양자장론

8.1 입자에서 장으로: 양자장론이 필요한 이유

양자역학은 원자를, 특수상대론은 빠른 물체를 잘 설명한다. 그러나 둘을 합치면 입자 수에서 문제가 생긴다. 상대론은 입자의 생성과 소멸을 허용하지만 단일 입자 양자역학은 그렇지 않다. **양자장론(QFT)**이 이를 해결한다. 기본 대상은 장이고 입자는 그 장의 양자, 즉 들뜸이다. 이 절에서는 장이 왜 필요한지, 간단한 장을 어떻게 양자화하는지, 입자가 어떻게 나타나는지, 국소성과 대칭성 같은 원리가 이론의 일관성을 어떻게 지키는지 살펴본다.

8.1.1 단일 입자 양자역학을 고집하면 생기는 문제

• 상대론적 에너지 $E^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4$는 $E$가 음수인 경우를 허용하므로, 신뢰할 수 있는 확률 밀도를 가진 단일 입자 파동방정식을 유지하기가 어렵다.
• 입자 생성과 소멸. 고에너지 광자가 $e^{+}{e}^{-}$로 바뀌고 들뜬 원자가 광자를 방출한다. $N$가 고정된 힐베르트 공간은 이런 과정 자체를 표현할 수 없다.
• 국소성과 인과성. 공간꼴로 분리된 측정은 서로 영향을 주어서는 안 된다. 고정된 입자 수의 파동함수만으로 이를 구현하려면 금세 복잡해진다.

양자장론은 장을 연산자로 승격하여 이를 해결한다. 상태는 입자 수가 변할 수 있는 포크 공간에 놓이며, 미시적 인과성은 장의 교환 관계에 내장된다.

8.1.2 ‘무한히 많은 진동자’로서의 장

어떤 자유 고전장이든 운동량 $\mathbf{k}$로 표시되는 모드로 푸리에 전개하자. 각 모드는 조화 진동자이다. 그러면 제7장의 양자화를 모든 $\mathbf{k}$에 반복 적용하면 된다. 핵심은 모든 기준 모드를 양자화하는 것이다.

8.1.3 고전적 준비: 클라인–고든 장

실수 스칼라장 $\varphi (x)$에 대해 시공간 좌표를 $x=(ct,\mathbf{x})$로 쓰면 로런츠 불변 작용은

$$S[\varphi ]=\int d^{4}x\mathcal{L},\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}{\varphi }^2$$

오일러–라그랑주 방정식에서 클라인–고든(KG) 방정식을 얻는다.

$$\left(\square +\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\right)\varphi (x)=0,\square \equiv {\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }$$

평면파 해는 상대론적 분산 관계인 $k_{\mu }{k}^{\mu }=m^2{c}^2/{\hslash }^2$를 따른다.

8.1.4 정준 양자화: 같은 시각의 괄호

$\varphi$와 그 켤레 운동량

$$\pi (x)\equiv \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_0\varphi )}={\partial }_0\varphi$$

을 다음 같은 시각의 교환 관계를 가진 연산자로 승격한다.

$$[\hat{\varphi }(t,\mathbf{x}),\hat{\varphi }(t,\mathbf{y})]=0$$ $$[\hat{\pi }(t,\mathbf{x}),\hat{\pi }(t,\mathbf{y})]=0$$ $$[\hat{\varphi }(t,\mathbf{x}),\hat{\pi }(t,\mathbf{y})]=i\hslash {\delta }^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})$$

이는 $[x,p]=i\hslash$의 장론적 대응물이다.

8.1.5 모드 전개와 생성·소멸 연산자

부피 $V$인 큰 상자를 도입하고 나중에 $V\to \infty$로 보낸다. 다음과 같이 전개하자.

$$\hat{\varphi }(x)=\frac{1}{\sqrt{V}}\sum _{\mathbf{k}}\sqrt{\frac{\hslash c}{2{\omega }_{\mathbf{k}}}}\left({\hat{a}}_{\mathbf{k}}{e}^{-i{\omega }_{\mathbf{k}}t+i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}+{\hat{a}}_{\mathbf{k}}^{†}{e}^{i{\omega }_{\mathbf{k}}t-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}\right)$$

여기서

$${\omega }_{\mathbf{k}}=\sqrt{c^2{\mathbf{k}}^2+\frac{m^2{c}^4}{{\hslash }^2}}$$

다음을 만족하도록 정규화를 선택한다.

$$[{\hat{a}}_{\mathbf{k}},{\hat{a}}_{{\mathbf{k}}^{\prime }}^{†}]={\delta }_{\mathbf{k}{\mathbf{k}}^{\prime }},[{\hat{a}}_{\mathbf{k}},{\hat{a}}_{{\mathbf{k}}^{\prime }}]=0,[{\hat{a}}_{\mathbf{k}}^{†},{\hat{a}}_{{\mathbf{k}}^{\prime }}^{†}]=0$$

§7.3의 진동자 대수와 정확히 같으며, 이제 모든 운동량에 적용된다.

8.1.6 포크 공간과 입자

진공을 ${\hat{a}}_{\mathbf{k}}|0⟩=0$로 정의한다. 단일 입자 상태는

$$|\mathbf{k}⟩\equiv {\hat{a}}_{\mathbf{k}}^{†}|0⟩$$

이며, 생성 연산자를 더 적용하면 다입자 상태를 얻는다. 모드 $\mathbf{k}$의 수 연산자는 ${\hat{N}}_{\mathbf{k}}={\hat{a}}_{\mathbf{k}}^{†}{\hat{a}}_{\mathbf{k}}$이다. 자유장의 해밀토니안은

$$\hat{H}=\sum _{\mathbf{k}}\hslash {\omega }_{\mathbf{k}}\left({\hat{a}}_{\mathbf{k}}^{†}{\hat{a}}_{\mathbf{k}}+\frac{1}{2}\right)$$

$\frac{1}{2}$ 항이 모든 모드에 걸쳐 쌓이면 진공 에너지가 된다. 중력이 없는 문제에서는 보통 정상 순서화로 이를 제거한다.

8.1.7 정상 순서화와 진공 에너지

정상 순서화 $:\cdots :$는 모든 ${\hat{a}}^{†}$를 모든 $\hat{a}$의 왼쪽에 놓는 것으로 정의한다. 그러면

$$:{\hat{a}}_{\mathbf{k}}^{†}{\hat{a}}_{\mathbf{k}}:={\hat{a}}_{\mathbf{k}}^{†}{\hat{a}}_{\mathbf{k}}$$

그리고

$$:\hat{H}:=\sum _{\mathbf{k}}\hslash {\omega }_{\mathbf{k}}{\hat{a}}_{\mathbf{k}}^{†}{\hat{a}}_{\mathbf{k}}$$

관례적으로 진공 에너지를 0으로 정하는 것이다. 휘어진 시공간이나 중력에서는 절댓값을 다루어야 한다. 평평한 공간의 입자 물리학에서는 차이에 관심이 있으므로 정상 순서화가 적절하다.

8.1.8 국소성과 미시적 인과성

양자장론의 핵심 요구 조건은 미시적 인과성이다.

$$[\hat{\varphi }(x),\hat{\varphi }(y)]=0\text{조건:}(x-y{)}^2<0$$

즉 공간꼴로 분리된 장들은 교환한다. 자유 클라인–고든 장의 교환자는 빛원뿔 밖에서 0이 되는 보통 수이다. 이렇게 양자장론은 ‘빛보다 빠른 영향은 없다’는 조건을 연산자 수준에 내장한다.

8.1.9 그린 함수와 전파 함수

상관 함수는 모든 정보를 담는다. 시간 순서화된 2점 함수, 즉 파인먼 전파 함수는

$$\hslash {\Delta }_F(x-y)\equiv ⟨0|T\{\hat{\varphi }(x)\hat{\varphi }(y)\}|0⟩$$

이는 클라인–고든 연산자의 그린 함수이다.

$$\left(\square +\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\right){\Delta }_F(x-y)=-i{\delta }^{(4)}(x-y)$$

운동량 공간에서는

$${\Delta }_F(k)=\frac{i}{k^2-\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}+iϵ}$$

질량껍질에 극이 있고 $iϵ$가 그 극을 어느 쪽으로 돌아갈지 알려 준다. 복소해석의 옷을 입은 인과성이다.

8.1.10 뇌터 전류와 응력 텐서

작용의 연속 대칭성은 보존 전류를 준다. 시공간 병진에서는 에너지–운동량 텐서 $T^{\mu \nu }$를 얻는다. 편리한 대칭 형태 하나는

$$T^{\mu \nu }={\partial }^{\mu }\varphi {\partial }^{\nu }\varphi -{\eta }^{\mu \nu }\mathcal{L}$$

이며 ${\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$를 만족한다. 보존 전하는 4차원 운동량이다.

$$P^{\nu }=\int d^{3}x{T}^{0\nu }$$

이는 장에 대한 시공간 병진의 생성자로 작용한다.

$\varphi$가 복소수이고 전역적 $U(1)$ 대칭 $\varphi \to e^{i\alpha }\varphi$가 있으면 보존 뇌터 전류와 전하도 얻는다. 단위 전하를 가진 자유 복소 스칼라장에서는 입자 수에서 반입자 수를 뺀 값이다.

8.1.11 보손, 페르미온, 스핀–통계 규칙

실험과 이론 모두 다음을 말한다. 정수 스핀 장은 교환자로 양자화되는 보손이고, 반정수 스핀 장은 반교환자로 양자화되는 페르미온이다. 스피너 $\psi$의 같은 시각 괄호는

$$\{{\hat{\psi }}_{\alpha }(t,\mathbf{x}),{\hat{\psi }}_{\beta }^{†}(t,\mathbf{y})\}={\delta }_{\alpha \beta }{\delta }^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})$$

이 선택은 임의적인 장식이 아니다. 스핀–통계 정리, 국소성, 양의 정부호성이 이를 강제한다.

8.1.12 상호작용을 넣는 방법: 미리 보기

라그랑지안에 상호작용 항을 더한다. 예를 들어 스칼라장에서는

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4$$

또는 유카와 결합 $\bar{\psi }\psi \varphi$나 공변 미분을 통한 게이지 결합처럼 장들을 서로 결합한다. 섭동론은 상관 함수를 파인먼 도표로 전개하며, 전파 함수는 선, 결합은 꼭짓점이 된다. 재규격화는 발산을 처리하고 물리적 매개변수를 정의한다.

8.1.13 간단한 풀이 예제

(a) 단일 입자 정규화.
$⟨{\mathbf{k}}^{\prime }|\mathbf{k}⟩={\delta }_{{\mathbf{k}}^{\prime }\mathbf{k}}$를 $[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]$ 대수로 보여라.

(b) 진공 2점 함수.
모드 전개를 $⟨0|T\{\hat{\varphi }(x)\hat{\varphi }(y)\}|0⟩$에 대입하여 ${\Delta }_F(x-y)$와 그 운동량 공간 표현을 유도하라.

(c) 미시적 인과성 확인.
자유장의 $[\hat{\varphi }(x),\hat{\varphi }(y)]$를 계산하고, $(x-y{)}^2<0$일 때 0임을 경로 적분으로 보여라.

(d) 양자 하나인 상태의 에너지.
$\hat{H}$를 $|\mathbf{k}⟩$에 작용시켜 $E=\hslash {\omega }_{\mathbf{k}}$를 확인하라.

8.1.14 최소 연습문제 모음

• $\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial \varphi {)}^2-\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2$에서 출발하여 정준 운동량 $\pi$와 모드 대수를 재현하는 같은 시각의 교환자를 유도하라.
• 복소 스칼라장을 양자화하고 보존되는 $U(1)$ 전하 연산자를 찾아, 입자 수에서 반입자 수를 뺀 값을 센다는 것을 보여라.
• 지연 그린 함수 ${\Delta }_R(x)$를 계산하고 그 지지집합을 ${\Delta }_F(x)$와 비교하라.
• 평평한 시공간의 자유 스칼라장에서 $\hat{H}$와 $T^{\mu \nu }$를 모두 정상 순서화하고 진공 기댓값이 0임을 확인하라. 이런 진공값 빼기와 상호작용 또는 휘어진 시공간의 대각합 변칙을 구별하라.
• 상자 안에서 주기적 경계 조건을 가진 스칼라장에 대해 $V\to \infty$로 보낼 때 합을 적분으로 바꾸고 연속체 델타 함수를 얻어라.

8.2 디랙 장: 스피너, 반교환자, 상대론적 페르미온

전자와 모든 스핀 $\frac{1}{2}$ 입자를 양자역학과 특수상대론에 맞게 설명하려면 스피너 자유도를 가지고 같은 시각에 반교환하는 장이 필요하다. 디랙 방정식은 이를 제공하고 반입자를 예측하며 자기 모멘트의 $g\approx 2$를 이론 자체에 담는다. 이 절에서는 대수, 해, 양자화, 전류, 비상대론적 극한을 구성한다.

단위 선택: 별도로 언급하지 않으면 간결함을 위해 자연 단위계 $\hslash =c=1$를 사용한다. $\hslash$와 $c$는 차원 분석으로 복원할 수 있다.

8.2.1 한 페이지로 보는 동기

클라인–고든 파동은 상대론을 다루지만 스핀 0을 설명하며 음의 밀도를 허용한다. 우리는 $E^2={\mathbf{p}}^2+m^2$와 일치하면서 양의 정부호 확률 밀도를 가진 시간에 대한 1차 방정식을 원한다. 디랙의 생각은 새로운 대수를 따르는 행렬로 상대론적 분산 관계를 선형화하는 것이었다.

8.2.2 감마 행렬과 클리퍼드 대수

$4\times 4$ 행렬 ${\gamma }^{\mu }$를 도입하여 다음을 요구한다.

$$\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}\equiv {\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }+{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }=2{\eta }^{\mu \nu }\mathbb{I}$$

계량은 ${\eta }^{\mu \nu }=\mathrm{diag}(+,-,-,-)$이다. 흔한 두 표현은 다음과 같다.

• 디랙 기저: ${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cc}\mathbb{I}& 0\\ 0& -\mathbb{I}\end{array}\right)$, ${\gamma }^i=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }^i\\ -{\sigma }^i& 0\end{array}\right)$
• 카이랄 기저 또는 바일 기저: ${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cc}0& \mathbb{I}\\ \mathbb{I}& 0\end{array}\right)$, ${\gamma }^i=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }^i\\ -{\sigma }^i& 0\end{array}\right)$

다음을 정의하자.

$${\gamma }^5\equiv i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3,({\gamma }^5{)}^2=1,\{{\gamma }^5,{\gamma }^{\mu }\}=0$$

그리고 시그마 행렬은

$${\sigma }^{\mu \nu }\equiv \frac{i}{2}[{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }]$$

8.2.3 디랙 방정식, 수반, 라그랑지안

스피너장 $\psi (x)$의 디랙 방정식은

$$(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi (x)=0$$

수반 $\bar{\psi }\equiv {\psi }^{†}{\gamma }^0$를 정의하자. 로런츠 불변 라그랑지안은

$$\mathcal{L}=\bar{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi$$

$\bar{\psi }$를 변분하면 디랙 방정식이 나오고, $\psi$를 변분하면 수반 방정식 $\bar{\psi }(i{\overleftarrow{\partial }}_{\mu }{\gamma }^{\mu }+m)=0$가 나온다.

뇌터 정리에 따른 보존 전류: 전역적인 $U(1)$ 위상 대칭에 대해

$$j^{\mu }=\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi ,{\partial }_{\mu }{j}^{\mu }=0$$

$j^0={\psi }^{†}\psi$는 해에 대해 양의 정부호이며 올바른 확률 밀도를 준다.

8.2.4 평면파 스피너와 완비성

평면파 $\psi =u_s(p)e^{-ip\cdot x}$와 $\psi =v_s(p)e^{+ip\cdot x}$를 찾되 질량껍질 조건 $p^2=m^2$를 요구하자. 이들은 다음을 만족한다.

$$(/p-m)u_s(p)=0,(/p+m)v_s(p)=0$$

여기서 $/p\equiv {\gamma }^{\mu }{p}_{\mu }$이고 $s$는 스핀을 표시한다. 양자장론에 편리한 정규화는

$${\bar{u}}_s(p)u_{s^{\prime }}(p)=2m{\delta }_{s{s}^{\prime }},{\bar{v}}_s(p)v_{s^{\prime }}(p)=-2m{\delta }_{s{s}^{\prime }}$$

스핀 합, 즉 완비성 관계는

$$\sum _s{u}_s(p){\bar{u}}_s(p)=/p+m$$ $$\sum _s{v}_s(p){\bar{v}}_s(p)=/p-m$$

이 항등식들은 단면적과 전파 함수 계산의 핵심 도구이다.

8.2.5 최소 결합과 파울리 항: 미리 보기

전자기학은 공변 미분 $D_{\mu }={\partial }_{\mu }+ie{A}_{\mu }$를 통해 들어온다. 디랙 방정식은 $(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }-m)\psi =0$가 되고 라그랑지안은 $\mathcal{L}=\bar{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }-m)\psi$가 된다. 비상대론적 극한에서 이는 다음 모멘트를 가진 자기 상호작용을 준다.

$$\mathbf{\mu }=g\frac{e}{2m}\mathbf{S},g_{\text{Dirac}}=2$$

양자 전기역학의 복사 보정은 $g=2(1+a_e)$를 만들며 $a_e$는 매우 작다.

8.2.6 정준 양자화와 반교환자

$\psi$를 연산자장으로 승격하고 같은 시각의 반교환 관계를 요구한다.

$$\{{\hat{\psi }}_{\alpha }(t,\mathbf{x}),{\hat{\psi }}_{\beta }^{†}(t,\mathbf{y})\}={\delta }_{\alpha \beta }{\delta }^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})$$ $$\{\hat{\psi },\hat{\psi }\}=\{{\hat{\psi }}^{†},{\hat{\psi }}^{†}\}=0$$

모드로 전개한다. 상자 정규화를 사용하고 나중에 $\sum \to \int$로 보낸다.

$$\hat{\psi }(x)=\sum _s\int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}}\left[{\hat{b}}_s(\mathbf{p})u_s(p)e^{-ip\cdot x}+{\hat{d}}_s^{†}(\mathbf{p})v_s(p)e^{+ip\cdot x}\right]$$

여기서 $E_{\mathbf{p}}=\sqrt{{\mathbf{p}}^2+m^2}$이고

$$\{{\hat{b}}_s(\mathbf{p}),{\hat{b}}_{s^{\prime }}^{†}({\mathbf{p}}^{\prime })\}=(2\pi {)}^3{\delta }_{s{s}^{\prime }}{\delta }^{(3)}(\mathbf{p}-{\mathbf{p}}^{\prime })$$ $$\{{\hat{d}}_s(\mathbf{p}),{\hat{d}}_{s^{\prime }}^{†}({\mathbf{p}}^{\prime })\}=(2\pi {)}^3{\delta }_{s{s}^{\prime }}{\delta }^{(3)}(\mathbf{p}-{\mathbf{p}}^{\prime })$$

다른 모든 반교환자는 0이다. ${\hat{b}}^{†}$는 입자를, ${\hat{d}}^{†}$는 반입자를 생성한다.

정상 순서화된 해밀토니안은

$$:\hat{H}:=\sum _s\int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2\pi {)}^3}{E}_{\mathbf{p}}\left[{\hat{b}}_s^{†}(\mathbf{p}){\hat{b}}_s(\mathbf{p})+{\hat{d}}_s^{†}(\mathbf{p}){\hat{d}}_s(\mathbf{p})\right]$$

8.2.7 전파 함수와 파인먼 규칙

시간 순서화된 2점 함수, 즉 디랙 전파 함수는

$$S_F(x-y)\equiv ⟨0|T\{\hat{\psi }(x)\bar{\hat{\psi }}(y)\}|0⟩$$

운동량 공간에서는

$$S_F(p)=\frac{i}{/p-m+iϵ}=i\frac{/p+m}{p^2-m^2+iϵ}$$

파인먼 도표의 자유 디랙 선에는 이 인자가 붙으며, 상호작용은 꼭짓점으로 삽입된다. 예를 들어 양자 전기역학에서는 $-ie{\gamma }^{\mu }$이다.

8.2.8 쌍선형식, 전류, 고든 항등식

유용한 쌍선형식과 그 변환 성질은 다음과 같다.

• 스칼라 $\bar{\psi }\psi$
• 유사 스칼라 $i\bar{\psi }{\gamma }^5\psi$
• 벡터 $\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi$
• 축벡터 $\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^5\psi$
• 텐서 $\bar{\psi }{\sigma }^{\mu \nu }\psi$

벡터 전류는 전역 위상 대칭에 대해 보존된다. 고든 항등식은 벡터 전류를 궤도 부분과 스핀 부분의 합에 연결한다.

$$\bar{u}(p^{\prime }){\gamma }^{\mu }u(p)=\frac{1}{2m}\bar{u}(p^{\prime })\left[(p^{\prime }+p{)}^{\mu }+i{\sigma }^{\mu \nu }(p^{\prime }-p{)}_{\nu }\right]u(p)$$

이는 저에너지 전개의 파울리 자기 항이 나오는 대수적 근원이다.

8.2.9 카이랄성, 헬리시티, 질량이 없는 극한

카이랄 사영 연산자를 정의하자.

$$P_L=\frac{1-{\gamma }^5}{2},P_R=\frac{1+{\gamma }^5}{2}$$

왼쪽과 오른쪽 성분 ${\psi }_{L,R}=P_{L,R}\psi$는 $m=0$일 때 분리된다. 운동량 방향의 스핀인 헬리시티는 질량이 없는 상태에서만 카이랄성과 같다. 표준 모형의 약한 하전 전류 상호작용은 렙톤에서 ${\psi }_L$에 결합하지만 ${\psi }_R$에는 결합하지 않는다. 카이랄성은 중요하다.

마요라나와 디랙. 마요라나 장은 자신의 전하 켤레와 같다는 ${\psi }^c=\psi$를 만족하며 독립적인 반입자가 없다. 전자 같은 디랙 장은 보존되는 $U(1)$ 전하를 가진다.

8.2.10 이산 대칭 $C$, $P$, $T$: 개요

구체적인 구현은 위상까지 포함하여 표현에 의존한다.

• 공간 반전 $P$: $\psi (t,\mathbf{x})\to {\gamma }^0\psi (t,-\mathbf{x})$
• 전하 켤레 변환 $C$: $\psi \to C{\bar{\psi }}^T$이며 $C^{-1}{\gamma }^{\mu }C=-({\gamma }^{\mu }{)}^T$이다.
• 시간 반전 $T$: 반유니터리이며, 디랙 기저에서 대략 $\psi (t,\mathbf{x})\to i{\gamma }^1{\gamma }^3{\psi }^{\ast }(-t,\mathbf{x})$이다.

쌍선형식으로 만든 국소적인 로런츠 불변 상호작용은 $C$, $P$, $T$에 대한 짝홀성으로 분류할 수 있다.

8.2.11 비상대론적 극한 → 파울리 방정식

최소 결합 $D_{\mu }$를 넣고 디랙 기저에서 ‘큰’ 성분과 ‘작은’ 성분을 분리한다. 작은 성분을 $1/m$ 차수까지 소거하면 파울리 해밀토니안을 얻는다.

$$H_{\text{Pauli}}=\frac{1}{2m}(\mathbf{p}-e\mathbf{A}{)}^2+e\varphi -\frac{e}{2m}\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{B}$$

여기서 $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$이다. $\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{B}$ 항은 나무 수준에서 $g=2$를 준다. 고차항에는 스핀–궤도 항과 다윈 항이 추가되어 수소의 미세 구조와 일치한다.

8.2.12 간단한 풀이 예제

(a) 전류 보존.
디랙 방정식과 그 수반으로 ${\partial }_{\mu }(\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi )=0$를 보여라.

(b) 전파 함수의 역연산.
$(/p-m)[(/p+m)/(p^2-m^2)]=\mathbb{I}$를 확인하라.

(c) 스핀 합.
평면파 해의 완비성으로 ${\sum }_s{u}_s(p){\bar{u}}_s(p)=/p+m$를 증명하라.

(d) 파울리 방정식으로의 환원.
$(\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\pi }+\beta m+e\varphi )\psi =i{\partial }_t\psi$에서 출발하여 $\mathbf{\pi }=\mathbf{p}-e\mathbf{A}$로 두고, 작은 성분을 $1/m$ 차수까지 소거하여 $-\frac{e}{2m}\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{B}$를 얻어라.

(e) $m=0$에서의 헬리시티 보존.
자유로운 무질량 디랙 해밀토니안에서 $[H,\mathbf{\Sigma }\cdot \hat{\mathbf{p}}]=0$임을 보여 헬리시티 보존을 확인하라.

8.2.13 최소 연습문제 모음

• 명시적인 디랙 또는 카이랄 감마 행렬에 대해 클리퍼드 대수를 확인하고 ${\gamma }^5$를 계산하라.
• $\hat{\psi }$를 $u_s(p)$와 $v_s(p)$에 사영하여 모드 전개 계수를 유도하고 $\{\hat{b},{\hat{b}}^{†}\}$와 $\{\hat{d},{\hat{d}}^{†}\}$ 대수를 얻어라.
• 고든 항등식으로 전자기 전류의 비상대론적 극한을 구하고 스핀 자기 모멘트 항을 확인하라.
• 쌍선형식 $\bar{\psi }\Gamma \psi$를 $C$, $P$, $T$ 변환 성질에 따라 분류하라.
• 질량항 $m\bar{\psi }\psi$는 카이랄성을 섞지만 $\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi$는 그렇지 않음을 명시적으로 보여라.
• 마요라나 장의 실재 조건을 카이랄 기저로 쓰고, 질량껍질 위 자유도 수를 디랙 장과 비교하라.

8.2A 바일 스피너와 마요라나 스피너: 두 성분, 질량항, 자유도 세기

디랙 스피너도 훌륭하지만 실제 계산의 상당 부분은 두 성분 언어에서 더 간결해진다. 카이랄 기저에서 디랙 스피너는 $\psi =\left(\begin{array}{c}\chi \\ \varphi \end{array}\right)$로 나뉘며 왼손 및 오른손 바일 스피너는 $\chi$와 $\varphi$이다.

8.2A.1 바일 방정식과 헬리시티

질량이 없는 페르미온에서는 왼손 성분과 오른손 성분이 분리된다.

$$i{\sigma }^{\mu }{\partial }_{\mu }\chi =0,i{\bar{\sigma }}^{\mu }{\partial }_{\mu }\varphi =0$$

여기서 ${\sigma }^{\mu }=(\mathbb{I},\mathbf{\sigma })$와 ${\bar{\sigma }}^{\mu }=(\mathbb{I},-\mathbf{\sigma })$이다. 하나의 바일 장에는 질량껍질 위 자유도가 두 개 있다. 정해진 카이랄성을 가진 입자와 반입자이며, $m=0$에서는 헬리시티가 카이랄성과 같다.

8.2A.2 디랙 질량과 카이랄성의 혼합

두 성분으로 쓴 디랙 질량항은

$${\mathcal{L}}_{m_D}=-m_D\left({\chi }^{†}\varphi +{\varphi }^{†}\chi \right)$$

이는 전역적 $U(1)$, 즉 페르미온 수를 보존하고 $\chi$를 $\varphi$에 결합한다. 이 항을 켜면 두 바일 장이 하나의 디랙 페르미온으로 합쳐진다.

8.2A.3 마요라나 질량과 실재 조건

전하 켤레 변환은 ${\psi }^c\equiv C{\bar{\psi }}^T$로 작용한다. 마요라나 페르미온은 다음 실재 조건을 만족한다.

$$\psi ={\psi }^c$$

두 성분 표현에서는 바일 장 하나에 마요라나 질량을 쓸 수 있다. 예를 들어 왼손 카이랄성에서는

$${\mathcal{L}}_{m_M}=-\frac{1}{2}{m}_M\left({\chi }^{T}i{\sigma }^2\chi +{\chi }^{†}i{\sigma }^2{\chi }^{\ast }\right)$$

이는 $U(1)$ 수 대칭을 위반한다. 입자 $\leftrightarrow$ 반입자는 같은 대상이다. 디랙 질량과 마요라나 질량을 결합하면 시소 구조도 얻을 수 있다.

8.2A.4 자유도: 상태 수 세기

• 디랙: 질량껍질 위 상태 4개 = 스핀 2개 $\times$ (입자, 반입자)
• 마요라나: 질량껍질 위 상태 2개 = 스핀 2개. 다만 입자가 자기 자신의 반입자이다.
• 무질량 바일: 한 카이랄성에 연결된 질량껍질 위 상태 2개. 무질량 극한에서 헬리시티가 고정된다.

8.2A.5 두 성분에서 유용한 항등식

스피너 축약에는 ${ϵ}^{ab}$(${ϵ}^{12}=+1$)를 사용한다. 자주 쓰는 관계는

$${\sigma }^{\mu }{\bar{\sigma }}^{\nu }+{\sigma }^{\nu }{\bar{\sigma }}^{\mu }=2{\eta }^{\mu \nu }\mathbb{I},{\bar{\sigma }}^{\mu }{\sigma }^{\nu }+{\bar{\sigma }}^{\nu }{\sigma }^{\mu }=2{\eta }^{\mu \nu }\mathbb{I}$$

운동량 $p\cdot \sigma \equiv p_{\mu }{\sigma }^{\mu }$와 $p\cdot \bar{\sigma }\equiv p_{\mu }{\bar{\sigma }}^{\mu }$에 대해

$$(p\cdot \sigma )(p\cdot \bar{\sigma })=p^2\mathbb{I}$$

이 식들로 2성분 스피너와 4성분 스피너 대수 사이를 쉽게 오갈 수 있다.

8.2A.6 연습문제 모음

• 마요라나 질량이 같은 장의 보존되는 전역적 $U(1)$와 양립할 수 없음을 보여라.
• 위 두 성분 표현에서 디랙 질량항 $\bar{\psi }\psi$를 유도하라.
• $m=0$에서 헬리시티 연산자가 평면파 해에 대해 카이랄성과 같음을 증명하라.
• 단일 입자 상태를 명시적으로 구성하여 디랙 장과 마요라나 장의 물리적 자유도를 세어라.

요약: 바일 스피너는 최소한의 카이랄 구성 요소이다. 디랙 질량은 왼손과 오른손을 연결하고, 마요라나 질량은 장을 자신의 전하 켤레와 연결하여 $U(1)$ 수 보존을 없앤다. 두 성분으로 표현하면 자유도 계산이 간단해지고 많은 대칭성 논증이 명료해진다.

8.2B 이산 대칭 요약표: 스피너와 쌍선형식에 작용하는 $C$, $P$, $T$

이산 대칭성은 어떤 상호작용이 허용되는지 정리해 준다. 간결한 지도를 살펴보자. 아래 관례는 흔히 쓰는 디랙 기저의 위상 선택에 맞춘다. $T$는 반유니터리이다. 전체 부호는 위상 관례에 따라 달라질 수 있지만 패턴은 표준적이다.

8.2B.1 장에 대한 작용: 표준 관례 하나

• 공간 반전 $P$: $\psi (t,\mathbf{x})\to {\gamma }^0\psi (t,-\mathbf{x})$, $\bar{\psi }\to \bar{\psi }(t,-\mathbf{x}){\gamma }^0$
• 전하 켤레 변환 $C$: $\psi \to C{\bar{\psi }}^T$, $\bar{\psi }\to -{\psi }^T{C}^{-1}$이며 $C^{-1}{\gamma }^{\mu }C=-({\gamma }^{\mu }{)}^T$이다.
• 시간 반전 $T$: $\psi (t,\mathbf{x})\to i{\gamma }^1{\gamma }^3{\psi }^{\ast }(-t,\mathbf{x})$, 반유니터리 변환

8.2B.2 쌍선형식 사전과 변환 부호

쌍선형식을 정의하자.

• 스칼라 $S=\bar{\psi }\psi$
• 유사 스칼라 $P=i\bar{\psi }{\gamma }^5\psi$
• 벡터 $V^{\mu }=\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi$
• 축벡터 $A^{\mu }=\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^5\psi$
• 텐서 $T^{\mu \nu }=\bar{\psi }{\sigma }^{\mu \nu }\psi$이며 ${\sigma }^{\mu \nu }=\frac{i}{2}[{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }]$이다.

$C$, 즉 전하 켤레 변환 아래에서:

• $S$: 짝
• $P$: 짝
• $V^{\mu }$: 홀
• $A^{\mu }$: 짝
• $T^{\mu \nu }$: 홀

$P$, 즉 공간 반전 아래에서:

• $S$: 짝
• $P$: 홀
• $V^0$: 짝, $V^i$: 홀
• $A^0$: 홀, $A^i$: 짝
• $T^{0i}$: 홀, $T^{ij}$: 짝

$T$, 즉 시간 반전 아래에서: 반유니터리, 표준 관례

• $S$: 짝
• $P$: 홀
• $V^0$: 짝, $V^i$: 홀
• $A^0$: 짝, $A^i$: 홀
• $T^{0i}$: 짝, $T^{ij}$: 홀

타당성 확인: $CP$는 유사 스칼라 $P$를 홀로 변환하며, 이는 액시온과 $\theta$ 항에서 사용된다. $CPT$는 모든 로런츠 불변 국소 라그랑지안 밀도를 불변으로 유지한다.

8.2B.3 간단한 활용

• 모형의 항 구성: 함께 등장하는 모든 장을 포함한 완전히 축약된 연산자를 $CP$ 아래에서 분류하라. $S$, $V^{\mu }$, $P$ 또는 $A^{\mu }$가 있다는 사실만으로 전체 짝홀성이 정해지지는 않는다.
• 분광학: 쌍선형식을 보간 연산자로 사용하여 $J^{PC}$에 따라 전이를 분류한다.
• 전기 쌍극자 모멘트 검증: 전자의 전기 쌍극자 모멘트 연산자 $\bar{\psi }i{\sigma }^{\mu \nu }{\gamma }^5\psi F_{\mu \nu }$는 $P$와 $T$에 대해 홀이다. 따라서 $CP$ 위반을 $CPT$를 통해 명료하게 탐사한다.

8.2B.4 연습문제 모음

• $C$ 짝홀성을 $V^{\mu }$에 대해 $C^{-1}{\gamma }^{\mu }C=-({\gamma }^{\mu }{)}^T$를 사용하여 유도하라.
• $P$ 부호가 $V^0$와 $V^i$ 사이에서 바뀜을 명시적인 공간 반전으로 보여라.
• $T$의 반유니터리성, 즉 복소 켤레를 이용하여 유사 스칼라에 붙는 추가 부호를 추적하라.
• $C$, $P$, $T$ 성질을 $\bar{\psi }{\sigma }^{\mu \nu }{\gamma }^5\psi$에 대해 분류하고 쌍대 텐서 ${\tilde{F}}^{\mu \nu }$와 연결하라.

요약: 관례를 고정하면 $C$, $P$, $T$는 다섯 기본 쌍선형식에 예측 가능한 방식으로 작용한다. 이 표를 사용하면 어떤 연산자가 주어진 이산 대칭성을 지키거나 위반하는지 즉시 판단할 수 있다.

8.2C 양자 전기역학 꼭짓점과 워드 항등식: 한 페이지로 보는 게이지 불변성

최소 결합은 양자장론에서 전자기학을 놀랄 만큼 간단하게 만든다. 워드 항등식은 게이지 대칭이 비물리적인 편광 성분을 제거한다는 대수적 진술이다.

8.2C.1 최소 결합에서 파인먼 규칙으로

다음에서 출발하자.

$${\mathcal{L}}_{\text{QED}}=\bar{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }-m)\psi -\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu },D_{\mu }={\partial }_{\mu }+ie{A}_{\mu }$$

상호작용 항은

$${\mathcal{L}}_{\text{int}}=-e\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi A_{\mu }$$

따라서 광자 하나와 페르미온 선 두 개의 꼭짓점 인자는

$$-ie{\gamma }^{\mu }$$

외부 페르미온에는 항상 스피너 $u,\bar{u}$ 또는 $v,\bar{v}$가 붙고, 내부 선에는 보통의 전파 함수가 붙는다.

8.2C.2 나무 수준의 워드 항등식: 질량껍질 위

운동량 $q=p^{\prime }-p$인 외부 광자가 페르미온 선에 붙을 때 진폭 부분은 ${\mathcal{M}}^{\mu }=\bar{u}(p^{\prime }){\gamma }^{\mu }u(p)$이다. $q_{\mu }$와 축약하자.

$$q_{\mu }{\mathcal{M}}^{\mu }=\bar{u}(p^{\prime })(/p^{\prime }-/p)u(p)$$

$(/p-m)u(p)=0$와 $\bar{u}(p^{\prime })(/p^{\prime }-m)=0$를 대입하면

$$q_{\mu }{\mathcal{M}}^{\mu }=0$$

따라서 광자 편광 ${ϵ}^{\mu }$를 ${ϵ}^{\mu }+\alpha q^{\mu }$로 바꾸어도 진폭은 변하지 않는다. 게이지 불변성이 작동하는 모습이다.

8.2C.3 워드–다카하시 항등식: 완전한 그린 함수

나무 수준을 넘어 완전한 꼭짓점 ${\Gamma }^{\mu }(p^{\prime },p)$와 정확한 페르미온 전파 함수 $S(p)$에 대해

$$q_{\mu }{\Gamma }^{\mu }(p^{\prime },p)=S^{-1}(p^{\prime })-S^{-1}(p)$$

이 항등식은 전하 보존을 강제하고 재규격화 상수들을 연결한다. 양자 전기역학에서는 $Z_1=Z_2$이다. 또한 광자의 종방향 모드가 물리적인 $S$ 행렬 원소에 나타나지 않는 이유이다.

8.2C.4 편광 합과 게이지 선택

공변 게이지에서 광자 전파 함수

$$D_{\mu \nu }(k)=\frac{-i}{k^2+iϵ}\left[g_{\mu \nu }-(1-\xi )\frac{k_{\mu }{k}_{\nu }}{k^2}\right]$$

에는 게이지 매개변수 $\xi$가 들어 있다. 워드 항등식은 관측량에서 모든 $\xi$ 의존 항이 상쇄됨을 보장한다. 외부 실제 광자에서는 ${\sum }_{\lambda }{ϵ}_{\mu }^{(\lambda )}{ϵ}_{\nu }^{(\lambda )\ast }=-g_{\mu \nu }$를 사용할 수 있다. $q\cdot \mathcal{M}=0$ 덕분에 비물리적인 부분을 사영으로 제거할 수 있기 때문이다.

8.2C.5 간단한 풀이 예제

(a) 고전적 전류에 의한 전자 산란.
행렬 원소 ${\mathcal{M}}^{\mu }=\bar{u}(p^{\prime }){\gamma }^{\mu }u(p)$에 대해 위와 같이 $q_{\mu }{\mathcal{M}}^{\mu }=0$를 확인하라.

(b) 나무 수준의 $e^{-}{\mu }^{-}\to e^{-}{\mu }^{-}$.
두 페르미온 선의 전류 보존을 사용하여 광자 전파 함수의 종방향 부분이 진폭에 기여하지 않음을 보여라.

(c) 워드–다카하시 항등식에서 나오는 $Z_1=Z_2$.
$q_{\mu }{\Gamma }^{\mu }=S^{-1}(p^{\prime })-S^{-1}(p)$가 양자 전기역학에서 꼭짓점과 파동함수 재규격화의 동일성을 어떻게 뜻하는지 개략적으로 보여라.

8.2C.6 연습문제 모음

• ${\mathcal{L}}_{\text{QED}}$의 게이지 불변성에서 출발하여 임의의 나무 진폭에서 외부 광자에 대한 $q_{\mu }{\mathcal{M}}^{\mu }=0$를 유도하라.
• 시간 순서 곱 안의 전류 보존 또는 경로 적분의 원천 이동으로 워드–다카하시 항등식을 증명하라.
• 공변 게이지에서 콤프턴 산란을 계산하여 $\xi$ 항의 명시적 상쇄를 보여라.
• 각 외부 광자의 편광 벡터에 $q^{\mu }$에 비례하는 항을 더해도 모든 양자 전기역학 나무 진폭이 불변임을 보여라.

8.3 장의 경로 적분: 생성 범함수, 도표, 유클리드 기법

관점을 바꾸면 양자장론의 힘이 더욱 드러난다. 연산자를 시간 발전시키는 대신, 위상을 가중치로 하여 가능한 모든 장의 배치를 합한다. 이점은 크다. 상관 함수는 생성 범함수의 미분으로 나오고, 섭동론은 테일러 급수가 되며, 대칭성은 그린 함수 사이의 항등식으로 바뀐다. 이 절에서는 스칼라장 경우를 구성하고, 상호작용이 파인먼 규칙을 만드는 과정을 보며, 연결 및 1PI 범함수를 설명하고, 계산과 격자 이론에 필수적인 유클리드 회전을 수행한다.

단위 선택: 전체에서 자연 단위계 $\hslash =c=1$를 사용한다.

8.3.1 입자에서 장으로: 핵심 관점 복습

비상대론적 입자의 전이 진폭은 가중치 $e^{iS[x]}$를 가진 경로들의 합이다. 양자장론은 이를 ‘경로 $x(t)$’에서 ‘모든 곳의 장 $\varphi (x)$’으로 확장하고 합을 범함수 적분으로 바꾼다. 관측량은 장의 상관 함수이며 계산의 엔진은 생성 범함수이다.

8.3.2 자유 스칼라장: 한 번에 구하는 $Z[J]$

다음 작용을 가진 실수 클라인–고든 장을 생각하자.

$$S_0[\varphi ]=\int d^{4}x\left[\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2\right]$$

원천 $J(x)$를 도입하고 다음을 정의한다.

$$Z_0[J]\equiv \int \mathcal{D}\varphi \exp \left\{i\int d^{4}x\left[\frac{1}{2}\partial \varphi \cdot \partial \varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2+J\varphi \right]\right\}$$

다음을 만족하는 그린 함수 ${\Delta }_F$를 사용하여 완전제곱을 만든다.

$$(\square +m^2){\Delta }_F(x-y)=-i{\delta }^{(4)}(x-y)$$

가우스 적분은 다음을 준다.

$$Z_0[J]=Z_0[0]\exp \left[-\frac{1}{2}\int d^{4}x{d}^{4}yJ(x){\Delta }_F(x-y)J(y)\right]$$

자유 이론의 모든 상관 함수는 $J$에 대해 미분하여 얻는다.

8.3.3 상관 함수, 연결된 부분, 위크 정리

시간 순서화된 $n$점 함수는

$$G^{(n)}(x_1,\dots ,x_n)\equiv ⟨0|T\{\varphi (x_1)\cdots \varphi (x_n)\}|0⟩={\frac{1}{Z_0[0]}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta }{\delta J(x_1)}\right)\cdots \left(\frac{1}{i}\frac{\delta }{\delta J(x_n)}\right)Z_0[J]|}_{J=0}$$

다음을 정의하자.

$$W[J]\equiv -i\ln Z[J]$$

그러면 연결된 상관 함수는 $W$에서 나온다.

$$G_{\text{conn}}^{(n)}(x_1,\dots ,x_n)={i^{1-n}\frac{{\delta }^{n}W[J]}{\delta J(x_1)\cdots \delta J(x_n)}|}_{J=0}$$

자유 가우스 이론에서 위크 정리는 $n$점 함수가 2점 함수 ${\Delta }_F$의 곱들의 합이라고 말한다. 이차식의 지수함수가 정확히 만들어 내는 구조이다.

8.3.4 상호작용 켜기: ${\varphi }^4$와 도표 생성

사차항을 더하자.

$$S[\varphi ]=S_0[\varphi ]-\int d^{4}x\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4(x)$$

상호작용하는 생성 범함수는

$$Z[J]=\int \mathcal{D}\varphi \exp \left\{i{S}_0[\varphi ]+i\int d^{4}x\left[J\varphi -\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4\right]\right\}$$

상호작용을 자유 이론의 $Z_0[J]$에 작용하는 연산자로 다룬다.

$$Z[J]=\exp \left[-i\frac{\lambda }{4!}\int d^{4}x{\left(\frac{1}{i}\frac{\delta }{\delta J(x)}\right)}^4\right]Z_0[J]$$

지수함수를 전개하면 다음 규칙의 파인먼 도표를 얻는다.

• 전파 함수: 내부 선에 ${\Delta }_F(x-y)$ 또는 운동량 공간의 $i/(p^2-m^2+iϵ)$
• 꼭짓점: 인자 $-i\lambda$가 붙고 네 선이 만난다.
• 외부 다리: 원천을 붙인 뒤 $J=0$로 두어 절단되거나 연결된 구조를 얻는다.
• 대칭 인자: 각 도표의 자기동형에 대해 $1/S$

섭동론 전체가 몇 가지 규칙과 하나의 관점에 담긴다.

참고. 파인먼 도표에서:

• 화살표가 있는 직선은 전자나 양전자 같은 페르미온을 나타낸다.
  • 시간의 앞쪽을 가리키는 화살표: 전자
  • 시간의 뒤쪽을 가리키는 화살표: 양전자
• 물결선은 광자 또는 더 일반적으로 게이지 보손을 나타낸다.
• 꼭짓점은 선들이 만나는 상호작용 지점이다.
  • 양자 전기역학에서 각 꼭짓점은 전자–광자 결합을 나타내는 인자 $-ie{\gamma }^{\mu }$에 대응한다.

8.3.5 유효 작용과 1PI: 체계적인 정리 원리

고전장, 즉 평균장을 정의한다.

$${\varphi }_c(x)\equiv \frac{\delta W[J]}{\delta J(x)}$$

르장드르 변환으로 유효 작용을 얻는다.

$$\Gamma [{\varphi }_c]\equiv W[J]-\int d^{4}xJ(x){\varphi }_c(x)$$

여기서 $J$는 주어진 ${\varphi }_c$를 만들어 내도록 선택한다. 그러면

$$\frac{\delta \Gamma }{\delta {\varphi }_c(x)}=-J(x)$$

$J=0$로 두면 양자 운동 방정식 $\delta \Gamma /\delta {\varphi }_c=0$를 얻는다. 일정한 배경에서 $\Gamma$를 범함수 미분하면 1PI, 즉 한 입자 기약 꼭짓점이 생성된다. $\Gamma$를 고리 수로 전개하는 것은 체계적인 반고전 전개이다.

8.3.6 슈윙거–다이슨 방정식: 장 공간의 부분 적분

전체 범함수 미분은 적분 아래에서 0이므로

$$\int \mathcal{D}\varphi \frac{\delta }{\delta \varphi (x)}\left[\mathcal{F}[\varphi ]e^{iS[\varphi ]}\right]=0$$

스칼라 이론에서 $\mathcal{F}=\varphi (y)$를 선택하면

$$⟨T\left\{\left[\left({\square }_x+m^2\right)\varphi (x)+\frac{\lambda }{3!}{\varphi }^3(x)\right]\varphi (y)\right\}⟩=-i{\delta }^{(4)}(x-y)$$

더 일반적으로는 $n$점 함수를 더 높은 점 함수들과 연결하는 계층을 얻으며, 차수는 상호작용에 따라 결정된다. 운동량 공간에서는 완전한 전파 함수와 꼭짓점에 대한 정확한 적분방정식이 된다.

8.3.7 위크 회전: 유클리드 공간으로

실시간 적분은 진동하여 수치 계산을 어렵게 한다. 유클리드 시간 $t\to -i\tau$로 회전하자.

$$S_E[\varphi ]=\int d^4{x}_E\left[\frac{1}{2}({\partial }_{\mu }\varphi {)}^2+\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2+\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4\right]$$

가중치는 $e^{-S_E}$가 되고

$$Z_E[J]=\int \mathcal{D}\varphi \exp \left[-S_E[\varphi ]+\int d^4{x}_{E}J\varphi \right]$$

이제 $Z_E$는 통계적 분배 함수처럼 보인다. 격자 양자장론, 몬테카를로 표본 추출, 양자장론과 임계 현상을 연결하는 여러 개념으로 들어가는 문이다. 해석적 연속으로 결과를 민코프스키 시공간에 되돌린다.

8.3.8 경로 적분의 게이지장: 고정과 유령의 간단한 소개

게이지장 $A_{\mu }$에 대해 단순하게 쓴

$$Z=\int \mathcal{D}A{e}^{iS[A]}$$

은 물리적으로 동등한 배치를 중복해서 센다. 게이지 고정 델타 함수와 파데예프–포포프 행렬식을 삽입한다.

$$Z=\int \mathcal{D}A\mathcal{D}\bar{c}\mathcal{D}c\exp \left\{iS[A]+i{S}_{\text{gf}}[A]+i{S}_{\text{FP}}[\bar{c},c,A]\right\}$$

공변 게이지에서는

$$S_{\text{gf}}=-\frac{1}{2\xi }\int d^{4}x({\partial }_{\mu }{A}^{\mu }{)}^2$$

유령 작용은 행렬식에서 나온다. 숨은 전역 대칭인 BRST가 계산을 정리하고, 양자화 후에도 게이지 불변성을 지키는 워드 및 슬라브노프–테일러 항등식을 준다.

8.3.9 이 언어로 보는 재규격화와 정칙화

고리 적분은 발산한다. 차단값, 차원 정칙화, 파울리–빌라르스 등으로 정칙화한 뒤, $S$에 상쇄항을 추가하여 물리적인 $n$점 함수가 실험과 맞도록 재규격화한다. 경로 적분 관점에서는 다음이 명확하다.

• 상쇄항은 작용에 추가되는 국소적인 항일 뿐이다.
• 재규격화군은 척도에 따라 유효 작용이 어떻게 변하는지 추적한다.
• 카이랄 변칙 같은 변칙은 특정 변환 아래에서 측도가 불변이 아닌 것으로 나타난다. 이것이 후지카와 방법이다.

8.3.10 그림의 의미: $Z[J]$에서 나오는 규칙

• 비연결과 연결. $Z$는 모든 것을 생성하고 $W=-i\ln Z$는 비연결 부분을 제거한다.
• 절단과 1PI. $W$를 미분한 뒤 외부 전파 함수를 절단하면 산란 커널을 얻는다. $\Gamma$를 미분하면 1PI 꼭짓점을 직접 얻는다.
• 대칭 인자. 같은 원천 인자에 반복 미분이 작용하는 조합론이며, 도표 앞에 붙는 $1/S$이다.

8.3.11 간단한 풀이 예제

(a) 자유 가우스 이론 확인.
$Z_0[J]$에서 직접 다음을 보여라.

$$G^{(2)}(x,y)={\Delta }_F(x-y),G^{(4)}(x_1,\dots ,x_4)={\Delta }_{12}{\Delta }_{34}+{\Delta }_{13}{\Delta }_{24}+{\Delta }_{14}{\Delta }_{23}$$

여기서 ${\Delta }_{ij}\equiv {\Delta }_F(x_i-x_j)$이다.

(b) 0차원의 ${\varphi }^4$: 단순 모형.
다음에서 $\int \mathcal{D}\varphi$를 $\int d\varphi$로 바꾼다.

$$Z(J)={\int }_{-\infty }^{\infty }d\varphi \exp \left[i\left(\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4+J\varphi \right)\right]$$

$\lambda$로 전개하여 파인먼 도표 급수와 맞춰라. 시공간 없이 조합론만 남는다.

(c) ${\varphi }^4$의 1고리 올챙이 도표 골격.
연산자 전개 $\exp [-i(\lambda /4!)\int (\delta /i\delta J{)}^4]$에서 $O(\lambda )$ 차수의 $G^{(2)}$ 보정에는 다음이 포함된다.

$$\frac{-i\lambda }{2}\int d^{4}z{\Delta }_F(x-z){\Delta }_F(0){\Delta }_F(z-y)$$

이는 ${\Delta }_F(0)$의 자외선 발산을 보여 주며 질량 재규격화의 필요성을 드러낸다.

(d) 정상 위상을 통한 고전적 극한.
$S\to S/\hslash$로 척도를 바꾸고 $\hslash \to 0$로 보내자. $Z$의 지배적인 기여는 $\delta S/\delta \varphi =0$를 푸는 장에서 나오며 요동이 고리 전개를 만든다. ‘고리는 양자적이다’라는 말의 정확한 뜻이다.

(e) 변수 변환에서 나오는 워드 항등식.
전역 대칭 $\varphi \to \varphi +ϵ\delta \varphi$에서 측도와 작용의 불변성은 다음을 뜻한다.

$${\partial }_{\mu }⟨T\left\{J^{\mu }(x)\mathcal{O}[\varphi ]\right\}⟩=-i⟨T\left\{\delta \varphi (x)\frac{\delta \mathcal{O}[\varphi ]}{\delta \varphi (x)}\right\}⟩$$

이는 상관 함수 안의 전류 보존을 범함수로 표현한 것이다.

8.3.12 최소 연습문제 모음

• 완전제곱을 만들어 $Z_0[J]$를 유도하고 $Z_0[0]=1$를 요구하여 정규화를 정하라.
• $Z[J]$에서 출발하여 ${\varphi }^4$의 운동량 공간 파인먼 규칙을 얻고, 4점 함수의 1고리 ‘물고기’ 도표에 대한 대칭 인자를 확인하라.
• 연결된 2점 함수를 $-i{\delta }^{2}W/\delta J\delta J$로 계산하고 $W=-i\ln Z$가 비연결 부분을 제거함을 확인하라.
• ${\varphi }^4$에 대해 위크 회전을 주의 깊게 수행하여 $iS\to -S_E$와 $Z\to Z_E$를 보이고 전파 함수의 변화를 확인하라.
• 완전한 전파 함수 $G(x,y)$의 슈윙거–다이슨 방정식을 ${\varphi }^4$에서 쓰고 도표로 표현하라.
• $U(1)$ 게이지 이론에서 공변 게이지의 유령을 만드는 파데예프–포포프 절차를 개략적으로 설명하고 BRST 변환을 써라.

8.4 LSZ 환원과 산란 진폭

그린 함수는 이론에 유용하지만 실험은 단면적을 묻는다. 그 다리는 LSZ 환원 공식이다. 시간 순서화된 상관 함수의 외부 전파 함수를 절단하고 외부 다리를 질량껍질 위에 놓으면 $S$ 행렬 진폭 $\mathcal{M}$를 얻는다. 이 절에서는 스칼라와 페르미온의 LSZ, $Z$의 등장 방식, 위상 공간과 단면적, 간단한 예제, 그리고 광학 정리를 통한 유니터리성을 다룬다.

8.4.1 상관 함수에서 진폭으로: 핵심 관점

• 상관 함수: $G^{(n)}=⟨0|T\{\varphi \cdots \varphi \}|0⟩$
• 연결된 부분: $W=-i\ln Z$
• 절단: 외부 전파 함수를 제거한다.
• 질량껍질 극한: $p^2\to m^2$, 페르미온에서는 $/p\to m$
• 파동함수 재규격화: 단일 입자 극의 유수가 $Z$ 인자를 정의한다.

출력은 $\mathcal{M}$이며, 단면적에서 $|\mathcal{M}{|}^2$ 안에 들어가는 양이다.

8.4.2 극, 유수, $Z$ 인자

실수 스칼라장의 완전한 운동량 공간 2점 함수는 단일 입자 극 근처에서 다음처럼 행동한다.

$${\tilde{G}}^{(2)}(p)=\int d^{4}x{e}^{ip\cdot x}{G}^{(2)}(x)\sim \frac{i{Z}_{\varphi }}{p^2-m^2+iϵ}+\text{정칙항}$$

유수 $Z_{\varphi }$는 장으로부터 단일 입자 상태를 생성할 확률이다. 따라서 LSZ에서 각 외부 다리는 $Z_{\varphi }^{-1/2}$를 기여한다.

디랙 장에서도 마찬가지로

$$\tilde{S}(p)\equiv \int d^{4}x{e}^{ip\cdot x}⟨0|T\{\psi (x)\bar{\psi }(0)\}|0⟩\sim \frac{i{Z}_{\psi }(/p+m)}{p^2-m^2+iϵ}$$

8.4.3 스칼라 LSZ 환원: 입사 → 출사

중성 스칼라의 $n\to m$ 과정을 생각하되 질량은 $m$라고 하자. $G^{(n+m)}$를 완전한 시간 순서 상관 함수라고 하자. 절단된 질량껍질 위 진폭은

$$\mathcal{M}(\{p\}\to \{p^{\prime }\})=\left[\prod _{a=1}^n{Z}_{\varphi }^{-1/2}i\int d^4{x}_a{e}^{i{p}_a\cdot x_a}\left({\square }_{x_a}+m^2\right)\right]\left[\prod _{b=1}^m{Z}_{\varphi }^{-1/2}i\int d^4{y}_b{e}^{-i{p}_b^{\prime }\cdot y_b}\left({\square }_{y_b}+m^2\right)\right]G^{(n+m)}(\{x\};\{y\})$$

미분을 마친 뒤 모든 외부 운동량을 질량껍질 위에 놓아 $p_a^2=m^2$와 $(p_b^{\prime }{)}^2=m^2$를 적용한다. 푸리에 변환하면 운동량 보존이 전체 인자 $(2\pi {)}^4{\delta }^{(4)}(\sum p-\sum p^{\prime })$로 나타난다.

8.4.4 페르미온 LSZ: 스피너 포함

입사 페르미온과 출사 반페르미온에서는 스피너로 사영하고 디랙 연산자를 사용한다. 운동량 $p$인 입사 페르미온 하나와 운동량 $p^{\prime }$인 출사 페르미온 하나의 개략적인 형태는

$$\mathcal{M}\propto Z_{\psi }^{-1/2}\bar{u}(p^{\prime })\left[-i\int d^{4}y{e}^{-i{p}^{\prime }\cdot y}\left(i{\overleftarrow{/partial}}_y+m\right)\right]⟨0|T\{\psi (y)\cdots \bar{\psi }(x)\}|0⟩\left[i\int d^{4}x{e}^{ip\cdot x}\left(i/partia{l}_x-m\right)\right]Z_{\psi }^{-1/2}u(p)$$

모든 외부 연산자를 적용하고 질량껍질 극한을 취하면 표준 파인먼 규칙의 진폭을 재현한다. 외부 반페르미온에서는 $u\leftrightarrow v$와 $\psi \leftrightarrow \bar{\psi }$ 사영을 적절히 바꾼다.

8.4.5 ‘절단된 연결 그린 함수’가 중요한 이유

• 연결: $W=-i\ln Z$는 비연결 부분을 제거하여 상호작용하지 않는 구경꾼 입자를 중복 계산하지 않게 한다.
• 절단: 외부 전파 함수로 나누면 $\mathcal{M}$에 바로 들어가는 커널을 얻는다.
• 1PI와 연결의 관계: $\Gamma [{\varphi }_c]$에서 나온 1PI 꼭짓점을 완전한 전파 함수로 연결하여 절단된 연결 함수를 만든다.

‘도표를 그리고 외부 다리를 붙여 계산한다’는 절차의 대수적 바탕이다.

8.4.6 평면파, 파동 묶음, $iϵ$

엄밀히 LSZ는 파동 묶음을 사용하여 겹침 적분을 수렴시키고 상호작용을 단열적으로 켜고 끄는 과정에 의미를 부여한다. 실제 계산에서는 평면파를 사용하며 $iϵ$ 처방이 인과성을 유지하고 극을 올바른 쪽에 둔다.

8.4.7 위상 공간, 단면적, 붕괴율

$n_i\to n_f$ 산란에서 로런츠 불변 $n$체 위상 공간을 정의한다.

$$d{\Pi }_{n_f}(P;\{p_f\})=\left[\prod _{k=1}^{n_f}\frac{d^3{\mathbf{p}}_k}{(2\pi {)}^{3}2E_k}\right](2\pi {)}^4{\delta }^{(4)}\left(P-\sum _k{p}_k\right)$$

질량 중심계의 2체 산란은 다음 플럭스 인자를 가진다.

$$\mathcal{F}=4\sqrt{(p_1\cdot p_2{)}^2-m_1^2{m}_2^2}$$

미분 단면적은

$$d\sigma =\frac{|\mathcal{M}{|}^2}{\mathcal{F}}d{\Pi }_{n_f}$$

질량 $M$, 총운동량 $P$인 입자의 붕괴 폭은

$$d\Gamma =\frac{|\mathcal{M}{|}^2}{2M}d{\Pi }_{n_f}(P;\{p_f\})$$

필요에 따라 $|\mathcal{M}{|}^2$에 스핀 합과 초기 편광 평균을 적용한다.

8.4.8 유니터리성과 광학 정리

$S=1+iT$이고 $S^{†}S=\mathbb{I}$이면

$$2\mathrm{Im}{\mathcal{M}}_{i\to i}=\sum _X\int d{\Pi }_X|{\mathcal{M}}_{i\to X}{|}^2$$

전방 진폭의 허수부는 총단면적과 같다. 컷코스키 규칙은 고리를 잘라 도표 수준에서 이를 구현한다.

8.4.9 교차 대칭: 해석적 연속의 기초

진폭은 해석함수의 경계값이므로 입자를 초기 상태에서 최종 상태로 옮기는 것은 $p\to -p$의 해석적 연속에 대응한다. 하나의 같은 $\mathcal{M}$가 $s$, $t$, $u$ 채널을 담는다. 서로 다른 물리 과정은 서로 다른 운동학적 영역일 뿐이다.

8.4.10 간단한 예제

(a) 나무 수준의 ${\varphi }^4$, $2\to 2$

상호작용 ${\mathcal{L}}_{\text{int}}=-\lambda {\varphi }^4/4!$와 적절히 정규화된 외부 다리에 대해

$${\mathcal{M}}_{\text{tree}}(2\to 2)=-i\lambda$$

나무 수준에는 운동량 의존성이 없다. 1고리에서는 $s,t,u$ 로그와 상쇄항이 추가된다.

(b) 유카와 교환: 나무 수준의 $f\bar{f}\to f\bar{f}$

${\mathcal{L}}_{\text{int}}=-g\bar{\psi }\psi \varphi$에서 $t$ 채널의 스칼라 교환은

$$\mathcal{M}=(-ig{)}^2\bar{u}(p_3)u(p_1)\frac{i}{t-m_{\varphi }^2+iϵ}\bar{v}(p_2)v(p_4)$$

을 주며 $t=(p_3-p_1{)}^2$이다. 스핀 합은 쌍선형식을 대각합으로 바꾼다.

(c) 외부 다리에서의 양자 전기역학 전류 보존

광자가 페르미온 선에 붙으면

$$q_{\mu }\bar{u}(p^{\prime }){\gamma }^{\mu }u(p)=0$$

가 질량껍질 위에서 성립한다. 따라서 모든 나무 진폭에서 종방향 편광이 사라진다. 이것이 워드 항등식이다.

8.4.11 실용적인 정규화와 한 번쯤 잊는 인자

• 각 외부 스칼라 다리는 인자 $Z_{\varphi }^{-1/2}$를 기여한다. 각 외부 스피너는 $Z_{\psi }^{-1/2}$와 스피너 파동함수 $u$ 또는 $v$를 기여한다.
• 나무 수준을 넘어가면 내부 선에는 항상 완전한 전파 함수를 사용한다.
• 초기 스핀 및 편광 상태는 평균하고 최종 상태는 합한다.
• 위상 공간의 동일 입자 인자: $n!$로 나눈다. 이는 동일한 최종 보손이 $n$개일 때이다.

8.4.12 주의점: 무질량 양자와 적외선

질량이 없는 게이지 보손을 가진 이론에서는 엄밀한 포크 상태에 LSZ를 적용할 때 주의해야 한다. 연한 복사와 공선 복사는 배타적인 확률을 적외선에서 발산시키지만, 포괄적인 전이율은 KLN 정리에 따라 유한하다. 실제로는 검출기 분해능 아래의 연한 방출과 가상 보정을 함께 더한다.

8.4.13 간단한 풀이 예제

(1) 극 구조에서 스칼라 LSZ 유도하기.
$G^{(n+m)}$의 푸리에 변환에서 출발하여 단일 입자 극을 분리하고 유수 $Z_{\varphi }$를 읽은 뒤, $(\square +m^2)$를 작용하면 외부 전파 함수가 절단됨을 보여라.

(2) 접촉 ${\varphi }^4$ 산란의 단면적.
질량 중심계에서 동일한 질량 $m$와 $|\mathcal{M}{|}^2={\lambda }^2$에 대해

$$\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{{\lambda }^2}{64{\pi }^{2}s}\frac{|{\mathbf{p}}_f|}{|{\mathbf{p}}_i|}$$

여기서 $s=(p_1+p_2{)}^2$이며 질량이 같으면 $|{\mathbf{p}}_f|=|{\mathbf{p}}_i|$이다.

(3) ${\varphi }^4$의 1고리 광학 정리 확인.
$s$ 채널의 거품 도표를 택하라. 문턱 위에서 그 허수부는 나무 수준 진폭 제곱의 $2\to 2$ 위상 공간 적분과 같다.

(4) 페르미온 LSZ 사영 연산자.
$(i\overleftarrow{/partial}+m)$를 나가는 $\psi$ 선에 삽입하고 $\bar{u}(p^{\prime })$와 축약하면, $p^{\prime 2}=m^2$에서 보통의 외부 스피너 인자를 재현함을 보여라.

8.4.14 최소 연습문제 모음

• 정확한 2점 함수에서 출발하여 $Z_{\varphi }^{-1/2}(\square +m^2)G^{(n+m)}$가 스칼라 다리 하나를 절단함을 증명하고 $n+m$개의 다리로 반복하라.
• $e^{-}{\mu }^{-}\to e^{-}{\mu }^{-}$의 LSZ 공식을 쓰고 전파 함수와 꼭짓점으로 표준 양자 전기역학 나무 진폭을 재현하라.
• 질량 중심계의 2체 위상 공간 요소 $d{\Pi }_2$를 유도하고 적분하여 교과서적인 $2\to 2$ 총단면적을 얻어라. $\mathcal{M}$는 일정하다고 하라.
• 컷코스키 규칙으로 간단한 1고리 도표의 $\mathrm{Im}{\mathcal{M}}_{ii}$를 계산하고 광학 정리를 확인하라.
• 교차가 ${\varphi }^4$ $2\to 2$ 진폭을 $s$, $t$, $u$ 채널 사이에 어떻게 대응시키는지 외부 운동량의 해석적 연속으로 명시적으로 보여라.

8.5 재규격화: 발산, 상쇄항, 결합상수의 달림

고리 도표는 자외선에서 발산한다. 재규격화는 이 무한대를 다루고 물리적 매개변수를 정의하며 척도 의존성을 예측하는 방법이다. 이 절에서는 실수 스칼라 ${\varphi }^4$의 $d=4$ 이론이라는 친숙한 무대에서 절차를 수행한다. 상쇄항을 도입하고 차원 정칙화를 사용하여 $\beta$ 함수를 구하며 캘런–지만치크 방정식을 쓴다. 핵심은 결합상수가 달리고, 장이 이상 차원을 얻으며, 예측 표현은 재규격화 척도 $\mu$에 의존하지만 관측량은 그렇지 않다는 것이다.

8.5.1 거듭제곱 세기와 ‘재규격화 가능’의 의미

다음 실수 스칼라장을 생각하자.

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}({\partial }_{\mu }\varphi )({\partial }^{\mu }\varphi )-\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4$$

$d=4$에서 장의 질량 차원은 $[\varphi ]=1$이므로 $[\lambda ]=0$와 $[m^2]=2$이다. 피상적인 자외선 발산 차수 $D$는 고리 $L$개, 내부 선 $I$개, 사차 꼭짓점 $V_4$개인 도표에 대해

$$D=4L-2I$$

위상적 항등식을 사용하면 ${\varphi }^4$에서는 2점과 4점 진폭만 $d=4$에서 원시적으로 발산할 수 있음을 알 수 있다. 더 높은 $n$점 함수는 피상적으로 수렴한다. 이것이 ‘재규격화 가능’하다는 뜻이다.

8.5.2 상쇄항 라그랑지안과 재규격화 조건

맨양에는 모자 기호를 붙이고 유한한 재규격화 부분과 상쇄항으로 분리한다.

$${\varphi }_0=Z_{\varphi }^{1/2}\varphi ,m_0^2=m^2+\delta m^2,{\lambda }_0={\mu }^{ϵ}(\lambda +\delta \lambda )$$

차원 정칙화 $d=4-ϵ$와 척도 $\mu$를 도입하여 $\lambda$를 무차원으로 유지했다. 라그랑지안은

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{Z}_{\varphi }(\partial \varphi {)}^2-\frac{1}{2}(m^2+\delta m^2){\varphi }^2-\frac{1}{4!}(\lambda +\delta \lambda ){\varphi }^4$$

$Z_{\varphi }=1+\delta Z_{\varphi }$를 전개하면 상쇄항 라그랑지안을 얻는다.

$${\mathcal{L}}_{\text{ct}}=\frac{1}{2}\delta Z_{\varphi }(\partial \varphi {)}^2-\frac{1}{2}\delta m^2{\varphi }^2-\frac{1}{4!}\delta \lambda {\varphi }^4$$

재규격화 조건이 $\delta Z_{\varphi },\delta m^2,\delta \lambda$를 정한다. 흔한 선택은 두 가지이다.

• 질량껍질 방식(OS): 정확한 전파 함수의 극은 $p^2=m^2$에 있고 유수는 $1$이다. 지정한 운동학적 점에서 $4$점 $1\text{PI}$는 $\lambda$와 같다.
• 최소 감산(MS 또는 $\overline{\text{MS}}$): 상쇄항은 $1/ϵ$ 극만 제거한다. $\overline{\text{MS}}$에서는 일부 상수도 제거한다. 재규격화군 계산에 빠르고 편리하다.

8.5.3 1고리: 2점 올챙이 도표와 질량 재규격화

$1$고리 $2$점 도표는 올챙이이다. 차원 정칙화에서는

$$-i{\Sigma }_{\text{tad}}=\frac{-i\lambda }{2}\int \frac{d^{d}k}{(2\pi {)}^d}\frac{i}{k^2-m^2+iϵ}$$

계산하면

$${\Sigma }_{\text{tad}}=\frac{\lambda m^2}{32{\pi }^2}\left(\frac{2}{ϵ}-{\gamma }_E+\ln 4\pi +\ln \frac{{\mu }^2}{m^2}+1\right)+\text{유한항}$$

$\overline{\text{MS}}$에서는 극과 $-{\gamma }_E+\ln 4\pi$를 빼고 $\delta m^2$를 정의하여 재규격화된 자체 에너지를 유한하게 만든다. 1고리에서는 $\delta Z_{\varphi }=0$가 ${\varphi }^4$에서 성립한다. 파동함수 재규격화는 2고리부터 시작한다.

8.5.4 1고리: 4점 ‘물고기’와 결합상수 재규격화

$1$고리의 $4$점 $1\text{PI}$ 보정은 $s,t,u$ 채널의 물고기 도표에서 나온다. 외부 질량이 0이거나 대칭적인 유클리드 점에서 발산을 분리하면

$${\Gamma }_{\text{1-loop, div}}^{(4)}=-\frac{3{\lambda }^2}{16{\pi }^2}\frac{1}{ϵ}$$

따라서 $\overline{\text{MS}}$에서는

$$\delta \lambda =\frac{3{\lambda }^2}{16{\pi }^2}\frac{1}{ϵ}$$

인자 $3$는 $s,t,u$를 센다. 유한한 부분은 운동학과 재규격화 방식에 의존하지만 이 차수의 $\beta$ 함수에는 영향을 주지 않는다.

8.5.5 재규격화군과 $\beta$ 함수

맨매개변수는 $\mu$에 의존하지 않으므로 $\mu d{\lambda }_0/d\mu =0$이다. ${\lambda }_0={\mu }^{ϵ}{Z}_{\lambda }\lambda$와 $Z_{\lambda }=1+\delta \lambda /\lambda$를 사용하여 다음을 정의한다.

$$\beta (\lambda )\equiv \mu \frac{d\lambda }{d\mu }{|}_{{\lambda }_0},{\gamma }_{\varphi }(\lambda )\equiv \frac{1}{2}\mu \frac{d\ln Z_{\varphi }}{d\mu }{|}_{{\lambda }_0},{\gamma }_m(\lambda )\equiv \frac{1}{m^2}\mu \frac{d{m}^2}{d\mu }{|}_{{\lambda }_0}$$

실수 ${\varphi }^4$ 이론의 $d=4$에서 1고리 결과는

$$\beta (\lambda )=\frac{3}{16{\pi }^2}{\lambda }^2$$ $${\gamma }_{\varphi }(\lambda )=0+\mathcal{O}({\lambda }^2)$$ $${\gamma }_m(\lambda )=\frac{\lambda }{16{\pi }^2}+\mathcal{O}({\lambda }^2)$$

따라서 $\lambda$는 자외선에서 척도가 커질수록 증가한다. $d\lambda /d\ln \mu =\frac{3}{16{\pi }^2}{\lambda }^2$를 풀면

$$\lambda (\mu )=\frac{\lambda ({\mu }_0)}{1-\frac{3\lambda ({\mu }_0)}{16{\pi }^2}\ln \left(\frac{\mu }{{\mu }_0}\right)}$$

분모는 유한한 $\mu$에서 0이 될 수 있다. 이것이 란다우 극이며, 순수한 ${\varphi }^4$의 $d=4$ 이론이 그 자체로 자외선 완결적이지 않다는 신호이다.

8.5.6 캘런–지만치크 방정식과 척도 변환

$n$점 재규격화 그린 함수 $G^{(n)}$는 다음을 만족한다.

$$\left[\mu \frac{\partial }{\partial \mu }+\beta (\lambda )\frac{\partial }{\partial \lambda }-n{\gamma }_{\varphi }(\lambda )+{\gamma }_m(\lambda )m^2\frac{\partial }{\partial m^2}\right]G^{(n)}(x_1,\dots ,x_n;\lambda ,m,\mu )=0$$

이는 물리학이 임의적인 척도 $\mu$에 의존할 수 없다는 뜻이다. 이를 풀면 결합상수와 질량을 관련 척도로 달리게 하여 큰 로그 $\ln (p/\mu )$를 재합산한다.

8.5.7 방식 의존성과 관측량

재규격화 방식을 바꾸면 $\lambda (\mu )$의 수치는 달라진다. 그러나 정확한 이론의 $S$ 행렬 원소와 측정 가능한 전이율은 방식에 무관하다. 일관되게 맞춘 유한 차수의 결과는 생략한 고차항에서만 차이가 난다. 널리 쓰는 선택은

• 질량껍질 방식: 직관적이지만 1고리를 넘으면 복잡하다.
• $\overline{\text{MS}}$: 단순한 극을 제거하므로 대수가 깔끔하며 재규격화군 계산의 기본 선택이다.

유한한 재정의 $\lambda \to \lambda +c_1{\lambda }^2+\cdots$로 방식 사이를 변환할 수 있다.

8.5.8 이상 차원과 장 세기

${\gamma }_{\varphi }=0$가 ${\varphi }^4$의 1고리에서 성립하지만, 일반적으로 장은 이상 차원을 얻는다. 그러면 상관 함수의 거듭제곱 척도 의존성이 ${\gamma }_{\varphi }$에 의해 보정된다. 고정점 $\beta =0$의 등각 이론에서 연산자 차원은 등각장론 데이터로 결정되는 고전 차원 + 이상 차원이다.

8.5.9 자외선과 적외선, 로그 발산과 거듭제곱 발산

차원 정칙화는 이차 발산을 극과 질량 의존성으로 바꾸어 대칭성을 깔끔하게 유지한다. 자외선 발산은 $1/ϵ$ 극으로 나타나고, 질량이 0이면 적외선 발산도 별도의 극으로 나타난다. 좋은 습관은 다음과 같다.

• 게이지 이론과 재규격화군에는 차원 정칙화를 사용한다.
• 질량이 0일 때에는 적외선 정칙화 인자를 유지하고, 포괄적 관측량을 만든 뒤 제거한다.

8.5.10 간단한 풀이 예제

(a) $\overline{\text{MS}}$의 올챙이 도표

다음을 선택하면

$$\delta m^2=\frac{\lambda m^2}{32{\pi }^2}\left(\frac{2}{ϵ}\right)$$

${\Sigma }_{\text{tad}}$의 자외선 극이 $\overline{\text{MS}}$에서 상쇄됨을 보이고 남는 유한한 자체 에너지를 써라.

(b) 상쇄항 대수에서 나오는 1고리 $\beta$

${\lambda }_0={\mu }^{ϵ}(\lambda +\delta \lambda )$와 $\delta \lambda =\frac{3{\lambda }^2}{16{\pi }^2}\frac{1}{ϵ}$에서 출발하여 $d{\lambda }_0/d\mu =0$를 요구하고 $\beta (\lambda )=\frac{3}{16{\pi }^2}{\lambda }^2$를 유도하라.

(c) 달리는 결합상수와 란다우 극

$\lambda ({\mu }_0)=0.1$가 ${\mu }_0=m$에서 주어졌을 때 분모가 0이 되는 척도를 찾고 물리적으로 해석하라.

(d) 대칭점 재규격화

$\lambda$를 $1\text{PI}$ $4$점 함수의 $s=t=u=-{\mu }^2$에서의 값으로 정의하라. $\mu$를 바꾸면 $\lambda$가 같은 1고리 $\beta$에 따라 이동함을 보여라.

(e) $G^{(2)}$의 캘런–지만치크 방정식

$G^{(2)}(p^2)$의 운동량 공간 방정식을 쓰고 1고리의 ${\gamma }_{\varphi }=0$를 사용하여, 재규격화군으로 개선한 전파 함수를 풀어 선도 로그를 합산하라.

8.5.11 최소 연습문제 모음

• 차원 정칙화로 물고기 도표의 1고리 계산을 수행하고 극을 추출하라.
• 자체 에너지의 운동량 의존성을 조사하여 1고리에서 $\delta Z_{\varphi }=0$임을 보여라.
• ${\gamma }_m$를 1고리에서 상쇄항 $\delta m^2$로부터 계산하고 위 결과를 확인하라.
• 캘런–지만치크 방정식에서 출발하여 큰 운동량의 $n$점 함수가 큰 운동량 척도에서 평가한 달리는 결합상수에 의해 지배됨을 보여라.
• 질량껍질 방식과 $\overline{\text{MS}}$ 방식의 $\lambda$ 정의를 1고리에서 비교하고 유한한 변환을 유도하라.

8.6 비가환 게이지장과 양–밀스 이론

전자기학은 가환적인 $U(1)$ 게이지 이론으로, 게이지장들이 서로 직접 상호작용하지 않는다. 표준 모형은 게이지 보손이 전하를 가지고 자체 상호작용하는 비가환 게이지 대칭을 사용한다. 이 절에서는 양–밀스 이론을 구성하고 물질과 결합하며, 게이지 고정과 유령으로 양자화한다. 이어 BRST 대칭, 윌슨 선, 점근 자유성의 바탕인 1고리 $\beta$ 함수를 살펴본다.

8.6.1 게이지군, 생성자, 공변 미분

$G$를 콤팩트 리 군으로 두고 어떤 표현의 생성자 $T^a$가 다음을 만족한다고 하자.

$$[T^a,T^b]=i{f}^{abc}{T}^c$$

색 대수는 다음과 같이 정규화한다.

$$\mathrm{tr}(T^a{T}^b)=T_R{\delta }^{ab},T^a{T}^a=C_F\mathbb{I},f^{acd}{f}^{bcd}=C_A{\delta }^{ab}$$

$G=SU(N)$의 기본 표현에서는 $T_R=\frac{1}{2}$, $C_F=\frac{N^2-1}{2N}$, $C_A=N$이다.

물질장 $\psi$는 $\psi \to U(x)\psi$로 변환하며 $U(x)\in G$이다. 공변 미분은

$$D_{\mu }\equiv {\partial }_{\mu }+ig{A}_{\mu }^a{T}^a$$

이므로 $D_{\mu }\psi$는 $\psi$처럼 변환한다. 비가환 장 세기는 교환자에서 나온다.

$$[D_{\mu },D_{\nu }]=ig{F}_{\mu \nu }^a{T}^a$$

여기서

$$F_{\mu \nu }^a={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^a-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }^a+g{f}^{abc}{A}_{\mu }^b{A}_{\nu }^c$$

8.6.2 양–밀스 라그랑지안과 운동 방정식

디랙 물질을 포함한 양–밀스 작용은

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{YM}+\mathrm{mat}}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }^a{F}^{a\mu \nu }+\bar{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }-m)\psi$$

매개변수 ${\alpha }^a(x)$를 가진 무한소 게이지 변환은 다음과 같이 작용한다.

$$\delta \psi =ig{\alpha }^a{T}^a\psi ,\delta A_{\mu }^a=-\frac{1}{g}(D_{\mu }\alpha {)}^a$$

양–밀스 운동 방정식은

$$(D_{\mu }{F}^{\mu \nu }{)}^a=g\bar{\psi }{\gamma }^{\nu }{T}^a\psi$$

이며 비앙키 항등식 $D_{[\mu }{F}_{\nu \rho ]}=0$도 성립한다.

3글루온 및 4글루온 상호작용. $F^2$를 전개하면 삼차 $\sim g{f}^{abc}(\partial A)AA$와 사차 $\sim g^2{f}^{abe}{f}^{cde}{A}^a{A}^b{A}^c{A}^d$ 자체 상호작용이 나타난다. 양자 전기역학에는 없는 항이다.

8.6.3 게이지 고정, 유령, 전파 함수

$A_{\mu }$를 경로 적분하면 게이지적으로 동등한 배치를 중복해서 센다. 공변 게이지에서는 다음을 추가한다.

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{gf}}=-\frac{1}{2\xi }({\partial }_{\mu }{A}^{a\mu }{)}^2$$

그리고 파데예프–포포프 유령장 $c^a,{\bar{c}}^a$에 대해

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{FP}}=({\partial }_{\mu }{\bar{c}}^a)(D^{\mu }c{)}^a$$

유령은 고리 안에서만 나타나는 반교환 스칼라이다. 운동량 공간의 글루온 전파 함수는

$${\tilde{D}}_{\mu \nu }^{ab}(k)=\frac{-i{\delta }^{ab}}{k^2+iϵ}\left[g_{\mu \nu }-(1-\xi )\frac{k_{\mu }{k}_{\nu }}{k^2}\right]$$

유령 전파 함수는 $i{\delta }^{ab}/(k^2+iϵ)$이다. 파인먼 게이지는 $\xi =1$이고 란다우 게이지는 $\xi =0$이다.

8.6.4 한눈에 보는 BRST 대칭

게이지 고정은 게이지 대칭을 깨지만, 멱영 미분 $s$가 생성하는 전역적인 BRST 불변성을 남긴다.

$$s{A}_{\mu }^a=(D_{\mu }c{)}^a,s{c}^a=-\frac{g}{2}{f}^{abc}{c}^b{c}^c,s{\bar{c}}^a=\frac{1}{\xi }{\partial }_{\mu }{A}^{a\mu },s\psi =ig{c}^a{T}^a\psi$$

모든 장에 대해 $s^2=0$이다. 게이지 고정된 작용 ${\mathcal{L}}_{\mathrm{YM}}+{\mathcal{L}}_{\mathrm{gf}}+{\mathcal{L}}_{\mathrm{FP}}$는 BRST 불변이다. 물리적 상태는 BRST 코호몰로지, 즉 닫혔으나 완전하지 않은 상태에 속한다. 이는 비물리적인 편광과 유령의 분리를 강제한다.

8.6.5 파인먼 규칙과 색 인자

꼭짓점 목록: 모든 운동량은 들어오는 방향이다.

• 글루온–글루온–글루온
  꼭짓점 $-g{f}^{abc}[g^{\mu \nu }(k-p{)}^{\rho }+g^{\nu \rho }(p-q{)}^{\mu }+g^{\rho \mu }(q-k{)}^{\nu }]$

• 4글루온
  $-i{g}^2[f^{abe}{f}^{cde}(g^{\mu \rho }{g}^{\nu \sigma }-g^{\mu \sigma }{g}^{\nu \rho })+\text{순환 치환 항}]$

• 글루온–유령–유령
  $-g{f}^{abc}{k}_{\mu }$이며 $k$는 유령에서 반유령 방향으로 꼭짓점에 들어간다.

• 글루온–페르미온–페르미온
  $-ig{\gamma }^{\mu }{T}^a$

색 대수의 간편한 관계는

$$T_{ij}^a{T}_{kl}^a=T_R\left({\delta }_{il}{\delta }_{jk}-\frac{1}{N}{\delta }_{ij}{\delta }_{kl}\right)\text{조건:}SU(N)$$

그리고

$$\sum _a(T^a{T}^a{)}_{ij}=C_F{\delta }_{ij}$$

이는 진폭을 제곱하고 색을 합할 때 나타난다.

8.6.6 윌슨 선, 고리, 게이지 불변 관측량

경로 $\mathcal{C}$를 따른 평행 이동은 윌슨 선을 사용한다.

$$W(\mathcal{C})=\mathcal{P}\exp \left(ig{\int }_{\mathcal{C}}{A}_{\mu }^a{T}^{a}d{x}^{\mu }\right)$$

닫힌 고리 $\mathrm{tr}W(\mathcal{C})$는 게이지 불변이다. 비섭동 영역에서는 큰 직사각형 고리의 면적 법칙과 둘레 법칙을 비교하여 가둠을 진단한다. 섭동론에서 윌슨 선은 연한 글루온 효과를 재합산한다.

8.6.7 베타 함수와 점근 자유성

기본 표현의 디랙 페르미온 $n_f$개와 복소 스칼라 $n_s$개가 있을 때 1고리에서

$$\beta (g)\equiv \mu \frac{dg}{d\mu }=-\frac{g^3}{16{\pi }^2}\left(\frac{11}{3}{C}_A-\frac{4}{3}{T}_R{n}_f-\frac{1}{3}{T}_R{n}_s\right)$$

양자 색역학($SU(3)$, $T_R=\frac{1}{2}$, $n_s=0$)에서는

$$\beta (g)=-\frac{g^3}{16{\pi }^2}\left(11-\frac{2}{3}{n}_f\right)$$

음의 $\beta$는 높은 척도에서 결합상수가 감소하는 점근 자유성을 뜻한다. 조건은 $n_f<17$이며 이는 $SU(3)$에 해당한다. 반대로 적외선에서는 결합이 커져 가둠을 암시한다.

8.6.8 위상적 항과 $CP$

$-\frac{1}{4}{F}^2$ 외에도 로런츠 불변이면서 게이지 불변인 밀도

$${\mathcal{L}}_{\theta }=\theta \frac{g^2}{32{\pi }^2}{F}_{\mu \nu }^a{\tilde{F}}^{a\mu \nu },{\tilde{F}}^{\mu \nu }\equiv \frac{1}{2}{ϵ}^{\mu \nu \rho \sigma }{F}_{\rho \sigma }$$

는 고전적으로 전미분이지만 자명하지 않은 게이지 다발을 통해 양자 물리학에 영향을 준다. 축약된 위상적 밀도는 $C$에 대해 짝이고 $P$, $T$, $CP$에 대해 홀이다. 가환 및 비가환 게이지장 모두에 해당한다. 변칙과 위상은 §8.10에서 다시 다룬다.

8.6.9 간단한 풀이 예제

(a) 3글루온 꼭짓점 유도하기.
$-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }^a{F}^{a\mu \nu }$를 전개하여 $A$의 삼차항을 남기고 운동량 공간 규칙을 읽어라.

(b) $q\bar{q}\to q^{\prime }{\bar{q}}^{\prime }$의 색 인자.
입사 색에 대해 평균하면 전체 인자 $T_R^2$와 페르미온 선의 $C_F$ 대각합이 나옴을 보여라.

(c) 글루온 자체 에너지의 유령 고리.
부호와 텐서 구조를 계산하라. 글루온 고리와 유령 고리의 합이 횡방향이며 $k_{\mu }{\Pi }^{\mu \nu }(k)=0$임을 확인하라.

(d) $A_{\mu }$에 대한 BRST 멱영성.
$s{A}_{\mu }^a=(D_{\mu }c{)}^a$와 $s{c}^a=-\frac{g}{2}{f}^{abc}{c}^b{c}^c$를 사용하고 야코비 항등식으로 $s^2{A}_{\mu }^a=0$를 보여라.

(e) 1고리 $\beta$의 부호.
글루온 2점 함수에 기여하는 도표를 세어 합하라. 글루온 고리 $\propto +\frac{11}{3}{C}_A$, 페르미온 고리 $\propto -\frac{4}{3}{T}_R{n}_f$, 스칼라 고리 $\propto -\frac{1}{3}{T}_R{n}_s$이다.

8.6.10 최소 연습문제 모음

• $D_{\mu }$에서 출발하여 $F_{\mu \nu }$를 유도하고 비앙키 항등식 $D_{[\mu }{F}_{\nu \rho ]}=0$를 증명하라.
• 양–밀스 이론을 공변 게이지에서 양자화하고 유령을 포함한 전체 파인먼 규칙을 써라.
• 슬라브노프–테일러 항등식이 재규격화된 글루온 전파 함수의 횡방향성과 쿼크–글루온 꼭짓점에서 전하의 보편성을 강제함을 보여라.
• 직사각형의 윌슨 고리를 $g^2$ 차수에서 계산하고 그 로그에서 쿨롱 퍼텐셜을 해석하라.
• 유효 작용의 게이지 불변성을 명시적으로 유지하는 배경장 게이지를 사용해 1고리 $\beta$ 함수를 유도하라.

8.7 실제 양자 전기역학: 핵심 과정, 1고리의 특징, $\alpha$의 달림

양자 전기역학은 입자 물리학의 정밀 실험실이다. 정밀하게 검증된 게이지 이론이며, 대칭성이 논쟁을 해결하고 수치가 12자리 이상 일치한다. 이 절에서는 도구들을 실제로 사용한다. 나무 수준 산란, 적외선 안전성이 구현되는 방식, 1고리가 만드는 진공 편극·꼭짓점 보정·전자 자체 에너지, 그리고 전하가 척도에 따라 달리는 이유를 살펴본다.

관례: 자연 단위계($\hslash =c=1$). 계량 $g_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(+,-,-,-)$. 전자 전하 $e>0$이므로 전자는 $-e$를 가진다. 미세 구조 상수는 $\alpha \equiv e^2/4\pi$이다.

8.7.1 라그랑지안, 장, 워드 항등식: 복습

양자 전기역학 라그랑지안은

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{QED}}=\bar{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }-m)\psi -\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu },D_{\mu }={\partial }_{\mu }+ie{A}_{\mu }$$

게이지 불변성 $\psi \to e^{i\alpha (x)}\psi$, $A_{\mu }\to A_{\mu }-{\partial }_{\mu }\alpha /e$는 전류 보존과 워드–다카하시 항등식을 뜻한다.

$$q_{\mu }{\Gamma }^{\mu }(p^{\prime },p)=S^{-1}(p^{\prime })-S^{-1}(p)$$

이는 꼭짓점과 파동함수 재규격화가 같다는 $Z_1=Z_2$를 강제하고 진폭의 종방향 광자 부분을 제거한다.

8.7.2 실제로 사용하는 파인먼 규칙

• 페르미온 전파 함수: $i(/p+m)/(p^2-m^2+iϵ)$
• 광자 전파 함수: 공변 게이지

$$\frac{-i}{k^2+iϵ}\left[g_{\mu \nu }-(1-\xi )\frac{k_{\mu }{k}_{\nu }}{k^2}\right]$$

• 꼭짓점: $-ie{\gamma }^{\mu }$
• 외부 선: $u,\bar{u},v,\bar{v}$ 스피너. 광자 편광은 ${ϵ}^{\mu }$이며 물리적 게이지에서 $q\cdot ϵ=0$이다.

8.7.3 교과서적인 나무 도표: $e^{+}{e}^{-}\to {\mu }^{+}{\mu }^{-}$

$s$ 채널의 광자 하나에 대해

$$\mathcal{M}=\bar{v}(p_2)(-ie{\gamma }^{\mu })u(p_1)\frac{-i{g}_{\mu \nu }}{s}\bar{u}(k_1)(-ie{\gamma }^{\nu })v(k_2)$$

질량 중심계에서 $m_e,m_{\mu }\approx 0$이면

$$\overline{|\mathcal{M}{|}^2}=e^4(1+{\cos }^2\theta )$$

미분 단면적은

$$\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{{\alpha }^2}{4s}(1+{\cos }^2\theta )$$

총단면적은

$$\sigma (e^{+}{e}^{-}\to {\mu }^{+}{\mu }^{-})=\frac{4\pi {\alpha }^2}{3s}$$

이는 R 비율의 기준값이다. $\mu$를 ${\sum }_q{Q}_q^2$에 색 인자를 곱한 값으로 바꾸면 쿼크 생성 문턱을 관측하는 데 사용한다.

8.7.4 바바와 묄러 산란: 동일한 전하와 $t$ 채널

• 바바($e^{+}{e}^{-}\to e^{+}{e}^{-}$): $s$ 채널 $+$ $t$ 채널이 간섭한다. 작은 각도에서는 $t$ 채널이 지배하여 $\sim 1/{\theta }^4$이며, 이를 충돌 광도 감시에 사용한다.
• 묄러($e^{-}{e}^{-}\to e^{-}{e}^{-}$): $t$와 $u$에 페르미 통계의 음의 부호가 붙으며, 역시 전방에서 강하게 나타난다.

둘 다 스피너 대각합과 간섭을 연습하기에 좋은 예이다. 스핀 평균과 합을 잊지 말고, 필요하면 동일 입자 인자 $1/2!$를 고려하라.

8.7.5 콤프턴 산란: $e\gamma \to e\gamma$

s채널과 u채널의 두 도표가 있다. 스핀 합을 계산하면 클라인–니시나 공식이 나온다. 전자 정지계에서 입사 광자 에너지가 $\omega$이고 산란각이 $\theta$이면

$$\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{r_e^2}{2}{\left(\frac{{\omega }^{\prime }}{\omega }\right)}^2\left(\frac{{\omega }^{\prime }}{\omega }+\frac{\omega }{{\omega }^{\prime }}-{\sin }^2\theta \right)$$

고전적 반지름 $r_e=e^2/4\pi m$를 사용하며

$${\omega }^{\prime }=\frac{\omega }{1+\frac{\omega }{m}(1-\cos \theta )}$$

저에너지 극한 $\omega \ll m$에서는 톰슨 산란 $d\sigma /d\Omega =r_e^2(1+{\cos }^2\theta )/2$를 얻는다.

8.7.6 모트 산란: 쿨롱 장에 의한 전자 산란

외부 전하 $Z$에 의한 한 광자 교환 산란은 모트 단면적을 준다.

$${\left(\frac{d\sigma }{d\Omega }\right)}_{\mathrm{Mott}}={\left(\frac{Z\alpha }{2p{\sin }^2\frac{\theta }{2}}\right)}^2{\cos }^2\frac{\theta }{2}$$

러더퍼드 산란과 비교하면 상대론적 스핀 효과가 ${\cos }^2\frac{\theta }{2}$ 인자로 나타난다.

8.7.7 적외선 물리학: 연한 광자와 KLN 안전성

광자를 포함한 가상 1고리 도표는 적외선 발산을 일으키며, 에너지 $\omega <\Delta E$인 연한 광자의 실제 방출도 그렇다. 블로흐–노르트시크/KLN 정리에 따르면 검출기 분해능을 고정한 가상 + 실제 기여는 유한하다. 임의의 $2\to 2$ 양자 전기역학 과정에서 기본 구조는

• 가상 연한 보정 $\propto \alpha {\ln }^2\left(\frac{\lambda }{E}\right)$ 또는 $\alpha \ln \lambda$. 적외선 정칙화 인자는 $\lambda$이다.
• 실제 연한 방출 $\propto -$에는 $\lambda \to \Delta E$와 함께 같은 로그가 나타난다.
• 합: 정칙화 인자는 상쇄되고 남는 $\ln (E/\Delta E)$는 물리적이다. 무엇을 ‘관측했다’고 셀지에 의존한다.

실용적인 규칙은 다음 차수(NLO)를 계산할 때 측정 조건에 맞는 연한 및 공선 실제 광자 영역을 항상 더하는 것이다.

8.7.8 1고리 자체 에너지와 재규격화의 모습

전자 자체 에너지 $\Sigma (/p)$는 질량과 파동함수를 재규격화한다. $\overline{\mathrm{MS}}$에서 1고리 결과는

$$\Sigma (/p)=\frac{\alpha }{4\pi }\left[\left(\frac{1}{ϵ}-{\gamma }_E+\ln 4\pi \right)(-/p+4m)+\cdots \right]$$

진공 편극, 즉 광자 자체 에너지는 다음 텐서 구조를 가진다.

$${\Pi }_{\mu \nu }(q)=\left(q_{\mu }{q}_{\nu }-q^2{g}_{\mu \nu }\right)\Pi (q^2)$$

게이지 불변성은 횡방향성 $q^{\mu }{\Pi }_{\mu \nu }=0$를 강제한다. 질량 $m$인 페르미온의 1고리에서는

$$\Pi (q^2)=\frac{\alpha }{3\pi }\left(\frac{1}{ϵ}-{\gamma }_E+\ln 4\pi -\ln \frac{m^2}{{\mu }^2}\right)+\text{유한항}(q^2/m^2)$$

꼭짓점 보정 ${\Gamma }^{\mu }={\gamma }^{\mu }{F}_1(q^2)+\frac{i{\sigma }^{\mu \nu }{q}_{\nu }}{2m}{F}_2(q^2)$는 이상 자기 모멘트 $a_e=F_2(0)$를 만든다.

슈윙거의 1고리 결과는

$$a_e=\frac{\alpha }{2\pi }$$

더 높은 고리는 작은 자릿수를 계속 더하며 실험도 이를 계속 확인한다.

8.7.9 전자기 결합상수의 달림

진공 편극은 광자를 둘러싸는 보정을 만들고 유효 전하를 척도 의존적으로 만든다. 다음을 정의하자.

$$\alpha (q^2)=\frac{\alpha ({\mu }^2)}{1-\Delta \alpha (q^2,{\mu }^2)}$$

전하 $Q_f$, 질량 $m_f$인 페르미온의 선도 차수에서

$$\Delta \alpha (q^2,{\mu }^2)=\frac{\alpha }{3\pi }{Q}_f^2\ln \left(\frac{q^2}{{\mu }^2}\right)+\cdots$$

해당 척도까지의 모든 하전 입자 종을 합하면 $\alpha$가 완만하게 증가한다. ${\alpha }^{-1}\approx 137$라는 $q^2\approx 0$에서의 값에서 ${\alpha }^{-1}\approx 128$라는 $Z$ 극 근처 값으로 변한다. 이는 직관을 위한 수치이며 세부 사항은 강입자 진공 편극에 의존한다.

8.7.10 편광 합, 게이지 선택, 타당성 확인

• 공변 게이지의 내부 광자에는 완전한 전파 함수를 유지한다. 워드 항등식은 관측량에서 $\xi$가 상쇄됨을 보장한다.
• 외부 실제 광자에는 다음을 사용할 수 있다.

$$\sum _{\lambda }{ϵ}_{\mu }^{(\lambda )}(q){ϵ}_{\nu }^{(\lambda )\ast }(q)=-g_{\mu \nu }$$

각 결합 전류에 대해 $q_{\mu }{\mathcal{M}}^{\mu }=0$를 증명한 뒤에 적용한다.

• 스핀 합에는 다음 표준 대각합을 사용한다.

$$\sum _s{u}^s(p){\bar{u}}^s(p)=/p+m,\sum _s{v}^s(p){\bar{v}}^s(p)=/p-m$$

8.7.11 간단한 풀이 예제

(a) $e^{+}{e}^{-}\to {\mu }^{+}{\mu }^{-}$ 대각합 연습
$\overline{|\mathcal{M}{|}^2}$를 $\gamma$ 행렬의 대각합으로 계산하고 $(1+{\cos }^2\theta )$를 확인하라.

(b) 연한 광자 인자화
연한 극한에서 $n\to m+{\gamma }_{\mathrm{soft}}$ 진폭이 다음과 같이 인자화됨을 보여라.

$${\mathcal{M}}_{\mathrm{soft}}={\mathcal{M}}_0\left[e\sum _{i\in \text{전하를 띤 외부 선}}{\eta }_i\frac{p_i\cdot ϵ}{p_i\cdot q}\right]$$

여기서 ${\eta }_i=\pm 1$는 나가는 전하와 들어오는 전하에 대응한다.

(c) 1고리 $a_e$ 개요
꼭짓점을 ${\sigma }^{\mu \nu }$에 $q^2\to 0$에서 사영하고 파인먼 매개변수를 적분하여 $F_2(0)=\alpha /2\pi$를 얻어라.

(d) 진공 편극과 $\alpha (q^2)$
$\Pi (q^2)$를 극한 $|q^2|\gg m^2$에서 계산하고 $\alpha$ 달림의 선도 로그를 유도하라.

(e) 콤프턴 산란의 저에너지 극한
나무 진폭을 $\omega \ll m$에서 전개하고 톰슨 단면적을 얻어라.

8.7.12 최소 연습문제 모음

• 무질량 극한에서 바바 미분 단면적을 나무 수준으로 유도하고 $s\leftrightarrow t$ 대칭과 작은 각도 거동을 확인하라.
• 두 도표로 클라인–니시나 공식을 계산하고 톰슨 극한을 보여라.
• $e^{+}{e}^{-}\to {\mu }^{+}{\mu }^{-}$의 NLO에서 가상 기여와 실제 연한 기여 사이의 적외선 정칙화 인자가 상쇄되고 $\ln (E/\Delta E)$가 남음을 보여라.
• 워드–다카하시 항등식을 사용하여 차원 정칙화의 1고리에서 $Z_1=Z_2$를 증명하라.
• 재규격화된 광자 전파 함수에서 톰슨 극한 및 무거운 페르미온 문턱 근처의 유효 전하를 구하고 분리와 정합의 차이를 논하라.

8.8 자발적 대칭 깨짐: 골드스톤 기작과 힉스 기작

때로는 방정식의 대칭성이 바닥 상태가 드러내는 대칭성보다 크다. 이 불일치가 **자발적 대칭 깨짐(SSB)**이다. 전역 대칭 이론에서는 질량이 없는 골드스톤 보손이 생긴다. 게이지 이론에서는 골드스톤이 될 모드들이 흡수되어 힉스 기작을 통해 게이지 보손에 질량을 준다. 이 절에서는 전역 $U(1)$의 이야기, 가환 힉스 모형, 비가환 일반화, 전기약 부문을 살짝 살펴본다. 유효 퍼텐셜과 위상적 결함도 간단히 다룬다.

8.8.1 ‘자발적’이라는 뜻

라그랑지안에는 연속 대칭성이 있지만 진공에는 없다. 대칭성으로 연결되는 축퇴된 최솟값들이 있으며, 이론이 그중 ‘하나를 선택’하여 대칭성을 깬다. 평평한 방향의 들뜸은 골드스톤이고 그에 수직인 들뜸은 질량을 가진다.

질서 매개변수는 진공 기댓값이 대칭 변환 아래에서 불변이 아닌 장 또는 복합 연산자이다. 이를 $v$로 표시한다.

8.8.2 복소 스칼라의 전역 $U(1)$: 멕시코 모자 퍼텐셜 기초

복소 스칼라 $\varphi$ 하나가 전역적 $U(1)$ 대칭 $\varphi \to e^{i\alpha }\varphi$와 다음을 가진다고 하자.

$$\mathcal{L}={\partial }_{\mu }{\varphi }^{\ast }{\partial }^{\mu }\varphi -V(\varphi ),V(\varphi )=-{\mu }^2|\varphi {|}^2+\frac{\lambda }{2}|\varphi {|}^4,{\mu }^2>0,\lambda >0$$

최솟값들은 $|\varphi {|}^2=v^2/2$를 만족하며

$$v\equiv \sqrt{\frac{2{\mu }^2}{\lambda }}$$

진공 하나를 고르고 전개한다.

$$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2}}[v+h(x)+i\pi (x)]$$

대입하고 이차항만 남기면

$${\mathcal{L}}_{\text{quad}}=\frac{1}{2}(\partial h{)}^2+\frac{1}{2}(\partial \pi {)}^2-\frac{1}{2}{m}_h^2{h}^2$$

여기서

$$m_h^2=\lambda v^2,m_{\pi }^2=0$$

따라서 $h$는 질량이 있는 반지름 방향 모드이고 $\pi$는 $U(1)\to \{\}$의 깨짐에서 나온 무질량 골드스톤 보손이다.

8.8.3 한눈에 보는 골드스톤 정리

보존 전류 $J_a^{\mu }$와 전하 $Q_a$를 가진 연속적인 전역 대칭에서, 어떤 국소 연산자 $\mathcal{O}$의 진공 기댓값이 불변이 아니어서 $⟨0|[Q_a,\mathcal{O}]|0⟩\ne 0$이면 질량이 없는 스핀 0 모드가 존재한다. 더 일반적으로 리 군 $G$가 $H$로 깨지면 골드스톤 수는 깨진 생성자 수와 같다.

$$N_{\text{GB}}=\dim G-\dim H$$

로런츠 불변 진공을 가진 상대론적 이론에서 골드스톤은 작은 운동량에서 선형 분산 관계를 가진다.

8.8.4 가환 힉스 기작: 골드스톤 흡수하기

이제 $U(1)$를 결합상수 $g$로 게이지화하자. ${\partial }_{\mu }\to D_{\mu }={\partial }_{\mu }+ig{A}_{\mu }$로 바꾼다.

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }+|D_{\mu }\varphi {|}^2-\left(-{\mu }^2|\varphi {|}^2+\frac{\lambda }{2}|\varphi {|}^4\right)$$

같은 진공 기댓값 주위에서 전개한다. 유니터리 게이지에서는 위상을 0으로 두고 다음과 같이 쓴다.

$$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2}}[v+h(x)]$$

이차 라그랑지안에는 다음이 들어 있다.

$${\mathcal{L}}_{\text{quad}}\supset \frac{1}{2}(\partial h{)}^2-\frac{1}{2}{m}_h^2{h}^2+\frac{1}{2}{m}_A^2{A}_{\mu }{A}^{\mu }$$

질량은

$$m_h^2=\lambda v^2,m_A^2=g^2{v}^2$$

자유도 점검:

• 자발적 대칭 깨짐 전: 복소 스칼라의 실수 자유도 $=2$개와 무질량 게이지장의 횡편광 $=2$개, 합계 $4$
• 자발적 대칭 깨짐 후: 실수 스칼라 하나 $h$ $=1$와 유질량 벡터 $A_{\mu }$의 편광 $=3$개, 합계 $4$

골드스톤 $\pi$는 사라진 것이 아니라 유질량 게이지 보손의 종편광이 되었다.

8.8.5 $R_{\xi }$ 게이지, 골드스톤 후보 모드, BRST

유니터리 게이지는 재규격화 가능성을 감춘다. 공변 $R_{\xi }$ 게이지에서는 다음을 더한다.

$${\mathcal{L}}_{\text{gf}}=-\frac{1}{2\xi }{\left({\partial }_{\mu }{A}^{\mu }-\xi gv\pi \right)}^2$$

골드스톤이 될 모드 $\pi$는 다음 질량으로 전파한다.

$$m_{\pi }^2=\xi m_A^2$$

파데예프–포포프 유령도 $\xi$에 의존하는 질량을 얻는다. 물리적 관측량은 $\xi$에 무관하며, BRST 대칭이 상쇄를 보장한다.

8.8.6 비가환 힉스 기작: $G\to H$

$\varphi$가 비가환 군 $G$의 표현에 따라 변환한다고 하자. 최솟값이 $G$를 부분군 $H$로 깨는 퍼텐셜을 선택하고 공변 미분 $D_{\mu }={\partial }_{\mu }+ig{A}_{\mu }^a{T}^a$를 쓰자. 진공 기댓값 $⟨\varphi ⟩$ 주위에서 전개하면 게이지 보손의 질량 행렬을 얻는다.

$$(M^2{)}^{ab}\propto g^2⟨\varphi {⟩}^{†}\{T^a,T^b\}⟨\varphi ⟩$$

깨진 생성자에 대응하는 게이지 보손은 질량을 얻고 해당 골드스톤을 흡수한다. 깨지지 않은 생성자의 보손은 무질량으로 남고 잔여 게이지군 $H$를 생성한다.

8.8.7 전기약 이론 미리 보기: $SU(2{)}_L\times U(1{)}_Y\to U(1{)}_{\text{em}}$

복소 스칼라 이중항 $H$를 생각하되 초전하는 $Y=1/2$, 퍼텐셜은 $V=-{\mu }^2{H}^{†}H+\lambda (H^{†}H{)}^2$라고 하자. 다음과 같이 두면

$$⟨H⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}0\\ v\end{array}\right),v\approx 246\text{GeV}$$

게이지 보손의 질량은

$$m_W=\frac{gv}{2},m_Z=\frac{\sqrt{g^2+g^{\prime 2}}v}{2},m_{\gamma }=0$$

물리적 스칼라 $h$는

$$m_h^2=2\lambda v^2$$

유카와 결합 ${\mathcal{L}}_Y=-y_f{\bar{f}}_{L}H{f}_R+\text{h.c.}$는 페르미온 질량을 준다.

$$m_f=\frac{y_{f}v}{\sqrt{2}}$$

따라서 $h$와의 결합은 질량에 비례한다. 무거운 입자가 힉스와 강하게 상호작용하는 이유이다.

8.8.8 유효 퍼텐셜과 복사에 의한 대칭 깨짐

양자 보정은 퍼텐셜을 유효 퍼텐셜 $V_{\text{eff}}(\varphi )$로 바꾸며 그 최솟값이 실제 진공을 정한다.

$$e^{i\int d^{4}x\left[-V_{\text{eff}}({\varphi }_c)\right]}\sim \int \mathcal{D}\phi \exp \left\{iS[{\varphi }_c+\phi ]\right\}$$

$\overline{\text{MS}}$의 1고리 결과를 개략적으로 쓰면

$$V_{\text{eff}}^{(1)}(\varphi )=\sum _i\frac{n_i}{64{\pi }^2}{M}_i^4(\varphi )\left[\ln \left(\frac{M_i^2(\varphi )}{{\mu }^2}\right)-c_i\right]$$

여기서 $M_i(\varphi )$는 장에 의존하는 질량이고, $n_i$는 페르미온의 부호를 포함하여 자유도를 센다. 때로는 나무 수준에서 ${\mu }^2=0$이어도 복사 효과가 자발적 대칭 깨짐을 유도한다. 콜먼–와인버그 기작이다.

8.8.9 위상적 구조: 진공 공간에 구멍이 있을 때

진공 다양체 $\mathcal{M}=G/H$는 자명하지 않은 위상을 가질 수 있다. 결함은 그 호모토피 군에 의존한다.

• ${\pi }_0(\mathcal{M})\ne 0$ → 이산 대칭 깨짐의 영역벽
• ${\pi }_1(\mathcal{M})\ne 0$ → 끈. 전역 $U(1)$는 전역 끈을, 게이지화한 $U(1)$는 아브리코소프–닐센–올레센 소용돌이를 만든다.
• ${\pi }_2(\mathcal{M})\ne 0$ → 적절한 비가환 대칭 깨짐에서의 자기 홀극

이들은 응집물질이나 우주론에 나타나 측정 가능한 흔적을 남길 수 있다.

8.8.10 간단한 풀이 예제

(a) 가환 힉스 모형의 질량 스펙트럼

$|D\varphi {|}^2$와 $\varphi =(v+h+i\pi )/\sqrt{2}$에서 출발하라. 운동항을 전개하여 $A_{\mu }$가 $\frac{1}{2}{g}^2{v}^2{A}_{\mu }{A}^{\mu }$를 얻음을 보이고, $A_{\mu }{\partial }^{\mu }\pi$ 혼합이 $R_{\xi }$ 게이지 고정으로 제거되어 $m_A^2=g^2{v}^2$와 $m_{\pi }^2=\xi m_A^2$가 남음을 보여라.

(b) $O(N)\to O(N-1)$의 골드스톤 수 세기

실수 $N$차원 벡터 $\mathbf{\varphi }$와 $V=-\frac{1}{2}{\mu }^2{\mathbf{\varphi }}^2+\frac{\lambda }{4}({\mathbf{\varphi }}^2{)}^2$는 $G/H=O(N)/O(N-1)\cong S^{N-1}$를 준다. 깨진 생성자에서 $N-1$개의 골드스톤이 나오며, 유질량 반지름 모드 하나는 $m_h^2=2\lambda v^2$를 가진다.

(c) 진공 기댓값에서 나오는 유카와 질량

$-y{\bar{\psi }}_L\varphi {\psi }_R+\text{h.c.}$가 주어지고 복소 스칼라가 $⟨\varphi ⟩=v/\sqrt{2}$를 만족할 때, 페르미온 질량이 $m=yv/\sqrt{2}$이고 유카와 매개변수가 $y=\sqrt{2}m/v$이며 물리적 힉스 결합의 계수는 $y/\sqrt{2}=m/v$임을 보여라.

(d) 비가환 질량 행렬

$\varphi$가 표현 $R$에 있을 때 $(M^2{)}^{ab}\propto g^2⟨\varphi {⟩}^{†}{T}^{\{a}{T}^{b\}}⟨\varphi ⟩$를 유도하고, 간단한 $SU(2)\to \{\}$ 예에서 대각화하여 축퇴된 유질량 게이지 보손 세 개를 찾아라.

(e) 1고리 $V_{\text{eff}}$의 정상 조건

단순 스펙트럼 $M_h^2(\varphi )=3\lambda {\varphi }^2-{\mu }^2$, $M_{\pi }^2(\varphi )=\lambda {\varphi }^2-{\mu }^2$를 전역 $U(1)$에서 택하라. 정상 조건 $d{V}_{\text{eff}}/d\varphi =0$를 쓰고 $\mu \sim \varphi$를 선택하여 달리는 결합상수로 개선하는 방법을 논하라.

8.8.11 최소 연습문제 모음

• 로런츠 불변 진공을 가진 상대론적 이론에서 골드스톤 수 $N_{\text{GB}}=\dim G-\dim H$를 증명하라.
• $R_{\xi }$ 게이지에서 가환 힉스 질량 스펙트럼을 유도하고 극 질량이 $\xi$에 무관함을 확인하라.
• 힉스 이중항 하나를 가진 $SU(2{)}_L\times U(1{)}_Y$에서 $m_W$, $m_Z$, 약한 혼합각 관계 $\cos {\theta }_W=m_W/m_Z$를 유도하라.
• 높은 에너지에서 산란 진폭 $W_L{W}_L\to W_L{W}_L$를 계산하고 힉스 교환이 $s$에 따른 증가를 어떻게 억제하는지 보여라.
• 전역 $U(1)$ 모형에서 뇌터 전류를 구성하고, 골드스톤이 미분을 통해 결합하여 저에너지 진폭이 억제됨을 보여라.

8.9 양자 색역학: 색, 파톤, 가둠

양자 색역학(QCD)은 쿼크와 글루온의 비가환 $SU(3{)}_{\text{color}}$ 게이지 이론이다. 짧은 거리에서는 약하게 결합하는 점근 자유성을, 긴 거리에서는 강하게 결합하는 가둠을 보인다. 충돌기에서 산란시키는 자유도는 파톤이고 검출하는 것은 강입자이다. 둘을 연결하는 것은 인자화, 달림, 그리고 풍부한 대칭성이다.

8.9.1 라그랑지안, 장, 색 대수

$n_f$개의 쿼크 맛깔 ${\psi }_f$가 $SU(3)$의 기본 표현에 있고 글루온 $A_{\mu }^a$가 수반 표현에 있을 때, 양자 색역학 라그랑지안은

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{QCD}}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }^a{F}^{a\mu \nu }+\sum _{f=1}^{n_f}{\bar{\psi }}_f(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }-m_f){\psi }_f$$

공변 미분과 장 세기는

$$D_{\mu }={\partial }_{\mu }+ig{A}_{\mu }^a{T}^a,F_{\mu \nu }^a={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^a-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }^a+g{f}^{abc}{A}_{\mu }^b{A}_{\nu }^c$$

$SU(3)$의 색 인자는

$$C_A=3,C_F=\frac{4}{3},T_R=\frac{1}{2}$$

이 상수들은 진폭, 갈라짐 함수, $\beta$ 함수의 계산을 좌우한다.

8.9.2 점근 자유성과 달리는 결합상수

1고리에서 양자 색역학의 $\beta$ 함수는

$$\beta (g)\equiv \mu \frac{dg}{d\mu }=-\frac{g^3}{16{\pi }^2}\left(\frac{11}{3}{C}_A-\frac{4}{3}{T}_R{n}_f\right)+\cdots$$

$SU(3)$에서는 $\beta (g)=-(g^3/16{\pi }^2)(11-2n_f/3)$가 되며, 물리적인 $n_f$에 대해 음수이다. ${\alpha }_s\equiv g^2/4\pi$로 표현하면

$${\alpha }_s(\mu )=\frac{4\pi }{{\beta }_0\ln ({\mu }^2/{\Lambda }_{\mathrm{QCD}}^2)},{\beta }_0=11-\frac{2}{3}{n}_f$$

결합은 높은 $\mu$에서 작아져 자외선 자유성을 보이고, ${\Lambda }_{\mathrm{QCD}}$ 근처에서는 커져 적외선에서 강한 효과를 보인다. 무거운 쿼크 문턱을 지날 때에는 $n_f$를 정합한다.

8.9.3 가둠, 플럭스 관, 강입자화

비섭동적 양자 색역학은 색을 가두는 것으로 보인다. 고립된 쿼크와 글루온은 관측되지 않는다. 직관적으로는

• 비가환 장의 힘선들은 자체 상호작용하며 플럭스 관으로 모인다. 긴 끈에는 에너지 $\propto r$가 필요하고, 결국 끊어지면서 쿼크–반쿼크 쌍을 만든다.
• 격자에서 정적 쿼크 퍼텐셜은 코넬 형태와 비슷하다.

$$V(r)\simeq -\frac{4{\alpha }_s}{3r}+\kappa r$$

짧은 거리에서는 쿨롱형이고 긴 거리에서는 선형으로 증가한다. 고에너지 사건에서 가둠은 부모 파톤의 정보를 간직한 좁은 입자 분출인 제트로 나타난다.

8.9.4 카이랄 대칭과 그 깨짐

가벼운 $u,d,s$ 쿼크와 $m_q\ll {\Lambda }_{\mathrm{QCD}}$에서 고전 라그랑지안은 근사적인 전역 대칭

$$SU(N_f{)}_L\times SU(N_f{)}_R\to SU(N_f{)}_V$$

을 가지며, 쿼크 응축 $⟨\bar{q}q⟩$가 이를 자발적으로 깬다. 그 결과 나오는 골드스톤 보손은 가벼운 유사 스칼라들이며, 명시적인 쿼크 질량 때문에 유사 골드스톤이 된다. 겔만–오크스–레너 관계는

$$f_{\pi }^2{m}_{\pi }^2\simeq -(m_u+m_d)⟨\bar{q}q⟩$$

축 $U(1{)}_A$ 대칭은 변칙에 의해 깨진다.

$${\partial }_{\mu }{J}_5^{\mu }=\frac{n_f{g}^2}{16{\pi }^2}{F}_{\mu \nu }^a{\tilde{F}}^{a\mu \nu }$$

그 결과 ${\eta }^{\prime }$의 질량이 파이온보다 훨씬 높아진다.

8.9.5 깊은 비탄성 산란과 파톤

렙톤은 큰 운동량 전달 $Q^2=-q^2$로 강입자를 탐사한다. 선도 차수의 비요르켄 척도 불변성에서는 전자가 거의 자유로운 스핀 $\frac{1}{2}$ 파톤을 본다. 구조 함수 $F_1(x,Q^2)$와 $F_2(x,Q^2)$는 비요르켄 변수 $x=Q^2/(2P\cdot q)$에 의존한다. 스핀 $\frac{1}{2}$ 파톤에서는 선도 차수에 캘런–그로스 관계가 성립한다.

$$F_2(x,Q^2)=2x{F}_1(x,Q^2)$$

척도 불변성의 위반은 양자 색역학 복사에서 나오며 DGLAP 발전으로 예측된다.

$$\mu \frac{\partial f_i(x,\mu )}{\partial \mu }=\sum _j{\int }_x^1\frac{dz}{z}{P}_{ij}\left(z,{\alpha }_s(\mu )\right)f_j\left(\frac{x}{z},\mu \right)$$

여기서 $f_i$는 **파톤 분포 함수(PDF)**이고 $P_{ij}$는 $C_F,C_A,T_R$로 구성되는 갈라짐 커널이다.

8.9.6 인자화: 강입자에서 파톤으로

척도 $Q\gg {\Lambda }_{\mathrm{QCD}}$의 큰 운동량 전달 과정은 보편적인 장거리 부분과 섭동적인 단거리 커널로 인자화된다.

$${\sigma }_{AB\to X}(Q)=\sum _{i,j}{\int }_0^{1}d{x}_{a}d{x}_b{f}_{i/A}(x_a,\mu )f_{j/B}(x_b,\mu ){\hat{\sigma }}_{ij\to X}(\hat{s},Q,\mu )+\mathcal{O}{\left(\frac{{\Lambda }_{\mathrm{QCD}}}{Q}\right)}^p$$

최종 상태의 강입자는 파편화 함수 $D_{h/k}(z,\mu )$로 표현하며, 이 역시 DGLAP에 따라 발전한다. 물리적 예측은 생략된 고차항을 제외하면 비물리적인 척도 $\mu$에 무관하다.

8.9.7 제트 물리학과 연한·공선 구조

쿼크와 글루온은 주로 연하고 공선적인 양자를 복사하여 수다코프 로그를 만든다. 적외선 및 공선 안전성이 의미 있는 관측량을 보장한다. 실제로는

• 적외선 및 공선 안전한 제트 알고리즘, 예를 들어 $k_T$와 반-$k_T$를 사용한다.
• 운동량 공간 또는 유효 이론의 재규격화군 방법으로 큰 로그를 재합산한다. 연한·공선 인자화를 사용한다.
• 색 인자는 복사 패턴을 결정한다. 글루온 제트는 $C_A/C_F$에 따라 쿼크 제트보다 넓다.

8.9.8 무거운 쿼크와 쿼코늄

$m_Q\gg {\Lambda }_{\mathrm{QCD}}$이면 단거리 생성은 섭동적이고, 결합은 비섭동적이지만 비상대론적이다. 놀랍게도 잘 맞는 단순 퍼텐셜은 위에서 제시한 코넬 형태이다. HQET와 NRQCD 같은 유효 이론은 $1/m_Q$ 또는 쿼크 속도로 전개하여 척도를 분리한다.

8.9.9 격자 양자 색역학: 유클리드 경로 적분의 힘

유클리드 시간으로 회전하고 격자 간격 $a$로 시공간을 이산화한 뒤 다음을 계산한다.

$$Z_E=\int \mathcal{D}U\mathcal{D}\bar{\psi }\mathcal{D}\psi \exp \left[-S_E[U,\bar{\psi },\psi ]\right]$$

게이지장은 연결선 $U=\exp (iagA)$에 놓이고 페르미온에는 주의 깊은 이산화가 필요하다. $a\to 0$, 큰 부피, 물리적인 쿼크 질량으로 외삽한다. 결과에는 강입자 스펙트럼, 행렬 원소, 정적 퍼텐셜이 포함된다.

8.9.10 변칙, 위상, $\theta$

자명하지 않은 게이지 다발은 CP에 대해 홀인 진공각을 허용한다.

$${\mathcal{L}}_{\theta }=\theta \frac{g^2}{32{\pi }^2}{F}_{\mu \nu }^a{\tilde{F}}^{a\mu \nu }$$

인스턴톤 같은 위상적 대상은 감김수로 표시되는 진공들을 연결하고 축 변칙에 기여한다. 강한 $CP$ 위반이 매우 작다는 것은 여전히 풀리지 않은 수수께끼로 액시온 모형의 동기가 된다. 그러나 앞의 핵심 양자 색역학 동역학은 그와 독립적으로 성립한다.

8.9.11 간단한 풀이 예제

(a) ${\alpha }_s$의 1고리 달림.
$d{\alpha }_s/d\ln \mu =-{\beta }_0{\alpha }_s^2/(2\pi )$를 풀어 로그의 역수를 얻고 $\mu \sim {\Lambda }_{\mathrm{QCD}}$에서 란다우 극과 비슷한 적외선 증가를 확인하라.

(b) 파톤 모형에서 나오는 캘런–그로스 관계.
자유로운 스핀 $\frac{1}{2}$ 파톤에 대한 산란을 가정하여 $F_2=2x{F}_1$를 유도하고, 글루온 복사가 DGLAP를 통해 정확한 척도 불변성을 어떻게 깨는지 논하라.

(c) $qq\to qq$의 색 인자.
$t$ 채널 글루온 교환의 색 대수를 계산하라. 최종 색을 합하고 초기 색을 평균하면 이 채널이 색 인자 $T_R^2(N_c^2-1)/N_c^2$를 $|\mathcal{M}{|}^2$에 기여함을 보여라. 맛깔이 같으면 다른 채널과 그 간섭도 포함해야 한다.

(d) 연한·공선 갈라짐.
쿼크 $\to$ 쿼크+글루온 갈라짐 확률에서 선도 차수 커널을 얻어라.

$$P_{qq}(z)=C_F{\left[\frac{1+z^2}{1-z}\right]}_{+}$$

‘플러스’ 처방을 적외선 안전한 감산으로 설명하라.

(e) GMOR 척도 관계.
카이랄 섭동의 거듭제곱 세기를 사용하여 $m_{\pi }^2$가 선도 차수에서 가벼운 쿼크의 평균 질량에 선형으로 비례함을 보여라.

8.9.12 최소 연습문제 모음

• 양자 색역학의 1고리 $\beta$ 함수를 유도하고 양자 전기역학에 비해 부호가 바뀌는 이유를 설명하라.
• 인자화에서 출발하여 드렐–얀 생성의 선도 차수 강입자 단면적을 파톤 분포 함수와 파톤 수준의 $q\bar{q}\to {\gamma }^{\ast }$ 커널로 계산하라.
• 단순한 파톤 분포 함수 $f(x,{\mu }_0)=x^a(1-x{)}^b$를 $\ln \mu$에서 한 단계 발전시키되 $P_{qq}$ 커널을 사용하고, 작은 $x$와 큰 $x$ 거동을 논하라.
• 선도 차수에서 글루온 제트가 쿼크 제트보다 비율 $C_A/C_F$만큼 넓어야 함을 보이고 입자 다중도 척도 관계와 연결하라.
• 코넬 퍼텐셜로 무거운 쿼코늄 바닥 상태의 보어 반지름을 추정하고 쿨롱 관점이 자기 일관적인 조건을 논하라.

8.10 변칙과 위상: 양자역학이 고전 대칭성을 깰 때

어떤 대칭성은 양자화 뒤에도 살아남지만 어떤 것은 그렇지 않다. 고전 라그랑지안의 대칭성이 양자 이론에서 실패하면, 보통 보존 전류의 발산이 0이 아니게 나타나며, 그 대칭성에 변칙이 있다고 말한다. 변칙은 결함이 아니라 깊은 제약이다. 게이지 변칙은 상쇄되어야 하며, 그렇지 않으면 이론은 일관되지 않다. 전역 대칭의 변칙은 물리적일 수 있다. ${\pi }^0\to \gamma \gamma$ 같은 실제 과정을 예측하거나 엇호프트 정합을 통해 적외선 동역학을 제한한다. $F\tilde{F}$, 인스턴톤, 천–사이먼스 형식을 통한 위상이 이 결과들의 중심에 있다.

8.10.1 무엇을 변칙이라고 하는가

고전 뇌터 전류 $J^{\mu }$는 ${\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=0$를 따른다. 양자역학적으로는 이 진술이 실패할 수 있다.

$${\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=\mathcal{A}$$

여기서 $\mathcal{A}$는 자외선 데이터와 대칭성으로 정해지는 국소 연산자이다. $J^{\mu }$가 게이지장과 결합하면 $\mathcal{A}\ne 0$는 게이지 불변성과 유니터리성을 망가뜨린다. $J^{\mu }$가 전역 대칭이면 $\mathcal{A}$는 허용되며 흔히 측정 가능하다.

8.10.2 양자 전기역학의 축 변칙: ABJ 삼각형 도표

양자 전기역학의 무질량 디랙 페르미온에서 고전적인 축 전류 $J_5^{\mu }=\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^5\psi$는 보존되지만 1고리 삼각형은 다음을 준다.

$${\partial }_{\mu }{J}_5^{\mu }=\frac{e^2}{8{\pi }^2}{F}_{\mu \nu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }$$

쌍대 장 세기는

$${\tilde{F}}^{\mu \nu }\equiv \frac{1}{2}{ϵ}^{\mu \nu \rho \sigma }{F}_{\rho \sigma }$$

질량이 있는 페르미온에는 오른쪽에 고전 항 $2im\bar{\psi }{\gamma }^5\psi$를 더한다. 변칙은 쿼크의 축 전류를 통해 측정된 ${\pi }^0\to \gamma \gamma$의 붕괴율을 설명한다.

8.10.3 후지카와의 경로 적분 유도: 비밀을 가진 측도

카이랄 회전 $\psi \to e^{i\alpha {\gamma }^5}\psi$, $\bar{\psi }\to \bar{\psi }{e}^{i\alpha {\gamma }^5}$를 생각하자. 작용은 표면항만큼 바뀌지만 범함수 측도는 야코비안을 얻는다.

$$\mathcal{D}\bar{\psi }\mathcal{D}\psi \to \mathcal{D}\bar{\psi }\mathcal{D}\psi \exp \left[i\int d^{4}x\alpha (x)\frac{e^2}{8{\pi }^2}{F}_{\mu \nu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }\right]$$

이는 $\mathrm{Tr}{\gamma }^5\exp (-/D^2/{\Lambda }^2)$를 정칙화한 뒤의 결과이다. 같은 ABJ 결과를 주며 비가환 경우로 일반화된다.

8.10.4 비가환 카이랄 변칙과 일관성

무질량 디랙 장 $\psi$ 하나가 게이지군의 표현 $R$에 있을 때, 단일항 축 전류의 변칙은

$${\partial }_{\mu }{J}_5^{\mu }\supset \frac{g^2}{8{\pi }^2}{\mathrm{tr}}_R\left(F_{\mu \nu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }\right)$$

여기서 $F_{\mu \nu }=F_{\mu \nu }^a{T}^a$이므로 계수에는 ${\mathrm{tr}}_R(T^a{T}^b)=T_R{\delta }^{ab}$를 통한 이차 지표가 들어간다. 반면 카이랄 게이지 변칙에는 삼차 대각합 ${\mathrm{tr}}_R(T^a\{T^b,T^c\})$가 들어가며, 카이랄 페르미온 전체의 부호 있는 합은 0이어야 한다. 베스–추미노 일관성 조건은 서로 다른 게이지 전류 변칙의 양립 가능성을 제한한다.

8.10.5 게이지 변칙 상쇄: 표준 모형이 성립하는 이유

4차원에서는 다음을 상쇄해야 한다.

• 순수 비가환 $[G{]}^3$
• 혼합 $[G{]}^2-U(1)$
• 가환 $[U(1){]}^3$
• 혼합 게이지–중력 $[\text{grav}{]}^2-U(1)$

표준 모형의 한 세대 안에서 초전하들은 $\sum Y=\sum Y^3=0$를 만족한다. 색 인자도 $SU(3{)}^2-U(1)$와 $SU(2{)}^2-U(1)$가 0이 되도록 배치되어 있으며, $[SU(2){]}^3$는 이중항에서 자동으로 상쇄된다. 결과적으로 게이지 변칙들이 상쇄되어 이론이 일관적이다.

8.10.6 엇호프트 변칙 정합: 자외선의 정보는 재규격화군을 살아남는다

전역 대칭이 자외선에서 0이 아닌 변칙을 가지면 적외선 설명도 같은 변칙을 재현해야 한다. 위상적 자유도가 그 변칙을 포화하지 않는 한, 자명하고 대칭적이며 에너지 틈이 있는 이론으로 흐를 수 없다. 이는 가능한 가둠과 대칭 깨짐 패턴을 제한하고 일부 쌍대성을 신뢰할 중요한 근거가 된다.

8.10.7 인스턴톤, 위상, $\theta$ 항

유클리드 $SU(N)$ 게이지 이론에서 작용이 유한한 배치들은 정수로 표시된다.

$$Q\equiv \frac{1}{32{\pi }^2}\int d^{4}x\mathrm{tr}\left(F_{\mu \nu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }\right)$$

인스턴톤은 $Q=\pm 1,\pm 2,\dots$를 가지며 천–사이먼스 수가 다른 진공들을 연결한다. CP에 대해 홀인 항

$${\mathcal{L}}_{\theta }=\theta \frac{g^2}{32{\pi }^2}\mathrm{tr}(F_{\mu \nu }{\tilde{F}}^{\mu \nu })$$

은 운동 방정식을 바꾸지 않지만 진공에 영향을 주고 $CP$를 위반한다. 강한 $CP$가 매우 작다는 것은 $\theta$ 문제이며 액시온의 동기가 된다.

아티야–싱어 지표 정리는 위상을 디랙 연산자의 영모드와 연결한다.

$$n_{+}-n_{-}=Q$$

이는 축 변칙의 비섭동적 기원, $U(1{)}_A$ 문제, 카이랄성을 위반하는 과정의 선택 규칙을 뒷받침한다.

8.10.8 스팔레론과 변칙에 의한 $B+L$ 위반

유한 온도의 전기약 이론에서는 스팔레론을 거쳐 장벽을 넘는 전이가 천–사이먼스 수를 바꾼다. 이 과정은 바리온 수와 렙톤 수를 위반하지만 $B-L$는 보존한다. 단위 위상적 도약당 순변화는

$$\Delta B=\Delta L=N_g$$

여기서 $N_g$는 페르미온 세대 수이며, 위 식은 천–사이먼스 수가 양의 단위만큼 변할 때이다. 각 세대는 바리온 수가 각각 1/3인 쿼크 세 개와 렙톤 수가 1인 렙톤 하나를 기여한다. 따라서 세 세대는 바리온 수 변화 3과 렙톤 수 변화 3을 준다. 음의 도약은 두 부호를 모두 반대로 바꾼다. 이는 변칙을 초기 우주의 바리온 생성 시나리오와 연결한다.

8.10.9 천–사이먼스 형식, 변칙 유입, 짝홀성 변칙

미분형식의 언어에서는

$$d{\mathrm{CS}}_3(A)=\mathrm{tr}F\wedge F$$

여기서

$${\mathrm{CS}}_3(A)=\mathrm{tr}\left(A\wedge dA+\frac{2ig}{3}A\wedge A\wedge A\right)$$

경계를 벌크의 천–사이먼스 항과 결합하면 변칙 유입이 생긴다. 경계의 변칙적인 변분이 벌크에 의해 상쇄되어 전체 게이지 불변성이 유지된다. 홀수 차원에서는 페르미온을 적분하여 제거하면 천–사이먼스 항이 유도될 수 있다. 그 준위의 양자화가 큰 게이지 변환의 문제를 해결하며, 양자화하지 못하면 짝홀성 변칙이 나타난다.

8.10.10 베스–추미노–위튼 항과 ${\pi }^0\to \gamma \gamma$

자외선의 변칙은 적외선의 특정 연산자로 이어진다. 카이랄 라그랑지안에서 베스–추미노–위튼(WZW) 항은 변칙으로 정해지며 $N_c$에 비례하는 정수 계수를 가진다. ${\pi }^0\to \gamma \gamma$ 진폭은

$$\mathcal{A}({\pi }^0\to \gamma \gamma )=\frac{\alpha N_c}{3\pi f_{\pi }}{ϵ}^{\mu \nu \rho \sigma }{ϵ}_{\mu }{q}_{\nu }{ϵ}_{\rho }^{\prime }{q}_{\sigma }^{\prime }$$

이며 다음 붕괴 폭을 준다.

$$\Gamma ({\pi }^0\to \gamma \gamma )=\frac{{\alpha }^2{m}_{\pi }^3}{64{\pi }^3{f}_{\pi }^2}$$

이는 실험과 잘 맞는다. 변칙의 예측이 실제 수치로 결실을 맺는다.

8.10.11 혼합 게이지–중력 변칙과 순수 중력 변칙

카이랄 물질에는 다음 혼합 변칙이 있을 수 있다.

$${\partial }_{\mu }{J}^{\mu }\supset \frac{1}{384{\pi }^2}{ϵ}^{\mu \nu \rho \sigma }{R}^{\alpha }{}_{\beta \mu \nu }{R}^{\beta }{}_{\alpha \rho \sigma }$$

짝수 차원의 특정 이론에는 순수 중력 변칙도 나타나며, 일관성을 위해 상쇄되어야 한다. 끈 이론의 축소화에서는 이런 제약이 가능한 스펙트럼을 고른다. 응집물질의 경계에서는 더 높은 차원의 벌크에서 들어오는 유입이 이를 상쇄한다.

8.10.12 간단한 풀이 예제

(a) 운동량 경로를 지정한 ABJ 삼각형
모호한 선형 발산 적분을 정칙화하고, 벡터 전류의 워드 항등식을 보존하면 축 변칙 계수 $e^2/8{\pi }^2$가 강제됨을 보여라.

(b) 후지카와 대각합
$\mathrm{Tr}{\gamma }^5\exp (-/D^2/{\Lambda }^2)$를 $1/\Lambda$의 선도 차수에서 계산하고 $F\tilde{F}$를 추출하라.

(c) 무한대의 순수 게이지에서 구하는 인스턴톤 수
유한 작용의 장이 공간적 무한대에서 $A_{\mu }\to U^{-1}{\partial }_{\mu }U/g$를 만족하며 $Q$가 $U:S^3\to SU(2)$의 감김을 측정함을 보여라.

(d) 표준 모형의 변칙 확인
한 세대에 대해 쿼크의 색 다중도를 사용하여 $\sum Y=0$, $\sum Y^3=0$와 $SU(2{)}^2-U(1)$ 및 $SU(3{)}^2-U(1)$ 변칙의 소멸을 확인하라.

(e) WZW에서 나오는 ${\pi }^0\to \gamma \gamma$
WZW 항에서 출발하여 ${\pi }^{0}F\tilde{F}$ 결합을 유도하고 위 붕괴 폭을 얻어라.

8.10.13 최소 연습문제 모음

• 표현 $R$에 있는 디랙 페르미온의 단일항 축 변칙 계수를 유도하고 군 인자를 ${\mathrm{tr}}_R(T^a{T}^b)$로 표현하라. 카이랄 게이지 변칙과 구별하라.
• 엇호프트 변칙 정합으로 단순 $SU(N)$ 게이지 이론의 적외선 거동을 제한하라. 맛깔은 $N_f$개이며 카이랄 전역 대칭을 고려하라.
• 전기약 이론에서 $B+L$ 전류의 발산이 $\mathrm{tr}{W}_{\mu \nu }{\tilde{W}}^{\mu \nu }$에 비례함을 보이고 $\Delta (B+L)$의 선택 규칙을 계산하라.
• 벌크의 $\theta \int \mathrm{tr}F\wedge F$를 변분하고 경계 전류의 비보존과 맞추어 변칙 유입을 보여라.
• $2+1$차원에서 $U(1)$에 결합한 무거운 디랙 페르미온을 적분하여 제거하고, 유도된 천–사이먼스 준위가 $\frac{1}{2}\mathrm{sign}(m)$임을 보여라. 큰 게이지 불변성이 총준위를 양자화하는 이유를 설명하라.