黑洞資訊悖論
一本書掉進黑洞後，找回文字當然很困難。但資訊悖論問的是更根本的問題：即使能完美操控最後留下的一切，兩個不同的初始量子態，是否仍可能變成同一個最終態？普通燃燒把資訊打散到煙、光及其關聯中；根本性的抹除則會改變量子力學的定律。
這個問題連結廣義相對論、量子場論與統計力學。三者都是成功的理論，但當時空本身必須量子化時，僅把它們結合起來並不完整。以下區分受控近似的結果、以么正性為前提的推論，以及實際觀測。
約定： 除島嶼公式採用 外，均明示SI常數。 是熱力學熵； 是以自然對數定義的無因次馮紐曼熵。後者乘上 才有熱力學熵的單位，除以 則以位元計。主要考慮不旋轉、不帶電的黑洞。
1. 古典黑洞
事件視界是無法向遙遠外部的未來傳送訊號的區域邊界。它不是物質表面，而是整個時空因果路徑的性質。球對稱、不旋轉天體外部的真空幾何為
其中 是質量， 是面積半徑， 是單位球面度規。半徑 的球面面積為 。 處的座標發散，可用視界處正則的座標消除，並不等同於 的曲率奇點。
對足夠大的黑洞，自由落體觀察者穿越視界時，局部曲率仍可很小。阻止逃離的是未來光錐的方向，而不是視界上有無限大的局部重力。即使外部最後由質量、角動量與電荷等少數參數描述，也不能據此斷言完整量子態只有這幾項性質。
古典的不可見還不是悖論。 外部觀察者無法存取內部，就像只測量糾纏系統的一部分而讀不到聯合關聯；這不必破壞全域量子態。如果量子輻射使黑洞完全消失，沒有內部系統留下來純化輻射，問題才變得尖銳。最後的量子重力階段是否真的完全蒸發，本身也是一個假設。
2. 霍金輻射
在霍金的計算（1975年）中，量子場在古典坍縮幾何上傳播。遙遠過去的正頻率模態，在遙遠未來會混合正、負頻率成分。因此，初始真空也可能被遠方觀察者偵測為具有向外傳播的粒子。對緩慢變化的史瓦西黑洞，有
為角頻率。佔據數是玻色子的熱因子；費米子的分母使用加號。曲率會散射出射波，因此實際通量還包含依賴頻率與角動量的灰體穿透因子。這些因子改變頻譜，卻不能單獨解除輻射與不可存取自由度之間的糾纏。常見的粒子—反粒子對圖像只是輔助理解，並非嚴格推導，也無法唯一指定粒子的生成位置。
數量級範例。 代入太陽質量 ，得到 與 。質量增為十倍，半徑增為十倍，溫度降為十分之一。因此，天體黑洞周圍發亮的氣體不是霍金輻射。這個計算在大黑洞緩慢演化時最可靠，外推至普朗克質量並非受控近似。
視界對應的熵為
貝肯斯坦（1973年）提出的面積依賴，與普通物質中熟悉的體積依賴不同。一個太陽質量的黑洞有 。把它理解為相容微觀態數的對數，是統計解釋，而不是已經直接數出了每個真實黑洞的全部微觀態。
可檢驗熱力學的一致性。對 微分，得
這是不旋轉、不帶電情形的第一定律。由於 ，失去能量反而升溫：孤立黑洞具有負熱容量，但這不是負的絕對溫度。
3. 資訊悖論
令 表示已發射輻射， 表示剩餘黑洞。若聯合態是純態，只能存取輻射的觀察者使用的態由偏跡給出：
偏跡捨棄對 的存取，並沒有宣稱 已在物理上消失。純態密度矩陣只有一個值為一的本徵值，所以 ；混合態具有多個非零本徵值。完整封閉系統的么正演化 保持這些本徵值，但子系統可因糾纏而成為混合態。
兩個量子位元的計算。 考慮
因為 ，對 求跡時，聯合態的交叉項消失。輻射位元有兩個值為 的本徵值，因此 ；聯合系統卻有 。只量測任一位元都看不到完整關聯。若最後兩者都作為輻射被收集，整體仍可為純態，即使個別量測看起來隨機。
連線表示量子關聯，不是跨越視界的訊號。，而 。收集兩個子系統改變的是可存取範圍，不是整體純度。
最低階半古典計算中，連續發射的霍金模態與內部夥伴糾纏。如果內部消失，也沒有其他系統承載關聯，最終外部將保持混合態，即使初態是純態。這是霍金（1976年）討論的衝突。關鍵在於完全蒸發、平滑視界附近的一般局域場論，以及把內外簡單分為獨立系統這組假設，而不只是視界存在。
「熱性」必須精確使用。普朗克型頻譜或單粒子的熱統計，並不意味著整個多粒子密度矩陣嚴格為熱態；資訊可以存在於許多量子的高階關聯中。反過來，只說「微小修正會解決問題」也不夠。馬圖爾的小修正論證指出，只要局域對生成與子系統獨立性等假設仍成立，這條出路就受到限制。
4. 佩奇曲線
二分純態的施密特分解說明， 和 的非零本徵值相同。若兩個狀態空間的維度為 ，則
第一個關係是有限維系統的一般界限。第二個是典型態近似： 是忽略詳細關聯所得的無因次粗粒化輻射熵。佩奇的子系統計算解釋了大型純態的小子系統為何通常接近最大混合。應用至黑洞輻射還需要么正動力學與有效態數的假設。
早期輻射狀態空間增大，熵隨之上升。晚期剩餘黑洞的有效態數減少，無法純化任意大的輻射熵，曲線因而轉向下降。初始為純態的孤立系統若完全么正蒸發，最後的輻射熵為零。這不代表輻射能量或溫度為零。 如果初態是混合態，或與外部參考系統糾纏，輻射單獨的末態就不必純。
橫軸是蒸發經過的時間，縱軸是無因次熵。上升虛線為 ，下降點線為 ，粗線是兩者較小值 的示意。交點給出此近似的轉折，並不規定普遍的壽命比例。
佩奇時間的簡化模型。 假設孤立史瓦西黑洞滿足常數 的質量損失定律，忽略粒子種類改變：
再額外理想化為 。兩條分支相等時，黑洞熵為初值的一半。因熵正比於 ，得到
只是這些簡化假設的結果，不是對真實輻射的預測。實際熵生成、灰體因子、自旋、周圍物質及粒子閾值會改變平衡。「熵的一半」也不是質量的一半，更不是壽命的一半。
5. 提出的解決方案
解決方案必須說明改變哪些假設，以及最終關聯由何者承載。得到熵曲線、解釋微觀態與提供實際可執行的解碼方法，是不同層次的成果。以下思路並非在所有層面都彼此排斥。
(a) 資訊遺失
根本性的資訊遺失要求以更一般的定律取代封閉系統的么正演化。僅把仍存在的環境求偏跡，是普通開放系統演化，不構成根本抹除。真正的資訊遺失理論必須給出自洽動力學，並在弱重力條件下恢復成功的量子預測。悖論促使我們檢驗假設，本身並非量子力學失敗的實驗證據。
(b) 殘餘物
小而穩定或長壽命的殘餘物可能保存資訊，此時輻射並非最終系統的全部。如果質量有上限的殘餘物要保存任意大初始黑洞的狀態，可能的內部態數就極為龐大。吉丁斯（1993年）研究了因此產生的生成率與態數難題。這些問題取決於殘餘物如何耦合外場，不能簡單宣稱所有殘餘物模型都已遭排除。
(c) 資訊隨輻射逸出
在么正描述中，資訊保存在出射量子的關聯裡。馬爾達西納的AdS/CFT提議將具有反德西特邊界條件的某些重力理論，連結到邊界上不含重力的量子理論。若此對偶成立，邊界的么正性便會強烈約束重力側。這是有力的理論依據，並非霍金輻射的實驗量測，也不是對每顆漸近平坦時空中坍縮恆星的直接構造。
日記思想實驗。 保留早期輻射，再把一條小量子訊息投入已經很老、能快速混合資訊的黑洞。海登—普雷斯基爾模型指出，取得足夠後續輻射後，可以從關聯恢復訊息。其假設包括么正混合以及對輻射近乎完整的控制。只看最新光子無法直接讀日記；恢復操作存在，也不保證計算或收集程序實際可行。
(d) 火牆
AMPS論證（2012年）聚焦於晚期出射模態 、內部夥伴 與早期輻射 。平滑視界意味著 強糾纏，佩奇轉折後的純化又要求 有適當關聯。若三者是獨立子系統，就與糾纏單配性衝突： 不能同時與兩個獨立系統最大糾纏。
火牆方案放棄平滑視界的真空，容許高能激發。這是對假設不相容的一種回應，並非觀測到的牆，也不是唯一結論。其他方法重新檢視子系統獨立性，或內部算符如何編碼在輻射中。
(e) 島嶼與量子極值曲面
島嶼處方讓內部區域 參與輻射的精細熵計算：
首先變動候選邊界 ，使表示式駐定；再在允許的極值解中選取最小廣義熵，並包括空島嶼。面積項是重力熵的代價， 是聯集上的量子場熵。紫外發散必須透過重整化一致處理。「先求極值、再取最小」並非在任意區域間無條件最小化。
在受控蒸發模型中，早期空島嶼分支占優，晚期非空島嶼分支占優。佩寧頓（2019年）與阿爾姆海里等人（2019年）在全像設定中得到相應的佩奇行為。複製蟲洞計算則在特定模型中給出重力路徑積分的推導：用來計算熵的不同複本之間，出現額外連結的鞍點。這不是將訊息從天體黑洞運出的可穿越隧道。
其重點是重力態數與內部資訊的編碼。島嶼並非穿越視界拋出的額外物質。重現熵曲線本身，也不會自動給出出射態的全部振幅或高效率解碼器。
6. 研究現況
證據及其範圍，核查於2026年10月13日。 雙黑洞合併的重力波與M87陰影分析支持廣義相對論中的天體黑洞圖像，但未量測霍金輻射的精細熵。本文列出的原始研究是在特定設定中支持么正描述的理論成果，不是直接偵測到天體佩奇曲線的報告。
開放問題包括：為真實宇宙中的旋轉黑洞建立完整微觀描述，精確指出半古典子系統推理在哪一步失效，理解最後蒸發階段，以及將熵計算連結至可量測物理量。困難之處在於保留低能物理的成功，同時解釋完整量子態。
必須區分三件事：不可存取不等於根本抹除；看似熱性的頻譜不證明全域態混合；重力模型中的佩奇曲線，也不是悖論所有層面都已由實驗解決的證明。