상대성 이론

5.1 갈릴레이 상대성과 에테르의 종말

특수상대론은 하늘에서 떨어진 것이 아니다. 더 오래된 틀인 갈릴레이 상대성의 성공과 뒤이은 실패에서 자랐다. 이 절에서는 그 틀을 세우고 전자기학과 맞부딪치게 하여 균열을 살펴본 뒤 에테르를 왜 버려야 했는지 이해한다.

5.1.1 갈릴레이의 배: 최초의 상대성 원리

갈릴레이는 잔잔한 바다 위를 매끄럽게 나아가는 배를 상상하라고 했다. 갑판 아래에서 파리가 날고 물방울이 떨어지며 던진 열쇠는 배가 정지한 것처럼 손에 떨어진다. 그는 이런 관찰에서 하나의 원리를 추려 냈다.

갈릴레이 상대성: 서로 일정한 상대 속도로 움직이는 모든 관성계에서 역학 법칙은 같은 형태를 갖는다.

5.1.2 갈릴레이 변환의 수학

두 관성계 S와 S'가 x축 방향의 일정한 상대 속도 v로 연결된다고 하자. 변환은

$$\begin{array}{rl}{t}^{\prime }& =t,\\ x^{\prime }& =x-vt,\\ y^{\prime }& =y,\\ z^{\prime }& =z\end{array}$$

속도는 다음과 같이 변환한다.

$$\begin{array}{rl}{u}_x^{\prime }& =u_x-v,\\ u_y^{\prime }& =u_y,\\ u_z^{\prime }& =u_z\end{array}$$

가속도는 불변이다.

$${\mathbf{a}}^{\prime }=\mathbf{a}$$

잘 알려진 귀결은 속도 합성 규칙이다.

$$u_x=u_x^{\prime }+v$$

모든 관성계에서 가속도가 같으므로, 힘이 이 규칙들과 양립하는 방식으로 상대 위치와 속도에 의존하는 한 뉴턴의 제2법칙 $m\mathbf{a}=\mathbf{F}$는 형태를 유지한다.

5.1.3 파동이 갈릴레이와 충돌하는 지점

1차원 파동 방정식을 생각하자.

$$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}=0$$

갈릴레이 변환 $x^{\prime }=x-vt,t^{\prime }=t$ 아래에서는 미분들이 섞여 S'에서 방정식은 다음과 같이 된다.

$$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^{\prime 2}}-\frac{1}{c^2}{\left(\frac{\partial }{\partial t^{\prime }}-v\frac{\partial }{\partial x^{\prime }}\right)}^2\varphi =0$$

이는 원래와 같은 형태가 아니다. 갈릴레이 운동학에서 파동 방정식은 암묵적으로 특별한 매질을 지정한다. 파동의 속력은 그 물질에 대해 측정한다. 소리의 매질은 공기이며 지상 관측자는 대략 $c_{\text{sound}}\pm v$를 측정한다.

진공의 맥스웰 방정식은 속력 c인 전자기파를 예측하지만 물질 매질을 도입하지 않는다. 맥스웰 이론을 갈릴레이의 세계에 억지로 맞추면 관측자마다 $c\pm v$를 측정해야 할 것 같지만 실험은 이를 지지하지 않았다.

5.1.4 에테르 가설

19세기 물리학자들은 행성을 끌어당겨 방해하지 않으면서 공간을 채우는 매우 미세한 매질인 빛을 운반하는 에테르를 제안했다. 소리가 공기의 진동이듯 빛은 이 에테르의 횡진동일 것이므로 c는 에테르에 대한 속력이 되고 보통의 갈릴레이 속도 합성이 적용될 것이다.

1851년 피조의 흐르는 물 실험은 움직이는 물을 통해 빛을 보냈다. 빛의 속력이 단순히 $c/n\pm v$로 더해지지 않고 프레넬 끌림 인자에 의해 수정됨을 발견했다. 관측된 유효 속력을 간결하게 쓰면

$$v_{\text{물속의 빛}}\approx \frac{c}{n}+v\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$$

사람들은 이를 물질이 에테르를 부분적으로 끌고 가는 것으로 해석했다. 에테르는 타격을 받고 덧대어졌지만 살아남았으며 직접 관측되지는 않았다.

5.1.5 마이컬슨–몰리: 울림을 남긴 영 결과

지구가 정지한 에테르 속을 움직인다면 에테르 바람이 있어야 한다. 그 바람을 따라가거나 거슬러 가는 빛은 바람을 가로질러 가는 빛과 이동 시간이 조금 달라야 한다. 마이컬슨–몰리 간섭계(1887)는 빛을 나누어 서로 수직인 팔을 따라 보낸 뒤 다시 합치고, 장치를 회전시킬 때 간섭무늬가 이동하는지 살폈다. 사실상 이동은 없었다. 계절을 달리하여 반복해도 영 결과가 나왔다. 공전 속도에서 예상한 $v^2/c^2$ 효과는 나타나지 않았다.

다른 실험도 이어졌다. 트라우턴–노블 실험은 움직이는 대전된 축전기에 작용하는 돌림힘을 검출하려 했고, 케네디–손다이크 실험은 다른 기하학적 배치에서 진동수 안정성을 조사했다. 결과는 계속 영이었다. 에테르가 존재한다면 동역학적으로뿐 아니라 운동학적으로도 검출할 수 없는 셈이었다.

5.1.6 로런츠의 구제 시도: 수축과 국소 시간

아인슈타인 이전에 뛰어난 연구자들은 시공간이 아니라 물질을 수정하여 에테르를 살리려 했다. 조지 피츠제럴드와 헨드릭 로런츠는 물체가 운동 방향으로 다음 비율만큼 수축한다고 제안했다.

$$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

로런츠는 더 나아갔다. 전자기 방정식을 유지하기 위해 국소 시간이라 부른 수학적 장치를 도입한 뒤, 맥스웰 방정식을 불변으로 유지하는 완전한 변환을 발견했다.

$$\begin{array}{rl}{t}^{\prime }& =\gamma \left(t-\frac{vx}{c^2}\right),\\ x^{\prime }& =\gamma (x-vt),\\ y^{\prime }& =y,\\ z^{\prime }& =z,\\ \gamma & =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\end{array}$$

로런츠는 여전히 실제 에테르를 상상했고 이 관계들을 에테르를 숨기는 가림 효과로 여겼다. 수학적으로 로런츠는 올바른 대칭을 찾았다. 개념적으로 에테르는 측정 가능한 역할이 없는 구경꾼이 되어 있었다.

5.1.7 갈릴레이 상대성이 빛에 적용되지 않는 이유

이제 충돌을 명확히 말할 수 있다. 갈릴레이 운동학은 절대 시간과 단순한 속도 합성을 가정한다. 맥스웰의 전기역학은 진공에서 보편적인 파동 속력 c를 예측한다. 실험은 $c\pm v$도 에테르 바람도 보지 못한다. 갈릴레이의 구조를 유지하려면 모든 물질·방향·계절·장치에서 길이 수축, 시계의 변형, 동역학적 힘이 공모하여 모든 관측 효과를 상쇄해야 하므로 설득력이 없다. 다른 선택은 c와 영 결과를 유지하고 보편적인 c를 존중하는 운동학으로 바꾸는 것이다.

5.1.8 실패의 해부: 계산으로 비교하기

관성계 S에서 빛 펄스가 +x 방향으로 움직인다고 하자.

$$x=ct$$

$x^{\prime }=x-vt,t^{\prime }=t$인 갈릴레이 변환 아래에서 같은 세계선은

$$x^{\prime }=(c-v)t^{\prime }$$

이므로 측정 속력은 $c-v$가 될 것이다. 바로 여기서 맥스웰 이론과 충돌한다.

반면 로런츠 변환 아래에서 같은 세계선은 계속 빛꼴이며 모든 관성 관측자에게 $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$를 만족한다. 로런츠 변환이 정확히 빛원뿔을 변하지 않게 하는 선형 사상이기 때문이다.

5.1.9 도플러 효과, 광행차와 피조 실험은 어떠한가?

흔히 혼동되는 세 현상은 주의 깊게 분석하면 상대론과 일치한다.

도플러 이동은 상대 운동에 따른 관측 진동수의 변화이다. 상대론적 식은 낮은 속력에서 고전적 식으로 환원되며 고속 천체의 자료와 일치한다.

별빛의 광행차는 유한한 광속과 지구의 운동 때문에 별의 방향이 겉보기에 기우는 현상이다. 상대론과 일치하며 장치 내부의 에테르 바람은 필요하지 않다.

피조의 흐르는 물 실험 결과는 굴절률 $n$인 움직이는 매질 속 빛에 상대론적 속도 합성을 적용하면 나오며 에테르라는 물질은 필요하지 않다.

5.1.10 개념 점검: 갈릴레이의 무엇이 살아남는가?

모든 관성계에서 물리학이 같다는 갈릴레이의 핵심 생각은 살아남는다. 달라지는 것은 구현 방식이다. 갈릴레이 운동학에서는 시간이 절대적이고 변환군이 $t$를 보존한다. 상대론적 운동학에서 불변량은 시공간 간격

$$\Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2$$

이며 변환군인 로런츠 군은 이 양을 보존한다.

5.1.11 에테르의 종말과 그 자리를 채운 것

20세기 초에 에테르는 아무것도 설명하지 못하고 새로운 예측도 하지 못하는 형이상학적 가설로 축소되었다. 아인슈타인의 1905년 논문은 최소한의 조치로 급진적인 일을 했다. 에테르를 버리고 상대성과 일정한 c라는 두 원리만 남긴 뒤 로런츠의 수학이 여기서 나온다는 것을 보였다. 공간과 시간은 시공간이 되었고 전기장과 자기장은 하나의 텐서의 측면들이 되었으며 동시성은 절대적인 지위를 잃었다. 에테르를 대신한 것은 새로운 물질이 아니라 새로운 기하학이었다. 전자기파는 전자기장의 교란이며 빛원뿔 구조를 정하는 것은 물질 에테르가 아니라 시공간 계량이다.

5.1.12 핵심 정리

• 갈릴레이 변환은 절대 시간과 단순한 속도 합성을 담는다. 뉴턴의 법칙은 불변으로 유지하지만 맥스웰 방정식에는 맞지 않는다.
• 에테르 가설은 보편적인 c와 갈릴레이 운동학을 조화시키려 했지만 정밀한 영 결과 실험들 앞에서 무너졌다.
• 로런츠는 수학적으로 올바른 대칭을 찾았고 아인슈타인은 그것을 물리학으로 만들었다. c의 불변성을 원리로 높이고 에테르를 퇴장시켰다.
• 갈릴레이에게서 남은 것은 상대성 원리 자체이며, 이제 로런츠 군과 불변 시공간 간격으로 구현된다.

5.2 특수상대론: 가정과 운동학

특수상대론은 단순한 두 원리와 큰 용기 위에 세워진다. 그 원리는 다음과 같다.

(i) 상대성 원리: 물리법칙은 모든 관성계에서 같은 형태를 가진다.

(ii) 광속 불변: 모든 관성 관측자는 진공의 빛이 속력 $c$로 움직인다고 측정한다.

이는 광원이나 관측자의 운동과 무관하다. 이로부터 익숙한 시공간의 구조가 따라 나온다.

5.2.1 시계 동기화와 절대적 동시성의 붕괴

아인슈타인은 동시성을 정의하는 물리적 절차를 제안했다. 멀리 떨어진 시계를 맞추려면 A에서 B로 빛 펄스를 보냈다가 되돌아오게 하고, 가는 시간과 오는 시간이 같도록 B의 시계를 맞춘다. 서로 다른 관성 관측자는 시공간을 다르게 나누므로 이 구성은 기준계에 의존한다. 따라서 동시성은 절대적이지 않고 운동에 의존한다. 시간 측정이 기하학이 되는 것이다.

5.2.2 로런츠 변환의 유도

두 기준계 $S$와 $S^{\prime }$가 표준 배치에 있다고 하자. $S^{\prime }$가 일정한 속도 $v$로, $x$축 방향을 따라 $S$에 대해 움직이고 두 원점은 $t=t^{\prime }=0$에서 일치한다. 시공간의 균질성과 등방성은 좌표 사이의 선형 관계를 함축한다. $+x$를 따라가는 빛 펄스의 세계선이 $x=ct$를 $S$에서, $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$를 $S^{\prime }$에서 만족하도록 요구하면 배율 하나를 제외하고 변환이 정해진다. 그 배율은 상대성, 공간 등방성, 상호 역변환 및 $v=0$에서의 항등 정규화로 고정된다. 결과는

$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }& =\gamma (x-vt),\\ t^{\prime }& =\gamma \left(t-\frac{vx}{c^2}\right),\\ y^{\prime }& =y,z^{\prime }=z,\\ \gamma & =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\end{array}$$

역변환은 $v\to -v$를 서로 바꾸면 얻는다.

$$\begin{array}{rl}x& =\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime }),\\ t& =\gamma \left(t^{\prime }+\frac{v{x}^{\prime }}{c^2}\right),\\ y& =y^{\prime },z=z^{\prime }\end{array}$$

이 가정 아래에서 이 변환들은 시공간 간격과 빛원뿔을 보존한다.

5.2.3 불변 간격과 고유 시간

로런츠 변환에서 로런츠 불변인 시공간 간격을 얻는다.

$$\Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2$$

시간꼴 세계선에 대해 고유 시간 $d\tau$를 $c^{2}d{\tau }^2=d{s}^2$로 정의한다. 경로를 따라 적분하면 움직이는 시계가 경험한 시간을 얻는다. $d{s}^2$가 불변이므로 같은 세계선의 $\tau$에는 모든 관성 관측자가 동의한다.

5.2.4 시간 지연, 길이 수축과 동시성 이동

움직이는 관측자가 가진 빛시계를 이용하거나 변환에서 직접 다음을 얻는다.

$$\Delta t=\gamma \Delta \tau$$

움직이는 시계는 $\gamma$만큼 느리게 간다. 정지 길이가 $L_0$이고 $x$축과 나란한 막대의 양 끝을 $S$에서 동시에 측정하면

$$L=\frac{L_0}{\gamma }$$

동시성은 기준계에 의존한다. $(\Delta t,\Delta x)$만큼 $S$에서 떨어진 두 사건의 $S^{\prime }$에서의 시간 간격은

$$\Delta t^{\prime }=\gamma \left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)$$

$\Delta t=0$가 $S$에서 성립하여 그곳에서 동시여도, 일반적으로 $\Delta t^{\prime }\ne 0$가 $S^{\prime }$에서 성립한다. 이것이 동시성의 상대성이 갖는 조작적 의미이다.

5.2.5 속도 합성과 횡방향 성분

속도는 선형으로 더해지지 않는다. 로런츠 변환을 미분하면 아인슈타인 속도 합성 규칙을 얻는다. 속도 성분 $(u_x,u_y,u_z)$를 $S$에서 가진 입자를 $S^{\prime }$에서 본 속도는

$$u_x^{\prime }=\frac{u_x-v}{1-\frac{v{u}_x}{c^2}}$$ $$u_y^{\prime }=\frac{u_y}{\gamma \left(1-\frac{v{u}_x}{c^2}\right)},u_z^{\prime }=\frac{u_z}{\gamma \left(1-\frac{v{u}_x}{c^2}\right)}$$

일직선 운동에서는 합성 법칙이 다음으로 줄어든다.

$$u\oplus v=\frac{u+v}{1+\frac{uv}{c^2}}$$

빛보다 느린 속력을 아무리 합성해도 결과는 $<c$로 남는다.

신속도 $\eta$를 $\beta \equiv v/c=\tanh \eta$로 정의하여 사용하면 편리한 경우가 많다. 그러면

$$\gamma =\cosh \eta ,\gamma \beta =\sinh \eta$$

일직선의 속도 합성은 신속도를 더하는 것으로 표현된다.

$${\eta }_{\text{total}}={\eta }_1+{\eta }_2$$

이로써 운동학은 단순한 쌍곡기하학이 된다.

5.2.6 민코프스키 도표의 기하학

사건은 점이고 세계선은 곡선이다. 한 사건의 빛원뿔은 시공간을 원뿔 내부의 시간꼴 미래·과거, 외부의 공간꼴 영역, 표면의 빛꼴 영역으로 나눈다. 인과성은 신호가 빛원뿔의 내부나 표면에 머물 것을 요구한다. 로런츠 변환은 원뿔을 고정한 채 일정한 시간의 절단면을 기울이는 쌍곡 회전으로 작용한다. 그래서 동시성은 바뀌지만 빛의 속력은 바뀌지 않는다.

5.2.7 대표적인 ‘역설’과 수학적 해결

쌍둥이 상황. 한 쌍둥이가 빠르게 여행하고 돌아오면 더 젊다. 여행한 쌍둥이의 세계선은 관성계를 바꾸므로, 즉 돌아서는 순간 가속도가 0이 아니므로 고유 시간이 더 짧다. 고유 시간은 경로를 따른 $d\tau$의 적분이며 단순히 ‘저쪽의 시간이 더 느리다’라는 구호가 아니다.

헛간–사다리 상황. 빠르게 움직이는 사다리는 헛간 기준계에서 $L=L_0/\gamma$ 때문에 짧은 헛간 안에 들어간다. 사다리 기준계에서는 두 문이 동시에 닫히지 않는다. 동시성의 상대성이 인과성을 지킨다. 위의 $\Delta t^{\prime }$ 변환식이 이 상황의 전부를 설명한다.

자석과 도체. 중성 도선 근처에서 움직이는 전하는 자신의 기준계에서 전기장을 경험하고 실험실 기준계에서는 자기력을 경험한다. 둘 다 로런츠 변환 아래의 하나의 전자기 텐서에서 나온다. 운동학과 장은 일관된다.

5.2.8 유용한 대수 항등식

로런츠 인자는 다음을 만족한다.

$${\gamma }^2(1-{\beta }^2)=1,{\gamma }^2-(\gamma \beta {)}^2=1$$

작은 속력 $v\ll c$에서는 전개하면

$$\gamma \approx 1+\frac{1}{2}{\beta }^2+\frac{3}{8}{\beta }^4+\cdots$$

시선을 따라 직접 움직이는 상대론적 도플러 효과에는 다음 도플러 인자를 사용한다.

$$\mathcal{D}=\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}$$

따라서 관측 진동수는 접근할 때 ${\nu }_{\text{obs}}=\mathcal{D}{\nu }_{\text{emit}}$, 멀어질 때 ${\nu }_{\text{obs}}={\nu }_{\text{emit}}/\mathcal{D}$를 만족한다.

5.2.9 핵심 정리

• 통상적인 대칭 가정을 갖는 표준 배치에서 두 가정은 시공간 간격과 빛원뿔을 보존하는 로런츠 변환을 준다.
• 시간 지연, 길이 수축, 동시성 이동은 같은 변환의 서로 다른 측면이다.
• 속도 합성은 빛보다 빠른 합성 결과를 막으며, 신속도는 일직선 부스트를 선형화한다.
• 불변 간격은 고유 시간과 인과성의 토대이다. 민코프스키 기하학은 운동학의 자연스러운 언어이다.

다음에는 운동량, 에너지와 $E=m{c}^2$라는 동역학을 이 기하학적 틀 안에서 다시 표현한다.

5.3 민코프스키 시공간과 인과성

특수상대론은 운동학을 기하학으로 바꾼다. 공간과 시간은 별도의 장부에 살지 않고 인과성을 기하학으로 담는 하나의 4차원 무대인 민코프스키 시공간을 이룬다. 이 절에서는 계량을 정의하고 간격을 시간꼴·공간꼴·빛꼴로 분류하며 4차원 벡터와 쌍곡 회전으로서의 부스트를 도입하고 시공간 도표를 읽는 실용적인 규칙을 얻는다.

5.3.1 사건, 좌표와 계량

사건은 좌표 $x^{\mu }=(ct,x,y,z)$를 가진 시공간의 한 점이다. 라틴 문자는 공간 벡터 $\mathbf{x}=(x,y,z)$를 나타내고 그리스 지표는 $0,1,2,3$에 걸친다. 관성 데카르트 좌표에서 민코프스키 계량은

$${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$$

가까운 두 사건 $x^{\mu }$와 $x^{\mu }+d{x}^{\mu }$ 사이의 불변 간격의 제곱은

$$d{s}^2={\eta }_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }=c^{2}d{t}^2-d{\mathbf{x}}^2$$

모든 관성 관측자는 같은 $d{s}^2$를 계산한다. 이 하나의 스칼라가 간격에 관해 물리적으로 의미 있는 내용을 담는다.

5.3.2 빛원뿔과 세 종류의 간격

임의의 두 사건 A와 B의 관계는 $s^2$의 부호로 분류한다.

• 시간꼴: $s^2>0$. 두 사건이 같은 공간점에서 서로 다른 시간에 일어나는 기준계가 존재한다. 빛보다 느린 여행자가 A에서 B로 갈 수 있다.
• 빛꼴(영): $s^2=0$. 두 사건을 연결할 수 있는 것은 빛 신호뿐이다.
• 공간꼴: $s^2<0$. 두 사건이 동시에 서로 다른 장소에서 일어나는 기준계가 존재한다. 어떤 신호도 $c$를 넘지 않고 두 사건을 연결할 수 없다.

모든 사건에서 집합 $d{s}^2=0$는 생성선 $x=\pm ct$를 가진 빛원뿔을 이룬다($1+1$차원에서). 내부는 시간꼴이고 외부는 공간꼴이다. 로런츠 변환은 이 원뿔을 보존하므로 모든 관성 관측자는 시간과 거리의 값에는 동의하지 않아도 인과적으로 가능한 연결에는 동의한다.

5.3.3 고유 시간과 세계선

세계선은 물체의 역사를 기술하는 곡선 $x^{\mu }(\lambda )$이다. 시간꼴 운동에서 물체가 지닌 시계는 다음 고유 시간을 잰다.

$$d\tau =\frac{1}{c}\sqrt{d{s}^2}=\sqrt{d{t}^2-\frac{d{\mathbf{x}}^2}{c^2}}$$

적분하면 그 시계에서 흐른 시간을 얻는다.

$$\Delta \tau ={\int }_{\text{path}}d\tau$$

평탄한 시공간에서 같은 두 끝점을 잇는 모든 시간꼴 곡선 가운데 관성 운동이 $\Delta \tau$를 최대화한다. 이 기하학적 명제가 쌍둥이 상황을 해결한다. 여행하는 쌍둥이는 고유 시간이 더 짧은 비관성 경로를 택한다.

5.3.4 4차원 속도와 4차원 가속도

4차원 속도를 정의하자.

$$u^{\mu }\equiv \frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }$$

$d{s}^2=c^{2}d{\tau }^2$를 사용하면 다음 정규화 조건을 얻는다.

$${\eta }_{\mu \nu }{u}^{\mu }{u}^{\nu }=c^2$$

공간 속도를 $\mathbf{v}=d\mathbf{x}/dt$로 쓰고 $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$를 사용하면

$$u^{\mu }=\gamma (c,\mathbf{v})$$

4차원 가속도 $a^{\mu }=d{u}^{\mu }/d\tau$는 다음 직교 항등식을 만족한다.

$${\eta }_{\mu \nu }{u}^{\mu }{a}^{\nu }=0$$

이는 순간 정지계에서 가속도가 순수하게 ‘공간꼴’이라는 뜻이다. 이 도구들은 상대론적 동역학(§5.4)을 간결하게 만든다.

5.3.5 쌍곡 회전으로서의 로런츠 변환

$x$ 방향으로 속력 $v$인 부스트는 $\beta =v/c$와 $\gamma =1/\sqrt{1-{\beta }^2}$를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{array}{rl}c{t}^{\prime }& =\gamma (ct-\beta x)\\ x^{\prime }& =\gamma (x-\beta ct)\\ y^{\prime }& =y\\ z^{\prime }& =z\end{array}$$

이 변환의 행렬 ${\Lambda }^{\mu }{}_{\nu }$는 다음 불변성 조건을 따른다.

$${\eta }_{\alpha \beta }{\Lambda }^{\alpha }{}_{\mu }{\Lambda }^{\beta }{}_{\nu }={\eta }_{\mu \nu }$$

이는 보통의 회전이 유클리드 길이를 보존하는 방식과 비슷하다. 실제로 신속도 $\eta$를 $\beta =\tanh \eta$로 정의하면

$$\gamma =\cosh \eta ,\gamma \beta =\sinh \eta$$

부스트는 $ct$–$x$ 평면의 쌍곡 회전이 된다. 일직선 부스트의 합성은 단순히 신속도를 더한다. 그래서 속도 합성은 비선형인 아인슈타인 형태를 가지면서도 신속도 공간에서는 결합법칙을 유지한다.

5.3.6 민코프스키 도표 읽기

민코프스키 도표는 $ct$를 세로축에, $x$를 가로축에 표시한다. 광선의 기울기는 $\pm 45^{\circ }$이다. $x=\pm ct$가 $c=1$인 단위에서 성립하기 때문이다. 실용적인 규칙은 다음과 같다.

1. 움직이는 기준계의 축. $x^{\prime }$축은 $t^{\prime }=0$인 사건들의 직선으로 위쪽으로 기울어진다. $c{t}^{\prime }$축은 세계선 $x^{\prime }=0$로 오른쪽으로 기울어진다. 두 축은 빛원뿔에 대해 대칭이다.
2. 동시성 절단면. $t^{\prime }$가 일정한 직선은 $v=0$가 아니면 수평이 아니다. 동시성의 상대성을 눈에 보이게 나타낸 것이다.
3. 단위 보정. 단위 쌍곡선 $ct=\sqrt{x^2+c^2{\tau }^2}$는 고유 시간의 눈금을 담는다. 뢰델 도표는 두 기준계를 같은 빛원뿔 각도로 그리기 위해 대칭적인 척도를 사용한다.
4. 인과성 검사. 사건 B가 A의 빛원뿔 밖에 있으면 $|v|<c$를 만족하는 어떤 세계선도 A와 B를 잇지 못한다. 공간꼴 사건쌍의 순서는 부스트로 뒤집힐 수 있지만 시간꼴 사건쌍은 그렇지 않다.

도표는 그림일 뿐 아니라 사건 순서, 시간 지연, 길이 수축, 동시성 이동을 위한 계산 도구이다.

5.3.7 인과성, 무신호성과 $c$가 속력 한계인 이유

어떤 기준계에서 속력 $u>c$인 신호가 존재한다고 가정하자. 공간꼴 간격에서는 방출과 수신의 시간 순서를 뒤집는 부스트를 찾을 수 있다. 양방향으로 신호를 보낼 수 있다는 조건과 결합하면 닫힌 인과 고리가 생겨 역설이 된다. 특수상대론은 초광속 신호 전달을 금지하여 이를 피한다. 물리적인 세계선은 시간꼴 또는 영이고 결코 공간꼴이 아니다. 그 귀결로 완전히 단단한 물체도 없다. 막대 한 끝을 갑자기 움직여도 다른 끝에 동시에 영향을 줄 수 없다. 응력 정보는 물질의 음속 $<c$로 전파되기 때문이다.

장이론의 미시적 인과성은 이에 대응하는 양자 개념이다. 공간꼴로 떨어진 국소 관측가능량 연산자들은 서로 가환하므로 그곳의 측정으로 서로에게 신호를 보낼 수 없다.

5.3.8 4차원 벡터로서의 에너지–운동량: 미리 보기

나중에는 다음 에너지–운동량 4차원 벡터를 사용한다.

$$p^{\mu }=\left(\frac{E}{c},\mathbf{p}\right)$$

그 불변량은

$$p_{\mu }{p}^{\mu }={\left(\frac{E}{c}\right)}^2-{\mathbf{p}}^2=m^2{c}^2$$

이 하나의 관계는 정지 에너지 $E_0=m{c}^2$와 분산 관계 $E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$를 모두 담는다. 상호작용 전후의 $p^{\mu }$ 보존은 기준계와 무관하게 동역학을 간결하게 다루는 방법이다.

5.3.9 평탄한 시공간의 가속 운동

중력 없이도 가속 관측자를 다룰 수 있다. 일정한 고유 가속도 $a$를 $x$ 방향으로 가진 세계선은 쌍곡선을 그린다.

$$\begin{array}{rl}ct(\tau )& =\frac{c^2}{a}\sinh \left(\frac{a\tau }{c}\right)\\ x(\tau )& =\frac{c^2}{a}\cosh \left(\frac{a\tau }{c}\right)\end{array}$$

이 곡선은 광선 $x=\pm ct$를 점근선으로 갖는다. 고유 가속도는 가속도계가 읽는 값이며 불변이다. 기준계에 의존하는 좌표 가속도와는 다르다.

가속 기준계는 평탄한 시공간에서도 린들러 좌표와 지평선을 도입한다. 이는 등가 원리(§5.7)를 향한 유용한 디딤돌이다.

5.3.10 텐서와 지표 조작: 최소한의 도구

4차원 벡터는 $A^{\prime \mu }={\Lambda }^{\mu }{}_{\nu }{A}^{\nu }$와 같이 변환한다. 지표를 내리고 올릴 때는 ${\eta }_{\mu \nu }$와 그 역행렬을 사용한다.

$$A_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{A}^{\nu },A^{\mu }={\eta }^{\mu \nu }{A}_{\nu }$$

로런츠 불변 스칼라는 지표를 축약하여 만든다. 예는 $A_{\mu }{B}^{\mu }$이다. 전자기장은 반대칭 텐서 $F_{\mu \nu }$로 나타난다. 이 언어로 맥스웰 방정식을 쓰면 대칭성이 드러나고 인과성이 자동으로 보존된다. $F_{\mu \nu }$ 변환이 빛원뿔을 유지하기 때문이다.

5.3.11 무엇이 변하고 무엇이 같은가

• 변하는 것: 기준계 사이의 시간 간격, 길이, 동시성 절단면.
• 같은 것: 빛원뿔, 간격 $d{s}^2$, 고유 시간 $\tau$, 시간꼴로 관련된 사건들의 인과 순서.

상대론적 추론의 기본 원칙은 먼저 불변량을 계산하라는 것이다. 나머지는 관점의 차이이다.

5.3.12 빠른 문제 풀이 틀

1. A가 B에 영향을 줄 수 있는가? $s^2$를 계산한다. $s^2<0$이면 불가능하다. $s^2=0$이면 빛으로만 가능하다. $s^2>0$이면 빛보다 느린 운동으로 가능하다.
2. 여행자는 얼마나 나이를 먹는가? 실제 속도 변화를 따라 $d\tau =\sqrt{1-v^2/c^2}dt$를 적분한다.
3. 움직이는 관측자는 무엇을 보는가? 부스트를 적용하고 축을 다시 그린 뒤 필요에 따라 동시성 식과 길이 수축을 사용한다.

정리: 민코프스키 시공간은 상대론을 기하학으로 담는다. 계량 $d{s}^2=c^{2}d{t}^2-d{\mathbf{x}}^2$는 빛원뿔과 고유 시간을 정의하고 부스트는 원뿔을 보존하는 쌍곡 회전이다. 인과성은 세계선이 빛원뿔의 내부나 표면에 머물러야 한다는 기하학적 제약이 되고, 동역학은 공변적으로 변환하는 4차원 벡터의 이야기가 된다. 간격·원뿔·신속도로 생각하면 역설은 사라지고 계산은 간결해진다.

5.4 상대론적 동역학

운동학은 좌표의 변환 방식을 알려 주었다. 동역학은 모든 관성 관측자에게 법칙이 같아 보이도록 운동량·에너지·힘이 어떻게 행동하는지 묻는다. 길잡이 생각은 단순하다. 모든 것을 로런츠 불변량이나 공변량으로 구성하여 물리적 예측이 기준계에 의존하지 않게 한다.

5.4.1 4차원 운동량과 에너지–운동량 관계

4차원 속도와 4차원 운동량을 정의하자.

$$u^{\mu }\equiv \frac{d{x}^{\mu }}{d\tau },p^{\mu }\equiv m{u}^{\mu }$$

여기서 $d\tau$는 고유 시간이다. $u^{\mu }{u}_{\mu }=c^2$를 사용하면

$$p^{\mu }=\gamma (mc,m\mathbf{v}),\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

시간 성분은 에너지를 정의한다.

$$E\equiv p^{0}c=\gamma m{c}^2$$

공간 부분은 운동량을 정의한다.

$$\mathbf{p}\equiv \gamma m\mathbf{v}$$

$p^{\mu }$의 불변 크기는 핵심 관계를 준다.

$$p_{\mu }{p}^{\mu }=m^2{c}^2$$

또는 스칼라로 쓰면

$$E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$$

낮은 속력에서는 익숙한 뉴턴 형태로 환원된다. $\gamma$를 $v\ll c$에 대해 전개하면

$$E=\gamma m{c}^2\approx m{c}^2+\frac{p^2}{2m}+\cdots$$

뉴턴의 운동 에너지가 정지 에너지 $m{c}^2$에 대한 첫 번째 보정으로 나타난다.

5.4.2 일, 일률과 상대론적 힘의 법칙

뉴턴의 정의를 유지하되 상대론적 $\mathbf{p}$와 $E$를 사용한다.

$$\mathbf{F}\equiv \frac{d\mathbf{p}}{dt},\frac{dE}{dt}=\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}$$

$\mathbf{p}=\gamma m\mathbf{v}$를 사용하면

$$\mathbf{F}=\gamma m\mathbf{a}+{\gamma }^{3}m\frac{\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot \mathbf{a})}{c^2}$$

$\mathbf{v}$에 평행한 부분과 수직인 부분으로 나누면 다음 간결한 규칙을 얻는다.

$$a_{\parallel }=\frac{F_{\parallel }}{{\gamma }^{3}m},a_{\perp }=\frac{F_{\perp }}{\gamma m}$$

따라서 속력이 $c$에 가까워질수록 같은 힘을 가해도 가속도는 작아지며, 특히 운동 방향에서 그렇다. 속력 한계는 운동학적이면서 동역학적이기도 하다.

힘을 4차원 벡터로 묶으면 더 명료한 경우가 많다. 4차원 힘을 정의하자.

$$K^{\mu }\equiv \frac{d{p}^{\mu }}{d\tau }$$

이는 자동으로 다음 직교 항등식을 만족한다.

$$K^{\mu }{u}_{\mu }=0$$

$p^{\mu }{p}_{\mu }$가 일정하기 때문이다. §5.5에서는 전자기장 속 하전 입자의 경우에 이를 구체화한다.

5.4.3 작용 원리와 자유 입자의 라그랑지안

상대론적 동역학은 기하학적 작용에서 나온다. 중성 입자에 대해

$$S=-mc\int ds$$

주어진 기준계에서 $ds=cdt\sqrt{1-v^2/c^2}$이므로 라그랑지안은

$$L_0=-m{c}^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

정준 운동량과 해밀토니안은 다음과 같다.

$$\mathbf{p}=\frac{\partial L_0}{\partial \mathbf{v}}=\gamma m\mathbf{v}$$ $$H=\mathbf{p}\cdot \mathbf{v}-L_0=\gamma m{c}^2=E$$

따라서 에너지–운동량 관계는 가정이 아니라 세계선의 불변 길이로 만든 변분 원리의 귀결이다.

입자가 전하 $q$를 가지고 전자기 4차원 퍼텐셜 $A_{\mu }=(\varphi /c,-\mathbf{A})$와 상호작용하면 최소 결합 작용에 $-q\int A_{\mu }d{x}^{\mu }$가 추가된다. 보통의 변수로 쓰면 라그랑지안은

$$L=-m{c}^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}+q\mathbf{v}\cdot \mathbf{A}-q\varphi$$

이 라그랑지안의 오일러–라그랑주 방정식은 §5.5에서 보일 공변 형태의 로런츠 힘을 준다.

5.4.4 충돌에서의 운동량과 에너지 수지

4차원 운동량이 보존되므로

$$\sum _{\text{in}}{p}^{\mu }=\sum _{\text{out}}{p}^{\mu }$$

이 하나의 벡터 방정식은 모든 기준계에서 보통의 운동량 보존과 에너지 보존을 함께 담는다. 양변을 제곱하면 입자 반응에 유용한 기준계 불변 관계를 얻는다.

핵심 불변량은 **만델스탐 $s$**이며, 두 입자의 4차원 운동량 $p_1,p_2$에 대해 다음과 같다.

$$s\equiv (p_1+p_2{)}^2$$

운동량 중심(CM) 기준계에서는 $s=(E_{\text{CM}}/c{)}^2$이므로 $E_{\text{CM}}=\sqrt{s}c$이다. 실험실 기준계에서 표적 $b$가 정지하고 입사빔 $a$의 에너지가 $E_a$이면

$$s=m_a^2{c}^2+m_b^2{c}^2+2m_b{E}_a$$

또는 더 명확하게 쓰면

$$s{c}^2=m_a^2{c}^4+m_b^2{c}^4+2m_b{c}^2{E}_a$$

정지 질량의 합이 $M_{\text{final}}$인 최종 입자들을 생성하는 문턱에서는 CM 운동 에너지가 막 0이 되므로

$$s_{\text{th}}=M_{\text{final}}^2{c}^2$$

필요한 실험실 기준계의 빔 에너지는

$$E_{a,\text{th}}=\frac{M_{\text{final}}^2{c}^4-\left(m_a^2+m_b^2\right)c^4}{2m_b{c}^2}$$

구체적인 예로 양성자 하나가 정지한 $p+p\to p+p+{\pi }^0$를 생각하자. $m_p$와 $m_{\pi }$를 정지 질량으로 사용하면 $M_{\text{final}}=2m_p+m_{\pi }$이고, 위 식은 약 1.22 GeV의 빔 총에너지 문턱을 준다. 이에 대응하는 운동 에너지 문턱은 약 0.28 GeV이다.

5.4.5 운동량 중심 기준계와 계의 불변 질량

임의의 고립계에 대해 전체 4차원 운동량을 정의하자.

$$P^{\mu }\equiv \sum _i{p}_i^{\mu }$$

불변량

$$M_{\text{sys}}^2{c}^2\equiv P_{\mu }{P}^{\mu }$$

은 계의 불변 질량이다. CM 기준계에서는 $\mathbf{P}=0$이므로 $M_{\text{sys}}{c}^2=E_{\text{CM}}$이다. 핵심적으로 $M_{\text{sys}}$는 단순한 정지 질량의 합이 아니라 운동 에너지와 결합 에너지도 포함한다. 예를 들어 복사가 든 상자는 빈 상자보다 $M_{\text{sys}}$가 크다. 개별 광자의 정지 질량은 0이어도 에너지와 운동량을 운반하기 때문이다.

5.4.6 질량 없는 입자와 분산 관계

$m=0$이면 불변 관계는

$$E=pc$$

빛꼴 세계선에서는 4차원 속도가 정의되지 않지만 4차원 운동량은 유한하며 올바르게 변환한다. 광자의 에너지와 진동수는 $E=h\nu$로 연결되며, 이는 $p=h/\lambda$ 및 $c$로 움직이는 맥스웰의 파동과 일치한다. 질량 있는 입자는 $c$에 도달할 수 없다. 그러려면 $\gamma \to \infty$, 즉 무한한 에너지가 필요하기 때문이다.

5.4.7 제약이 있는 동역학과 복사 반작용: 맛보기

하전 입자의 로런츠 힘 법칙은 세 성분 벡터 형태로 다음과 같다. §5.5에서 공변적으로 유도한다.

$$\frac{d\mathbf{p}}{dt}=q\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B}\right),\frac{dE}{dt}=q\mathbf{E}\cdot \mathbf{v}$$

가속하는 전하는 복사하므로 더 정밀하게 다루면 복사 반작용이라는 추가 힘이 생긴다. 고전적인 아브라함–로런츠–디랙 표현은 미묘하며 폭주 해를 낳을 수 있다. 실제로는 외부장과 일관되는 근사를 사용한다. 동역학의 핵심은 복사로 잃은 에너지를 $dE/dt$에 반영해야 한다는 것이다.

5.4.8 고유 가속도와 쌍곡 운동

일정한 고유 가속도 $a$를 $x$ 방향으로 가진 궤적은 다음을 만족한다.

$$\begin{array}{rl}ct(\tau )& =\frac{c^2}{a}\sinh \left(\frac{a\tau }{c}\right)\\ x(\tau )& =\frac{c^2}{a}\cosh \left(\frac{a\tau }{c}\right)\end{array}$$

미분하면 속력을 얻는다.

$$v(\tau )=\frac{dx}{dt}=c\tanh \left(\frac{a\tau }{c}\right)$$

따라서 고유 가속도가 일정해도 $v$가 $c$에 가까워질수록 좌표 가속도는 작아진다. 점근적으로 속력 한계를 지키며 고유 시간도 더 느린 비율로 쌓인다.

5.4.9 문제 풀이를 위한 빠른 도구 모음

• $p^{\mu }=(E/c,\mathbf{p})$를 사용하고 4차원 운동량을 보존하라. 기준계와 무관한 답이 필요하면 한 번 제곱한다.
• 로켓이나 빔에서는 $dE/dt=\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}$로 일률을 계산하고 추력을 $d\mathbf{p}/dt$와 연결한다.
• CM 기준계를 선택하여 대수를 최소화하고 §5.3의 로런츠 식으로 되돌아간다.
• $M_{\text{sys}}$에는 운동 에너지와 결합 에너지가 포함됨을 기억한다. ‘계의 질량’은 구성 입자의 정지 질량을 단순히 더한 값이 아니라 불변량이다.

정리: 상대론적 동역학은 에너지와 운동량을 $E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$를 따르는 하나의 4차원 벡터로 묶는다. 힘은 $d\mathbf{p}/dt$를 통해 운동량을 바꾸고 $\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}$의 비율로 일을 하며, 공변적인 4차원 힘 $K^{\mu }=d{p}^{\mu }/d\tau$는 $u^{\mu }$와의 직교성을 유지한다. 충돌은 $s$ 같은 불변량과 계의 질량 $M_{\text{sys}}$로 다루면 간결하다. 모든 것이 기하학이다. 4차원 벡터를 보존하고 빛원뿔을 존중하면 동역학은 운동학만큼 명료해진다.

5.5 상대론적 형태의 전자기학

맥스웰 이론은 이미 상대론적인 성격을 풍긴다. 여기서는 그 대칭을 명시적으로 만든다. $\mathbf{E}$와 $\mathbf{B}$를 하나의 장 텐서로 묶고 방정식과 힘을 4차원 형태로 쓰며 모든 관측자가 동의하는 불변량을 드러낸다.

5.5.1 4차원 전류, 4차원 퍼텐셜과 장 텐서

전하밀도와 전류를 4차원 전류로 결합한다.

$$J^{\mu }\equiv \left(c\rho ,\mathbf{J}\right)$$

스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜을 4차원 퍼텐셜로 결합한다.

$$A^{\mu }\equiv \left(\frac{\varphi }{c},\mathbf{A}\right)$$

반대칭 전자기장 텐서를 정의한다.

$$F_{\mu \nu }\equiv {\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }$$

SI 단위에서 계량 ${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$를 사용하면

$$F^{0i}=-\frac{E_i}{c},F^{ij}=-{ϵ}^{ijk}{B}_k$$

따라서 $\mathbf{E}$와 $\mathbf{B}$는 별개의 것이 아니라 같은 텐서의 서로 다른 측면이다.

5.5.2 짧은 두 텐서 법칙으로 쓴 맥스웰 방정식

네 맥스웰 방정식은 단 두 식으로 압축된다.

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu }$$ $${\partial }_{[\alpha }{F}_{\beta \gamma ]}=0$$

쌍대 텐서 ${\tilde{F}}^{\mu \nu }\equiv \frac{1}{2}{ϵ}^{\mu \nu \alpha \beta }{F}_{\alpha \beta }$를 사용하면 두 번째 줄은 다음과 같이 된다.

$${\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0$$

이렇게 쓰면 로런츠 공변성이 명백하다. 모든 관성계에서 방정식의 형태가 같다.

5.5.3 한 줄로 쓴 로런츠 힘

전하 $q$와 4차원 속도 $u^{\mu }$를 가진 입자는 다음을 따른다.

$$\frac{d{p}^{\mu }}{d\tau }=q{F}^{\mu }{}_{\nu }{u}^{\nu }$$

시간 부분과 공간 부분으로 나누면 익숙한 세 성분 벡터 형태를 얻는다.

$$\frac{d\mathbf{p}}{dt}=q\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B}\right),\frac{dE}{dt}=q\mathbf{E}\cdot \mathbf{v}$$

하나의 공변 방정식으로 모든 기준계가 일치한다.

5.5.4 게이지 대칭과 파동 방정식

게이지 변환은 물리학을 바꾸지 않는다.

$$A_{\mu }\to A_{\mu }+{\partial }_{\mu }\chi$$

로렌츠 게이지

$${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0$$

에서는 맥스웰 방정식이 퍼텐셜의 파동 방정식으로 줄어든다.

$$\square A^{\mu }={\mu }_0{J}^{\mu }$$

여기서 $\square \equiv {\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\nabla }^2$는 달랑베르 연산자이다.

5.5.5 장의 변환: 부스트는 $\mathbf{E}$와 $\mathbf{B}$를 섞는다

상대론에서 ‘전기’와 ‘자기’는 하나의 텐서를 기준계에 따라 나눈 것이다. 속도 $\mathbf{v}$인 부스트에서는

$${\mathbf{E}}_{\parallel }^{\prime }={\mathbf{E}}_{\parallel },{\mathbf{B}}_{\parallel }^{\prime }={\mathbf{B}}_{\parallel }$$ $${\mathbf{E}}_{\perp }^{\prime }=\gamma \left({\mathbf{E}}_{\perp }+\mathbf{v}\times \mathbf{B}\right),{\mathbf{B}}_{\perp }^{\prime }=\gamma \left({\mathbf{B}}_{\perp }-\frac{\mathbf{v}\times \mathbf{E}}{c^2}\right)$$

$x$ 방향으로 속력 $v$인 부스트에서는

$$\begin{array}{rl}{E}_x^{\prime }& =E_x\\ E_y^{\prime }& =\gamma \left(E_y-v{B}_z\right)\\ E_z^{\prime }& =\gamma \left(E_z+v{B}_y\right)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{B}_x^{\prime }& =B_x\\ B_y^{\prime }& =\gamma \left(B_y+\frac{v}{c^2}{E}_z\right)\\ B_z^{\prime }& =\gamma \left(B_z-\frac{v}{c^2}{E}_y\right)\end{array}$$

한 기준계의 순수한 전기장은 일반적으로 다른 기준계에서 전기장과 자기장이 섞인 모습으로 나타난다.

5.5.6 두 로런츠 불변량: 기준계와 무관한 판별

두 개의 독립적인 로런츠 스칼라로 장을 판별한다.

$${\mathcal{I}}_1\equiv F_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }$$ $${\mathcal{I}}_2\equiv \frac{1}{2}{ϵ}^{\mu \nu \alpha \beta }{F}_{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }$$

SI 변수로는

$${\mathcal{I}}_1=2\left({\mathbf{B}}^2-\frac{{\mathbf{E}}^2}{c^2}\right),{\mathcal{I}}_2=-\frac{4}{c}\mathbf{E}\cdot \mathbf{B}$$

평면파에서는

$$\mathbf{E}\perp \mathbf{B},|\mathbf{E}|=c|\mathbf{B}|,\mathbf{E}\cdot \mathbf{B}=0$$

따라서 ${\mathcal{I}}_1={\mathcal{I}}_2=0$이며 이를 영장이라 한다. ${\mathcal{I}}_1<0$이고 ${\mathcal{I}}_2=0$이면 장이 순수하게 전기적인 기준계가 존재한다. ${\mathcal{I}}_1>0$이고 ${\mathcal{I}}_2=0$이면 순수하게 자기적인 기준계가 존재한다.

5.5.7 장의 에너지–운동량과 응력

에너지·운동량·응력을 전자기 에너지–운동량 텐서로 묶는다.

$$T^{\mu \nu }=\frac{1}{{\mu }_0}\left(-F^{\mu \alpha }{F}^{\nu }{}_{\alpha }+\frac{1}{4}{\eta }^{\mu \nu }{F}^{\alpha \beta }{F}_{\alpha \beta }\right)$$

원천이 있을 때의 보존 또는 비보존은 다음과 같다.

$${\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=-F^{\nu \lambda }{J}_{\lambda }$$

성분은

$$T^{00}=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\mathbf{E}}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}{\mathbf{B}}^2$$ $$T^{0i}=\frac{1}{c}{S}_i,\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}$$

따라서 $T^{00}$는 에너지 밀도이며 $T^{0i}$는 $S_i/c$와 같다. 여기서 포인팅 벡터는 $\mathbf{S}$이다. 운동량 밀도는 $S_i/c^2$이다. 공간 블록 $T^{ij}$는 운동량 흐름 텐서로, 통상적인 맥스웰 응력 텐서에 음의 부호를 붙인 것이며 장의 압력과 장력을 기술한다.

5.5.8 라그랑지안 밀도: 모든 것을 다스리는 한 줄

장이론에서의 기원은 한 줄로 쓸 수 있다.

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4{\mu }_0}{F}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }-J^{\mu }{A}_{\mu }$$

$A_{\mu }$를 변분하면 맥스웰 방정식을 얻는다. 게이지 대칭은 뇌터 정리를 통해 전하 보존 ${\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=0$로 이어진다.

5.5.9 움직이는 전하의 장: 자기가 나타나는 이유

정적인 쿨롱장에 부스트를 적용하면 비등방적으로 압축된 전기장에 자기장이 더해진다. 다시 말해

$$\text{자기장}=\text{“움직이는 기준계에서 본 전기장”}$$

자기는 별개의 힘이 아니라 기준계에 따라 나눈 $F_{\mu \nu }$의 한 측면이다.

5.5.10 빠른 정리

• 장은 $F_{\mu \nu }$, 원천은 $J^{\mu }$, 퍼텐셜은 $A^{\mu }$이다.
• 맥스웰 방정식: ${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu }$ 및 ${\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0$.
• 로런츠 힘: $d{p}^{\mu }/d\tau =q{F}^{\mu }{}_{\nu }{u}^{\nu }$.
• 부스트는 $\mathbf{E}$와 $\mathbf{B}$를 섞지만 불변량 ${\mathcal{I}}_1,{\mathcal{I}}_2$는 그대로이다.
• 에너지–운동량은 $T^{\mu \nu }$로 흐르며 $\mathbf{S}=(1/{\mu }_0)\mathbf{E}\times \mathbf{B}$이다.

정리: 전자기학은 두 장이 아니라 하나의 텐서 $F_{\mu \nu }$이다. 로런츠 변환은 $\mathbf{E}$와 $\mathbf{B}$가 보이는 방식을 바꾸며 물리학 자체는 바꾸지 않는다. 모든 것을 4차원 형태로 쓰면 공변성이 명확해지고 불변인 것이 선명해지며 긴 벡터 미적분이 간결한 기하학으로 바뀐다.

5.6 상대론적 광학과 기술

특수상대론은 광원이나 관측자가 빠르게 움직일 때 빛이 보이는 모습을 바꾼다. 그 결과인 도플러 효과, 광행차, 집속이라는 작은 도구 모음은 퀘이사 제트에서 가속기 빛까지 설명하고 GPS부터 싱크로트론 X선 광원까지 기술을 가능하게 한다. 이 절에서는 주요 공식을 정리하고 불변량을 살펴보며 응용을 개괄한다.

5.6.1 상대론적 도플러 효과: 운동학으로 보는 진동수 이동

시선을 정확히 따라 움직일 때 $v$를 부호를 포함한 시선 속도로 두자. 접근은 양수, 후퇴는 음수이며 $\beta \equiv v/c$로 정의한다. 관측 진동수와 방출 진동수는 다음 도플러 인자로 연결된다.

$$\mathcal{D}\equiv \sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}$$

다가오는 광원은 청색편이되고 멀어지는 광원은 적색편이된다.

$${\nu }_{\text{obs}}=\mathcal{D}{\nu }_{\text{emit}}$$

작은 속력에서는 고전적인 이동으로 환원된다. 광원이 옆으로 움직이는 순수한 횡방향 상대 운동에서도 시간 지연만으로 적색편이가 남는다.

$${\nu }_{\text{obs}}=\frac{{\nu }_{\text{emit}}}{\gamma },\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$$

5.6.2 빛의 광행차: 광선은 어디에서 오는 것처럼 보이는가

관측자의 운동은 광원의 겉보기 방향을 이동 방향 쪽으로 옮긴다. 광원이 보이는 도래 방향은 광자의 전파 방향과 반대이다. 다음 식에서 $\theta$는 광자의 전파가 $x$축과 이루는 각도로 $S$에서 측정한 것이다. ${\theta }^{\prime }$는 $S^{\prime }$에서 대응하는 전파각이며, 이 기준계는 속력 $v$로 $+x$를 따라 움직인다.

$$\cos {\theta }^{\prime }=\frac{\cos \theta -\beta }{1-\beta \cos \theta }$$

동등하게 쓰면

$$\tan \left(\frac{{\theta }^{\prime }}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)$$

별빛은 위치가 이동한 것처럼 보이며 이를 광행차라 한다. 큰 $\gamma$에서는 복사 무늬가 전방으로 집속된다.

5.6.3 집속과 세기의 변환

비세기는 다음의 강력한 불변 관계를 만족한다.

$$\frac{I_{\nu }}{{\nu }^3}\text{는 로런츠 불변량}$$

따라서 도플러 인자가 $\mathcal{D}$인 부스트에서는

$$I_{\nu }={\mathcal{D}}^3{I}_{{\nu }^{\prime }}^{\prime },\nu =\mathcal{D}{\nu }^{\prime }$$

진동수에 대해 적분한 총복사 세기는

$$I={\mathcal{D}}^4{I}^{\prime }$$

이 전조등 효과 때문에 상대론적 제트는 우리 시선 쪽을 향하면 훨씬 밝게, 멀어지는 쪽을 향하면 더 어둡게 보인다. 광자가 생성되는 것은 아니다. 부스트에 의해 위상공간 밀도가 재분배될 뿐이다.

5.6.4 싱크로트론 복사와 곡률 복사

휘어진 경로를 따라 움직이도록 강제된 하전 입자는 복사한다. 반지름 $\rho$인 초상대론적 원운동에서는 스펙트럼이 다음 임계 진동수 근처에서 최대가 된다.

$${\omega }_c=\frac{3}{2}{\gamma }^3\frac{c}{\rho }$$

곡률 $\rho$인 운동의 총복사 일률은 $\gamma$에 강하게 의존한다.

$$P\propto \frac{q^{2}c}{{\rho }^2}{\gamma }^4$$

표준 SI 앞계수를 제외한 관계이다. 두 가지 핵심 결과가 있다. (i) 자기장 속의 고에너지 전자는 전파부터 X선까지 넓은 대역의 싱크로트론 복사를 만든다. (ii) 저장링과 언듈레이터는 단백질 결정학·재료 과학·나노 리소그래피에 쓰이는 밝고 조절 가능한 광원, 즉 싱크로트론 시설과 자유전자 레이저(FEL)가 된다.

5.6.5 밝기 온도와 스펙트럼: 빠른 규칙

$I_{{\nu }^{\prime }}^{\prime }\propto {\nu }^{\prime \alpha }$인 거듭제곱 법칙 방출원의 관측 스펙트럼은 부스트 아래에서 다음을 따른다.

$$I_{\nu }\propto {\mathcal{D}}^{3-\alpha }{\nu }^{\alpha }$$

정지계의 등방적인 방출은 비등방적으로 바뀐다. 겉보기 벌어짐 각도는 $\sim 1/\gamma$처럼 변하고 변광 시간척도는 $1/\mathcal{D}$만큼 줄어든다(시간 압축). 이 비례 관계들은 블레이저와 감마선 폭발의 벌크 로런츠 인자를 추론하는 바탕이다.

5.6.6 고속 레이더와 라이다: 접근 속력은 단순한 합이 아니다

플랫폼이 상대론적으로 움직이면 레이더·라이다에서 측정한 맥놀이 진동수도 같은 도플러 대수를 따른다. 단일 위치 레이더에서 표적이 시선을 따라 속력 $v$로 접근하면 왕복 경로에서 진동수 편이가 두 번 누적된다.

$${\nu }_{\text{beat}}\approx \left({\mathcal{D}}^2-1\right){\nu }_{\text{tx}}$$

낮은 $v$의 극한에서는 익숙한 $2v/c$ 식으로 환원된다. 큰 $v$에서는 계통적인 편향을 피하려면 정확한 $\mathcal{D}$를 사용한다.

5.6.7 GPS와 시계: 상대론을 이용하는 공학

현대 항법은 시간 측정의 문제이다. 특수상대론에서 속력 $v$로 움직이는 시계는 $\gamma$만큼 느리게 간다.

$$\frac{\Delta t_{\text{sat}}}{\Delta t_{\text{ground}}}\approx \frac{1}{\gamma }\approx 1-\frac{v^2}{2c^2}$$

따라서 위성 시계는 공전 속력 때문에 느리게 가지만(특수상대론) 더 높은 중력 퍼텐셜 때문에 빠르게 간다(일반상대론, §5.8). 비행 소프트웨어는 시계 진동수에 미리 보정을 주고 상대론적 모형으로 시간을 계속 수정한다. 이 보정이 없으면 위치 오차가 하루에 수 킬로미터로 커질 것이다.

5.6.8 상대론적 속력에서의 영상: 사고실험에서 실험실까지

카메라가 $c$에 가까운 속력으로 장면을 지나가면 광행차가 대부분의 광자를 전방 원뿔로 모으고 도플러 이동이 스펙트럼을 옮기며, 기하학적 효과인 테럴 회전 때문에 물체가 찌그러지기보다는 회전한 것처럼 보인다. 실험실의 유사 현상은 이 일부를 보여 준다. 상대론적인 전자 다발은 레이저 펄스가 도플러 효과로 X선까지 올라간 것으로 ‘보며’, 이러한 역콤프턴 광원은 소형 X선 발생을 가능하게 한다.

5.6.9 체렌코프 복사와 도플러 효과: 혼동하지 말자

체렌코프 복사는 전하가 매질 안에서 그 매질 속 빛의 위상 속력보다 빠르게 움직일 때 생긴다. 진공에서 초광속인 것이 아니며 상대론을 위반하지 않는다. 반면 상대론적 도플러 효과와 광행차는 진공의 운동학이다. 둘 다 검출기와 천체물리학에 나타나지만 서로 다른 질문에 답한다.

5.6.10 실용적인 참고표

• 도플러 인자: $\mathcal{D}=\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}$, ${\nu }_{\text{obs}}=\mathcal{D}{\nu }_{\text{emit}}$를 사용한다.
• 횡도플러 효과: ${\nu }_{\text{obs}}={\nu }_{\text{emit}}/\gamma$.
• 광행차: $\cos {\theta }^{\prime }=\frac{\cos \theta -\beta }{1-\beta \cos \theta }$.
• 세기: $I_{\nu }/{\nu }^3$가 불변이므로 $\Rightarrow I_{\nu }={\mathcal{D}}^3{I}_{{\nu }^{\prime }}^{\prime }$이며, 총복사에서는 $I={\mathcal{D}}^4{I}^{\prime }$.
• 싱크로트론: ${\omega }_c=(3/2){\gamma }^{3}c/\rho$, 일률은 $\propto {\gamma }^4/{\rho }^2$.

정리: 상대론적 운동학은 빛원뿔을 일상의 공학으로 가져온다. 도플러 효과와 광행차는 검출 진동수와 광원의 겉보기 위치를 정하고, 집속과 세기 불변량은 밝기를 정하며, 싱크로트론 공식은 휘어지는 전하의 복사를 지배한다. 같은 몇 가지 관계가 우주 제트를 설명하고 매우 밝은 광원을 가능하게 하며 휴대전화 지도의 정확성을 지킨다.

5.7 등가 원리: 일반상대론을 향하여

특수상대론은 운동학을 기하학으로 다시 세웠다. 중력은 기하학 자체를 바꾸어 이 개조를 완성한다. 그 입구는 국소적으로 균일한 중력장을 일정하게 가속하는 기준계와 구별할 수 없다는 아인슈타인의 등가 원리이다. 이 하나의 생각에서 중력 적색편이, 자유 낙하의 보편성, 궁극적으로 일반상대론의 장방정식이 나온다.

5.7.1 관성 질량과 중력 질량: 단서

뉴턴 역학에서는 가속에 대한 저항인 관성 질량 $m_{\mathrm{i}}$와 중력이 얼마나 세게 끌어당기는지를 나타내는 중력 질량 $m_{\mathrm{g}}$를 만난다. 실험은 둘이 놀라운 정밀도로 같음을 보여 주므로 중력장 안의 운동은 조성과 무관하다. 이 자유 낙하의 보편성은 중력이 통상적인 의미의 힘이 아니라 모든 물질에 같은 방식으로 영향을 주는 시공간의 성질임을 암시한다.

아인슈타인은 등식 $m_{\mathrm{g}}=m_{\mathrm{i}}$를 가정으로 받아들이고 어떤 세계관이 이 동일성을 자연스럽게 만드는지 물었다.

5.7.2 아인슈타인의 엘리베이터: 중력 없이 생기는 적색편이와 빛의 휘어짐

깊은 우주에 처음에는 정지한 작은 실험실, 즉 엘리베이터를 상상하자. 로켓을 켜서 일정한 가속도 $a$로 위로 가속한다. 바닥의 레이저가 위쪽으로 빛을 쏘면 빛이 천장에 도달할 때 천장은 속력을 얻었으므로 도플러 적색편이를 본다. 높이 $h$에 걸친 상대적인 이동량은

$$\frac{\Delta \nu }{\nu }\approx -\frac{ah}{c^2}$$

$a$를 $g$로 바꾸면 균일한 장에서의 중력 적색편이를 얻는다.

$$\frac{\Delta \nu }{\nu }\approx -\frac{gh}{c^2}$$

같은 실험실에서 다른 실험을 해 보자. 객실을 가로질러 수평으로 빛 펄스를 보낸다. 비행 시간 $t\approx \ell /c$ 동안 객실은 광선에 대해 위로 가속하므로 객실에서는 빛이 아래로 휘는 것처럼 보인다. 등가성에 따라 빛은 질량 근처에서도 휘어야 한다. 엘리베이터 사고실험은 이미 일반상대론의 핵심 예측을 시사한다.

5.7.3 국소 관성계: 중력은 국소적으로만 변환해 없앨 수 있다

어떤 시공간 사건에서도 1차까지 물리학이 특수상대론처럼 보이게 하는 좌표를 선택할 수 있다. 엄밀히 말하면 한 점 $P$에 다음을 만족하는 국소 관성 좌표가 존재한다.

$$g_{\mu \nu }(P)={\eta }_{\mu \nu },{\partial }_{\alpha }{g}_{\mu \nu }(P)=0$$

이런 기준계에서 자유 낙하하는 시험 물체는 $P$를 지나는 직선을 따라 움직이고 시계는 특수상대론처럼 행동한다. 단, 국소적으로 그렇다. 계량의 2차 미분인 곡률이 남으므로 중력을 모든 곳에서 없앨 수는 없다. 그 2차 미분에는 조석 효과가 담겨 있다.

5.7.4 측지선: 자유 낙하는 가능한 한 곧은 경로를 따른다

일반상대론에서 자유 낙하는 ‘힘에 의해 구동되는’ 운동이 아니다. 휘어진 다양체에서 고유 시간을 극값으로 만드는 곡선을 따르는 측지선 운동이다. 운동 방정식은

$$\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{\tau }^2}+{\Gamma }^{\mu }{}_{\alpha \beta }\frac{d{x}^{\alpha }}{d\tau }\frac{d{x}^{\beta }}{d\tau }=0$$

여기서 ${\Gamma }^{\mu }{}_{\alpha \beta }$는 $g_{\mu \nu }$로 만든 크리스토펠 기호이다. 평탄한 시공간에서는 이를 전역적으로 0으로 만들 수 있다. 휘어진 시공간에서는 국소 관성계로 옮겨 한 점에서만 0으로 만들 수 있다.

5.7.5 곡률과 조석: 측지선 편차

서로 가까이 자유 낙하하는 두 입자의 간격이 ${\xi }^{\mu }$이고 4차원 속도가 $u^{\mu }$이면 측지선 편차 방정식을 따른다.

$$\frac{D^2{\xi }^{\mu }}{D{\tau }^2}=-R^{\mu }{}_{\nu \alpha \beta }{u}^{\nu }{\xi }^{\alpha }{u}^{\beta }$$

$R^{\mu }{}_{\nu \alpha \beta }$는 리만 곡률 텐서이다. $R^{\mu }{}_{\nu \alpha \beta }=0$이면 처음에 평행한 자유 낙하 세계선은 계속 평행하다. 곡률에 의한 조석 가속도가 없기 때문이다. 곡률이 0이 아니면 세계선들이 모이거나 벌어진다. 그것이 일반상대론의 중력이다. ‘중력장’은 벡터가 아니라 기하학이다.

5.7.6 등가성에서 장방정식으로

아인슈타인은 다음을 만족하는 가장 단순한 장방정식을 찾았다.

1. 장이 약하고 속력이 느리면 뉴턴 중력으로 환원된다.
2. 에너지–운동량을 보존한다.
3. 일반 공변적이며 모든 좌표에서 성립한다.

답은 아인슈타인 장방정식이다.

$$G_{\mu \nu }\equiv R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$

원한다면 왼쪽에 우주상수 $\Lambda$를 $(-\Lambda g_{\mu \nu })$의 형태로 추가할 수 있지만 아래에서는 단순화를 위해 생략한다. $T_{\mu \nu }$는 물질과 장의 에너지–운동량 텐서이다. 왼쪽에는 기하학 $G_{\mu \nu }$가, 오른쪽에는 원천 $T_{\mu \nu }$가 있다. ‘물질은 시공간에 어떻게 휘어질지 말하고, 시공간은 물질에 어떻게 움직일지 말한다’라는 표현으로 요약된다.

5.7.7 뉴턴 극한: 푸아송 법칙의 복원

정적이고 약한 장에서 계량 성분이 다음과 같다고 하자.

$$g_{00}\approx 1+\frac{2\Phi }{c^2}$$

여기서 $\Phi$는 $|\Phi |/c^2\ll 1$를 만족하는 뉴턴 퍼텐셜이다. 이 가정식을 장방정식에 넣고 $1/c^2$의 최저차항을 남기면

$${\nabla }^2\Phi =4\pi G\rho$$

을 얻고 자유 낙하 궤적은 $\mathbf{a}=-\nabla \Phi$로 환원된다. 일반상대론은 기본적인 일관성 검사를 통과한다. 느린 운동과 약한 장의 극한으로 뉴턴 이론을 포함한다.

5.7.8 중력 시간 지연과 적색편이: 정적인 장의 고유 시간

정상 계량에서 공간 좌표가 고정된 시계의 고유 시간은

$$d\tau =\sqrt{g_{00}}dt$$

지구 근처에서 $g_{00}\approx 1+2\Phi /c^2$이고 위쪽으로의 작은 퍼텐셜 차이가 $\Delta \Phi \approx g\Delta h$이면, 방출점보다 높은 곳에서 받은 빛의 상대적인 진동수 이동은

$$\frac{\Delta \nu }{\nu }\approx -\frac{\Delta \Phi }{c^2}\approx -\frac{g\Delta h}{c^2}$$

이 때문에 더 높은 $\Phi$에 있는 GPS 위성 시계는 같은 지상 시계보다 빠르게 가므로 미리 편차를 주고 보정해야 한다.

5.7.9 가속 기준계와 린들러 좌표: 평탄한 시공간에서의 준비

평탄한 시공간에서 균일하게 가속하는 관측자들은 린들러 쐐기를 덮는다. $1+1$차원에서 편리한 좌표계 하나는 매개변수 $(\rho ,\eta )$를 사용하며 관성 좌표 $(ct,x)$와 다음과 같이 연결된다.

$$ct=\rho \sinh \left(\frac{a\eta }{c}\right),x=\rho \cosh \left(\frac{a\eta }{c}\right)$$

이 좌표에서 계량은

$$d{s}^2={\left(\frac{a\rho }{c^2}\right)}^2{c}^{2}d{\eta }^2-d{\rho }^2$$

서로 다른 $\rho$에 있는 시계는 다른 비율로 가며 중력 적색편이를 모사한다. 등가성은 실험실에 걸친 곡률이 작을 때 많은 ‘가속 기준계’ 효과에 중력적 대응물이 있음을 말한다.

5.7.10 빛의 편향, 지연과 근일점: 미리 보기

완전한 일반상대론은 계량으로 표현할 수 있는 정량적 효과들을 예측한다. 질량 $M$를 충돌 매개변수 $b$로 스치는 광선의 편향각은

$$\Delta \theta \approx \frac{4GM}{c^{2}b}$$

질량을 스치는 신호는 $g_{00}$ 및 공간 곡률과 관련된 추가적인 샤피로 시간 지연을 겪는다. 휘어진 시공간의 속박 궤도는 세차한다. 행성의 섭동을 뺀 수성의 근일점 이동은 일반상대론과 일치한다. §5.8에서 고전적인 검증들을 모아 살펴본다.

5.7.11 등가 원리가 실제로 주장하는 것

• 약한 등가성: 자유 낙하의 보편성. 자체 중력을 무시할 수 있는 시험 물체는 주어진 중력장에서 초기 조건이 같으면 같은 궤적을 따른다.
• 아인슈타인 등가성. 모든 국소 자유 낙하 기준계에서 비중력 물리학은 특수상대론으로 환원되며, 실험 결과는 언제 어디서 수행하는지와 무관하다.

등가성은 중력을 모든 곳에서 변환해 없앨 수 있다거나 ‘중력은 관성력이다’라고 말하지 않는다. 자유 낙하를 통해 국소적으로 중력 효과를 없앨 수 있으며, 불변인 내용으로 곡률, 즉 조석 항만 남는다는 뜻이다.

5.7.12 최소한의 문제 풀이 도구

• 주어진 계량 $g_{\mu \nu }$에서 정지한 시계의 $d\tau =\sqrt{g_{00}}dt$를 계산하고 흐름의 비율을 비교한다.
• 약한 장에서 느리게 움직일 때는 $\Phi$를 $g_{00}\approx 1+2\Phi /c^2$에서 읽어 내어 뉴턴 극한을 복원한다.
• 자유 낙하를 추적하려면 ${\Gamma }^{\mu }{}_{\alpha \beta }(g)$로 측지선 방정식을 세워 적분하거나 대칭, 즉 킬링 벡터에서 나온 보존량을 사용한다.

정리: 등가 원리는 중력을 기하학으로 다시 표현한다. 국소적으로는 자유 낙하로 장을 없앨 수 있지만 곡률은 제거할 수 없다. 조석 효과가 실제로 남는 기준계 불변의 내용이다. 등가성을 존중하고 에너지–운동량을 보존하며 뉴턴 이론을 복원하는 이론을 요구하면 아인슈타인 방정식 $G_{\mu \nu }=(8\pi G/c^4)T_{\mu \nu }$에 이른다. 적색편이에서 빛의 휘어짐과 궤도 위 시계의 속도까지, 엘리베이터 사고실험은 휘어진 시공간의 완전한 이론으로 성장한다.

5.8 검증과 최전선

상대론은 막연한 느낌으로 판단하는 이론이 아니라 실험을 끌어모으는 이론이다. 수성의 궤도부터 중력파와 블랙홀 영상까지 점점 더 엄격해지는 검증을 계속 통과한다. 이 절에서는 고전적인 검증을 살펴본 뒤 정밀성·강한 중력·우주적 규모가 모형을 시험하는 최전선으로 나아간다.

5.8.1 약한 장의 고전적 검증

수성의 근일점 전진. 뉴턴 중력과 행성의 섭동만으로는 작은 추가 이동을 설명하지 못한다. 긴반지름 $a$, 이심률 $e$인 속박 궤도가 질량 $M$ 주위를 돌 때 일반상대론은 한 공전당 다음을 예측한다.

$$\Delta \phi \approx \frac{6\pi GM}{c^{2}a(1-e^2)}$$

빛의 편향. 질량 $M$를 충돌 매개변수 $b$로 스치는 광선은 다음만큼 휜다.

$$\Delta \theta \approx \frac{4GM}{c^{2}b}$$

시공간 곡률이 시간과 공간을 모두 휘게 하므로 단순한 뉴턴 입자 추정값의 두 배가 된다.

중력 적색편이. 정적이고 약한 장에서는 높은 퍼텐셜의 시계가 더 빠르게 가지만 위로 전파되는 빛은 방출 때보다 낮은 진동수로 수신된다. 지구 근처에서 위쪽으로의 작은 높이 차이가 $h$이고 가속도가 $g$이면 광자 진동수의 이동은

$$\frac{\Delta \nu }{\nu }\approx -\frac{gh}{c^2}$$

샤피로 시간 지연. 무거운 천체를 스치는 레이더 신호는 유클리드 기하학의 예상보다 늦게 도착한다. 적절한 기하학적 배치에서 질량 $M$를 지나는 왕복 경로에 대해

$$\Delta t\propto \frac{GM}{c^3}\ln \left(\frac{\text{경로 거리}}{\text{충돌 매개변수}}\right)$$

로그 항이 일반상대론의 특징적인 표시이다.

5.8.2 등가 원리 검증

전하가 없는 모든 시험 물체가 같은 방식으로 떨어진다면 외트뵈시 매개변수는 아주 작아야 한다.

$$\eta \equiv \frac{2|a_1-a_2|}{a_1+a_2}$$

현대의 비틀림 저울, 원자 간섭계, 달 레이저 거리 측정은 $\eta$가 극도로 작도록 제한한다. 아인슈타인의 엘리베이터가 자유 낙하 실험실과 구별되지 않는다는 원리가 유지된다.

5.8.3 쌍성 펄서와 중력 복사

밀집 쌍성은 중력파로 궤도 에너지를 잃어 주기가 줄어든다. 일반상대론에서 주기의 시간 미분은 처프 질량 $M_c$에 의존한다.

$$M_c\equiv \frac{(m_1{m}_2{)}^{3/5}}{(m_1+m_2{)}^{1/5}}$$

공전 주기가 $P$인 준원형 쌍성에 대해

$$\dot{P}=-\frac{192\pi }{5}{\left(\frac{G{M}_c}{c^3}\right)}^{5/3}{\left(\frac{2\pi }{P}\right)}^{5/3}$$

펄서의 전파 도착 시간 측정은 이 예측과 일치하며 $M_c$를 명확하게 측정한다. 강한 장과 복사를 다루는 일반상대론이 검증을 통과한다.

5.8.4 중력파의 직접 검출과 처프

간섭계는 지나가는 물결로부터 무차원 변형률 $h=\Delta L/L$를 측정한다. 준원형으로 안쪽으로 나선 운동할 때 중력파 진동수 $f$의 증가율은 다음을 따른다.

$$\dot{f}=\frac{96}{5}{\pi }^{8/3}{\left(\frac{G{M}_c}{c^3}\right)}^{5/3}{f}^{11/3}$$

$f(t)$에서 $M_c$를 추출한다. 이를 측정한 파동 진폭 및 파원의 방향과 결합하면 우주 거리 사다리 없이 거리를 추정할 수 있다. 여러 검출기의 삼각 측량으로 파원의 위치를 찾고 편광과 위상 변화로 일반상대론의 파형 모형을 검증한다.

5.8.5 블랙홀과 강한 중력

슈바르츠실트 반지름을 정의하자.

$$r_s\equiv \frac{2GM}{c^2}$$

$r_s$ 근처의 광자 고리, 가장 안쪽의 안정 원궤도, 조석력은 곡률이 큰 영역의 계량을 탐구한다. 초장기선 간섭계는 지평선 규모의 구조를 분해해 보고, 은하핵 주위의 별 궤도는 시공간을 지도화하며 세차와 적색편이로 무모 정리의 관점을 검증한다.

5.8.6 기준틀 끌림과 측지 효과

회전하는 질량은 관성 기준계를 끌고 간다. 각운동량 $\mathbf{J}$인 천체 주위에서 자이로스코프의 중력자기 세차율은 대략

$${\mathbf{\Omega }}_{\text{LT}}\sim \frac{G\mathbf{J}}{c^2{r}^3}$$

측지 세차는 휘어진 시공간을 통과하는 운동에서 발생한다. 위성 자이로스코프와 위성 궤도 교점 추적은 지구의 장에서 두 효과를 측정하며 일반상대론과 좋은 정밀도로 일치한다.

5.8.7 기술 속 상대론: 시계, 항법과 연결

시간 지연과 중력 적색편이는 공학에서 선택 사항이 아니다. 거리 측정 방정식이 미터 이하 수준에서도 일관되도록 특수·일반상대론을 사용해 위성 시계의 속도에 미리 편차를 주고 보정한다. 광섬유와 마이크로파 시간 전송 연결에도 이 상대론적 보정이 포함되며 원자시계 운반 실험은 예측된 편차를 확인한다.

5.8.8 매개변수화된 후뉴턴(PPN) 표현

일반상대론의 대안과 비교하려고 약한 장의 관측량을 $\gamma$와 $\beta$ 같은 매개변수로 쓴다. 예를 들어 빛의 편향은 $1+\gamma$에 비례하고 근일점 전진은 $\gamma$와 $\beta$의 조합에 의존한다. 일반상대론은 $\gamma =\beta =1$를 예측한다. 태양계와 펄서 검증은 이 매개변수들을 일반상대론의 값에 극도로 가깝게 제한한다.

5.8.9 전파 속력, 분산과 중력자 질량

$c$와 다른 중력 전파 속력은 도착 시간으로 시험할 수 있다. 특히 분산은 진동수에 의존하는 전파를 요구하며, 중력자에 질량 $m_g$가 있으면 그런 현상이 생긴다. 질량 있는 중력자는 다음을 따른다.

$$E^2=p^2{c}^2+m_g^2{c}^4$$

그 결과 같은 파원에서 나온 높은 진동수의 파동이 낮은 진동수보다 먼저 도착한다. 관측 파형과 다중신호 사건은 가능한 분산을 매우 엄격히 제한하며, 아주 작은 상대 오차 안에서 $c$로 전파되는 것과 일치한다.

5.8.10 우주론의 최전선

가장 큰 규모에서는 일반상대론에 단순한 물질 성분들을 더하면 팽창 우주 해를 얻는다. 우주상수 $\Lambda$를 도입하면 가속 팽창이 생긴다. 기하학과 에너지 함량은 척도인자 $a(t)$의 프리드만 방정식으로 만난다.

$${\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}+\frac{\Lambda c^2}{3}$$

거리–적색편이 관계, 중력렌즈, 구조 성장은 우주의 시간 전체에 걸쳐 일반상대론을 시험한다. 이 탐사 방법들 사이의 불일치로 이론에서 벗어나는 현상이 드러날 것이다.

5.8.11 새로운 물리학이 나타날 수 있는 곳

• 강한 장의 작은 차이. 블랙홀 병합 후 감쇠 진동의 고차 모드는 커 계량에서 예상하는 스펙트럼을 검증한다.
• 등가 원리의 경계. 초경량 장이나 암흑 부문과의 결합은 조성에 의존하는 가속도 또는 상수의 시간 변화를 유발할 수 있다.
• 짧은 거리의 중력. 소형 실험은 밀리미터에서 마이크로미터 규모에서 역제곱 법칙의 이탈을 찾는다.
• 로런츠 대칭. 고에너지 우주선과 정밀한 시간 측정은 중력 부문의 미세한 위반을 찾는다.

지금까지의 영 결과는 일반상대론의 우위를 유지시키지만 가능한 매개변수 공간은 계속 줄어든다.

5.8.12 최소한의 문제 풀이 도구

• 위의 $\Delta \phi$로 수성과 같은 세차를 계산하고 여러 공전 동안 뉴턴의 타원과 비교한다.
• 천체를 스치는 광로에 대해 여기의 식으로 편향과 샤피로 지연을 추정한다.
• 질량과 주기가 주어진 쌍성에서 $\dot{P}$와 $\dot{f}$를 사용해 파형의 진화와 안쪽 나선 운동 시간을 예측한다.
• 두 시계의 높이 $\Delta h$가 주어지면 중력 적색편이를 계산하고 GPS 편차 설정과 연결한다.

정리: 상대론은 한 세기에 걸친 교차 검증을 견뎠다. 궤도는 세차하고 빛은 휘고 지연되며 시계는 차이를 보이고 쌍성은 처프 신호를 내며 지평선은 방정식대로 그림자를 드리운다. 이제 최전선은 정밀함과 극한이다. 실험실의 마이크로미터, 우주의 메가파섹, $r_s$ 근처의 곡률이 대상이다. 어디를 탐구하든 방법은 같다. 불변량을 계산하고 빛원뿔을 존중하며 계량이 물질에 움직이는 법을 말하게 한다.