군, 리 대수와 게이지 이론

8.1 목적지와 학습 경로

$SU(3{)}_c\times SU(2{)}_L\times U(1{)}_Y$라는 식은 그것이 무엇을 하는지 알아야 쓸모가 있습니다. 이 식은 연속적인 내부 변환을 지정하고, 장이 어떻게 변환할 수 있는지 알려 주며, 상호작용을 체계화하는 대수를 제공합니다. 그러나 이 식만으로 모든 입자, 모든 결합 상수, 진공의 동역학까지 정해지는 것은 아닙니다. 우리의 목표는 이 식을 수학적 조작을 간결하게 모아 놓은 지침으로 읽는 것입니다.

그 지침을 다섯 단계로 만들어 보겠습니다. 가역적인 연산은 군을 이루고, 행렬은 벡터에 대한 군의 작용을 실현합니다. 연속군을 미분하면 리 대수를 얻고, 표현은 어떤 벡터가 변환하는지 지정합니다. 이웃한 시공간 점의 변환을 비교하면 게이지 접속이 등장합니다. 그 곡률이 게이지 장의 세기입니다.

필요한 사전 지식은 행렬 곱, 복소수, 미분, 기초 양자역학입니다. 마지막 3분의 1에서는 장과 특수 상대론에 익숙하면 도움이 됩니다. 군론이나 미분기하학을 미리 알 필요는 없습니다. 8.28.6절에서는 용어를 익히고, 8.78.11절에서는 수학적 도구를 마련하며, 8.128.15절에서는 게이지 이론을 구성하고, 8.168.18절에서는 표준 모형을 조립합니다. 풀이 예제는 논의의 일부입니다. 8.19절의 연습문제에서는 핵심 아이디어를 다시 살펴봅니다.

다양체, 접속, 곡률을 더 넓게 이해하려면 미분기하학 Curiosity를 참고하세요. 본편의 양자장론 장은 이 입문을 넘어 양자화, 상호작용, 변칙, 힉스 메커니즘을 다룹니다. 이 글은 여덟 번째 Curiosity이며, 본편의 물리학 제8장과는 별개의 글입니다.

계산할 때 곁에 둘 규약

벡터는 열벡터로 쓰고, 곱 $gh$에서는 $h$가 먼저 작용합니다. $I$는 단위행렬이며, $e$는 전자기 결합 상수라고 명시하지 않는 한 군의 항등원입니다. 대거는 켤레전치를 뜻합니다. 반복되는 리 대수 첨자는 합을 취하는 것으로 이해합니다. 시공간 첨자는 $\mu ,\nu =0,1,2,3$입니다.

양자장에는 자연 단위계 $\hslash =c=1$과 민코프스키 계량의 부호 $(+,-,-,-)$를 사용합니다. 내부 생성자 $t_a$는 에르미트이며, $SU(N)$의 정의 표현에서

$$[t_a,t_b]=i{f}_{ab}{}^c{t}_c,\mathrm{tr}(t_a{t}_b)=\frac{1}{2}{\delta }_{ab}$$

을 따릅니다. 대각합의 정규화는 선택한 규약이지, 모든 표현에 적용되는 공리는 아닙니다. 게이지 규약은

$${\psi }^{\prime }=U\psi ,D_{\mu }={\partial }_{\mu }-ig{A}_{\mu },[D_{\mu },D_{\nu }]=-ig{F}_{\mu \nu }.$$

입니다. 중간에 부호를 바꾸지 않고 이 규약의 결과를 유도하겠습니다. 초전하는 $Q=T_3+Y$로 정의합니다. $Q=T_3+Y/2$를 쓰는 자료는 여기서의 $Y$의 두 배를 초전하라고 부릅니다. 방정식을 비교할 때 이 규약들은 함께 맞추어야 합니다.

8.2 군이란 무엇인가

군은 집합 $G$와 이항 연산의 쌍입니다. 이항 연산이란 $G$의 각 원소 쌍 $g,h$에 $G$의 원소 $gh$를 대응시키는 규칙입니다. 가역적인 합성에 필요한 성질은 네 가지 조건으로 정리됩니다.

1. 닫힘성: 허용된 두 연산을 합성하면 또 다른 허용된 연산이 된다.
2. 결합법칙: $(gh)k=g(hk)$. 괄호 위치를 옮겨도 답은 같지만, 순서를 바꾸어도 된다는 뜻은 아니다.
3. 항등원: $eg=ge=g$를 만족하는 원소 $e$가 있다.
4. 역원: 각 $g$에는 $g^{-1}g=g{g}^{-1}=e$를 만족하는 원소 $g^{-1}$가 있다.

연산은 수의 곱셈일 필요가 없습니다. 정수의 덧셈에서는 항등원이 $0$이고, $n$의 역원은 $-n$입니다. 따라서 $(\mathbb{Z},+)$는 군입니다. 음이 아닌 정수는 양의 정수의 덧셈 역원이 집합 안에 없으므로 덧셈에 대해 군을 이루지 못합니다. 0이 아닌 실수는 곱셈에 대해 군을 이루지만, 모든 실수는 그렇지 않습니다. $0$에 곱셈 역원이 없기 때문입니다.

모든 쌍에 대해 $gh=hg$이면 아벨 군, 또는 가환군이라고 합니다. 정수의 덧셈은 가환적입니다. 공간 회전의 합성은 일반적으로 가환적이지 않습니다. 비가환성은 중간 연산이 다음 연산이 작용할 상황을 바꾼다는 뜻이지, 합성에 모순이 있다는 뜻은 아닙니다.

풀이 예제 1: 다섯 위치를 가진 시계

${\mathbb{Z}}_5$를 나머지류 $0,1,2,3,4$로 이루어진 집합이라 하고, $5$를 법으로 하는 덧셈을 사용합시다. 그러면

$$3+4=2(\mathrm{mod}5),-3=2(\mathrm{mod}5).$$

입니다. 원소 $1$을 반복해서 더하면 다섯 위치를 모두 방문하므로, 이 원소는 군 전체를 생성합니다. 같은 순환군을 $r^5=e$를 만족하는 $C_5=\{e,r,r^2,r^3,r^4\}$로 써도 됩니다. 이 군의 위수, 즉 원소의 수는 5입니다. 반면 연속군의 실수 매개변수 개수는 차원이라고 부릅니다. 두 개념은 다릅니다.

결합법칙이 있으면 교환법칙을 가정하지 않고 방정식을 풀 수 있습니다. $gx=h$의 왼쪽에 $g^{-1}$를 곱하면 $x=g^{-1}h$를 얻습니다. 잘못된 쪽에서 곱하면 일반적으로 성립하지 않습니다. 마찬가지로

$$(gh{)}^{-1}=h^{-1}{g}^{-1},$$

입니다. 연산의 연속을 되돌리려면 마지막 단계를 먼저 취소해야 하기 때문입니다. 이 간단한 항등식은 행렬 대수와 게이지 변환에서 다시 등장합니다.

부분군은 같은 연산에 대해 그 자체로 군이 되는 부분집합입니다. 예를 들어 5의 배수 전체는 $(\mathbb{Z},+)$의 부분군입니다. 준동형사상은 곱을 보존하는 사상, 즉 $\rho (gh)=\rho (g)\rho (h)$를 만족하는 사상입니다. 항등원과 역원도 자동으로 보존합니다. 이 사상이 전단사이면 동형사상이라고 하며, 두 표현 방식이 같은 추상적 군 구조를 갖는다는 뜻입니다.

이해 점검. 결합법칙은 $gh=hg$를 주장하지 않습니다. 세 연산을 실행할 때 계산을 정리하는 괄호의 위치가 결과에 영향을 주지 않는다는 뜻일 뿐입니다.

8.3 대칭의 작용: 삼각형을 실험실로 삼기

추상적인 군에는 변환할 구체적인 대상이 처음부터 주어질 필요가 없습니다. 군의 작용이 그 대상을 제공합니다. 집합 $X$에 대해 $e\cdot x=x$와 $(gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x)$를 만족하도록 $g\cdot x$를 정합니다. 같은 군이 위치, 함수, 양자 상태, 장의 내부 성분에 작용할 수 있습니다.

정삼각형의 꼭짓점에 $1,2,3$이라는 이름을 붙입시다. $r=(123)$은 꼭짓점을 순환시키고, $s=(23)$은 꼭짓점 $1$을 고정하면서 $2$와 $3$을 맞바꿉니다. 순환 표기에서 $(123)$은 $1\mapsto 2$, $2\mapsto 3$, $3\mapsto 1$을 뜻합니다. 삼각형의 여섯 대칭은 이면체군 $D_3$를 이루며, 이는 순열군 $S_3$와 동형입니다.

$$D_3=\{e,r,r^2,s,sr,s{r}^2\},r^3=e,s^2=e,srs=r^{-1}.$$

처음 두 관계는 회전을 세 번, 반사를 두 번 하면 출발점으로 돌아온다는 뜻입니다. 세 번째는 반사가 회전의 방향을 뒤집는다는 뜻입니다.

꼭짓점의 색으로 작용을 추적합니다. 두 과정은 같은 두 연산을 쓰지만, $sr$과 $rs$는 서로 다른 꼭짓점 쌍을 맞바꿉니다.

풀이 예제 2: 가환하지 않음을 계산하기

$sr$에서 꼭짓점 $1$을 따라가 봅시다. $r$이 이를 $2$로 보내고, 이어서 $s$가 $2$를 $3$으로 보냅니다. 꼭짓점 $3$은 먼저 $1$로 간 뒤 그대로 머뭅니다. 꼭짓점 $2$는 자기 자신으로 돌아옵니다. 따라서 $sr=(13)$입니다. 반대로 $rs$는 $1$을 $2$로, $2$를 $1$로 보내고 $3$을 고정하므로 $rs=(12)$입니다. 따라서 $sr\ne rs$입니다.

한 점의 궤도는 군의 작용으로 그 점이 갈 수 있는 곳의 집합입니다. 꼭짓점 $1$의 궤도는 세 꼭짓점을 모두 포함합니다. 안정자 부분군은 그 점을 고정하는 연산들로 이루어지며, 여기서는 $\{e,s\}$입니다. 유한군의 궤도-안정자 관계를 여기서 확인할 수 있습니다.

$$|D_3|=|\mathrm{Orb}(1)||\mathrm{Stab}(1)|=3\times 2.$$

작용의 핵은 모든 점에 자명하게 작용하는 원소를 포함합니다. 이 삼각형 작용의 핵에는 항등원만 있으므로 충실한 작용이라고 합니다. 충실하지 않은 작용에서는 군의 일부가 보이지 않을 수 있습니다. 뒤에서는 보통의 3차원 벡터가 $SU(2)$의 서로 다른 두 원소를 구별하지 못하는 예를 보겠습니다.

능동적인 변환과 수동적인 기술 방식의 변경도 구별하면 유용합니다. 좌표축을 고정하고 행렬 $R$로 벡터를 능동적으로 회전시키면 $v^{\prime }=Rv$입니다. 기하학적 벡터를 고정하고 축을 수동적으로 회전시키면 성분은 $R^{-1}$로 변환합니다. 어느 규약도 사용할 수 있습니다. 둘을 혼동하면 특히 회전과 게이지 틀에서 겉보기의 부호 불일치가 생깁니다.

이해 점검. 대칭은 군 원소와 그것이 작용하는 대상을 함께 지정해야 합니다. 한 작용에서 보이지 않는 군 원소가 다른 작용에서는 보일 수 있습니다.

8.4 행렬, 복소수, 보존되는 양

선형변환은 합을 합으로, 스칼라배를 스칼라배로 보냅니다. 기저를 선택하면 행렬로 나타낼 수 있습니다. 합성은 행렬 곱이 되고, 가역행렬은 가역적인 선형변환을 나타냅니다. 체 $\mathbb{F}$ 위의 가역적인 $n\times n$ 행렬은 일반선형군 $GL(n,\mathbb{F})$을 이룹니다.

왜 더 작은 군을 선택할까요? 보통은 어떤 물리량을 보존해야 하기 때문입니다. 실벡터의 유클리드 길이의 제곱을 $v^{T}v$로 측정할 때, 행렬 $R$이 모든 길이를 보존할 필요충분조건은

$$(Rv{)}^T(Rv)=v^T{R}^{T}Rv=v^{T}v,R^{T}R=I.$$

입니다. 이 행렬들을 직교행렬이라 하며, $O(n)$을 이룹니다. 행렬식은 $(\det R{)}^2=1$을 만족하므로 $\det R=\pm 1$입니다. $+1$을 요구하면 특수직교군 $SO(n)$이 됩니다. 반사는 행렬식이 $-1$이므로 제외되며, 회전은 $SO(n)$에 속합니다.

복소벡터에서는 음이 아닌 노름의 제곱을 주는 것이 $z^{†}z$이지 $z^{T}z$가 아닙니다. 이를 보존하는 행렬은 $U^{†}U=I$를 만족하며 유니터리 행렬이라고 합니다. 이들은 $U(n)$을 이루고, $\det U=1$을 더 요구하면 $SU(n)$이 됩니다. 여기서 ‘특수’는 행렬식이 1이라는 뜻이고, ‘유니터리’는 에르미트 내적을 보존한다는 뜻입니다. 어느 말도 행렬 성분이 실수라는 뜻은 아닙니다.

풀이 예제 3: 복소 위상은 실평면의 회전이다

$z=x+iy$라고 씁시다. $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$를 곱하면

$$e^{i\theta }z=(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta ).$$

을 얻습니다. 따라서 하나의 복소 성분은 두 개의 실수 성분과 정확히 같은 방식으로 변환합니다.

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right).$$

절댓값 $|z|$는 변하지 않습니다. 위상 $e^{i\theta }$의 집합은 $U(1)$을 이루며, 이 대응은 군의 동형 $U(1)\cong SO(2)$입니다. 다만 군을 사용하는 모든 물리적 상황까지 같아지는 것은 아닙니다. 전자장에 작용하는 위상은 내부 변환이고, 실험실 평면의 회전은 공간 위치에 작용합니다.

양자역학에서는 복소 내적이 특히 중요합니다. 유니터리 변환은 $⟨U\varphi ,U\psi ⟩=⟨\varphi ,\psi ⟩$이므로 전이 확률을 보존합니다. 에르미트 행렬은 $H^{†}=H$를 만족하며 관측량을 나타낼 수 있습니다. 일반적으로 그 자체가 군 변환인 것은 아닙니다. 대신 실수 $\alpha$에 대해 $e^{i\alpha H}$가 유니터리입니다. 이것이 관측량 또는 생성자와 유한 변환을 잇는 다리입니다.

예를 들어 $\mathrm{diag}(1,-1)$은 에르미트이면서 유니터리이지만, $\mathrm{diag}(2,3)$은 에르미트일 뿐 유니터리는 아닙니다. 에르미트성과 유니터리성은 서로 다른 조건이며 역할도 다릅니다.

8.5 연속적인 회전과 위상의 원

앞 절의 행렬을 $R(\theta )$라고 쓰겠습니다. 각도 덧셈 공식을 이용해 직접 곱하면

$$R(\alpha )R(\beta )=R(\alpha +\beta ),R(\theta {)}^{-1}=R(-\theta ).$$

을 얻습니다. 평면 회전은 하나의 매개변수로 나타내지만 그 매개변수는 주기적입니다. $\theta$와 $\theta +2\pi$는 같은 원소를 나타냅니다. 군 전체는 무한한 직선이 아니라 원입니다. 국소적으로는 각도의 작은 구간이면 충분하지만, 전역적으로는 그 구간들이 원을 따라 서로 맞물려야 합니다.

실행렬 $R(\theta )$와 복소수 $e^{i\theta }$는 같은 1매개변수 합성 법칙을 실현합니다.

풀이 예제 4: 무한소 회전

작은 각도 $ϵ$에 대해

$$R(ϵ)=I+ϵJ+O({ϵ}^2),J=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),J^2=-I.$$

입니다. 지수 급수에서 짝수 거듭제곱과 홀수 거듭제곱을 나누면

$$e^{\theta J}=I\left(1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\cdots \right)+J\left(\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\cdots \right)=I\cos \theta +J\sin \theta =R(\theta ).$$

을 얻습니다. 이것만으로도 이미 리 이론의 예입니다. 하나의 무한소 방향 $J$가 연속적인 변환족 전체를 생성합니다.

3차원 회전에는 독립적인 무한소 방향이 세 개 있습니다. 이들은 가환하지 않습니다. 추상적 표기 없이 확인하려면 $v=(1,0,0{)}^T$에서 시작합시다. 오른손 규칙의 양의 회전 $R_y(\pi /2)$는 $v$를 $(0,0,-1{)}^T$로 보내고, 이어지는 $R_z(\pi /2)$는 그 벡터를 고정합니다. 순서를 뒤집으면 먼저 $(0,1,0{)}^T$가 되고, $R_y(\pi /2)$는 이를 고정합니다. 따라서

$$R_z(\pi /2)R_y(\pi /2)v\ne R_y(\pi /2)R_z(\pi /2)v.$$

입니다. 각도와 축으로 3차원 회전을 나타낼 수 있지만 독립적인 매개변수가 네 개라는 뜻은 아닙니다. 단위축에 두 개가 필요하고 각도가 하나를 더합니다. 각도가 0이면 모든 축이 같은 항등원을 나타내므로, 이 매개화는 군의 좌표에 중복이나 특이점이 있을 수 있다는 점도 알려 줍니다.

이해 점검. $U(1)$의 주기적인 각도와 항등원 근처의 움직임을 나타내는 실수 무한소 매개변수는 전역적으로 같은 공간이 아닙니다.

8.6 리 군: 다양체이기도 한 군

리 군은 군의 곱과 역원 연산이 매끄러운 사상인 매끄러운 다양체입니다. 다양체란 하나의 좌표계가 전체를 덮지 못하더라도, 국소적으로는 일정한 개수의 실수 좌표로 기술할 수 있는 공간입니다. 매끄러움 덕분에 미분이 의미를 갖습니다.

따라서 기억해야 할 독립적인 구조는 두 가지입니다. 군의 법칙은 변환들이 어떻게 합성되는지 알려 주고, 다양체는 변환이 연속적으로 어떻게 달라지는지 알려 줍니다. 원 $U(1)$에는 둘 다 있습니다. 덧셈을 사용하는 직선 $(\mathbb{R},+)$에도 둘 다 있지만, 전역적으로는 원과 다릅니다.

행렬군에서는 정의에 쓰인 제약을 전개해 가까운 곳의 독립적인 매개변수를 셀 수 있습니다. 이 생각은 접공간으로 이어지지만, 먼저 차원을 실제로 세는 방법을 제공합니다.

풀이 예제 5: 생성자를 고르기 전에 개수 세기

$U=I+iϵH+O({ϵ}^2)$라고 놓으면

$$U^{†}U=I+iϵ(H-H^{†})+O({ϵ}^2),$$

이므로 유니터리성에는 $H=H^{†}$가 필요합니다. $n\times n$ 에르미트 행렬에는 실수 대각 성분 $n$개와 독립적인 복소 비대각 성분 $n(n-1)/2$개가 있습니다. 실수 매개변수의 개수는

$$n+2\frac{n(n-1)}{2}=n^2.$$

입니다. 행렬식이 1이라는 조건은 $\mathrm{tr}H=0$을 요구하므로 실수 매개변수 하나를 없앱니다. 따라서 $\dim U(n)=n^2$이고 $\dim SU(n)=n^2-1$입니다. 마찬가지로 $R=I+ϵX$를 $R^{T}R=I$에 넣어 전개하면 $X^T=-X$를 얻으며, 독립 성분은 $n(n-1)/2$개입니다.

군	정의에 쓰이는 행렬	군의 실차원	표시된 벡터 공간의 차원
$U(1)$	하나의 복소 위상	$1$	복소 $1$차원
$SO(2)$	실직교 $2\times 2$ 행렬, 행렬식 $1$	$1$	실 $2$차원
$SO(3)$	실직교 $3\times 3$ 행렬, 행렬식 $1$	$3$	실 $3$차원
$SU(2)$	유니터리 $2\times 2$ 행렬, 행렬식 $1$	$3$	복소 $2$차원
$SU(3)$	유니터리 $3\times 3$ 행렬, 행렬식 $1$	$8$	복소 $3$차원

마지막 두 열은 서로 다른 질문에 답합니다. $SU(3)$의 차원은 독립적인 변환 매개변수가 여덟 개라는 뜻입니다. 그 정의 표현은 세 성분의 복소벡터에 작용합니다. 어느 숫자도 쿼크의 세대수를 세는 것이 아닙니다.

계수, 또는 랭크는 또 다른 수입니다. 여기서 다루는 콤팩트군에서는 극대 원환 안에 있는 독립적이고 서로 가환하는 생성자의 수를 셉니다. $SU(2)$의 계수는 1이고, $SU(3)$의 계수는 2입니다. 계수는 군의 차원도, 표현의 차원도 아닙니다.

다양체, 매끄러운 군 연산, 고전 행렬군을 엄밀하게 다루는 수학은 Etingof의 MIT 리 군 강의 노트, 1~5강을 참고하세요. 여기서 계산하는 데에는 그 내용의 행렬 형태만 있으면 충분합니다.

8.7 접벡터, 생성자, 지수 사상

행렬군 안에서 $g(0)=I$를 만족하는 미분 가능한 곡선 $g(t)$를 고릅시다. 초기 속도 $X=g^{\prime }(0)$는 항등원에서의 접벡터입니다. 이런 속도 전체는 실벡터 공간 $\mathfrak{g}=T_{e}G$를 이루며, 이것이 리 대수의 바탕이 되는 벡터 공간입니다.

$U(n)$에 대해 $g(t{)}^{†}g(t)=I$를 $t=0$에서 미분하면 $X^{†}=-X$입니다. 따라서 수학에서는 $\mathfrak{u}(n)$을 반에르미트 행렬로, $\mathfrak{su}(n)$을 대각합이 0인 반에르미트 행렬로 실현합니다. 물리에서는 흔히

$$X=i{\alpha }^a{t}_a,t_a^{†}=t_a,$$

처럼 쓰며 계수 ${\alpha }^a$는 실수입니다. 에르미트 행렬 $t_a$는 편리한 생성자 기저이며, 인자 $i$가 이를 실제 접행렬로 바꿉니다. 이 구별을 유지하면 두 에르미트 행렬의 보통 교환자도 에르미트라는 잘못된 주장을 피할 수 있습니다.

접공간은 국소적인 방향을 기록합니다. 지수 사상은 군을 따라 움직이게 하며, 서로 다른 접공간 점이 같은 군 원소로 갈 수도 있습니다.

행렬 지수함수

$$\exp X=I+X+\frac{X^2}{2!}+\cdots$$

는 무한소 생성자를 유한 변환으로 바꿉니다. 곡선 $g(t)=e^{tX}$는 $g(0)=I$를 초기조건으로 하는 $g^{\prime }(t)=Xg(t)$를 풀며, $g(t+s)=g(t)g(s)$를 만족합니다. 이런 곡선을 1매개변수 부분군이라고 합니다.

풀이 예제 6: 지수함수가 $SU(n)$ 안에 머무는 이유

에르미트이고 대각합이 0인 $H$에 대해

$$(e^{iH}{)}^{†}{e}^{iH}=e^{-iH}{e}^{iH}=I,\det (e^{iH})=e^{i\mathrm{tr}H}=1.$$

입니다. 따라서 $e^{iH}$는 특수유니터리입니다. 역으로 특수유니터리 행렬은 유니터리 기저변환으로 대각화할 수 있습니다. 고윳값들은 위상이며, 각도들의 합은 $2\pi$의 정수배입니다. 한 각도에서 그 정수배를 빼면 대각합이 0인 에르미트 로그를 얻습니다. 따라서 $SU(n)$의 모든 원소는 지수함수로 나타나지만, 로그는 유일하지 않습니다.

마지막 주장은 이 상황에 특수한 것입니다. 임의의 리 군에서는 지수 사상이 항등원 근처의 국소 좌표 사상을 제공하지만, 군 전체를 덮을 필요는 없습니다. 전사인 경우에도 일반적으로 일대일이 아닙니다. $U(1)$에서는 $e^{i(\theta +2\pi k)}=e^{i\theta }$가 이러한 다중성을 직접 보여 줍니다.

군의 곱으로 옮기는 연산은 항등원의 접벡터를 다른 점의 접벡터로 보냅니다. 그래서 하나의 접공간만으로도 항등원 성분 전체에서 국소적인 곱을 재구성할 만큼의 정보를 담을 수 있습니다. 하지만 모든 전역적인 동일시나 연결되지 않은 성분까지 담지는 않습니다. 리 대수는 국소 구조를 제공하지만, 군의 전역적 정체를 완전히 정하지는 않습니다.

8.8 리 괄호는 무한소 연산의 순서를 측정한다

접벡터 공간에 괄호 연산을 주면 리 대수가 됩니다. 행렬군에서는 교환자

$$[X,Y]=XY-YX.$$

가 그 역할을 합니다. 이 연산은 쌍선형이고 반대칭이며, 야코비 항등식

$$[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0.$$

을 만족합니다. 행렬이 없어도 이 성질들로 리 대수를 추상적으로 정의할 수 있습니다. 괄호 연산의 결과 역시 대수 안에 있어야 합니다. 반에르미트 행렬에서는 $[X,Y{]}^{†}=-[X,Y]$이고, 대각합이 0인 행렬에서는 $\mathrm{tr}[X,Y]=0$입니다. 따라서 행렬의 제약이 보존됩니다.

풀이 예제 7: 작은 교환자 고리를 한 바퀴 돌기

각 지수함수를 2차까지 전개해 곱하면

$$e^{ϵX}{e}^{ϵY}{e}^{-ϵX}{e}^{-ϵY}=I+{ϵ}^2[X,Y]+O({ϵ}^3).$$

을 얻습니다. 1차 변위는 모두 상쇄됩니다. 남는 것은 두 무한소 변환의 순서를 교환해서 생긴 불일치를 측정합니다. 아벨 군에서는 괄호가 0입니다. 0이 아닌 괄호는 비가환성이 국소적으로 남긴 흔적입니다.

에르미트 생성자 기저에서는 $[t_a,t_b]=i{f}_{ab}{}^c{t}_c$로 씁니다. 수 $f_{ab}{}^c$를 그 기저에서의 구조 상수라고 합니다. 이들은 기저와 정규화에 의존하지만, 리 대수 자체는 그렇지 않습니다. 우리의 대각합 규약을 쓰는 콤팩트 $SU(N)$에서는 ${\delta }_{ab}$를 이용해 대수의 위아래 첨자를 동일시하고, $f^{abc}$를 완전 반대칭 텐서로 쓸 수 있습니다.

베이커-캠벨-하우스도르프 공식은 로그 전개를 쓸 수 있을 만큼 항등원에 가까운 유한 변환에 대해 같은 문제를 정리합니다.

$$\log (e^X{e}^Y)=X+Y+\frac{1}{2}[X,Y]+\frac{1}{12}([X,[X,Y]]+[Y,[Y,X]])+\cdots .$$

따라서 $e^X{e}^Y=e^{X+Y}$는 $X$와 $Y$가 가환할 때에는 성립하지만, 일반적인 행렬 항등식은 아닙니다. 중첩된 괄호가 보정항을 지정합니다. 이 공식은 국소 전개이므로, 전역적으로 유일한 로그가 있다는 주장에 사용해서는 안 됩니다. Etingof, 7강에 정확한 리 이론의 진술이 있습니다.

이해 점검. ‘군을 선형화한다’는 말은 모든 비선형 효과를 버린다는 뜻이 아닙니다. 리 대수는 순서에 관한 첫 비자명한 정보를 기억하는 괄호 연산을 갖춘 벡터 공간입니다.

8.9 파울리 행렬, $SU(2)$, 회전의 이중 덮개

파울리 행렬은 구체적인 에르미트 기저를 제공합니다.

$${\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$$

$t_a={\sigma }_a/2$라고 놓습니다. 곱셈 법칙은

$${\sigma }_a{\sigma }_b={\delta }_{ab}I+i{ϵ}_{abc}{\sigma }_c,[t_a,t_b]=i{ϵ}_{abc}{t}_c,\mathrm{tr}(t_a{t}_b)=\frac{1}{2}{\delta }_{ab}.$$

입니다. 예를 들어 ${\sigma }_1{\sigma }_2=i{\sigma }_3$이고 ${\sigma }_2{\sigma }_1=-i{\sigma }_3$이므로 $[t_1,t_2]=i{t}_3$입니다. 여기서는 ${ϵ}_{123}=+1$입니다.

모든 $SU(2)$ 행렬은 $U=a_{0}I+i\mathbf{a}\cdot \mathbf{\sigma }$로 쓸 수 있고, 실수 계수들은 $a_0^2+|\mathbf{a}{|}^2=1$을 만족합니다. 따라서 다양체로서 $SU(2)$는 3차원 구면 $S^3$이며, 공간 방향을 나타내는 보통의 2차원 구면이 아닙니다.

풀이 예제 8: 스피너의 회전과 벡터의 회전

단위축 $\mathbf{n}$ 주위로 각도 $\theta$만큼 능동적으로 공간 회전시키려면

$$U(\mathbf{n},\theta )=e^{-i\theta \mathbf{n}\cdot \mathbf{\sigma }/2}=I\cos \frac{\theta }{2}-i\mathbf{n}\cdot \mathbf{\sigma }\sin \frac{\theta }{2}.$$

를 사용합니다. 마이너스 부호는 능동적 양자 회전의 일반적인 규약이며, 일반 지수함수 $e^{i{\alpha }^a{t}_a}$에서 음의 매개변수를 택한 것에 해당합니다. 리 대수나 게이지 규약을 바꾸지는 않습니다.

실벡터 $\mathbf{v}$에 대각합이 0인 에르미트 행렬 $V=\mathbf{v}\cdot \mathbf{\sigma }$를 대응시킵시다. 변환 $V^{\prime }=UV{U}^{†}$는 에르미트성, 대각합, $\det V=-|\mathbf{v}{|}^2$를 보존하므로 $\mathbf{v}$의 직교변환을 정의합니다. 그 행렬식은 $+1$입니다. 작용이 연속적으로 변하고, $SU(2)$가 연결되어 있으며, 항등원은 행렬식 $+1$로 작용하기 때문입니다. 따라서 이것은 회전입니다. $z$축에 대해서는

$$U{\sigma }_1{U}^{†}=\cos \theta {\sigma }_1+\sin \theta {\sigma }_2,$$

이므로, 예상대로 $x$ 방향을 $y$ 방향으로 보냅니다.

$U$와 $-U$는 같은 $V^{\prime }$를 줍니다. 사상 $SU(2)\to SO(3)$는 전사이며 핵은 $\{I,-I\}$입니다.

$$SO(3)\cong SU(2)/{\mathbb{Z}}_2.$$

각 공간 회전에는 $SU(2)$에서 두 개의 올림이 있습니다. 이 그림은 한 회전축을 따르는 경로만 나타내며, 3차원 구면 전체를 그린 것은 아닙니다.

두 성분의 스피너는 ${\chi }^{\prime }=U\chi$로 변환합니다. $\theta =2\pi$에서는 $U=-I$이고 ${\chi }^{\prime }=-\chi$이며, $4\pi$에서는 $U=I$입니다. 고립된 상태와 그 음수는 같은 확률을 주지만, 결맞게 비교되는 두 경로 사이의 상대적인 부호는 간섭에 영향을 줄 수 있습니다. 따라서 이중 덮개는 단순한 그림상의 요령을 넘어섭니다. 그렇다고 고전적인 화살표가 돌아오는 데 $4\pi$가 필요하다는 뜻은 아닙니다.

$SU(2)$와 $SO(3)$의 리 대수는 동형이지만, 전역적으로 가능한 표현은 다릅니다. 반정수 스핀 표현은 $SU(2)$의 표현이며, 보통의 단일값 $SO(3)$ 표현으로 내려가지 않습니다. Etingof의 예 2.13과 덮개에 관한 논의를 참고하세요.

8.10 표현: 같은 군, 서로 다른 대상

벡터 공간 $V$ 위의 표현은 준동형사상 $\rho :G\to GL(V)$입니다. 정의 규칙

$$\rho (gh)=\rho (g)\rho (h),$$

은 행렬들이 추상적인 합성 법칙을 따른다는 것을 보장합니다. 표현의 차원은 $\dim V$입니다. 매끄러운 표현을 미분하면 $d\rho (i{t}_a)=i{T}_a$로 정의되는 생성자 행렬 $T_a$를 얻습니다. 즉, 미분사상은 실제 반에르미트 접행렬에 작용합니다. 이들은 같은 교환관계 $[T_a,T_b]=i{f}_{ab}{}^c{T}_c$를 만족합니다.

$SU(n)$의 정의 표현은 흔히 기본 표현이라고도 부르며, 군을 정의하는 행렬을 사용해 ${\mathbb{C}}^n$에 작용합니다. 더 넓은 수학 용어에서는 단순군이 여러 기본 표현을 가질 수 있습니다. 여기서 ‘$SU(n)$의 기본 표현’은 이 $n$차원 정의 표현을 뜻합니다. 자명한 표현, 또는 단일항은 모든 원소를 $1$로 보냅니다.

0도 아니고 전체 공간도 아닌 불변 부분공간이 없는 표현을 기약 표현이라고 합니다. ‘기본’과 ‘기약’은 동의어가 아닙니다. 정의 표현이 아닌 기약 표현도 많습니다. 콤팩트군의 유한차원 유니터리 표현은 기약 표현들의 직합으로 분해됩니다.

직합은 두 공간에 독립적으로 작용합니다.

$$({\rho }_1\oplus {\rho }_2)(g)=\left(\begin{array}{cc}{\rho }_1(g)& 0\\ 0& {\rho }_2(g)\end{array}\right),\dim (V\oplus W)=\dim V+\dim W.$$

텐서곱은 짝지은 성분들에 작용합니다.

$$({\rho }_1\otimes {\rho }_2)(g)(v\otimes w)={\rho }_1(g)v\otimes {\rho }_2(g)w,\dim (V\otimes W)=\dim V\dim W.$$

미분하면 전체 생성자 $T_a^{\mathrm{total}}=T_a^{(1)}\otimes I+I\otimes T_a^{(2)}$를 얻습니다. 이것이 각운동량 덧셈의 기원입니다.

풀이 예제 9: 두 이중항에는 삼중항과 단일항이 들어 있다

기저 $|\uparrow ⟩,|\downarrow ⟩$를 가진 두 $SU(2)$ 이중항을 생각합시다. 4차원 텐서곱은 대칭 상태들

$$|\uparrow \uparrow ⟩,\frac{|\uparrow \downarrow ⟩+|\downarrow \uparrow ⟩}{\sqrt{2}},|\downarrow \downarrow ⟩$$

과 반대칭 상태

$$|s⟩=\frac{|\uparrow \downarrow ⟩-|\downarrow \uparrow ⟩}{\sqrt{2}}.$$

로 나뉩니다. 전체 $T_3$는 대칭 상태들에서 고윳값 $1,0,-1$을 갖습니다. 세 전체 생성자는 모두 $|s⟩$에 작용하면 0을 줍니다. 따라서 $2\otimes 2=3\oplus 1$이며, 스핀 표기로는 $\frac{1}{2}\otimes \frac{1}{2}=1\oplus 0$입니다. 차원도 $2\times 2=3+1$로 맞습니다.

표현은 어떤 수학적 대상이 변환하는지 알려 줍니다. 대상들을 텐서곱으로 결합하면 불변인 부분들이 드러날 수 있습니다.

딸림 표현은 켤레작용 $X\mapsto gX{g}^{-1}$을 통해 리 대수 자체에 작용합니다. 그 차원은 군의 차원과 같습니다. 따라서 $SU(2)$에는 2차원 정의 표현과 3차원 딸림 표현이 있고, $SU(3)$에는 3차원 정의 표현과 8차원 딸림 표현이 있습니다. 게이지 곡률은 딸림 표현으로 변환합니다. 게이지 접속에는 미분항이 추가되므로, 완전한 국소 변환은 단순한 딸림 작용만이 아닙니다.

$U(1)$의 연속적이고 단일값인 기약 유니터리 표현은 정수 $n$에 대해 ${\rho }_n(e^{i\theta })=e^{in\theta }$입니다. 주기성이 $e^{2\pi in}=1$을 요구합니다. 물리적인 전하 규약에서는 결합 상수와 함께 이 정수들의 척도를 바꿀 수 있습니다. 표준 모형의 분수 초전하가 이 진술과 어떻게 양립하는지는 뒤에서 명시적으로 설명하겠습니다.

8.11 $SU(3)$: 세 성분과 여덟 생성자

$SU(3)$ 기본 표현의 벡터는 세 복소 성분을 갖습니다.

$$q=\left(\begin{array}{c}{q}_r\\ q_g\\ q_b\end{array}\right),q^{\prime }=Uq.$$

빨강, 초록, 파랑이라는 색 이름은 내부 기저의 라벨이며, 광학적인 색이나 공간 방향과는 관계가 없습니다. 기저를 바꾸면 $q^{†}q$를 보존하면서 성분들이 섞입니다. 맛깔을 하나로 고정한 쿼크가 색 삼중항입니다. 업, 다운, 스트레인지는 맛깔 라벨이며, 이 색 표현의 세 성분과 혼동해서는 안 됩니다.

대각합이 0인 일반적인 에르미트 $3\times 3$ 행렬은

$$H=\left(\begin{array}{ccc}a& z_1& z_2\\ z_1^{\ast }& b& z_3\\ z_2^{\ast }& z_3^{\ast }& -a-b\end{array}\right).$$

꼴입니다. 두 실수 $a,b$와 세 복소수 $z_1,z_2,z_3$가 여덟 실수 매개변수를 줍니다. 여덟 겔만 행렬을 모두 외우지 않아도 여덟 생성자를 구체적으로 이해할 수 있습니다.

관례적인 기저는 $t_a={\lambda }_a/2$입니다. 두 대각 생성자는

$$t_3=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),t_8=\frac{1}{2\sqrt{3}}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right).$$

입니다. 이들은 가환하며 계수가 2인 카르탕 부분대수를 이룹니다. 나머지 여섯 개는 색 성분의 쌍을 섞습니다. 왼쪽 위 $2\times 2$에 파울리 블록을 넣고 세 번째 행과 열을 0으로 채우면, $[t_1,t_2]=i{t}_3$를 만족하는 $\mathfrak{su}(2)$ 부분대수를 얻습니다. $SU(3)$ 안의 부분군이 반드시 표준 모형의 특정한 약한 $SU(2{)}_L$인 것은 아닙니다. 표준 모형에서는 서로 다른 첨자에 작용하는 독립적인 인자입니다.

풀이 예제 10: 색 단일항과 색 팔중항

반쿼크는 행렬 $U^{\ast }$를 사용하는 복소켤레 표현 $\overline{3}$으로 변환합니다. 쿼크-반쿼크 텐서는 $M\mapsto UM{U}^{†}$로 변환하는 행렬 $M$으로 정리할 수 있습니다. 이를

$$M=\frac{\mathrm{tr}M}{3}I+\left(M-\frac{\mathrm{tr}M}{3}I\right).$$

로 나눕니다. 대각합 부분은 켤레작용에 의해 변하지 않습니다. 대각합이 0인 부분은 여덟 복소 성분을 가지며, 복소화한 딸림 표현으로 변환합니다. 따라서

$$3\otimes \overline{3}=1\oplus 8.$$

입니다. 딸림 작용을 받는 리 대수 자체에는 여덟 실수 접방향이 있고, 양자론의 표현 공간은 보통 복소 공간입니다. 여기서는 두 차원의 수치가 같지만, 서로 다른 벡터 공간의 차원을 가리킵니다.

이 분해는 중간자의 색 파동함수를 정리하고, 딸림 색 라벨이 여덟 값을 갖는 이유를 설명하는 데 도움이 됩니다. 표준 모형에서 글루온은 기본적인 게이지 장의 들뜸이지, 문자 그대로의 쿼크-반쿼크 결합 상태가 아닙니다. 여덟 종류라는 대수적 라벨은 독립적인 색-반색 글루온이 아홉 개 있다는 뜻이 아닙니다. 대각합 단일항은 $\mathfrak{su}(3)$에서 빠져 있습니다.

8.12 전역 대칭에서 국소적인 틀의 선택으로

내부 벡터 첨자를 가진 복소장 $\psi (x)$를 생각합시다. 전역적인 내부 변환은 모든 곳에서 같은 행렬을 사용합니다. 즉, 일정한 $U$에 대해 $\psi (x)\mapsto U\psi (x)$입니다. 시공간 점 $x$는 고정되어 있습니다. $U$가 유니터리이면 ${\psi }^{†}\psi$ 같은 항은 변하지 않고,

$${\partial }_{\mu }(U\psi )=U{\partial }_{\mu }\psi .$$

이 성립합니다. 대응하는 불변 조합으로 만든 라그랑지안은 전역 대칭을 가질 수 있습니다. 통상적인 가정 아래에서 연속적인 물리적 전역 대칭은 보존되는 뇌터 흐름을 줍니다. 그러나 전역 대칭이 존재한다는 사실만으로 자연에 게이지 장의 도입이 강제되지는 않습니다. 게이지 이론을 구성하는 것은 추가적인 물리적 선택입니다.

이제 점마다 달라지는 행렬 $U(x)$를 허용합시다. 미분은

$${\partial }_{\mu }(U\psi )=U{\partial }_{\mu }\psi +({\partial }_{\mu }U)\psi .$$

이 됩니다. 문제의 핵심은 이 추가 항입니다. 이웃한 두 성분 목록은 서로 다른 내부 틀을 사용하므로, 단순히 빼면 장의 변화와 틀의 변화를 혼동하게 됩니다.

각 시공간 점에 작은 벡터 공간을 붙인다고 생각해 봅시다. 이 공간들의 모음을 벡터 다발이라고 하고, 각각의 벡터 공간을 올이라고 합니다. 각 올에서 기저를 고르는 것이 국소 틀을 선택하는 일입니다. 접속은 이웃한 올의 벡터들을 비교하는 방법을 지정합니다. 이 기하학은 휘어진 곡면 위 접벡터의 평행이동과 닮았지만, 내부 올이 시공간의 접공간일 필요는 없습니다. 색 벡터는 내부 색 공간에 있으며, 물리적인 변위 공간에 있는 것이 아닙니다.

풀이 예제 11: 기술 방식이 만든 위상 기울기

한 기술 방식에서 $\psi (x)={\psi }_0$가 일정하고, 한 공간 방향에서 $U(x)=e^{ikx}$를 선택한다고 합시다. 새로운 기술은 ${\psi }^{\prime }(x)=e^{ikx}{\psi }_0$이며,

$${\partial }_x{\psi }^{\prime }=ik{\psi }^{\prime }.$$

입니다. 두 기술이 같은 배치를 나타내야 한다면, 이 겉보기 기울기 자체가 물리적인 들뜸일 수는 없습니다. 위상 규약이 위치에 따라 변해서 생긴 기울기만을 상쇄하는 접속이 필요합니다. 다음 절에서 이 상쇄를 직접 확인하겠습니다.

게이지 중복성은 허용된 게이지 변환으로 연결되는 배치들이 계의 서로 다른 상태가 아니라 같은 물리 상태를 나타낸다는 뜻입니다. 게이지 불변량이 물리적 기술을 제공합니다. 그래도 게이지 퍼텐셜은 비자명한 동역학을 담을 수 있습니다. 중복된 좌표를 없애는 것이 물리적인 장의 세기를 없애는 것은 아닙니다.

경계에서는 단서가 필요합니다. 경계에서 항등원에 접근하도록 요구되는 게이지 변환은 중복성이지만, 점근 영역이나 경계 데이터에 비자명하게 작용하는 변환은 물리적 전하를 가질 수 있습니다. 따라서 ‘모든 상수 게이지 변환은 자동으로 물리적으로 자명하다’는 말은 지나치게 포괄적입니다. 물리적 전역 대칭과 기술 방식의 변경을 구별하려면 경계조건을 지정해야 합니다. Tong의 게이지 불변성 논의는 장론에서의 배경을 제공합니다.

8.13 공변미분과 접속의 변환 법칙 유도하기

게이지 퍼텐셜을 $A_{\mu }=A_{\mu }^a{t}_a$라고 쓰고

$$D_{\mu }\psi =({\partial }_{\mu }-ig{A}_{\mu })\psi .$$

로 정의합니다. 계수 $g$는 결합 상수입니다. 다른 표현에 속한 장에서는 $t_a$를 해당 표현의 행렬 $T_a$로 바꿉니다. 게이지 장 성분 $A_{\mu }^a$는 같습니다. 중성 단일항에서는 생성자가 0이므로 보통의 미분이 됩니다.

공변미분이 장 자체와 같은 방식으로 변환하도록 요구합니다.

$$D_{\mu }^{\prime }{\psi }^{\prime }=U{D}_{\mu }\psi .$$

왼쪽을 전개하고 $U{\partial }_{\mu }\psi$를 상쇄하면

$$({\partial }_{\mu }U)\psi -ig{A}_{\mu }^{\prime }U\psi =-igU{A}_{\mu }\psi .$$

입니다. 모든 $\psi$에 대해 성립하므로 오른쪽에 $U^{-1}$를 곱해

$$\boxed{A_{\mu }^{\prime }=U{A}_{\mu }{U}^{-1}-\frac{i}{g}({\partial }_{\mu }U)U^{-1}.}$$

을 얻습니다. 첫 항은 내부 성분을 회전시키고, 두 번째 항은 위치에 따라 변하는 틀을 보정합니다. 두 번째 항을 빠뜨리면 공변성 조건이 성립하지 않습니다. 같은 내용을 미분 연산자로 $D_{\mu }^{\prime }=U{D}_{\mu }{U}^{-1}$라고 쓸 수 있습니다. 이 연산자 항등식에서 미분은 자신의 오른쪽에 있는 모든 것에 작용합니다.

풀이 예제 12: 부호까지 확인하는 아벨 상쇄

단위 전하를 가진 $U(1)$ 장에 대해 $U=e^{ig\alpha (x)}$를 택합시다. 그러면 $({\partial }_{\mu }U)U^{-1}=ig{\partial }_{\mu }\alpha$이므로

$$A_{\mu }^{\prime }=A_{\mu }+{\partial }_{\mu }\alpha .$$

입니다. 직접 대입하면

$$({\partial }_{\mu }-ig{A}_{\mu }-ig{\partial }_{\mu }\alpha )(e^{ig\alpha }\psi )=e^{ig\alpha }({\partial }_{\mu }-ig{A}_{\mu })\psi .$$

을 얻습니다. 위상의 미분이 퍼텐셜의 이동을 상쇄합니다. 앞의 상수장 예제에서는 $A_x=0$, $\alpha =kx/g$로 놓습니다. 변환된 퍼텐셜은 $A_x^{\prime }=k/g$이고, ${\partial }_x{\psi }^{\prime }\ne 0$인데도 $D_x^{\prime }{\psi }^{\prime }=0$입니다.

공변적이라는 말은 ‘정해진 방식으로 변환한다’는 뜻이지, ‘변하지 않는다’는 뜻이 아닙니다. 벡터 $D_{\mu }\psi$는 $U$에 의해 변환하지만, 스칼라 $(D_{\mu }\psi {)}^{†}{D}^{\mu }\psi$는 불변입니다. 공변성과 불변성의 구별은 비아벨 장의 세기를 읽을 때 꼭 필요합니다.

차원 분석은 유용한 점검 도구입니다. 4차원 시공간에서 ${\partial }_{\mu }$의 질량 차원은 1이고 $g$는 무차원이므로, $A_{\mu }$의 차원은 1입니다. 물질 스칼라장의 차원은 1, 페르미온장의 차원은 $3/2$, 라그랑지안 밀도의 차원은 4입니다. 이는 질량을 단위로 한 차원이며, 군이나 표현의 차원과는 다릅니다.

8.14 곡률, 비가환 미분, 고리를 따라 운반하기

보통의 편미분은 좌표 방향을 따른 변화를 측정합니다. 공변미분은 내부 틀도 비교합니다. 따라서 두 공변미분을 연달아 적용해 비교하면, 운반이 방향의 순서에 의존하는지를 묻게 됩니다.

풀이 예제 13: 장의 세기 유도하기

시험용 장에 $D_{\mu }{D}_{\nu }-D_{\nu }{D}_{\mu }$를 적용합니다. 좌표 근방에서 편미분들은 가환하므로 2차 미분을 포함한 항들이 상쇄됩니다. 시험용 장에 미분 하나가 작용하는 항들도 쌍으로 상쇄됩니다. 결과는

$$[D_{\mu },D_{\nu }]\psi =\left[-ig({\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu })-g^2[A_{\mu },A_{\nu }]\right]\psi .$$

입니다. 다음과 같이 정의합시다.

$$\boxed{F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }-ig[A_{\mu },A_{\nu }],[D_{\mu },D_{\nu }]=-ig{F}_{\mu \nu }.}$$

행렬 $F_{\mu \nu }$는 에르미트입니다. $[A_{\mu },A_{\nu }]$는 반에르미트이며, 여기에 $-i$를 곱하면 에르미트가 되기 때문입니다. 성분으로 쓰면

$$F_{\mu \nu }^a={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^a-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }^a+g{f}^{abc}{A}_{\mu }^b{A}_{\nu }^c.$$

입니다. 이것이 게이지 접속의 곡률입니다. 비아벨 항은 행렬 교환자에서 나오며, 생성자들이 가환한다면 없어집니다.

$D_{\mu }^{\prime }=U{D}_{\mu }{U}^{-1}$이므로 교환자도 켤레작용으로 변환합니다. 따라서

$$F_{\mu \nu }^{\prime }=U{F}_{\mu \nu }{U}^{-1}.$$

입니다. $U(1)$에서는 $F^{\prime }=F$로 줄어듭니다. 비아벨 군에서는 행렬 장의 세기가 일반적으로 불변이 아니라 공변적입니다. 반면 $\mathrm{tr}(F_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu })$ 같은 양은 대각합의 순환성으로 불변입니다.

경로 $x(s)$를 따른 평행이동에서는 ${\dot{x}}^{\mu }{D}_{\mu }\psi =0$으로 놓으므로

$$\frac{d\psi }{ds}=ig{\dot{x}}^{\mu }{A}_{\mu }\psi ,\psi (y)=W(y,x)\psi (x),W(y,x)=\mathcal{P}\exp \left(ig{\int }_x^y{A}_{\mu }d{x}^{\mu }\right).$$

을 얻습니다. 경로 순서 기호 $\mathcal{P}$는 나중의 운반 행렬을 왼쪽에 놓습니다. 서로 다른 점의 행렬들이 가환하지 않을 수 있으므로 이 기호가 필요합니다.

표시된 방향에서는 먼저 양의 $\mu$ 방향으로, 다음으로 양의 $\nu$ 방향으로 운반합니다. 곡률은 단위 면적당 불일치의 선도항을 측정합니다.

서로 다른 두 방향을 고정하고 그 첨자에 대한 합을 취하지 않은 채, 작은 직사각형을 $+\mu ,+\nu ,-\mu ,-\nu$ 순서로 돌면

$$W_{\square }=I+ig{F}_{\mu \nu }\delta x^{\mu }\delta x^{\nu }+O(\delta x^3).$$

입니다. 방향을 반대로 하면 선도 면적 항의 부호가 바뀝니다. 여기의 부호는 $D=\partial -igA$ 및 위의 운반 방정식과 일치합니다. 운반 연산자를 미분 교환자와 무심코 동일시해서 얻은 부호가 아닙니다.

열린 경로의 운반자는 $W^{\prime }(y,x)=U(y)W(y,x)U(x{)}^{-1}$로 변환합니다. $x$를 기준점으로 하는 닫힌 고리에서는 그 대각합이 게이지 불변이며, 이것이 윌슨 고리입니다. 평탄한 접속은 $F=0$이고, 충분히 작고 단일 연결인 근방에서 국소적으로 제거할 수 있습니다. 그래도 한 점으로 줄일 수 없는 고리 주위에는 비자명한 전역 홀로노미가 있을 수 있습니다. 아하라노프-봄 효과의 기하학은 아벨적인 예입니다. 접근 가능한 경로를 따라 장의 세기가 0이어도, 그 경로가 선속을 둘러쌀 수 있습니다.

8.15 전자기학과 양-밀스 동역학

지금까지는 변환 법칙과 곡률을 유도했습니다. 물리 이론에는 동역학도 필요합니다. 4차원 민코프스키 시공간에서 하나의 비아벨 인자에 대한 통상적인 게이지 운동항은

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{gauge}}=-\frac{1}{2}\mathrm{tr}(F_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu })=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }^a{F}^{a\mu \nu },$$

입니다. 두 번째 등식에는 우리의 정의 표현 대각합 정규화를 사용했습니다. $F$가 켤레작용으로 변환하므로 작용은 불변입니다. $\mu ,\nu$에 대한 반대칭성과 시공간 계량의 축약이 로런츠 불변성을 제공합니다. 이것이 기본적인 양-밀스 운동항입니다.

전자기학에서는 전자기 결합 상수 $e$와 부호를 가진 무차원 전하 $q$를 선택하여, 물리적 전하를 $eq$로 둡니다. 그러면

$$D_{\mu }={\partial }_{\mu }-ieq{A}_{\mu },{\psi }^{\prime }=e^{ieq\alpha }\psi ,A_{\mu }^{\prime }=A_{\mu }+{\partial }_{\mu }\alpha ,$$

이고,

$$F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu },{\mathcal{L}}_{\mathrm{EM}}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }.$$

입니다. 전자에 대해서는 $q=-1$이므로, 이 규약은 $D_{\mu }={\partial }_{\mu }+ie{A}_{\mu }$를 줍니다. $D$에서 반대 부호를 쓰는 자료는 대응하는 변환 규약도 함께 바꾸어야 합니다. 일관되게 선택한 규약에 관측 가능한 예측이 의존하지는 않습니다.

풀이 예제 14: 상수 퍼텐셜에서 생기는 0이 아닌 곡률

한 근방에서 일정한 $A_x=a{t}_1$과 $A_y=b{t}_2$를 가진 $SU(2)$ 게이지 장을 생각합시다. 모든 미분항은 사라지지만

$$F_{xy}=-igab[t_1,t_2]=gab{t}_3.$$

입니다. 공간적으로 일정한 비아벨 접속이 반드시 평탄한 것은 아닙니다. 장의 세기는 전적으로 비가환적인 내부 운반에서 생깁니다. 아벨적인 경우에는 국소 근방의 상수 퍼텐셜이 0인 곡률을 줍니다.

양-밀스 운동항을 전개하면 비아벨 게이지 장들이 서로 상호작용하는 이유가 드러납니다. $F$에는 $A$에 선형인 미분항과 $A$에 2차인 항이 함께 있습니다. 이를 제곱하면 게이지 퍼텐셜에 대해 3차와 4차인 항들이 생깁니다. 순수한 아벨 맥스웰 이론에서는 교환자가 0이므로, 고전적인 게이지 운동항에 이와 비슷한 광자 자체 상호작용은 없습니다. 하지만 전하를 가진 물질은 양자 고리를 통해 유효 광자 상호작용을 만들 수 있습니다.

물질의 동역학에도 같은 공변미분을 씁니다. 예를 들어 스칼라 다중항에는

$${\mathcal{L}}_{\varphi }=(D_{\mu }\varphi {)}^{†}{D}^{\mu }\varphi -V({\varphi }^{†}\varphi ).$$

가 있습니다. 어떤 생성자가 등장하고 그 결과 장이 어떻게 결합하는지는 표현이 정합니다. 게이지 군만으로는 스칼라 퍼텐셜, 물질의 표현, 허용된 모든 상호작용의 계수가 정해지지 않습니다.

본편의 양자장론 장은 게이지 고정, 양자화, 전파함수, 결합 상수의 에너지 척도 의존성, 산란으로 나아갑니다. Tong의 양-밀스 강의 노트는 이 구성을 더 자세히 설명합니다. 그 자료는 때때로 결합 상수를 접속에 흡수하므로, 공식을 비교하기 전에 정의를 비교하세요.

8.16 표준 모형의 군과 물질 표 읽기

익숙한 국소 게이지 구조는

$$G_{\mathrm{SM}}=SU(3{)}_c\times SU(2{)}_L\times U(1{)}_Y,{\mathfrak{g}}_{\mathrm{SM}}=\mathfrak{su}(3)\oplus \mathfrak{su}(2)\oplus \mathfrak{u}(1).$$

입니다. 아래첨자 $c$는 색을 뜻합니다. 아래첨자 $L$은 표준 모형의 왼쪽 카이랄 페르미온이 약한 이중항에 속하고, 오른쪽 카이랄 하전 페르미온은 약한 단일항이라는 뜻입니다. 아래첨자 $Y$는 초전하를 나타냅니다. 약한 $SU(2)$는 내부군입니다. 공간 스핀도 $SU(2)$의 수학을 사용한다는 이유만으로 약한 이중항이 공간 스피너가 되는 것은 아닙니다.

디랙 스피너에서는 $P_L=(1-{\gamma }^5)/2$와 $P_R=(1+{\gamma }^5)/2$로 카이랄성을 선택합니다. 나선도는 운동량 방향으로 사영한 스핀입니다. 질량이 없는 입자에서는 두 개념이 특정한 방식으로 대응하지만, 질량이 있는 입자에서는 서로 바꾸어 쓸 수 없습니다. 아래 표의 라벨은 카이랄성을 가리킵니다.

내부 표현은 $(R_c,R_L{)}_Y$ 순서로 쓰며, $Q=T_3+Y$를 사용합니다. 아래의 $u_R,d_R,e_R$는 실제 오른쪽 카이랄 장이며, 이들의 왼쪽 카이랄 전하켤레장이 아닙니다. 한 세대에 대해 다음과 같습니다.

장	성분	$(SU(3{)}_c,SU(2{)}_L{)}_Y$	전하 $Q$
$Q_L$	$(u_L,d_L{)}^T$, 각각 세 색을 가짐	$(3,2{)}_{1/6}$	$2/3,-1/3$
$u_R$	오른쪽 카이랄 업 쿼크, 세 색	$(3,1{)}_{2/3}$	$2/3$
$d_R$	오른쪽 카이랄 다운 쿼크, 세 색	$(3,1{)}_{-1/3}$	$-1/3$
$L_L$	$({\nu }_L,e_L{)}^T$	$(1,2{)}_{-1/2}$	$0,-1$
$e_R$	오른쪽 카이랄 하전 렙톤	$(1,1{)}_{-1}$	$-1$
$H$	복소 스칼라 이중항 $(H^{+},H^0{)}^T$	$(1,2{)}_{1/2}$	$1,0$

페르미온의 할당은 세 세대에서 반복됩니다. 힉스 이중항은 하나의 스칼라 다중항이며 네 번째 페르미온 세대가 아닙니다. 최소 재규격화 가능 표준 모형에는 ${\nu }_R$가 없으며 중성미자에 질량을 주지 않습니다. 관측된 중성미자 질량에는 고차원 연산자나 새로운 장 같은 추가 요소가 필요합니다. 표의 표준적인 할당과 규약은 Tong, 5.1절에서 확인할 수 있습니다.

풀이 예제 15: 곱 표현 읽기

왼쪽 쿼크 이중항에는 색 첨자 $a=1,2,3$과 약한 첨자 $i=1,2$가 있습니다. 변환의 형태는

$$Q_L^{ai}⟼(U_c{)}^a{}_b(U_L{)}^i{}_j{e}^{i\beta /6}{Q}_L^{bj}.$$

입니다. 내부 공간은 ${\mathbb{C}}^3\otimes {\mathbb{C}}^2$로, 세대마다 여섯 성분을 갖습니다. 두 인자가 별도의 첨자를 통해 같은 장에 작용하므로 이것은 텐서곱입니다. 서로 다른 군 인자는 이 공간에서 가환합니다. $U_c\otimes I_2$는 $I_3\otimes U_L$과 가환합니다. 그러나 각각의 비아벨 인자 안에서 변환들은 일반적으로 가환하지 않습니다.

여기서 $\beta$는 국소적인 초전하 매개변수입니다. 주기가 $2\pi$인 각도로 콤팩트한 원을 나타내려면, 정수로 정규화한 전하 $n=6Y$를 쓰고 $\beta =6\theta$로 두어 $e^{in\theta }$라고 씁니다. 따라서 분수 $Y$는 정규화 규약이지, $U(1)$의 정수 표현 규칙을 어기는 것이 아닙니다.

표준 모형의 어떤 다중항에 대해서도 공변미분은

$$D_{\mu }={\partial }_{\mu }-i{g}_s{G}_{\mu }^a{T}_c^a-ig{W}_{\mu }^i{T}_L^i-i{g}^{\prime }{B}_{\mu }Y.$$

입니다. 장이 해당 인자의 단일항이면 생성자는 0입니다. 글루온 게이지 장 $G_{\mu }^a$ 여덟 개, 약한 게이지 장 $W_{\mu }^i$ 세 개, 초전하 게이지 장 $B_{\mu }$ 한 개가 있습니다. 전기약 대칭이 깨지기 전에는 $8+3+1=12$개의 대수 방향이 있는 것입니다. 이는 종류의 라벨이며 물리적 편극 상태의 개수가 아닙니다. 오른쪽 카이랄 하전 페르미온도 초전하에 결합하고, 혼합 후에는 광자와 $Z$에 결합합니다. 약한 단일항이라는 말은 상호작용하지 않는다는 뜻이 아닙니다.

8.17 전기약 혼합에서 광자가 나오는 과정

초전하는 전자기 그 자체가 아닙니다. 그 이유를 보려면 힉스장의 퍼텐셜이 $H^{†}H=v^2/2$에서 최솟값을 갖는다고 합시다. 편리한 게이지를 택해 진공의 대표를

$$⟨H⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}0\\ v\end{array}\right).$$

로 고릅니다. 아래 성분은 $T_3=-1/2$이고 $Y=+1/2$이므로

$$(T_3+Y)⟨H⟩=0.$$

입니다. 따라서 조합 $Q=T_3+Y$는 이 대표를 고정합니다. 이것으로 깨지지 않은 전자기 생성자를 식별합니다. 통상적인 ‘전기약 대칭 깨짐’이라는 표현은 이 힉스 메커니즘을 가리킵니다. 국소 게이지 중복성은 전역 대칭과 같은 의미에서 깨질 수 있는 물리적 대칭이 아닙니다. 게이지를 고정한 진공의 언어는 물리적 스펙트럼을 계산하는 유용한 방법입니다.

풀이 예제 16: 중성 혼합 행렬 구하기

일정한 힉스 대표를 $(D_{\mu }H{)}^{†}{D}^{\mu }H$에 대입합니다. $T_i={\sigma }_i/2$, $Y=1/2$일 때 게이지 장에 대한 이차항은

$$\frac{v^2}{8}\left[g^2\left((W_{\mu }^1{)}^2+(W_{\mu }^2{)}^2\right)+(g{W}_{\mu }^3-g^{\prime }{B}_{\mu }{)}^2\right],$$

입니다. 각 제곱은 로런츠 축약을 뜻합니다. 질량항에는 오직 하나의 중성 조합만 나타납니다. 다음과 같이 정의합시다.

$$\tan {\theta }_W=\frac{g^{\prime }}{g},A_{\mu }=\sin {\theta }_W{W}_{\mu }^3+\cos {\theta }_W{B}_{\mu },$$ $$Z_{\mu }=\cos {\theta }_W{W}_{\mu }^3-\sin {\theta }_W{B}_{\mu },W_{\mu }^{\pm }=\frac{W_{\mu }^1\mp i{W}_{\mu }^2}{\sqrt{2}}.$$

그러면 $g{W}^3-g^{\prime }B=\sqrt{g^2+g^{\prime 2}}Z$입니다. 직교하는 조합 $A$는 힉스에서 유래한 질량이 없으며 광자장입니다. 트리 수준(고리 보정이 없는 근사)에서는

$$m_W=\frac{gv}{2},m_Z=\frac{v\sqrt{g^2+g^{\prime 2}}}{2},m_A=0.$$

입니다. 혼합의 역변환을 공변미분의 중성 부분에 대입합시다. $A_{\mu }$의 계수는

$$g\sin {\theta }_W{T}_3+g^{\prime }\cos {\theta }_{W}Y=e(T_3+Y)=eQ,e=g\sin {\theta }_W=g^{\prime }\cos {\theta }_W.$$

입니다. 이로써 전하 연산자와 전자기 결합 상수의 관계를 모두 유도했습니다. 광자는 원래 두 게이지 장의 혼합이지, 초전하장의 이름만 바꾼 것이 아닙니다. 이 식들은 트리 수준의 관계이며, 정밀 전기약 분석에는 재규격화와 그 방식의 지정이 필요합니다.

곱군은 내부 첨자에 작용합니다. 전기약 혼합은 $W^3$와 $B$를 결합하지만, 색은 별도의 게이지 인자로 남습니다.

풀이 예제 17: 익숙한 전하 되찾기

$Q_L$에서 $T_3$의 고윳값은 $+1/2,-1/2$이고, $Y=1/6$은 두 성분 모두에 곱해집니다. 따라서 $Q(u_L)=1/2+1/6=2/3$이고 $Q(d_L)=-1/2+1/6=-1/3$입니다. $L_L$에서는 $Y=-1/2$이므로 $Q({\nu }_L)=0$, $Q(e_L)=-1$입니다. 약한 단일항은 $T_3=0$이므로 전하는 표에 적힌 $Y$와 같습니다.

힉스 메커니즘 이전의 전기약 기술에는 각각 두 물리적 편극을 가진 네 질량 없는 게이지 장과 네 실수 힉스 성분이 있습니다. 물리적 자유도는 $8+4=12$입니다. 이후에는 각각 세 편극을 가진 세 유질량 벡터 보손, 두 편극을 가진 광자 하나, 힉스 스칼라 하나가 있어 $9+2+1=12$입니다. 이 섭동론적 셈은 추가 자유도를 만들지 않고 종방향 벡터 모드가 생기는 과정을 설명합니다. 여덟 글루온은 라그랑지안에서 여전히 질량이 없습니다. 가둠은 장거리에서 이들이 어떻게 물리적으로 실현되는지에 관한 문제이며, 힉스 질량항이 아닙니다.

8.18 전역 구조와 대칭만으로 끝나지 않는 문제

앞서 비교한 $SU(2)$와 $SO(3)$는 표준 모형 표기의 미묘한 점을 이해할 준비가 됩니다. 리 대수와 국소 결합을 지정해도 게이지 군의 전역적 형태가 유일하게 정해지지는 않습니다.

초전하 원을 $n=6Y$로 정규화하고 $\omega =e^{2\pi i/3}$로 놓습니다. 중심 원소

$$z=\left(\omega I_3,-I_2,e^{i\pi /3}\right)\in SU(3)\times SU(2)\times U(1).$$

를 생각합시다. 이 원소의 장에 대한 작용에는 위상 $(e^{i\pi /3}{)}^{6Y}$가 포함됩니다. $Q_L$에서 전체 인자는 $\omega (-1)e^{i\pi /3}=1$입니다. $L_L$에서는 $(-1)e^{-i\pi }=1$이고, $H$에서는 $(-1)e^{i\pi }=1$입니다. $u_R,d_R,e_R$에서는 각각 $\omega e^{4\pi i/3}=1$, $\omega e^{-2\pi i/3}=1$, $e^{-2\pi i}=1$입니다.

따라서 표에 있는 물질장들은 $z$가 생성하는 부분군 ${\mathbb{Z}}_6$의 원소를 구별하지 못합니다. 이들의 국소 표현은 전역 형태

$$\frac{SU(3)\times SU(2)\times U(1)}{\Gamma },\Gamma \subseteq {\mathbb{Z}}_6,$$

와 양립합니다. 여기에는 자명한 부분군, ${\mathbb{Z}}_2$, ${\mathbb{Z}}_3$, ${\mathbb{Z}}_6$로 나누는 경우가 포함됩니다. 익숙한 입자 표만으로 최대 몫이 유일하게 확정된다고 말하는 것은 너무 강한 주장입니다. 이 선택들은 여기서 다룬 국소 섭동 데이터를 공유하면서도 허용되는 선 연산자, 다발, 자기적 부문에서 다를 수 있습니다. Tong, 5.1.6절이 이 단서를 설명합니다.

끝내지 못한 과제는 더 있습니다. 게이지 불변성은 상호작용을 제한하지만, 양자적 정합성에는 게이지 변칙의 상쇄도 필요합니다. 간단한 예로 혼합 $SU(2{)}^{2}U(1)$ 변칙에 대한 이중항의 기여는

$$3\left(\frac{1}{6}\right)+\left(-\frac{1}{2}\right)=0.$$

에 비례합니다. 인자 3은 쿼크 색을 세며, 공통인 이중항의 대각합 정규화 인자 $1/2$는 생략했습니다. 이것은 하나의 상쇄이지, 모든 변칙이 사라진다는 증명은 아닙니다. 완전한 계산에서는 카이랄성 규약을 일관되게 사용하여 세제곱, 혼합, 전역 변칙을 포함해야 합니다. 모두 왼쪽 카이랄 장으로 쓰는 표에서는 오른쪽 카이랄 장의 켤레를 취할 때 색 표현도 켤레로 바뀌고 초전하도 반전됩니다.

게이지 불변성은 ${\overline{L}}_{L}H{e}_R$ 같은 유카와 상호작용을 허용합니다. 초전하의 합은 $+1/2+1/2-1=0$입니다. 그러나 유카와 결합 상수의 수치까지 예측하지는 않습니다. 군의 이름만으로 힉스 퍼텐셜, 가둠, 세 세대, 중성미자 질량, 암흑물질, 중력도 유도되지 않습니다. 이런 문제에는 추가 동역학, 증거, 또는 확장이 필요합니다.

여기서 얻은 것은 읽을 수 있는 구조입니다. 군의 합성은 변환들이 어떻게 결합하는지, 리 대수는 그 국소적 비가환성을, 표현은 어떤 장이 어떤 전하를 지니는지 알려 줍니다. 접속은 내부 틀을 비교하고, 곡률과 불변인 작용은 게이지 동역학을 정합니다. 물리학의 최전선 장은 이 구조를 확립된 물리학과 미해결 문제의 더 큰 지도 속에 놓습니다.

8.19 해답이 있는 연습문제

해답을 읽기 전에 직접 계산해 보세요. 목표는 군 이름의 목록을 외우는 것이 아니라 추론을 재현하는 것입니다.

연습문제 1: 부분군과 반례

짝수 전체는 $(\mathbb{Z},+)$의 부분군인가요? 양의 실수 전체는 곱셈에 대해 0이 아닌 실수 전체의 부분군인가요?

해답. 둘 다 부분군입니다. 짝수는 $0$을 포함하고 덧셈에 대해 닫혀 있으며 덧셈 역원을 포함합니다. 양의 실수는 $1$을 포함하고 곱셈에 대해 닫혀 있으며 역수도 양수입니다. 반면 양의 수는 $0$과 덧셈 역원이 없으므로 덧셈에 대해서는 군을 이루지 못합니다. 항상 연산을 지정해야 합니다.

연습문제 2: 역원과 삼각형

$r^3=s^2=e$와 $srs=r^{-1}$를 사용해 $(sr{)}^{-1}$를 구하고 $(sr{)}^2=e$임을 보이세요.

해답. 역순 규칙에 의해 $(sr{)}^{-1}=r^{-1}s$입니다. $srs=r^{-1}$의 왼쪽에 $s$를 곱하면 $rs=s{r}^{-1}$이며, 동등하게 $sr=r^{-1}s$입니다. 따라서 $(sr{)}^{-1}=sr$입니다. 직접 계산해도 $srsr=r^{-1}r=e$입니다. 곱 $sr$은 반사이며, 순열 $(13)$과도 일치합니다.

연습문제 3: 행렬식과 차원

$\mathrm{diag}(e^{i\alpha },e^{i\beta })$는 $SU(2)$에 속하나요? $SU(4)$에는 독립적인 실수 매개변수가 몇 개 있나요?

해답. 이 대각행렬은 언제나 유니터리이지만, $\alpha +\beta$가 $2\pi$의 정수배일 때만 특수유니터리입니다. 차원 공식은 $4^2-1=15$를 줍니다. 정의 표현의 복소 차원은 4이며, 이는 다른 수입니다.

연습문제 4: 생성자 교환자 계산하기

$t_a={\sigma }_a/2$일 때 $[t_2,t_3]$와 $\mathrm{tr}(t_3^2)$를 구하세요.

해답. ${\sigma }_2{\sigma }_3=i{\sigma }_1$이고 ${\sigma }_3{\sigma }_2=-i{\sigma }_1$이므로 교환자는 $i{t}_1$입니다. 또 $t_3^2=I/4$이고 대각합은 $2/4=1/2$입니다. 2의 인자를 빠뜨리면 구조 상수나 결합 상수의 정규화가 바뀝니다.

연습문제 5: 어떤 표현이 $SO(3)$로 내려가는가

기약 $SU(2)$ 표현의 스핀이 $j$이고 차원이 $2j+1$이라고 합시다. $2\pi$ 회전은 $(-1{)}^{2j}I$로 작용합니다. 어떤 $j$ 값이 $SO(3)$의 표현을 주나요?

해답. 표현이 $\{I,-I\}$로 나눈 몫을 통해 내려가려면 $-I$가 자명하게 작용해야 합니다. 정수 $j=0,1,2,\dots$일 때 그러합니다. 반정수 $j$는 비자명한 부호를 주므로 내려가지 않습니다. 이것은 국소적인 교환자 대수만으로는 보이지 않는 전역적 제약입니다.

연습문제 6: 두 $U(1)$ 전하 더하기

두 장이 $\varphi \mapsto e^{in\theta }\varphi$와 $\chi \mapsto e^{im\theta }\chi$로 변환합니다. $\varphi \chi$와 ${\varphi }^{\ast }\chi$의 전하는 얼마인가요?

해답. 위상을 곱하면 전하는 $n+m$과 $m-n$입니다. 복소켤레는 $U(1)$ 전하를 반전시킵니다. 이것은 텐서곱과 켤레 표현을 취하는 과정의 아벨 버전이며, 상호작용 항의 초전하 중성을 빠르게 확인하는 방법입니다.

연습문제 7: 순수 게이지 퍼텐셜

$A_{\mu }=0$에서 시작해 매끄러운 $U(x)$로 변환합니다. $A_{\mu }^{\prime }$는 무엇이며 그 곡률은 얼마인가요?

해답. 퍼텐셜은 $A_{\mu }^{\prime }=-(i/g)({\partial }_{\mu }U)U^{-1}$입니다. $F^{\prime }=UF{U}^{-1}=0$이므로 곡률은 0입니다. 퍼텐셜이 0이 아니어도 장의 세기는 0일 수 있습니다. 이는 한 근방에서 매끄러운 게이지 변환에 대한 국소적 진술입니다. 전역 위상 때문에 하나의 게이지 선택으로 전체 배치를 덮을 수 없을 수도 있습니다.

연습문제 8: 작은 비아벨 고리

일정한 $A_x=a{t}_1$, $A_y=b{t}_2$에 대해, 면적 $S$인 작은 $xy$ 직사각형을 양의 방향으로 한 바퀴 도는 운반의 선도항을 구하세요.

해답. 8.15절에서 $F_{xy}=gab{t}_3$이므로 $W_{\square }=I+i{g}^{2}abS{t}_3+\cdots$입니다. 처음 나타나는 0이 아닌 효과는 둘레가 아니라 면적에 비례합니다. 고리의 방향을 뒤집으면 이 선도항의 부호도 뒤집힙니다.

연습문제 9: 페르미온 한 세대 세기

로런츠 스피너 성분을 중복해서 세지 않고 $Q_L,u_R,d_R,L_L,e_R$의 내부 성분을 세세요. 비활성 ${\nu }_R$를 더하면 무엇이 바뀌나요?

해답. 세대당 바일 장의 개수는 $3\times 2+3+3+2+1=15$입니다. 게이지 단일항 ${\nu }_R$는 하나를 더하여 16개가 되며, 할당은 $(1,1{)}_0$입니다. 이 수는 게이지 생성자 수도, 이름 붙은 입자 맛깔의 수도 아닙니다.

연습문제 10: 유카와 결합 점검하기

${\overline{Q}}_{L}H{d}_R$와 ${\overline{Q}}_L\tilde{H}{u}_R$의 초전하 중성을 확인하세요. 여기서 $\tilde{H}=i{\sigma }_2{H}^{\ast }$입니다.

해답. $Q_L$의 켤레를 취하면 초전하가 $-1/6$입니다. 첫 합은 $-1/6+1/2-1/3=0$입니다. $\tilde{H}$는 $Y=-1/2$를 가지므로 두 번째 합은 $-1/6-1/2+2/3=0$입니다. 색 첨자는 $\overline{3}$와 $3$ 사이에서 축약되며, 약한 이중항 첨자도 단일항으로 축약됩니다. 초전하 중성은 필요하지만 모든 군 인자를 확인해야 합니다.

연습문제 11: 전자기 생성자 찾기

초전하 $y$를 가진 이중항의 두 전하를 구하세요. 어떤 $y$에서 아래 성분이 중성이 되나요?

해답. 전하는 $y+1/2$와 $y-1/2$입니다. 아래 성분은 힉스의 할당인 $y=1/2$에서 중성입니다. 중성 진공 성분 덕분에 힉스 기술에서 조합 $T_3+Y$가 깨지지 않고 남을 수 있습니다.

연습문제 12: 군 라벨이 지정하지 않는 것 읽기

두 이론이 같은 게이지 대수 $\mathfrak{su}(3)\oplus \mathfrak{su}(2)\oplus \mathfrak{u}(1)$를 가집니다. 입자, 결합 상수, 전역 군, 예측까지 같아야 하나요?

해답. 아닙니다. 변칙 상쇄 같은 정합성 조건을 따르면서도, 물질 표현, 결합 상수의 값, 스칼라 퍼텐셜, 전역적인 몫이 서로 다를 수 있습니다. 국소적인 장의 내용이 같더라도 다른 전역적 선택이 허용될 수 있습니다. 대수는 이론을 제약하지만 이론 전체는 아닙니다.

8.20 용어집, 읽기 안내, 참고 자료

용어	이 장에서의 의미
군	결합적인 합성, 항등원, 역원을 가진 집합.
아벨	모든 군 원소 쌍이 가환함.
작용	군이 집합을 변환하는 일관된 규칙.
준동형사상	합성 법칙을 보존하는 사상.
핵	항등변환으로 보내지는 원소들.
충실함	핵이 자명하여 서로 다른 군 원소를 구별할 수 있음.
리 군	군 연산이 매끄러운 매끄러운 다양체.
리 대수	리 괄호를 갖춘 항등원에서의 접공간.
생성자	무한소 변환. 물리에서는 흔히 에르미트 기저로 쓴다.
구조 상수	선택한 기저에서 생성자 교환자를 나타내는 계수.
표현	벡터 공간의 가역 선형사상으로 주어지는 군의 작용.
기약	0도 아니고 전체도 아닌 불변 부분공간이 없음.
정의 표현	고전 행렬군을 정의할 때 쓰는 표준적인 행렬 작용.
딸림 표현	켤레작용으로 주어지는 리 대수 위의 작용.
단일항	지정된 군의 자명한 1차원 표현.
접속	이웃한 점의 내부 벡터를 비교하는 규칙.
곡률	공변미분 또는 무한소 운반이 가환하지 않는 정도.
홀로노미	닫힌 경로를 따라 운반하여 생기는 전체 변환.
게이지 불변	허용된 게이지 변환에 따라 바뀌지 않음.
게이지 공변	지정된 표현 법칙에 따라 변환함.
초전하	$U(1{)}_Y$ 생성자. 여기서는 $Q=T_3+Y$로 정규화한다.
카이랄성	${\gamma }^5$로 선택되는 로런츠 스피너의 왼쪽 또는 오른쪽 부문. 유질량 입자에서는 나선도와 다르다.

계산이 막히면 가장 작은 구체적 예로 돌아가세요. 합성은 삼각형 꼭짓점에서, 행렬 항등식은 파울리 행렬에서 시험해 봅니다. 게이지 변환의 부호는 상수장에 곱하는 위상으로 확인하고, 표준 모형의 전하는 힉스 이중항의 아래 성분으로 확인합니다. 이런 점검은 추상적인 표기를 직접 수행할 수 있는 연산과 이어 줍니다.

아래의 수학 자료는 바탕이 되는 정의와 정리를, 물리 자료는 장론 규약과 표준 모형의 맥락을 제공합니다. 이 글의 설명, 풀이 예제, 그림은 직접 작성했으며, 참고 문헌들의 표기를 무분별하게 섞지 않고 글 안에서 일관되게 유지했습니다.

1. Pavel Etingof, Lie Groups and Lie Algebras I, MIT 18.745. 27강은 리 군, 덮개, 지수 사상, 괄호를 전개하며, 9강은 표현을 소개합니다. 8.68.10절에서 이어지는 수학을 배울 수 있습니다.
2. Eckhard Meinrenken, Lie Groups and Lie Algebras, 토론토 대학교. 행렬군, 지수 사상, 전역 구조와 국소 구조의 관계를 보완적으로 설명합니다. $SU(2)$와 $SO(3)$의 차이를 기하학적으로 다시 읽고 싶을 때 유용합니다.
3. Peter Woit, Lie Groups and Representations, 리 대수 강의 노트, 컬럼비아 대학교, 그리고 표현의 일반론. 접공간의 규약과 불변 부분공간, 직합, 텐서곱의 언어를 전개합니다.
4. Hugh Osborn, Symmetries and Groups, 케임브리지 대학교. 수학과 물리의 표기 사이를 오가는 독자를 위한 추가 군론과 표현론입니다.
5. David Tong, The Standard Model, 제1장: 대칭, 케임브리지 대학교. 1.3절은 맥스웰 이론, 리 대수, 양-밀스 이론을 연결합니다. 8.12~8.15절에서 사용한 게이지 이론의 틀을 뒷받침합니다.
6. David Tong, Gauge Theory, 제2장: 양-밀스 이론. 윌슨 선, 비아벨 동역학, 양자 게이지 이론으로 나아가는 길입니다. 접속의 정의 어디에 결합 상수가 포함되어 있는지 살펴보세요.
7. David Tong, The Standard Model, 제5장: 전기약 상호작용. 5.1~5.2절은 장의 할당, 변칙 제약, 전역 게이지 군 선택, 전기약 혼합을 다룹니다. 여기서의 순서 $(R_c,R_L{)}_Y$는 색을 먼저 놓지만, 자료는 자체적인 순서를 사용합니다. 열의 위치보다 라벨을 비교하세요.

Open Physics Notes 안에서 다음 단계로 나아가려면, 기하학의 언어는 미분기하학, 동역학과 양자화는 양자장론, 표준 모형의 더 넓은 맥락과 한계는 물리학의 최전선으로 이어서 읽으세요.