1. 뉴턴 이전의 세계 — 아리스토텔레스에서 갈릴레이까지

뉴턴 이전에 운동은 수학이 아니라 형이상학의 문제였다. 아리스토텔레스의 물리학은 거의 2천 년 동안 유럽을 지배했다.

• 아리스토텔레스의 세계관: 물체에는 자연스러운 장소가 있었다. 돌은 땅을 찾기 때문에 떨어지고, 불은 하늘을 찾기 때문에 올라갔다. 운동에는 계속 작용하는 원동자가 필요했다. 밀기를 멈추면 운동도 멈췄다.

이 모형은 일상적인 직관을 설명했지만 엄밀한 검토를 견디지 못했다.

아리스토텔레스적 설명의 난제

• 화살은 활시위를 떠난 뒤에도 왜 계속 날아가는가?
• 행성은 왜 지구로 떨어지지 않는가?

중세 학자들은 전달된 힘이 소멸하기 전까지 얼마 동안 지속된다는 ‘임페투스 이론’으로 답했다. 관성을 향한 한 걸음이었지만 여전히 운동을 형이상학적 ‘성질’에 연결했다.

갈릴레이의 등장 (1564–1642)

갈릴레오 갈릴레이는 실험으로 아리스토텔레스의 정설을 무너뜨렸다.

1. 빗면 실험
   갈릴레이는 중력의 효과를 느리게 관찰하려고 빗면에서 구를 굴렸다.
   그는 등가속도 운동을 발견했다. 정지 상태에서 자유 낙하할 때 변위는 다음과 같다.

   $$s=\frac{1}{2}g{t}^2$$

   여기서 $s$는 변위, $t$는 시간, $g$는 중력 가속도이다.

   → 주어진 장소에서는 낙하하는 물체의 질량과 무관하게 동일한 중력 가속도 $g$가 자유 낙하를 지배한다.

   연습 문제 1.1: 진공에서 망치와 깃털을 떨어뜨린다. 어느 것이 먼저 바닥에 닿는가?

   답: 가속도 $g$가 질량과 무관하므로 동시에 도착한다.

2. 관성 법칙의 초기 형태
   갈릴레이는 마찰 없는 평면에서 구르는 공이 저절로 멈추지 않는다는 점에 주목했다.
   힘이 작용하지 않으면 속도는 일정하게 유지된다.

   $$\frac{d\mathbf{v}}{dt}=0\text{조건: }\mathbf{F}=0$$

   이것이 뉴턴 제1법칙의 싹이었다.

   연습 문제 1.2: 퍽이 매끄러운 얼음 위를 미끄러지면서 서서히 느려진다. 어떤 힘이 속력을 줄이는가?
   답: 얼음과의 마찰 및 공기 저항이다. 이상적인 마찰 없는 표면에서는 영원히 멈추지 않는다.

케플러와 천체의 수수께끼

요하네스 케플러(1571–1630)는 또 다른 조각을 제공했다. 그는 튀코 브라헤(1546–1601)의 자료에서 행성 운동의 세 법칙을 이끌어 냈다.

1. 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 돈다.
2. 같은 시간 동안 같은 면적을 쓸고 지나간다.
3. 공전 주기의 제곱은 궤도 긴반지름의 세제곱에 비례한다($T^2\propto a^3$).

그러나 케플러에게는 원인이 없었다. 왜 타원인가? 왜 $T^2\propto a^3$인가? 그는 하늘을 아름답게 기술했지만 그 작동 원리는 설명하지 못했다.

데카르트와 기계적 세계의 꿈

르네 데카르트(1596–1650)는 미세한 물질의 소용돌이가 행성을 밀어 움직이는 시계 장치 같은 우주를 상상했다. 시적이었지만 검증할 수 없었다. 그래도 우주를 기계적으로 설명하려는 꿈은 남았다.

뉴턴을 기다리는 세계

이처럼 17세기 중반에 이르러

• 갈릴레이는 지상의 운동 법칙을 제시했다.
• 케플러는 행성의 법칙을 제시했다.
• 데카르트는 철학적 기계론을 제시했다.

그러나 아무도 이들을 통합하지 못했다.
이 공백 속에서, 갈릴레이가 세상을 떠난 1642년에 아이작 뉴턴이 태어났다.

2. 법칙의 탄생

뉴턴은 물리학을 발명하지는 않았지만 하나의 체계로 엮었다. 갈릴레이의 관성, 케플러의 조화, 데카르트의 역학을 흡수했다. 1687년에는 자연철학의 수학적 원리, 즉 프린키피아를 출간했다.

이 책에는 운동의 세 법칙과 만유인력의 법칙이 제시되었다.

처음으로 지상과 천체의 운동이 같은 원리의 지배를 받게 되었다. 사과와 달이 같은 법칙을 따랐다.

오늘날 우리는 그 통합의 토대 위에 서 있다.

3. 제1법칙 — 관성과 고립

뉴턴의 운동 제1법칙은 갈릴레이의 관성 개념을 심화했다.

‘모든 물체는 외부에서 가해진 힘에 의해 그 상태를 바꾸도록 강제되지 않는 한, 정지 상태 또는 직선 위의 등속 운동 상태를 유지한다.’

수학적 정식화

물체에 알짜힘이 작용하지 않으면

$$\frac{d\mathbf{v}}{dt}=0\Rightarrow \mathbf{v}=\text{일정}$$

위치로 나타내면 다음과 동등하다.

$$\mathbf{r}(t)={\mathbf{r}}_0+{\mathbf{v}}_{0}t$$

따라서 관성계는 뉴턴의 법칙이 성립하며, 힘이 없을 때 물체가 속도를 유지하는 기준계로 정의된다.

갈릴레이의 빗면을 통한 증명

한 빗면을 내려와 평평한 면을 지나 다른 빗면을 올라가는 공을 생각하자.

• 마찰이 있으면 더 낮은 높이까지 올라간다.
• 마찰을 줄이면 더 높이 올라간다.
• 마찰이 0인 극한에서는 같은 높이까지 올라가며, 면이 완전히 평평하다면 영원히 운동한다.

이 실험은 등속 운동에 지속적인 원인이 필요하지 않음을 보여 준다.

예제 3.1 — 얼음 위의 미끄럼 운동

문제: 하키 퍽을 쳐서 마찰 없는 얼음 위를 속력 $v_0$로 움직이게 했다. 10초 동안 얼마나 이동하는가?
풀이: $a=0$이므로 속도는 일정하다.
$x=v_{0}t$
$v_0=5\text{m/s}$이면 $t=10\text{s}$ 뒤에 $50\text{m}$를 이동한다.

4. 제2법칙 — 힘과 천재성

뉴턴의 제2법칙은 인과관계를 연결한다.

‘운동의 변화는 가해진 운동력에 비례하며, 그 힘이 가해지는 직선 방향으로 일어난다.’

수학적으로는 다음과 같다.

$$\mathbf{F}=m\mathbf{a}=m\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}$$ $$\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}$$

이 하나의 관계가 우주를 계산할 수 있게 한다.

라그랑지안으로부터의 증명

라그랑지안 $L=T-V=\frac{1}{2}m{\dot{\mathbf{r}}}^2-V(\mathbf{r})$를 생각하자.

라그랑지안은 운동 에너지 $T$와 퍼텐셜 에너지 $V$의 차이로 정의된다.

오일러–라그랑주 방정식

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}}=0$$

으로부터 다음을 얻는다.

$$m\ddot{\mathbf{r}}+\nabla V=0\Rightarrow m\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}$$

따라서 뉴턴의 $F=ma$는 변분 원리에서 자연스럽게 나타난다.

시간 병진 대칭 → 에너지 보존

$L$에 명시적인 시간 의존성이 없으면 에너지 $E$는

$$E=\dot{\mathbf{r}}\cdot \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}-L$$

로 주어지며 보존된다.

입자의 경우에는

$$E=\frac{1}{2}m{v}^2+V(\mathbf{r})=\text{일정}$$

따라서 시간 대칭 = 에너지 보존이다.

증명

정의

$$E={\dot{q}}_i\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}-L,$$

를 시간에 대해 미분하면

$$\frac{dE}{dt}={\ddot{q}}_i\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}+{\dot{q}}_i\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)-\frac{dL}{dt}.$$

오일러–라그랑주 방정식

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)=\frac{\partial L}{\partial q_i},$$

을 사용하여 다음을 얻는다.

$$\frac{dE}{dt}=-\frac{\partial L}{\partial t}.$$

따라서 $L$에 명시적인 시간 의존성이 없으면

$$\frac{\partial L}{\partial t}=0\Rightarrow \frac{dE}{dt}=0,$$

이므로 $E$가 보존된다.

이는 뇌터 정리의 직접적인 예이다.
시간 병진 대칭은 에너지 보존에 대응한다.

예제 4.1 — 빗면 위의 물체

문제: 질량 $m$인 물체가 각도 $\theta$인 마찰 없는 빗면을 내려온다. 가속도 $a$를 구하라.

풀이:
빗면 방향의 힘: $F=mg\sin \theta$
뉴턴의 제2법칙: $F=ma$
따라서 $a=g\sin \theta$이다.

$\theta =30^{\circ }$이면 $a=4.9{\text{m/s}}^2$이다.

예제 4.2 — 단진자(작은 각도)

점질량 $m$을 길이 $\ell$인 단단하고 질량 없는 막대(또는 줄)에 매단 단진자를 생각하자. 지지점에는 마찰이 없고, 수직선에서 벗어난 각도를 $\theta (t)$로 나타낸다.

추는 반지름 $\ell$인 원호를 따라 움직인다. 접선 가속도는

$$a_{\text{tan}}=\ell \ddot{\theta },$$

이고, 반지름 방향의 구심 가속도는 다음과 같다.

$$a_{\text{rad}}=\ell {\dot{\theta }}^2.$$

추에는 두 힘이 작용한다.

• 막대 방향의 장력 $T$.
• 수직 아래 방향의 중력 $mg$.

중력의 접선 성분은

$$F_{\text{tan}}=-mg\sin \theta ,$$

이며, 음의 부호는 중력이 진자를 $\theta =0$ 쪽으로 되돌린다는 뜻이다.

접선 방향에 뉴턴의 제2법칙을 적용하면

$$m{a}_{\text{tan}}=\sum F_{\text{tan}},$$

다음을 얻는다.

$$m(\ell \ddot{\theta })=-mg\sin \theta .$$

정리하면

$$\ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\sin \theta =0.$$

이는 단진자의 정확한 비선형 운동 방정식이다.

각변위가 작아 $|\theta |\ll 1$(라디안)이면 다음 근사를 사용할 수 있다.

$$\sin \theta \approx \theta .$$

그러면 방정식은 다음과 같이 된다.

$$\boxed{\ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\theta =0}.$$

이는 익숙한 단순 조화 진동자 방정식이며, 각진동수는 다음과 같다.

$${\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{\ell }},T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}.$$

• 돌림힘을 이용한 방법:
  지지점에 대한 중력의 돌림힘은

  $$\tau =-mg\ell \sin \theta ,$$

  이고 관성 모멘트가 $I=m{\ell }^2$이므로

  $$I\ddot{\theta }=\tau \Rightarrow \ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\sin \theta =0.$$

• 라그랑지안을 이용한 방법:

  $$T=\frac{1}{2}m{\ell }^2{\dot{\theta }}^2,V=mg\ell (1-\cos \theta ),$$ $$L=T-V.$$

  오일러–라그랑주 방정식을 적용하면 같은 결과를 얻는다.

다음 전개로부터

$$\sin \theta =\theta -\frac{{\theta }^3}{6}+\cdots ,$$

상대 오차는 $\sim {\theta }^2/6$이다.

• $\theta =10^{\circ }\approx 0.17$ 라디안에서 → 오차 $\approx 0.5\%$.
• $\theta =20^{\circ }\approx 0.35$ 라디안에서 → 오차 $\approx 2\%$.

따라서 작은 각도 방정식은 진폭이 크지 않은 진동에서 정확하다.

운동 방정식:

$$\ddot{\theta }+\frac{g}{l}\theta =0$$

해:

$$\theta (t)={\theta }_0\cos \left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)$$

주기:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

5. 제3법칙 — 대칭과 상호작용

뉴턴의 제3법칙은 상호성을 도입한다.

‘모든 작용에는 항상 크기가 같고 방향이 반대인 반작용이 존재한다.’

수학적으로는

$${\mathbf{F}}_{12}=-{\mathbf{F}}_{21}$$

증명 → 운동량 보존

두 입자로 이루어진 계에서

$$m_1{\ddot{\mathbf{r}}}_1={\mathbf{F}}_{12},m_2{\ddot{\mathbf{r}}}_2={\mathbf{F}}_{21}$$

두 식을 더하면

$$m_1{\ddot{\mathbf{r}}}_1+m_2{\ddot{\mathbf{r}}}_2={\mathbf{F}}_{12}+{\mathbf{F}}_{21}=0$$

따라서

$$\frac{d}{dt}(m_1{\dot{\mathbf{r}}}_1+m_2{\dot{\mathbf{r}}}_2)=0$$

그러므로 총운동량 $\mathbf{P}$ = $(m_1{\mathbf{v}}_1+m_2{\mathbf{v}}_2)$가 보존된다.
이것이 충돌과 반동의 수학적 핵심이다.

공간 병진 대칭 → 운동량 보존

라그랑지안이 $\mathbf{r}\to \mathbf{r}+ϵ$에 대해 불변이면

$$\mathbf{P}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}=m\mathbf{v}$$

이 보존된다.

예제 5.1 — 탄성 충돌

문제: 두 질량 $m_1,m_2$가 1차원에서 탄성 충돌한다. 초기 속도는 $v_1,v_2$이다. $v_1^{\prime },v_2^{\prime }$를 구하라.

풀이:
운동량:

$$m_1{v}_1+m_2{v}_2=m_1{v}_1^{\prime }+m_2{v}_2^{\prime }$$

에너지:

$$\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2=\frac{1}{2}{m}_1(v_1^{\prime }{)}^2+\frac{1}{2}{m}_2(v_2^{\prime }{)}^2$$

연립하여 풀면

$$v_1^{\prime }=\frac{(m_1-m_2)v_1+2m_2{v}_2}{m_1+m_2},v_2^{\prime }=\frac{(m_2-m_1)v_2+2m_1{v}_1}{m_1+m_2}$$

예제 5.2 — 치올콥스키 로켓 방정식

외력이 없는 자유 공간에서 순간 질량 $M(t)$인 로켓이 속도 $v(t)$로 움직인다고 하자.
짧은 시간 간격 $dt$ 동안 로켓은 질량 $|dM|$를 로켓에 대한 상대 배기 속력 $u$로 뒤쪽으로 분출한다.

1 운동량 보존

로켓의 운동량 변화는

$$d{P}_{\text{rocket}}=Mdv+vdM.$$

분출된 연료는 관성계에서 속도 $(v-u)$를 가지므로 그 운동량은

$$d{P}_{\text{exhaust}}=-(dM)(v-u).$$

여기서 로켓은 질량을 잃으므로 $dM<0$이다.
총운동량 보존으로부터

$$Mdv+vdM-(dM)(v-u)=0,$$

정리하면

$$Mdv=-udM.$$

2 미분 형태

$dt$로 나누면

$$M\frac{dv}{dt}=-u\frac{dM}{dt}.$$

3 적분

식을 다시 쓰면

$$dv=-u\frac{dM}{M}.$$

$(M_0,v_0)$에서 $(M,v)$까지 적분하면

$${\int }_{v_0}^{v}d{v}^{\prime }=-u{\int }_{M_0}^M\frac{d{M}^{\prime }}{M^{\prime }},$$

다음을 얻는다.

$$v-v_0=u\ln \left(\frac{M_0}{M}\right).$$

따라서 일반적인 로켓 방정식은

$$\boxed{v(t)=v_0+u\ln \left(\frac{M_0}{M(t)}\right)}.$$

4 해석상의 주의점

• 단순화한 식

  $$v=u\ln \left(\frac{M_0}{M}\right)$$

  은 $v_0=0$, 즉 로켓이 정지 상태에서 출발함을 가정한다.

• $u$는 로켓에 대한 상대 배기 속력이다. 일부 교재에서는 $u$에 뒤쪽 방향을 나타내는 음의 부호를 포함하므로 식의 부호가 달라질 수 있다.

• 이 유도는 외력, 즉 중력과 항력이 없다고 가정한다. 이를 포함하면 방정식이 크게 달라진다.

5 물리적 의미

이 방정식은 로켓의 속도가 초기 질량과 최종 질량의 비에 따라 로그 함수적으로 증가함을 보여 준다.

$$\frac{M_0}{M}=\text{“질량비”}.$$

배기 속력 $u$가 높거나 질량비가 클수록 최종 속력이 커진다.

로켓 방정식은 운동량 보존에서 나온다.
질량 $M$인 로켓이 질량 $dm$의 배기가스를 속력 $u$로 분출할 때

$$M\frac{dv}{dt}=-u\frac{dM}{dt}$$

적분하면

$$v=u\ln \left(\frac{M_0}{M}\right)$$

이것이 치올콥스키 로켓 방정식이다.

6. 이 법칙들이 여전히 중요한 이유

뉴턴의 세 법칙은 모든 역학 수업, 모든 공학 계산, 우주 기관이 계획하는 모든 궤도의 기초를 이룬다.
동시에 이 법칙에는 깊은 대칭성이 담겨 있다.

• 공간 병진 대칭 → 운동량 보존
• 회전 대칭 → 각운동량 보존
• 시간 병진 대칭 → 에너지 보존

이제 뉴턴의 틀에서 이들이 어떻게 직접 나타나는지 살펴보자.

7. 하늘에서 온 질문

1670년대에 뉴턴은 무엇이 달을 궤도에 머물게 하는가? 하고 고민했다.
케플러는 경험 법칙을 제시했지만 원인을 밝히지 못했다. 뉴턴은 사과를 끌어당기는 힘이 달도 지배함을 깨달았다.

거리 $r\approx 60R_{\oplus }$에 있는 달이 가속도 $a=g/60^2$로 지구를 향해 떨어진다면 지표면 근처에서 작용하는 것과 동일한 역제곱 법칙이 작용하는 것이다.

예제 7.1 — 달의 가속도

문제: 지구의 중력 가속도는 $g=9.8{\text{m/s}}^2$, 반지름은 $R_{\oplus }=6.4\times 10^6\text{m}$이다. $r=60R_{\oplus }$에 있는 달의 구심 가속도는 얼마인가?

풀이:

$$a=\frac{g}{60^2}\approx \frac{9.8}{3600}\approx 0.0027{\text{m/s}}^2$$

이는 관측된 달의 구심 가속도와 일치한다. 뉴턴은 사과와 달이 같은 법칙을 따른다는 연결을 발견했다.

8. 만유인력의 법칙

뉴턴은 다음을 제안했다.

$$\mathbf{F}=-\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}\hat{r}$$

모든 질량은 다른 모든 질량을 끌어당긴다. 이는 항상 두 물체를 잇는 직선 방향으로 작용하는 중심력이다.

구각 정리의 증명

뉴턴은 다음을 증명했다.

• 균일한 구껍질은 모든 질량이 중심에 집중된 것처럼 외부 입자를 끌어당긴다.
• 구껍질 내부에서는 알짜힘이 0이다.

증명에는 미적분과 기하학이 필요하지만 결과는 심오하다. 궤도 운동을 다룰 때 행성을 점질량으로 취급할 수 있다.

예제 8.1 — 에베레스트 정상에서의 무게

문제: 지구의 반지름은 $R=6.4\times 10^6\text{m}$이고 에베레스트의 높이는 $h=8.8\times 10^3\text{m}$이다. 정상에서 중력은 얼마나 줄어드는가?

풀이:

$$g^{\prime }=g{\left(\frac{R}{R+h}\right)}^2$$ $$\frac{g^{\prime }}{g}\approx {\left(\frac{6.4\times 10^6}{6.4\times 10^6+8.8\times 10^3}\right)}^2\approx 0.997256$$

지구를 구로 근사하면 정상의 중력은 약 $0.274\%$ 약하다.

9. 중심력과 궤도 운동

중심력을 다룰 때 각운동량은

$$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}$$

돌림힘은

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{r}\times \mathbf{F}$$

그런데 $\mathbf{F}\parallel \mathbf{r}$이면 $\mathbf{r}\times \mathbf{F}=0$이므로

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=0\Rightarrow \mathbf{L}=\text{const.}$$

따라서 회전 대칭 → 각운동량 보존이다.

예제 9.1 — 지구–태양계

문제: 지구와 태양 사이의 거리가 두 배가 되면 각운동량을 보존하기 위해 속도는 어떻게 변해야 하는가?

풀이:
$L=mvr$는 일정하며, 여기서 $v$는 속도의 접선 성분이다. $r\to 2r$이면 $v\to v/2$이다.

10. 케플러 문제 다시 보기

역제곱 힘 아래에서 궤도 방정식은

$$r(\theta )=\frac{p}{1+e\cos \theta }$$

이며, $e$는 이심률이다.

• $0\le e<1$: 타원
• $e=1$: 포물선
• $e>1$: 쌍곡선

케플러 제2법칙의 증명

각운동량 보존으로부터

$$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }=\frac{L}{2m}=\text{일정}$$

따라서 같은 시간 동안 같은 면적을 쓸고 지나간다.

예제 10.1 — 인공위성의 주기

문제: 인공위성이 고도 $h=R_{\oplus }$에서 지구를 돈다. 주기를 구하라.

풀이:
궤도 반지름은 $a=2R_{\oplus }=1.28\times 10^7\text{m}$이다.

케플러의 제3법칙:

$$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3$$

$GM=3.986\times 10^{14}$를 대입하면

$$T\approx 1.44\times 10^4\text{s}\approx 4.00\text{시간}$$

11. 뉴턴의 관점에서 본 케플러의 세 법칙

뉴턴은 케플러의 경험 법칙들을 유도했다.

1. 타원 궤도: 역제곱 법칙에서 나온다.
2. 같은 시간에 같은 면적: 각운동량 보존에서 나온다.
3. 조화 법칙:

$$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3$$

예제 11.1 — 혜성의 궤도

문제: 포물선 궤도($e=1$)를 따라 혜성이 태양에 접근한다. 근일점 거리 $r_p$에서 속력은 얼마인가?

풀이:
포물선 궤도에서는 단위 질량당 에너지가 $E=0$이다.

$$\frac{1}{2}{v}^2-\frac{GM}{r_p}=0\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2GM}{r_p}}$$

따라서 포물선 궤도의 혜성은 근일점에서 탈출 속력으로 움직인다.

12. 핼리와의 만남

1684년 에드먼드 핼리가 케임브리지를 방문했다. 천문학자들은 *중력이 역제곱 법칙을 따른다면 행성 궤도의 모양은 무엇인가?*라는 문제를 놓고 고민하고 있었다.
핼리가 뉴턴에게 묻자 뉴턴은 ‘타원일 것입니다’라고 답했다.

이 무심한 말은 핼리의 재정 지원을 받아 프린키피아가 되었다. 그의 독려가 없었다면 지상 역학과 천체 역학의 통합은 출판되지 못했을지도 모른다.

예제 12.1 — 핼리 혜성의 주기

문제: 핼리 혜성의 궤도 긴반지름은 $a=17.8\text{AU}$이다. 공전 주기를 구하라.

풀이:
케플러의 제3법칙(AU와 년 단위): $T^2=a^3$
따라서 $T=\sqrt{(17.8{)}^3}\approx 75.1\text{년}$이다.
이는 관측된 약 76년의 주기에 가깝다. 행성의 섭동 때문에 혜성이 돌아오는 간격은 달라진다.

13. 시계 장치 같은 우주

뉴턴 역학은 조수, 일식과 월식, 혜성을 예측할 수 있는 기계 같은 우주를 드러냈다. 계몽주의는 이 결정론적 세계관을 받아들였다.

그러나 그 뒤에는 우주의 작동 규칙인 깊은 보존 법칙들이 자리하고 있었다.

예제 13.1 — 조수

문제: 많은 해안에서 하루의 태음일 동안 두 차례 만조가 나타나는 이유는 무엇인가?
답: 단순화한 평형 조석 모형에서는 위치에 따라 달라지는 달의 중력이 지구의 가까운 쪽과 먼 쪽에 두 개의 조석 팽창부를 만든다. 지구는 약 24시간 50분인 태음일 동안 이 무늬를 지나며 자전한다. 실제 해안에서는 해분, 해안의 기하학적 형태, 그 밖의 효과가 반응을 바꾸므로 반일주조·일주조·혼합조가 나타날 수 있다.

14. 중력이 남긴 유산

뉴턴의 중력은 선박과 달력, 나중에는 우주선의 길잡이가 되었다.
아인슈타인의 상대론도 인간이 일상적으로 경험하는 규모에서는 뉴턴의 법칙으로 환원된다.

예제 14.1 — 탈출 속력

문제: 지구 표면에서의 탈출 속력을 구하라.

풀이:
에너지 보존:

$$\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{R}=0$$ $$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}\approx 11.2\text{km/s}$$

15. 강체 역학

뉴턴 역학은 입자에서 공간적으로 퍼진 물체로 확장된다.

15.1 고정된 축 주위의 회전

관성 모멘트:

$$I=\sum _i{m}_i{r}_i^2$$

운동 에너지:

$$T=\frac{1}{2}I{\omega }^2$$

각운동량:

$$L=I\omega$$

예제 15.1 — 균일한 막대

문제: 길이 $L$인 균일한 막대가 중심을 지나고 막대에 수직인 축 주위로 회전한다. $I$를 구하라.

풀이:

$$I={\int }_{-L/2}^{L/2}{x}^2\frac{M}{L}dx=\frac{M{L}^2}{12}$$

15.2 오일러 방정식

일반적인 강체 회전에서 물체에 고정된 좌표계의 성분을 사용하고, $I$를 관성 텐서로 두며 시간 미분도 그 좌표계에서 취하면

$$\frac{d}{dt}(I\omega )+\omega \times (I\omega )=\tau$$

이 방정식은 팽이, 자이로스코프, 우주선의 운동을 지배한다.

예제 15.2 — 피겨 스케이터의 회전

문제: 스케이터가 팔을 몸쪽으로 당겨 $I$가 절반이 되었다. $\omega$는 어떻게 되는가?

풀이:
각운동량이 보존되므로 $I\omega =\text{const.}$이다.
$I\to I/2$이면 $\omega \to 2\omega$이다.
따라서 두 배 빠르게 회전한다.

16. 비관성계

뉴턴의 법칙은 관성계에서 성립한다. 그러나 자전하는 지구 위에서는 관성력을 추가해야 한다.

16.1 코리올리 힘과 원심력

원점의 병진 가속도가 없고 일정한 각속도 $\vec{\Omega }$로 회전하는 기준계에서

$${\mathbf{a}}^{\prime }=\mathbf{a}-2\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }-\mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r})$$

• $-2\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }$ = 코리올리 가속도
• $-\mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r})$ = 원심 가속도

예제 16.1 — 낙하 물체의 편향

문제: 물체가 높이 $h$에서 떨어지며 그 장소의 위도는 $\varphi$이다. 코리올리 힘 때문에 동쪽으로 얼마나 편향되는가?

풀이(근사):
낙하 시간은 $t=\sqrt{2h/g}$이다.
동쪽 방향 가속도는 $\approx 2\Omega \cos \varphi \cdot v_z$이며, 여기서 $v_z$의 양의 방향은 아래쪽이다.
변위:

$$x\approx \frac{1}{3}\Omega \cos \varphi g{t}^3$$

$h=100\text{m},\varphi =45^{\circ }$일 때 $x\approx 2\text{cm}$이다.

예제 16.2 — 저기압성 순환

문제: 북반구의 저기압성 순환은 왜 반시계 방향으로 회전하는가?

답: 코리올리 힘은 움직이는 공기를 운동 방향의 오른쪽으로 편향시킨다. 저기압으로 유입되는 공기는 북반구에서는 반시계 방향으로, 남반구에서는 시계 방향으로 휘어진다.

17. 인간 뉴턴

과학자로서의 뉴턴은 뛰어났지만 인간 뉴턴은 복잡했다. 물리학뿐 아니라 연금술, 신학, 정치적 다툼에도 수십 년을 쏟았다.
조폐국장으로서 영국의 주화를 개혁하며 법과학적 정밀함으로 위조범을 추적했다. 왕립학회 회장으로서 영국 과학을 진흥했고 때로는 경쟁자를 억눌렀다.

그러나 그의 역학은 개인적 결함을 넘어 오래 지속되며 보편적으로 적용되는 체계가 되었다.

예제 17.1 — 조폐국의 금화

문제: 위조 주화가 진짜 주화보다 1% 가볍다면 뉴턴은 저울로 어떻게 알아낼 수 있을까?

풀이: 정적인 회전 평형에서는 알짜 돌림힘이 0이어야 하므로 양쪽의 중력에 의한 돌림힘이 균형을 이룬다.
표준과 비교하면 1%의 질량 차이는 측정 가능한 불균형을 만든다. 정밀함에 대한 뉴턴의 집착 때문에 위조범은 오랫동안 추적을 피하기 어려웠다.

18. 유산과 전환

뉴턴이 세상을 떠난 1727년 무렵, 그의 역학은 계몽주의의 지적 토대가 되어 있었다.
200년 동안 공학자와 천문학자는 뉴턴 역학에만 의존했다.

그러나 균열이 나타났다.

• 수성의 세차 운동은 뉴턴의 예측에서 벗어났다.
• 뉴턴이 입자로 취급했던 빛은 파동 현상을 보였다.
• 원자와 전자에는 양자 법칙이 필요했다.

예제 18.1 — 수성의 궤도

문제: 수성의 근일점은 뉴턴의 중력으로 예측한 값보다 세기당 $43^{\prime \prime }$ 더 세차한다. 왜 그런가?

답: 일반상대론이 이 보정을 설명한다. 시공간 곡률은 높은 정밀도에서 뉴턴의 법칙을 수정한다.

예제 18.2 — 뉴턴 역학의 한계

• 빛에 가까운 속도에서는 → 특수상대론이 $F=ma$를 $F=dp/dt$로 대체하며, 여기서 $p=\gamma mv$이다.
• 원자 규모에서는 → 양자역학이 궤적을 파동함수로 대체한다.

그래도 뉴턴 역학은 첫 번째 근사로 남는다.

• $v\ll c$이고 규모가 크면 뉴턴 역학은 로켓을 화성으로 안내하기에 여전히 충분히 정확하다.

19. 여전히 뉴턴 역학을 배우는 이유

상대론과 양자물리학이 있어도 뉴턴 역학을 먼저 배우는 이유는 다음과 같다.

• 인간이 경험하는 규모에서 정확하다.
• 말 → 방정식 → 예측으로 옮기는 물리학의 문법을 제공한다.
• 대칭과 보존 법칙 사이의 관계를 드러낸다.

대칭과 보존의 정리

• 공간 병진 불변성 → 운동량 보존
  $\mathbf{P}=\sum m_i{\mathbf{v}}_i=\text{const.}$

• 회전 불변성 → 각운동량 보존
  $\mathbf{L}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}=\text{const.}$

• 시간 병진 불변성 → 에너지 보존
  $E=T+V=\text{const.}$

이들은 20세기에 완전히 꽃핀 뇌터 정리의 씨앗이다.

예제 19.1 — 번지 점프

문제: 질량 70 kg인 사람이 번지 점프를 한다. 줄을 용수철 상수 $k=50\text{N/m}$, 자연 길이 $L=30\text{m}$인 용수철로 모형화한다. 최대 늘어난 길이를 구하라.

풀이:
에너지 보존:

$$mg(L+x)=\frac{1}{2}k{x}^2$$

$g=9.8{\text{m/s}}^2$를 넣어 이차방정식을 풀면 $x\approx 45.5\text{m}$이다.
따라서 최대 낙하 거리는 $L+x\approx 75.5\text{m}$이다.

20. 요약

• 운동의 세 법칙: 관성, 힘, 반작용.
• 만유인력: 지상과 하늘을 통합한다.
• 보존 법칙: 운동량·각운동량·에너지는 대칭에서 나온다.
• 강체와 비관성계: 법칙을 현실 세계의 복잡한 상황으로 확장한다.
• 인간 뉴턴: 뛰어나면서도 결함이 있었지만 토대를 세운 인물이다.

뉴턴의 통찰은 최종적인 진리가 아니라 수학으로 그린 최초의 우주 지도였다.
역학을 배우는 모든 학생은 같은 전통에 들어선다.

맺음말

울즈소프의 사과 과수원에서 태양계를 떠나는 우주선까지, 뉴턴의 방정식은 여전히 살아 있다.

• 공학자는 여전히 $F=ma$를 사용한다.
• 천문학자는 여전히 $T^2\propto a^3$로 궤도를 예측한다.
• 건축가는 여전히 뉴턴 정역학으로 하중을 계산한다.

아인슈타인이나 슈뢰딩거가 더 넓은 이론을 제시하더라도 뉴턴은 결코 버려지지 않는다.

그는 한때 이렇게 썼다.

‘세상에 내가 어떻게 보일지는 모르지만, 내 자신에게는 바닷가에서 놀면서 이따금 보통보다 더 매끄러운 조약돌이나 더 아름다운 조개껍데기를 찾으며 즐거워하는 소년 같았을 뿐이다. 내 앞에는 거대한 진리의 바다가 아직 발견되지 않은 채 펼쳐져 있었다.’

네 세기가 지난 지금도 우리는 뉴턴이 준 나침반으로 그 바다를 탐험한다.