群、李代數與規範理論

8.1 目標與路線

只有知道 $S U (3)_{c} \times S U (2)_{L} \times U (1)_{Y}$ 究竟在做什麼，這個表達式才真正有用。它規定連續的內部變換，告訴我們場可以怎樣變換，並提供組織交互作用所需的代數結構。但它本身並沒有指定所有粒子、所有耦合，也沒有規定真空的動力學。我們的目標，是把這個表達式讀成一套精煉的數學指令。

我們將分五步建立這套指令：可逆操作組成群；矩陣實現群對向量的作用；對連續群微分得到李代數；表示規定究竟是哪些向量在變換；而比較相鄰時空點的變換，則引入規範聯絡。聯絡的曲率就是規範場強。

預備知識包括矩陣乘法、複數、導數以及基本量子力學。熟悉場和狹義相對論，有助於閱讀最後約三分之一的內容。我們不假定讀者已經學過群論或微分幾何。第 8.2—8.6 節建立基本詞彙；第 8.7—8.11 節發展數學工具；第 8.12—8.15 節構造規範理論；第 8.16—8.18 節組裝標準模型。例題是論述的一部分，而第 8.19 節的練習可幫助你再次梳理主要思想。

關於流形、聯絡和曲率的更廣泛介紹，可以閱讀微分幾何專題。主課程中的量子場論一章則進一步討論量子化、交互作用、反常和希格斯機制。本文是第八篇 Curiosity（物理探趣），與主課程的第八章是兩篇不同的文章。

計算時需要隨時查閱的約定

向量寫成直行向量；乘積 $g h$ 中先作用的是 $h$ 。符號 $I$ 表示單位矩陣； $e$ 表示群的單位元，除非明確指出它是電磁耦合常數。匕首符號表示共軛轉置。重複出現的李代數指標預設求和。時空指標取 $μ, ν = 0, 1, 2, 3$ 。

對於量子場，我們使用自然單位制 $ℏ = c = 1$ ，閔可夫斯基度規號差取 $(+, -, -, -)$ 。內部生成元 $t_{a}$ 是厄米矩陣，在 $S U (N)$ 的定義表示中滿足

[t_{a}, t_{b}] = i f_{ab}^{c} t_{c}, tr (t_{a} t_{b}) = \frac{1}{2} δ_{ab}

跡的正規化是一種選擇，並不是適用於所有表示的公理。我們的規範場約定是

ψ^{'} = U ψ, D_{μ} = \partial_{μ} - i g A_{μ}, [D_{μ}, D_{ν}] = - i g F_{μν} .

我們會推導這些約定的結果，不在中途切換符號。超荷通過 $Q = T_{3} + Y$ 定義；若某份資料使用 $Q = T_{3} + Y /2$ ，那麼其中的超荷是本文 $Y$ 的兩倍。比較方程時，必須把整套約定一起對照。

8.2 什麼是群？

群是一個集合 $G$ ，配備一個二元運算：對於 $G$ 中的每一對元素 $g, h$ ，都指定一個仍屬於 $G$ 的元素 $g h$ 。可逆操作的複合需要滿足以下四條要求。

**封閉性：**兩個允許的操作複合後，仍然是一個允許的操作。
結合律： $(g h) k = g (hk)$ 。移動括號不改變結果，但不能隨意改變順序。
**單位元：**存在元素 $e$ ，使得 $e g = g e = g$ 。
**逆元：**每個 $g$ 都有一個元素 $g^{- 1}$ ，滿足 $g^{- 1} g = g g^{- 1} = e$ 。

這裡的運算不一定是數的乘法。整數在加法下的單位元是 $0$ ， $n$ 的逆元是 $- n$ ，所以 $(Z, +)$ 是群。非負整數在加法下不是群，因為正整數的加法逆元不在這個集合中。非零實數在乘法下組成群；所有實數在乘法下則不能組成群，因為 $0$ 沒有乘法逆元。

如果每一對元素都滿足 $g h = h g$ ，這個群就是阿貝爾群。整數加法是阿貝爾的，空間旋轉的複合通常不是。非交換性意味著前一個操作會改變後一個操作所面對的情形，並不意味著複合運算自相矛盾。

例題 1：只有五個刻度的鐘

令 $Z_{5}$ 由剩餘類 $0, 1, 2, 3, 4$ 組成，運算是模 $5$ 加法。於是

3 + 4 = 2 (mod 5), - 3 = 2 (mod 5) .

元素 $1$ 可以生成整個群：不斷相加，就會走遍五個刻度。等價地，可以把這個循環群寫成 $C_{5} = {e, r, r^{2}, r^{3}, r^{4}}$ ，其中 $r^{5} = e$ 。群的階，也就是元素的個數，是五。對於連續群，獨立實參數的個數稱為維數；階與維數是不同的概念。

利用結合律，即使不假設交換律，也能解方程。由 $gx = h$ 出發，在左邊乘以 $g^{- 1}$ ，便得到 $x = g^{- 1} h$ 。若乘錯了邊，一般就不能得到正確答案。同樣，

(g h)^{- 1} = h^{- 1} g^{- 1},

因為撤銷一串操作時，必須先撤銷最後一步。這個簡單的恆等式會在矩陣代數和規範變換中再次出現。

子群是原集合的一個子集，且在同一運算下本身也是群。例如，五的整數倍組成 $(Z, +)$ 的一個子群。同態是保持乘法的映射，即 $ρ (g h) = ρ (g) ρ (h)$ ；它自動保持單位元和逆元。如果這樣的映射是雙射，就稱為同構，表示兩種不同的呈現方式具有相同的抽象群結構。

**概念檢查。**結合律並沒有斷言 $g h = h g$ 。它只是說，執行三個操作的結果不依賴於我們把用於記帳的括號放在哪裡。

8.3 對稱性如何作用：以三角形為實驗室

抽象群不一定自帶一個被變換的具體對象。群作用補上了這個對象：對於一個集合 $X$ ，它指定 $g \cdot x$ ，並滿足 $e \cdot x = x$ 和 $(g h) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)$ 。同一個群可以作用於位置、函數、量子態或場的內部分量。

把等邊三角形的頂點標為 $1, 2, 3$ 。令 $r = (123)$ 循環置換三個頂點；令 $s = (23)$ 固定頂點 $1$ ，同時交換頂點 $2$ 和 $3$ 。在循環記號中， $(123)$ 表示 $1 \mapsto 2$ 、 $2 \mapsto 3$ 、 $3 \mapsto 1$ 。三角形的六種對稱操作組成二面體群 $D_{3}$ ，它與置換群 $S_{3}$ 同構：

D_{3} = {e, r, r^{2}, s, sr, s r^{2}}, r^{3} = e, s^{2} = e, srs = r^{- 1} .

前兩個關係表示連續旋轉三次或連續反射兩次都會回到起點。第三個關係說明，反射會反轉旋轉的方向。

以不同順序進行三角形旋轉與反射，會產生不同的頂點置換；複合運算從右向左作用。

彩色頂點幫助我們追蹤群的作用。兩種順序使用同樣的兩個操作，但 $sr$ 與 $rs$ 交換的是不同的頂點對。

例題 2：算出不交換的具體結果

對於 $sr$ ，先追蹤頂點 $1$ ： $r$ 把它送到 $2$ ，接著 $s$ 把 $2$ 送到 $3$ 。頂點 $3$ 先到 $1$ ，隨後保持不動。頂點 $2$ 則回到自身。因此 $sr = (13)$ 。反過來， $rs$ 把 $1$ 送到 $2$ ，把 $2$ 送到 $1$ ，並固定 $3$ ，所以 $rs = (12)$ 。由此得到 $sr \neq = rs$ 。

一個點的軌道，是群能把它送到的所有位置構成的集合。頂點 $1$ 的軌道包含全部三個頂點。它的穩定子由保持它不動的操作組成，即 ${e, s}$ 。有限群的軌道—穩定子關係在這裡一目了然：

∣ D_{3} ∣ = ∣ Orb (1) ∣ ∣ Stab (1) ∣ = 3 \times 2.

群作用的核由對每個點都不起作用的元素組成。這個三角形作用的核只包含單位元，因此稱為忠實作用。非忠實作用可能隱藏群的一部分。後面我們會看到，普通三維向量無法區分 $S U (2)$ 中兩個不同的元素。

還需要區分主動變換與被動的描述變換。保持座標軸不動，用矩陣 $R$ 主動旋轉向量，得到 $v^{'} = R v$ 。若保持幾何向量不動，被動地旋轉座標軸，則分量按 $R^{- 1}$ 變換。兩種約定都可以使用，但混淆它們會造成表面上的符號分歧，在旋轉和規範標架中尤其如此。

**概念檢查。**描述一種對稱性，既要指定群元素，也要指定它作用於什麼。在一種作用中不可見的群元素，可能在另一種作用中變得可見。

8.4 矩陣、複數與保持不變的量

線性變換把和映為和，把純量倍數映為相同的純量倍數。選定基之後，可以用矩陣表示線性變換。複合變成矩陣乘法；可逆矩陣描述可逆的線性變換。體 $F$ 上所有可逆的 $n \times n$ 矩陣組成一般線性群 $G L (n, F)$ 。

為什麼還要挑選更小的群？通常是因為某個物理量必須保持不變。對於歐氏長度平方為 $v^{T} v$ 的實向量，矩陣 $R$ 保持所有向量的長度，當且僅當

(R v)^{T} (R v) = v^{T} R^{T} R v = v^{T} v, R^{T} R = I .

這些矩陣稱為正交矩陣，組成 $O (n)$ 。其行列式滿足 $(det R)^{2} = 1$ ，所以 $det R = \pm 1$ 。要求行列式為 $+ 1$ ，便選出特殊正交群 $SO (n)$ 。反射的行列式為 $- 1$ ，因此被排除；旋轉則屬於 $SO (n)$ 。

對於複向量，非負的範數平方是 $z^{†} z$ ，而不是 $z^{T} z$ 。保持它的矩陣滿足 $U^{†} U = I$ ，稱為么正矩陣。它們組成 $U (n)$ ；再加上 $det U = 1$ ，就得到 $S U (n)$ 。這裡「特殊」表示行列式為一，「么正」表示保持厄米內積。這兩個詞都沒有要求矩陣元素是實數。

例題 3：複相位就是實平面上的旋轉

寫成 $z = x + i y$ 。乘以 $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ ，得到

e^{i θ} z = (x cos θ - y sin θ) + i (x sin θ + y cos θ) .

因此，一個複分量的變換，恰好等同於兩個實分量的變換：

(x^{'} y^{'}) = (cos θ sin θ - sin θ cos θ) (x y) .

模長 $∣ z ∣$ 保持不變。所有相位 $e^{i θ}$ 組成 $U (1)$ ，上述對應是群同構 $U (1) ≅ SO (2)$ 。但這並不意味著這些群的所有物理用途都相同：作用於電子場的相位是內部變換，而實驗室平面的旋轉作用於空間位置。

量子力學使複內積格外重要。么正變換保持躍遷機率，因為 $⟨ U ϕ, U ψ ⟩ = ⟨ ϕ, ψ ⟩$ 。厄米矩陣滿足 $H^{†} = H$ ，可以表示可觀測量。它本身通常不是群變換。不過，對於實數 $α$ ， $e^{i α H}$ 是么正矩陣，這就在可觀測量或生成元與有限變換之間搭起了橋梁。

例如， $diag (1, - 1)$ 既是厄米矩陣也是么正矩陣，但 $diag (2, 3)$ 是厄米矩陣卻不是么正矩陣。厄米性和么正性是不同的條件，承擔不同的角色。

8.5 連續旋轉與相位圓

把上一節的矩陣記為 $R (θ)$ 。利用三角函數的和角公式直接相乘，可以得到

R (α) R (β) = R (α + β), R (θ)^{- 1} = R (- θ) .

平面旋轉由一個參數標記，但這個參數具有週期性： $θ$ 與 $θ + 2 π$ 描述同一個元素。因此，群是一個圓，而不是無限長的直線。局部來看，一小段角度區間就足夠了；整體來看，這些區間必須沿圓周拼接起來。

實平面上的向量逆時針旋轉，對應的複相位則沿單位圓移動。

實矩陣 $R (θ)$ 與複數 $e^{i θ}$ 實現同一個單參數複合規律。

例題 4：無窮小旋轉

對於小角度 $ϵ$ ，

R (ϵ) = I + ϵ J + O (ϵ^{2}), J = (01 - 1 0), J^{2} = - I .

把指數級數中的偶數次冪與奇數次冪分開：

e^{θ J} = I (1 - \frac{θ ^{2}}{2 !} + \dots) + J (θ - \frac{θ ^{3}}{3 !} + \dots) = I cos θ + J sin θ = R (θ) .

這已經是在做李理論：一個無窮小方向 $J$ ，生成了整族連續變換。

三維旋轉具有三個獨立的無窮小方向，而且它們不交換。不使用抽象記號也能看出這一點。從 $v = (1, 0, 0)^{T}$ 出發，按右手定則的正向旋轉 $R_{y} (π /2)$ 把 $v$ 送到 $(0, 0, - 1)^{T}$ ，隨後 $R_{z} (π /2)$ 使該向量保持不動。反過來，先旋轉得到 $(0, 1, 0)^{T}$ ，隨後 $R_{y} (π /2)$ 保持它不動。因此

R_{z} (π /2) R_{y} (π /2) v \neq = R_{y} (π /2) R_{z} (π /2) v .

角度與轉軸可以描述一個三維旋轉，但這不意味著有四個獨立參數：單位轉軸需要兩個參數，角度再增加一個。當角度為零時，所有轉軸都描述同一個單位元。這也提醒我們，群上的座標可能存在冗餘或奇點。

概念檢查。 $U (1)$ 的週期角度，與描述單位元附近運動的實無窮小參數，並不是同一個整體空間。

8.6 李群：同時也是流形的群

李群是一個光滑流形，其群乘法和求逆都是光滑映射。流形是局部可以用固定數量的實座標描述的空間，即使沒有任何一個座標系能覆蓋整個空間。光滑性讓微分有了意義。

因此，需要記住兩種相互獨立的結構：群運算法則告訴我們變換如何複合，而流形結構告訴我們變換如何連續變化。圓 $U (1)$ 同時具有這兩種結構；加法直線 $(R, +)$ 也一樣，但它的整體結構與圓不同。

對於矩陣群，可以展開定義它的約束條件，從而數出附近的獨立參數。這將引出切空間，不過首先，它給出了實用的維數計算方法。

例題 5：先數生成元，再選擇生成元

令 $U = I + i ϵH + O (ϵ^{2})$ 。則

U^{†} U = I + i ϵ (H - H^{†}) + O (ϵ^{2}),

所以么正性要求 $H = H^{†}$ 。一個 $n \times n$ 厄米矩陣具有 $n$ 個實對角元，以及 $n (n - 1) /2$ 個獨立的複非對角元。因此，實參數的數目為

n + 2 \frac{n ( n - 1 )}{2} = n^{2} .

行列式為一的條件要求 $tr H = 0$ ，因此減少一個實參數。於是 $dim U (n) = n^{2}$ ， $dim S U (n) = n^{2} - 1$ 。類似地，把 $R = I + ϵ X$ 代入 $R^{T} R = I$ 並展開，得到 $X^{T} = - X$ ，其獨立元素數為 $n (n - 1) /2$ 。

群	定義所用的矩陣	群的實維數	表中向量空間的維數
$U (1)$	一個複相位	$1$	複維數 $1$
$SO (2)$	實正交 $2 \times 2$ 矩陣，行列式為 $1$	$1$	實維數 $2$
$SO (3)$	實正交 $3 \times 3$ 矩陣，行列式為 $1$	$3$	實維數 $3$
$S U (2)$	么正 $2 \times 2$ 矩陣，行列式為 $1$	$3$	複維數 $2$
$S U (3)$	么正 $3 \times 3$ 矩陣，行列式為 $1$	$8$	複維數 $3$

最後兩欄回答的是不同問題。 $S U (3)$ 的維數數的是八個獨立的變換參數；它的定義表示則作用於三分量複向量。這兩個數字都不是夸克有多少代。

秩是另一個數：對於這裡的緊緻群，它是極大環面中獨立且彼此交換的生成元數。 $S U (2)$ 的秩為一； $S U (3)$ 的秩為二。秩既不是群的維數，也不是表示的維數。

關於流形、光滑群運算和經典矩陣群的嚴謹的數學處理，可參見 Etingof 的 MIT 李群講義第 1—5 講。本文的計算只需要它們的矩陣形式。

8.7 切向量、生成元與指數映射

在矩陣群中選一條可微曲線 $g (t)$ ，使 $g (0) = I$ 。它的初速度 $X = g^{'} (0)$ 是單位元處的一個切向量。所有這樣的速度組成實向量空間 $g = T_{e} G$ ，也就是李代數的底層向量空間。

對於 $U (n)$ ，在 $t = 0$ 處對 $g (t)^{†} g (t) = I$ 微分，得到 $X^{†} = - X$ 。因此，數學中把 $u (n)$ 實現為反厄米矩陣，把 $su (n)$ 實現為無跡反厄米矩陣。物理學中通常寫成

X = i α^{a} t_{a}, t_{a}^{†} = t_{a},

其中系數 $α^{a}$ 為實數。厄米矩陣 $t_{a}$ 是方便使用的生成元基；因子 $i$ 把它們轉為真正的切矩陣。記住這一區別，就不會錯誤地聲稱兩個厄米矩陣的普通對易子仍然是厄米矩陣。

單位元處的切方向通過指數映射變成群流形上的曲線；示意圖用纏繞在圓上的直線展示這一過程。

切空間記錄局部方向。取指數使我們沿著群移動；切空間中的不同點可能到達同一個群元素。

矩陣指數

exp X = I + X + \frac{X ^{2}}{2 !} + \dots

把無窮小生成元轉為有限變換。曲線 $g (t) = e^{tX}$ 滿足微分方程 $g^{'} (t) = X g (t)$ 和初始條件 $g (0) = I$ ，並且滿足 $g (t + s) = g (t) g (s)$ 。這樣的曲線稱為單參數子群。

例題 6：為什麼取指數後仍在 $S U (n)$ 中

對於無跡厄米矩陣 $H$ ，

(e^{i H})^{†} e^{i H} = e^{- i H} e^{i H} = I, det (e^{i H}) = e^{i tr H} = 1.

所以 $e^{i H}$ 是特殊么正矩陣。反過來，任何特殊么正矩陣都能通過么正基變換對角化。其特徵值是相位，角度之和為 $2 π$ 的整數倍；把其中一個角度減去這個整數倍，就得到一個無跡厄米對數。因此， $S U (n)$ 的每個元素都是某個矩陣的指數，但對數並不唯一。

最後這句話是此處特定情形的性質。對於一般李群，指數映射在單位元附近給出局部座標映射，但不一定覆蓋整個群。即使它是滿射，通常也不是單射。對於 $U (1)$ ， $e^{i (θ + 2 πk)} = e^{i θ}$ 就直接展示了這種不唯一性。

利用群乘法作平移，可以把單位元處的切向量移到其他點的切空間。這就是為什麼一個切空間的資訊，足以重建單位元連通分支內各處的局部乘法。不過，它仍然沒有編碼所有整體上的等同關係，也不能描述其他不連通分支。李代數提供的是局部結構，而不是群的完整整體身份。

8.8 李括號衡量無窮小操作的順序效應

給切向量空間配上一個括號運算，就得到李代數。對於矩陣群，這個括號就是對易子：

[X, Y] = X Y - Y X .

它滿足雙線性、反對稱性以及雅可比恆等式：

[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0.

即使不使用矩陣，這些性質也足以抽象地定義李代數。括號運算的結果還必須留在代數中。對於反厄米矩陣， $[X, Y]^{†} = - [X, Y]$ ；對於無跡矩陣， $tr [X, Y] = 0$ 。因此，矩陣的約束條件得以保持。

例題 7：沿一個微小的對易子回路走一圈

把每個指數展開到二階並相乘：

e^{ϵ X} e^{ϵ Y} e^{- ϵ X} e^{- ϵ Y} = I + ϵ^{2} [X, Y] + O (ϵ^{3}) .

所有一階位移都相互抵消。剩下的部分衡量的是交換兩個無窮小變換順序所造成的不一致。阿貝爾群的括號為零。非零括號則是非交換性在局部留下的痕跡。

在厄米生成元基中，寫成 $[t_{a}, t_{b}] = i f_{ab}^{c} t_{c}$ 。數 $f_{ab}^{c}$ 稱為這組基下的結構常數。它們依賴於基和正規化，而李代數本身不依賴這些選擇。對於緊緻群 $S U (N)$ ，採用本文的跡約定後，可以用 $δ_{ab}$ 等同上下李代數指標，並把 $f^{ab c}$ 寫成全反對稱張量。

對於足夠接近單位元、能夠展開對數的有限變換，貝克—坎貝爾—豪斯多夫公式系統地處理同一個問題：

lo g (e^{X} e^{Y}) = X + Y + \frac{1}{2} [X, Y] + \frac{1}{12} ([X, [X, Y]] + [Y, [Y, X]]) + \dots .

因此，當 $X$ 與 $Y$ 交換時， $e^{X} e^{Y} = e^{X + Y}$ 成立；但它不是一般的矩陣恆等式。巢狀括號給出了修正項。這個公式是局部展開，不能用來斷言存在整體唯一的對數。Etingof 第 7 講給出了嚴格的李理論表述。

概念檢查。「把群線性化」並不意味著丟掉一切非線性效應。李代數是配備了括號運算的向量空間，這個括號保留了最先出現的非平凡順序資訊。

8.9 包立矩陣、 $S U (2)$ 與旋轉的雙覆蓋

包立矩陣給出了一組具體的厄米基：

σ_{1} = (0110), σ_{2} = (0 i - i 0), σ_{3} = (10 0 - 1) .

令 $t_{a} = σ_{a} /2$ 。它們的乘法規律為

σ_{a} σ_{b} = δ_{ab} I + i ϵ_{ab c} σ_{c}, [t_{a}, t_{b}] = i ϵ_{ab c} t_{c}, tr (t_{a} t_{b}) = \frac{1}{2} δ_{ab} .

例如， $σ_{1} σ_{2} = i σ_{3}$ ，而 $σ_{2} σ_{1} = - i σ_{3}$ ，所以 $[t_{1}, t_{2}] = i t_{3}$ 。這裡取 $ϵ_{123} = + 1$ 。

每個 $S U (2)$ 矩陣都可以寫成 $U = a_{0} I + i a \cdot σ$ ，其中實系數滿足 $a_{0}^{2} + ∣ a ∣^{2} = 1$ 。因此，作為流形， $S U (2)$ 是三維球面 $S^{3}$ ，而不是表示空間方向的普通二維球面。

例題 8：旋量旋轉與向量旋轉

為描述繞單位軸 $n$ 主動旋轉角度 $θ$ ，使用

U (n, θ) = e^{- i θ n \cdot σ /2} = I cos \frac{θ}{2} - i n \cdot σ sin \frac{θ}{2} .

負號是量子力學中主動旋轉的常用約定，相當於在一般指數 $e^{i α^{a} t_{a}}$ 中選取負的參數。它並不改變李代數，也不改變規範場的約定。

把實向量 $v$ 與無跡厄米矩陣 $V = v \cdot σ$ 對應起來。變換 $V^{'} = U V U^{†}$ 保持厄米性、跡以及 $det V = - ∣ v ∣^{2}$ ，因此定義了 $v$ 的一個正交變換。該變換的行列式為 $+ 1$ ：這個作用連續變化， $S U (2)$ 連通，而且單位元的作用具有行列式 $+ 1$ 。所以它是一個旋轉。對於 $z$ 軸，

U σ_{1} U^{†} = cos θ σ_{1} + sin θ σ_{2},

正如預期，它使 $x$ 方向朝 $y$ 方向轉動。

$U$ 與 $- U$ 給出同一個 $V^{'}$ 。映射 $S U (2) \to SO (3)$ 是滿射，核為 ${I, - I}$ ：

SO (3) ≅ S U (2) / Z_{2} .

連續的旋量旋轉在轉過 2π 時到達負單位矩陣，在轉過 4π 時回到單位矩陣，而對應的空間旋轉在轉過 2π 時就已閉合。

每個空間旋轉在 $S U (2)$ 中有兩個提升。圖中只追蹤繞一個固定轉軸的路徑，並不代表整個三維球面。

二分量旋量按 $χ^{'} = U χ$ 變換。當 $θ = 2 π$ 時， $U = - I$ ，所以 $χ^{'} = - χ$ ；當角度為 $4 π$ 時， $U = I$ 。一個孤立的態及其相反數給出相同的機率，但如果比較兩條相干路徑，它們之間的相對負號就可能影響干涉。因此，雙覆蓋不只是畫圖技巧，但也不意味著經典箭頭需要轉過 $4 π$ 才能復原。

$S U (2)$ 與 $SO (3)$ 的李代數同構，但整體上允許的表示不同。半整數自旋表示是 $S U (2)$ 的表示，卻不能下降為 $SO (3)$ 的普通單值表示。參見 Etingof 例 2.13 及覆蓋的討論。

8.10 表示：同一個群，不同種類的對象

向量空間 $V$ 上的一個表示，是同態 $ρ : G \to G L (V)$ 。其定義條件

ρ (g h) = ρ (g) ρ (h),

保證矩陣遵守抽象的複合規律。表示的維數為 $dim V$ 。對光滑表示微分，得到生成元矩陣 $T_{a}$ ，其定義為 $d ρ (i t_{a}) = i T_{a}$ ；因此微分實際作用在反厄米切矩陣上。這些矩陣滿足同樣的對易關係 $[T_{a}, T_{b}] = i f_{ab}^{c} T_{c}$ 。

$S U (n)$ 的定義表示使用定義該群的矩陣作用於 $C^{n}$ ，通常也稱為基本表示。在更一般的數學術語中，一個單群可以有多個基本表示；本文所說的「 $S U (n)$ 的基本表示」，專指這個 $n$ 維定義表示。平凡表示，也稱單態表示，把所有群元素都映到 $1$ 。

如果一個表示沒有非零的真不變子空間，它就是不可約表示。「基本」與「不可約」不是同義詞：許多不可約表示都不是定義表示。對於緊緻群，有限維么正表示可以分解為不可約表示的直和。

直和獨立地作用於兩個空間：

(ρ_{1} \oplus ρ_{2}) (g) = (ρ_{1} (g) 0 0 ρ_{2} (g)), dim (V \oplus W) = dim V + dim W .

張量積作用於配對的分量：

(ρ_{1} \otimes ρ_{2}) (g) (v \otimes w) = ρ_{1} (g) v \otimes ρ_{2} (g) w, dim (V \otimes W) = dim V dim W .

微分得到總生成元 $T_{a}^{total} = T_{a}^{(1)} \otimes I + I \otimes T_{a}^{(2)}$ 。這就是角動量相加的來源。

例題 9：兩個二重態包含一個三重態和一個單態

取兩個 $S U (2)$ 二重態，基為 $∣ ↑ ⟩, ∣ ↓ ⟩$ 。它們的四維張量積可分成對稱態

∣ ↑↑ ⟩, \frac{∣ ↑↓ ⟩ + ∣ ↓↑ ⟩}{2}, ∣ ↓↓ ⟩

以及反對稱態

∣ s ⟩ = \frac{∣ ↑↓ ⟩ - ∣ ↓↑ ⟩}{2} .

總生成元 $T_{3}$ 在對稱態上的特徵值為 $1, 0, - 1$ 。三個總生成元作用於 $∣ s ⟩$ 都得到零。因此， $2 \otimes 2 = 3 \oplus 1$ ；若用自旋記號，則是 $\frac{1}{2} \otimes \frac{1}{2} = 1 \oplus 0$ 。維數也一致： $2 \times 2 = 3 + 1$ 。

直和把兩個向量空間並列起來，張量積組合它們的分量；兩個 SU2 二重態分解為一個三重態與一個單態。

表示告訴我們究竟是什麼數學對象在變換。用張量積組合對象，可以找出其中的不變部分。

伴隨表示通過共軛作用於李代數自身： $X \mapsto g X g^{- 1}$ 。它的維數等於群的維數。因此， $S U (2)$ 有二維定義表示和三維伴隨表示； $S U (3)$ 有三維定義表示和八維伴隨表示。規範曲率按伴隨表示變換。規範聯絡則帶有額外的導數項，所以它完整的局部變換不只是伴隨作用。

對於 $U (1)$ ，連續、單值、不可約的么正表示為 $ρ_{n} (e^{i θ}) = e^{in θ}$ ，其中 $n$ 為整數。週期性要求 $e^{2 πin} = 1$ 。物理上的電荷約定可以把這些整數與耦合常數一起重新縮放；後面會明確解釋標準模型的分數超荷如何符合這一結論。

8.11 $S U (3)$ ：三個分量，八個生成元

$S U (3)$ 的基本表示向量有三個複分量：

q = q_{r} q_{g} q_{b}, q^{'} = U q .

紅、綠、藍這些顏色標籤表示內部空間的一組基，與光學顏色或空間方向無關。改變這組基會混合各個分量，同時保持 $q^{†} q$ 。一個確定味的夸克是色三重態。上、下、奇是味的標籤，不能把它們誤認為這個色表示的三個分量。

一般的無跡厄米 $3 \times 3$ 矩陣形如

H = a z_{1}^{*} z_{2}^{*} z_{1} b z_{3}^{*} z_{2} z_{3} - a - b .

兩個實數 $a, b$ 與三個複數 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 一共給出八個實參數。這樣，無須背下全部八個蓋爾曼矩陣，也能具體看出為什麼有八個生成元。

通常選用的基是 $t_{a} = λ_{a} /2$ 。其中兩個對角生成元為

t_{3} = \frac{1}{2} 100 0 - 1 0 000, t_{8} = \frac{1}{2 3} 100010 00 - 2 .

它們彼此交換，給出一個秩為二的嘉當子代數。其餘六個生成元混合成對的顏色分量。左上角的 $2 \times 2$ 包立矩陣塊，加上全為零的第三橫列和第三直行，構成一個 $su (2)$ 子代數： $[t_{1}, t_{2}] = i t_{3}$ 。 $S U (3)$ 內部的子群，並不一定就是標準模型中特定的弱 $S U (2)_{L}$ ；在標準模型裡，這兩者是獨立因子，作用於不同的指標。

例題 10：色單態與色八重態

反夸克使用矩陣 $U^{*}$ ，按複共軛表示 $\overline{3}$ 變換。夸克—反夸克張量可以排成矩陣 $M$ ，按 $M \mapsto U M U^{†}$ 變換。把它分解為

M = \frac{tr M}{3} I + (M - \frac{tr M}{3} I) .

跡的部分在共軛下不變。無跡部分具有八個複分量，按複化的伴隨表示變換。因此

3 \otimes \overline{3} = 1 \oplus 8 .

伴隨作用所在的李代數自身具有八個實切方向；量子表示空間通常是複空間。這裡兩種維數在數值上相同，但指的是不同的向量空間。

這個分解有助於組織介子的色波函數，也解釋了為什麼伴隨色標籤有八種取值。在標準模型的描述中，膠子是基本規範場的激發，並非字面意義上的夸克—反夸克束縛態。它們的八重代數標籤不意味著存在九種獨立的色—反色膠子：跡對應的單態並不屬於 $su (3)$ 。

8.12 從整體對稱性到局部標架的選擇

考慮帶有內部向量指標的複場 $ψ (x)$ 。整體內部變換在所有位置使用同一個矩陣： $ψ (x) \mapsto U ψ (x)$ ，其中 $U$ 為常數。時空點 $x$ 不變。若 $U$ 為么正矩陣，則 $ψ^{†} ψ$ 這樣的項保持不變，而且

\partial_{μ} (U ψ) = U \partial_{μ} ψ .

用相應的不變量組合構造的拉格朗日量，可以具有整體對稱性。在通常的假設下，連續的物理整體對稱性會給出守恆的諾特流。但僅僅存在整體對稱性，並不會迫使自然界引入規範場；構造規範理論是一個額外的物理選擇。

現在允許矩陣 $U (x)$ 隨位置改變。導數變成

\partial_{μ} (U ψ) = U \partial_{μ} ψ + (\partial_{μ} U) ψ .

額外出現的那一項，就是整個問題所在。相鄰兩點的分量列表使用了不同的內部標架，因此直接相減，會把場的變化與標架的變化混淆。

想像在每個時空點都放置一個小小的向量空間。這一族空間稱為向量叢；其中每個向量空間稱為纖維。在每條纖維中選基，就是選擇局部標架。聯絡規定了如何比較相鄰纖維中的向量。雖然這種幾何與曲面上切向量的平行移動相似，但內部纖維不一定是時空的切空間。色向量處在內部色空間中，而不是描述位移的物理空間中。

例題 11：人為引入的相位梯度

設某種描述中的場為常量 $ψ (x) = ψ_{0}$ ，並沿一個空間方向選取 $U (x) = e^{ik x}$ 。新描述為 $ψ^{'} (x) = e^{ik x} ψ_{0}$ ，其中

\partial_{x} ψ^{'} = ik ψ^{'} .

如果這兩種描述代表同一個場構型，那麼這個表面上的梯度本身就不能是物理激發。必須用一個補償聯絡，抵消僅由相位約定變化所引起的梯度。下一節會明確驗證這一抵消。

規範冗餘指的是：由允許的規範變換聯繫起來的構型，代表同一個物理態，而不是系統的不同狀態。規範不變量給出物理描述。規範勢仍然可以編碼非平凡的動力學：去掉冗餘座標，並不意味著去掉物理場強。

這裡有一個與邊界有關的限定。要求在邊界趨近單位元的規範變換屬於冗餘，而非平凡地作用於漸近或邊界數據的變換，則可能攜帶物理荷。因此，「每個常數規範變換都自動在物理上平凡」是過於籠統的說法。區分物理整體對稱性與描述方式的改變，需要指定邊界條件。Tong 關於規範不變性的討論給出了相應的場論背景。

8.13 推導協變導數與聯絡的變換規律

把規範勢寫成 $A_{μ} = A_{μ}^{a} t_{a}$ ，並定義

D_{μ} ψ = (\partial_{μ} - i g A_{μ}) ψ .

系數 $g$ 是耦合常數。對於其他表示中的場，把 $t_{a}$ 換成該表示的矩陣 $T_{a}$ ；規範場分量 $A_{μ}^{a}$ 不變。中性單態的生成元為零，使用普通導數。

我們要求協變導數與場本身按相同的方式變換：

D_{μ}^{'} ψ^{'} = U D_{μ} ψ .

展開左邊，並消去 $U \partial_{μ} ψ$ ：

(\partial_{μ} U) ψ - i g A_{μ}^{'} U ψ = - i gU A_{μ} ψ .

由於這對任意 $ψ$ 都成立，在右邊乘以 $U^{- 1}$ ，得到

A_{μ}^{'} = U A_{μ} U^{- 1} - \frac{i}{g} (\partial_{μ} U) U^{- 1} .

第一項旋轉內部分量，第二項則補償標架隨位置的變化。如果省去第二項，協變性的要求就無法滿足。等價地，作為微分算符有 $D_{μ}^{'} = U D_{μ} U^{- 1}$ ；這個算符恆等式中的導數作用於其右側的一切。

例題 12：阿貝爾情形中的抵消，包括符號

對於單位荷的 $U (1)$ 場，取 $U = e^{i gα (x)}$ 。於是 $(\partial_{μ} U) U^{- 1} = i g \partial_{μ} α$ ，因此

A_{μ}^{'} = A_{μ} + \partial_{μ} α .

直接代入可得

(\partial_{μ} - i g A_{μ} - i g \partial_{μ} α) (e^{i gα} ψ) = e^{i gα} (\partial_{μ} - i g A_{μ}) ψ .

相位的導數與規範勢的平移項相互抵消。在前面的常量場例子中，令 $A_{x} = 0$ 、 $α = k x / g$ 。變換後的勢為 $A_{x}^{'} = k / g$ ，並且 $D_{x}^{'} ψ^{'} = 0$ ，盡管 $\partial_{x} ψ^{'} \neq = 0$ 。

協變的意思是「按照指定方式變換」，並不是「不變」。向量 $D_{μ} ψ$ 按 $U$ 變換，而純量 $(D_{μ} ψ)^{†} D^{μ} ψ$ 保持不變。理解非阿貝爾場強時，必須分清協變與不變。

因次分析提供了有用的檢查。在四維時空中， $\partial_{μ}$ 的質量因次為一， $g$ 無因次，因此 $A_{μ}$ 的質量因次為一。純量物質場的質量因次為一，費米子場為 $3/2$ ，拉格朗日密度為四。這些是以質量為單位的因次，不是群或表示的維數。

8.14 曲率、不交換的導數與沿閉合回路的平行移動

普通偏導數衡量沿座標方向的變化。協變導數還要比較內部標架。因此，比較連續進行的兩次協變微分，就是在問：平行移動是否依賴於方向的先後順序？

例題 13：推導場強

把 $D_{μ} D_{ν} - D_{ν} D_{μ}$ 作用於一個測試場。二階導數項抵消，因為在該座標片內偏導數交換；只有一個導數作用於測試場的項也成對抵消。結果是

[D_{μ}, D_{ν}] ψ = [- i g (\partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}) - g^{2} [A_{μ}, A_{ν}]] ψ .

定義

F_{μν} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ} - i g [A_{μ}, A_{ν}], [D_{μ}, D_{ν}] = - i g F_{μν} .

矩陣 $F_{μν}$ 是厄米的： $[A_{μ}, A_{ν}]$ 是反厄米矩陣，乘以 $- i$ 後成為厄米矩陣。寫成分量形式，

F_{μν}^{a} = \partial_{μ} A_{ν}^{a} - \partial_{ν} A_{μ}^{a} + g f^{ab c} A_{μ}^{b} A_{ν}^{c} .

這就是規範聯絡的曲率。其中的非阿貝爾項來自矩陣對易子；如果生成元交換，該項就不存在。

由於 $D_{μ}^{'} = U D_{μ} U^{- 1}$ ，它們的對易子也按共軛變換，所以

F_{μν}^{'} = U F_{μν} U^{- 1} .

對於 $U (1)$ ，這退化為 $F^{'} = F$ 。對於非阿貝爾群，矩陣場強通常是協變的，而非不變的；但由跡的循環性質， $tr (F_{μν} F^{μν})$ 這樣的量是不變的。

沿路徑 $x (s)$ 的平行移動要求 $\overset{x}{˙}^{μ} D_{μ} ψ = 0$ ，從而得到

\frac{d ψ}{d s} = i g \overset{x}{˙}^{μ} A_{μ} ψ, ψ (y) = W (y, x) ψ (x), W (y, x) = P exp (i g \int_{x}^{y} A_{μ} d x^{μ}) .

路徑排序符號 $P$ 把較晚作用的移動矩陣放在左邊。之所以需要它，是因為不同位置的矩陣未必交換。

聯絡用於比較相鄰的內部標架；沿一個有方向的微小閉合回路平行移動後，向量可能無法回到原先的內部方向。

按圖示方向，先沿正 $μ$ 方向移動，再沿正 $ν$ 方向移動。曲率衡量的是單位面積上首階的不一致。

對於按 $+ μ, + ν, - μ, - ν$ 順序繞行的小矩形，固定兩個不同方向，並且不對它們求和，有

W_{□} = I + i g F_{μν} δ x^{μ} δ x^{ν} + O (δ x^{3}) .

反轉繞行方向會改變面積首項的符號。這裡的符號與 $D = \partial - i g A$ 以及上述平行移動方程一致；不能草率地把移動算符與導數對易子直接等同來確定它。

開路徑的移動算符按 $W^{'} (y, x) = U (y) W (y, x) U (x)^{- 1}$ 變換。對於以 $x$ 為基點的閉合回路，其跡是規範不變量，這就給出了威爾遜環。平坦聯絡滿足 $F = 0$ ，並且在足夠小的單連通區域內，可以通過規範選擇局部消去。但繞不可收縮回路仍可能產生非平凡的整體和樂（holonomy，即沿閉合路徑平行移動後的淨變換）。阿哈羅諾夫—波姆效應的幾何提供了一個阿貝爾例子：即使場強沿可通行的路徑處處為零，這些路徑仍可能圍住非零的通量。

8.15 電磁學與楊—米爾斯動力學

到這裡，我們已經推導了變換規律和曲率。物理理論還需要動力學。在四維閔可夫斯基時空中，一個非阿貝爾因子通常使用的規範場動能項為

L_{gauge} = - \frac{1}{2} tr (F_{μν} F^{μν}) = - \frac{1}{4} F_{μν}^{a} F^{a μν},

第二個等號使用了本文在定義表示中的跡正規化。由於 $F$ 按共軛變換，相應的作用量保持不變。關於 $μ, ν$ 的反對稱性以及時空度規的縮約保證了洛倫茲不變性。這就是基本的楊—米爾斯動能項。

對於電磁學，選取電磁耦合常數 $e$ 和帶符號的無因次電荷 $q$ ，於是物理電荷為 $e q$ 。那麼

D_{μ} = \partial_{μ} - i e q A_{μ}, ψ^{'} = e^{i e q α} ψ, A_{μ}^{'} = A_{μ} + \partial_{μ} α,

並且

F_{μν} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}, L_{EM} = - \frac{1}{4} F_{μν} F^{μν} .

對於電子， $q = - 1$ ，因此這個約定給出 $D_{μ} = \partial_{μ} + i e A_{μ}$ 。如果某份資料在 $D$ 中使用相反的符號，也必須相應地改變配套的變換約定。只要前後一致，可觀測預言就不會依賴所選約定。

例題 14：常數勢也能產生非零曲率

在一個局部區域中取 $S U (2)$ 規範場，令 $A_{x} = a t_{1}$ 、 $A_{y} = b t_{2}$ 都為常量。所有導數項消失，但

F_{x y} = - i g ab [t_{1}, t_{2}] = g ab t_{3} .

空間上恆定的非阿貝爾聯絡不一定平坦。這裡的場強完全來自不交換的內部平行移動。在阿貝爾情形中，局部區域上的常數勢則給出零曲率。

展開楊—米爾斯動能項，就能看出為什麼非阿貝爾規範場會彼此交互作用： $F$ 同時包含對 $A$ 為線性的導數項，以及對 $A$ 為二次的項。平方後，就產生規範勢的三次項與四次項。在純阿貝爾馬克士威理論中，對易子為零，因此經典規範場動能項中沒有類似的光子自交互作用。不過，帶電物質仍然可以通過量子圈圖產生光子的有效交互作用。

物質場的動力學使用同一個協變導數。例如，純量多重態具有

L_{ϕ} = (D_{μ} ϕ)^{†} D^{μ} ϕ - V (ϕ^{†} ϕ) .

表示決定出現哪些生成元，因而決定場如何耦合。僅憑規範群，不能選定純量勢、物質表示或所有允許交互作用的系數。

主課程中的量子場論一章繼續討論規範固定、量子化、傳播子、跑動耦合和散射。Tong 的楊—米爾斯講義更詳細地討論了這套構造；該資料有時把耦合常數吸收到聯絡的定義中，因此比較公式前，先比較定義。

8.16 讀懂標準模型的群與物質場表

熟悉的局部規範結構是

G_{SM} = S U (3)_{c} \times S U (2)_{L} \times U (1)_{Y}, g_{SM} = su (3) \oplus su (2) \oplus u (1) .

下標 $c$ 表示色。下標 $L$ 表示標準模型的左手徵費米子屬於弱二重態，而帶電的右手徵費米子屬於弱單態。下標 $Y$ 表示超荷。弱 $S U (2)$ 是內部群：不能僅僅因為空間自旋也使用 $S U (2)$ 的數學，就把弱二重態當成空間旋量。

對於狄拉克旋量，手徵性由 $P_{L} = (1 - γ^{5}) /2$ 與 $P_{R} = (1 + γ^{5}) /2$ 選出。螺旋度是自旋沿動量方向的投影。對於無質量粒子，兩者有特定的對應關係；但對於有質量粒子，不能混用這兩個概念。下表中的標籤指的是手徵性。

我們按 $(R_{c}, R_{L})_{Y}$ 的順序書寫內部表示，並使用 $Q = T_{3} + Y$ 。下表的 $u_{R}, d_{R}, e_{R}$ 是實際的右手徵場，而不是它們的左手徵電荷共軛場。對於一代粒子：

場	分量	$(S U (3)_{c}, S U (2)_{L})_{Y}$	電荷 $Q$
$Q_{L}$	$(u_{L}, d_{L})^{T}$ ，每個都有三種顏色	$(3, 2)_{1/6}$	$2/3, - 1/3$
$u_{R}$	右手徵上夸克，有三種顏色	$(3, 1)_{2/3}$	$2/3$
$d_{R}$	右手徵下夸克，有三種顏色	$(3, 1)_{- 1/3}$	$- 1/3$
$L_{L}$	$(ν_{L}, e_{L})^{T}$	$(1, 2)_{- 1/2}$	$0, - 1$
$e_{R}$	右手徵帶電輕子	$(1, 1)_{- 1}$	$- 1$
$H$	複純量二重態 $(H^{+}, H^{0})^{T}$	$(1, 2)_{1/2}$	$1, 0$

費米子的這些指派在三代中重複出現。希格斯二重態是單獨一個純量多重態，不是第四代費米子。最小可重整化標準模型不含 $ν_{R}$ ，並給出無質量微中子；觀測到的微中子質量需要高維算符或新場等額外要素。表中的標準指派與約定可對照 Tong 第 5.1 節。

例題 15：讀懂一個乘積表示

左手徵夸克二重態攜帶色指標 $a = 1, 2, 3$ 與弱指標 $i = 1, 2$ 。變換形式為

Q_{L}^{ai} ⟼ (U_{c})^{a}_{b} (U_{L})^{i}_{j} e^{i β /6} Q_{L}^{bj} .

內部空間為 $C^{3} \otimes C^{2}$ ，每代共有六個分量。這裡是張量積，因為兩個因子通過不同的指標作用於同一個場。不同的群因子在這個空間上交換： $U_{c} \otimes I_{2}$ 與 $I_{3} \otimes U_{L}$ 交換。但在任意一個非阿貝爾因子內部，變換一般不交換。

這裡的 $β$ 是局部超荷參數。若要用週期為 $2 π$ 的角度表示一個緊緻圓，可以使用整數正規化的荷 $n = 6 Y$ ，寫成 $e^{in θ}$ ，其中 $β = 6 θ$ 。因此，分數 $Y$ 是正規化約定，並不違反 $U (1)$ 表示的整數規則。

作用於任意標準模型多重態的協變導數為

D_{μ} = \partial_{μ} - i g_{s} G_{μ}^{a} T_{c}^{a} - i g W_{μ}^{i} T_{L}^{i} - i g^{'} B_{μ} Y .

如果場是某個因子的單態，對應生成元就為零。共有八個膠子規範場 $G_{μ}^{a}$ 、三個弱規範場 $W_{μ}^{i}$ ，以及一個超荷規範場 $B_{μ}$ ：電弱對稱性破缺之前，共有 $8 + 3 + 1 = 12$ 個代數方向。這些是場的種類標籤，不是物理偏振態的數目。帶電的右手徵費米子仍然耦合於超荷，混合之後也耦合於光子和 $Z$ ；弱單態並不等於沒有交互作用。

8.17 光子如何從電弱混合中出現

超荷不是電磁荷。為了看清原因，設希格斯場的勢能在 $H^{†} H = v^{2} /2$ 處達到極小值。在一個方便的規範中，選擇真空的代表元

⟨ H ⟩ = \frac{1}{2} (0 v) .

下分量具有 $T_{3} = - 1/2$ 與 $Y = + 1/2$ ，因此

(T_{3} + Y) ⟨ H ⟩ = 0.

所以組合 $Q = T_{3} + Y$ 保持這個代表元不變。這就確定了未破缺的電磁生成元。通常所謂「電弱對稱性破缺」描述的是這個希格斯機制；局部規範冗餘並不是一種能以整體對稱性同樣的意義發生破缺的物理對稱性。固定規範後的真空語言，是計算物理譜的一種有效方法。

例題 16：求出中性場的混合矩陣

把常量的希格斯代表元代入 $(D_{μ} H)^{†} D^{μ} H$ 。取 $T_{i} = σ_{i} /2$ 、 $Y = 1/2$ ，規範場的二次項為

\frac{v ^{2}}{8} [g^{2} ((W_{μ}^{1})^{2} + (W_{μ}^{2})^{2}) + (g W_{μ}^{3} - g^{'} B_{μ})^{2}],

其中每個平方都表示洛倫茲指標的縮約。質量項中只出現一個中性組合。定義

tan θ_{W} = \frac{g ^{'}}{g}, A_{μ} = sin θ_{W} W_{μ}^{3} + cos θ_{W} B_{μ},

Z_{μ} = cos θ_{W} W_{μ}^{3} - sin θ_{W} B_{μ}, W_{μ}^{\pm} = \frac{W _{μ}^{1} \mp i W _{μ}^{2}}{2} .

則 $g W^{3} - g^{'} B = g^{2} + g^{'2} Z$ 。與它正交的組合 $A$ 沒有由希格斯機制產生的質量，它就是光子場。在樹圖階，

m_{W} = \frac{gv}{2}, m_{Z} = \frac{v g ^{2} + g ^{'2}}{2}, m_{A} = 0.

把混合關係的逆變換代入協變導數的中性部分。 $A_{μ}$ 的系數為

g sin θ_{W} T_{3} + g^{'} cos θ_{W} Y = e (T_{3} + Y) = e Q, e = g sin θ_{W} = g^{'} cos θ_{W} .

這樣就同時推導出了電荷算符和電磁耦合關係。光子是兩個原始規範場的混合，而不只是改了名字的超荷場。這些公式是樹圖階關係；精密電弱分析還需要重整化，並指定相應的方案。

色、弱和超荷因子分別貢獻八個、三個和一個生成元；希格斯機制之後，中性弱場與超荷場混合成光子場和 Z 場。

乘積群作用於內部指標。電弱混合組合 $W^{3}$ 與 $B$ ，而色仍是獨立的規範因子。

例題 17：恢復熟悉的電荷

對於 $Q_{L}$ ， $T_{3}$ 的特徵值為 $+ 1/2, - 1/2$ ，而 $Y = 1/6$ 同時乘在兩個分量上。因此 $Q (u_{L}) = 1/2 + 1/6 = 2/3$ ， $Q (d_{L}) = - 1/2 + 1/6 = - 1/3$ 。對於 $L_{L}$ ， $Y = - 1/2$ ，所以 $Q (ν_{L}) = 0$ ， $Q (e_{L}) = - 1$ 。弱單態的 $T_{3} = 0$ ，因此電荷就等於表中列出的 $Y$ 。

在希格斯機制發生之前，電弱描述具有四個無質量規範場，每個有兩個物理偏振，再加上四個實希格斯分量，共有 $8 + 4 = 12$ 個物理自由度。之後有三個有質量向量玻色子，每個有三個偏振；一個光子，有兩個偏振；再加上一個希格斯純量，共有 $9 + 2 + 1 = 12$ 個自由度。這個微擾計數說明，縱向向量模式如何出現，而不額外創造自由度。八個膠子在拉格朗日量中仍然無質量；禁閉涉及它們在長距離上的物理實現，並不是希格斯質量項。

8.18 整體結構，以及對稱性尚未完成的任務

前面對 $S U (2)$ 與 $SO (3)$ 的比較，為理解標準模型記號中的一個細節做好了準備。指定李代數及其局部耦合，並不能唯一確定規範群的整體形式。

用 $n = 6 Y$ 正規化超荷圓，並令 $ω = e^{2 πi /3}$ 。考慮中心元素

z = (ω I_{3}, - I_{2}, e^{iπ /3}) \in S U (3) \times S U (2) \times U (1) .

它對場的作用包含相位 $(e^{iπ /3})^{6 Y}$ 。對於 $Q_{L}$ ，總因子是 $ω (- 1) e^{iπ /3} = 1$ 。對於 $L_{L}$ ，因子為 $(- 1) e^{- iπ} = 1$ ；對於 $H$ ，則為 $(- 1) e^{iπ} = 1$ 。對於 $u_{R}, d_{R}, e_{R}$ ，分別是 $ω e^{4 πi /3} = 1$ 、 $ω e^{- 2 πi /3} = 1$ 和 $e^{- 2 πi} = 1$ 。

因此，表中的物質場無法區分由 $z$ 生成的子群，也就是 $Z_{6}$ 。它們的局部表示與以下整體形式都相容：

\frac{S U ( 3 ) \times S U ( 2 ) \times U ( 1 )}{Γ}, Γ \subseteq Z_{6},

其中可以取平凡子群、 $Z_{2}$ 、 $Z_{3}$ 或 $Z_{6}$ 。若聲稱熟悉的粒子表已經唯一確定了最大的商群，就說得過頭了。盡管這些選擇共享本文討論的局部微擾數據，它們允許的線算符、叢以及磁性扇區仍可能不同。Tong 第 5.1.6 節解釋了這一限定。

還有其他尚未完成的任務。規範不變性約束交互作用，但量子一致性還要求規範反常相消。作為一個簡短的例子，混合 $S U (2)^{2} U (1)$ 反常中，二重態貢獻正比於

3 (\frac{1}{6}) + (- \frac{1}{2}) = 0.

因子三來自夸克的顏色數；這裡省略了共同的二重態跡正規化因子 $1/2$ 。這只展示了一種反常的相消，並不能證明所有反常都消失。完整計算包括三次反常、混合反常和整體反常，並須一致地使用手徵性約定。在全用左手徵場寫成的表中，對右手徵場取共軛時，也必須共軛其色表示，並反轉超荷。

規範不變性允許 $\overline{L}_{L} H e_{R}$ 這樣的湯川交互作用：它的超荷之和為 $+ 1/2 + 1/2 - 1 = 0$ 。但它不預言湯川耦合的具體數值。群的名稱也無法推導出希格斯勢、禁閉、三代粒子、微中子質量、暗物質或引力。這些問題需要進一步的動力學、證據或理論擴展。

我們已經建立了一套可以讀懂的結構：群的複合告訴我們變換如何組合；李代數告訴我們它們局部的非交換性；表示告訴我們哪些場攜帶哪些荷；聯絡比較內部標架；曲率與不變作用量確定規範動力學。物理學前沿一章把這套結構放進已確立物理與未解問題的更廣闊版圖中。

8.19 附答案的練習

先自己嘗試計算，再閱讀答案。目標是重現推理過程，而不是背誦一串群的名稱。

練習 1：子群與反例

偶整數是 $(Z, +)$ 的子群嗎？正實數是非零實數乘法群的子群嗎？

**答案。**兩者都是子群。偶整數包含 $0$ ，對加法封閉，也包含加法逆元。正實數包含 $1$ ，對乘法封閉，倒數也為正。不過，正數在加法下不能組成群，因為其中既沒有 $0$ ，也沒有加法逆元。一定要說明所用的運算。

練習 2：逆元與三角形

利用 $r^{3} = s^{2} = e$ 與 $srs = r^{- 1}$ ，求 $(sr)^{- 1}$ ，並證明 $(sr)^{2} = e$ 。

**答案。**逆序規則給出 $(sr)^{- 1} = r^{- 1} s$ 。在 $srs = r^{- 1}$ 左邊乘以 $s$ ，得到 $rs = s r^{- 1}$ ；等價地， $sr = r^{- 1} s$ 。因此 $(sr)^{- 1} = sr$ 。也可以直接計算 $srsr = r^{- 1} r = e$ 。乘積 $sr$ 是一個反射，與置換 $(13)$ 相符。

練習 3：行列式與維數

$diag (e^{i α}, e^{i β})$ 屬於 $S U (2)$ 嗎？ $S U (4)$ 有多少個獨立實參數？

**答案。**這個對角矩陣總是么正矩陣，但只有當 $α + β$ 是 $2 π$ 的整數倍時，才是特殊么正矩陣。維數公式給出 $4^{2} - 1 = 15$ 。定義表示的複維數為四，這是另一個不同的數字。

練習 4：計算生成元的對易子

取 $t_{a} = σ_{a} /2$ ，計算 $[t_{2}, t_{3}]$ 與 $tr (t_{3}^{2})$ 。

**答案。**因為 $σ_{2} σ_{3} = i σ_{1}$ ， $σ_{3} σ_{2} = - i σ_{1}$ ，所以對易子是 $i t_{1}$ 。此外， $t_{3}^{2} = I /4$ ，其跡為 $2/4 = 1/2$ 。漏掉這些二的因子，會改變結構常數或耦合的正規化。

練習 5：哪些表示能夠下降到 $SO (3)$ ？

一個不可約 $S U (2)$ 表示的自旋為 $j$ ，維數為 $2 j + 1$ 。一次 $2 π$ 旋轉的作用是 $(- 1)^{2 j} I$ 。哪些 $j$ 值給出 $SO (3)$ 的表示？

**答案。**一個表示能夠通過對 ${I, - I}$ 取商而下降，當且僅當 $- I$ 的作用平凡。這在整數 $j = 0, 1, 2, \dots$ 時成立。半整數 $j$ 會給出非平凡的負號，因而不能下降。這是僅憑局部對易關係無法看出的整體限制。

練習 6：相加兩個 $U (1)$ 荷

兩個場分別按 $ϕ \mapsto e^{in θ} ϕ$ 和 $χ \mapsto e^{im θ} χ$ 變換。 $ϕ χ$ 與 $ϕ^{*} χ$ 的荷分別是多少？

**答案。**相乘相位，得到荷 $n + m$ 與 $m - n$ 。複共軛使 $U (1)$ 荷反號。這是取張量積與共軛表示的阿貝爾版本，也說明了怎樣快速檢查交互作用項的總超荷是否為零。

練習 7：純規範勢

從 $A_{μ} = 0$ 出發，施加光滑的變換 $U (x)$ 。 $A_{μ}^{'}$ 是什麼？其曲率是多少？

**答案。**規範勢為 $A_{μ}^{'} = - (i / g) (\partial_{μ} U) U^{- 1}$ 。曲率為零，因為 $F^{'} = U F U^{- 1} = 0$ 。勢可以不為零，而場強為零。這是在一個局部區域上使用光滑規範變換得到的局部結論；整體拓撲可能阻止我們用同一個規範選擇覆蓋整個構型。

練習 8：微小的非阿貝爾回路

設 $A_{x} = a t_{1}$ 、 $A_{y} = b t_{2}$ 為常量。求沿面積為 $S$ 、取正向的微小 $x y$ 矩形回路平行移動的首階結果。

**答案。**第 8.15 節給出 $F_{x y} = g ab t_{3}$ ，所以 $W_{□} = I + i g^{2} ab S t_{3} + \dots$ 。第一個非零效應正比於面積，而不是周長。反轉回路方向會反轉這一首項的符號。

練習 9：數一代費米子

計算 $Q_{L}, u_{R}, d_{R}, L_{L}, e_{R}$ 的內部分量數，不要把洛倫茲旋量分量再數一遍。若加入一個惰性 $ν_{R}$ ，會有什麼變化？

**答案。**每代共有 $3 \times 2 + 3 + 3 + 2 + 1 = 15$ 個外爾場。規範單態 $ν_{R}$ 再增加一個，總共十六個，其指派為 $(1, 1)_{0}$ 。這個計數既不是規範生成元數，也不是按名稱區分的粒子味數。

練習 10：檢查湯川耦合

檢查 $\overline{Q}_{L} H d_{R}$ 與 $\overline{Q}_{L} H u_{R}$ 的總超荷是否為零，其中 $H = i σ_{2} H^{*}$ 。

**答案。**對 $Q_{L}$ 取共軛，得到超荷 $- 1/6$ 。第一個和為 $- 1/6 + 1/2 - 1/3 = 0$ 。由於 $H$ 具有 $Y = - 1/2$ ，第二個和為 $- 1/6 - 1/2 + 2/3 = 0$ 。色指標在 $\overline{3}$ 與 $3$ 之間縮約；弱二重態指標也縮約成單態。總超荷為零是必要條件，但必須檢查所有群因子。

練習 11：找出電磁生成元

對於超荷為 $y$ 的二重態，求兩個分量的電荷。 $y$ 取什麼值時，下分量不帶電？

**答案。**電荷分別為 $y + 1/2$ 與 $y - 1/2$ 。當 $y = 1/2$ 時，下分量中性，正是希格斯的指派。中性的真空分量使組合 $T_{3} + Y$ 在希格斯描述中保持未破缺。

練習 12：讀出群標籤沒有指定的內容

兩個理論具有相同的規範代數 $su (3) \oplus su (2) \oplus u (1)$ 。它們必須具有相同的粒子、耦合、整體群和預言嗎？

**答案。**不必。它們可以具有不同的物質表示、耦合數值、純量勢或整體商群，只需滿足反常相消等一致性條件。即使局部場的內容完全相同，也可能允許不同的整體選擇。代數約束一個理論，但不是整個理論。

8.20 術語表、閱讀路線與參考資料

術語	本章中的含義
群	具有滿足結合律的複合運算、單位元和逆元的集合。
阿貝爾	任意兩個群元素都交換。
作用	群以一致的規則變換某個集合。
同態	保持複合規律的映射。
核	被映到恆等變換的元素。
忠實	核平凡，因而不同群元素仍然可區分。
李群	具有光滑群運算的光滑流形。
李代數	單位元處的切空間，配備李括號。
生成元	無窮小變換，在物理中常用厄米基書寫。
結構常數	在選定基中，把生成元對易子展開所得到的系數。
表示	群通過可逆線性映射作用於向量空間。
不可約	沒有非零的真不變子空間。
定義表示	定義經典矩陣群時所用的標準矩陣作用。
伴隨表示	通過共軛作用於李代數的表示。
單態	指定群的一維平凡表示。
聯絡	比較相鄰點內部向量的規則。
曲率	協變導數或無窮小平行移動不交換的程度。
和樂（holonomy）	沿閉合路徑平行移動後產生的淨變換。
規範不變	在允許的規範變換下保持不變。
規範協變	按指定的表示規律變換。
超荷	$U (1)_{Y}$ 的生成元，本文按 $Q = T_{3} + Y$ 正規化。
手徵性	由 $γ^{5}$ 選出的左或右洛倫茲旋量部分；對有質量粒子而言，不同於螺旋度。

如果計算卡住了，就回到最小的具體例子。在三角形的一個頂點上檢驗複合操作，用包立矩陣檢驗矩陣恆等式，用乘在常量場上的相位檢驗規範變換的符號，用希格斯二重態的下分量檢驗標準模型的電荷。這些檢查把抽象記號與可以明確執行的操作聯繫起來。

下面的數學資料建立了相關定義與定理；物理資料提供場論約定與標準模型背景。本文的文字、例題和示意圖均為原創，記號經過統一，以保持內部一致，而不是不加區分地從不同參考資料中照搬。

Pavel Etingof，《李群與李代數 I》，MIT 18.745。第 2—7 講發展李群、覆蓋、指數映射與括號；第 9 講介紹表示。這是第 8.6—8.10 節在數學上的延伸。
Eckhard Meinrenken，《李群與李代數》，多倫多大學。從另一個角度介紹矩陣群、指數映射以及整體與局部結構。如果需要從幾何上再次理解 $S U (2)$ 與 $SO (3)$ 的區別，這份資料很有幫助。
Peter Woit，《李群與表示》中的李代數講義，哥倫比亞大學，以及表示的一般性質。這些資料發展切空間的約定，以及不變子空間、直和與張量積的語言。
Hugh Osborn，《對稱性與群》，劍橋大學。適合需要在數學與物理記號之間切換、繼續學習群論和表示論的讀者。
David Tong，《標準模型》第 1 章：對稱性，劍橋大學。第 1.3 節聯繫了馬克士威理論、李代數和楊—米爾斯理論，為第 8.12—8.15 節使用的規範理論框架提供依據。
David Tong，《規範理論》第 2 章：楊—米爾斯理論。由此可以進一步學習威爾遜線、非阿貝爾動力學和量子規範理論。閱讀時要留意耦合常數是否已包含在聯絡定義中。
David Tong，《標準模型》第 5 章：電弱交互作用。第 5.1—5.2 節涵蓋場的指派、反常約束、規範群整體形式的選擇以及電弱混合。本文的順序 $(R_{c}, R_{L})_{Y}$ 把色放在前面；資料中採用自己的排列順序，所以應比較標籤，而不是欄的位置。

在 Open Physics Notes 中繼續學習時，可以閱讀微分幾何來掌握幾何語言，閱讀量子場論來學習動力學與量子化，並閱讀物理學前沿來了解標準模型更廣泛的背景及其局限。

群、李代數與規範理論

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