전자기학

4.1 서론: 전기, 자기와 빛

전자기학은 우리 세계를 묶는 보이지 않는 실, 즉 튀는 불꽃, 돌아가는 나침반, 별의 소식을 전하는 빛의 과학이다. 통일된 이론이 되기 전까지 전기와 자기는 따로 연구되던 신기한 현상이었고, 각각의 역사는 고대로 거슬러 올라간다.

4.1.1 고대의 신기한 현상들

전기라는 말은 호박을 뜻하는 그리스어 엘렉트론에서 유래한다. 기원전 600년 무렵 밀레토스의 탈레스는 호박을 털가죽으로 문지르면 작은 물체를 끌어당긴다는 것을 알아차렸다. 정전기는 이해하기 어려웠지만 사람들을 즐겁게 하는 묘기였다. 마찬가지로 자연적으로 자화된 철광석인 자철석도 중국과 그리스에서 알려져 있었다. 자철석은 지구 자기장의 방향으로 정렬되어 물리적 원리를 이해하기 수세기 전부터 나침반을 안내했다.

그러나 수천 년 동안 전기와 자기는 체계적인 과학보다는 민간의 지식과 항해의 보조 수단에 머물렀다.

4.1.2 계몽주의 시대의 초기 실험

18세기에는 전기가 구경거리가 되었다. 벤저민 프랭클린은 뇌우 속에서 유명한 연을 날려 번개와 전기 불꽃의 친연성을 보였다. 그는 양전하와 음전하라는 용어를 만들고 전하 보존 개념을 널리 알렸다.

한편 이탈리아의 실험은 전기와 생물학의 연결을 드러냈다. 루이지 갈바니는 금속이 닿으면 개구리 다리가 경련하는 것을 관찰하고 ‘동물 전기’를 제안했다. 알레산드로 볼타는 동의하지 않았다. 원천은 생물이 아니라 화학이라고 주장했고, 1800년에 전지의 원형인 최초의 볼타 전퇴를 만들었다. 처음으로 지속적이고 제어 가능한 전류원이 생겨 혁명이 시작되었다.

1820년대에 게오르크 옴은 전류, 전압, 저항의 관계를 정량화했다.

$$V=IR.$$

처음에는 반대에 부딪혔던 옴의 법칙은 회로 이론의 초석이 되었다. 전기는 신기한 현상에서 정량적인 과학으로 바뀌고 있었다.

4.1.3 자기의 수수께끼

자기에 대한 이해도 발전했다. 나침반은 탐험가에게 필수적이었다. 윌리엄 길버트의 자석에 관하여(1600)는 지구 자체가 거대한 자석이라고 주장했다. 그러나 자기는 전기와 별개인 듯했다. 두 현상이 관련되어 있으리라고 아무도 예상하지 못했다.

이 상황은 19세기에 바뀌었다.

4.1.4 산업혁명과 동력을 향한 탐구

1800년대 초에는 증기기관이 공장과 철도를 움직였지만 전기 기술도 등장하고 있었다. 전신은 대륙을 가로지르는 즉각적인 통신을 약속했다. 과학자들은 전기로 기계를 움직이고 에너지를 전달하거나 도시를 밝힐 수 있는지 물었다. 답하려면 더 깊은 이론이 필요했다.

4.1.5 빛의 수수께끼

또 다른 실마리인 빛이 이야기에 들어왔다. 아이작 뉴턴은 빛을 입자로 기술했고, 토머스 영과 오귀스탱 프레넬은 간섭과 회절을 보여 파동성을 확인했다. 그러나 어떤 종류의 파동일까? 소리에는 공기가, 물결에는 물이 필요하다. 그렇다면 빈 공간을 통해 빛을 운반하는 매질은 무엇일까? 물리학자들은 빈 공간을 채우는 가상 물질인 빛을 운반하는 에테르를 도입했다.

통합을 위한 무대가 마련되었다. 19세기는 전기·자기·빛이 서로 다른 현상이 아니라 하나의 더 깊은 실재가 드러나는 여러 측면임을 밝혀낼 것이다.

전기는 문지른 호박에서, 자기는 자철석에서, 빛은 신비로운 파동에서 시작했다. 19세기가 시작될 무렵 전지·회로·나침반은 이들을 강력하지만 여전히 분리된 도구로 바꾸었다. 다음 절들에서는 외르스테드, 앙페르, 패러데이, 맥스웰이 전자기학이라는 통합을 이루는 과정을 따라간다.

4.2 외르스테드, 앙페르와 전자기학의 발견

19세기 초에도 전기와 자기는 별개의 주제였다. 전지는 일정한 전류를 만들고 자석은 나침반의 방향을 정했다. 코펜하겐에서 우연한 실험이 물리학을 영원히 바꾸기 전까지 아무도 숨은 통일성을 예상하지 못했다.

4.2.1 한스 크리스티안 외르스테드와 우연한 발견

한스 크리스티안 외르스테드(1777–1851)는 덴마크의 물리학자이자 철학자였다. 낭만주의 자연철학의 영향을 받아 자연은 하나이며 전기·자기·화학·빛은 서로 연결되어 있다고 믿었다. 수년간 증거를 찾았지만 결정적인 것은 발견하지 못했다.

1820년 학생들에게 강의하던 중 외르스테드는 특이한 현상을 발견했다. 전류가 흐르는 도선이 근처 나침반의 바늘을 움직였다. 전기가 자기에 영향을 줄 수 있는 듯했다. 이는 사소한 일이 아니라 전류가 자기장을 만든다는 뜻이었다.

외르스테드의 발견은 유럽 전역으로 빠르게 퍼졌다. 몇 달 만에 물리학자와 수학자들이 현상을 정량화하려고 달려들었다. 그중에는 전기역학의 수학적 토대를 세울 앙드레마리 앙페르도 있었다.

4.2.2 앙페르의 실험과 법칙

프랑스의 수학자이자 물리학자인 앙드레마리 앙페르(1775–1836)는 외르스테드의 보고에 매료되었다. 그는 핵심이 정전기가 아니라 전류임을 깨달았다. 전류가 흐르는 평행한 도선을 나란히 놓고 힘을 측정하는 실험을 했다.

그는 평행한 두 전류가 같은 방향이면 끌어당기고 반대 방향이면 밀어낸다는 것을 발견했다. 이는 정지한 전하뿐 아니라 움직이는 전하 사이에 작용하는 새로운 종류의 힘을 암시했다.

앙페르는 정량적인 식을 유도했다. 거리 $r$만큼 떨어진 길고 평행한 두 도체 사이의 단위 길이당 힘은

$$\frac{F}{L}=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{I_1{I}_2}{r},$$

여기서 $I_1$와 $I_2$는 전류이다. 이 결과는 매우 근본적이어서 역사적으로 SI 단위 암페어의 정의가 이에 기초했다.

더 일반적으로 앙페르는 닫힌 고리를 따른 자기장 $\mathbf{B}$의 순환이 그 안의 전류에 대응한다는 법칙을 정식화했다.

$$\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}={\mu }_0{I}_{\text{enc}}.$$

이 앙페르 법칙은 나중에 변위 전류를 보정하면 맥스웰의 네 방정식 중 하나가 된다. 현대 벡터 미적분으로는

$$\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}.$$

4.2.3 비오–사바르 법칙

동시에 장바티스트 비오와 펠릭스 사바르는 전류가 만드는 자기장을 연구했다. 그들은 점 $\mathbf{r}$에서 전류 요소 $Id\mathbf{l}$에 의한 장을 기술하는 비오–사바르 법칙을 확립했다.

$$d\mathbf{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\mathbf{l}\times \hat{\mathbf{r}}}{r^2}.$$

도선을 따라 적분하면 전체 자기장을 얻는다. 비오–사바르 법칙은 전기에서의 쿨롱 법칙과 비슷하지만, 자기의 본질적인 회전성을 반영하는 벡터곱이 핵심적으로 들어간다.

4.2.4 실험의 유산

이 발견들은 학문적인 데 그치지 않았다. 사회를 바꿀 기술들의 토대를 놓았다.

• 전자석. 철심 주위에 도선을 감으면 전류가 강하고 제어 가능한 자기장을 만들어 전신과 전동기를 가능하게 한다.
• 측정 표준. 자기적 편향으로 전류를 측정할 수 있게 되어 계측학에서도 전기와 자기가 연결되었다.
• 수학적 전기역학. 앙페르 법칙은 전류가 자기장의 원천이라는 통합 원리를 제공했다.

4.2.5 철학적 울림

외르스테드의 실험은 자연의 통일성에 대한 직관을 확인했다. 앙페르의 수학은 그 통일성을 정량적으로 드러냈다. 전기와 자기는 더 이상 별개의 신기한 현상이 아니라 깊이 얽혀 있었다. 시인 괴테가 시사했듯 ‘자연 현상은 신비한 알파벳의 글자들일 뿐이다.’ 앙페르와 외르스테드는 그 알파벳의 몇 단어를 해독한 것이다.

4.2.6 패러데이와 맥스웰을 향하여

이야기는 거기서 끝나지 않았다. 1830년대에 마이클 패러데이는 통일성을 더 확장했다. 전류가 자기장을 만들 뿐 아니라 변하는 자기장도 전류를 만든다는 것이다. 이 유도 원리(§4.3 참고)는 제임스 클러크 맥스웰이 빛 자체가 전자기파임을 보여 통합을 완성하도록 이끌었다.

정리하면 다음과 같다. 1820년 외르스테드가 우연히 본 나침반 바늘은 혁명을 시작했다. 앙페르의 체계적인 연구는 새로운 상호작용을 정량화했다. 전류는 자기장을 만들며 그 힘은 정확한 법칙을 따른다. 비오–사바르 법칙과 앙페르의 회로 법칙으로 전자기학은 최초의 엄밀한 방정식들을 갖추었다. 강의실의 신기한 현상에서 시작된 일이 현대 전기역학의 토대가 되었다.

4.3 패러데이와 장의 개념

외르스테드와 앙페르가 전기와 자기의 연결을 보였다면, 그 연결에 깊이와 전망을 부여한 사람은 마이클 패러데이(1791–1867)였다. 패러데이의 실험은 전기가 자기를 만들 뿐 아니라 자기에서도 전기를 만들 수 있음을 드러냈으며, 그의 ‘힘의 선’이라는 생각은 현대 장 개념의 토대를 놓았다.

4.3.1 패러데이의 삶과 성품

런던의 가난한 가정에서 태어난 패러데이는 정규교육을 거의 받지 못했다. 제본공 견습생으로 일하면서 자신이 제본하는 과학 서적을 탐독했다. 과학에 매료되어 왕립연구소에서 위대한 화학자 험프리 데이비의 강의를 들었다. 성실함을 인정받아 데이비의 조수가 되었다. 사회적 장벽에도 불구하고 패러데이는 역사상 가장 유명한 실험가 중 한 명이 되었다.

패러데이는 수학자가 아니었다. 그는 *‘수학적 지식이 있다고 조금도 자처하지 않는다’*고 고백했다. 그러나 직관·실험·상상력으로 나중에 맥스웰이 수학으로 표현할 법칙들을 찾아냈다. 패러데이는 세심한 관찰, 독창적인 장치, 끈질긴 호기심이라는 실험 정신의 모범이었다.

4.3.2 전자기 유도의 발견

외르스테드 이후의 핵심 질문은 전류가 자기장을 만든다면 자기도 전류를 만들 수 있는가였다. 패러데이는 1831년 전자기 유도의 발견으로 답했다.

그는 철고리에 두 개의 코일을 감았다. 한 코일은 전지에, 다른 코일은 검류계에 연결하자 바늘이 움직였다. 그러나 전류를 켜거나 끌 때만 그랬다. 일정한 전류는 효과를 만들지 않았으며 변하는 자기선속만이 두 번째 코일에 전류를 유도했다.

패러데이는 시간에 따라 변하는 자기장이 기전력(emf)을 유도한다고 결론 내렸다. 이는 깊은 대칭이었다. 전기는 자기를 만들고 변하는 자기는 전기를 만든다.

4.3.3 패러데이의 유도 법칙

패러데이는 실험을 하나의 법칙으로 일반화했다.

$$\mathcal{E}=-\frac{d{\Phi }_B}{dt},$$

여기서 $\mathcal{E}$는 유도 기전력이고 ${\Phi }_B$는 회로를 통과하는 자기선속이다.

$${\Phi }_B=\int \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.$$

음의 부호는 유도 전류가 선속의 변화를 방해한다는 렌츠의 법칙을 나타내며 에너지 보존을 반영한다.

나중에 맥스웰이 쓴 완전한 벡터 미적분 형태로는

$$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.$$

이것이 맥스웰의 네 방정식 중 하나인 패러데이 법칙이다.

4.3.4 힘의 선과 장의 개념

패러데이는 미적분 도구를 갖추지 못했으므로 자신의 발견을 힘의 선으로 설명했다. 전기와 자기의 효과를 공간을 가로질러 뻗으면서 국소적으로 영향을 미치는 선으로 시각화했다. ‘원격작용’에 익숙한 동시대인에게는 급진적인 생각이었다. 그러나 패러데이는 공간 자체가 능동적이며 장은 실재한다고 주장했다.

장을 물리적 실체로 보는 이 개념적 도약은 뉴턴의 중력만큼 혁명적이었다. 힘이 빈 공간을 가로질러 순간적으로 작용한다는 생각에서 물리학을 해방했다. 패러데이에게 장은 머릿속으로 그리거나 심지어 스케치할 수 있는 구체적인 것이었다.

4.3.5 실험적 성과

패러데이의 실험실은 발견의 무대가 되었다.

• 회전하는 자석과 도체. 도체와 자기장 사이의 상대 운동이 전류를 유도함을 보였다. 이 원리가 발전기의 기초이다.
• 자기광학 효과: 패러데이 효과. 자기장이 유리를 통과하는 편광의 편광면을 회전시킨다는 것을 발견하여 전자기학과 광학의 연결을 드러냈다.
• 전기화학. 패러데이는 전기분해 법칙을 정식화하고 전극, 산화 전극, 환원 전극 같은 용어를 도입했다.

이 업적들은 그의 다재다능함과 깊은 직관을 보여 주었다.

4.3.6 패러데이가 맥스웰에게 미친 영향

패러데이는 정성적인 언어로 썼지만 힘의 선은 깊은 무언가를 포착했다. 제임스 클러크 맥스웰은 나중에 패러데이의 통찰을 방정식으로 옮겼다. 맥스웰은 *‘패러데이의 힘의 선은 수학적으로 나타낼 수 있다… 전자기학 이론 전체는 이 생각을 발전시킨 것이다’*라고 인정했다.

이처럼 패러데이는 실험과 이론을 이었다. 그의 통찰이 없었다면 맥스웰의 종합도 나오지 않았을지 모른다.

4.3.7 기술적 영향

패러데이의 유도는 전기의 실용화를 가능하게 했다.

• 발전기. 자기장 속의 기계적 회전은 다이너모의 기초가 되어 산업에 전력을 공급했다.
• 변압기. 코일 사이의 유도는 효율적인 전압 변환을 가능하게 하며 전력망에 필수적이다.
• 전동기. 전류가 운동을 만드는 반대 원리가 순환을 완성한다.

패러데이의 발견은 전기로 작동하는 거의 모든 현대 기술의 기초이다.

4.3.8 철학적 의의

패러데이의 장 개념은 물리학을 다시 빚었다. 공간에 장이 깃들어 있다는 생각은 맥스웰 방정식과 아인슈타인의 시공간을 모두 예고했다. 이는 장이 단순한 수학적 편의가 아니라 자연의 실제 행위자라는 새로운 존재론을 반영했다. 아인슈타인은 나중에 *‘물리학의 공리에서 가장 크고 가장 풍요로운 변화는 패러데이의 장 개념이었다’*고 말했다.

4.4 맥스웰의 종합: 장의 방정식

패러데이가 실험적 통찰을 제공했다면 전자기학에 수학적 영혼을 준 사람은 제임스 클러크 맥스웰(1831–1879)이었다. 맥스웰 방정식은 전기·자기·광학을 하나의 이론으로 통합하여 빛 자체가 전자기파임을 보였다. 이를 통해 물리학은 예측력뿐 아니라 자연은 미분방정식을 따르는 장의 지배를 받는다는 새로운 패러다임을 얻었다.

4.4.1 과학자 맥스웰

스코틀랜드 에든버러에서 태어난 맥스웰은 어려서부터 수학적 재능을 보였으며 패러데이의 저술에 깊이 영향을 받았다. 패러데이가 힘의 선을 그린 곳에서 맥스웰은 이를 미적분으로 옮겼다. 색각, 토성 고리의 안정성, 운동론 등 물리학 전반을 연구했지만 최고의 업적은 전자기학의 종합이었다.

맥스웰은 과학철학자이기도 했다. 방정식만으로는 부족하며 모형·유추·시각화가 필요하다고 주장했다. 직관과 수학을 결합하여 패러데이의 계승자이자 현대 장이론의 선구자가 되었다.

4.4.2 현대적 형태의 맥스웰 방정식

맥스웰은 쿨롱, 앙페르, 패러데이, 가우스의 실험 법칙을 네 개의 미분방정식으로 통합했다.

1. 가우스 법칙: 전기장.
   $\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$
   전하 $\rho$는 전기장의 원천이다.

2. 가우스 법칙: 자기.
   $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$
   이 이론에는 자기 홀극이 없다. 자기력선에는 고립된 시작점이나 끝점이 없다.

3. 패러데이 유도 법칙.
   $\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$
   시간에 따라 변하는 자기장은 전기장을 유도한다.

4. 앙페르–맥스웰 법칙.
   $\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$
   전류와 변하는 전기장은 자기장을 만든다.

핵심적인 추가 사항은 맥스웰이 전하 보존을 유지하기 위해 도입한 변위 전류 항(${\mu }_0{\epsilon }_0\partial \mathbf{E}/\partial t$)이다. 이 항이 없으면 축전기 충전 같은 경우에 앙페르 법칙이 성립하지 않는다. 이 항 덕분에 방정식은 일관성과 대칭성을 얻는다.

4.4.3 파동 방정식과 빛의 본성

전하와 전류가 없는 공간($\rho =0$, $\mathbf{J}=0$)에서 패러데이 법칙과 앙페르–맥스웰 법칙을 결합하자. 패러데이 법칙의 회전을 취하면

$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=-\frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B}).$$

앙페르–맥스웰 법칙을 대입하면

$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}.$$

벡터 항등식 $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E})-{\nabla }^2\mathbf{E}$와 가우스 법칙(자유 공간에서 $\nabla \cdot \mathbf{E}=0$)을 사용하면

$${\nabla }^2\mathbf{E}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}.$$

이는 파동 속력이 다음과 같은 파동 방정식이다.

$$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}.$$

${\mu }_0$와 ${\epsilon }_0$의 수치를 넣으면 측정된 빛의 속력인 $c\approx 3.0\times 10^{8}m/s$를 얻는다. 따라서 빛은 전자기파이다. 이는 역사상 가장 놀라운 이론적 예측 중 하나였으며 광학은 전자기학 안으로 통합되었다.

4.4.4 장의 에너지와 포인팅 벡터

맥스웰은 장이 에너지와 운동량을 운반한다는 것도 보였다. 에너지 밀도는

$$u=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}{B}^2,$$

그리고 포인팅 벡터

$$\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}$$

는 전자기장의 에너지 흐름을 나타낸다. 따라서 빛은 진동뿐 아니라 이동하는 에너지이기도 하다. 나중에는 복사압과 운동량 교환도 실험적으로 확인되었다.

4.4.5 대칭과 통합

맥스웰 방정식은 $\mathbf{E}$와 $\mathbf{B}$에 대해 대칭적인 형태를 가지며 시간 변화를 통해 결합된다. 전하·에너지·운동량의 국소 보존 법칙을 구현한다. 이로써 ‘원격작용’이 필요 없어졌다. 힘은 순간적인 영향이 아니라 국소적인 장에서 나온다.

이 대칭은 이후의 일반화에 영감을 주었다. 상대론에서 맥스웰 방정식은 우아한 텐서 형태를 얻는다.

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu },{\partial }_{[\alpha }{F}_{\beta \gamma ]}=0,$$

여기서 $F^{\mu \nu }$는 전자기장 텐서이다. 전기와 자기의 통합은 더 깊은 통합을 예고했다.

목표. 세 성분 벡터 형태의 네 맥스웰 방정식

$$\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0},\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},\nabla \cdot \mathbf{B}=0,\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$$

이 어떻게 공변적인 두 식

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu },{\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0,$$

으로 합쳐지는지, 나아가 원한다면 $F$와 그 쌍대를 결합하여 하나의 복소 방정식으로 쓰는지 보인다.

1. 준비: 4차원 표기와 규약

계량 ${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$와 좌표 $x^{\mu }=(ct,x,y,z)$를 사용하는 평탄한 시공간에서 작업한다. SI 단위를 명시적으로 유지하므로 $c=1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}$이다.

• 4차원 기울기: ${\partial }^{\mu }=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},-\nabla \right)$
• 4차원 전류: $J^{\mu }=(c\rho ,\mathbf{J})$
• 4차원 퍼텐셜: $A^{\mu }=\left(\frac{\varphi }{c},\mathbf{A}\right)$

장 텐서를 정의한다.

$$F_{\mu \nu }\equiv {\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu },F^{\mu \nu }={\eta }^{\mu \alpha }{\eta }^{\nu \beta }{F}_{\alpha \beta }.$$

쌍대는

$${\tilde{F}}^{\mu \nu }\equiv \frac{1}{2}{\epsilon }^{\mu \nu \alpha \beta }{F}_{\alpha \beta },{\epsilon }^{0123}=+1.$$ $$F^{i0}=+\frac{E^i}{c},F^{0i}=-\frac{E^i}{c},F^{ij}=-{\epsilon }^{ijk}{B}_k.$$

행렬 형태는

$$F^{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}0& -E_x/c& -E_y/c& -E_z/c\\ E_x/c& 0& -B_z& B_y\\ E_y/c& B_z& 0& -B_x\\ E_z/c& -B_y& B_x& 0\end{array}\right).$$

퍼텐셜로부터는

$$\mathbf{E}=-\nabla \varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t},\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}.$$

2. 기하학에서 나오는 동차 방정식

$F=dA$이므로

$${\partial }_{\alpha }{F}_{\beta \gamma }+{\partial }_{\beta }{F}_{\gamma \alpha }+{\partial }_{\gamma }{F}_{\alpha \beta }=0,$$

이는 다음과 같다.

$${\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0⟺\nabla \cdot \mathbf{B}=0,\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.$$

3. 비동차 방정식

방정식은

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu },J^{\nu }=(c\rho ,\mathbf{J}).$$

(a) $\nu =0$

$${\partial }_i{F}^{i0}=\frac{1}{c}\nabla \cdot \mathbf{E}={\mu }_{0}c\rho \Rightarrow \nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}.$$

(b) $\nu =i$

$${\partial }_0{F}^{0i}+{\partial }_j{F}^{ji}=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial E^i}{\partial t}+(\nabla \times \mathbf{B}{)}^i={\mu }_0{J}^i.$$

따라서

$$\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$$

4. 하나의 복소 방정식

다음을 정의하자.

$${\mathcal{F}}^{\mu \nu }=F^{\mu \nu }-i{\tilde{F}}^{\mu \nu }.$$

그러면

$${\partial }_{\mu }{\mathcal{F}}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu },$$

이 식은 비동차 방정식과 동차 방정식을 함께 담는다.

5. 빠른 참고

• 벡터 형태:

$$\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0},\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},\nabla \cdot \mathbf{B}=0,\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$$

• 공변적인 두 식:

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu },{\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0.$$

• 한 줄 표현:

$${\partial }_{\mu }(F^{\mu \nu }-i{\tilde{F}}^{\mu \nu })={\mu }_0{J}^{\nu }.$$

4.4.6 실험적 확인

독일 물리학자 하인리히 헤르츠는 1880년대에 전파를 발생시키고 검출하여 맥스웰의 예측을 확인했다. 그의 실험은 빛과 똑같은 반사·굴절·간섭을 보여 전자기 스펙트럼을 확장했다. 나중에 마르코니는 이를 무선 통신에 활용하여 사회를 혁신했다.

4.4.7 철학적·역사적 의의

맥스웰의 통합은 뉴턴에 필적했다. 뉴턴은 천체와 지상의 역학을 통합했고 맥스웰은 전기·자기·빛을 통합했다. 두 경우 모두 서로 다른 현상이 하나의 이론 아래 들어왔다.

철학적으로 맥스웰은 장을 물리학의 중심 개념으로 끌어올렸다. 장은 단순한 수학적 도구가 아니라 물리적 실재이다. 아인슈타인은 나중에 *‘19세기 물리학의 공리에서 가장 심오한 변화는 맥스웰이 장을 도입한 것이었다’*고 인정했다.

4.4.8 상대론과 그 너머를 향하여

그러나 맥스웰 방정식에는 수수께끼가 있었다. 관측자와 무관하게 빛의 속력이 일정하다고 예측했다. 이를 뉴턴 역학의 상대성과 어떻게 조화시킬 수 있을까? 로런츠 변환과 아인슈타인의 특수상대론을 통해 답을 찾는 과정이 다음 장(§5)의 주제이다.

4.5 전자기 복사

맥스웰이 빛은 전자기파라고 예측했을 때 그 주장은 놀라웠다. 광학과 전기·자기를 통합하여 촛불의 깜박임과 불꽃의 타닥거림이 같은 실재의 다른 모습임을 시사했다. 그러나 이론에는 확인이 필요했다. 19세기의 마지막 수십 년은 그 증거를 가져오고 스펙트럼을 확장하며 현대 세계를 정의하는 기술들을 탄생시켰다.

4.5.1 빛의 파동적 성질

맥스웰 훨씬 전부터 빛이 파동처럼 행동한다는 사실은 알려져 있었다. 토머스 영의 이중 슬릿 실험(1801)은 간섭무늬를 보였고 오귀스탱 프레넬은 회절과 편광을 설명했다. 그러나 맥스웰은 어떤 종류의 파동인지 설명했다. 에테르의 진동이 아니라 전기장과 자기장의 진동이었다.

전자기파는 횡파이다. 전기장 $\mathbf{E}$와 자기장 $\mathbf{B}$는 서로 수직이며 전파 방향 $\mathbf{k}$에도 수직이다. 자유 공간에서는

$$\mathbf{E}\perp \mathbf{B},\mathbf{E}\times \mathbf{B}\parallel \mathbf{k}.$$

파동은 포인팅 벡터로 주어지는 에너지 흐름을 운반한다.

$$\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}.$$

따라서 빛은 단순한 조명이 아니라 전자기 에너지의 흐름이다.

4.5.2 헤르츠의 실험

1880년대에 하인리히 헤르츠는 맥스웰 이론을 시험했다. 불꽃 방전 송신기와 공명 고리를 사용하여 실험실에서 전파를 만들었다. 반사, 굴절, 간섭, 편광이라는 빛의 모든 특징을 관찰했다. 헤르츠는 *‘자유 공간에 전자기파가 존재함을 증명했다’*고 선언했다. 이로써 맥스웰의 예측이 확인되었다.

헤르츠는 실용적인 용도를 보지 못했지만 다른 이들은 곧 알아보았다. 굴리엘모 마르코니는 이 기술을 무선 전신에 적용하여 라디오 시대를 열었다. 오늘날 모든 방송, 휴대전화 신호, 와이파이 연결은 헤르츠의 불꽃에서 이어진 것이다.

4.5.3 전자기 스펙트럼

전자기 복사는 광대한 스펙트럼에 걸쳐 있다. 파장 $\lambda$와 진동수 $\nu$는 $c=\lambda \nu$를 따른다. 범위에 따라 다양한 현상으로 나타난다.

• 전파(km–m): 통신, 방송, 레이더.
• 마이크로파(cm–mm): 조리, 레이더, 위성 연결.
• 적외선(10⁻³–10⁻⁶ m): 열복사, 열영상, 천문학.
• 가시광선(400–700 nm): 우리 눈이 검출하도록 진화한 좁은 대역.
• 자외선(10⁻⁸–10⁻⁷ m): 살균, 형광, 일광화상.
• X선(10⁻¹⁰ m): 의료 영상, 결정학.
• 감마선(<10⁻¹² m): 핵전이, 우주 현상.

이들을 하나로 묶는 것은 감각에 미치는 효과가 아니라 진동하는 전하와 가속되는 전류라는 기원이다. 안테나·원자·원자핵 모두 전하가 가속될 때 복사한다.

4.5.4 안테나와 복사 메커니즘

전하가 가속될 때마다 전자기 복사가 생긴다. 단순한 예는 진동하는 쌍극자이다. 전하가 앞뒤로 움직이면 시간에 따라 변하는 전류가 생긴다. 복사장은 $1/r$로 감소하며, 정적인 $1/r^2$ 쿨롱장과 달리 에너지가 무한히 먼 곳까지 전파될 수 있게 한다.

안테나는 이 원리를 활용한다. 반파장 쌍극자는 가해진 전류와 공명하여 전파를 효율적으로 방출한다. 수신 안테나는 반대 과정을 수행하여 들어오는 복사를 전류로 바꾼다. 따라서 전자기 복사는 자연 현상일 뿐 아니라 통신 도구가 되었다.

4.5.5 복사압과 운동량

전자기파는 에너지뿐 아니라 운동량도 운반한다. 표면에 가하는 압력은

$$P=\frac{I}{c},$$

여기서 $I$는 세기이다. 복사압은 일상에서는 작지만 천체물리학에서는 중요하다. 혜성의 꼬리를 밀고 별 내부의 균형을 이루며 우주 먼지의 분포를 형성한다. 실험실에서는 빛으로 단일 분자를 조작하는 광학 핀셋의 기초가 된다.

4.5.6 자연과 기술 속의 전자기 복사

• 천문학. 우주에 관한 거의 모든 정보는 전자기 복사로 도착한다. 은하의 지도를 그리는 전파천문학에서 격변 현상을 드러내는 감마선 폭발까지, 스펙트럼은 우주의 전령이다.
• 의학. X선은 몸속을 들여다본다. 정확히는 전파를 이용하는 핵자기공명인 MRI도 전자기 원리를 활용한다. 방사선 치료는 고에너지 광자를 이용한다.
• 일상생활. 전구, 레이저, 전자레인지, 와이파이, 광섬유는 각각 스펙트럼의 다른 영역을 활용하며 모두 필수적이다.

4.5.7 양자적 도전을 향하여

19세기 말에는 고전 파동 이론이 완성된 듯했다. 그러나 균열이 나타났다. 흑체복사는 고전적 예측을 따르지 않았고 광전효과는 빛의 입자적 행동을 드러냈다. 이 이상 현상은 양자론으로 이어질 것이다(§4.8). 그래도 전자기 복사의 파동적 관점은 광학·전파·통신의 뼈대를 이루며 여전히 핵심적인 위치를 차지한다.

4.6 상대론의 등장

맥스웰 방정식에는 충격이 내장되어 있었다. 전자기파의 전파 속력을 다음과 같이 예측한다.

$$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}$$

이는 자유 공간의 성질로 정해지는 보편 상수이다. 소리나 물결과 달리 빛에는 매질이 필요 없어 보였다. 그러나 19세기 물리학은 모든 파동에 운반체, 즉 공간을 채우는 에테르가 있어야 한다고 가정했다. 이론과 뉴턴 역학 사이의 긴장이 개념적 혁명의 무대를 마련했다.

4.6.1 빛을 운반하는 에테르

1800년대의 물리학자들은 빛의 파동이 빛을 운반하는 에테르라는 미세한 매질을 통해 물결친다고 상상했다. 이 에테르는 완전히 투명하고 횡파를 지탱할 만큼 극도로 단단하면서도 행성에는 아무 저항도 주지 않아야 했다. 파동설에는 필요하지만 검출할 수 없는 역설적인 물질이었다.

에테르가 있다면 그 속을 지나는 지구의 운동은 ‘에테르 바람’을 만들어야 했다. 바람을 따라갈 때 소리가 더 빠르게 전파되듯 빛도 이 바람을 따라가거나 거슬러 갈 때 서로 다른 속력으로 움직일 것이다. 이 효과의 검출이 실험적 과제가 되었다.

4.6.2 마이컬슨–몰리 실험

1887년 앨버트 마이컬슨과 에드워드 몰리는 결정적인 시험을 했다. 간섭계가 빛을 서로 수직인 두 경로로 나누고 반사시켜 돌아오게 한 뒤 다시 합쳤다. 지구가 에테르 속을 움직인다면 장치를 회전시킬 때 간섭무늬가 이동해야 했다.

결과는 이동 없음이었다. 지구의 운동과 무관하게 빛의 속력은 모든 방향에서 같은 듯했다. 정밀도를 높이며 반복한 실험도 일관되게 에테르 바람을 찾지 못했다. 이 영 결과는 물리학에서 가장 유명한 결과 중 하나였다.

4.6.3 로런츠–피츠제럴드 수축

에테르를 살리기 위해 일부는 임시방편의 수정을 제안했다. 조지 피츠제럴드(1889)와 헨드릭 로런츠(1892)는 물체가 운동 방향으로 다음 비율만큼 수축한다고 제안했다.

$$L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.$$

이 ‘로런츠–피츠제럴드 수축’은 간섭계 팔이 효과를 정확히 상쇄할 만큼 줄어든다고 하여 영 결과를 설명할 수 있었다. 로런츠는 로런츠 변환이라는 완전한 수학적 틀을 발전시켜 맥스웰 방정식의 형태가 불변으로 남으려면 움직이는 기준계 사이에서 공간과 시간 좌표가 어떻게 변해야 하는지 보였다.

4.6.4 아인슈타인의 1905년 혁명

1905년 알베르트 아인슈타인이라는 26세 특허청 직원은 급진적인 단순함으로 에테르 논쟁을 가로질렀다. 두 가지 가정을 제안했다.

1. 상대성 원리. 물리법칙은 모든 관성계에서 같다.
2. 광속 불변. 진공의 빛은 광원이나 관측자의 운동과 무관하게 속력 $c$로 이동한다.

아인슈타인은 여기서 로런츠 변환 전체를 유도했다. 에테르를 위한 보완책이 아니라 공간과 시간의 실제 구조로 얻은 것이다.

4.6.5 시간 지연과 길이 수축

아인슈타인의 상대론은 낯설지만 검증 가능한 효과들을 예측했다.

• 시간 지연. 움직이는 시계는 더 느리게 간다.

  $$\Delta t=\gamma \Delta t_0,\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

• 길이 수축. 움직이는 막대는 운동 방향으로 짧아진다.

  $$L=\frac{L_0}{\gamma }.$$

• 동시성의 상대성. 한 기준계에서 동시에 일어난 사건이 다른 기준계에서는 동시가 아닐 수 있다.

뉴턴 역학의 직관에는 이상한 이 효과들은 입자의 수명, GPS 위성, 입자가속기에서 반복적으로 확인되었다.

4.6.6 상대론의 씨앗인 전자기학

상대론은 추상적인 발명이 아니라 전자기학에서 태어났다. 맥스웰 방정식은 보편적인 빛의 속력을 예측했다. 실험에서는 에테르에 대한 운동이 나타나지 않았다. 로런츠 변환은 방정식을 불변으로 유지했다. 아인슈타인은 이 통찰들을 자연의 원리로 끌어올렸다.

이처럼 전자기학은 절대적인 공간과 시간을 포기하게 했고 둘을 시공간으로 융합하도록 이끌었다.

4.6.7 일반화를 향하여

현재 특수상대론이라 부르는 아인슈타인의 1905년 이론은 관성계에 적용되었다. 10년 뒤 그는 이를 가속 기준계와 중력으로 확장하여 일반상대론을 만들었다. 그러나 둘의 씨앗은 맥스웰의 전기역학이었다.

4.7 전자기학의 응용

전자기학은 이론적인 보석일 뿐 아니라 현대 문명의 토대이다. 집의 불빛에서 손안의 화면까지, 의료 영상에서 행성 간 통신까지 전자기학은 우리 세계에 동력을 주고 활동을 가능하게 한다. 외르스테드의 움직인 나침반과 패러데이의 코일에서 시작한 것이 이제 세계 경제를 움직인다.

4.7.1 발전: 패러데이 원판에서 전력망까지

1831년 패러데이는 단순한 발전기를 만들었다. 자석의 두 극 사이에서 구리 원판을 회전시켜 일정한 전류를 얻었다. 이 소박한 장치에는 자기장 속의 기계적 운동이 전기를 만든다는 핵심 원리가 담겨 있었다.

현대 발전기는 이 생각을 정교하게 구현한다. 석탄·원자력·수력·풍력 발전소에서는 터빈이 자기장 속에서 코일을 돌려 교류(AC)를 유도한다. 송전 계통은 역시 패러데이의 유도에 기초한 변압기로 장거리 송전용 전압을 높이고 안전한 배전을 위해 다시 낮춘다.

핵심 개념: 교류 전력과 변압기. 교류는 진동하므로 정지한 코일 사이에서도 유도가 가능하다. 이를 통해 효율적인 전압 변환과 대규모 전력망이 가능해진다. 변압기는 전통적인 대규모 교류 전력망에 필수적이며, 그렇다고 직류 발전과 송전이 불가능한 것은 아니다.

4.7.2 전동기

발전기의 반대 역할을 하는 것은 전기로 기계적 운동을 만드는 전동기이다. 자기장 속 코일에 전류가 흐르면 돌림힘이 작용한다. 이 원리는 가정용 선풍기에서 산업용 로봇까지 여러 장치를 움직인다.

• 직류 전동기. 단순한 정류자가 전류 방향을 바꾸어 돌림힘을 유지한다.
• 교류 유도 전동기. 회전 자기장이 회전자 전류를 유도한다. 튼튼하여 산업에서 널리 쓰인다.
• 동기 전동기. 회전자가 공급 전원의 진동수와 위상이 맞물려 정밀한 동기화에 필수적이다.

전동기와 발전기는 함께 현대 에너지 경제의 닫힌 고리를 만든다. 기계적 에너지를 전기로, 전기를 다시 기계적 에너지로 바꾼다.

4.7.3 통신: 전신에서 와이파이까지

전자기학은 거리의 극복을 가능하게 했다.

• 전신(1830년대). 도선을 따라 흐르는 전류 펄스가 부호화된 메시지를 전달했다.
• 전화(1876). 알렉산더 그레이엄 벨은 변하는 전류를 사용해 음성을 재현했다.
• 무선 통신(1890년대). 마르코니가 활용한 헤르츠의 파동은 대양을 가로지르는 무선 전신을 가능하게 했다.
• 전자기 스펙트럼. 오늘날 전파·마이크로파·광통신은 방대한 자료를 운반한다. 광섬유 케이블은 전반사로 빛을 안내하고 위성은 지구 주위에서 마이크로파를 중계한다.

바탕이 되는 원리: 가속하는 전하는 복사한다. 안테나는 전류를 전자기파로 바꾸고 다시 되돌리며 공간을 잇는다.

4.7.4 의학: 영상과 치료

전자기학은 몸속을 들여다보고 기능을 탐구하게 하여 의학을 혁신했다.

• X선. 빌헬름 뢴트겐이 1895년에 발견한 고에너지 광자는 뼈와 조직을 드러낸다.
• 자기공명영상(MRI). 강한 자기장이 핵스핀을 정렬시키고 전파가 이를 교란하며, 방출되는 신호로 신체 구조의 매우 세밀한 영상을 재구성한다.
• 심전도(ECG). 심장의 전기 신호를 측정한다.
• 방사선 치료. 고에너지 전자기 복사로 암세포를 표적으로 삼는다.

이 기법들은 전자기학의 진단과 치료라는 두 역할을 보여 준다. 보이지 않는 힘이 생명을 밝혀 주는 것이다.

4.7.5 일상의 기술

전자기학은 일상생활에 스며 있다.

• 조명. 백열전구에서 형광등과 LED까지 모두 전류와 전자기 방출의 제어에 의존한다.
• 계산. 트랜지스터는 기가헤르츠 진동수로 전류를 전환하고 전자기 펄스는 칩 안에서 정보를 나른다.
• 무선 장치. 스마트폰은 기지국과 마이크로파를 주고받으며 전파·광학·전자공학을 통합한다.
• 운송. 일부 고속열차는 자기부상을 사용하며 자동차는 전동기·센서·통신 계통에 의존한다.

모든 현대 장치는 근본적으로 전자기 기계이다.

4.7.6 천체물리학의 응용

전자기학은 천문학자의 렌즈이기도 하다. 별은 전자기 복사로 빛나고 성간 구름은 전파를 방출하며 펄서는 우주를 가로질러 등대 같은 신호를 보낸다. 전파부터 감마선까지 다루는 망원경은 우주의 지도를 그린다.

자기장은 은하의 형태를 만들고 블랙홀에서 제트를 발사하며 행성의 자기권에 플라스마를 가둔다. 전자기학이 없다면 우주는 어둡고 조용할 것이다.

4.7.7 공학 원리: 엑서지와 효율

공학적 응용은 효율에 달려 있다. 열역학(§3)은 상한을 정하고 전자기학은 이를 구현한다.

• 송전 효율. 저항 손실 $I^{2}R$ 때문에 고압 송전선을 사용한다.
• 전자공학. 소비 전력을 최소화하려면 저항·정전용량·유도성 손실을 줄여야 한다.
• 전자기 적합성. 장치는 간섭 없이 작동해야 하므로 차폐와 표준이 필요하다.

따라서 응용 전자기학은 장을 만드는 일뿐 아니라 성능을 위해 관리하는 일도 다룬다.

4.7.8 전자기학과 디지털 시대

디지털 혁명의 핵심은 전자기적이다. 정보는 전하로 저장되고 전자기 펄스로 전달되며 빛으로 표시된다. 광섬유는 비트를 광자로 운반하고 와이파이는 마이크로파로 방출하며 칩은 전자의 흐름으로 처리한다. 엔트로피의 언어로 정식화된 클로드 섀넌의 정보이론은 전자기 공학과 맞물린다.

요컨대 인터넷은 전자기적 유기체이다. 도선 속의 전자, 유리 속의 광자, 공기 중의 파동이 모두 맥스웰 법칙의 지배를 받는다.

4.7.9 철학적 성찰

패러데이가 유도를 발견했을 때 세계적인 전력망과 스마트폰을 내다볼 수는 없었다. 그러나 변하는 자기선속이 전류를 만든다는 그의 원리는 이 모든 것의 바탕이다. 이런 의미에서 문명의 변화는 추상적인 물리학의 승리이다. 한때 신기한 현상이던 전기와 자기가 근대성을 움직이는 기관이 되었다.

전자기학의 응용은 전력·운동·통신·의학·계산에 걸쳐 있다. 발전기는 도시를 밝히고 전동기는 기계를 움직이며 안테나는 대륙을 연결하고 X선은 몸속을 들여다보며 트랜지스터는 계산한다. 우주의 신호에서 디지털 네트워크까지 전자기학은 현대 생활의 기반 시설이다. 맥스웰 방정식은 단순한 추상이 아니라 문명의 작동 설명서이다.

4.8 양자의 실마리와 장이론

19세기 말에 전자기학은 완성된 듯했다. 맥스웰 방정식이 빛·전기·자기를 통합했고 헤르츠가 전파를 입증했으며 전동기·발전기·전신으로 공학이 번성했다. 물리학에는 ‘세부를 채우는’ 일만 남은 듯했다. 그러나 바로 그 성공이 고전 이론으로 설명할 수 없는 현상이라는 균열을 드러냈다. 이 이상 현상들은 양자역학과 전자기학의 양자장론인 **양자전기역학(QED)**의 문을 열 것이다.

4.8.1 흑체복사와 플랑크의 양자

흑체는 모든 복사를 흡수하고 온도에만 의존하는 스펙트럼으로 에너지를 다시 방출하는 이상적인 물체이다. 고전 전자기학과 통계역학을 결합하면 레일리–진스 법칙을 예측한다.

$$u(\nu ,T)\propto {\nu }^2{k}_{B}T,$$

이 식은 높은 진동수에서 발산한다. 이는 자외선 파탄으로 알려진 모순이다. 그러나 실험에서는 스펙트럼이 극댓값을 지난 뒤 감소했다.

1900년 막스 플랑크는 전자기 진동자가 이산적인 양자로 에너지를 교환한다고 제안하여 역설을 해결했다.

$$E=nh\nu .$$

이 급진적인 가정은 올바른 분포를 만들었다.

$$u(\nu ,T)=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /k_{B}T}-1}.$$

플랑크는 상수 $h$를 도입하여 양자 시대에 불을 붙였다.

4.8.2 아인슈타인과 광자: 광전효과

1905년 알베르트 아인슈타인은 금속에 빛을 비추면 전자가 방출되는 광전효과를 설명했다. 고전 이론은 빛의 세기가 전자의 에너지를 결정하고 충분히 기다리면 어떤 진동수에서도 방출이 일어나야 한다고 예측했다. 그러나 실험 결과는 달랐다.

• 문턱 진동수 아래에서는 전자가 방출되지 않는다.
• 문턱 위에서는 전자 에너지가 빛의 세기가 아니라 진동수에 의존한다.
• 빛의 세기는 전자의 수에 영향을 주지만 최대 에너지에는 영향을 주지 않는다.

아인슈타인은 빛이 각각 에너지 $E=h\nu$를 지닌 광자라는 양자로 이루어진다고 제안했다. 전자가 광자 하나를 흡수하여 $h\nu$가 일함수 $W$보다 크면 다음 운동 에너지를 가지고 탈출한다.

$$K_{\text{max}}=h\nu -W.$$

빛의 입자 같은 행동은 물리학자들에게 충격을 주었고 아인슈타인에게 1921년 노벨상을 안겼다.

4.8.3 콤프턴 산란과 파동–입자 이중성

1923년 아서 콤프턴은 X선이 전자에서 산란되면서 진동수가 변하는 것을 관찰했다.

$$\Delta \lambda =\frac{h}{m_{e}c}(1-\cos \theta ).$$

광자를 운동량 $p=h/\lambda$인 입자로 취급하면 결과가 에너지와 운동량 보존에 일치했다. 빛은 부정할 수 없게 파동이면서 입자였다. 맥스웰의 연속적인 장에는 양자적 확장이 필요했다.

4.8.4 양자전기역학의 탄생

1920년대와 1930년대에 양자역학이 성숙했지만 전자기학과 조화시키려면 양자장론이라는 새 틀이 필요했다. 전자기장을 양자화하고 그 여기를 광자로 해석했다. 하전 입자는 가상 또는 실제 광자를 교환하며 상호작용한다.

1940년대에 리처드 파인먼, 줄리언 슈윙거, 도모나가 신이치로는 무한대를 다루는 재규격화 기법을 발전시켜 QED를 정교하게 만들었다. 파인먼 도형은 종이 위의 선과 꼭짓점으로 전자–광자 상호작용을 나타내는 직관적인 그림을 제공했다. QED는 전자의 자기모멘트 같은 양을 소수점 아래 12자리까지 예측하는 과학에서 가장 정밀한 이론이 되었다.

주의. 파인먼 도형에서:

• 화살표가 있는 직선은 전자나 양전자 같은 페르미온을 나타낸다.
  • 시간의 정방향을 향한 화살표: 전자.
  • 시간의 역방향을 향한 화살표: 양전자.
• 물결선은 광자 또는 더 일반적으로 게이지 보손을 나타낸다.
• 꼭짓점은 선들이 만나는 상호작용 지점이다.
  • QED의 각 꼭짓점은 전자–광자 결합을 나타내는 인자 $-ie{\gamma }^{\mu }$에 대응한다.

4.8.5 개념의 전환

양자의 실마리는 깊은 변화를 요구했다.

• 에너지 양자화. 빛은 무한히 나눌 수 없으며 이산적인 광자로 존재한다.
• 파동–입자 이중성. 빛은 파동으로서 간섭하고 입자로서 산란한다.
• 진공 요동. 빈 공간조차 가상 광자로 들끓으며 카시미르 힘과 램 이동 같은 측정 가능한 효과를 만든다.

이렇게 전자기학은 양자장론의 첫 무대이자 이후 모든 게이지 이론의 원형이 되었다.

4.8.6 응용과 현대적 영향

양자 전자기학도 고전 전자기학만큼 기술의 토대가 된다.

• 레이저. 광자의 유도 방출은 결맞는 빛을 만들어 통신과 의학을 혁신한다.
• 반도체. 양자전기역학의 안내를 받는 띠 이론은 전자공학을 움직인다.
• 양자광학. 개별 광자를 조작하면 암호와 양자정보가 가능해진다.
• 고에너지 물리학. QED는 표준모형의 전자기약 상호작용과 강한 상호작용을 위한 틀을 제공한다.

4.9 결론: 자연의 통일성

전자기학은 지푸라기를 끌어당기는 호박, 바늘을 돌리는 자철석, 나무를 쪼개는 번개, 눈을 부시게 하는 빛이라는 흩어진 신기한 현상에서 시작했다. 19세기에 이 실마리들이 하나의 직물로 엮였다. 전자기학의 이야기는 방정식뿐 아니라 전기와 자기, 빛과 복사, 과학과 기술, 이론과 응용의 통일성에 관한 이야기이다.

4.9.1 외르스테드에서 맥스웰까지

• 외르스테드는 전류가 나침반 바늘을 움직인다는 사실을 밝혀 전기와 자기를 연결했다.
• 앙페르는 전류 사이에 작용하는 힘의 법칙을 정량화했다.
• 패러데이는 유도를 발견하여 변하는 자기선속이 전류를 만든다는 것을 보이고 장이라는 관점을 도입했다.
• 맥스웰은 전기·자기·빛을 하나의 장이 드러나는 모습으로 기술하는 네 방정식으로 종합을 완성했다.

각 단계는 실험적이면서 개념적이었다. 불꽃과 나침반에서 시작된 것이 전자기 스펙트럼의 구조와 빛 자체의 속력을 예측할 수 있는 방정식 체계로 이어졌다.

4.9.2 장의 개념

전자기학 이전의 물리학은 힘이 공간을 가로질러 순간적으로 전달되는 원격작용을 가정했다. 맥스웰이 수학화한 패러데이의 ‘힘의 선’은 이 세계관을 바꾸었다. 장은 공간을 채우고 국소 법칙에 따라 진화하는 물리적 실체가 되었다. 이 개념은 물리학 전체에 울려 퍼졌다.

• 아인슈타인의 일반상대론은 중력을 시공간 장의 곡률로 다룬다.
• 양자장론은 입자를 바탕이 되는 장의 여기로 기술한다.

전자기학에서 태어난 장의 생각은 현대 물리학의 중심적인 존재론이 되었다.

4.9.3 전자기 스펙트럼과 기술

맥스웰의 예측에서 헤르츠의 검증, 마르코니의 무선 통신, 레이저, 광섬유, 와이파이, MRI, 스마트폰이 나왔다. 전파부터 감마선까지 전자기 스펙트럼 전체가 통신·의학·산업·탐사에 활용된다. 문명은 사실상 전자기적 활동이다.

전력망은 유도와 변압기를 통해 에너지를 배분한다. 전동기와 발전기는 패러데이 원리를 구현한다. 양자전기역학의 안내를 받는 반도체와 트랜지스터는 디지털 세계를 작동시킨다. 가정용 기기부터 우주망원경까지 전자기학은 기술의 뼈대이다.

4.9.4 철학적·과학적 영향

전자기학은 물리학의 경계를 새롭게 정의했다.

• 서로 달라 보이는 힘들이 하나의 실재가 가진 여러 측면임을 보였다.
• 장을 실제 물리적 실체로 확립했다.
• 맥스웰 방정식이 보편적인 광속을 함축하므로 곧바로 상대론으로 이어졌다.
• 흑체복사와 광전효과 같은 이상 현상을 통해 양자론의 씨앗을 심었다.

따라서 전자기학은 고전 물리학과 현대 물리학의 교차점에서 역학·상대론·양자론을 연결한다.

4.9.5 길잡이 원리로서의 통일성

전자기학의 성공은 물리학자들이 더 깊은 통합을 찾도록 영감을 주었다. 전자기약 이론은 전자기력과 약한 핵력을 통합했고, 대통일 이론은 여기에 강한 힘을 결합하려 하며, 궁극적인 목표는 중력까지 포함하는 것이다. 각 단계는 맥스웰의 모범을 따른다. 다양성 아래 숨은 통일성을 실험과 수학으로 드러낸다.

4.9.6 인간적인 측면

전자기학의 이야기는 사람들의 이야기이기도 하다. 가난한 제본공에서 실험의 천재가 된 패러데이, 방정식에서 장을 본 스코틀랜드 수학자 맥스웰, 파동을 눈에 보이게 만든 실험가 헤르츠, 원리를 전력망과 라디오로 바꾼 공학자와 발명가들이 있다. 상상력·호기심·끈기가 과학과 사회를 어떻게 함께 바꾸는지 보여 준다.

전자기학은 전기·자기·빛을 통합하고 장 개념으로 물리학을 바꾸었으며 전동기·발전기·통신으로 기술을 혁신했다. 고전 물리학과 현대 물리학을 잇고 상대론과 양자론의 씨앗을 심었다. 불꽃과 자석에서 발견한 통일성이 문명의 토대가 되었다. 전자기학의 유산은 칠판에 쓰인 방정식에만 있지 않다. 등불의 빛, 기계의 윙윙거림, 먼 은하의 신호, 그리고 이 글을 읽게 해 주는 바로 그 광자에도 있다.