暗能量

約定： 重力方程採用 $c=1$，$\rho$ 表示能量密度；第3節在距離公式中恢復 $c$。令今天的 $a_0=1$，則 $1+z=1/a$。上方圓點表示對宇宙時間微分。距離範例假定空間平坦。暗能量是在廣義相對論中解釋宇宙晚期加速的成分名稱，並不是已經發現的某種粒子。

1. 現象：加速膨脹的宇宙

為什麼加速令人意外？普通物質產生吸引，應使已經開始的膨脹減速。但超新星團隊發現，經過標準化的遠方Ia型超新星，比減速參考模型預測的更暗，因此距離更遠。1998年的分析和獨立的1999年分析從距離—紅移關係推論加速，並非即時看到某個星系的速度增加。塵埃、天體演化和樣本選擇都需要檢驗；不同宇宙學探測方法的一致性，使這種解釋更有說服力。

尺度因子 $a(t)$ 描述隨平均宇宙流自由運動的觀測者之間的距離。均勻性與各向同性給出以下FLRW度規，$k$ 表示空間曲率。將完美流體的能量動量張量代入愛因斯坦方程，可得兩條弗里德曼方程。此處的 $\rho ,p$ 不含另外寫出的宇宙常數。

$$\begin{array}{c}d{s}^2=-d{t}^2+a^2(t)\left[\frac{d{r}^2}{1-k{r}^2}+r^{2}d{\Omega }^2\right],H=\frac{\dot{a}}{a}.\\ H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k}{a^2}+\frac{\Lambda }{3},\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +3p)+\frac{\Lambda }{3}.\end{array}$$

廣義相對論中壓力也產生重力：加速方程包含 $\rho +3p$，而不只是密度。因此，正密度配合足夠負的壓力就能使膨脹加速，不需要負質量。也可把 $\Lambda$ 納入滿足 ${\rho }_{\Lambda }=\Lambda /(8\pi G)$、$p_{\Lambda }=-{\rho }_{\Lambda }$ 的流體，同時刪除明寫的 $\Lambda$ 項，不能重複計算。若總密度為正，加速要求 $w_{\mathrm{total}}=p_{\mathrm{total}}/{\rho }_{\mathrm{total}}<-1/3$。即使暗能量本身滿足 $w<-1/3$，若占比太小而物質仍主導，也不會加速。

減速參數 $q$ 將這項區別定量化。各 ${\Omega }_i$ 都是相對於同一時期臨界密度 $3H^2/(8\pi G)$ 的比例，以下將暗能量視為流體。加速表示 $q<0$，卻不一定表示 $H$ 增加：距離的增加速度可越來越快，同時相對成長率卻在下降。

$$q\equiv -\frac{\ddot{a}}{a{H}^2}=\frac{1}{2}{\Omega }_m+{\Omega }_r+\frac{1}{2}(1+3w){\Omega }_{\mathrm{DE}},\dot{H}=\frac{\ddot{a}}{a}-H^2.$$

計算範例： 僅作說明，採用平坦的物質＋$\Lambda$ 模型，${\Omega }_{m0}=0.30$、${\Omega }_{\Lambda 0}=0.70$，忽略輻射。今天 $q_0=0.30/2-0.70=-0.55$。由於 ${\rho }_m\propto a^{-3}$，加速從 ${\rho }_m=2{\rho }_{\Lambda }$ 開始，所以 $a_{\mathrm{acc}}=(0.30/1.40{)}^{1/3}\simeq 0.598$，即 $z_{\mathrm{acc}}\simeq 0.67$。物質與真空密度相等則發生在更晚的 $a\simeq 0.754$。暗能量超過物質和加速開始，是兩個不同的門檻。

加速有自己的門檻。 在範例平坦模型 $({\Omega }_{m0},{\Omega }_{\Lambda 0})=(0.30,0.70)$ 中，$q(a)$ 在 $a\simeq 0.598$ 穿過零點（實線輔助線），密度相等則在 $a\simeq 0.754$（虛線）。曲線依給定模型計算，不是觀測擬合。

2. 狀態方程與參數化

定義 $w=p_{\mathrm{DE}}/{\rho }_{\mathrm{DE}}$。對於不與其他組分交換能量的均勻成分，局部能量動量守恆給出連續方程。除以 $H\rho$，再用 $d\ln a=Hdt$，即可積分：

$$\begin{array}{c}{\dot{\rho }}_{\mathrm{DE}}+3H({\rho }_{\mathrm{DE}}+p_{\mathrm{DE}})=0,\frac{d\ln {\rho }_{\mathrm{DE}}}{d\ln a}=-3(1+w).\\ {\rho }_{\mathrm{DE}}(a)={\rho }_{\mathrm{DE},0}\exp \left[-3{\int }_1^a(1+w(a^{\prime }))d\ln a^{\prime }\right].\end{array}$$

若 $w$ 恆定，則 $\rho \propto a^{-3(1+w)}$。物質的 $w\simeq 0$，密度隨體積增加而稀釋；輻射的 $w=1/3$，還有光子紅移造成的能量損失。宇宙常數滿足 $w=-1$，密度不變。對共動體積 $V\propto a^3$ 使用 $d(\rho V)=-pdV$ 也得到相同結果。負壓允許體積內的能量隨體積增加，符合局部守恆。一般膨脹時空未必具有靜態時空那種全域守恆的總能量。

Chevallier–Polarski–Linder（CPL）形式以今天的 $w_0$ 和變化係數 $w_a$ 描述可能的時間演化。代入積分後得到以下密度，指數因子不可省略。參見原始論文：Chevallier–Polarski與Linder。

$$\begin{array}{c}w(a)=w_0+w_a(1-a)=w_0+\frac{w_{a}z}{1+z},\\ \frac{{\rho }_{\mathrm{DE}}(z)}{{\rho }_{\mathrm{DE},0}}=(1+z{)}^{3(1+w_0+w_a)}\exp \left[-\frac{3w_{a}z}{1+z}\right].\end{array}$$

CPL是一族擬合函數，不是微觀理論。$(-1,0)$ 對應 $\Lambda$；它可以跨過 $w=-1$，但單一最小耦合、正能量的正則純量場無法做到。對正密度完美流體，$w<-1$ 表示 $\rho +p<0$，違反零能量條件；然而有效擬合不一定表示基礎理論中存在鬼場。當 $w_a\ne 0$ 時，CPL在 $a\to \infty$ 發散，因此不能合理地據此推斷遙遠未來。

3. 背景可觀測量

望遠鏡測量通量、角度、光譜和相關性。模型將它們轉換成距離和膨脹率；沒有儀器直接讀出暗能量密度。每種探測方法提供這項轉換的不同部分。

3.1 哈伯膨脹

定義 ${\Omega }_{i0}={\rho }_{i0}/{\rho }_{c0}$，其中 ${\rho }_{c0}=3H_0^2/(8\pi G)$。平坦宇宙中的各比例總和為1。分別守恆的物質、輻射和暗能量給出：

$$\frac{H^2(z)}{H_0^2}={\Omega }_{r0}(1+z{)}^4+{\Omega }_{m0}(1+z{)}^3+{\Omega }_{\mathrm{DE},0}\frac{{\rho }_{\mathrm{DE}}(z)}{{\rho }_{\mathrm{DE},0}}.$$

在範例的 $z=1$ 處，$H/H_0=\sqrt{0.30\times 8+0.70}\simeq 1.761$。保持今天的比例和 $H_0$ 不變，將 $w=-1$ 改成恆定的 $w=-0.8$，暗能量項變為 $0.70\times 2^{0.6}$，得到 $H/H_0\simeq 1.860$。該時期的暗能量密度改變約52%，總膨脹率卻只改變5.7%。物質削弱了效應，距離積分又進一步平滑變化，因此測量時間演化非常困難。

3.2 距離（Ia型超新星、BAO、CMB）

徑向光線滿足 $d{s}^2=0$，使距離與 $1/H$ 的積分相連。在平坦空間中，共動距離 $\chi$、光度距離 $d_L$ 和角直徑距離 $D_A$ 滿足以下關係。若有曲率，後兩條距離關係中的 $\chi$ 必須換成依賴曲率的橫向共動距離。通常的距離對偶性還要求光子沿零測地線運動，且光子數守恆。

$$\begin{array}{c}\chi (z)=c{\int }_0^z\frac{d{z}^{\prime }}{H(z^{\prime })},d_L=(1+z)\chi ,D_A=\frac{\chi }{1+z},\\ \mu =5{\log }_{10}\left(\frac{d_L}{10\mathrm{pc}}\right),D_V={\left[(1+z{)}^2{D}_A^2\frac{cz}{H(z)}\right]}^{1/3}.\end{array}$$

校準的光度 $L$ 與通量 $F$ 滿足 $F=L/(4\pi d_L^2)$。Ia型超新星是可標準化的燭光，不是完全相同的燭光：光變曲線形狀、顏色和宿主星系修正都很重要。距離模數 $\mu$ 以對數表達距離。沒有絕對校準的樣本主要給出相對距離，絕對光度與 $H_0$ 存在簡併。0.10星等的偏移就會使推論距離改變 $10^{0.10/5}-1\simeq 4.7\%$，顯示校準的重要性。

重子聲學振盪（BAO）利用早期電漿聲波留下的統計偏好間距。共動聲學視界 $r_d$ 在重子拖曳時期計算。垂直視線方向約束 $D_M/r_d$，沿視線方向約束 $D_H/r_d$，其中 $D_H=c/H$。小間距下的示意關係為：

$${\theta }_{\mathrm{BAO}}\simeq \frac{r_d}{D_M(z)},\Delta z_{\mathrm{BAO}}\simeq \frac{H(z)r_d}{c},D_M=(1+z)D_A.$$

一把統計標尺，兩個方向。 橙色橫向間距將 $r_d$ 與角度 $\theta$、$D_M$ 連結；藍色徑向間距將 $r_d$ 與 $\Delta z$、$H$ 連結。幾何為示意，標尺採用共動長度。

$D_V$ 概括各向同性BAO分析的距離資訊；各向異性分析保留徑向與橫向資訊。BAO是相關函數的特徵，不是個別星系攜帶的剛性尺。宇宙微波背景（CMB）約束早期密度和聲學尺度，協助校準 $r_d$。晚期參數推論仍依賴早期物理：改變早期膨脹可能改變尺的長度。Planck參數分析是這種條件式推論的具體例子。

4. 結構成長

膨脹只是檢驗的一半。物質密度超額 $\delta =\delta {\rho }_m/{\rho }_m$ 也透過重力成長。對廣義相對論中視界內、線性、無壓的物質擾動，假設暗能量平滑且輻射貢獻可忽略，連續、歐拉和卜瓦松方程合併為：

$$\ddot{\delta }+2H\dot{\delta }-4\pi G{\rho }_m\delta =0,f\equiv \frac{d\ln D}{d\ln a}.$$

$\delta \propto D(a)$ 描述成長模式。$2H\dot{\delta }$ 項抑制成長，密度項促進成長。在平坦的純物質時期，$D\propto a$；平滑暗能量變重要後，成長相對於 $a$ 變慢。$f\simeq {\Omega }_m(a{)}^{0.55}$ 是 $\Lambda$CDM附近的近似，不是所有模型和尺度都適用的恆等式。紅移空間扭曲約束 $f{\sigma }_8$ 等組合。${\sigma }_8$ 是半徑 $8h^{-1}$ Mpc球內平均的線性密度對比之均方根，$h=H_0/(100\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}\mathrm{Mp}{\mathrm{c}}^{-1})$。

星系運動回應牛頓位勢 $\Psi$，重力透鏡則探測 $\Phi +\Psi$。採用傅立葉約定 ${\nabla }^2\to -k^2$，相對基準模型的偏離常寫為：

$$k^2\Psi =-4\pi G_{\mathrm{eff}}(k,a)a^2{\rho }_m\Delta ,\eta =\frac{\Phi }{\Psi }.$$

$\Delta$ 是共動物質密度擾動；此處 $k$ 是波數，不是背景曲率。在可忽略非等向應力的廣義相對論中，$G_{\mathrm{eff}}=G$、$\eta =1$。但微中子應力或其他非理想組分，也能在廣義相對論內造成兩個位勢不同。因此，宣稱修正重力前，必須檢驗物質物理、星系偏差和觀測系統誤差。

5. 微觀模型概述

背景層次的 $w$ 擬合不能唯一確定某個場或重力理論。同樣的 $H(z)$ 可以對應不同的擾動、穩定性條件和局部重力行為。

5.1 宇宙常數 $\Lambda$

勞侖茲不變真空的能量動量張量與度規成正比。即使能量密度為正，其壓力仍為負：

$$T_{\mu \nu }^{(\Lambda )}=-{\rho }_{\Lambda }{g}_{\mu \nu },p_{\Lambda }=-{\rho }_{\Lambda },{\rho }_{\Lambda }=\frac{\Lambda }{8\pi G}.$$

宇宙常數問題是：包含重力常數項和量子修正的真空重整化總貢獻，為什麼如此小？截斷估算不是測得的預測，數值差異取決於假設的能量尺度與正則化方式。加入自由的 $\Lambda$ 可匹配觀測值，卻無法解釋它為何能抵禦巨大修正而保持穩定。即使最終確認 $w=-1$，問題仍然存在。參見Peebles與Ratra的理論討論。

巧合問題則是另一個問題：真空與物質的密度比按 $a^3$ 變化，為何我們恰好觀測到兩者相近的時期？它提供動力學模型的動機，卻不證明這些模型正確。

5.2 精質場

精質場模型引入最小耦合的正則純量場。對均勻場及度規號差 $(-,+,+,+)$，以動能 $K$ 和位能 $V$ 表示：

$$\begin{array}{c}\mathcal{L}=-\frac{1}{2}{g}^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }_{\nu }\varphi -V(\varphi ),\\ K=\frac{1}{2}{\dot{\varphi }}^2,{\rho }_{\varphi }=K+V,p_{\varphi }=K-V,w_{\varphi }=\frac{K-V}{K+V}.\end{array}$$

變分作用量可得場方程；在 $\dot{\varphi }\ne 0$ 時，也能將 ${\rho }_{\varphi },p_{\varphi }$ 代入連續方程推得。$3H\dot{\varphi }$ 項扮演宇宙學摩擦的角色。

$$\ddot{\varphi }+3H\dot{\varphi }+V_{,\varphi }=0,{\rho }_{\varphi }+3p_{\varphi }=4K-2V.$$

若該場主導，加速要求 $K<V/2$。當 $K\ll V$ 時，它近似宇宙常數；若 $V=0$，則 $w=1$，所以有純量場並不自動表示加速。若 $K,V\ge 0$ 且密度為正，$-1\le w\le 1$。反冪或指數位能在適當參數下可有追蹤解，降低對某些初始條件的敏感性，卻不會消除全部微調。位能、耦合和擾動穩定性仍是物理假設，不能由CPL擬合成功推導出來。

5.3 修正重力

修正重力改變物質與曲率的關係。例如，度規 $f(R)$ 理論通常增加一個純量自由度。變色龍屏蔽可抑制其局部效應；Vainshtein屏蔽則出現在其他含導數交互作用的理論中，兩者都不是所有模型的普遍性質。Horndeski與退化高階純量—張量理論整理了更廣泛的可能性。GW170817及其伽瑪射線對應體嚴格約束觀測範圍內重力與光的傳播速度差，在相應假設下排除許多交互作用，卻沒有排除所有修正重力。

6. 張力與一致性檢驗

哈伯張力比較依賴模型的早期宇宙 $H_0$ 推論，與本地距離階梯測量。Planck分析屬於前者，不是直接測量本地膨脹。改變晚期暗能量不會自動解決問題，因為同一改變還必須符合BAO與超新星距離。「早期暗能量」是影響較早時期的另一項提案，不是今天加速成分的別名。

$S_8={\sigma }_8\sqrt{{\Omega }_m/0.3}$ 概括透鏡測量的重要簡併，不是全部資訊。與CMB推論的差異依賴資料、非線性建模、重子回饋、紅移校準和星系內禀排列。應比較完整概似與共用干擾參數，而不是將每個表面張力都視為獨立的新物理證據。

7. 參數推論流程

1. 指定模型與先驗：曲率、微中子質量、早期物理，以及暗能量是否聚集；$w_0,w_a$ 本身不是完整理論。
2. 一致計算 $H$、距離、早期聲學尺度與線性擾動。精密分析需要波茲曼求解器，不能只靠成長指數擬合或壓縮的CMB距離資訊。
3. 結合選擇、校準和干擾參數，預測觀測統計量。保留重疊資料的共變異數，將相關概似當作獨立量相乘會重複計算資訊。
4. 取樣後驗，檢驗擬合優度、先驗依賴及逐一移除探測方法後的穩定性。更多參數能改善擬合，卻不能單憑這點確認新的物理成分。

8. 研究現況

證據核實至2026年10月13日。 2025年DESI DR2 BAO論文指出，BAO單獨可由平坦 $\Lambda$CDM良好描述。在CPL擴展中，BAO＋CMB以 $3.1\sigma$ 偏好時間演化；加入不同超新星樣本後為 $2.8$–$4.2\sigma$。這些是與 $(w_0,w_a)=(-1,0)$ 的特定比較，不是直接發現純量場。

2026年DES多重探測分析結合幾何與結構成長，在CPL內報告：DES單獨偏離 $2.2\sigma$，加入DESI DR2 BAO後 $2.3\sigma$，再加初級CMB資訊後 $3.0\sigma$。這些組合與其他分析重疊，不能將顯著性當成相互獨立的確認來相乘。

2026年7月發表、8月修訂的DESI Lyα全形狀分析加入有效紅移 $z=2.33$ 的Alcock–Paczyński幾何測量。新基準點朝 $\Lambda$CDM移動；論文報告DESI＋CMB以 $2.7\sigma$ 偏好CPL，加入其超新星樣本後為 $3.2\sigma$。證據持續更新，並依賴擬合使用的資訊。

標準差的倍數以模型、概似及系統誤差處理為條件，並非「暗能量演化的機率」。開放問題包括：獨立校準與成長檢驗能否保留此模式，什麼穩定的物理理論能實現它，以及更簡單的解釋是否仍成立。現有跡象值得研究，但加速的微觀起源尚未解決。

常見誤解： 暗能量不是聚集在暈中的暗物質。負壓不表示負能量密度，也不是從宇宙中心吹出、推動星系的風。束縛的原子、太陽系和星系不會單純跟隨宇宙尺度因子。今天的加速或有限紅移範圍的CPL擬合，都不能確定宇宙最終命運：恆定真空、變動位能與未來不穩定性，有不同的外推。