus }=1.28\times 10^7\text{m}$。

根據克卜勒第三定律：

$$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3$$

取 $GM=3.986\times 10^{14}$，得到：

$$T\approx 1.44\times 10^4\text{s}\approx 4.00\text{小時}$$

11. 從牛頓力學理解克卜勒三定律

牛頓推導出了克卜勒的經驗規律：

1. 橢圓軌道：由平方反比定律得到。
2. 等時掃過等面積：由角動量守恆得到。
3. 週期定律：

$$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3$$

例題 11.1：彗星的軌道

題目：一顆沿拋物線軌道（$e=1$）運動的彗星接近太陽。它在近日點距離 $r_p$ 處的速度是多少？

解答： 對於拋物線軌道，單位質量的機械能為 $E=0$：

$$\frac{1}{2}{v}^2-\frac{GM}{r_p}=0\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2GM}{r_p}}$$

因此，拋物線軌道上的彗星在近日點處的速度，等於該處的逃逸速度。

12. 與哈雷的相遇

1684年，埃德蒙·哈雷來到劍橋。當時天文學家困惑於這樣一個問題：如果重力遵循平方反比定律，行星軌道會是什麼形狀？ 哈雷向牛頓提出這個問題。牛頓回答：「它會是一個橢圓。」

這一看似隨意的回答，最終發展成由哈雷資助出版的《原理》。如果沒有他的推動，地面力學與天體力學的統一也許還會長久停留在未發表的手稿中。

例題 12.1：哈雷彗星的週期

題目：哈雷彗星的半長軸為 $a=17.8\text{AU}$。求其軌道週期。

解答： 以天文單位和年為單位，克卜勒第三定律為：$T^2=a^3$。 所以 $T=\sqrt{(17.8{)}^3}\approx 75.1\text{年}$。 這一結果與約76年的觀測週期相近；行星攝動會使每次迴歸之間的間隔發生變化。

13. 鐘錶般的宇宙

牛頓力學揭示了一個如機器般運行的宇宙：潮汐、日月食和彗星都可以預測。啟蒙時代接受了這種決定論的世界觀。

在這背後，是深刻的守恆定律——宇宙的運行規則。

例題 13.1：潮汐

題目：為什麼許多海岸在一個太陰日內會出現兩次高潮？ 答案：在簡化的平衡潮汐模型中，月球重力在地球不同位置的差異使近月側和遠月側形成兩個潮汐隆起。地球相對於這一分佈轉過一週需要約24小時50分，即一個太陰日。海盆、海岸形狀等因素會改變響應，因此實際海岸可呈現半日潮、全日潮或混合潮。

14. 萬有重力的影響

牛頓的重力理論推動了航海、曆法，以及後來的太空船設計。 即使在愛因斯坦的相對論中，弱重力、低速條件下也會還原出牛頓理論。

例題 14.1：逃逸速度

題目：求從地球表面逃逸所需的最小速度。

解答： 由能量守恆：

$$\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{R}=0$$ $$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}\approx 11.2\text{km/s}$$

15. 剛體力學

牛頓力學可以從質點推廣到具有空間大小的物體。

15.1 繞固定軸轉動

轉動慣量：

$$I=\sum _i{m}_i{r}_i^2$$

動能：

$$T=\frac{1}{2}I{\omega }^2$$

角動量：

$$L=I\omega$$

例題 15.1：均勻細杆

題目：一根長度為 $L$ 的均勻細杆繞透過中心且垂直於杆的軸轉動。求 $I$。

解答：

$$I={\int }_{-L/2}^{L/2}{x}^2\frac{M}{L}dx=\frac{M{L}^2}{12}$$

15.2 歐拉方程

對於一般的剛體轉動，採用隨體座標系中的分量，其中 $I$ 為慣性張量，時間導數也在該座標系中計算：

$$\frac{d}{dt}(I\omega )+\omega \times (I\omega )=\tau$$

這些方程描述陀螺、迴轉儀和太空船的轉動。

例題 15.2：花樣滑冰運動員的旋轉

題目：滑冰運動員收攏雙臂，使 $I$ 減為一半。$\omega$ 會怎樣變化？

解答： 角動量守恆：$I\omega =\text{const.}$。 若 $I\to I/2$，則 $\omega \to 2\omega$。 她的轉速變為原來的兩倍。

16. 非慣性參考系

牛頓定律在慣性參考系中成立。但在地球這樣的旋轉參考系中，我們必須引入慣性力。

16.1 科氏力與離心力

在角速度為 $\vec{\Omega }$ 的勻速旋轉參考系中，若其原點沒有平移加速度：

$${\mathbf{a}}^{\prime }=\mathbf{a}-2\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }-\mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r})$$

• $-2\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }$ 是科氏項，表示單位質量所受的科氏力。
• $-\mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r})$ 是離心項，表示單位質量所受的離心力。

例題 16.1：下落物體的偏轉

題目：一個物體在緯度 $\varphi$ 處從高度 $h$ 落下。科氏力會使它向東偏轉多遠？

近似解答： 下落時間為 $t=\sqrt{2h/g}$。 取 $v_z$ 的正方向為鉛直向下，向東加速度為 $\approx 2\Omega \cos \varphi \cdot v_z$。 位移為：

$$x\approx \frac{1}{3}\Omega \cos \varphi g{t}^3$$

當 $h=100\text{m},\varphi =45^{\circ }$ 時，$x\approx 2\text{cm}$。

例題 16.2：氣旋

題目：為什麼北半球的氣旋逆時針旋轉？

答案：科氏力使運動空氣向其前進方向的右側偏轉。在低壓系統中，向中心匯聚的空氣在北半球形成逆時針環流，在南半球則形成順時針環流。

17. 作為普通人的牛頓

作為科學家，牛頓才華卓越；作為一個人，他又十分複雜。他花費數十年研究的不只是物理學，還有鍊金術、神學，並捲入各種政治與學術紛爭。 擔任皇家鑄幣廠負責人時，他改革了英國貨幣制度，並以細緻的調查追查偽幣製造者。擔任皇家學會會長時，他推動英國科學的發展，有時也強勢壓制競爭者。

然而，他的力學超越了個人的侷限，成為具有持久影響和廣泛適用性的理論框架。

例題 17.1：鑄幣廠的金幣

題目：如果一枚偽幣比真幣輕1%，牛頓如何用天平檢測出來？

解答：靜態轉動平衡要求合力矩為零，因此天平兩側的重力力矩相等。 與標準砝碼或標準金幣比較，1%的質量差會造成可測量的不平衡。牛頓對精度的執著，使偽幣製造者難以長久逃過追查。

18. 傳承與轉變

到1727年牛頓去世時，他的力學已成為啟蒙時代的重要思想基礎。 在此後的約兩百年裡，工程師和天文學家的工作主要建立在牛頓力學之上。

但它的侷限也逐漸顯現：

• 水星的近日點進動無法完全由牛頓理論解釋。
• 牛頓曾用微粒解釋的光，表現出波動現象。
• 原子和電子需要量子規律來描述。

例題 18.1：水星的軌道

題目：水星近日點每世紀的進動，比牛頓重力理論預言的多出 $43^{\prime \prime }$。為什麼？

答案：廣義相對論解釋了這一修正。時空彎曲使高精度計算的結果偏離牛頓理論。

例題 18.2：牛頓力學何時失效

• 接近光速時 → 狹義相對論用 $F=dp/dt$ 取代簡單的 $F=ma$，其中 $p=\gamma mv$。
• 原子尺度上 → 量子力學用波函數代替確定的古典軌跡。

不過，牛頓力學仍然是重要的第一近似：

• 當 $v\ll c$ 且研究宏觀系統時，牛頓理論通常仍足夠精確，能夠用於設計飛往火星的軌道。

19. 為什麼我們仍然學習牛頓力學

儘管已有相對論和量子物理，課程仍通常從牛頓力學開始，因為：

• 它在日常宏觀條件下十分準確。
• 它提供了物理學的基本語言：把文字轉化為方程，再轉化為預測。
• 它揭示了對稱性與守恆定律之間的聯繫。

對稱性與守恆定律回顧

• 空間平移不變性 → 動量守恆。 $\mathbf{P}=\sum m_i{\mathbf{v}}_i=\text{const.}$

• 旋轉不變性 → 角動量守恆。 $\mathbf{L}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}=\text{const.}$

• 時間平移不變性 → 能量守恆。 $E=T+V=\text{const.}$

這些思想是諾特定理的種子，並在20世紀發展成完整的理論。

例題 19.1：高空彈跳者

題目：一名70公斤的高空彈跳者跳下，繩索可視為勁度係數 $k=50\text{N/m}$、原長 $L=30\text{m}$ 的彈簧。求繩索的最大伸長量。

解答： 由能量守恆：

$$mg(L+x)=\frac{1}{2}k{x}^2$$

取 $g=9.8{\text{m/s}}^2$ 解二次方程，得到 $x\approx 45.5\text{m}$。 因此，最大下落距離為 $L+x\approx 75.5\text{m}$。

20. 總結

• 三條運動定律：慣性、力與運動變化、作用與反作用。
• 萬有重力：統一地面與天空中的運動。
• 守恆定律：動量、角動量和能量守恆源於相應的對稱性。
• 剛體與非慣性參考系：把基本定律推廣到更複雜的實際問題。
• 作為普通人的牛頓：才華卓越，也有侷限，但為物理學奠定了基礎。

牛頓的圖景不是最終真理，而是第一幅系統地用數學描繪宇宙的地圖。 每一位學習力學的學生，都走進了同一條探索傳統。

尾聲

從伍爾索普莊園的蘋果園，到飛出太陽系的太空船，牛頓方程始終發揮著作用。

• 工程師仍然使用 $F=ma$。
• 天文學家仍然利用 $T^2\propto a^3$ 預測軌道。
• 建築師仍然用牛頓靜力學計算載荷。

即使愛因斯坦和薛丁格的理論超越了牛頓，牛頓力學也從未被拋棄。

他曾寫道：

「我不知道世人怎樣看待我，但在我自己看來，我不過像一個在海邊玩耍的孩子，時而發現一顆更光滑的卵石，或一個比尋常更美麗的貝殼，並因此欣喜；而真理的浩瀚海洋，仍未被發現地鋪展在我面前。」

四個世紀之後，我們仍在使用牛頓留下的指南針，探索那片海洋。