초기 양자 이론

6.1 서론: 고전 물리학이라는 건물에 생긴 균열

19세기 말 물리학은 마치 최종 보스를 쓰러뜨린 듯 자신만만했다. 뉴턴 역학이 운동을, 맥스웰 방정식이 장을, 열역학이 열을 지배했다. 그러나 정밀 실험이 고전 이론에 잇따라 패배를 안기기 시작했다. 양자라는 새로운 전략이 준비되고 있었다.

무엇이 먼저 무너졌을까? 세 가지 기둥이었다.

1. 복사와 열. 이상적인 빛나는 공동, 즉 흑체의 스펙트럼은 고전적 예측을 따르지 않았다. 에너지 등분배와 맥스웰의 파동 이론은 무한한 자외선 에너지, 이른바 ‘자외선 파탄’을 낳았다.

2. 빛과 전자. 깨끗한 금속에 빛을 비추면 전자가 튀어나왔지만, 그 과정의 엄격한 규칙은 파동만으로 설명하려는 직관과 충돌했다.

3. 원자와 스펙트럼. 기체는 간단한 공식으로 설명되는 극도로 좁은 진동수에서 빛났다. 그러나 원자핵 주위를 도는 고전적 전자라면 복사하면서 나선형으로 안쪽에 떨어져야 했다.

이 균열은 특수한 예외가 아니었다. 물리학의 핵심 현상 자체가 이상하게 행동하고 있었다.

6.1.1 무대에 등장하는 인물들

막스 플랑크(1900). 열역학의 원칙을 고수하던 그가 이단적인 생각으로 몰렸다. 흑체 데이터를 맞추기 위해 그는 에너지 교환을 $h\nu$ 크기의 덩어리로 양자화했다. 그는 수학적 기교라고 생각했지만, 우주는 그것을 문자 그대로 받아들였다.

알베르트 아인슈타인(1905). ‘특허청 직원의 패기’를 보여 준 그는 남들이 삼키던 말을 꺼냈다. 빛 자체가 양자, 즉 광자로 이루어진다는 것이다. 그러자 광전 효과의 규칙이 갑자기 이해되었고, $E=h\nu$는 흑체를 넘어 물질의 영역으로 들어왔다.

어니스트 러더퍼드(1911). 금박에 쏜 알파 입자가 큰 각도로 튕겨 나오는 것을 보고 그는 톰슨의 ‘건포도 푸딩’ 모형을 걷어내고 원자핵 모형을 세웠다. 그러나 작은 원자핵 주위를 달리는 고전적 전자는 에너지를 복사하며 충돌해야 한다. 안정한 원자? 고전 물리학의 세계에서는 불가능했다.

닐스 보어(1913). 전자는 각운동량이 양자화된 특별한 궤도에만 머물고, 특정 진동수의 빛을 흡수하거나 방출하며 궤도 사이를 도약한다고 제안했다. 수소 스펙트럼의 퍼즐이 맞아떨어졌다. 부분적인 승리였지만, 이 기묘한 규칙에는 더 깊은 논리가 필요했다.

루이 드브로이(1923–24). 빛이 입자처럼 행동한다면 물질도 파동처럼 행동하지 않을까? 그는 $\lambda =h/p$를 제안했다. 실험적 확인을 기다리는 가설이었다.

6.1.2 고전 이론으로는 불가능한 것들: 최소한의 수학으로

흑체 파탄. 고전적 등분배는 공동의 모든 전자기 모드에 평균 에너지 $k_{B}T$를 부여한다. 모드 수를 세면 스펙트럼 에너지 밀도가 $\propto {\nu }^2$로 증가하여 높은 진동수에서 발산한다. 데이터는 이를 거부했다. 실제 스펙트럼은 봉우리에 도달한 뒤 감소한다.

§6.2에서는 에너지 양자를 도입하면 플랑크 분포를 얻고 발산을 해결함을 보인다.

$$u(\nu ,T)=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{\exp \left(\frac{h\nu }{k_{B}T}\right)-1}$$

이 곡선에는 자외선의 대재앙이 나타나지 않는다.

광전 효과의 규칙. 실험 결과는 다음과 같다. (i) 문턱 진동수 아래에서는 아무리 강한 빛을 비춰도 전자가 나오지 않는다. (ii) 문턱 위에서는 전자의 최대 운동 에너지가 세기가 아니라 진동수에 선형으로 비례한다. (iii) 방출은 사실상 즉각적이다. 아인슈타인의 간단한 식

$$K_{\max }=h\nu -W$$

이 현상을 정확히 설명했다. 여기서 $W$는 일함수이다. 빛의 세기는 도달하는 광자 수를 결정하며, 개별 광자의 에너지를 결정하지 않는다.

원자 스펙트럼. 발머와 뤼드베리는 수소 스펙트럼선에 관한 아름다운 경험식을 만들었다. 러더퍼드의 원자핵 모형은 문제를 더 심각하게 했다. 작고 전하를 띤 원자핵 주위를 도는 전자는 연속적으로 복사하여 스펙트럼을 퍼뜨려야 한다. 관측과 모순이다. 보어는 각운동량과 에너지 준위를 양자화하여 이산적인 스펙트럼선과 뤼드베리의 데이터에 맞는 진동수 규칙을 얻었다. 하지만 왜 그 궤도들일까? 옛 양자론은 성과를 거두다가 한계에 부딪혔다.

6.1.3 핵심 분위기: 이산성이 파동을 만나다

초기 양자론의 역사는 ‘잠깐, 둘 다라고?’라는 놀라움의 연속이다.

• 빛은 파동처럼 간섭하지만 입자처럼 에너지를 주고받는다.
• 전자는 궤적에서 입자처럼 행동하지만 결정을 통과할 때 파동처럼 회절한다.
• 원자의 에너지는 연속적인 공간이 아니라, 허용된 전이로 이어지는 층별 준위 구조이다.

공통점은 이전에 연속적으로 모형화하던 계에 이산성이 스며든다는 것이다. 이산성은 스펙트럼, 비열, 문턱 효과, 안정성에서 드러난다.

6.1.4 뒤에서 이행할 최소한의 수학적 약속

• 플랑크 스펙트럼. 가중치 $\exp (-nh\nu /k_{B}T)$로 양자 수를 세어 위의 에너지 밀도를 유도하고, 슈테판–볼츠만 법칙과 빈의 변위 법칙을 얻는다.

$${\lambda }_{\text{peak}}T=\text{일정}$$

• 아인슈타인의 광전 방정식. $K_{\max }$를 $\nu$에 대해 그리면 기울기 $h$, 절편 $-W$인 직선이 된다. 초기 실험에서는 이렇게 전자를 이용해 플랑크 상수를 측정했다.

• 보어 에너지. 원자핵 전하가 $+Ze$인 수소형 원자에 대해, SI 단위와 원자핵 질량이 무한하다는 근사에서 다음을 얻는다.

$$E_n=-\frac{m_e{e}^4}{2(4\pi {\epsilon }_0{)}^2{\hslash }^2}\frac{Z^2}{n^2}$$

그리고 도약 $n\to n^{\prime }$에서 방출되는 광자의 진동수는 $h\nu =E_n-E_{n^{\prime }}$를 만족하며, 뤼드베리 상수가 자연스럽게 나타난다.

• 드브로이 가설. $p=h/\lambda$와 $E=h\nu$를 가정하면 군속도가 입자 속도와 일치하고, 나중에 실험실에서 관측된 전자 회절을 예측한다.

6.1.5 ‘초기 양자론’의 범위

주로 1900–1925년을 다룬다. 옛 양자론(플랑크 → 아인슈타인 → 보어–조머펠트 → 드브로이)과 결정적인 실험(프랑크–헤르츠, 데이비슨–거머, 슈테른–게를라흐)이 중심이다. 완성된 양자역학, 즉 하이젠베르크의 행렬과 슈뢰딩거의 파동(1925–26)은 다음 장으로 이어지는 다리이다. 이 장에서는 고전적 직관이 마침내 물러나고 일관된 양자 계산법이 불가피해지는 지점까지 활주로를 놓는다.

6.2 흑체 복사와 플랑크의 가설

흑체 복사는 고전 물리학이 넘어지고 양자론이 조용히 탄생한 현상이다. 흑체는 작은 구멍이 뚫린 이상적인 공동이다. 들어온 빛은 내부에서 여러 번 반사되어 거의 모두 흡수되고, 밖으로 나오는 빛에는 공동 벽의 평형 스펙트럼이 담긴다. 1890년대의 과제는 이 복사의 에너지 밀도를 진동수 $\nu$와 온도 $T$의 함수로 예측하고, 측정 곡선이 발산하지 않고 증가한 뒤 봉우리를 지나 급감하는 이유를 설명하는 것이었다. 결론부터 말하면, 고전적 등분배는 ‘무한한 자외선 에너지’를 예측했지만 자연은 웃으며 거절했고, 막스 플랑크는 곡선을 맞추기 위해 양자를 도입했다.

6.2.1 실험 현장: 정밀성이 이론을 시험하다

독일의 실험실들(루머, 프링스하임, 루벤스, 쿠를바움)은 정교하게 교정한 공동과 검출기를 만들었다. 중간 및 높은 진동수에서 데이터는 빈의 법칙을 놀라울 만큼 잘 따랐다. 그러나 낮은 진동수, 즉 긴 파장에서 새로운 측정값이 빈의 지수적 감소로부터 벗어나기 시작하여 더 나은 공식이 필요해졌다. 플랑크는 이 그래프를 집요하게 추적했다. 1900년 10월 루벤스가 새로운 장파장 데이터를 보여 주자, 집에 돌아가 모든 결과에 맞는 곡선을 만들어 낼 정도였다.

스펙트럼은 흔히 진동수 또는 파장으로 나타낸다. 두 표현은 서로 연결되지만, $\nu =c/\lambda$가 측도를 바꾸므로 곡선 모양이 동일하지는 않다.

$$u_{\nu }(\nu ,T)|d\nu |=u_{\lambda }(\lambda ,T)|d\lambda |$$

표준적인 두 형태를 살펴보자. 진동수 표현은

$$u_{\nu }(\nu ,T)\equiv \text{단위 진동수당 에너지 밀도}$$

파장 표현은

$$u_{\lambda }(\lambda ,T)\equiv \text{단위 파장당 에너지 밀도}$$

먼저 $u_{\nu }$를 유도한 다음 $u_{\lambda }$로 변환한다.

6.2.2 공동의 모드 수 세기: $8\pi {\nu }^2/c^3$ 인자

완전 도체 벽을 가진 정육면체 공동을 생각하자. 전자기 정상파에는 특정 파수 벡터 $\mathbf{k}$만 허용되며, 각 모드는 조화 진동자이다. 진동수가 $\nu$와 $\nu +d\nu$ 사이인 모드 수를 세면 단위 부피당 상태 밀도를 얻는다.

$$g(\nu )d\nu =\frac{8\pi {\nu }^2}{c^3}d\nu$$

$8\pi$는 $\mathbf{k}$ 공간의 구면 껍질과 두 편광 상태에서 나온다. 이 인자는 순수하게 기하학과 운동학에서 유래하므로 고전적 유도와 양자적 유도에서 같다. 평형 상태의 각 모드에 어떤 평균 에너지를 부여할지 결정할 때 물리학이 개입한다.

6.2.3 고전적 시도: 등분배와 자외선 파탄

고전 통계역학에서 모든 이차 자유도는 평균 에너지에 $\frac{1}{2}{k}_{B}T$씩 기여한다. 조화 진동자, 즉 하나의 모드에는 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지라는 두 이차항이 있으므로 모드당 평균 에너지는 다음과 같을 것이다.

$$⟨\epsilon {⟩}_{\text{classical}}=k_{B}T$$

모드 밀도를 곱하면 스펙트럼 에너지 밀도를 얻는다.

$$u_{\nu }^{\text{RJ}}(\nu ,T)=g(\nu )⟨\epsilon ⟩=\frac{8\pi {\nu }^2}{c^3}{k}_{B}T$$

이것이 레일리–진스 법칙이다. 낮은 진동수에서는 잘 맞지만 ${\nu }^2$로 급증하고, 모든 진동수에 걸쳐 적분하면 발산한다. 자외선 파탄이라는 이 발산은 그저 재미있는 별명이 아니다. 고전 물리학이 따뜻한 방 안에 무한한 에너지가 있다고 예측한다는 뜻이다. 현실은 이를 받아들이지 않는다.

6.2.4 빈의 법칙: 훌륭하지만 절반뿐인 진실

빈은 경험적으로 다음을 제안했다.

$$u_{\nu }^{\text{Wien}}(\nu ,T)=A{\nu }^3\exp \left(-\frac{B\nu }{T}\right)$$

상수 $A,B$는 데이터에 맞춘다. 이 법칙은 지수적으로 감소하는 고진동수 꼬리를 정확히 설명하고, 봉우리가 $T$에 선형으로 비례하여 이동한다는 올바른 변위 법칙도 준다. 그러나 낮은 진동수에서는 실패한다. 실험은 $u_{\nu }\propto {\nu }^{2}T$, 즉 레일리–진스 거동을 보이며 ${\nu }^3$를 따르지 않는다. 요컨대 빈은 자외선을, 레일리–진스는 적외선을 설명하지만 어느 쪽도 전체 곡선을 설명하지 못한다.

6.2.5 플랑크의 수: 에너지 교환을 이산화하다

플랑크의 급진적인 생각은 공동 벽을 미시적인 진동자, 즉 공명자들의 집합으로 보고, 이들이 복사장과 $h\nu$ 크기의 이산적인 묶음으로 에너지를 교환한다고 가정하는 것이었다.

$${\epsilon }_n=nh\nu ,n=0,1,2,\dots$$

볼츠만 가중치를 사용하면 진동수 $\nu$인 한 진동자의 분배 함수는

$$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{e}^{-nh\nu /(k_{B}T)}=\frac{1}{1-e^{-h\nu /(k_{B}T)}}$$

따라서 진동자당 평균 에너지는

$$⟨\epsilon {⟩}_{\text{Planck}}=-\frac{\partial }{\partial \beta }\ln Z=\frac{h\nu }{e^{h\nu /(k_{B}T)}-1},\beta \equiv \frac{1}{k_{B}T}$$

모드 밀도 $g(\nu )$를 곱하면 전체 스펙트럼을 얻는다.

$$u_{\nu }(\nu ,T)=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /(k_{B}T)}-1}$$

이것이 1900년의 플랑크 법칙이다. 낮은 진동수에서는 지수함수를 전개하면 레일리–진스 법칙이 되고, 높은 진동수에서는 빈의 지수식이 된다. 하나의 곡선이 모두를 아우른다.

6.2.6 저진동수와 고진동수 극한: 타당성 확인

$x\equiv h\nu /(k_{B}T)$로 두자.

• 낮은 진동수($x\ll 1$): $e^x-1\approx x$이므로

$$u_{\nu }\approx \frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{x}=\frac{8\pi {\nu }^2}{c^3}{k}_{B}T$$

이는 레일리–진스 법칙이다.

• 높은 진동수($x\gg 1$): $e^x-1\approx e^x$이므로

$$u_{\nu }\approx \frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}{e}^{-h\nu /(k_{B}T)}$$

이는 $A=8\pi h/c^3$, $B=h/k_B$인 빈의 법칙이다.

따라서 플랑크 공식은 고전 법칙과 경험 법칙이 각각 설명하던 두 영역을 매끄럽게 연결한다.

6.2.7 총에너지와 슈테판–볼츠만 법칙

$u_{\nu }$를 모든 진동수에 걸쳐 적분하면 총에너지 밀도 $u(T)$를 얻는다.

$$u(T)={\int }_0^{\infty }{u}_{\nu }(\nu ,T)d\nu =\frac{8\pi h}{c^3}{\int }_0^{\infty }\frac{{\nu }^{3}d\nu }{e^{h\nu /(k_{B}T)}-1}$$

변수를 $x=h\nu /(k_{B}T)$로 바꾸면 $d\nu =(k_{B}T/h)dx$이고

$$u(T)=\frac{8\pi (k_{B}T{)}^4}{h^3{c}^3}{\int }_0^{\infty }\frac{x^{3}dx}{e^x-1}$$

이 적분은 잘 알려져 있다.

$${\int }_0^{\infty }\frac{x^{3}dx}{e^x-1}=\frac{{\pi }^4}{15}$$

따라서

$$u(T)=a{T}^4,a\equiv \frac{8{\pi }^5{k}_B^4}{15h^3{c}^3}$$

검은 표면에서 방출되는 단위 면적당 복사 일률은 등방적 복사의 운동학적 인자인 $I=\frac{c}{4}u$로부터 구한다.

$$I=\sigma T^4,\sigma =\frac{2{\pi }^5{k}_B^4}{15h^3{c}^2}$$

이것이 슈테판–볼츠만 법칙이며, 상수 $\sigma$가 $k_B,h,c$로 표현된다.

6.2.8 봉우리는 어디에 있는가? 빈의 변위 법칙

$u_{\nu }(\nu ,T)$를 $\nu$에 대해 최대화하되 $T$는 고정하자. $x=h\nu /(k_{B}T)$로 두면 조건은 다음으로 정리된다.

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{e^x-1}\right)=0\Rightarrow 3(e^x-1)-x{e}^x=0$$

이 초월방정식의 근은

$$x_{\ast }\approx 2.821439\dots$$

따라서 봉우리의 진동수는 다음과 같이 변한다.

$${\nu }_{\text{peak}}=\frac{x_{\ast }{k}_B}{h}T$$

대신 파장 표현

$$u_{\lambda }(\lambda ,T)=\frac{8\pi hc}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{hc/(\lambda k_{B}T)}-1}$$

을 $\lambda$에 대해 최대화하면 빈의 변위 법칙을 얻는다.

$${\lambda }_{\text{peak}}T=b$$

상수 $b$는 약간 다른 초월방정식의 근으로 결정된다. 주의할 점은 $u_{\nu }$의 봉우리와 $u_{\lambda }$의 봉우리가 같은 광자 에너지에 있지 않다는 것이다. 야코비안 $|d\nu /d\lambda |$가 곡선 모양을 바꾸기 때문이다.

6.2.9 진동수 스펙트럼과 파장 스펙트럼 사이의 변환

$u_{\lambda }|d\lambda |=u_{\nu }|d\nu |$에 $\nu =c/\lambda$와 $d\nu =-c/{\lambda }^{2}d\lambda$를 사용하면

$$u_{\lambda }(\lambda ,T)=u_{\nu }\left(\frac{c}{\lambda },T\right)\frac{c}{{\lambda }^2}$$

플랑크의 $u_{\nu }$를 대입하면 앞서 제시한 표준 $u_{\lambda }$를 얻는다. $\lambda$가 감소하면 $\nu$가 증가하므로 음의 부호는 사라진다.

6.2.10 통계역학의 관점: 양자화가 중요한 이유

고전적으로 에너지는 연속적이며, 등분배는 진동수가 아무리 높아도 각 모드에 $k_{B}T$를 부여한다. 양자 통계에서 에너지 간격 $h\nu$인 모드의 점유수는 화학 퍼텐셜이 0인 보스–아인슈타인 분포를 따른다.

$$\bar{n}(\nu )=\frac{1}{e^{h\nu /(k_{B}T)}-1}$$

모드당 평균 에너지는 $h\nu \bar{n}(\nu )$이다. 고진동수 모드를 점유하려면 처음부터 $h\nu$의 에너지를 지불해야 하므로 점유가 지수적으로 어렵다. 저진동수 모드는 $h\nu \ll k_{B}T$일 때 $\bar{n}$가 커지고 $⟨\epsilon ⟩\to k_{B}T$가 되어 고전적으로 행동한다. 이산적인 에너지 간격이 자외선 모드의 점유를 억제하기 때문에 파탄이 사라진다.

6.2.11 ‘혁명가가 될 생각은 없었다’는 플랑크의 여정

플랑크는 빈의 경험 법칙을 원리로부터 유도하고 싶어 했던 철저한 열역학자였다. 루벤스의 데이터가 낮은 $\nu$에서 빈의 법칙과 충돌하자, 그는 두 극한에 모두 맞는 보간식을 찾은 뒤 그것을 정당화하는 통계적 설명을 거꾸로 구성했다. 훗날 그는 양자화를 ‘절박한 행동’이라고 불렀다. 그 행동은 살아남았다. 5년 안에 아인슈타인은 광전 효과에서 그 에너지 묶음, 즉 광자에 독립적인 실재성을 부여했다. 플랑크 상수 $h$는 곡선을 맞추기 위한 조정값에서 자연의 근본적인 단위로 바뀌었다.

6.2.12 실제 조절 요소: 방사율과 실제 표면

실제 물질은 완벽한 흑체가 아니다. 표면의 방사율 $ϵ(\nu ,T)$가 0과 1 사이이면 스펙트럼 복사 휘도는

$$I_{\nu }^{\text{real}}(\nu ,T)=ϵ(\nu ,T)I_{\nu }^{\text{black}}(\nu ,T)$$

키르히호프의 열복사 법칙에 따르면 각 진동수에서 방사율과 흡수율이 같다. 따라서 벽이 완전히 검지 않아도 작은 구멍이 있는 공동은 사실상 흑체이다. 빛은 흡수되는 부분에 닿을 때까지 반사되기 때문이다. 실험실의 흑체가 공동인 이유이다.

6.2.13 간단한 풀이 예제

(a) 별의 일률. 별을 반지름 $R$, 표면 온도 $T$인 흑체로 근사하면 광도는

$$L=4\pi R^2\sigma T^4$$

(b) 필라멘트의 봉우리 색. ${\lambda }_{\text{peak}}T=b$를 사용하면, 필라멘트를 가열하여 $T$가 두 배가 될 때 봉우리 파장은 절반이 되어 빨간색에서 파란색 쪽으로 이동한다. 카메라 센서는 $u_{\lambda }$의 가중에 반응하므로 사진에도 이 변화가 나타난다.

(c) 공동의 광자 수밀도. 광자 수 스펙트럼은 $n_{\nu }=u_{\nu }/(h\nu )$이므로 총수밀도는

$$n(T)={\int }_0^{\infty }\frac{u_{\nu }}{h\nu }d\nu =\frac{8\pi }{c^3}{\int }_0^{\infty }\frac{{\nu }^{2}d\nu }{e^{h\nu /(k_{B}T)}-1}$$

변수를 $x=h\nu /(k_{B}T)$로 바꾸면 $n(T)\propto T^3$를 얻으며, 비례 상수에는 $\zeta (3)$가 들어간다.

6.2.14 기억할 내용: 시험 대비 핵심 정리

• 기하학은 모드 밀도 $g(\nu )=8\pi {\nu }^2/c^3$를 주고, 물리학은 모드당 평균 에너지를 준다.
• 고전적 등분배 $\Rightarrow$ 레일리–진스 $\propto {\nu }^{2}T$ $\Rightarrow$ 자외선 파탄
• 플랑크: 에너지는 양자 $h\nu$로 교환된다. $\Rightarrow$ $⟨\epsilon ⟩=h\nu /(e^{h\nu /(k_{B}T)}-1)$
• 둘을 곱하면 플랑크 법칙, 적분하면 슈테판–볼츠만 법칙 $I=\sigma T^4$, 최대화하면 빈의 변위 법칙을 얻는다.
• 양자화는 선택적인 장식이 아니다. 공동 안에서 열역학과 전자기학을 모순 없이 공존시키는 유일한 방법이다.

6.3 광전 효과와 아인슈타인의 광양자

깨끗한 금속에 빛을 비추면 전자가 튀어나온다. 고전적 파동은 ‘더 많은 빛 → 더 많은 에너지’를 설명할 수 있었지만, 1900년대 초의 실험은 ‘진동수가 먼저, 세기는 그다음’이라고 말했다. 이 반전은 아인슈타인을 대담한 주장으로 이끌었다. 빛의 에너지는 $h\nu$ 크기의 이산적인 묶음으로 도달한다는 것이다. 광전 효과에서 광자는 비유를 넘어 에너지 계산의 주인공이 된다.

6.3.1 실험의 규칙: 설명해야 할 사실

실험실에서는 명확한 사실들이 발견되었다.

• 문턱 진동수 ${\nu }_0$가 존재하며, 그 아래에서는 빛이 아무리 강해도 전자가 방출되지 않는다.
• 문턱 위에서는 방출 전자의 최대 운동 에너지가 세기가 아니라 진동수에 선형으로 의존한다.
• 실험의 시간 분해능 안에서 방출은 즉각적이다. 낮은 세기에서도 에너지를 모으느라 오래 지연되지 않는다.
• 진동수를 고정하면 광전류, 즉 초당 전자 수는 장치가 정하는 포화값에 도달할 때까지 빛의 세기에 비례한다.

에너지가 파면에 퍼져 있고 연속적으로 축적될 수 있는 순수한 파동 관점에서는 이 규칙들이 기묘하다.

6.3.2 아인슈타인의 한 줄 방정식

아인슈타인의 1905년 가설은 진동수 $\nu$인 빛이 각각 에너지 $h\nu$를 가진 양자, 즉 광자의 흐름처럼 행동한다는 것이다. 고체 속 전자가 광자 하나를 흡수하면 에너지의 일부를 물질에서 탈출하는 데 사용하고, 나머지를 운동 에너지로 가진다. 탈출에 필요한 에너지가 일함수 $W$이다. 따라서

$$K_{\max }=h\nu -W$$

그러므로 문턱 진동수는

$${\nu }_0=\frac{W}{h}$$

세기는 초당 도달하는 광자 수, 따라서 초당 방출될 수 있는 전자 수를 결정하지만 각 전자의 최대 에너지는 결정하지 않는다. 전자당 에너지 예산을 정하는 것은 진동수이다.

6.3.3 정지 전위로 $h$와 $W$ 측정하기

실험에서는 가장 에너지가 큰 전자가 집전극에 도달하지 못하도록 저지 전압 $V_s$를 걸어 최대 운동 에너지를 측정한다. 정의는

$$e{V}_s=K_{\max }$$

아인슈타인의 관계와 결합하면 다음 직선 관계를 얻는다.

$$e{V}_s=h\nu -W$$

따라서 $V_s$를 $\nu$에 대해 그린 그래프의 기울기는 $h/e$, 절편은 $-W/e$이다. 초기 실험은 이렇게 전자의 운동에서 플랑크 상수와 일함수를 직접 구했다.

6.3.4 고전적 파동 관점이 실패하는 이유

고전적 파동은 세기에 비례하는 비율로 에너지를 연속적으로 전달한다. 이것이 전부라면 낮은 세기에서 전자가 탈출할 만큼 에너지를 모으는 데 오랜 시간이 걸려 측정 가능한 지연이 나타나야 한다. 또한 낮은 진동수의 빛도 충분히 강하면 전자를 방출시켜야 하므로 문턱이 없어야 한다. 둘 다 관측되지 않는다. 데이터는 각 전자가 최대 한 덩어리를 받는 방식으로 ‘에너지가 덩어리로 도착한다’고 외친다.

6.3.5 밀리컨의 마지못한 확인

로버트 밀리컨은 최고 수준의 측정으로 아인슈타인의 해석을 무너뜨리려 10년을 보냈다. 진공 장치, 표면 처리, 전자 장비를 개선했다. 그 결과 물리학에서 가장 깔끔한 직선들이 나왔다. $e{V}_s$를 $\nu$에 대해 그리면 기울기 $h$, 진동수축 절편 $W/h$가 얻어졌다. 밀리컨은 철학적으로 광자 개념을 좋아하지 않았지만 데이터에는 빠져나갈 틈이 없었다. 반대자가 이론을 측정했는데도 이론이 이겼다면, 그것은 분명한 승리이다.

6.3.6 세기에서 플럭스로: 전자는 몇 개일까?

$\nu$를 문턱보다 높은 값으로 고정하자. 세기를 두 배로 하면 표면에 도달하는 광자 플럭스도 두 배가 된다. 표면이 깨끗하고 공간 전하 효과가 억제되면, 흡수된 광자 하나가 최대 한 전자를 방출시킬 수 있으므로 포화 전류 $I_{\text{sat}}$는 세기에 선형으로 비례한다. 실제로 탈출하는 비율은 양자 효율 $\eta$이다. 따라서

$$I_{\text{sat}}\approx \eta \frac{P}{h\nu }e$$

여기서 $P$는 활성 면적에서 흡수되는 광학 일률이다. 실제 $\eta$ 값은 물질과 표면 상태, 그리고 광전자가 집전극에 도달하기 전에 후방 산란되거나 갇히는지에 따라 달라진다.

6.3.7 에너지 분포와 고체의 역할

$K_{\max }$는 상한이다. 운동 에너지 분포는 띠 구조와 고체 내부의 산란에 의존한다. 점유된 초기 상태는 페르미 준위보다 훨씬 아래에 있을 수 있다. 몇 $k_{B}T$는 페르미 준위 근처의 열적 퍼짐을 나타내며, 점유된 띠 전체의 폭을 나타내지 않는다. 페르미 준위 아래의 초기 결합 에너지가 $E_B$이면 방출 전자의 에너지는 대략 $h\nu -W-E_B$에서 비탄성 손실을 뺀 값이다. 따라서 스펙트럼은 넓지만, 페르미 준위 근처의 전자가 상한 $h\nu -W$를 정한다.

6.3.8 비행시간과 ‘즉각적인’ 방출

현대의 고속 전자 장비는 오래된 주장을 확인한다. 방출은 피코초 이내 또는 그보다 빠르게 일어나며, 오랜 축적이 아니라 단일 광자 과정과 일치한다. 광자의 언어로 말하면 흡수 사건 한 번이 $h\nu$를 한꺼번에 전달하므로 에너지가 쌓이기를 ‘기다릴’ 필요가 없다.

6.3.9 표면 물리학과 일함수 제어

일함수 $W$는 표면의 성질이며 물질, 결정면, 청결도, 흡착물에 의존한다. $W$가 작은 알칼리 금속은 빨간빛에도 반응하지만, 깨끗한 귀금속은 파란빛이나 자외선이 필요하다. 코팅과 세슘 처리는 $W$를 낮추어 ${\nu }_0=W/h$를 더 낮은 값으로 조절할 수 있다. 광전관과 광음극에서 표면 처리가 매우 중요한 이유이다.

6.3.10 전형적인 실험 분석 순서

1. 새로 준비한 금속 표면에 여러 진동수의 단색광을 비춘다.
2. 각 $\nu$에서 집전극 전압을 음의 방향으로 바꾸어 광전류가 0이 되는 지점을 찾아 $V_s$를 구한다.
3. $e{V}_s$를 $\nu$에 대해 그리고 직선에 맞추어 기울기 $h$와 절편 $-W$를 구한다.
4. 별도로 $\nu$를 고정하고 세기에 따른 포화 전류를 측정하여 전자 수가 광자 플럭스에 선형으로 비례하는지 확인한다.

두 실험은 아인슈타인 모형의 서로 다른 부분, 즉 광자당 에너지와 광자 수를 조사한다.

6.3.11 진동수가 고정되어 있을 때 세기는?

$\nu >{\nu }_0$를 고정한 상태에서 세기를 높이면 방출 전자 수, 즉 전류는 증가하지만 $h\nu$가 변하지 않으므로 최대 에너지는 그대로이다. 반대로 세기를 고정하고 진동수를 높이면 $K_{\max }$가 선형으로 증가한다. $V_s$–$\nu$ 그래프에서 세기는 광전류의 크기를 바꾸며, 이상적인 기울기나 절편은 바꾸지 않는다.

6.3.12 광자, 운동량, 일관성 확인

광자는 운동량 $p=h/\lambda$도 가진다. 평평한 표면의 광전자 방출에서 광자 운동량은 대개 전자의 페르미 운동량에 비해 작으므로, 탈출의 에너지 계산에서는 $p$가 $h\nu$만큼 핵심적이지 않다. 그러나 복사압과 빛이 가하는 힘도 같은 계산 체계로 이해할 수 있다. 이후의 현상인 엑스선의 콤프턴 산란은 광자 에너지와 광자 운동량의 보존을 모두 요구하는 파장 변화를 보여 주며 입자적 관점을 확장한다. 광전 효과가 완만한 진입로라면 콤프턴 산란은 고속도로이다.

6.3.13 ‘광자 하나 → 전자 하나’에 단서가 필요한 이유

높은 세기의 짧은 펄스에서는 다광자 광전자 방출이 가능하다. $h\nu$가 $W$보다 작아도 두 개 이상의 광자가 함께 전자를 방출시킬 수 있다. 특징은 전류가 세기에 비선형으로 의존한다는 것이다. 초기의 연속파 실험은 단일 광자 과정이 지배적인 영역에 있었기에 아인슈타인의 선형 법칙으로 설명되었다. 양자역학은 두 영역을 모두 포함하며, 세기 축을 따라 이동하면 된다.

6.3.14 냅킨 위에서도 할 수 있는 간단한 유도

문턱. 아인슈타인 법칙에서 $K_{\max }=0$로 두면 ${\nu }_0=W/h$를 얻는다. 빛을 사용해 $W$를 실험적으로 정의하는 가장 명료한 방법이다.

기울기 추출. $e{V}_s=h\nu -W$에서 $V_s$를 $\nu$에 대해 그린 기울기는 $h/e$이다. 이를 측정하면 흑체 곡선 맞춤이나 분광학과 독립적으로 $h$ 값을 얻는다.

일함수의 단위. $W$가 전자볼트로 주어지면 헤르츠 단위의 문턱은

$${\nu }_0=\frac{W\text{(eV)}}{h/e}$$

파장으로 표현하면

$${\lambda }_0=\frac{c}{{\nu }_0}$$

공학에서는 파장으로 생각하는 경우가 많으므로 광음극의 ${\lambda }_0$를 제시하는 것이 일반적이다.

6.3.15 광전 장치: 실험대에서 기술로

• 진공 광다이오드와 광전자 증배관. $W$가 작은 음극의 광전자 방출로 전자를 만들고 다이노드로 증배한다. $V_s$ 방법은 이득 교정과 잡음 분석으로 이어진다.
• 태양 전지: 같은 효과는 아니다. 광기전력 접합은 진공으로 광전자를 방출하는 대신 전자–정공 쌍과 내장 전기장을 이용해 빛을 전기로 바꾼다. 그래도 $h\nu$라는 문턱 개념이 어떤 광자를 흡수할 수 있는지 정한다.
• 초고속 전자원. 펨토초 레이저로 하나 또는 몇 개의 광자 흡수에 의한 전자 방출을 일으켜 회절과 현미경에 사용할 짧은 전자 다발을 만든다.

6.3.16 개념 점검

• 입자적인 에너지 전달. 광자당 $h\nu$이며, 일차적인 전자 탈출 사건 하나당 광자 하나이다.
• 물질의 문지기. 일함수 $W$가 문턱을 정하고 ${\nu }_0=W/h$가 그 문을 여는 진동수이다.
• 선형적인 상한. $K_{\max }$는 세기와 무관하게 $h\nu -W$를 따라 변하며, 정지 전위로 $e{V}_s$임을 확인한다.
• 개수와 에너지. 세기는 전자가 몇 개인지 바꾸고, 진동수는 전자의 에너지가 얼마나 클 수 있는지 바꾼다.

고전 물리학이 잘못된 의존 관계를 고집하는 바로 그곳에서 양자론이 운전대를 잡는다.

6.4 원자 스펙트럼과 보어 모형

스펙트럼선은 원자의 원조 QR 코드였다. 가늘고 재현 가능하며 ‘안에 구조가 있다’고 외쳤다. 양자역학이 완전한 이론이 되기 훨씬 전부터 정밀 분광학은 그 선들을 간단한 정수 패턴으로 정리했다. 옛 양자론의 가장 큰 승리는 보어의 1913년 모형이었다. 양자화된 궤도를 가진 이 반고전적 원자는 수소 스펙트럼을 정확히 설명하고 더 깊은 파동 관점을 암시했다.

6.4.1 경험적 서곡: 발머–뤼드베리 패턴

수소의 가시광선 스펙트럼선은 발머의 1885년 공식에 맞았다. 뤼드베리는 곧 이를 파수 계열로 일반화했다.

$$\tilde{\nu }\equiv \frac{1}{\lambda }=R\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right),n_i>n_f$$

여기서 $R$는 뤼드베리 상수이고, $(n_i,n_f)$는 초기 및 최종 ‘준위’를 표시하는 양의 정수이다. 대표적인 계열은

• 라이먼 $n_f=1$: 자외선
• 발머 $n_f=2$: 가시광선. Hα는 $n_i=3\to 2$ 전이로 $\sim 656$nm에 있다.
• 파셴 $n_f=3$: 적외선

당시에는 순전히 수를 맞춘 규칙이었지만, 유효 상수를 넣으면 여러 기체에서 놀랍도록 일관되었다.

6.4.2 러더퍼드 원자와 고전 이론의 실패

러더퍼드의 1911년 산란 실험은 작고 전하를 띤 원자핵을 보여 주었다. 이런 핵 주위를 도는 고전적 전자는 가속되는 전하이므로 맥스웰 이론에 따르면 복사하며 안쪽으로 나선 운동을 해야 한다. 이는 연속 스펙트럼과 불안정한 원자를 예측한다. 하지만 자연은 이산적인 선과 안정성을 보여 주었다. 여기에 보어가 등장한다.

6.4.3 보어의 가정

보어 모형은 고전역학에 세 규칙을 덧붙였다.

1. 정상 상태. 특정 궤도만 허용되며, 그 궤도에서는 가속하더라도 복사하지 않는다.
2. 작용의 양자. 각운동량은 양자화된다.

$$m_{e}vr=n\hslash ,n=1,2,3,\dots$$

3. 진동수 조건. 정상 상태 사이에서 도약할 때만 복사하며 광자 에너지는

$$h\nu =E_i-E_f$$

이 임시방편은 대담했고, 전자가 하나인 원자에 대해서는 놀라운 예측력을 보였다.

6.4.4 쿨롱 힘과 양자화: 반지름, 속력, 에너지 구하기

핵전하 $+Ze$인 원자핵과 반지름 $r$, 속력 $v$인 원궤도의 전자에 대해 구심력은 쿨롱 인력과 같다.

$$\frac{m_e{v}^2}{r}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Z{e}^2}{r^2}$$

양자화 조건 $m_{e}vr=n\hslash$와 결합하여 $v$를 소거하고 $r_n$를 구하면

$$r_n=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m_e{e}^2}\frac{n^2}{Z}$$

괄호 안은 보어 반지름이다.

$$a_0\equiv \frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m_e{e}^2}=\frac{\hslash }{m_{e}c\alpha }$$

따라서 $r_n=\frac{n^2}{Z}{a}_0$이다. 궤도 속력은

$$v_n=\frac{Z\alpha c}{n}$$

여기서

$$\alpha \equiv \frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\hslash c}$$

는 미세 구조 상수이다. 총에너지는 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합이다.

$$E_n=\frac{1}{2}{m}_e{v}_n^2-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Z{e}^2}{r_n}$$

이를 계산하면

$$E_n=-\frac{m_e{e}^4}{2(4\pi {\epsilon }_0{)}^2{\hslash }^2}\frac{Z^2}{n^2}=-\frac{1}{2}{m}_e{c}^2{\alpha }^2\frac{Z^2}{n^2}$$

수소($Z=1$)의 바닥 상태는

$$E_1=-13.6\text{eV}$$

이고 에너지 준위는 $-13.6\text{eV}/n^2$에 따라 변한다.

6.4.5 보어 준위에서 뤼드베리 공식으로

보어의 진동수 조건에 $E_i$와 $E_f$를 사용하면 광자의 파수는

$$\tilde{\nu }=\frac{\nu }{c}=\frac{E_i-E_f}{hc}=\frac{m_{e}c{\alpha }^2}{2h}{Z}^2\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right)$$

따라서 원자핵 질량이 무한한 극한에서 뤼드베리 상수는

$$R_{\infty }=\frac{{\alpha }^2{m}_{e}c}{2h}$$

실제 수소에서는 전자가 질량 중심 주위를 돈다. $m_e$를 환산 질량

$$\mu =\frac{m_e{m}_N}{m_e+m_N}$$

으로 바꾸면

$$R_{\text{H}}=R_{\infty }\frac{\mu }{m_e}$$

을 얻는다. 이 작은 보정이 수소 H와 중수소 D 사이의 동위원소 이동을 만든다.

6.4.6 시간이 흐르며 $mvr=n\hslash$가 덜 자의적으로 보인 이유

10년 후 드브로이는 $\lambda =h/p$인 물질파를 제안했다. 원궤도의 둘레에 정수 개의 파장이 들어가야 한다고 요구하면

$$2\pi r_n=n\lambda =n\frac{h}{p}$$

다음을 얻는다.

$$p{r}_n=n\hslash$$

즉 보어의 규칙이다. 정상파 관점은 특정 반지름만 안정한 이유를 설명한다. 다른 경우는 상쇄 간섭으로 제거된다. 슈뢰딩거는 제7장에서 이 파동의 논리를 정식화한다.

6.4.7 대응 원리와 큰 $n$

보어는 양자수가 클 때 양자적 예측이 고전적 결과에 가까워져야 한다고 주장했다. $n\gg 1$일 때 전자의 궤도 진동수는 이웃 준위 사이의 방출 진동수와 일치하고, 허용 전이의 패턴은 쿨롱 궤도의 고전적 푸리에 성분을 닮는다. 이 ‘대응 원리’는 완전한 역학이 아직 준비되지 않았을 때 옛 양자론의 길잡이였다.

6.4.8 선택 규칙과 세기: 어떤 선이 강한 이유

보어 모형은 준위의 위치를 구하지만 스펙트럼선의 세기는 계산하지 못한다. 경험적으로 강한 선은 $\Delta l=\pm 1$ 같은 각운동량 관련 선택 규칙을 따른다. 이 규칙은 나중에 파동역학의 쌍극자 전이 행렬 원소에서 나온다. 옛 이론은 고전적 복사 패턴으로 이를 추측했지만, 양자역학은 명확하게 유도한다.

6.4.9 간단한 유도 예제

(a) 라이먼-α 파장. $n_i=2\to n_f=1$에서

$$\tilde{\nu }=R_{\text{H}}\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{4}{R}_{\text{H}}$$

따라서

$${\lambda }_{\text{Ly}\alpha }=\frac{4}{3R_{\text{H}}}$$

수치적으로는 $121.6$nm 부근이며, 여기에 $\mu$가 포함된다.

(b) 발머 Hα 선. $n_i=3\to n_f=2$에 대해

$$\tilde{\nu }=R_{\text{H}}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=\frac{5}{36}{R}_{\text{H}}$$

따라서

$${\lambda }_{\text{H}\alpha }=\frac{36}{5R_{\text{H}}}$$

계산하면 약 $656.3$nm이다.

(c) 준위 $n$에서의 이온화 에너지. $n\to \infty$로 보내면 필요한 에너지는

$$E_{\text{ion}}(n)=-E_n=\frac{13.6\text{eV}}{n^2}$$

이다. 위 값은 수소에 해당한다.

6.4.10 조머펠트의 타원과 초기 미세 구조 이론

더 나아가기 위해 조머펠트는 타원 궤도를 허용하고 반지름 방향 작용과 각방향 작용을 모두 양자화했다. 상대론적 질량–속도 보정을 더하면 미세 구조, 즉 작은 준위 갈라짐과 가까운 스펙트럼선의 비정상적인 간격을 부분적으로 설명할 수 있었다. 영리했지만 복잡했고, 다전자 원자와 정밀한 세부 사항에서는 한계에 이르렀다.

6.4.11 보어 모형의 성공과 한계

성공

• 환산 질량을 포함하면 $E_n\propto -1/n^2$와 수소 및 수소형 원자 스펙트럼의 비상대론적 주요 구조를 예측한다. 모든 정밀 보정을 주는 것은 아니다.
• 계열 한계와 이온화 에너지를 설명한다.
• 드브로이 이론을 예고하고 파동역학으로 이어지는 명료한 다리를 제공한다.

한계

• 스펙트럼선의 세기와 편광을 제1원리에서 설명하지 못한다.
• 미세 구조 전체와 제만 효과의 이상 현상을 설명하는 데 실패한다.
• 헬륨과 다른 다전자 원자에서 실패한다.
• ‘가속되는’ 전자가 복사하지 않는 이유를 기작으로 설명하지 않고 가정으로 선언한다.

이 실패는 단순한 결함이 아니라 파동방정식과 스핀을 가리키는 단서이다.

6.4.12 실제로 사용할 상수와 표현

서로 동등하고 유용한 표현은 다음과 같다.

$$a_0=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m_e{e}^2}=\frac{\hslash }{m_{e}c\alpha }$$ $$E_n=-\frac{1}{2}{m}_e{c}^2{\alpha }^2\frac{Z^2}{n^2}$$ $$R_{\infty }=\frac{{\alpha }^2{m}_{e}c}{2h}$$

핵전하가 $Z$인 수소형 이온에서는 $R_{\text{H}}$를 $Z^2{R}_{\text{H}}$로, $E_n$를 $-13.6Z^2\text{eV}/n^2$로 바꾸어 근삿값을 얻는다. 원자핵의 유한 질량을 정확히 반영하려면 해당 원자핵의 환산 질량으로 계산한 뤼드베리 상수를 사용한다.

6.4.13 개념 확인: 보어 모형과 파동역학

보어 반지름 $r_n$는 원자핵 질량이 무한하다는 근사에서 궤도 양자수 $l=n-1$인 원형 수소형 상태의 방사상 확률 최대 위치와 일치하며, 일반적인 수소 상태 모두에 해당하지는 않는다. 양자수 $n$는 비상대론적 쿨롱 에너지를 정하고, $l$와 $m$는 축퇴된 각도 상태 및 그 모양과 방향을 표시한다. 추가 상호작용은 이 축퇴를 없앨 수 있다. 정상 상태는 3차원의 정상파가 된다. 광자의 진동수 조건은 에너지 고윳값의 차이로 남고, 선택 규칙은 쌍극자 연산자의 행렬 원소에서 나온다.

6.4.14 최소 연습문제 모음

• $r_n$와 $E_n$를 힘의 평형과 $mvr=n\hslash$로부터 유도하고 $a_0$를 수치로 확인하라.
• $E_n$에서 출발하여 뤼드베리 공식을 얻고 $R_{\infty }$를 $\alpha$로 표현하라.
• 환산 질량을 포함하고 Hα의 수소–중수소 동위원소 이동을 추정하라.
• $v_n=Z\alpha c/n$로 비상대론적 근사의 일관성을 확인하라. 수소에서는 $v_1\approx \alpha c$이다.

6.5 러더퍼드 산란과 원자핵 모형

때로는 실험 하나가 세계관 전체를 지워 버린다. 가이거–마스던의 금박 실험이 바로 그랬다. 그들은 매우 얇은 금박에 알파 입자, 즉 헬륨 원자핵을 쏘고 스크린에서 섬광 수를 셌다. 대부분의 알파 입자는 거의 꺾이지 않고 통과했지만, 놀랍게도 일부는 큰 각도, 심지어 뒤쪽으로 튕겼다. 양전하가 원자 전체에 퍼져 있다면, 즉 톰슨의 ‘건포도 푸딩’ 모형이라면 이런 큰 각도 편향은 사실상 불가능하다. 데이터는 양전하가 아주 작은 원자핵에 집중되어 있어야 한다고 요구했다.

6.5.1 무엇을 측정했고 왜 충격적이었는가

• 입자빔: 에너지가 수 MeV 정도인 알파 입자
• 표적: 두께가 1마이크로미터 미만인 금박, 원자 번호 $Z=79$
• 검출기: 개별 섬광 수를 세는 황화 아연 스크린
• 놀라운 점: 극히 일부가 수십 도 이상 산란되며, 일부는 $180^{\circ }$에 가까운 방향으로 산란된다.

고전적으로 양전하가 퍼져 있다면 작은 밀림들이 누적될 뿐이다. 큰 각도 산란은 사실상 입자가 작고 조밀한 중심, 즉 원자핵 가까이에서 강한 상호작용을 겪어야 가능하다.

6.5.2 쿨롱 반발과 쌍곡선 궤도

전하 $ze$인 알파 입자($z=2$)와 핵전하 $+Ze$ 사이의 상호작용을 반발하는 쿨롱 힘으로 다루자.

$$V(r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Zz{e}^2}{r}$$

다음을 정의하면 편리하다.

$$k\equiv \frac{Zz{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0}$$

비상대론적 궤적은 쌍곡선이다. 산란각 $\theta$와 충돌 매개변수 $b$의 관계는 입사 입자의 운동 에너지가 $E$일 때

$$\theta =2\arctan \left(\frac{k}{2Eb}\right)$$

이며, 이를 뒤집으면

$$b(\theta )=\frac{k}{2E}\cot \left(\frac{\theta }{2}\right)$$

여기서 $E=\frac{1}{2}\mu v^2$이고 환산 질량은 $\mu$이다. 표적이 매우 무거우면 $\mu \approx m_{\alpha }$이며 실험실계 $\approx$ 질량 중심계이다.

6.5.3 러더퍼드 미분 단면적

측정하는 양은 각도 분포, 즉 미분 단면적이다.

$$\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{b}{\sin \theta }\left|\frac{db}{d\theta }\right|$$

위의 $b(\theta )$와 $db/d\theta =-\frac{k}{4E}{\csc }^2(\theta /2)$를 사용하면 유명한 러더퍼드 공식을 얻는다.

$$\frac{d\sigma }{d\Omega }={\left(\frac{k}{4E}\right)}^2{\csc }^4\left(\frac{\theta }{2}\right)$$

핵심적인 비례 관계는 다음과 같다.

• $\propto Z^2{z}^2$이므로 무거운 원자핵일수록 더 강하게 산란시킨다.
• $\propto E^{-2}$이므로 입자빔의 에너지가 높을수록 산란이 억제된다.
• 작은 각도에서 ${\theta }^{-4}$처럼 발산한다.

이 $1/{\sin }^4(\theta /2)$ 감소는 차폐, 핵력, 상대론 같은 다른 물리 효과가 개입하기 전까지 넓은 범위의 데이터와 일치한다.

6.5.4 최근접 거리와 원자핵의 크기

정면 접근($b=0$, $\theta =\pi$)에서는 전환점 $r_{\min }$에서 운동 에너지가 퍼텐셜 에너지로 바뀐다.

$$E=\frac{k}{r_{\min }}$$

따라서

$$r_{\min }=\frac{k}{E}$$

수치 계산에 편리한 상수는 $e^2/(4\pi {\epsilon }_0)\approx 1.44\text{eV}\cdot \text{nm}$이다. $z=2$인 알파 입자가 금($Z=79$)에 입사하면 $k\approx 79\times 2\times 1.44\text{eV}\cdot \text{nm}\approx 227.5\text{eV}\cdot \text{nm}$이다. $E=5\text{MeV}$일 때

$$r_{\min }\approx \frac{227.5\text{eV}\cdot \text{nm}}{5\times 10^6\text{eV}}\approx 4.6\times 10^{-5}\text{nm}=4.6\times 10^{-14}\text{m}$$

이는 수십 펨토미터로, 원자 크기($\sim 10^{-10}\text{m}$)보다 여러 자릿수 작다. 에너지를 더 높이면 $r_{\min }$는 원자핵 반지름의 규모인 수 펨토미터로 줄어든다. 매우 작은 고밀도 중심이라는 해석과 일치한다.

6.5.5 박막에서 계수율을 단면적으로 바꾸기

원자 수밀도 $n$, 두께 $t$인 얇은 표적에서, 입체각 $\Delta \Omega$ 안으로 각도 $\theta$에서 산란되는 예상 계수율은

$$\text{검출 횟수}\propto N_{\text{beam}}nt\frac{d\sigma }{d\Omega }(\theta )\Delta \Omega$$

‘얇다’는 것은 단일 산란이 지배적이고 감쇠를 무시할 수 있다는 뜻이다. $t$가 커지거나 입자빔의 에너지가 낮아지면 다중 산란이 작은 각도에서 순수한 러더퍼드 분포를 흐리게 한다.

6.5.6 고전적 설명에 수정이 필요한 곳

• 원자 차폐: 작은 $\theta$. $b$가 크면 입사 입자는 거의 중성인 원자를 본다. 결합 전자가 핵전하를 차폐하기 때문이다. 유효 $Z$가 작아져 ${\theta }^{-4}$ 발산이 억제된다. 대략적인 차단각은 충돌 매개변수가 차폐 길이 $\sim a_0/Z^{1/3}$를 넘는 경우에 해당한다.

• 원자핵 크기와 강한 힘: 큰 $\theta$, 높은 $E$. $r_{\min }$가 수 fm에 가까워지면 원자핵의 유한 반지름과 강한 상호작용 때문에 순수한 쿨롱 퍼텐셜에서 벗어난다. 가장 큰 각도나 가장 높은 에너지에서의 편차에는 원자핵 구조 정보가 담긴다.

• 상대론과 스핀. 입자빔이 더 빠르거나 입사 입자가 전자이면 모트 산란, 즉 디랙 이론의 보정과 스핀–궤도 효과가 필요하다. 정성적인 ${\csc }^4(\theta /2)$는 기본 형태로 남지만 스핀에 의존하는 인자가 붙는다.

• 양자역학. 부분파 또는 보른 근사를 이용한 양자 계산도 쿨롱 퍼텐셜에 대해 러더퍼드 공식을 재현한다. 이 경우에는 고전 이론과 양자 이론이 놀랍게 일치한다.

6.5.7 실험이 입증한 것

1. 양전하와 질량의 대부분은 원자에 비해 매우 작은 부피 안에 있다.
2. 전자는 주변에 있고 원자는 대부분 빈 공간이다.
3. 장거리 편향은 퍼진 밀어내기가 아니라 중심을 가진 쿨롱 힘에 의한 것이다.

이 사실들은 건포도 푸딩 모형을 무너뜨리고 원자핵 모형을 출범시켰다. 보어의 양자화된 궤도(§6.4)와 이후 본격적인 양자역학의 무대를 마련한 것이다.

6.5.8 간단한 유도 예제

(a) 미분 단면적

$b(\theta )=\frac{k}{2E}\cot (\theta /2)$에서 출발한다.

$$\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{b}{\sin \theta }\left|\frac{db}{d\theta }\right|=\left(\frac{k}{2E}\frac{\cot (\theta /2)}{\sin \theta }\right)\left(\frac{k}{4E}{\csc }^2\frac{\theta }{2}\right)={\left(\frac{k}{4E}\right)}^2{\csc }^4\frac{\theta }{2}$$

(b) 기준각 ${\theta }_0$보다 큰 각도의 적분 산란량

$d\sigma /d\Omega \propto {\csc }^4(\theta /2)$와 $d\Omega =2\pi \sin \theta d\theta$를 사용하면

$$\sigma (\theta >{\theta }_0)=2\pi {\int }_{{\theta }_0}^{\pi }{\left(\frac{k}{4E}\right)}^2{\csc }^4\frac{\theta }{2}\sin \theta d\theta =\pi {\left(\frac{k}{2E}\right)}^2{\cot }^2\frac{{\theta }_0}{2}$$

검출기가 큰 각도 범위를 차지할 때 계수율을 추정하기에 편리하다.

(c) $b$가 0이 아닐 때의 최근접 거리

에너지와 각운동량 $L=\mu vb$를 보존시키면 전환점 $r_{\min }$는 다음을 만족한다.

$$E=\frac{L^2}{2\mu r_{\min }^2}+\frac{k}{r_{\min }}$$

이차방정식에서 $1/r_{\min }$를 구하면 기하학적 조건 $(b)$를 알파 입자의 최근접 거리와 연결할 수 있다.

6.5.9 연습문제 모음

• $d\sigma /d\Omega$를 사용하여 검출기의 입체각이 같을 때 $30^{\circ }$와 $60^{\circ }$에서의 계수율 비를 예측하라.
• $5\text{MeV}$인 알파 입자가 금에 입사할 때 $r_{\min }$를 $b=0$에서 구하고, 원자핵 반지름 추정값 $R\approx r_0{A}^{1/3}$와 비교하라. $r_0\sim 1.2\text{fm}$를 사용하라.
• 최대 충돌 매개변수를 차폐 길이로 제한하여 차폐를 포함하고, 작은 각도 발산이 어떻게 규제되는지 보여라.
• $E$에 대해 실험실계와 질량 중심계의 관계를 유도하고, 실험실계의 $E$를 사용하는 것이 $\text{Au}$ 표적에서 매우 좋은 근사인 이유를 보여라.

요약: 금박 실험은 원자가 대부분 진공이며, 중심에 작고 무겁고 양전하를 띤 원자핵이 있음을 보여 주었다. 쿨롱 산란의 수학은 조정 매개변수 없는 명확한 각도 법칙을 예측한다.

$$\frac{d\sigma }{d\Omega }={\left(\frac{Zz{e}^2}{16\pi {\epsilon }_{0}E}\right)}^2{\csc }^4\left(\frac{\theta }{2}\right)$$

관측된 큰 각도 산란은 원자핵 모형을 피할 수 없게 만들었다. 조밀한 원자핵을 받아들이고 나면 보어의 양자화된 궤도와 이산적인 스펙트럼은 마술이 아니라 구조를 설명하는 요소가 된다.

6.6 물질파: 드브로이에서 데이비슨–거머까지

빛이 입자처럼 행동할 수 있다면 입자도 파동처럼 행동할 수 있지 않을까? 이것이 1923–24년 루이 드브로이가 제시한 대담한 대칭성의 발상이었다. 그는 운동량 $p$인 모든 물질 입자에 파장 $\lambda =h/p$가 대응한다고 추측했다. 엉뚱했을까? 물론이다. 그러나 몇 년 후 예측은 정확히 맞아떨어졌다. 전자가 엑스선처럼 결정에서 회절했고, 측정 각도는 $\lambda =h/p$와 일치했다. 물질파는 비유가 아니라 실험실의 현실이었다.

6.6.1 가설

드브로이의 간단한 식은

$$\lambda =\frac{h}{p}$$

광자의 $E=h\nu =\hslash \omega$와 $p=\hslash k$를 함께 사용하여 그는 파동–입자 대응 사전을 제안했다.

$$E=\hslash \omega ,p=\hslash k$$

두 등식의 뜻은 에너지–운동량 $(E,\mathbf{p})$를 가진 대상에는 각진동수 $\omega$와 파수 벡터 $\mathbf{k}$를 가진 파동이 보조를 맞추며 대응한다는 것이다.

6.6.2 위상 속도와 군속도

분산 관계 $E(\mathbf{p})$를 가진 자유 입자에 대해 다음을 정의하자.

$$\omega =\frac{E}{\hslash },\mathbf{k}=\frac{\mathbf{p}}{\hslash }$$

그러면

$$v_{\text{phase}}\equiv \frac{\omega }{k}=\frac{E}{p},{\mathbf{v}}_{\text{group}}\equiv {\nabla }_{\mathbf{k}}\omega ={\nabla }_{\mathbf{p}}E$$

• 상대론적 관계 $E=\gamma m{c}^2$와 $p=\gamma mv$를 사용하면

$$v_{\text{phase}}=\frac{c^2}{v},v_{\text{group}}=v$$

위상은 정보를 전달하지 않으므로 광속을 넘어도 문제가 없다. 군속도는 입자 속력과 같다.

• 비상대론적 관계 $E=p^2/(2m)$를 사용하면

$$\omega =\frac{\hslash k^2}{2m},v_{\text{group}}=\frac{\hslash k}{m}=\frac{p}{m}=v$$

파동 묶음이 입자를 따라갈 수 있는 이유이다.

6.6.3 파동 묶음과 불확정성: 미리 보기

국소화된 입자는 평면파의 중첩인 파동 묶음에 대응한다. 운동량 퍼짐이 $\Delta p$, 즉 $k$의 퍼짐이면 공간적 폭은 다음을 따른다.

$$\Delta x\Delta p\gtrsim \frac{\hslash }{2}$$

파동 묶음은 $v_{\text{group}}$로 움직이지만, 비상대론적인 $E\propto k^2$에서는 서로 다른 $k$ 성분의 속력이 조금씩 달라 시간에 따라 분산된다. 이것이 불확정성 원리와 슈뢰딩거 동역학의 씨앗이다.

6.6.4 전위로 가속한 전자: 편리한 공식

전자를 전위차 $V$로 가속하면 운동 에너지 $eV$를 얻는다. 비상대론적 운동량은

$$p=\sqrt{2m_{e}eV}$$

따라서

$$\lambda =\frac{h}{\sqrt{2m_{e}eV}}$$

편리한 수치식에서는 $\lambda$를 옹스트롬으로, 가속 전압 $V$를 볼트로 나타낸다.

$$\lambda (\text{A˚})\approx \frac{12.27}{\sqrt{V(\text{V})}}$$

더 높은 전압에서는 상대론을 포함한다.

$$\lambda =\frac{hc}{\sqrt{(eV)(eV+2m_e{c}^2)}}$$

$eV\ll m_e{c}^2$이면 비상대론적 결과로 돌아간다.

6.6.5 회절: 전자 회절격자로서의 결정

결정은 3차원 회절격자이다. 간격 $d$인 결정면의 보강 간섭은 브래그 법칙을 따른다.

$$n\lambda =2d\sin \theta ,n=1,2,\dots$$

$\lambda =h/p$가 주어지면 전자는 엑스선과 마찬가지로 $d$가 정하는 각도에서 회절해야 한다. 이것이 드브로이가 세상에 찾아 달라고 요청한 결정적 증거였다.

6.6.6 데이비슨–거머와 G. P. 톰슨: 실험적 증거

데이비슨과 거머(1927). 수십 eV의 전자를 니켈 단결정에 산란시키자, $\lambda =h/p$를 대입한 브래그 법칙과 일치하는 각도에서 뚜렷한 세기 봉우리가 나타났다. 가속 전압을 바꾸면 봉우리가 $\lambda \propto 1/\sqrt{V}$의 예측대로 정확히 이동했다.

G. P. 톰슨도 1927년에 keV 전자를 얇은 다결정 박막에 통과시켜 고리 무늬를 기록했다. 브래그 회절의 분말 형태였다. 독립적인 두 경로가 같은 결론에 도달했다. 물질파는 실재한다.

대략적으로 $V\sim 150\text{V}$이면 $\lambda \sim 1\text{A˚}$, 즉 원자 사이 거리 규모가 되어 결정 회절에 알맞다.

6.6.7 보어에서 드브로이로: 정상파

보어의 각운동량 가정 $mvr=n\hslash$는 원궤도에 정상파 조건을 요구하면 더 이상 자의적으로 느껴지지 않는다.

$$2\pi r=n\lambda =n\frac{h}{p}$$

여기에서

$$pr=n\hslash$$

같은 양자화가 나오지만 이제는 파동의 논리가 있다. 불안정한 반지름은 위상이 맞지 않는 경우이며 상쇄 간섭으로 배제된다. 드브로이는 보어 모형에 없던 기작을 제공했다.

6.6.8 슈뢰딩거의 동기: 파동방정식이 존재하는 이유

자유 입자의 분산 관계 $E=p^2/(2m)$와 드브로이의 대응 $E\to i\hslash {\partial }_t$, $\mathbf{p}\to -i\hslash \nabla$를 사용하자. 평면파 해가 $\omega =\hslash k^2/(2m)$를 만족하는 선형 미분방정식을 요구하면

$$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2\psi +V\psi$$

즉 시간 의존 슈뢰딩거 방정식에 도달한다. 다시 말해 드브로이의 $E(\mathbf{p})$는 슈뢰딩거의 편미분방정식이 실제 공간에서 구현하는 분산 법칙이다.

상보적인 관점은 해밀턴–야코비 이론을 사용한다. $\psi \sim \exp (iS/\hslash )$로 쓰면 $\nabla S$는 운동량처럼 행동한다. 양자역학은 고전역학에 위상과 간섭을 더한 것이다.

6.6.9 전자 이중 슬릿: 결정적인 장면

전자를 하나씩 두 슬릿에 보내고 충돌을 하나씩 기록하자. 시간이 지나면 스크린에 간섭무늬가 쌓인다. 그러나 각 전자가 어느 슬릿을 지났는지 측정하면 무늬는 사라진다. 무늬의 파장은 $\lambda =h/p$와 일치한다. 전자가 단순히 퍼진다는 뜻이 아니라, 작용의 차이가 정하는 위상에 따라 확률 진폭이 간섭한다는 뜻이다.

6.6.10 물질파 기술: 현미경과 정밀 측정

• 전자 현미경. 분해능은 대략 $\sim \lambda$처럼 변한다. 따라서 가시광선($\sim 500\text{nm}$)을 상대론적 보정 후 $\lambda \sim 0.004\text{nm}$인 100 keV 전자로 바꾸면 나노 세계의 영상화가 일상적인 작업이 된다.
• LEED/RHEED. 저에너지 전자 회절과 반사 고에너지 전자 회절은 표면 구조와 성장을 실시간으로 파악한다.
• 원자 간섭계. 중성 원자에도 드브로이 파동이 있다. 이를 분리했다가 다시 합치면 중력, 회전, 기본 상수를 놀랄 만큼 정밀하게 측정할 수 있다.

6.6.11 간단한 풀이 예제

(a) $54\text{eV}$에서의 드브로이 파장.

$\lambda (\text{A˚})\approx 12.27/\sqrt{V(\text{V})}$를 사용하면

$$\lambda \approx \frac{12.27}{\sqrt{54}}\text{A˚}\approx 1.67\text{A˚}$$

결정면 간격의 범위에 정확히 들어간다. 초기 실험에서 비교적 낮은 전압으로 봉우리가 관측된 것은 당연하다.

(b) $\lambda =1.0\text{A˚}$를 얻기 위한 전압.

같은 식을 뒤집으면

$$V\approx {\left(\frac{12.27}{\lambda (\text{A˚})}\right)}^2\text{V}\approx 150\text{V}$$

(c) 군속도 확인: 비상대론적 경우.

$\omega =\hslash k^2/(2m)$일 때

$$v_{\text{group}}=\frac{d\omega }{dk}=\frac{\hslash k}{m}=\frac{p}{m}=v$$

파동 묶음이 입자처럼 움직인다. 일관성이 확인된다.

(d) 브래그 각 추정.

$d=2.0\text{A˚}$, $\lambda =1.0\text{A˚}$이고 1차 회절 $n=1$일 때

$$\sin \theta =\frac{\lambda }{2d}=\frac{1}{4}\Rightarrow \theta \approx 14.5^{\circ }$$

실제 실험에는 입사와 검출의 차이 같은 기하학적 인자가 들어가지만 비례 관계는 정확하다.

6.6.12 주의할 점과 한계

• 파동 묶음의 퍼짐. 비상대론적 파동 묶음은 시간에 따라 넓어진다. 실제 입자빔은 지속적으로 평행화하거나 크게 분산되기 전에 검출한다.
• 산란과 결합 상태. 결정의 탄성 회절은 결정을 거대한 위상 격자로 사용한다. 원자에서는 결합 상태의 정상파가 에너지를 양자화한다.
• 무거운 입자. $\lambda =h/p$는 질량이 커지면 빠르게 줄어든다. 중성자 및 원자 간섭계는 매우 낮은 속도로 작동하여 사용 가능한 파장을 확보한다.
• 상대론적 전자. 보정된 $\lambda$를 사용해야 한다. 100 keV에서 비상대론적 공식은 운동량을 과소평가하고 $\lambda$를 과대평가한다.

6.6.13 연습문제 모음

• 자유로운 상대론적 입자에 대해 $v_{\text{phase}}{v}_{\text{group}}=c^2$임을 보여라.
• $200\text{keV}$인 전자빔에 대해 상대론적 보정을 포함하거나 제외하여 $\lambda$를 구하고 비교하라.
• 격자 상수 $a$인 입방 결정에서 $d$ 간격을 $(100)$, $(110)$, $(111)$에 대해 나열하고, 선택한 $\lambda$에서 1차 브래그 각을 예측하라.
• 가우스 파동 묶음 $\psi (x,0)$를 만들고 자유 슈뢰딩거 커널로 시간 발전시켜 제곱평균제곱근 폭의 시간 의존성을 구하라.

6.7 옛 양자론: 성공과 실패

1925–26년에 완전한 양자역학이 등장하기 전, 물리학자들은 몇 가지 대담한 수정을 고전역학에 덧붙였다. 특정 적분을 양자화하고 선택 규칙을 요구하며 보어의 진동수 조건을 이어 붙였다. 이 옛 양자론은 수소 스펙트럼을 설명하고 더 깊은 구조를 암시했지만, 다전자 원자와 스펙트럼선 세기, 자기적 특이성에서 실패했다. 이 절은 무엇이 통했고 무엇이 무너졌으며 무엇이 현대 양자역학으로 이어졌는지 정리한다.

6.7.1 ‘옛 양자론’의 의미

이 이론에는 세 기둥이 있었다.

1. 전자가 쿨롱 궤도를 도는 동안에도 복사하지 않는 정상 상태가 존재한다.
2. 보어–조머펠트 양자 조건이 허용된 운동을 선택한다.
3. 보어의 진동수 조건이 준위 차이를 빛과 연결한다.

에너지 준위 $E_n$에서 아래로 도약하는 $n\to n^{\prime }$ 전이는 아래 에너지의 광자를 방출한다. 흡수는 그 역전이이다.

$$h\nu =E_n-E_{n^{\prime }}$$

핵심적인 수학은 작용의 양자화였다.

6.7.2 보어–조머펠트 양자 조건

분리 가능한 좌표 $q_i$와 켤레 운동량 $p_i$를 가진 계에서 허용 궤도는 다음을 만족한다.

$$\oint p_{i}d{q}_i=n_{i}h,n_i=0,1,2,\dots$$

선적분은 좌표 $q_i$의 운동 한 주기 전체에 걸쳐 이루어진다. 작용 변수를 다음과 같이 정의하자.

$$J_i\equiv \oint p_{i}d{q}_i$$

그러면 규칙은 간단히 $J_i=n_{i}h$이다. 이 $J_i$들은 단열 불변량이다. 매개변수를 천천히 바꾸어도 일정하게 유지되며, 에렌페스트는 이를 단열 원리로 발전시켰다. 동역학이 적분 가능하고 변수 분리가 되면 이 규칙은 효과적이지만, 그렇지 않으면 힘을 잃는다.

6.7.3 다시 보는 수소: 더 일반적인 경우

보어의 원궤도는 특별한 경우이다. 조머펠트의 타원 궤도에서 쿨롱 문제에는 반지름 방향 $J_r$와 각방향 $J_{\varphi }$라는 두 작용이 있다. 양자화하면

$$J_{\varphi }=\ell h,J_r=n_{r}h,n=n_r+\ell$$

총에너지는 $n$에만 의존한다.

$$E_n=-\frac{m_e{e}^4}{2(4\pi {\epsilon }_0{)}^2{\hslash }^2}\frac{1}{n^2}$$

옛 이론에서 주양자수 $n$는 반지름 방향과 각방향 작용의 양자수를 결합한 것이다. 이것이 파동함수의 마디와 정확히 어떻게 연결되는지는 파동역학이 필요하다. 조머펠트는 상대론적 보정도 더하여 미세 구조 갈라짐을 얻었으며, 이후 디랙 이론의 일부 특징을 예고했다.

6.7.4 조화 진동자: ‘거의 맞는’ 스펙트럼

진동수 $\omega$인 1차원 조화 진동자의 작용 적분은

$$J=\oint pdq=\frac{2\pi E}{\omega }$$

보어–조머펠트 조건은 $J=nh$를 요구하므로

$$E_n=n\hslash \omega$$

이는 실제 결과에 가깝다. 현대 양자역학은 $E_n=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$를 준다. 빠진 $\frac{1}{2}$는 진동자의 영점 에너지이며, 옛 양자론이 반 단위만큼 어긋나는 여러 사례 중 하나이다.

6.7.5 대응 원리와 선택 규칙

보어의 대응 원리가 추측을 이끌었다. 양자수가 큰 극한 $n\gg 1$에서는 양자적 예측이 고전적 예측으로 바뀌어야 한다. 결합 운동의 고전 궤적을 푸리에 전개하면 가장 강한 허용 양자 전이의 진동수가 고전 스펙트럼에 있는 진동수에 가까워짐을 보일 수 있다. 이런 논리는 경험적인 쌍극자 선택 규칙

$$\Delta \ell =\pm 1$$

을 뒷받침하고, 진동수가 크게 다른 전이가 약한 이유를 설명했다. 이후 이 원리는 크라머르스–하이젠베르크 분산 공식과 합 규칙에서 구체적인 수학으로 다시 나타났다.

6.7.6 아인슈타인의 $A$와 $B$ 계수: 도약에서 흑체로

1916–17년에 아인슈타인은 두 준위 $1$와 $2$ 사이의 복사 전이에 관한 운동론적 모형을 만들었다. 축퇴도는 $g_1,g_2$이다. 스펙트럼 에너지 밀도 $\rho (\nu )$인 복사장에서 전이율은

$$\text{흡수: }{N}_1{B}_{12}\rho (\nu ),\text{유도 방출: }{N}_2{B}_{21}\rho (\nu ),\text{자발 방출: }{N}_2{A}_{21}$$

열평형과 볼츠만 인자 $N_2/N_1=(g_2/g_1)\exp (-h\nu /k_{B}T)$를 함께 적용하면

$$\frac{A_{21}}{B_{21}}=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3},\frac{g_1{B}_{12}}{g_2{B}_{21}}=1$$

이 강제되며 $\rho (\nu )$에 대한 플랑크 법칙을 재현한다. 이는 수십 년 후 레이저로 실용화될 유도 방출이 이론에 처음 등장한 순간이었다. 옛 양자론은 복사의 수지를 맞출 수 있었다.

6.7.7 분산 이론과 최초의 합 규칙

크라머르스는 광학적 분산을 준위 사이의 가상 도약으로 다시 표현했다. 대응 원리를 사용하여 진동수 의존 편극률을 유도했고, 이는 낮은 진동수에서 고전적인 로런츠–드루데 거동에 맞으면서도 양자 선택 규칙을 따랐다. 하이젠베르크와 보른은 이 힌트를 받아 고전적 진폭을 전이 진폭의 배열로 바꾸었다. 하이젠베르크의 행렬역학으로 이어지는 다리였다. 그 도약 이전에도 진동자 세기를 전하와 연결하는 합 규칙은 스펙트럼에 대한 초기의 ‘공짜는 없다’는 제약이었다.

6.7.8 열역학에서의 성공: 고체의 비열

고전적 등분배는 일정한 몰 열용량 $C_V=3R$, 즉 뒤롱–프티 법칙을 예측한다. 낮은 $T$에서 데이터는 이 예측을 무너뜨린다. 아인슈타인 모형(1907)은 각 원자를 진동수 ${\omega }_E$인 독립적인 양자 진동자로 다룬다.

$$C_V=3R{\left(\frac{{\theta }_E}{T}\right)}^2\frac{e^{{\theta }_E/T}}{{\left(e^{{\theta }_E/T}-1\right)}^2},{\theta }_E\equiv \frac{\hslash {\omega }_E}{k_B}$$

이 모형은 감소를 설명하지만 낮은 $T$에서의 정확한 거듭제곱 의존성은 설명하지 못한다. 디바이는 음향 모드를 차단값 ${\omega }_D$까지 양자화하여 개선했다. 그 결과 $C_V\propto T^3$라는 낮은 $T$의 거동과 $3R$라는 높은 $T$의 거동을 얻었다. 궤도 양자화의 일부는 아니지만, 이런 성공은 이산성이 열역학도 바로잡는다는 것을 보여 주었다.

6.7.9 옛 양자론이 실패한 곳

• 헬륨과 다전자 원자. 3체 쿨롱 문제에는 깔끔하게 양자화할 수 있는 닫힌 형태의 운동 적분이 없다. 임시 양자 조건들은 서로 모순되는 에너지와 잘못된 항 구조를 주었다. 파동역학과 스핀이 등장하기 전까지 헬륨은 ‘미지의 위험 지대’였다.

• 이상 제만 효과. 약한 자기장에서 많은 스펙트럼선이 고전적인 설명이나 궤도 각운동량만으로 설명할 수 있는 것보다 더 많은 성분으로 갈라진다. 이를 해결하려면 옛 이론에 없던 전자 스핀과 스핀–궤도 결합이 필요하다.

• 세기와 편광. 수소형 계의 준위 위치는 잘 맞았지만 선 세기, 편광, 수명에는 파동함수 사이의 연산자 행렬 원소가 필요했다. 옛 양자론에는 이런 도구가 없었다.

• 가속 전하의 복사. 고전 전기역학은 가속 전하가 복사한다고 말하지만, 옛 양자론은 정상 궤도가 복사하지 않는다고 선언했다. 현상론적으로는 통했으나, 파동역학이 ‘궤도’를 정상적인 정상파로 바꾸기 전까지 기작이 없었다.

• 변수 분리가 안 되는 계와 혼돈. 작용 양자화 규칙에는 분리 가능한 좌표와 위상 공간의 닫힌 불변 토러스가 필요하다. 결합된 비조화 진동자나 일반적인 분자 등 많은 운동은 이 조건을 만족하지 않는다. $\psi$의 편미분방정식 없이는 방법이 막힌다.

• 영점 에너지. 진동자에서 빠진 $\frac{1}{2}\hslash \omega$는 저온 요동에 민감한 실험과 이후 장의 양자화에 나타났다. 옛 양자론에는 이를 정하는 보편적인 방법이 없었다.

6.7.10 현대 양자역학에 남은 것

• 작용과 단열 불변량은 반고전적 WKB/EBK 양자화 규칙이 되었다.

$$\oint pdq=\left(n+\frac{\mu }{4}\right)h$$

여기서 마슬로프 지수 $\mu$가 빠진 반 단위들을 보충한다.

• 대응 원리는 타당성 점검 기준으로 남아 있으며 합 규칙, 선택 규칙, 반고전적 근사의 바탕이다.

• 아인슈타인 $A$/$B$ 계수와 진동자 세기는 원자 물리학, 레이저, 천체물리학적 진단에 살아 있다.

• 양자수 $(n,\ell ,m)$는 여전히 상태의 표지이다. 다만 이제는 곡선 아래의 면적이 아니라 서로 교환하는 연산자의 고윳값 정보이다.

• 드브로이의 정상파는 완전한 고유함수 이론이 되었다. 안정성과 복사 확률을 궤도가 아닌 파동함수의 겹침으로 설명한다.

6.7.11 간단한 풀이 예제

(a) 케플러 문제의 작용

쿨롱 퍼텐셜의 반지름 방향 작용은 근점과 원점을 적분 경계로 사용하여 계산할 수 있다. $J_{\varphi }=\ell h$와 다음을 얻는다.

$$J_r=h(n-\ell )$$

따라서 $E$는 $n$에만 의존하여 $E_n\propto -1/n^2$와 $\ell$에 대한 축퇴를 재현한다. 이 축퇴는 이후 파동역학에서 스핀–궤도 결합과 램 이동으로 깨진다.

(b) 진동자에서 빠진 반 단위

$J=2\pi E/\omega$가 주어지면 $J=nh$는 $E_n=n\hslash \omega$를 준다. 전환점이 있는 WKB는 각 경계에서 위상 $\pi /2$를 더하여 규칙을 $J=(n+\frac{1}{2})h$로 바꾸고 $E_n=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$를 바로잡는다.

(c) 쌍극자 선택

고전적인 원궤도의 쌍극자 모멘트를 궤도 진동수의 정수배인 푸리에 모드로 전개하자. 가장 강한 조화 성분은 기본 성분이며, 이는 $\Delta \ell =\pm 1$와 이웃한 $n$ 전이가 큰 $n$ 극한에서 나타나는 것에 대응한다.

6.7.12 연습문제 모음

• $\oint pdq=nh$에서 출발해 조화 진동자의 $E_n$를 유도하고 WKB로 보정한 $(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$와 비교하라.
• 쿨롱 운동에 대해 $J_{\varphi }$와 $J_r$를 계산하고 $E$가 $n=n_r+\ell$에만 의존함을 보여라.
• 아인슈타인의 전이율 방정식으로 $\rho (\nu )$를 다시 유도하고 $A_{21}/B_{21}$와 $B_{12}/B_{21}$를 $(g_1,g_2)$로 표현하라.
• $\hslash \omega \ll k_{B}T$이고 전이들이 조밀해질 때 크라머르스 분산이 고전적 로런츠 모형으로 어떻게 돌아가는지 보여라.
• 변수가 분리되지 않는 계 하나를 들고, 파동역학 없이는 보어–조머펠트 양자화가 막히는 이유를 설명하라.

요약: 옛 양자론은 훌륭한 임시 해법이었다. 양자화해야 할 올바른 불변량을 추측하고 고전 물리학과의 대응을 지켰으며 유도 방출까지 예고했다. 그러나 파동함수, 연산자, 스핀 없이는 스펙트럼선 세기, 다전자 스펙트럼, 자기적 세부 사항을 계산할 수 없었다. 성공은 하이젠베르크의 행렬과 슈뢰딩거의 파동을 위한 발판이 되었고, 실패는 완전한 이론이 자라야 할 정확한 자리를 표시했다.

6.8 스핀, 슈테른–게를라흐, 배타 원리

1910–20년대에 원자들은 비밀을 외치고 있었다. 각운동량은 반정수 단위로 나타나며, 전자가 앉을 자리는 제한되어 있다는 것이다. 두 실험과 한 원리가 이를 확정했다. 슈테른–게를라흐 실험은 중성 원자빔을 이산적인 경로로 나누었고, 스핀은 ‘이상’ 제만 갈라짐을 설명했으며, 파울리 배타 원리는 주기율표를 정리하고 물질의 안정성을 세웠다. 이 절에서는 스핀을 엄연한 양자 자유도로 소개하고 자기 모멘트, 장의 작용, 그리고 ‘동일한 페르미온 두 개는 같은 상태를 차지할 수 없다’는 규칙이 화학과 백색왜성을 지탱하는 이유를 살펴본다.

6.8.1 슈테른–게를라흐: 공간 양자화의 등장

1922년 오토 슈테른과 발터 게를라흐는 중성 은 원자빔을 불균일한 자기장에 통과시켰다. 고전적으로는 자기장 기울기 방향의 자기 모멘트 성분이 연속적으로 변하여 스크린에 퍼진 무늬가 생겨야 한다. 그러나 관측된 것은 선명한 점 두 개였다. 결론은 각운동량의 $z$ 성분이 양자화된다는 것이다.

은이 유용했던 이유는 원자가 전자 구조상 짝을 이루지 않은 전자 하나가 원자 자기 모멘트를 지배하면서도 원자는 중성이어서 로런츠 편향을 받지 않기 때문이다. 힘은

$$F_z={\mu }_z\frac{\partial B_z}{\partial z}$$

이며, 관측된 두 갈래 분리는 ${\mu }_z$가 두 값만 가진다고 분명히 말한다. 스핀이 ‘$m_s=\pm \frac{1}{2}$’라고 외치는 것이다.

6.8.2 스핀 $\frac{1}{2}$의 대수와 고윳값

양자역학에서 스핀 성분들은 서로 교환하지 않는다.

$$[S_i,S_j]=i\hslash {ϵ}_{ijk}{S}_k$$

전자의 총스핀과 그 $z$ 방향 투영은

$$S^2=s(s+1){\hslash }^2,s=\frac{1}{2}$$ $$S_z|\uparrow ⟩=\frac{\hslash }{2}|\uparrow ⟩,S_z|\downarrow ⟩=-\frac{\hslash }{2}|\downarrow ⟩$$

편리한 행렬 표현은 파울리 행렬 $\mathbf{\sigma }$를 사용하며 $S_i=\frac{\hslash }{2}{\sigma }_i$이다.

$${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$

스핀 상태는 두 성분의 스피너이다. 회전은 이 행렬들을 통해 작용하며, 어떤 축으로 측정해도 두 결과 중 하나가 나온다.

6.8.3 자기 모멘트, 제만 갈라짐, 라머 세차

전자의 스핀에는 다음 자기 모멘트가 있다.

$${\mathbf{\mu }}_s=-g_s\frac{e}{2m_e}\mathbf{S}$$

여기서 $g_s\approx 2$는 디랙 이론에서 나오며 작은 양자 전기역학 보정이 더해진다. 보어 마그네톤을 다음과 같이 정의한다.

$${\mu }_B\equiv \frac{e\hslash }{2m_e}$$

균일한 자기장 $\mathbf{B}=B\hat{\mathbf{z}}$에서 상호작용 에너지는

$$H_Z=-\mathbf{\mu }\cdot \mathbf{B}=g_s{\mu }_B{m}_{s}B$$

따라서 스핀 $\frac{1}{2}$는 두 준위로 갈라지며 그 간격은

$$\Delta E=g_s{\mu }_{B}B$$

고전적인 모습이지만 양자적으로도 정확하게, 스핀은 $\mathbf{B}$ 주위에서 라머 진동수

$${\omega }_L=\frac{g_s{\mu }_{B}B}{\hslash }$$

로 세차한다. 이는 자기 공명(NMR/EPR)의 기초이며 시간 의존 스핀 동역학에서 맥놀이 진동수로 나타난다.

6.8.4 정상 제만 효과와 ‘이상’ 제만 효과: 스핀의 해결책

초기 분광학에서는 자기장 속의 많은 선이 정상 제만 삼중선을 넘어선 패턴으로 갈라짐을 발견했다. 해결책은 총각운동량

$$\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$$

과 준위별 란데 인자 $g_J$이다. 제만 에너지 이동은

$$\Delta E={\mu }_B{g}_J{m}_{J}B$$

이며 $m_J=-J,-J+1,\dots ,J$이다. 스핀은 ‘이상’ 패턴을 곧바로 설명한다. $g_J$는 벡터 결합 대수에서 나오고 선택 규칙 $\Delta m_J=0,\pm 1$는 선의 개수와 편광을 정한다. 복잡한 임시 가정은 필요 없다.

6.8.5 스핀–궤도 결합과 토머스 인자

원자에서 핵의 전기장 속을 움직이는 전자는 자신의 정지계에서 $\mathbf{L}$와 $\mathbf{S}$를 결합하는 자기장을 본다.

$$H_{SO}=\xi (r)\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}$$

상대론을 주의 깊게 적용하면 토머스 세차 인자 $\frac{1}{2}$가 추가되어 관측된 미세 구조와 맞는다. 그 결과 $J$에 따라 항이 갈라지며, $n$와 $\ell$가 고정되어 있어도 그렇다. 알칼리 원자 스펙트럼의 유명한 이중선이 그 예이다.

6.8.6 파울리 배타 원리: 공간 궤도 하나에 두 전자

1925년 볼프강 파울리는 동일한 페르미온 두 개는 같은 양자 상태를 차지할 수 없다고 제안했다. 원자의 전자에서는 공간 궤도 하나당 반대 스핀을 가진 전자가 최대 두 개라는 뜻이다. 단일 전자 상태를 $(n,\ell ,m_{\ell },m_s)$로 표시하면 배타 원리는 이 네 양자수가 모두 같은 전자들을 금지한다. 즉각적인 성과는 다음과 같다.

• 주기율표의 구조. 껍질과 부껍질이 관측되는 순서대로 채워지며, 상관관계와 차폐에 따른 조정까지 포함하면 화학적 원자가를 설명한다. 궤도당 두 전자는 껍질 용량 $2,8,18,\dots$를 준다.
• 자성. 대부분의 전자는 반대 스핀으로 짝을 이루며, 짝 없는 스핀이 상자성을 만든다. 금속 전도 전자의 파울리 상자성은 국소 자기 모멘트의 퀴리 법칙과 비교하여 약하고 온도에 무관하다.
• 물질의 안정성. 전자는 모두 가장 낮은 궤도로 내려갈 수 없다. 밀집한 페르미온은 압축에 저항하는 축퇴압을 만든다. 금속의 역학적 성질부터 백색왜성을 지탱하는 힘까지 이어진다.

더 깊이 보면 배타 원리는 상대론적 양자장론의 스핀–통계 정리이다. 반정수 스핀 입자인 페르미온은 반대칭 다체 파동함수를 가지고 페르미–디랙 통계를 따른다. 정수 스핀 입자인 보손은 대칭 파동함수를 가지며 보스–아인슈타인 통계를 따른다.

6.8.7 페르미–디랙 분포와 페르미 바다

단일 입자 에너지 $ϵ$와 화학 퍼텐셜 $\mu$를 가진 동일한 페르미온에 대해

$$\bar{n}(ϵ)=\frac{1}{\exp \left(\frac{ϵ-\mu }{k_{B}T}\right)+1}$$

$T=0$에서 상태들은 페르미 에너지 ${ϵ}_F$까지 채워진다. 스핀 $\frac{1}{2}$에 따른 인자 2가 에너지당 상태 밀도를 두 배로 하여 ${ϵ}_F$를 바꾸고 금속의 성질을 좌우한다. 단순 금속의 파울리 상자성 감수율은 ${ϵ}_F$에서의 상태 밀도에 비례하며, 작지만 0은 아니다.

6.8.8 연속 슈테른–게를라흐 실험: 측정의 의미

입자빔을 세 자석에 통과시키자. 먼저 SG${}_z$에서 $\uparrow$만 남긴다. 다음 SG${}_x$에서 $\to$와 $\leftarrow$로 나누고 $\to$만 남긴다. 마지막으로 다시 SG${}_z$를 통과시킨다. 마지막 단계에서는 $\uparrow$와 $\downarrow$가 모두 나타난다. 교훈은 $x$ 방향의 측정이 스핀 상태를 다시 준비하여 이전의 $z$ 정보를 지운다는 것이다. 대수적으로는

$$|{\uparrow }_z⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|{\to }_x⟩+|{\leftarrow }_x⟩\right)$$

이므로 $x$의 사영 측정은 $z$ 결과를 무작위화한다. 양립 불가능한 관측량이 동시에 확정된 값을 가지지 않는다는 것을 보여 주는 가장 명료한 실험대 시연이다.

6.8.9 전자빔과 슈테른–게를라흐가 중성 원자를 사용한 이유

전자로 스핀 분리를 하지 않는 이유가 궁금할 수 있다. 불균일한 장 속 자유 전자는 큰 로런츠 힘 $q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$와 가장자리 장의 전기력을 받는다. 이 힘들이 작은 $\nabla (\mathbf{\mu }\cdot \mathbf{B})$ 갈라짐을 압도한다. 중성 원자는 이를 피하므로 슈테른–게를라흐 실험은 전자기적 궤도 편향의 문제 없이 양자적 현상에 도달했다.

6.8.10 작지만 실제로 존재하는 편차: $g-2$

디랙의 $g_s=2$는 매우 정확하지만 완벽하지는 않다. 양자 전기역학은 작은 이상 자기 모멘트를 더한다.

$$a_e\equiv \frac{g_s-2}{2}$$

그 선도항은 $\alpha /(2\pi )$이며, 고차항은 이론가들을 계속 바쁘게 한다. $a_e$의 정밀 측정은 표준 모형에 대한 엄격한 시험이며 미세 구조 상수 $\alpha$를 결정하는 데 도움을 준다.

6.8.11 간단한 풀이 예제

(a) 제만 갈라짐의 크기

$B=1\text{T}$와 $g_s\approx 2$일 때

$$\Delta E=g_s{\mu }_{B}B\approx 2\times 5.788\times 10^{-5}\text{eV/T}\times 1\text{T}\approx 1.16\times 10^{-4}\text{eV}$$

대응하는 진동수는 $\nu =\Delta E/h\sim 28\text{GHz}$이며, 마이크로파 EPR 영역이다.

(b) 슈테른–게를라흐 편향 추정

기울기 $\partial B_z/\partial z=10\text{T/m}$, 비행시간 $\tau =10^{-4}\text{s}$, 은 원자의 질량을 사용하면 $z$ 방향으로 얻는 변화량은

$$\Delta p_z\approx {\mu }_B\frac{\partial B_z}{\partial z}\tau$$

점 사이의 간격을 구하려면 자석을 지난 뒤의 자유 비행시간도 필요하다. 은의 질량 $1.79\times 10^{-25}\mathrm{kg}$, 입자빔 속력 $500m/s$, 자석에서 $0.20\mathrm{m}$ 떨어진 스크린을 사용하면 자석 내부의 편향을 포함한 간격은 약 $0.047\mathrm{mm}$이다. 밀리미터 규모의 분리를 얻으려면 다른 매개변수가 필요하다.

(c) 백색왜성 규모: 크기 차수 추정

전자 축퇴압 $P\sim \frac{{\hslash }^2}{m_e}{n}_e^{5/3}$는 중력과 균형을 이룬다. $n_e$를 높이면 열 없이도 $P$가 증가한다. 배타 원리가 말 그대로 구조를 지탱한다. 자세한 내용은 천체물리학에서 다루지만, 이 비례 관계의 바탕은 스핀 $\frac{1}{2}$와 반대칭성이다.

6.8.12 연습문제 모음

• $S_z$의 고윳값으로 슈테른–게를라흐 실험의 두 결과를 유도하고, 주어진 자기장 기울기와 비행시간에서 점 사이의 간격을 추정하라.
• $H_Z=-\mathbf{\mu }\cdot \mathbf{B}$와 $S_i=\frac{\hslash }{2}{\sigma }_i$에서 출발하여 스피너가 ${\omega }_L=g_s{\mu }_{B}B/\hslash$로 세차함을 보여라.
• 벡터 덧셈 규칙으로 $g_J$를 주어진 항 기호 ${}^{2S+1}{L}_J$에 대해 계산하고 제만 성분과 편광을 예측하라.
• $H_{SO}=\xi (r)\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}$가 주어진 $n,\ell$ 다중항을 $J=\ell \pm \frac{1}{2}$로 어떻게 나누는지 보이고, 선택 규칙이 허용하는 선을 그려라.
• 페르미–디랙 분포에서 스핀 축퇴를 포함하여 자유 전자 금속의 영온 전자 수밀도와 페르미 에너지를 유도하라.

요약: 스핀은 작은 궤도가 아니라 대수, 행렬, 자기 모멘트를 가진 고유한 두 준위 자유도이다. 슈테른–게를라흐 실험은 그 이산성을 드러냈고, 제만 패턴과 미세 구조는 장 및 궤도 운동과의 결합을 확인했다. 파울리 배타 원리는 스핀을 구조의 원리로 바꾸어 껍질을 채우고 화학을 결정하며 별을 지탱했다. 여기에 페르미–디랙 통계와 $g\approx 2$를 더하면, 이름 붙여지기를 기다리던 스핀이었던 한 세기의 ‘이상 현상’을 간결한 현대적 관점으로 설명할 수 있다.

6.9 옛 양자론에서 파동역학과 행렬역학으로

1925년이 되자 ‘옛 양자론’의 임시 수선은 한계에 이르렀다. 선택 규칙은 통하고 스펙트럼도 대체로 맞았지만, 세기와 다전자계의 복잡성, 규칙 자체의 논리에는 새로운 운영 체제가 필요했다. 거의 동시에 서로 다른 두 이론이 등장했다. 보른과 요르단이 함께한 하이젠베르크의 행렬역학, 그리고 슈뢰딩거의 파동역학이었다. 같은 물리학을 전혀 다른 방식으로 표현했다. 1926년에는 두 이론의 동등성이 증명되었고, 양자론은 마침내 일관된 계산 체계를 갖추었다.

6.9.1 분산에서 재해석으로

하이젠베르크의 도약은 광학적 분산에서 시작되었다. 빛에 의해 구동되는 고전적 전자는 진동하고 조합 진동수로 복사한다. 옛 양자론은 이를 정상 상태 사이의 전이 진동수 ${\omega }_{mn}=(E_m-E_n)/\hslash$와 선 세기에 연결된 진폭으로 표현했다. 하이젠베르크의 ‘Umdeutung’, 즉 재해석은 관측할 수 없는 전자 궤도를 버리고 관측 가능한 전이 데이터만 남기는 것이었다. 이 데이터를 에너지 준위를 행과 열의 첨자로 갖는 배열 $X_{mn}$로 정리했다. 운동의 합성은 행렬 곱셈이 되었다. 궤적이 떠나고 전이의 대수가 들어왔다.

6.9.2 한 페이지로 보는 행렬역학

관측량은 행렬 $A$이며, 에너지 고유기저에서 그 원소는 $A_{mn}$이다. 시간 의존성에는 보어 진동수가 들어간다.

$$A_{mn}(t)=A_{mn}{e}^{i{\omega }_{mn}t}$$

전이의 합성을 따르는 곱셈 규칙은 행렬 곱셈이다. 뉴턴의 방정식 $m\ddot{x}=-\partial V/\partial x$는 대응 관계 $x\to X$, $p\to P$를 적용하면

$$m\ddot{X}=-\frac{\partial V(X)}{\partial X}$$

시간 미분은 위상을 통해 각 원소에 작용하며, 큰 양자수에서 대응 원리와 일치해야 한다. 핵심적인 구조는 정준 교환 관계이다.

$$[X,P]\equiv XP-PX=i\hslash \mathbb{I}$$

이는 선택적인 양념이 아니라 푸아송 괄호를 대체하는 대수적 핵심이다. 이 관계로 조화 진동자, 회전자, 수소 스펙트럼을 순수하게 대수적으로 얻는다.

6.9.3 비가환성에서 나오는 불확정성

$[X,P]=i\hslash$가 법칙이면 양립 불가능한 관측량의 퍼짐을 동시에 0으로 줄일 수 없다. 일반적인 부등식은

$$\Delta A\Delta B\ge \frac{1}{2}|⟨[A,B]⟩|$$

$A=X$와 $B=P$를 택하면 유명한 한계를 얻는다.

$$\Delta x\Delta p\ge \frac{\hslash }{2}$$

이는 측정이 서툴러서 생기는 문제가 아니라 힐베르트 공간의 기하학이다. 이 한계는 어떤 ‘교란’을 가정하지 않아도 코시–슈바르츠 부등식과 연산자 대수에서 나온다.

6.9.4 슈뢰딩거의 파동역학

슈뢰딩거는 반대편, 즉 파동에서 출발했다. 드브로이의 $E=\hslash \omega$, $p=\hslash k$를 시작으로 평면파 해가 올바른 분산 관계를 가지는 파동방정식을 요구했다. 결과는 시간 의존 슈뢰딩거 방정식이다.

$$i\hslash \frac{\partial \psi (\mathbf{r},t)}{\partial t}=\left[-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2+V(\mathbf{r})\right]\psi (\mathbf{r},t)$$

정상 상태 $\psi (\mathbf{r},t)=\varphi (\mathbf{r})e^{-iEt/\hslash }$를 찾으면 시간 비의존 형태를 얻는다.

$$\left[-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2+V(\mathbf{r})\right]\varphi (\mathbf{r})=E\varphi (\mathbf{r})$$

경계 조건은 $E$를 이산화하여 보어가 정리한 스펙트럼선을 만들어 낸다.

6.9.5 보른 규칙과 $\psi$의 의미

막스 보른은 1926년에 해석의 열쇠를 제공했다. $|\psi {|}^2$는 확률 밀도이다. 기댓값은 이를 가중치로 사용하는 적분이다. 정규화된 상태에 대해

$$\int |\psi (\mathbf{r},t){|}^2{d}^{3}r=1$$

그리고 파동함수에 작용하는 연산자 $\hat{A}$에 대해

$$⟨A⟩=\int {\psi }^{\ast }(\mathbf{r},t)(\hat{A}\psi )(\mathbf{r},t)d^{3}r$$

확률 흐름과 연속 방정식은 슈뢰딩거 방정식에서 따라 나오므로 확률적 해석은 자기 일관적이다.

6.9.6 연산자와 정준 대응 사전

파동역학은 행렬의 교환 관계를 재현하는 미분 연산자를 사용한다.

$$\hat{x}=x,\hat{p}=-i\hslash \nabla$$

이들은 다음을 만족한다.

$$[{\hat{x}}_i,{\hat{p}}_j]=i\hslash {\delta }_{ij}\mathbb{I}$$

따라서 불확정성 관계와 관측량의 대수는 행렬역학과 일치한다. 퍼텐셜은 곱셈 연산자 $V(\hat{x})$가 되고 운동 에너지는 $-{\hslash }^2{\nabla }^2/(2m)$가 된다. 대응 원리는 고전–양자 대응 사전에서 ‘푸아송 괄호를 교환자의 $(1/i\hslash )$배로 바꾼다’는 규칙으로 정리된다.

6.9.7 동등성: 두 표현이 같은 이론임을 보이기

슈뢰딩거 자신이 파동역학과 행렬역학이 유니터리하게 동등함을 보였다. 에너지 고유함수 $\{{\varphi }_n\}$의 기저에서

$$A_{mn}=\int {\varphi }_m^{\ast }(\mathbf{r})(\hat{A}{\varphi }_n)(\mathbf{r})d^{3}r$$

이 적분은 하이젠베르크–보른–요르단이 사용한 행렬 원소와 정확히 같다. 반대로 행렬 $A_{mn}$가 주어지면 전개 계수에 대한 작용으로 $\hat{A}$를 구성한다. 같은 스펙트럼, 같은 전이 진폭, 같은 선택 규칙을 서로 다른 옷으로 표현한 것이다. 이후 디랙이 이를 브라–켓 표기법과 스펙트럼 이론으로 정리했지만, 핵심적인 동등성은 이미 여기에 있다.

6.9.8 간단한 풀이: 조화 진동자와 수소

조화 진동자. 행렬역학에서는 사다리 연산자를 정의한다.

$$a=\frac{1}{\sqrt{2\hslash m\omega }}\left(m\omega X+iP\right),a^{†}=\frac{1}{\sqrt{2\hslash m\omega }}\left(m\omega X-iP\right)$$

이들은 다음을 만족한다.

$$[a,a^{†}]=1$$

해밀토니안은

$$H=\hslash \omega \left(a^{†}a+\frac{1}{2}\right)$$

이 되고 고윳값은

$$E_n=\hslash \omega \left(n+\frac{1}{2}\right)$$

파동역학은 미분방정식을 풀어 같은 사다리 구조와 에너지를 얻는다. 에르미트 다항식이 나타나지만 스펙트럼은 동일하다.

수소. 파동역학에서 구면 좌표로 변수를 분리하면 결합 상태의 양자화 조건을 가진 방사상 방정식을 얻는다.

$$E_n=-\frac{m_e{e}^4}{2(4\pi {\epsilon }_0{)}^2{\hslash }^2}\frac{1}{n^2}$$

축퇴는 옛 이론의 $n$에만 의존하는 성질과 일치한다. 행렬역학에서는 숨은 룽게–렌츠 대칭으로 같은 $1/n^2$ 스펙트럼을 대수적으로 재현한다.

6.9.9 에렌페스트 정리와 고전적 극한

양자적 기댓값은 고전 운동을 닮은 방정식을 따른다.

$$\frac{d}{dt}⟨\hat{x}⟩=\frac{⟨\hat{p}⟩}{m},\frac{d}{dt}⟨\hat{p}⟩=-⟨\frac{\partial V}{\partial x}⟩$$

이것이 에렌페스트 정리이다. 파동 묶음이 좁고 퍼텐셜이 매끄러우면 $⟨\partial V/\partial x⟩\approx \partial V(⟨x⟩)/\partial x$이며, 중심은 뉴턴의 법칙을 따른다. 대응 원리를 동역학으로 다시 표현한 것이다.

6.9.10 정상 상태, 전이, 선택 규칙

파동의 언어에서 정상 상태 ${\varphi }_n$는 에너지 고유함수이다. 시간 의존성은 전체 위상 $e^{-i{E}_{n}t/\hslash }$이므로 명시적인 시간 의존성이 없는 관측량의 기댓값은 시간에 무관하다. 약한 주기장 $H^{\prime }=-\hat{d}\cdot {\mathbf{E}}_0\cos \omega t$로 계를 구동하고 시간 의존 섭동론을 적용하면 전이율은 장의 편광 방향으로 투영한 행렬 원소 $⟨m|\hat{d}|n⟩$의 절댓값 제곱에 비례하며 $\hslash \omega =E_m-E_n$에서 공명한다. 쌍극자 연산자는 $\Delta \ell =\pm 1$ 같은 선택 규칙을 강제한다. 옛 경험 규칙과 일치하면서 세기를 제1원리로부터 계산하는 것이다.

6.9.11 교환자, 푸아송 괄호, 양자화 규칙

고전역학에서 이어지는 형식적인 다리는 다음을 사용한다.

$$\{A,B{\}}_{\text{PB}}⟶\frac{1}{i\hslash }[\hat{A},\hat{B}]$$

또한 정준 변수 $(x,p)$를 $[x,p]=i\hslash$를 따르는 연산자로 승격한다. 비선형 고전식을 연산자로 바꿀 때에는 순서의 모호성이 생긴다. 보른–요르단과 바일의 초기 처방은 이를 체계화하려 했다. 실제로는 대칭성과 실험적 확인이 올바른 연산자 형태를 정한다. 이차 해밀토니안과 중심 퍼텐셜에서는 단순한 승격이 깔끔하게 작동한다.

6.9.12 변분 및 스펙트럼 관점

슈뢰딩거는 변분 원리도 제시했다. 정상 상태는 다음 범함수를 극값으로 만든다.

$$\mathcal{E}[\varphi ]=\frac{\int {\varphi }^{\ast }\left[-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2+V\right]\varphi d^{3}r}{\int |\varphi {|}^2{d}^{3}r}$$

정규화 조건 아래에서 $\mathcal{E}$를 최소화하면 가장 낮은 고윳값을 얻고, 직교 조건을 추가하면 들뜬 상태를 얻는다. 이는 원자, 분자, 고체 계산의 중심인 현대 레일리–리츠 방법의 선조이다.

6.9.13 연속체, 산란, 위상 이동

모든 스펙트럼이 이산적인 것은 아니다. 결합 에너지를 넘는 에너지에서는 에너지 또는 운동량의 델타 함수로 정규화되는 산란 상태가 해가 된다. 3차원의 단거리 $V(r)$에서 점근적 파동함수는 평면파와 바깥으로 나가는 구면파의 합이며, 물리적 정보는 부분파 위상 이동 ${\delta }_{\ell }(E)$에 담긴다. 단면적은 여기에서 나온다. 행렬역학은 같은 정보를 $S$ 행렬에 담으며, 그 유니터리성은 확률 보존을 나타낸다.

6.9.14 개념적으로 달라진 것

• 연산자로서의 관측량. 숨은 궤도 대신 측정 가능한 양은 연산자의 스펙트럼과 기댓값이다.
• 벡터로서의 상태. 계는 복소 내적 공간의 벡터이며 선형 방정식으로 시간 발전한다.
• 대수가 나타내는 양립 불가능성. 비가환성이 고전적인 동시 확정성을 대신한다. 불확정성은 기기의 문제가 아니라 구조적인 성질이다.
• 진폭에서 나오는 확률. 간섭은 공간 속 파동만의 문제가 아니라 진폭의 복소 위상에 관한 것이다.

옛 규칙들은 하나의 선형적 틀에서 나오는 따름정리가 된다.

6.9.15 최소 연습문제 모음

• 코시–슈바르츠 부등식을 사용하여 $[x,p]=i\hslash$로부터 $\Delta x\Delta p\ge \hslash /2$가 나옴을 보여라.
• 슈뢰딩거 방정식으로 1차원 무한 사각 우물을 풀고 에너지와 정규직교 고유함수를 구하라.
• 진동자의 사다리 연산자를 구성하고 $[a,a^{†}]=1$와 $E_n=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})$를 증명하라.
• 수소에 대해 구면 좌표에서 변수를 분리하고 세 양자수 $(n,\ell ,m)$와 그 축퇴도를 확인하라.
• 약한 주기적 섭동에 대해 페르미의 황금률을 유도하고 쌍극자 선택 규칙 $\Delta \ell =\pm 1$를 얻어라.

요약: 하이젠베르크는 경로를 전이의 대수로 바꾸었고, 슈뢰딩거는 궤도를 절댓값 제곱이 확률인 파동으로 바꾸었다. 보른은 측정 규칙을 제공했고, 교환자는 논리를 제공했으며, 두 형식은 동등하고 완전함이 증명되었다. 이로써 양자 물리학은 영리한 임시방편에서 통합된 이론으로 발전했다. 스펙트럼과 동역학을 예측하고 세기를 계산하며 ‘고전적’이라는 말이 단지 멀리서 본 특별한 극한인 이유를 설명한다. 제7장에서는 이 장치를 실제로 사용하여 대표적인 계를 풀고, 현대 물리학과 화학을 움직이는 섭동 도구를 마련한다.