통계물리학

9.1 기초: 미시상태에서 열역학으로

통계물리학은 미시적인 불확실성으로부터 거시적인 법칙을 예측하는 기술이다. 우리는 정확한 $1 0^{23}$ 체 상태를 알지 못한다. 대신 모르는 정보를 앙상블로 정리하여 그 평균이 온도, 압력, 자화 등을 재현하게 한다. 이 절에서는 미시상태와 거시상태, 기본 공리, 세 표준 앙상블, 열역학적 극한이라는 핵심을 구성한다. 또한 정보이론적 관점에서 ‘최대 엔트로피’가 익숙한 분포들을 만드는 유일한 원리가 되는 과정도 보인다.

처음에 용기의 절반에 갇혀 있던 기체가 고립된 용기 전체로 팽창한다. 접근 가능한 미시상태가 많을수록 엔트로피가 크다.

9.1.1 미시상태, 거시상태, 위상 공간

미시상태는 계의 모든 자유도를 완전히 지정한 것이다. 고전적 점입자가 $N$ 개 있으면 다음 좌표를 가진 $6 N$ 차원 위상 공간의 한 점이다.

Γ \equiv (r_{1}, \dots, r_{N}; p_{1}, \dots, p_{N})

거시상태는 소수의 전체적인 변수로 정의된다. 예를 들어 고립된 기체에서는 $(E, V, N)$ 이다. 많은 미시상태가 같은 거시상태에 대응하며, 그 수를 세면 엔트로피에 도달한다.

리우빌 정리는 위상 공간에서 해밀턴 흐름이 비압축성이므로 궤적을 따라 부피 요소가 보존된다고 말한다. 따라서 에너지껍질 위의 균일 분포는 동역학적으로 일관적이다.

9.1.2 기본 공리와 볼츠만 원리

기본 공리. $(E, V, N)$ 가 고정된 고립계가 평형에 있을 때, 이 제약에 맞는 모든 미시상태는 같은 확률을 가진다.

$Ω (E, V, N)$ 를 에너지가 $[E, E + δ E]$ 에 있는 미시상태 수라 하자. $δ E$ 는 작지만 거시적인 에너지 폭이다. 그러면 엔트로피는

S (E, V, N) = k_{B} ln Ω (E, V, N)

열역학적 온도는 다음에서 나온다.

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial E})_{V, N}

압력과 화학 퍼텐셜은

\frac{p}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{E, N}, - \frac{μ}{T} = (\frac{\partial S}{\partial N})_{E, V}

약하게 상호작용하는 부분계 $A$ 와 $B$ 에서, 총 $E$ 를 고정했을 때 $S$ 의 가법성으로부터 평형 조건 $T_{A} = T_{B}$ 를 얻는다. 제약 $E_{A} + E_{B} = E$ 아래에서 $S_{A} (E_{A}) + S_{B} (E_{B})$ 를 최대화하면 된다.

9.1.3 열역학적 극한, 크기 성질, 오목성

열역학적 극한은 $N \to \infty$ , $V \to \infty$ 로 보내되 $n = N / V$ 를 고정하는 것으로 정의한다. 이 극한에서는

엔트로피는 크기 성질을 가진다. $S (λ E, λV, λ N) \approx λ S (E, V, N)$
$S$ 는 자연 변수에 대해 오목하며, 안정성과 적절한 조건에서 양의 열용량을 보장한다.
세기 변수의 요동은 $1/ N$ 처럼 줄어들어 열역학적 값이 뚜렷해진다.

단거리 상호작용은 앙상블의 동등성을 보장한다. 자체 중력이나 차폐되지 않은 쿨롱 힘처럼 장거리 상호작용은 가법성을 위반할 수 있으므로 주의가 필요하다.

9.1.4 미시정준 앙상블

미시정준 확률 밀도는 유클리드 초곡면의 면적이 아니라 리우빌 측도가 유도하는 불변 에너지껍질 측도에 대해 균일하다. 여기서 $ω (E, V, N) = \int d Γ δ (H (Γ) - E)$ 는 상태 밀도이며, 좁고 고정된 에너지 폭의 유한한 껍질 안에서 세는 상태 수 $Ω ≃ ω δ E$ 와 다르다.

ρ_{mc} (Γ) = \frac{1}{ω ( E , V , N )} δ (H (Γ) - E)

기댓값은

⟨ A ⟩_{mc} = \frac{1}{ω} \int d Γ A (Γ) δ (H (Γ) - E)

제약 아래에서 $S = k_{B} ln Ω$ 를 최대화하면 열역학적 관계를 재현한다. 많은 계에서 이는 개념적 기준점이다. 실제로는 정준 앙상블이 계산하기 더 쉽고 큰 $N$ 에서 동등해지는 경우가 많다.

9.1.5 열저장고에서 나오는 정준 앙상블

계 $S$ 를 거대한 저장고 $R$ 에 약하게 결합하고 $E_{tot}$ 를 고정하자. $S$ 가 에너지 $E_{i}$ 인 미시상태 $i$ 에 있을 확률은 저장고의 에너지 $E_{tot} - E_{i}$ 에서의 상태 수에 비례한다.

P (i) \propto Ω_{R} (E_{tot} - E_{i}) \approx exp [\frac{1}{k _{B}} S_{R} (E_{tot}) - \frac{E _{i}}{k _{B} T}] \propto e^{- β E_{i}}

역온도는 $β \equiv 1/ (k_{B} T)$ 이다. 정규화하면

P (i) = \frac{e ^{- β E_{i}}}{Z}, Z (β, V, N) \equiv i \sum e^{- β E_{i}}

$Z$ 는 분배 함수이다. 여기에서 열역학적 퍼텐셜을 얻는다.

F (T, V, N) \equiv - k_{B} T ln Z

U = ⟨ E ⟩ = - \frac{\partial}{\partial β} ln Z

S = - (\frac{\partial F}{\partial T})_{V, N} = k_{B} (ln Z + β U)

에너지 요동은 다음을 만족한다.

⟨(Δ E)^{2} ⟩ = k_{B} T^{2} C_{V}

따라서 보통의 계에서 상대 요동은 $1/ N$ 처럼 변한다.

9.1.6 거대 정준 앙상블: 입자 교환

저장고와 에너지 및 입자를 모두 교환하면, $(E_{i}, N_{i})$ 를 가진 미시상태 $i$ 의 확률은

P (i) = \frac{e ^{- β (E_{i} - μ N_{i})}}{Ξ}

거대 분배 함수는

Ξ (β, V, μ) \equiv N = 0 \sum \infty i \in N \sum e^{- β (E_{i} - μ N)}

거대 퍼텐셜을 정의하자.

Φ_{G} (T, V, μ) \equiv - k_{B} T ln Ξ

그러면

p = - (\frac{\partial Φ _{G}}{\partial V})_{T, μ}, N = - (\frac{\partial Φ _{G}}{\partial μ})_{T, V}, S = - (\frac{\partial Φ _{G}}{\partial T})_{V, μ}

요동은

⟨(Δ N)^{2} ⟩ = k_{B} T (\frac{\partial N}{\partial μ})_{T, V}

에너지와 입자 수의 공분산은 $ln Ξ$ 의 혼합 미분에서 나온다.

9.1.7 르장드르 변환과 열역학적 퍼텐셜

열역학은 자연 변수를 교환하는 르장드르 변환으로 정리된다.

$S = S (E, V, N)$
$F = U - TS$ 의 자연 변수는 $(T, V, N)$
$G = F + p V$ 의 자연 변수는 $(T, p, N)$
$H = U + p V$ 의 자연 변수는 $(S, p, N)$
$Φ_{G} = F - μ N$ 의 자연 변수는 $(T, V, μ)$

맥스웰 관계는 혼합 편미분의 동일성에서 나온다. 예를 들어

(\frac{\partial S}{\partial V})_{T} = (\frac{\partial p}{\partial T})_{V}

9.1.8 정보이론적 기초: 제인스의 관점

${p_{i}}$ 를 미시상태에 대한 확률이라 하자. 알려진 제약 아래에서 섀넌 엔트로피

S [p] \equiv - k_{B} i \sum p_{i} ln p_{i}

를 최대화한다. 정규화와 평균 에너지만 고정하면 라그랑주 승수법으로

p_{i} = \frac{e ^{- β E_{i}}}{Z}

에너지와 입자 수를 제한하면 거대 정준 형태 $p_{i} \propto e^{- β (E_{i} - μ N_{i})}$ 를 얻는다. 따라서 앙상블은 거시적 데이터와 양립하는 가장 편향이 적은 분포이다.

상대 엔트로피 $D (p ∥ q) = \sum p_{i} ln (p_{i} / q_{i}) \geq 0$ 는 사전 분포 $q$ 와의 거리를 측정한다. 많은 요동 정리와 선형 응답 결과를 이 언어로 간결하게 나타낼 수 있다.

9.1.9 큰 편차, 집중, 앙상블의 동등성

$N ≫ 1$ 에서 확률은 열역학적 값 근처에 지수적으로 집중된다. $A$ 가 가법적인 관측량이면

P (\frac{A}{N} \approx a) \sim e^{- N I (a)}

여기서 대편차율 함수 $I (a) \geq 0$ 는 평형값에서 0이 된다. 표준적인 볼록성 조건 아래에서는

미시정준, 정준, 거대 정준 앙상블이 열역학적 극한에서 동등하다.
오목성이 깨지는 부분은 상 공존을 나타낸다. 맥스웰 구성은 열역학적 퍼텐셜 수준에서 이를 바로잡는다.

9.1.10 간단한 풀이 예제

(a) 두 준위 계
에너지 준위가 $0$ 와 $ϵ$ 인 비상호작용 자리 $N$ 개를 생각하자. 자리당 정준 분배 함수는

z = 1 + e^{- β ϵ}

전체는 $Z = z^{N}$ 이다. 평균 에너지는 $U = N ϵ / (e^{β ϵ} + 1)$ 이며 열용량은 $k_{B} T \sim ϵ$ 근처에 쇼트키 봉우리를 보인다.

(b) 양자 조화 진동자
$E_{n} = (n + \frac{1}{2}) ℏ ω$ 인 단일 진동자는 다음을 준다.

Z = \frac{e ^{- β ℏ ω /2}}{1 - e ^{- β ℏ ω}}

평균 에너지 $U = \frac{ℏ ω}{2} + \frac{ℏ ω}{e ^{β ℏ ω} - 1}$ 는 $k_{B} T$ 에 높은 $T$ 에서 접근하여 등분배를 재현하고, $ℏ ω /2$ 에는 $T \to 0$ 에서 접근한다.

(c) 동전 던지기와 스털링 근사
독립적이고 공정한 동전 $N$ 개에서 앞면이 $k$ 개인 경우의 수는 $(k N) \approx exp [N H (k / N)] / 2 π N x (1 - x)$ 이다. 여기서 $x = k / N$ 이며 이진 엔트로피는 $H (x) = - x ln x - (1 - x) ln (1 - x)$ 이다. 큰 편차의 전형적인 예이다.

(d) 이상 기체의 미시정준 온도
고전적 이상 기체의 상태 수를 세면

Ω (E, V, N) \propto \frac{V ^{N} E ^{\frac{3 N}{2} - 1}}{N ! Γ ( \frac{3 N}{2} )}

따라서 에너지껍질 폭을 고정하면 $S = k_{B} ln Ω$ 에서 $U = (\frac{3 N}{2} - 1) k_{B} T$ 와 $p V = N k_{B} T$ 를 얻는다. 열역학적 극한에서는 $U ≃ \frac{3}{2} N k_{B} T$ 이다.

(e) 정준 요동
$⟨(Δ E)^{2} ⟩ = k_{B} T^{2} C_{V}$ 를 $\partial_{β}^{2} ln Z$ 를 취하여 보이고, 열용량을 $ln Z$ 의 곡률과 연결하라.

9.1.11 최소 연습문제 모음

$S = k_{B} ln Ω$ 에서 출발하여 $1/ T = (\partial S / \partial E)_{V, N}$ 와 $p / T = (\partial S / \partial V)_{E, N}$ 를 유도하라.
제약 $\sum p_{i} = 1$ 와 $\sum p_{i} E_{i} = U$ 아래에서 $S [p]$ 를 최대화하여 정준 앙상블을 유도하라.
$F = - k_{B} T ln Z$ 로부터 $S = - \partial F / \partial T$ 와 $p = - \partial F / \partial V$ 가 나옴을 보여라.
고전적 이상 기체에서 위상 공간 부피로 $Ω (E, V, N)$ 를 상수 차이까지 계산하고 자쿠르–테트로데 엔트로피를 얻어라.
거대 정준 앙상블에서 $⟨(Δ N)^{2} ⟩ = k_{B} T (\partial N / \partial μ)_{T, V}$ 를 증명하라.
앙상블의 동등성이 실패하는 조건을 논하고 장거리 힘을 가진 물리적 예를 들어라.

9.2 분배 함수와 열역학적 퍼텐셜

분배 함수는 열역학의 모든 것을 생성한다. $Z$ 나 $Ξ$ 또는 $N pT$ 의 대응물을 알면 미분으로 $U, p, S, μ$ 와 모든 응답 계수를 얻는다. 이 절에서는 정준 및 거대 정준 계산 체계를 구성하고 등온–등압 앙상블을 더한다. 르장드르 변환과 안장점이 이를 미시정준 엔트로피와 다시 연결하는 방식도 보이며, 풀이 예제로 공식을 구체화한다.

9.2.1 정준 분배 함수와 누적량

$(T, V, N)$ 를 고정하면 정준 가중치는 $P (i) \propto e^{- β E_{i}}$ 이며

Z (β, V, N) \equiv i \sum e^{- β E_{i}}

헬름홀츠 자유 에너지는

F (T, V, N) \equiv - k_{B} T ln Z

표준적인 미분 관계는

U \equiv ⟨ E ⟩ = - \frac{\partial}{\partial β} ln Z

S = - (\frac{\partial F}{\partial T})_{V, N} = k_{B} (ln Z + β U)

p = - (\frac{\partial F}{\partial V})_{T, N}

에너지 누적량은 $ln Z$ 를 $β$ 에 대해 미분하여 얻는다. 예를 들어

⟨(Δ E)^{2} ⟩ = \frac{\partial ^{2}}{\partial β ^{2}} ln Z = k_{B} T^{2} C_{V}

조절 매개변수 $λ$ 가 $H (λ)$ 에 들어갈 때 일반화된 힘은 다음을 따른다.

(\frac{\partial F}{\partial λ})_{T, V, N} = ⟨ \frac{\partial H}{\partial λ} ⟩

예를 들어 자기장 $B$ 에는 $M = - (\partial F / \partial B)_{T, V, N}$ 가, 부피에는 $p = - (\partial F / \partial V)_{T, N}$ 가 해당한다.

9.2.2 거대 분배 함수, 퓨가시티, 압력

$(T, V, μ)$ 를 고정하고 입자 수가 요동하면

Ξ (β, V, μ) \equiv N = 0 \sum \infty i \in N \sum e^{- β (E_{i} - μ N)}

거대 퍼텐셜을 정의한다.

Φ_{G} (T, V, μ) \equiv - k_{B} T ln Ξ

이 앙상블의 열역학은 간결하다.

p = - (\frac{\partial Φ _{G}}{\partial V})_{T, μ}

N = - (\frac{\partial Φ _{G}}{\partial μ})_{T, V}

S = - (\frac{\partial Φ _{G}}{\partial T})_{V, μ}

퓨가시티 $z \equiv e^{β μ}$ 를 흔히 사용한다. 입자 수 요동과 압축률은 다음으로 연결된다.

⟨(Δ N)^{2} ⟩ = k_{B} T (\frac{\partial N}{\partial μ})_{T, V}

균일한 이상 기체에서는 편리한 항등식 $p V = k_{B} T ln Ξ$ 를 얻는다.

9.2.3 등온–등압 앙상블과 깁스 자유 에너지

많은 실험에서는 $(T, p, N)$ 를 고정한다. 등온–등압 분배 함수는 $Z$ 를 $V$ 에 대해 라플라스 변환한 것이다. 고정된 기준 부피 $V_{0}$ 로 무차원화한다.

Δ (β, p, N) \equiv \int_{0}^{\infty} \frac{d V}{V _{0}} e^{- βp V} Z (β, V, N)

그 열역학적 퍼텐셜은 깁스 자유 에너지이다.

G (T, p, N) \equiv - k_{B} T ln Δ

그러면

(\frac{\partial G}{\partial p})_{T, N} = V, (\frac{\partial G}{\partial T})_{p, N} = - S, (\frac{\partial G}{\partial N})_{T, p} = μ

$V$ 의 요동은 고정된 $(T, p, N)$ 에서 $ln Δ$ 의 미분으로 생성된다.

9.2.4 르장드르 구조와 미시정준 연결

정준 및 거대 정준 앙상블은 미시정준 상태 수의 라플라스 변환이다.

Z (β, V, N) = \int d E ω (E, V, N) e^{- βE}

큰 계에서는 적분이 안장점 $E^{*}$ 의 기여로 지배되며 $\partial_{E} ln ω ∣_{E^{*}} = β$ , 즉 $1/ T = \partial S / \partial E$ 이다. 안장점에서 평가하면 르장드르 관계를 얻는다.

F (T, V, N) = U - TS

마찬가지로 $E$ 와 $N$ 를 모두 변환하는 거대 정준 변환은

Φ_{G} (T, V, μ) = U - TS - μ N

를 준다. 열역학적 퍼텐셜이 $S$ 의 르장드르 변환인 이유이다.

9.2.5 정준 앙상블의 고전적 이상 기체

구별 불가능한 입자 $N$ 개가 질량 $m$ 와 해밀토니안 $H = \sum p_{i}^{2} /2 m$ 를 가진다고 하고 상호작용을 무시하자. 정준 분배 함수는 병진 부분으로 인자화된다.

Z (β, V, N) = \frac{1}{N !} [\frac{V}{λ _{T}^{3}}]^{N}

열적 파장은

λ_{T} \equiv \frac{2 π ℏ ^{2}}{m k _{B} T}

그러면

F = - k_{B} T ln Z = - N k_{B} T [ln (\frac{V}{N λ _{T}^{3}}) + 1]

상태 방정식은 곧바로 나온다.

p V = N k_{B} T

엔트로피는 자쿠르–테트로데 형태이다.

S = N k_{B} [ln (\frac{V}{N λ _{T}^{3}}) + \frac{5}{2}]

내부 에너지는 $U = \frac{3}{2} N k_{B} T$ 이며 $C_{V} = \frac{3}{2} N k_{B}$ 이다. $1/ N!$ 는 구별 불가능성을 강제하여 깁스 역설을 해결한다.

9.2.6 클러스터 전개로 보는 양자 이상 기체

단일 입자 에너지 ${ϵ_{α}}$ 를 가진 비상호작용 보손 또는 페르미온에 대해

ln Ξ = \mp α \sum ln (1 \mp z e^{- β ϵ_{α}})

위쪽 부호는 보손, 아래쪽은 페르미온이다. 점유수는

⟨ n_{α} ⟩ = \frac{1}{z ^{- 1} e ^{β ϵ_{α}} \mp 1}

연속체 극한에서는 $\sum_{α} \to \int d ϵ g (ϵ)$ 로 바꾸어 광자, 포논, 전자 기체의 열역학을 얻는다. 상호작용은 비리얼 또는 클러스터 전개로 섭동적으로 포함할 수 있으며, 계수 $B_{2}, B_{3}, \dots$ 를 통해 $ln Ξ$ 를 보정한다.

9.2.7 일반화된 힘과 응답 행렬

고전 해밀토니안이 외부 조절 변수 $λ = (λ_{1}, \dots)$ 에 선형으로 의존하면 $F$ 의 2차 미분 행렬은 아래의 공분산 응답을 준다. 같은 시각의 이 형태는 해밀토니안과 교환하는 양자 관측량에도 적용된다. 비선형 결합에는 명시적 미분 항이 추가로 필요하며, 교환하지 않는 양자 관측량에는 허수 시간 구보 상관 함수가 필요하다.

χ_{ab} \equiv - (\frac{\partial ^{2} F}{\partial λ _{a} \partial λ _{b}})_{T, V, N} = β ⟨ Δ X_{a} Δ X_{b} ⟩

여기서 $X_{a} \equiv - \partial H / \partial λ_{a}$ 는 켤레 관측량이다. 예로 자기 감수율, 압축률, 열용량이 있다. 혼합 미분에는 맥스웰 관계가 담긴다. 예를 들어 $(\partial S / \partial V)_{T, N} = (\partial p / \partial T)_{V, N}$ 이다.

9.2.8 이징형 격자계와 상태 수 세기 연습

스핀 $s_{i} = \pm 1$ 와 해밀토니안 $H = - J \sum_{⟨ ij ⟩} s_{i} s_{j} - h \sum_{i} s_{i}$ 를 가진 유한 격자의 정준 분배 함수는

Z (β, h) = {s} \sum exp β J ⟨ ij ⟩ \sum s_{i} s_{j} + β h i \sum s_{i}

1차원을 넘으면 정확한 계산은 어렵지만, $ln Z$ 의 미분은 여전히 자화 $M = (\partial ln Z / \partial (β h))$ 와 감수율 $χ = \partial M / \partial h$ 를 정의한다. 평균장이나 전이 행렬 방법은 $Z$ 를 체계적으로 근사한다.

9.2.9 깁스–뒤엠 관계와 크기 성질 확인

$U (S, V, N)$ 가 1차 동차 함수인 크기 성질을 가진 계에서는 오일러 관계가 성립한다.

U = TS - p V + μ N

미분하면 깁스–뒤엠 방정식을 얻는다.

S d T - V d p + N d μ = 0

분배 함수에서 유도한 모든 상태 방정식의 일관성을 확인하는 기준이다.

9.2.10 라플라스 변환, 안장점, 앙상블이 일치하는 조건

$Z$ 와 $Δ$ 는 라플라스 변환이므로 큰 $N$ 의 열역학은 지배적인 안장점에서 나온다. $S (E, V, N)$ 의 오목성은 앙상블의 동등성을 보장한다. 1차 상전이에서는 $Z$ 에 경쟁하는 여러 안장점이 생긴다. 르장드르 변환은 볼록 포락선을 선택하고, 유한계의 요동은 가우스 분포에서 벗어난다.

9.2.11 간단한 풀이 예제

(a) $N pT$ 이상 기체

이상 기체의 $Δ$ 를 $Z = (V / λ_{T}^{3})^{N} / N!$ 로 계산하여 다음을 보여라.

Δ = \frac{1}{V _{0} λ _{T}^{3 N} ( βp ) ^{N + 1}}

$G = N k_{B} T ln (βp λ_{T}^{3}) + k_{B} T ln (βp V_{0})$ 와 $V = (\partial G / \partial p)_{T, N} = (N + 1) k_{B} T / p$ 를 확인하라. 큰 $N$ 에서는 상대적인 $1/ N$ 보정이 사라지고 $V ≃ N k_{B} T / p$ 이다.

(b) 비리얼을 통해 $Z$ 에서 구하는 압력

쌍 퍼텐셜 $u (r)$ 를 가진 고전적 상호작용 기체에서 $p = N k_{B} T / V - \frac{2 π n ^{2}}{3} \int_{0}^{\infty} d r r^{3} u^{'} (r) g (r)$ 임을 $p = - (\partial F / \partial V)_{T, N}$ 와 균일한 척도 변환으로 보여라. 여기서 $n = N / V$ 이며 $g (r)$ 는 쌍 분포이다.

(c) 입자 수 요동과 압축률

거대 정준 앙상블에서 $⟨(Δ N)^{2} ⟩ = k_{B} T (\partial N / \partial μ)_{T, V}$ 를 확인하고 등온 압축률 $κ_{T} = \frac{1}{n ^{2}} (\partial n / \partial μ)_{T}$ 와 연결하라.

(d) 미시정준 ↔ 정준

$Z ≃ \int (d E / δ E) exp [S (E) / k_{B} - βE]$ 에서 출발하여 $S (E)$ 를 $E^{*}$ 주위에서 이차까지 전개하고, 분산 $k_{B} T^{2} C_{V}$ 인 가우스 에너지 요동을 얻어라.

(e) 두 준위 계의 자유 에너지

독립적인 두 준위 자리 $N$ 개가 에너지 $0$ 와 $ϵ$ 를 가질 때 $Z = (1 + e^{- β ϵ})^{N}$ 를 계산하고, 이어 $F$ , $S$ , $C_{V}$ 를 구하여 쇼트키 봉우리의 위치를 찾아라.

9.2.12 최소 연습문제 모음

$U, S, p$ 의 모든 정준 관계를 $F = - k_{B} T ln Z$ 에서 유도하고 맥스웰 관계 $(\partial S / \partial V)_{T, N} = (\partial p / \partial T)_{V, N}$ 를 확인하라.
거대 정준 앙상블의 이상 기체에서 $p V = k_{B} T ln Ξ$ 임을 보이고 $N$ 와 $S$ 를 $ln Ξ$ 의 미분으로 얻어라.
고전적인 조화 고체를 독립적인 진동자 $3 N$ 개로 다루어 등온–등압 분배 함수를 계산하고, 압축률이 작은 극한에서 $G (T, p, N)$ 를 구하라.
$ln Ξ = \mp \sum_{α} ln (1 \mp z e^{- β ϵ_{α}})$ 를 사용해 보스–아인슈타인 및 페르미–디랙 분포를 얻고 $z ≪ 1$ 일 때의 고전적 극한을 구하라.
크기 성질로부터 오일러 관계 $U = TS - p V + μ N$ 와 깁스–뒤엠 방정식을 증명하고 위 이상 기체 결과로 검증하라.

9.3 고전적 이상 기체와 에너지 등분배

고전적 이상 기체는 통계물리학의 기초 훈련이다. 상태 수를 세고 분배 함수의 로그( $ln$ )를 미분하면 거시적인 법칙이 자연스럽게 나온다. 맥스웰–볼츠만 분포를 유도하고 등분배를 증명하며 $p V = N k_{B} T$ 를 얻는다. 또한 단열선, 음속, 고전적 설명이 무너지는 조건인 $λ_{T}$ 에 대한 직관을 쌓는다.

9.3.1 정준 상태 수 세기 복습과 이상 기체의 Z

구별 불가능한 점입자 $N$ 개가 질량 $m$ , 부피 $V$ , 해밀토니안 $H = \sum_{i = 1}^{N} p_{i}^{2} /2 m$ 를 가질 때 정준 분배 함수는 인자화된다.

Z (β, V, N) = \frac{1}{N !} [\frac{V}{λ _{T}^{3}}]^{N}

열적 파장은

λ_{T} \equiv \frac{2 π ℏ ^{2}}{m k _{B} T}

열역학은 곧바로 따라 나온다.

F = - N k_{B} T [ln (\frac{V}{N λ _{T}^{3}}) + 1], U = \frac{3}{2} N k_{B} T, p V = N k_{B} T

열용량은

C_{V} = (\frac{\partial U}{\partial T})_{V, N} = \frac{3}{2} N k_{B}, C_{p} = C_{V} + N k_{B} = \frac{5}{2} N k_{B}, γ \equiv \frac{C _{p}}{C _{V}} = \frac{5}{3}

엔트로피는 자쿠르–테트로데 형태이다.

S = N k_{B} [ln (\frac{V}{N λ _{T}^{3}}) + \frac{5}{2}]

$1/ N!$ 는 구별 불가능성을 반영하여 깁스 역설을 없앤다.

9.3.2 맥스웰–볼츠만 분포: 속도, 속력, 에너지

운동량의 각 성분은 가우스 분포이다.

f (p_{x}) = \frac{β}{2 πm} exp (- \frac{β p _{x}^{2}}{2 m})

동등하게 속도의 각 성분은 분산 $⟨ v_{x}^{2} ⟩ = k_{B} T / m$ 인 가우스 분포이다. 속도 공간의 반지름 방향 분포인 속력 분포는

f (v) = 4 π (\frac{m}{2 π k _{B} T})^{3/2} v^{2} exp (- \frac{m v ^{2}}{2 k _{B} T})

유용한 모멘트는

v_{mp} = \frac{2 k _{B} T}{m}, ⟨ v ⟩ = \frac{8 k _{B} T}{πm}, v_{rms} = \frac{3 k _{B} T}{m}

운동 에너지 분포는 $χ^{2}$ 형으로 자유도가 $3$ 개이다.

f (E) = \frac{2}{π} \frac{1}{( k _{B} T ) ^{3/2}} E e^{- E / k_{B} T}, ⟨ E ⟩ = \frac{3}{2} k_{B} T

9.3.3 에너지 등분배 정리

정리. 해밀토니안의 각 이차 자유도는 평균 에너지에 $\frac{1}{2} k_{B} T$ 씩 기여한다.

증명 개요: 정준 앙상블의 부분 적분. $H$ 에 항 $α x^{2}$ 가 있으면

⟨ x \partial H / \partial x ⟩ = k_{B} T

$H = \sum p_{i}^{2} /2 m + \dots$ 에서는 각 이차항 $p_{i}^{2} /2 m$ 가 $⟨ p_{i}^{2} /2 m ⟩ = \frac{1}{2} k_{B} T$ 를 준다. 단원자 기체에는 병진 운동량이 $3 N$ 개 있으므로 $U = \frac{3}{2} N k_{B} T$ 이다.

실패하는 조건과 그 의미. 양자화된 회전이나 진동의 준위 간격이 $k_{B} T$ 보다 크면 해밀토니안이 이차식이어도 고전적 등분배는 실패한다. 그 열적 기여가 ‘동결’된다. 이는 낮은 $T$ 에서 비열이 감소하는 이유와 뒤롱–프티 법칙의 유효 범위를 설명한다.

9.3.4 기체 운동론

벽과의 탄성 충돌로부터 압력은 다음과 같이 쓸 수 있다.

p = \frac{2}{3} \frac{U}{V}

$U = \frac{3}{2} N k_{B} T$ 와 결합하면 $p V = N k_{B} T$ 를 얻는다. 더 일반적으로 쌍 상호작용 $u (r)$ 에서는 비리얼 정리가 다음을 준다.

p V = N k_{B} T + \frac{1}{3} ⟨ i < j \sum r_{ij} \cdot F_{ij} ⟩

이상 기체는 $F_{ij} = 0$ 이므로 둘째 항이 사라진다.

9.3.5 단열선, 음속, 간단한 열역학 계산

단원자 이상 기체의 가역 단열 변화( $d Q = 0$ )에서는

p V^{γ} = const, T V^{γ - 1} = const, T^{γ} p^{1 - γ} = const

여기서 $γ = 5/3$ 이다. 작은 단열 밀도파의 음속은

c_{s} = γ \frac{k _{B} T}{m}

혼합물에서는 $m$ 를 평균 분자 질량으로, $γ$ 를 적절한 열용량비로 바꾼다.

9.3.6 외부 장: 기압 공식과 변수 분리

균일한 중력장 $U (z) = m g z$ 에서 단일 입자 볼츠만 가중치는 인자화된다.

n (z) \propto e^{- β m g z}, n (z) = n (0) e^{- z / H}, H \equiv \frac{k _{B} T}{m g}

운동량 부분과 위치 부분이 분리되므로 등분배와 맥스웰–볼츠만 속력 같은 운동 에너지 결과는 그대로 유지된다.

9.3.7 한눈에 보는 수송: 평균 자유 행로와 관련량

지름 $d$ 인 단단한 구가 수밀도 $n$ 로 있을 때 평균 자유 행로는

ℓ ≃ \frac{1}{2 π d ^{2} n}

대표 속력 $\overset{v}{ˉ} \sim ⟨ v ⟩$ 를 사용하면

D \sim \frac{1}{3} \overset{v}{ˉ} ℓ, η \sim \frac{1}{3} nm \overset{v}{ˉ} ℓ, κ \sim \frac{1}{3} n C_{V}^{입자당} \overset{v}{ˉ} ℓ

이 운동론적 비례 관계는 묽은 기체에서 놀랍도록 잘 맞는다. 실제 단면적과 혼합물의 성질은 앞의 계수를 더 정밀하게 만든다.

9.3.8 고전적 설명의 유효성

고전적이며 비축퇴인 거동에는 작은 희박도 매개변수가 필요하다.

n λ_{T}^{3} ≪ 1

$n λ_{T}^{3} ≳ 1$ 이면, 즉 낮은 $T$ 또는 높은 $n$ 에서는 양자 통계가 중요해진다. 보손에는 보스–아인슈타인 통계가, 페르미온에는 파울리 원리가 적용되며 맥스웰–볼츠만 분포는 더 이상 적합하지 않다.

9.3.9 단원자를 넘어: 등분배가 세는 것

중간 정도의 $T$ 에서 강체 선형 이원자 분자는

병진 $3$ 개와 회전 $2$ 개의 이차 모드를 가져 유효 자유도가 $f = 5$ 개이다. 따라서 $C_{V} \approx \frac{5}{2} N k_{B}$ , $γ \approx 7/5$ 이다.
진동은 이차 모드 $2$ 개를 더하지만 $k_{B} T$ 가 진동 양자 간격보다 클 때만 활성화되며, 그렇지 않으면 동결된다.

교훈은 주어진 $T$ 에서 활성화된 모드만 세라는 것이다.

9.3.10 간단한 풀이 예제

(a) 실온 $T$ 에서 공기의 제곱평균제곱근 속력

$N_{2}$ 에 대해 $m \approx 28 u$ 이고 $T = 300 K$ 일 때

v_{rms} = \frac{3 k _{B} T}{m}

수치를 넣으면 수백 $m/s$ 가 나온다. $v_{mp}$ 와 $⟨ v ⟩$ 에 비교하라.

(b) 단열 압축

단원자 기체를 $(p_{1}, V_{1})$ 에서 $(p_{2}, V_{2})$ 로 단열 압축한다. $p V^{γ} = const$ 를 사용하여 $T_{2} / T_{1} = (V_{1} / V_{2})^{γ - 1}$ 를 구하라.

(c) 헬륨의 기압 척도 높이

$T = 300 K$ 의 헬륨에서 $H = k_{B} T / (m g)$ 를 계산하고 $N_{2}$ 와 비교하여 질량 의존성을 확인하라.

(d) 표준 온도·압력에서의 평균 자유 행로

$d \approx 0.3 nm$ , $n \approx 2.5 \times 1 0^{25} m^{- 3}$ 를 택하라. $ℓ$ 를 추정하고 냄새가 빠르게 확산되는 이유를 논하라.

(e) 등분배의 타당성 확인

$\int d p p^{2} e^{- β p^{2} /2 m}$ 에서 직접 $⟨ p^{2} /2 m ⟩ = \frac{1}{2} k_{B} T$ 를 보이고 세 성분으로 확장하라.

9.3.11 최소 연습문제 모음

$f (v)$ 에서 출발하여 $v_{mp}$ , $⟨ v ⟩$ , $v_{rms}$ 를 유도하라.
이차 좌표에 대해 등분배 항등식 $⟨ x \partial H / \partial x ⟩ = k_{B} T$ 를 증명하고 $p^{2} /2 m$ 에 적용하라.
벽 충돌 수를 세어 $p = \frac{2}{3} U / V$ 를 유도하고 $p V = N k_{B} T$ 를 얻어라.
회전 상수 $B$ 인 선형 이원자 분자에서 $k_{B} T$ 와 $ℏ^{2} / (2 I)$ 를 비교하여 회전이 ‘활성화되는’ 온도를 추정하라.
수밀도 $n$ , 온도 $T$ 인 차가운 원자 기체의 고전성 조건을 확인하라. $n λ_{T}^{3}$ 를 계산하고 양자 통계가 필요한 조건을 논하라.

9.4 요동과 요동–응답 원리

거시 법칙이 뚜렷해 보이는 것은 상대 요동이 $1/ N$ 처럼 작아지기 때문이다. 물론 그렇지 않은 경우도 있다. 이 절에서는 무엇이, 얼마나 요동하며 응답이 요동과 같은 이유를 정리한다. 정준, 거대 정준, 등온–등압 앙상블을 연결하고 정적 요동–소산 관계를 도입하며 쌍 상관을 압축률과 연결한다. 임계점 근처에서 무엇이 무너지는지도 미리 본다.

9.4.1 에너지와 입자 수: 두 대표적인 분산

정준 앙상블: $T, V, N$ 고정

⟨(Δ E)^{2} ⟩ = \frac{\partial ^{2}}{\partial β ^{2}} ln Z = k_{B} T^{2} C_{V}

보통의 계에서 상대 크기는 $⟨(Δ E)^{2} ⟩^{1/2} / U \sim 1/ N$ 처럼 줄어든다.

거대 정준 앙상블: $T, V, μ$ 고정

⟨(Δ N)^{2} ⟩ = k_{B} T (\frac{\partial N}{\partial μ})_{T, V}

동등하게 밀도 $n = N / V$ 와 등온 압축률 $κ_{T} \equiv - \frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial p})_{T, N}$ 로 표현하면

⟨(Δ N)^{2} ⟩ = N k_{B} T n κ_{T}

단일 성분 유체에 대한 결과이며 $d n = χ_{μ} d μ$ 와 표준 열역학적 항등식을 사용했다.

9.4.2 고정된 압력에서의 부피 요동

$(T, p, N)$ 를 고정하면 등온–등압 분배 함수 $Δ$ 가 다음을 생성한다.

⟨(Δ V)^{2} ⟩ = - k_{B} T (\frac{\partial V}{\partial p})_{T, N} = k_{B} T V κ_{T}

다시 요동 = 응답이다. 압축률은 $V$ 가 $p$ 의 작은 변화에 얼마나 변하는지 나타내며, 같은 계수가 평형 분산을 정한다.

9.4.3 한 줄로 보는 정적 요동–응답 관계

조절 변수 $λ$ 가 원천에 무관한 관측량 $X$ 와 $H \to H - λ X$ 로 결합한다고 하자. 따라서 $X = - \partial H / \partial λ$ 이다. 고전 정준 앙상블 또는 해밀토니안과 교환하는 양자 관측량에서는

χ_{XX} \equiv (\frac{\partial ⟨ X ⟩}{\partial λ})_{T, V, N} = β ⟨(Δ X)^{2} ⟩

특수한 경우는

에너지에서는 $\partial U / \partial β = - ⟨(Δ E)^{2} ⟩$ 와 $\partial U / \partial T = C_{V}$ 가 $⟨(Δ E)^{2} ⟩ = k_{B} T^{2} C_{V}$ 를 준다. 여기서 역온도는 볼츠만 가중치의 켤레 매개변수이며, 이를 바꾸는 것은 위에서 온도를 고정한 원천 $λ$ 를 바꾸는 것과 다르다.
거대 정준 앙상블의 $X = N$ 는 $(\partial N / \partial μ)_{T, V} = β ⟨(Δ N)^{2} ⟩$ 를 준다.

분산의 양의 성질 $\Rightarrow$ 안정성: $C_{V} \geq 0$ , $κ_{T} \geq 0$ 가 $T$ 를 고정한 앙상블에서 성립한다.

9.4.4 상관 함수, 구조 인자, 압축률 합 규칙

미시적인 밀도 $\overset{n}{^} (r) = \sum_{i} δ (r - r_{i})$ , 쌍 상관 $g (r)$ , 정적 구조 인자를 정의한다.

S (k) \equiv \frac{1}{N} ⟨ δ \overset{n}{^}_{k} δ \overset{n}{^}_{- k} ⟩, δ \overset{n}{^}_{k} \equiv \int d^{3} r e^{- i k \cdot r} [\overset{n}{^} (r) - n]

균일한 유체에서는

S (k) = 1 + n \int d^{3} r e^{- i k \cdot r} [g (r) - 1]

$k \to 0$ 를 취하면 미시적 상관관계와 거시적 응답이 연결된다.

S (0) = n k_{B} T κ_{T}

이것이 압축률 합 규칙이다. 임계점 근처에서는 $κ_{T} \to \infty$ 이고 $S (0)$ 가 급증한다. 이른바 임계 유백광이다.

9.4.5 안장점, 곡률, 큰 편차

미시정준 엔트로피 $S (E)$ 는 곡률을 통해 요동을 결정한다. 가장 확률이 높은 에너지 $E^{*}$ 주위에서 전개하자.

S (E) \approx S (E^{*}) + \frac{E - E ^{*}}{T} + \frac{1}{2} (E - E^{*})^{2} (\frac{\partial ^{2} S}{\partial E ^{2}})_{E^{*}}

정준 앙상블로 라플라스 변환하면 $E$ 의 가우스 분포를 얻고 분산은 $(- k_{B} / S^{''})$ 로서 $k_{B} T^{2} C_{V}$ 와 동등하다. 더 일반적으로 가법적인 관측량은 큰 편차 원리를 따른다.

P (\frac{A}{N} \approx a) \sim e^{- N I (a)}

여기서 $I (a) \geq 0$ 는 누적량 생성 함수의 르장드르 변환인 대편차율 함수이다. 1차 상전이에서는 관련 열역학적 퍼텐셜에 경쟁하는 여러 안장점이 생겨 비가우스 요동과 상 공존이 나타난다.

9.4.6 임계 요동과 상관 길이

$ϕ$ 를 자화 밀도 같은 질서 매개변수라 하자. 연결 상관 함수를 정의한다.

G (r) \equiv ⟨ ϕ (r) ϕ (0) ⟩_{c}

임계점에서 멀어지면 임계 거듭제곱 법칙은 유한한 상관 길이에서 잘린다. 개략적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

G (r) \sim \frac{e ^{- r / ξ}}{r ^{d - 2 + η}}

상관 길이 $ξ$ 는 유한하다. 제시한 앞의 인자가 일반적으로 정확한 장거리 점근식은 아니다. 열적 정규화 인자를 정의에 흡수한 축약 정적 감수율 $χ \equiv \int d^{d} r G (r)$ 는 다음처럼 변한다.

χ \sim ξ^{2 - η}

따라서 부피 $V$ 에서 공간 평균한 질서 매개변수의 분산은 $Var (\overset{ˉ}{ϕ}) \sim χ / V$ 처럼 변한다. $ξ$ 가 유한하면 상대 요동은 $\sim 1/ V$ 이다. $T \to T_{c}$ 이면 $ξ \to \infty$ 이고 $1/ N$ 법칙은 무너진다.

9.4.7 유한 크기 척도 관계: N이 크지만 무한하지 않을 때

비임계 계: $Var (A) \propto N$ 가 가법적 $A$ 에 적용되어 상대 크기는 $\propto N^{- 1/2}$ 이다.
임계점 근처: $ξ$ 가 계 크기 $L$ 와 비슷하면 척도 공식의 $ξ$ 를 $L$ 로 바꾼다. 비열이나 감수율의 봉우리는 $L$ 에 따라 예측 가능한 방식으로 둥글어지고 이동한다. 수치적으로 임계 지수를 구할 때 사용한다.

9.4.8 예제: 비상호작용 상자성체와 퀴리 법칙

스핀 $s = \frac{1}{2}$ 가 $N$ 개 있고 외부 장은 $B$ , 해밀토니안은 $H = - μ B \sum_{i} σ_{i}$ 이며 $σ_{i} = \pm 1$ 이다. 단일 스핀의 분배 함수는 $z = 2 cosh (β μ B)$ 이고 스핀당 자화는

m \equiv \frac{⟨ M ⟩}{N} = μ tanh (β μ B)

$M$ 의 분산은 이항분포에서 얻는다.

⟨(Δ M)^{2} ⟩ = N μ^{2} sech^{2} (β μ B)

정적 감수율 $χ \equiv (\partial ⟨ M ⟩ / \partial B)_{T}$ 는 요동–응답 관계와 일치한다.

χ = β ⟨(Δ M)^{2} ⟩ = \frac{N μ ^{2}}{k _{B} T} sech^{2} (β μ B)

약한 장의 극한에서는 퀴리 법칙이다.

χ \approx \frac{N μ ^{2}}{k _{B} T}

9.4.9 예제: 이상 기체의 밀도 요동과 S(0)

거대 정준 고전 이상 기체의 입자는 상관되어 있지 않으므로 $g (r) = 1$ 이다. 따라서 $S (k) = 1$ 가 모든 $k$ 에서 성립하고

S (0) = 1 = n k_{B} T κ_{T}

그러므로 이상 기체 결과인 $κ_{T} = 1/ (n k_{B} T)$ 를 얻는다. 이 저장고 앙상블에서 부분 부피 $V^{'}$ 의 입자 수 분산은 푸아송형이며 $⟨(Δ N^{'})^{2} ⟩ = ⟨ N^{'} ⟩$ 이다. 총입자 수를 고정하면 부분 부피 요동은 대신 이항분포를 따르고(9.4.11(e) 참고), 정확히 파수 벡터가 0인 구조 인자는 사라진다. 이때 압축률 합 규칙은 열역학적 극한을 취한 뒤의 장파장 극한을 가리킨다.

9.4.10 흔한 함정

앙상블 혼용. 앙상블을 측정 조건에 맞추지 않은 채 정준 $C_{V}$ 와 거대 정준의 입자 수 요동을 함께 사용하지 말라.
상전이 근처에서 가우스 맞춤 강요. 1차 전이에서는 두 상에 해당하는 쌍봉 분포가 가능하다. 임계점에서 질서 매개변수 분포는 일반적으로 비가우스이지만 꼬리가 반드시 거듭제곱 법칙인 것은 아니다.
제약 무시. 보존되는 총량은 분산을 억제한다. 예를 들어 총 $N$ 를 고정하면 부분 부피 요동이 줄어든다.
음의 $C_{V}$ 를 ‘불안정성’이라고 부르기. 장거리 힘을 가진 작은 미시정준 계에서는 $C_{V} < 0$ 가 나타날 수 있다. 이는 대수의 실패가 아니라 앙상블의 비동등성을 뜻한다.

9.4.11 간단한 풀이 예제

(a) $N pT$ 부피 분산
$Δ = \int (d V / V_{0}) e^{- βp V} Z$ 에서 $⟨(Δ V)^{2} ⟩ = k_{B} T V κ_{T}$ 를 보이고 이상 기체에서 확인하라.

(b) 압축률 합 규칙
$S (k) = 1 + n \int d^{3} r e^{- i k \cdot r} [g (r) - 1]$ 에서 출발하여 $k \to 0$ 를 취하고 열역학으로 $S (0) = n k_{B} T κ_{T}$ 를 유도하라.

(c) 에너지의 큰 편차
$Z ≃ \int (d E / δ E) e^{S (E) / k_{B} - βE}$ 를 이차까지 전개하여 $⟨(Δ E)^{2} ⟩$ 를 읽고 가우스 근사가 실패하는 조건을 확인하라.

(d) 상자성체의 분산 → 퀴리 법칙
$⟨ M ⟩$ 와 $⟨ M^{2} ⟩$ 를 $z$ 에서 계산하고 $χ = β ⟨(Δ M)^{2} ⟩$ 를 보여라. $B \to 0$ 를 취하여 $χ \propto 1/ T$ 를 얻어라.

(e) 부분 부피 요동
이상기체가 든 상자를 두 부피 $V^{'}$ 와 $V - V^{'}$ 로 나누자. 전체 $N$ 가 고정되어 있을 때 $Var (N^{'}) = N (V^{'} / V) (1 - V^{'} / V)$ (이항분포)를 보이고, 거대 정준 앙상블의 푸아송 분산과 비교하라.

9.4.12 최소 연습문제 모음

원천 항을 포함한 $ln Z$ 의 미분으로 일반적인 정적 관계 $χ_{XX} = β ⟨(Δ X)^{2} ⟩$ 를 증명하라.
$⟨(Δ N)^{2} ⟩ = k_{B} T (\partial N / \partial μ)_{T, V}$ 를 유도하고 단일 성분 유체에 대해 $κ_{T}$ 와 연결하라.
액체가 기체–액체 임계점에 접근할 때 $S (0) = n k_{B} T κ_{T}$ 가 $S (0) \to \infty$ 를 뜻함을 보이고, ‘임계 유백광’을 정성적으로 설명하라.
란다우 $ϕ^{4}$ 자유 에너지 $f = a (T - T_{c}) ϕ^{2} + b ϕ^{4}$ 를 이용하여 $T_{c}$ 위에서 가우스 요동을 계산하고, 평균장 수준에서 $χ \propto 1/ (T - T_{c})$ 를 구하라.
질서 매개변수가 보존되는 격자 모형에서 $T$ 가 고정되어 있을 때 보존 법칙이 긴 시간의 이완을 어떻게 바꾸는지 논하라. 같은 시각의 정적 분산은 바꾸지 않는다.

9.5 양자기체: 보스·페르미 통계, 다중로그, 축퇴로 가는 길

고전적인 맥스웰–볼츠만(MB) 통계는 훌륭하다… $n λ_{T}^{3}$ 가 더 이상 아주 작지 않을 때까지는. 그때는 구별 불가능성과 교환 대칭성이 판도를 바꾼다. 이 절에서는 거대 앙상블에서 보스–아인슈타인 및 페르미–디랙 분포를 유도하고, 다중로그 함수로 열역학을 계산하며, 비리얼 전개로 고전적 극한과 연결하고, 조머펠트 전개를 포함한 축퇴 페르미 기체의 도구를 마련한다. 또한 $T$ 와 $n$ 에 따라 화학 퍼텐셜이 어떻게 변하는지 살펴본다.

양의 x에서 감소하는 세 평균 점유수 곡선. 보스–아인슈타인이 가장 위, 맥스웰–볼츠만이 가운데, 페르미–디랙이 가장 아래에 있다. — 여기서 $x = (ε - μ) / (k_{B} T) > 0$ 이며 점유수는 한 입자 상태당 값으로, 상태밀도 인자를 포함하지 않는다. x가 크면 세 곡선 모두 고전적 결과에 가까워진다. 보스 점유수는 1을 넘을 수 있고 x가 양의 쪽에서 0으로 가면 발산한다. 응축된 바닥상태는 별도로 다뤄야 한다. 곡선은 열평형 상태의 이상기체를 나타낸다.

보스–아인슈타인: $\overset{n}{ˉ} = 1/ (exp x - 1)$ , 위쪽 곡선.

맥스웰–볼츠만: $\overset{n}{ˉ} = exp (- x)$ , 가운데 곡선.

페르미–디랙: $\overset{n}{ˉ} = 1/ (exp x + 1)$ , 아래쪽 곡선. 이 그림은 $ε > μ$ 만 보여 주며 채워진 페르미 바다는 나타내지 않는다.

그림을 원래 크기로 열기

9.5.1 거대 앙상블 → BE/FD 분포

서로 상호작용하지 않는 동일한 입자들을 $(T, V, μ)$ 의 거대 정준 앙상블에 놓자. 퓨가시티가 $z \equiv e^{β μ}$ 이고 단일 입자 준위가 ${ϵ_{α}}$ 이면,

ln Ξ = \mp α \sum ln (1 \mp z e^{- β ϵ_{α}})

위쪽 부호는 보손, 아래쪽 부호는 페르미온에 해당한다. 점유수는

⟨ n_{α} ⟩ = \frac{1}{z ^{- 1} e ^{β ϵ_{α}} \mp 1}

분모의 마이너스 부호는 보스–아인슈타인 뭉침을, 플러스 부호는 페르미–디랙 차단을 만든다.

9.5.2 3차원 상태 밀도와 연속체 치환

부피 $V$ 에서 스핀 축퇴도 $g$ 와 비상대론적 분산 관계 $ϵ = p^{2} /2 m$ 를 갖는 경우,

g (ϵ) d ϵ = g \frac{V}{4 π ^{2}} (\frac{2 m}{ℏ ^{2}})^{3/2} ϵ d ϵ

합은 적분 $\sum_{α} \to \int d ϵ g (ϵ)$ 으로 바뀐다.

열적 파장을 다음과 같이 정의하고,

λ_{T} \equiv \frac{2 π ℏ ^{2}}{m k _{B} T}

다중로그 함수를 $Li_{s} (x) \equiv \sum_{k \geq 1} x^{k} / k^{s}$ 로 정의한다.

9.5.3 다중로그로 표현한 열역학: N, U, p

보손과 페르미온 모두 다중로그를 이용하면 결과를 간결하게 쓸 수 있다. 다음과 같이 두자.

g_{s} (z) \equiv Li_{s} (z), f_{s} (z) \equiv - Li_{s} (- z)

그러면 $d = 3$ 에서 균일한 비상대론적 기체에 대해,

보손 $(BE)$

N = \frac{g V}{λ _{T}^{3}} g_{3/2} (z), p = \frac{g k _{B} T}{λ _{T}^{3}} g_{5/2} (z), U = \frac{3}{2} p V

페르미온 $(FD)$

N = \frac{g V}{λ _{T}^{3}} f_{3/2} (z), p = \frac{g k _{B} T}{λ _{T}^{3}} f_{5/2} (z), U = \frac{3}{2} p V

비리얼 항등식 $U = \frac{3}{2} p V$ 는 이차 분산 관계를 갖는 모든 이상적인 비상대론적 기체에서 성립한다.

9.5.4 고전적 극한과 첫 양자 보정

$z ≪ 1$ 일 때(높은 $T$ 또는 낮은 $n$ ), $g_{s} (z) \approx z$ 와 $f_{s} (z) \approx z$ 이므로 두 통계 모두 MB 통계로 환원된다. 더 전개하면 이상기체 법칙에 대한 선도 양자 보정을 얻는다.

\frac{p}{n k _{B} T} = 1 \pm \frac{1}{2 ^{5/2}} \frac{n λ _{T}^{3}}{g} + O ((n λ_{T}^{3} / g)^{2})

위쪽 부호는 페르미온에 해당하고(파울리 ‘반발’이 압력을 높인다), 아래쪽 부호는 보손에 해당한다(보스 ‘인력’이 압력을 낮춘다).

9.5.5 화학 퍼텐셜의 거동

보손: $μ \leq 0$ . $n$ 가 고정된 상태에서 $T$ 가 감소하면 $μ$ 는 $0^{-}$ 를 향해 증가한다. 이상적인 균일 기체에서는 들뜬상태가 수용할 수 있는 입자 수가 $g_{3/2} (1) = ζ (3/2)$ 에 의해 제한되므로 $n λ_{T}^{3}$ 가 어떤 상수를 넘으면 보스–아인슈타인 응축이 일어난다. BEC는 §9.7에서 자세히 다룬다.
페르미온: $μ$ 는 낮은 $T$ 에서 양수이며, $T \to 0$ 일 때 페르미 에너지 $ϵ_{F}$ 에 접근한다. $n \equiv N / V$ 이고 스핀 축퇴도가 $g$ 이면,

ϵ_{F} = \frac{ℏ ^{2}}{2 m} (\frac{6 π ^{2} n}{g})^{2/3}, k_{B} T_{F} \equiv ϵ_{F}

유한하지만 작은 $T / T_{F}$ 에서 $μ (T)$ 는 $ϵ_{F}$ 보다 $\sim (T / T_{F})^{2}$ 만큼 작아진다.

9.5.6 축퇴 페르미 기체와 조머펠트 전개

$T ≪ T_{F}$ 에 대해 페르미 적분을 점근적으로 계산한다. $x \equiv T / T_{F} ≪ 1$ 라 두자.

화학 퍼텐셜

μ (T) = ϵ_{F} [1 - \frac{π ^{2}}{12} x^{2} - \frac{π ^{4}}{80} x^{4} + \dots]

낮은 $T$ 에서의 내부 에너지와 압력

U = \frac{3}{5} N ϵ_{F} [1 + \frac{5 π ^{2}}{12} x^{2} + \dots], p = \frac{2}{5} n ϵ_{F} [1 + \frac{5 π ^{2}}{12} x^{2} + \dots]

입자당 열용량

\frac{C _{V}}{N k _{B}} = \frac{π ^{2}}{2} x + O (x^{3})

$T$ 에 비례한다는 것은 페르미 면 주위에 두께 $\sim k_{B} T$ 의 얇은 껍질을 이루는 열적으로 활성인 상태들이 있다는 특징을 나타낸다.

9.5.7 비축퇴 보스 기체와 BEC의 경계

응축 온도 위에서는(바닥상태의 거시적 점유가 없을 때) $μ < 0$ 가 $n λ_{T}^{3} = g g_{3/2} (z)$ 를 만족한다. 열역학은 §9.5.3에 $z < 1$ 를 사용하면 얻어진다. $T$ 를 낮추면서 $n$ 를 고정하면 $z \to 1^{-}$ , $g_{s} (z) \to ζ (s)$ 가 되고, 들뜬상태 밀도는 다음 값에서 포화한다.

n_{ex,max} = \frac{g}{λ _{T}^{3}} ζ (3/2)

§9.7에서 구할 임계 온도 및 그 아래에서는 ‘초과’ 입자들이 바닥상태로 들어가야 한다.

9.5.8 상대론적 극한과 질량이 없는 극한 미리 보기

$ϵ = p c$ 인 질량 없는 입자의 상태 밀도는 $g (ϵ) \propto ϵ^{2}$ 이다. 질량이 있는 경우의 분산 관계 $ϵ = p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}$ 는 초상대론적 극한에서만 이 형태에 접근한다. 질량 없는 보손(광자)은 $U \propto V T^{4}$ 를 가지며 $p = U /3 V$ 이다. 광자와 포논은 §9.6에서 다룬다.

9.5.9 간단한 풀이 예제

(a) 고전적 극한 확인

$z ≪ 1$ 를 $N = g V λ_{T}^{- 3} g_{3/2} (z)$ 와 $p = g k_{B} T λ_{T}^{- 3} g_{5/2} (z)$ 에 적용하면 선도 차수에서 $p V = N k_{B} T$ 를 재현하고, 다음 차수에서 $\pm 2^{- 5/2} n λ_{T}^{3} / g$ 보정을 얻음을 보여라.

(b) 3차원 상태 밀도

상자 속 운동량 상태를 세고 $ϵ = p^{2} /2 m$ 를 이용하여 $g (ϵ)$ 를 유도하라.

(c) 페르미 에너지의 수치 계산

$n \approx 8.5 \times 1 0^{28} m^{- 3}$ 이고 $g = 2$ 인 금속의 전자에 대해 $ϵ_{F}$ 와 $T_{F}$ 를 계산하고, $T = 300 K$ 에서 $C_{V} / (N k_{B})$ 를 추정하라.

(d) 페르미온의 낮은 $T$ 에서의 $μ (T)$

$\int d ϵ ϵ^{1/2} / (e^{β (ϵ - μ)} + 1)$ 의 조머펠트 전개를 이용하여 $μ (T)$ 의 급수를 $O (x^{4})$ 까지 구하라.

(e) $z \to 1^{-}$ 부근의 보스 기체

다중로그 전개로 $g_{3/2} (z)$ 를 $z = 1$ 부근에서 수치적으로 계산하고, $n λ_{T}^{3}$ 가 $g ζ (3/2)$ 에 어떻게 접근하는지 보여라.

9.5.10 최소 연습문제 모음

$ln Ξ$ 에서 출발하여 $⟨ n_{α} ⟩$ 와 BE/FD 형태를 유도하라.
합을 $\int d ϵ g (ϵ)$ 으로 바꾸어 $N$ , $p$ , $U$ 에 대한 $d = 3$ 에서의 다중로그 공식을 얻어라.
$p / (n k_{B} T)$ 를 $n λ_{T}^{3}$ 의 거듭제곱으로 전개하고, 보손과 페르미온의 제2 비리얼 계수 부호를 확인하라.
페르미 에너지 $ϵ_{F}$ 와 $p (T = 0) = \frac{2}{5} n ϵ_{F}$ 를 유도한 다음 조머펠트 전개로 $C_{V} \propto T$ 를 얻어라.
이상 보스 기체에서 $n$ 를 고정하고, $T ↓ T_{c}$ 일 때 $μ \to 0^{-}$ 임을 보이며 입자 수 방정식으로 $z ≲ 1$ 에서의 기울기 $d μ / d T$ 를 계산하라.

9.6 광자와 포논: 흑체 복사와 고체의 열용량

대표적인 두 보스 기체가 매우 다른 두 세계를 이룬다. 광자는 질량이 없고 스핀이 1이며 입자 수가 보존되지 않고, $μ = 0$ , 압력 $p = U /3 V$ , $T^{4}$ 법칙을 따른다. 포논은 긴 파장에서 선형 분산 관계를 갖는 격자 진동으로, 세 가지 편극과 모드 수를 $3 N$ 개로 제한하는 디바이 절단을 갖는다. 이 둘은 빛의 스펙트럼과 낮은 $T$ 에서 고체의 비열이 왜 0으로 급감하는지를 설명한다.

9.6.1 광자 기체의 기초

열평형에서 광자는 자유롭게 생성·소멸하므로 화학 퍼텐셜은 반드시 0이다. 부피 $V$ 인 큰 정육면체 공동에 주기적 경계 조건을 적용하여 전자기파를 넣자. 각진동수 $ω$ 당 가로 모드를 세면 상태 밀도는 다음과 같다.

g (ω) d ω = \frac{V}{π ^{2} c ^{3}} ω^{2} d ω

$μ = 0$ 인 보스 점유수는 $n_{B} (ω) = (e^{β ℏ ω} - 1)^{- 1}$ 이며, 이로부터 플랑크 에너지 밀도를 얻는다.

u (ω) d ω \equiv \frac{d U}{V} = \frac{ℏ ω ^{3}}{π ^{2} c ^{3}} \frac{d ω}{e ^{β ℏ ω} - 1}

입자 수 스펙트럼은 $ℏ ω$ 로 나누면 얻어진다.

n (ω) d ω = \frac{ω ^{2}}{π ^{2} c ^{3}} \frac{d ω}{e ^{β ℏ ω} - 1}

9.6.2 슈테판–볼츠만과 빈: 유명한 두 귀결

$u (ω)$ 를 모든 $ω$ 에 대해 적분하면,

\frac{U}{V} \equiv a T^{4}, a = \frac{π ^{2} k _{B}^{4}}{15 ℏ ^{3} c ^{3}}

등방적인 광자 기체의 복사압은

p = \frac{1}{3} \frac{U}{V}

흑체 표면에서 나오는 복사 선속은 $Φ = σ T^{4}$ 이며,

σ = \frac{a c}{4} = \frac{π ^{2} k _{B}^{4}}{60 ℏ ^{3} c ^{2}}

스펙트럼 복사 발산도가 최대인 파장은 빈의 변위 법칙을 만족한다.

λ_{max} T = b, b \approx 2.898 \times 1 0^{- 3} m \cdot K

이는 플랑크 법칙의 $λ$ 형태를 최대화하여 얻는다.

엔트로피 밀도와 엔탈피는 $p = U /3 V$ 로부터 얻어진다.

s \equiv \frac{S}{V} = \frac{4}{3} a T^{3}, h \equiv \frac{U + p V}{V} = \frac{4}{3} a T^{4}

9.6.3 포논: 선형 분산 관계를 갖는 양자화된 소리

결정에서 작은 격자 변위는 기준 모드를 이룬다. 긴 파장에서 음향 가지는 다음을 만족한다.

ω = v_{s} k

여기서 음속은 $v_{s}$ 이고, 세 편극(세로 하나, 가로 둘)이 있다. 이를 상호작용하지 않는 보손 기체로 취급하면 보스 점유수는 동일한 $n_{B} (ω)$ 이다. 그러나 상태 밀도에는 $c$ 대신 $v_{s}$ 가 들어가며, 모드 수를 유한하게 만들기 위해 반드시 절단해야 한다.

디바이의 핵심 발상은 음향 가지를 절단 파수 $k_{D}$ 까지 선형으로 근사하는 것이다. 이 절단은 원자 $N$ 개에 대해 **전체 모드 수가 $3 N$ **이 되도록 정한다.

\frac{V}{2 π ^{2}} \int_{0}^{k_{D}} k^{2} d k \times 3 = 3 N \Rightarrow k_{D} = (6 π^{2} \frac{N}{V})^{1/3}

디바이 진동수와 디바이 온도를 다음과 같이 정의한다.

ω_{D} \equiv v_{s} k_{D}, Θ_{D} \equiv \frac{ℏ ω _{D}}{k _{B}}

하나의 ‘평균’ $v_{s}$ 로 세 편극을 나타내면 벌크 열역학을 상당히 정확하게 기술할 수 있다.

9.6.4 디바이 모형

영점 에너지 항을 제외한 포논의 내부 에너지는

U = \int_{0}^{ω_{D}} d ω g_{D} (ω) ℏ ω n_{B} (ω)

이며, 디바이 상태 밀도는 다음과 같다.

g_{D} (ω) = \frac{9 N}{ω _{D}^{3}} ω^{2}

변수를 $x \equiv ℏ ω / k_{B} T$ 로 바꾸면 표준적인 디바이 열용량을 얻는다.

C_{V} = 9 N k_{B} (\frac{T}{Θ _{D}})^{3} \int_{0}^{Θ_{D} / T} d x \frac{x ^{4} e ^{x}}{( e ^{x} - 1 ) ^{2}}

점근적 거동은 다음과 같다.

낮은 $T$ $(T ≪ Θ_{D})$

C_{V} ≃ \frac{12 π ^{4}}{5} N k_{B} (\frac{T}{Θ _{D}})^{3}

높은 $T$ $(T ≫ Θ_{D})$

C_{V} \to 3 N k_{B}

따라서 뒤롱–프티 법칙을 회복한다.

9.6.5 아인슈타인 모형: 광학 모드와 교차 영역

아인슈타인은 각 원자를 단일 진동수 $ω_{E}$ 를 가진 독립적인 진동자로 생각했다. 그러면

C_{V}^{Ein} = 3 N k_{B} \frac{x ^{2} e ^{x}}{( e ^{x} - 1 ) ^{2}}, x \equiv \frac{ℏ ω _{E}}{k _{B} T}

이 모형은 높은 $T$ 극한과 낮은 $T$ 에서의 지수적인 들뜸 억제를 설명하지만, 저진동수 음향 모드가 없으므로 $T^{3}$ 법칙을 설명하지 못한다. 실제 결정은 흔히 두 모형 사이의 거동을 보인다. 광학 모드는 아인슈타인 모형과, 음향 모드는 디바이 모형과 비슷하다.

9.6.6 포논 기체의 열역학

$ω = v_{s} k$ 와 세 편극을 가진 자유 포논 기체의 낮은 $T ≪ Θ_{D}$ 에서의 에너지 밀도는 광자 기체의 결과에서 $c \to v_{s}$ 로 바꾼 형태이다. 두 광자 편극을 세 음향 가지가 대신하므로 인자 $3/2$ 가 붙는다.

u_{ph} (T) \propto \frac{( k _{B} T ) ^{4}}{ℏ ^{3} v _{s}^{3}}

미분하면 디바이 모형에서와 같이 $C_{V} \propto T^{3}$ 를 얻는다. 고체에서 포논의 ‘압력’은 기체처럼 부피의 경계를 밀기보다 탄성 응답을 바꾸지만, 스케일링에 관한 직관은 동일하다.

9.6.7 자연 속의 흑체: 간단한 둘러보기

우주 마이크로파 배경은 $T \approx 2.725 K$ 의 거의 완벽한 흑체이며, 우주를 채우는 화석 같은 광자 기체이다.
별의 스펙트럼은 일부 영역에서 흑체에 가깝다. 차이는 별의 대기와 스펙트럼선에 관한 정보를 담는다.
작은 구멍이 있는 실험실 공동은 흑체 방출원을 모사하며 복사 측정의 표준이 된다.

9.6.8 흔한 함정

광자에 대해 $μ = 0$ 임을 잊는 것. 펌핑으로 스펙트럼에도 제약을 가하지 않는 한, 평형에서 광자의 수를 고정하려는 시도는 물리적이지 않다.
$ω$ 와 $λ$ 의 봉우리를 혼동하는 것. $u_{ω}$ 와 $u_{λ}$ 의 최댓값은 서로 다른 곳에서 나타난다. 빈의 $b$ 는 파장 스펙트럼의 봉우리를 가리킨다.
편극이나 절단을 무시하는 것. 디바이 모형에는 총 $3 N$ 개의 모드가 필요하다. 인자 3이나 절단을 빠뜨리면 $C_{V}$ 가 성립하지 않는다.
양자 단위를 쓰면서 높은 $T$ 극한을 논하는 것. ‘고전적’ 거동이라고 주장하기 전에 언제나 $Θ_{D} / T$ 또는 $x = ℏ ω / k_{B} T$ 를 확인하라.

9.6.9 간단한 풀이 예제

(a) 슈테판–볼츠만 법칙의 회복.
$x = β ℏ ω$ 로 치환한 뒤 $\int_{0}^{\infty} d x x^{3} / (e^{x} - 1) = π^{4} /15$ 를 이용하여 $u (ω)$ 를 적분하고, $U / V = a T^{4}$ 와 $p = U /3 V$ 를 구하라.

(b) 빈의 변위 법칙.
파장에 대한 스펙트럼 밀도를 최대화하여 $λ_{max} T = b$ 를 보이고, 초월방정식에서 $b$ 를 수치적으로 구하라.

(c) 디바이 모형의 낮은 $T$ 점근식.
$Θ_{D} / T \to \infty$ 에서 디바이 적분을 전개하여 $C_{V} ≃ (12 π^{4} /5) N k_{B} (T / Θ_{D})^{3}$ 를 유도하라.

(d) 중간 $T$ 에서 아인슈타인 모형과 디바이 모형의 비교.
두 모형의 $C_{V} / (3 N k_{B})$ 를 $T /Θ$ 에 대해 그리고, 실제 자료가 대개 두 곡선 사이에서 휘어지는 이유를 설명하라.

(e) 광자 기체의 엔트로피 밀도.
$p = U /3 V$ 와 $d U = T d S - p d V$ 를 이용하여 $s = (4/3) a T^{3}$ 를 유도하라.

9.6.10 최소 연습문제 모음

공동의 모드 수 세기에서 출발하여 $g (ω)$ 와 플랑크의 $u (ω)$ 를 유도하라.
등방적인 복사에 대해 맥스웰 응력 텐서를 평균하여 $p = U /3 V$ 를 증명하라.
디바이 절단을 적용한 포논 모드 수가 $3 N$ 임을 보이고 $k_{D}$ 를 구하라.
$T / Θ_{D} = {0.05, 0.2, 1, 3}$ 에 대해 디바이 열용량 적분을 수치적으로 계산하고, $ω_{E} \approx 0.806 ω_{D}$ 를 이용하여 같은 $T$ 에서 아인슈타인 모형의 예측과 비교하라.
광자 계산에 $c \to v_{s}$ 의 대응을 적용하여 낮은 $T$ 에서 포논 에너지 밀도의 $T^{4}$ 스케일링을 유도하라.

9.7 보스–아인슈타인 응축과 축퇴 페르미 기체

온도를 낮추고 위상 공간 밀도를 높이면 양자 통계가 결정권을 갖기 시작한다. 보손은 바닥상태에 모여 **보스–아인슈타인 응축(BEC)**을 일으킨다. 페르미온은 파울리 압력을 가진 페르미 바다를 이룬다. 여기서는 3차원 BEC의 이상기체 기준 모형을 세우고, 트랩과 상호작용 보정을 더하며, 보골류보프 이론으로 초유동성을 개괄한다. 이어 축퇴 페르미 기체를 복습하고 그 중요성을 보여 주는 몇 가지 응용을 살펴본다.

9.7.1 균일한 이상 보스 기체의 BEC (3차원)

§9.5에 따르면 상호작용하지 않는 보손에 대해

N = \frac{g V}{λ _{T}^{3}} g_{3/2} (z)

이며, $z = e^{β μ}$ 이고 $g_{s}$ 는 다중로그 함수이다. $g_{3/2} (z) \leq g_{3/2} (1) = ζ (3/2)$ 이므로 들뜬 상태가 수용할 수 있는 입자 수의 최댓값은

N_{ex, max} = \frac{g V}{λ _{T}^{3}} ζ (3/2)

밀도 $n = N / V$ 를 고정하고 $T$ 를 낮추면 $1/ λ_{T}^{3} \propto T^{3/2}$ 가 감소하므로 들뜬 상태의 최대 수용량도 줄어든다. 이 수용량이 전체 입자 수와 같아지는 온도가 임계 온도이다.

T_{c} = \frac{2 π ℏ ^{2}}{m k _{B}} (\frac{n}{g ζ ( 3/2 )})^{2/3}

$T_{c}$ 아래에서는 화학 퍼텐셜이 $μ = 0$ 에 고정되며, 응축 분율은

\frac{N _{0}}{N} = 1 - (\frac{T}{T _{c}})^{3/2}

$T_{c}$ 아래의 열역학은 전적으로 들뜸에서 나온다. 이상기체에서 $N_{0}$ 는 에너지에 기여하지 않는다.

p = \frac{g k _{B} T}{λ _{T}^{3}} ζ (5/2), U = \frac{3}{2} p V

$T < T_{c}$ 에서 입자당 비열은

\frac{C _{V}}{N k _{B}} = \frac{15}{4} \frac{ζ ( 5/2 )}{ζ ( 3/2 )} (\frac{T}{T _{c}})^{3/2}

$T_{c}$ 위에서는 $μ < 0$ 가 $n λ_{T}^{3} = g g_{3/2} (z)$ 를 만족하며, 높은 $T$ 에서 $C_{V}$ 는 고전적인 $3 N k_{B} /2$ 에 가까워진다. $T_{c}$ 에서 이상기체의 $C_{V}$ 는 뾰족점을 보인다.

9.7.2 유한한 $T$ 에서 균일한 1차원·2차원 기체에는 BEC가 없다

균질한 이상기체의 $d$ 차원에서는 $N_{ex} \propto g_{d /2} (z)$ 이다. $d \leq 2$ 이면 급수는 $z \to 1^{-}$ 에서 발산한다. 2차원에서는 $g_{1} (1)$ 가 발산하고 $g_{1} (z)$ 가 로그 형태로 증가하며, 1차원에서는 발산이 더 강하다. 따라서 열역학적 극한에서 유한한 $T$ 의 균일한 1차원·2차원 기체에는 진정한 BEC가 일어나지 않는다. 2차원에서는 상호작용이 코스털리츠–사울레스 전이를 통해 초유동성을 가능하게 할 수 있지만, 이것은 하나의 $k = 0$ 모드가 거시적으로 점유되는 현상과는 다르다.

9.7.3 트랩에 갇힌 보스 기체: 조화 퍼텐셜

실험에서는 원자를 근사적으로 조화적인 트랩 $V (r) = \frac{1}{2} m (ω_{x}^{2} x^{2} + ω_{y}^{2} y^{2} + ω_{z}^{2} z^{2})$ 에 가둔다. 단일 입자의 상태 밀도는 $g (ϵ) \propto ϵ^{2} / (ℏ \overset{ω}{ˉ})^{3}$ 가 되며 기하평균은 $\overset{ω}{ˉ} \equiv (ω_{x} ω_{y} ω_{z})^{1/3}$ 이다. 트랩에 갇힌 이상기체의 임계 온도는

k_{B} T_{c}^{trap} = ℏ \overset{ω}{ˉ} (\frac{N}{ζ ( 3 )})^{1/3}

이며, $T < T_{c}^{trap}$ 에서

\frac{N _{0}}{N} = 1 - (\frac{T}{T _{c}^{trap}})^{3}

더 가파른 지수는 상태 밀도의 차이를 반영한다.

9.7.4 정준 요동과 거대 정준 요동: ‘파국’

$T_{c}$ 아래의 이상 BEC에 거대 정준 앙상블을 적용하면 거시적으로 점유된 바닥상태는 $Var (N_{0}) \sim O (N^{2})$ 를 만족한다. 저장고에 기반한 이 결과는 입자 수가 고정된 유한한 원자 구름에는 적절하지 않다. 정준 앙상블은 전체 $N$ 를 고정하지만, 남아 있는 요동의 스케일링은 스펙트럼에 따라 달라진다. 보통의 응축 영역에서 3차원 조화 트랩은 $Var (N_{0}) \sim O (N)$ 를 주는 반면, 밀도가 고정된 균일한 3차원 이상기체는 $Var (N_{0}) \sim O (N^{4/3})$ 를 준다. 실험에 맞는 앙상블과 구속 조건을 함께 선택하라.

9.7.5 상호작용과 그로스–피타옙스키(GP) 평균장

초저온 $T$ 에서는 $s$ 파 산란이 지배적이며, 산란 길이 $a$ 가 진폭을 정한다. 유효 결합상수는

g_{int} = \frac{4 π ℏ ^{2} a}{m}

거시적 파동함수 $Ψ (r, t)$ 를 가진 약하게 상호작용하는 응축체에 대해

i ℏ \partial_{t} Ψ = [- \frac{ℏ ^{2} \nabla ^{2}}{2 m} + V (r) + g_{int} ∣Ψ ∣^{2}] Ψ

이것이 그로스–피타옙스키 방정식이다. 밀도 $n = ∣Ψ ∣^{2}$ 의 균일한 물질에서는

μ = g_{int} n, c = \frac{g _{int} n}{m}, ξ \equiv \frac{ℏ}{2 m c}

여기서 $c$ 는 음속이고 $ξ$ 는 치유 길이이다. 치유 길이는 결함이나 경계 근처에서 질서 매개변수가 회복되는 길이 척도이다.

9.7.6 보골류보프 스펙트럼과 초유동성의 개요

응축체 주변의 요동을 선형화하면 보골류보프 분산 관계를 얻는다.

ϵ_{k} = (\frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m})^{2} + c^{2} ℏ^{2} k^{2}

작은 $k$ 에서는 포논형 $ϵ_{k} \approx ℏ c k$ 이며, 큰 $k$ 에서는 자유 입자의 $ϵ_{k} \approx ℏ^{2} k^{2} /2 m$ 로 넘어간다. 란다우 기준은 임계 유속을 다음과 같이 정한다.

v_{c} = k min \frac{ϵ _{k}}{ℏ k} = c

따라서 약하게 상호작용하는 BEC는 $c$ 아래에서 마찰 없이 흐르는 초유체이다.

9.7.7 축퇴 페르미 기체 복습: T=0과 작은 T

§9.5에 따르면 상호작용하지 않는 페르미 기체의 페르미 에너지는

ϵ_{F} = \frac{ℏ ^{2}}{2 m} (\frac{6 π ^{2} n}{g})^{2/3}, p (0) = \frac{2}{5} n ϵ_{F}, U (0) = \frac{3}{5} N ϵ_{F}

유한한 $T$ 의 보정은 조머펠트 전개에서 얻는다. $C_{V} \propto T$ , $μ (T) \approx ϵ_{F} [1 - \frac{π ^{2}}{12} (T / T_{F})^{2} + \dots]$ 이다. $T = 0$ 에서의 압력은 파울리 압력을 나타내며, 계가 붕괴하지 않도록 안정화하고 금속과 밀집 천체의 척도를 정한다.

조화 트랩. $\overset{ω}{ˉ}$ 인 3차원 조화 트랩 속 페르미온 $N$ 개의 $T = 0$ 페르미 에너지는

ϵ_{F}^{trap} = ℏ \overset{ω}{ˉ} (6 N / g)^{1/3}

이며, 원자 구름의 반지름은 토머스–페르미 밀도 분포에서 구한다.

9.7.8 두 가지 간단한 응용

백색왜성의 개략적인 그림. 전자는 매우 강하게 축퇴된 기체를 이룬다. 상대론적 극한에서는 $n^{5/3}$ 대신 $p \sim n^{4/3}$ 가 되어, 지탱할 수 있는 질량의 최댓값인 찬드라세카르 한계가 생긴다. 여기서 핵심은 정성적이다. 축퇴압은 실제로 존재하며 열압력이 반드시 필요한 것은 아니다.
차가운 원자 실험실. 페시바흐 공명으로 $a$ 를 0을 가로질러 조절하면 약하게 상호작용하는 BEC, 강하게 상호작용하는 유니터리 페르미 기체, BEC–BCS 교차 영역을 구현할 수 있다. 보골류보프 음파와 집단 모드는 위 이론을 확인하는 교과서적인 사례이다.

9.7.9 흔한 함정

이상 보스 기체에서 $T_{c}$ 아래이면 $μ = 0$ 임을 잊는 것. 응축체가 형성된 뒤에는 $μ$ 가 음수여야 한다고 강제하지 말라.
$N$ 가 고정된 트랩에 거대 정준 요동을 사용하는 것. 차가운 원자 구름에는 정준 분산이 적절하다.
균일한 2차원 BEC를 주장하는 것. 유한한 $T$ 에서는 일어나지 않는다. 대신 KT 초유동성을 살펴보라.
$n a^{3}$ 를 확인하지 않고 상호작용을 ‘작다’고 취급하는 것. 약결합 GP/보골류보프 이론에는 $n a^{3} ≪ 1$ 가 필요하다.

9.7.10 간단한 풀이 예제

(a) 전형적인 BEC의 $T_{c}$ .
$^{87} Rb$ 에 대해 $m \approx 1.44 \times 1 0^{- 25} kg$ , $g = 1$ , 밀도 $n = 1 0^{20} m^{- 3}$ 를 사용하라. $T_{c}$ 공식에 대입하고 $T = 0.5 T_{c}$ 에서 응축 분율을 추정하라.

(b) 2차원에는 BEC가 없다.
균일한 2차원 기체에서 합을 적분으로 바꾸고 로그 항을 찾아, $z \to 1^{-}$ 일 때 $N_{ex} \propto g_{1} (z)$ 가 발산함을 보여라.

(c) 트랩의 $T_{c}$ .
원자 $N = 2 \times 1 0^{5}$ 개와 $\overset{ω}{ˉ} = 2 π \times 100 Hz$ 가 주어졌을 때 $T_{c}^{trap}$ 와 $0.7 T_{c}^{trap}$ 에서의 응축 분율을 계산하라.

(d) 치유 길이.
$a = 5 nm$ 와 $n = 1 0^{20} m^{- 3}$ 에 대해 $g_{int}$ , $c$ , $ξ$ 를 추정하라.

(e) 보골류보프 분산 관계의 기울기.
$k ≪ 1/ ξ$ 에서 $ϵ_{k} \approx ℏ c k$ 임을 확인하고, 분산 관계가 예를 들어 $10%$ 만큼 벗어나는 교차 $k$ 를 구하라.

(f) 페르미 압력의 수치 확인.
$n = 8 \times 1 0^{28} m^{- 3}$ 인 전자에 대해 $ϵ_{F}$ 와 $p (0) = \frac{2}{5} n ϵ_{F}$ 를 계산하고 대기압과 비교하라.

9.7.11 최소 연습문제 모음

균일한 이상 보스 기체의 $T_{c}$ 와 응축 분율을 유도한 뒤, 적절한 상태 밀도를 이용하여 조화 트랩에 대해 반복하라.
$p = (g k_{B} T / λ_{T}^{3}) ζ (5/2)$ 에서 출발하여 $T_{c}$ 아래의 $C_{V}$ 를 계산하고 $T_{c}$ 에서의 뾰족점을 보여라.
$g_{3/2} (1)$ 는 3차원에서 수렴하지만 $g_{1} (1)$ 는 2차원에서 발산하는 이유를 명시적으로 보이고, 이를 균일한 2차원 BEC가 없는 사실과 연결하라.
균일한 해 주변에서 GP 방정식을 선형화하고 보골류보프 분산 관계와 란다우 임계 속도를 유도하라.
조머펠트 전개를 이용하여 3차원 페르미 기체의 $U (T)$ 와 $C_{V} (T)$ 를 $(T / T_{F})^{2}$ 차까지 구하라. 조화 구속에 대해서는 $ϵ_{F}^{trap}$ 를 유도하라.

9.8 평균장과 란다우 이론: 질서 매개변수, 판데르발스, 퀴리–바이스

평균장은 일종의 ‘조별 과제’ 근사이다. 모든 자유도가 나머지 자유도들의 평균을 느낀다. 이 근사는 흔히 상도의 형태를 잘 재현하고 임계 지수를 해석적으로 준다. 란다우 이론은 이 발상을 질서 매개변수와 대칭성에 따른 체계적인 전개로 바꾼다. 이 절에서는 퀴리–바이스 자성, 맥스웰 작도를 포함한 판데르발스 유체, 란다우 자유 에너지와 지수, 란다우–긴즈부르크 이론의 상관 길이, 긴즈부르크 기준을 구성하고, 1차 전이와 삼중임계점이 어디에서 나타나는지 살펴본다.

실수 스칼라 질서 매개변수에 대한 짝함수 형태의 이중 우물에는 대칭으로 연결된 두 최솟값이 있다. 어느 하나를 선택하면 반사 대칭이 깨진다.

9.8.1 평균장의 가정

깨지는 대칭 아래에서 부호가 바뀌는 질서 매개변수 $ϕ$ 를 선택하라.

강자성체: $ϕ \equiv m$ (자화 밀도), 대칭 $m \to - m$
액체–기체: $ϕ \equiv n - n_{c}$ (밀도의 편차). 이징 대칭은 없지만 $T_{c}$ 근처에서는 수학적 구조가 같다.

평균장의 발상: 이웃을 그 평균으로 대체한다. 배위수가 크거나 상호작용이 장거리이면 요동을 무시하며, 공간 차원 $d$ 가 높아질수록 이 조건은 더 잘 성립한다.

9.8.2 퀴리–바이스 강자성체 (이징형, 이웃 z개)

이징 스핀 $σ_{i} = \pm 1$ , 결합상수 $J > 0$ , 장 $h$ 에서 출발하자. 평균장에서는 각 스핀이 $m \equiv ⟨ σ ⟩$ 인 유효장 $h_{eff} = h + z J m$ 를 느낀다. 단일 격자점의 분배 함수는 $z_{1} = 2 cosh (β h_{eff})$ 이며, 다음 자기일관성 방정식을 준다.

m = tanh [β (h + z J m)]

$h = 0$ 에서 작은 $m$ 에 대해 전개하면 퀴리–바이스 임계 온도를 얻는다.

k_{B} T_{c} = z J

임계 거동은 다음과 같다.

$T > T_{c}$ , 작은 $h$ : $m \approx χ h$ 이며

χ = \frac{1}{k _{B} ( T - T _{c} )}

따라서 $γ_{MF} = 1$ 이다.

$h = 0$ 에서 $T < T_{c}$ : 0이 아닌 해가 나타난다.

m \sim (1 - \frac{T}{T _{c}})^{1/2}

따라서 $β_{MF} = 1/2$ 이다.

$T = T_{c}$ 에서 $m \propto h^{1/3}$ 이므로 $δ_{MF} = 3$ 이다.

비열에는 발산 없이 유한한 도약이 있다. $α_{MF} = 0$ 이다.

9.8.3 란다우 자유 에너지: 대칭이 형태를 정한다

대칭에 맞도록 질서 매개변수에 대한 해석적 전개를 쓰자. 균일한 계의 이징형 스칼라 $m$ 에 대해

F (m; T, h) = F_{0} (T) + a_{2} t m^{2} + a_{4} m^{4} + a_{6} m^{6} - h m

여기서 온도 편차는 $t \equiv T - T_{c}$ 이고, 표준적인 2차 전이에서는 $a_{4} > 0$ 이다. 이 보통의 임계점 근처에서는 4차항까지만 남긴다. 따라서 다음 최소화와 선도 임계 공식에서는 6차항을 무시한다.

\frac{\partial F}{\partial m} = 2 a_{2} t m + 4 a_{4} m^{3} - h = 0

$h = 0$ 에서의 결과는 다음과 같다.

$t > 0$ 일 때: 최솟값은 $m = 0$ 에 있다.
$t < 0$ 일 때: 최솟값은

m_{⋆} (t) = \pm \frac{- a _{2} t}{2 a _{4}}

따라서 $β_{MF} = 1/2$ 이다.

$T_{c}$ 위에서 선형 응답으로 구한 감수율은

χ^{- 1} = \frac{\partial ^{2} F}{\partial m ^{2}}_{m = 0} = 2 a_{2} t

따라서 $χ \propto t^{- 1}$ 이고 $γ_{MF} = 1$ 이다.

$t = 0$ 에서 $h \neq = 0$ 이면

4 a_{4} m^{3} = h \Rightarrow m \propto h^{1/3}

따라서 $δ_{MF} = 3$ 이다.

비열의 도약. $m_{⋆}$ 를 $F$ 에 대입하라.

F_{m i n} (t < 0) = F_{0} (T) - \frac{a _{2}^{2}}{4 a _{4}} t^{2}

따라서 $C = - T \partial^{2} F / \partial T^{2}$ 에는 $T_{c}$ 에서 유한한 계단이 생긴다. 즉 불연속을 동반하는 $α_{MF} = 0$ 이다.

9.8.4 1차 전이와 삼중임계점

미시적 물리가 $a_{4} < 0$ 를 만들면 $m^{4}$ 항은 불안정화를 일으킨다. $a_{6} > 0$ 로 안정화하자. 그러면 $t$ 가 변할 때 $t = 0$ 에 도달하기 전에 $\pm m$ 에 두 최솟값이 나타나며, 우물의 깊이가 같아지는 공존 조건 $t = t_{coex}$ 에서 계가 불연속적으로 뛰어넘는다. 이 도약이 잠열을 가진 1차 전이이다.

$t = 0$ 에서 $a_{4}$ 의 부호가 바뀌는 지점이 삼중임계점이다. $a_{4} = 0$ 를 사용한 란다우 분석은 다른 지수들을 예측한다. 예를 들어 $m \sim (- t)^{1/4}$ 이다.

9.8.5 란다우–긴즈부르크 범함수와 상관 길이

질서 매개변수가 공간에서 천천히 변하도록 허용하자. 란다우–긴즈부르크 자유 에너지 범함수는

F [ϕ] = \int d^{d} r [\frac{r _{0}}{2} ϕ^{2} + \frac{c}{2} (\nabla ϕ)^{2} + \frac{u}{4} ϕ^{4} - h ϕ]

이며 $r_{0} \propto t$ 이다. 가우스 영역, 즉 $u$ 가 작고 $t > 0$ 인 영역에서 푸리에 공간의 2점 상관함수는 오른스테인–제르니케 형태를 가진다.

S (k) \equiv ⟨ ∣ ϕ_{k} ∣^{2} ⟩ \propto \frac{1}{r _{0} + c k ^{2}}

상관 길이를 다음과 같이 정의한다.

ξ^{2} = \frac{c}{r _{0}} \propto t^{- 1}

따라서 $ν_{MF} = 1/2$ 이다. 3차원에서 실공간 상관함수는 $e^{- r / ξ} / r^{d - 2}$ 의 형태를 갖는다. 이 지수함수에 곱해지는 앞인자는 일반 차원의 공식이 아니다. 2보다 큰 차원의 임계점에서는 가우스 상관함수가 거리의 역수에 대해 차원에서 2를 뺀 거듭제곱을 가지므로 $η_{MF} = 0$ 를 준다.

9.8.6 긴즈부르크 기준: 평균장이 무너지는 조건

평균장은 질서 매개변수의 요동을 무시한다. 상관 부피 $ξ^{d}$ 안의 요동 크기를 $m_{⋆}^{2}$ 와 비교하자. 대략적으로

\frac{⟨ δ ϕ ^{2} ⟩ _{ξ}}{m _{⋆}^{2}} \sim \frac{k _{B} T}{u ξ ^{d} m _{⋆}^{4}}

$m_{⋆}^{2} \sim ∣ t ∣/ u$ 와 $ξ \sim t^{- 1/2}$ 를 이용하면 긴즈부르크 수 $Gi$ 를 얻으며, 평균장은 다음 조건에서만 유효하다.

∣ t ∣ ≫ Gi

요약하면 $d > 4$ 에서는 요동 적분이 문제가 되지 않아 평균장이 점근적으로 정확하다. $d \leq 4$ 에서는 $T_{c}$ 에 가까운 구간을 요동이 지배하므로 재규격화군(RG)이 필요하다(§9.10).

9.8.7 판데르발스 유체: 평균장 액체–기체

상태방정식을 수밀도 $n = N / V$ 의 형태로 쓰자.

p (n, T) = \frac{n k _{B} T}{1 - bn} - a n^{2}

여기서 $b$ 는 배제 부피, $a$ 는 인력을 나타낸다. 임계점은 $(\partial p / \partial n)_{T_{c}} = (\partial^{2} p / \partial n^{2})_{T_{c}} = 0$ 를 만족하므로

n_{c} = \frac{1}{3 b}, k_{B} T_{c} = \frac{8 a}{27 b}, p_{c} = \frac{a}{27 b ^{2}}

몰 단위의 형태 $p = RT / (V_{m} - b) - a / V_{m}^{2}$ 로 쓰면 $V_{c} = 3 b$ , $T_{c} = 8 a / (27 b R)$ , $p_{c} = a / (27 b^{2})$ 를 얻는다.

환산 변수 $p_{r} \equiv p / p_{c}$ , $v_{r} \equiv V_{m} / V_{c}$ , $T_{r} \equiv T / T_{c}$ 를 정의하면 대응 상태의 법칙을 얻는다.

p_{r} = \frac{8 T _{r}}{3 v _{r} - 1} - \frac{3}{v _{r}^{2}}

$T_{c}$ 아래에서 $p (V)$ 는 S자 모양이다. 역학적으로 불안정한 영역은 $(\partial p / \partial V)_{T} > 0$ 를 만족하며, 스피노달은 $(\partial p / \partial V)_{T} = 0$ 의 해이다. 주어진 $T < T_{c}$ 에서의 공존 압력은 맥스웰 등면적 법칙으로 정한다. 두 상에서 $g = μ$ 가 같아야 하기 때문이다.

$T_{c}$ 근처에서 밀도 차이는 다음 평균장 법칙을 따른다.

Δ n \propto (T_{c} - T)^{1/2}

이는 $β_{MF} = 1/2$ 와 일치한다.

9.8.8 준안정성, 핵생성, 스피노달

$t < 0$ 에 작은 장 $h$ 를 가한 란다우 이중 우물은 깊이가 다른 두 최솟값을 보인다. 그중 높은 쪽이 준안정하다. 붕괴는 임계 액적의 핵생성을 통해 진행된다. 정적 평균장은 이를 포착하지 못하지만, 최솟값 사이의 장벽에서 그 과정을 짐작할 수 있다. 스피노달에 접근하면 장벽이 사라진다. 평균장에서는 그 극한을 따라 감수율과 상관 길이가 발산한다.

9.8.9 요약표: 평균장 지수와 스케일링 관계

평균장 지수(이징형):

지수	의미	값
$α$	$C \sim ∣ t ∣^{- α}$	도약을 동반하는 $0$
$β$	$m \sim (- t)^{β}$	$1/2$
$γ$	$χ \sim ∣ t ∣^{- γ}$	$1$
$δ$	$t = 0$ 에서 $m \sim h^{1/ δ}$	$3$
$ν$	$ξ \sim ∣ t ∣^{- ν}$	$1/2$
$η$	$t = 0$ 에서 $G (r) \sim r^{- (d - 2 + η)}$	$0$

스케일링 관계(평균장이 만족함):

위덤: $γ = β (δ - 1)$
러시브룩: $α + 2 β + γ = 2$
조지프슨(초스케일링): $2 - α = d ν$
- 평균장 지수를 사용하면 $d = d_{c} = 4$ 에서 거듭제곱 법칙의 수준으로 성립한다. 로그 보정이 나타날 수 있다. $d > d_{c}$ 에서는 성립하지 않는다. $d_{c}$ 아래에서는 요동으로 보정된 지수를 사용하라.

9.8.10 흔한 함정

$h = 0$ 에서 $T_{c}$ 위인데도 $m \neq = 0$ 를 강제하는 것. $a_{4} > 0$ 인 란다우 이론에서는 $t > 0$ 일 때 유일한 최솟값이 $m = 0$ 이다.
공존과 스피노달을 혼동하는 것. 맥스웰 작도는 공존을 정한다. 스피노달은 $(\partial p / \partial V)_{T} = 0$ 인 준안정성의 한계이다.
대칭을 무시하는 것. 대칭이 홀수차 항을 금지하면 임의로 넣지 말라. 장 $h$ 가 그 대칭을 깨면 $- hm$ 를 포함하라.
평균장을 ‘정확하다’고 단정하는 것. $T_{c}$ 에서 멀거나, $d$ 가 높거나, 상호작용이 장거리이면 좋은 근사이다. $d \leq 4$ 에서 $T_{c}$ 에 가까울 때는 §9.10을 보라.

9.8.11 간단한 풀이 예제

(a) 퀴리–바이스 $χ$
$h = 0$ 에서 작은 $m$ 에 대해 $m = tanh [β (z J m + h)]$ 를 선형화하여 $χ = 1/ [k_{B} (T - T_{c})]$ 를 유도하고 $T_{c}$ 를 찾아라.

(b) 란다우 $m (T)$ 와 $C$ 의 도약
$h = 0$ 에서 $t < 0$ 에 대해 $F = a_{2} t m^{2} + a_{4} m^{4}$ 를 최소화하여 $m_{⋆}^{2} = - a_{2} t / (2 a_{4})$ 를 구하라. 이를 $F$ 에 대입하고 $T_{c}$ 에서 비열의 불연속을 계산하라.

(c) 오른스테인–제르니케
이차 LG 범함수에서 $S (k) \propto 1/ (r_{0} + c k^{2})$ 를 유도하고 $ξ = c / r_{0}$ 를 찾아라.

(d) 판데르발스 임계점
$p = n k_{B} T / (1 - bn) - a n^{2}$ 를 이용하여 $\partial_{n} p = \partial_{n}^{2} p = 0$ 로 놓고 $(n_{c}, T_{c}, p_{c})$ 를 구한 뒤, 환산 상태방정식을 써라.

(e) 삼중임계 스케일링
$a_{4} = 0$ 로 놓고 $a_{6} > 0$ 를 유지한 채 $F = a_{2} t m^{2} + a_{6} m^{6}$ 를 최소화하라. $m \sim (- t)^{1/4}$ 를 보이고 $β_{tri}$ 를 구하라.

9.8.12 최소 연습문제 모음

란다우 다항식에서 평균장 지수 $α, β, γ, δ$ 를 유도하고 위덤 관계와 러시브룩 관계를 확인하라.
LG 범함수에서 출발하여 $d$ 차원의 실공간 상관함수 $G (r)$ 를 계산하고 $η_{MF} = 0$ 를 확인하라.
$u$ 와 $c$ 가 주어진 3차원 이징형 자성체에 긴즈부르크 기준을 적용하여 평균장이 성립하지 않는 임계 영역의 폭 $∣ t ∣ ≲ Gi$ 를 추정하라.
판데르발스 모형에 대해 $T_{c}$ 근처에서 맥스웰 등면적 작도를 해석적으로 수행하고 $Δ n \propto (T_{c} - T)^{1/2}$ 를 보여라.
$a_{4} < 0$ 인 1차 전이를 살펴보라. 우물의 깊이를 같게 놓아 공존 조건 $t_{coex}$ 를 구하고, 최솟값에서의 이계도함수가 0이 되는 스피노달을 찾아라.

9.9 이징 모형: 전이 행렬, 쌍대성, 정확한 2차원 임계성

통계물리학에 마스코트가 있다면 이징 모형일 것이다. 스핀 $σ_{i} = \pm 1$ 들이 이웃과만 상호작용하면서도 상전이의 극적인 모습을 재현한다. 1차원에서는 조용하다. 유한한 $T$ 의 전이가 없다. 2차원에서는 대표적인 모형이 된다. 평균장과 다른 지수 및 로그 형태로 발산하는 비열을 가진 정확한 임계점이 나타난다. 이 절에서는 1차원 정확한 해, 도메인 벽에 대한 직관, 크라머르스–바니어 쌍대성, 온사게르 해의 핵심, 그리고 실제로 사용하는 스케일링 자료를 다룬다.

이분 격자에서 나란한 스핀 배열과 이웃 스핀이 번갈아 반대 방향을 향하는 배열을 비교한 그림.

9.9.1 정의와 표기

최근접 이웃 $⟨ ij ⟩$ 와 외부장 $H$ 를 가진 격자에서

H ({σ}) = - J ⟨ ij ⟩ \sum σ_{i} σ_{j} - H i \sum σ_{i}

다음 무차원 결합상수도 사용한다.

K \equiv β J, \tilde{h} \equiv β H

양의 $J$ 는 스핀 정렬을 선호한다(강자성체). 분배 함수는 $Z = \sum_{{σ}} e^{- β H ({σ})}$ 이다.

9.9.2 1차원 사슬: 전이 행렬을 이용한 정확한 해

스핀 $N$ 개로 이루어진 고리(주기적 경계 조건)에 대해 $2 \times 2$ 전이 행렬을 구성하라.

T_{σ, σ^{'}} = exp [K σ σ^{'} + \frac{h ~}{2} (σ + σ^{'})]

고윳값은 다음과 같다.

λ_{\pm} = e^{K} cosh \tilde{h} \pm e^{2 K} sinh^{2} \tilde{h} + e^{- 2 K}

$N \to \infty$ 극한의 열역학은 $λ_{+}$ 가 지배한다.

f \equiv - \frac{1}{βN} ln Z = - \frac{1}{β} ln λ_{+}

장이 없을 때, 즉 $\tilde{h} = 0$ 이면

λ_{+} = 2 cosh K, λ_{-} = 2 sinh K

어떤 $T > 0$ 에서도 자발 자화는 없다. 즉 $m = lim_{\tilde{h} \to 0} \frac{1}{N} \partial_{\tilde{h}} ln Z = 0$ 이다. 연결된 2점 함수는 지수적으로 감소한다.

⟨ σ_{0} σ_{r} ⟩_{c} = (\frac{λ _{-}}{λ _{+}})^{r}

따라서 상관 길이는

ξ^{- 1} = - ln tanh K

이는 모든 $T > 0$ 에서 유한하며 $T = 0$ 에서만 발산한다. 결론적으로 1차원 이징 모형에는 유한한 $T$ 의 상전이가 없다.

9.9.3 도메인 벽(킨크)의 직관: 1차원이 무질서하게 남는 이유

연속된 스핀 덩어리를 뒤집으면 각각 에너지 $2 J$ 가 필요한 두 개의 도메인 벽이 생긴다. 그러나 이 벽들의 엔트로피는 $ln N$ 처럼 증가한다. 배치할 수 있는 위치가 많기 때문이다. 벽 한 쌍의 자유 에너지는 $Δ F \sim 2 \cdot 2 J - k_{B} T ln N$ 이므로, 어떤 $T > 0$ 에서도 $N$ 가 크면 엔트로피 항이 우세하다. 그 결과 도메인 벽이 늘어나고 장거리 질서가 사라진다. 2차원에서는 에너지가 둘레에 비례하여 증가하고 엔트로피와 다른 방식으로 경쟁하므로 유한한 $T_{c}$ 가 가능하다.

9.9.4 2차원 정사각 격자

크라머르스–바니어 쌍대성은 결합상수 $K$ 에서의 분배 함수를 다음 관계를 통해 쌍대 결합상수 $K^{⋆}$ 에서의 분배 함수에 대응시킨다.

sinh (2 K) sinh (2 K^{⋆}) = 1

임계점은 자기쌍대성 조건 $K = K^{⋆}$ 에 놓이므로

sinh (2 K_{c}) = 1

같은 내용을 다음과 같이 쓸 수 있다.

\frac{k _{B} T _{c}}{J} = \frac{2}{ln ( 1 + 2 )}

비등방적 결합상수 $J_{x}, J_{y}$ 에서는 임계선이 $sinh (2 K_{x}) sinh (2 K_{y}) = 1$ 이다.

9.9.5 온사게르의 해: 정확한 임계 거동 (H=0)

$H = 0$ 에서의 전체 자유 에너지는 정확히 알려져 있다. 여기서는 적분을 다시 쓰지 않고 핵심 결과를 정리한다.

비열은 로그 형태로 발산한다.

C \sim - ln ∣ t ∣, t \equiv \frac{T - T _{c}}{T _{c}}

따라서 로그를 동반하는 $α = 0$ 이다.

$T < T_{c}$ 에서의 자발 자화(양)

m (T) = [1 - sinh^{- 4} (2 K)]^{1/8}

임계 지수(2차원 이징 보편성)

α = 0, β = \frac{1}{8}, γ = \frac{7}{4}, δ = 15, ν = 1, η = \frac{1}{4}

상관 길이는 $ν = 1$ 이고 $ξ \sim ∣ t ∣^{- ν}$ 처럼 발산한다. 2차원에서 임계 상관함수는 $G (r) \sim r^{- d + 2 - η} = r^{- 1/4}$ 처럼 감소한다.

2차원 이징 임계점은 중심 전하 $c = \frac{1}{2}$ 를 가진 등각장론이기도 하다. 이 사실은 뒤에서 유한 크기 스케일링과 정확한 진폭 비를 다룰 때 유용하다.

9.9.6 전이 행렬, 스케일링, 유한 크기 기법

전이 행렬 ↔ 양자 대응. 2차원 고전 이징 모형은 트로터 분해를 통해 1차원 양자 횡자기장 이징 사슬에 대응한다. 고전적 $T = T_{c}$ $\leftrightarrow$ 양자 영온 임계점이다. 많은 유한 크기 공식을 그대로 옮길 수 있다.
유한 크기 스케일링. 선형 크기가 $L$ 인 상자에서 감수율과 질서 매개변수의 모멘트는 $T_{c}$ 에서 다음과 같이 스케일링한다.

χ_{m a x} (L) \propto L^{γ / ν} = L^{7/4}, m (T_{c}, L) \propto L^{- β / ν} = L^{- 1/8}

빈더 누적량과 곡선 교차법은 시뮬레이션에서 $T_{c}$ 를 찾는 실용적인 방법이다.

9.9.7 보편성이 주는 이점

격자 수준의 계산을 매번 다시 할 필요는 없다. $Z_{2}$ 대칭이 깨지는 모든 2차원 단거리 상호작용계, 예를 들어 임계 등온선을 따른 액체–기체, 일축 자성체, 이원 합금은 임계점 근처에서 같은 지수와 스케일링 함수를 공유한다. 란다우 평균장(§9.8)은 정성적으로는 맞지만 지수가 다르다. 재규격화(§9.10)가 그 이유를 설명한다.

9.9.8 흔한 함정

1차원에는 유한한 $T$ 에서 질서가 없다는 사실을 잊는 것. 코드가 $H = 0$ 인 1차원에서 $T > 0$ 일 때 $m \neq = 0$ 를 찾는다면, 유한 크기 효과에 속았거나 알고리즘이 대칭을 깨뜨린 것이다.
장 조건을 혼동하는 것. 위의 닫힌 형태 $m (T)$ 는 $H = 0$ 에서만 성립한다. $H$ 를 켜면 정확한 해에서 나타나는 그 임계 특이성이 사라진다.
$T_{c}$ 를 잘못 쓰는 것. 값은 $sinh (2 K_{c}) = 1$ 이며 $tanh$ 나 $cosh$ 가 아니다. 같은 내용을 $k_{B} T_{c} / J = 2/ ln (1 + 2)$ 로 쓸 수 있다.
2차원에서 평균장 지수를 사용하는 것. 평균장은 $β = 1/2$ , $γ = 1$ 등을 주지만, 이는 2차원 이징 모형에 맞지 않는다. 위의 정확한 지수들을 사용하라.
상관 길이의 부호 오류. 1차원에서는 $ξ^{- 1} = - ln (tanh K)$ 이다. 음의 부호와 $T > 0$ 에서 $tanh K < 1$ 라는 사실에 주의하라.

9.9.9 간단한 풀이 예제

(a) $H = 0$ 에서의 1차원 전이 행렬.
$λ_{\pm} = 2 (cosh K, sinh K)$ 를 유도하고 $f = - k_{B} T ln (2 cosh K)$ 를 구한 뒤 $ξ^{- 1} = - ln tanh K$ 를 보여라.

(b) 크라머르스–바니어 쌍대성.
$ln Z$ 의 고온 급수와 저온 급수에서 출발하여, $sinh (2 K) sinh (2 K^{⋆}) = 1$ 아래에서 두 급수가 앞인자를 제외하고 일치함을 보여라. 이어 자기쌍대성으로부터 $K_{c}$ 를 도출하라.

(c) 자화의 확인.
$m (T) = [1 - sinh^{- 4} (2 K)]^{1/8}$ 에서 $m (T \to 0) \to 1$ 를 확인하고 $m (T \to T_{c}^{-}) \sim ∣ t ∣^{1/8}$ 임을 보여라.

(d) $χ$ 의 유한 크기 스케일링.
$χ (t, L) = L^{γ / ν} Φ (t L^{1/ ν})$ 를 가정하고 2차원에서 봉우리 값이 $L^{7/4}$ 처럼 스케일링함을 보여라. 자료 겹침에서 $ν$ 를 추출하는 방법도 설명하라.

(e) 1차원 도메인 벽 기체.
킨크를 퓨가시티 $y \equiv e^{- 2 K}$ 를 가진 비상호작용 입자로 취급하라. 선도 차수에서 2점 함수가 $\propto (1 - 2 y)^{r}$ 임을 보이고, $y ≪ 1$ 에서 $ξ^{- 1} \approx - ln (1 - 2 y)$ 를 재현하라.

9.9.10 최소 연습문제 모음

장 $\tilde{h}$ 가 있는 1차원 전이 행렬을 구성하고 $λ_{\pm}$ 와 $f (T, \tilde{h})$ 를 유도하라. $m = \partial_{\tilde{h}} ln λ_{+}$ 를 계산하고 $T > 0$ 에서 $m (\tilde{h} \to 0) = 0$ 를 확인하라.
쌍대성을 이용하여 비등방적 2차원 임계선 $sinh (2 K_{x}) sinh (2 K_{y}) = 1$ 를 구하고, 등방적 경우의 $sinh (2 K_{c}) = 1$ 로 환원하라.
정확한 $m (T)$ 에서 $β = 1/8$ 를 구하고, $δ = 15$ 와 $γ = 7/4$ 를 사용하여 위덤 관계 $γ = β (δ - 1)$ 를 확인하라.
$T_{c}$ 근처에서 온사게르의 자유 에너지 적분을 전개하여 2차원 비열이 $C \sim - ln ∣ t ∣$ 처럼 거동함을 보여라.
2차원 고전 모형을 1차원 양자 횡자기장 이징 사슬에 대응시키고, 횡자기장과 교환 상호작용으로 양자 임계점을 나타내라.

9.10 임계 현상과 재규격화군의 기초

연속 상전이 근처에서 계는 미시적인 세부사항을 잊고 척도 불변이 된다. 상관 길이 $ξ$ 가 발산하고 요동은 모든 크기에 걸쳐 나타나며, 열역학에는 보편적인 지수를 가진 거듭제곱 법칙이 생긴다. **재규격화군(RG)**은 이를 수학으로 표현한다. 거친눈금화를 하고, 척도를 다시 조정하며, 결합상수의 흐름을 추적한다. 고정점은 그 근방을 지배하고, 그 고윳값이 지수를 정한다.

9.10.1 평균장이 무너지는 이유

평균장은 요동이 작다고 가정한다. 그러나 임계점에서는 상관 길이

ξ \sim ∣ t ∣^{- ν}, t \equiv \frac{T - T _{c}}{T _{c}}

가 발산하고, $t = 0$ 에서의 상관함수는 거듭제곱 법칙이 된다.

G (r) \equiv ⟨ ϕ (r) ϕ (0) ⟩_{c} \sim \frac{1}{r ^{d - 2 + η}}

또한 자유 에너지 밀도의 특이 부분은 $f_{s} \sim ξ^{- d}$ 처럼 스케일링한다. 단일한 길이 척도가 없을 때는 그 척도 주변에서 전개할 수 없다.

9.10.2 스케일링 가설과 동차성 법칙

특이 자유 에너지 밀도가 인자 $b > 0$ 로 척도를 바꿀 때 다음 동차성 관계를 만족한다고 가정하자.

f_{s} (t, h) = b^{- d} f_{s} (t b^{y_{t}}, h b^{y_{h}})

여기서 $h$ 는 질서 매개변수에 켤레인 장이다. $b = ∣ t ∣^{- 1/ y_{t}}$ 로 선택하고 지수를 찾아라.

비열 $C \sim - \partial^{2} f_{s} / \partial T^{2} \sim ∣ t ∣^{- α}$ 에서

2 - α = \frac{d}{y _{t}} \equiv d ν

질서 매개변수 $m \equiv - \partial f_{s} / \partial h ∣_{h \to 0} \sim ∣ t ∣^{β}$ 에서

β = \frac{d - y _{h}}{y _{t}}

감수율 $χ \equiv \partial m / \partial h ∣_{h \to 0} \sim ∣ t ∣^{- γ}$ 에서

γ = \frac{2 y _{h} - d}{y _{t}}

$t = 0$ 에서는 $b = h^{- 1/ y_{h}}$ 로 선택하면 $m \sim h^{1/ δ}$ 를 얻으며

δ = \frac{y _{h}}{d - y _{h}}

피셔 관계는 임계 상관함수를 통해 $η$ 를 $y_{h}$ 와 연결한다.

2 - η = 2 y_{h} - d

표준적인 스케일링 관계를 모으면 다음과 같다.

위덤: $γ = β (δ - 1)$
러시브룩: $α + 2 β + γ = 2$
조지프슨(초스케일링): $2 - α = d ν$
피셔: $γ = (2 - η) ν$

초스케일링은 보통 상부 임계 차원 $d_{c}$ 아래에서 성립한다.

9.10.3 카다노프의 블록 스핀: 실제로 통하는 개략적 그림

스핀을 크기 $b$ 의 블록으로 묶어 거친눈금화를 하고, 평균하여 새 장 $ϕ^{'}$ 를 얻은 뒤, 길이 척도를 원래 격자로 되돌린다. 결합상수 ${K}$ 는 새 결합상수 ${K^{'}}$ 로 흐른다. 이를 반복하면 다음과 같다.

관련 방향은 RG 아래에서 커진다( $y > 0$ 인 $K^{'} - K^{⋆} \sim b^{y} (K - K^{⋆})$ ).
무관 방향은 줄어든다( $y < 0$ ).
주변적 방향에는 더 높은 차수의 분석이 필요하다.

임계성은 적어도 하나의 관련 방향인 온도 방향을 가진 비자명한 고정점 $K^{⋆}$ 으로 향하는 흐름이다. 상관 길이 지수는 열적 고윳값의 역수이다.

ν = \frac{1}{y _{t}}

장에 대한 고윳값은 $y_{h}$ 를 결정하며, 따라서 §9.10.2를 통해 $η, β, γ, δ$ 도 정한다.

9.10.4 윌슨의 운동량 껍질 RG와 베타 함수

스칼라 질서 매개변수에 대한 란다우–긴즈부르크–윌슨(LGW) 범함수는

F [ϕ] = \int d^{d} x [\frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} + \frac{r}{2} ϕ^{2} + \frac{u}{4 !} ϕ^{4} - h ϕ]

운동량 껍질 $Λ/ b < ∣ k ∣ < Λ$ 의 모드를 적분하여 제거함으로써 거친눈금화를 하고, 이어 $x \to x / b$ 와 $ϕ \to b^{(d - 2 + η) /2} ϕ$ 로 척도를 조정한다. 결합상수는 ‘RG 시간’ $ℓ \equiv ln b$ 에 따라 아래의 개략적인 식처럼 흐른다. 생략 부호에는 열적 고윳값을 결정하는 데 필요한 질량 의존 고리 항이 포함된다.

\frac{d r}{d ℓ} = 2 r - c_{1} u + \dots, \frac{d u}{d ℓ} = β (u) = ϵ u - c_{2} u^{2} + \dots

여기서 $ϵ \equiv 4 - d$ 이다. 상수 $c_{1}, c_{2}$ 는 규약에 따라 달라진다. 핵심은 다음과 같다.

$d < 4$ ( $ϵ > 0$ )에서는 윌슨–피셔 고정점 $u^{⋆} \sim ϵ / c_{2}$ 가 존재하며, 평균장과 다른 지수를 준다.
$d > 4$ ( $ϵ < 0$ )에서는 가우스 고정점 $u^{⋆} = 0$ 가 안정하며 평균장 지수가 성립한다. $d = 4$ 에서는 로그 보정이 있을 수 있다.

$O (N)$ 모형의 $ϵ$ 전개는 다음의 한 고리 상관 길이 지수와 두 고리 선도 이상 차원을 준다.

ν = \frac{1}{2} + \frac{N + 2}{4 ( N + 8 )} ϵ + O (ϵ^{2})

η = \frac{( N + 2 )}{2 ( N + 8 ) ^{2}} ϵ^{2} + O (ϵ^{3})

이징 보편성( $N = 1$ )의 경우에는

ν = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} ϵ + \dots, η = \frac{1}{54} ϵ^{2} + \dots

$ϵ = 1$ 를 대입하면 대략적인 3차원 추정값을 얻는다. 더 높은 고리 차수와 재합산으로 이를 정밀하게 할 수 있다.

9.10.5 상부 임계 차원과 위험하게 무관한 변수

$ϕ^{4}$ 결합상수 $u$ 는 $d = 4$ 에서 주변적이며 $d > 4$ 에서는 무관하다. 그러나 $d > 4$ 에서는 위험하게 무관할 수 있다. RG 아래에서 0으로 가면서도 $T_{c}$ 아래의 $m$ 진폭을 여전히 결정하여 단순한 초스케일링을 바꾸기 때문이다. 결과는 다음과 같다.

$d \geq d_{c} = 4$ 에서는 평균장 지수 $α = 0, β = 1/2, γ = 1, δ = 3, ν = 1/2, η = 0$ 가 성립한다.
$d > 4$ 에서는 초스케일링 $2 - α = d ν$ 가 성립하지 않는다. $u$ 에 의존하는 척도 재조정 없이는 자유 에너지 밀도가 $ξ^{- d}$ 처럼 스케일링하지 않는다.

$d = 4$ 에서는 로그 보정이 나타난다. 예를 들어 $C \sim ∣ ln t ∣^{p}$ 이다.

9.10.6 유한 크기 스케일링과 자료 겹침

크기 $L$ 의 주기적 상자에서 RG와 동차성은 자유 에너지의 특이 부분에 대해 다음 유한 크기 스케일링(FSS) 가정을 준다.

f_{s} (t, h; L) = L^{- d} F (t L^{1/ ν}, h L^{y_{h}})

관측량의 표준 형태는 다음과 같다.

질서 매개변수: $m (t, h = 0; L) = L^{- β / ν} M (t L^{1/ ν})$
감수율: $χ (t; L) = L^{γ / ν} X (t L^{1/ ν})$
비열: 가산적인 해석적 배경을 제외하면 $C (t; L) = L^{α / ν} C (t L^{1/ ν})$

실용적인 이점: 서로 다른 $L$ 의 곡선을 $t L^{1/ ν}$ 에 대해 그리면서 세로축에 질서 매개변수의 경우 $L^{β / ν}$ , 감수율의 경우 $L^{- γ / ν}$ 를 곱하면 하나의 곡선으로 겹친다. 또한 유사 임계 온도는 다음과 같이 이동한다.

T_{c} (L) - T_{c} (\infty) \propto L^{- 1/ ν}

9.10.7 보편성 부류의 간단한 지도

이징( $O (1)$ , $Z_{2}$ 대칭): 일축 자성체, 임계 등온선을 따른 액체–기체, 이원 합금
XY( $O (2)$ ): 초유체 헬륨, 평면 스핀, 박막 초전도체. 2차원에서는 코스털리츠–사울레스 전이가 있다. 거듭제곱 법칙이 아닌 본질적 특이성을 갖는다.
하이젠베르크( $O (3)$ ): 등방적 자성체
퍼콜레이션: 자체적인 지수를 갖는 기하학적 연결성 전이
유향 퍼콜레이션: 흡수 상태로의 상전이(비평형)

같은 차원 + 같은 대칭 + 비슷한 보존 규칙 → 같은 지수.

9.10.8 KT 전이 살펴보기 (2차원 XY)

2차원에서는 $T_{KT}$ 에서 소용돌이 쌍의 결합이 풀리며 상관 길이는

ξ \sim exp (\frac{b}{∣ T - T _{KT} ∣})

표준적인 거듭제곱 지수는 없다. 대신 초유체 강성에 보편적인 도약이 있다. 이 역시 RG이다. 다만 소용돌이 퓨가시티와 강성을 결합상수로 삼는 다른 흐름도를 사용한다.

9.10.9 간단한 풀이 예제

(a) 두 줄로 구하는 스케일링 관계
$f_{s} (t, h) = b^{- d} f_{s} (t b^{y_{t}}, h b^{y_{h}})$ 에서 출발하라. $α, β, γ, δ$ 를 유도하고 위덤 관계와 러시브룩 관계를 확인하라.

(b) 한 고리 $ϕ^{4}$ 껍질 RG
LGW의 $Λ/ b < k < Λ$ 에 있는 모드를 적분하여 제거하고 척도를 조정하여, 개략적으로 $d u / d ℓ = ϵ u - c_{2} u^{2}$ 와 $d r / d ℓ = 2 r - c_{1} u$ 를 보여라. $u^{⋆}$ 를 찾아라. $ν = 1/ y_{t}$ 를 $O (ϵ)$ 까지 구하려면 이 개략적 흐름에서 생략한 질량 의존 한 고리 항을 유지하고, 임계면으로 옮긴 뒤 그곳에서 선형화하라.

(c) 유한 크기에 따른 이동
$χ (t, L) = L^{γ / ν} X (t L^{1/ ν})$ 를 가정하고 감수율 봉우리의 위치 $t^{*} (L) \propto L^{- 1/ ν}$ 를 보여라.

(d) 자료 겹침의 절차
$H = 0$ 에서 2차원 이징 모형의 $m (T; L)$ 에 대한 몬테카를로 자료가 주어졌다고 하자. $β = 1/8$ 와 $ν = 1$ 를 사용하여 $m \to L^{β / ν} m$ 와 $T \to (T - T_{c}) L^{1/ ν}$ 의 척도를 조정하라. 조절할 매개변수와 품질 확인 방법을 설명하라.

(e) $d_{c}$ 위에서 위험하게 무관한 $u$
$d > 4$ 에서 평균장 수준의 $m \propto (- t)^{1/2} u^{- 1/2}$ 를 보여라. 이를 통해 ‘무관한’ 결합상수가 어떻게 진폭을 정하고 단순한 초스케일링을 깨는지 설명하라.

9.10.10 흔한 함정

성립하지 않는 곳에서 초스케일링을 사용하는 것. 이징형 계에서는 $d_{c} = 4$ 위에서 $2 - α = d ν$ 를 조건 없이 적용할 수 없다.
교차 현상과 임계성을 혼동하는 것. 고정점 자체가 아니라 그 근처를 지나는 흐름은 척도에 따라 달라지는 유효 지수를 보인다.
해석적 배경을 무시하는 것. 비열에는 흔히 비특이 부분이 있으며, 이것이 작은 $α$ 를 가릴 수 있다.
FSS에서 경계 조건을 잊는 것. 지수는 보편적이지만, 스케일링 함수와 그다음 차수의 보정은 그렇지 않다.
KT 전이를 거듭제곱 스케일링과 혼동하는 것. 2차원 XY에서는 $β, γ$ 등이 아니라 본질적 특이성과 강성의 도약을 예상해야 한다.

9.10.11 최소 연습문제 모음

동차성 가설에서 네 가지 표준 스케일링 관계를 유도하고 독립적인 지수 집합을 찾아라.
$O (N)$ 모형의 $ν$ 와 $η$ 를 $O (ϵ)$ 까지 계산하고 $N = 1, 2, 3$ 의 경우로 특수화하라.
$d = 4$ 에서 가우스 고정점이 주변적임을 보이고, $ϕ^{4}$ 이론에서 $C$ 의 로그 보정을 유도하라.
합성 자료나 시뮬레이션으로 얻은 크기 $L = {16, 32, 64, 128}$ 의 이징 감수율 봉우리에 FSS를 적용하여 $ν$ 를 추정하라.
KT RG 흐름에 대해 강성 $K$ 와 소용돌이 퓨가시티 $y$ 의 최저차 방정식을 쓰고, $T_{KT}$ 에 해당하는 분리곡선을 보여라.

9.11 선형 응답과 요동–소산

계에 가볍게 자극을 주고 그 움직임을 관찰하자. 선형 응답 이론은 작은 섭동을 소산과 평형 요동을 연결하는 보편적인 공식으로 바꾼다. 지연 상관함수가 응답을 정하고, 인과성이 크라머르스–크로니히 관계를 주며, **요동–소산 정리(FDT)**가 잡음 스펙트럼을 감수율의 허수부와 연결한다. 그러면 수송 계수는 흐름의 자기상관함수를 시간에 대해 적분하여 얻어진다(그린–구보 관계).

9.11.1 설정: 원천, 관측량, 응답 핵

연산자 $A$ 에 결합하는 약한 시간 의존 장 $h (t)$ 로 평형 해밀토니안을 섭동하자.

H^{'} (t) = - h (t) A

다른 관측량 $B$ 를 측정한다. 선형 차수에서

δ ⟨ B (t)⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} d t^{'} χ_{B A} (t - t^{'}) h (t^{'})

여기서 $χ_{B A} (t < 0) = 0$ 는 인과적 감수율이다. 진동수 공간에서는

δ ⟨ B (ω)⟩ = χ_{B A} (ω) h (ω)

사인파 구동 $h (t) = h_{0} cos ω t$ 에 의해 흡수되는 일률은 소산 부분 $χ_{AA}^{''} (ω)$ 가 정한다.

9.11.2 구보 공식: 양자 극한과 고전 극한

평형 평균을 $⟨ \dots ⟩$ 로 나타내는 하이젠베르크 묘사에서 지연 감수율은

χ_{B A} (t) = \frac{i}{ℏ} Θ (t) ⟨ [B (t), A (0)] ⟩

같은 내용을 다음과 같이 쓸 수 있다.

χ_{B A} (ω) = \int_{0}^{\infty} d t e^{iω t} \frac{i}{ℏ} ⟨ [B (t), A (0)] ⟩

고전 극한. 교환자를 푸아송 괄호의 $i ℏ$ 배로 바꾸면

χ_{B A} (t) = - Θ (t) β \frac{d}{d t} C_{B A} (t), C_{B A} (t) \equiv ⟨ δ B (t) δ A (0)⟩

이것은 켤레 변수에 대한 시간 영역의 FDT 형태이다.

9.11.3 인과성 ⇒ 크라머르스–크로니히

인과성 때문에 $χ_{B A} (ω)$ 는 상반평면에서 해석적이다. 실수부와 허수부는 서로 힐베르트 변환으로 연결된다.

Re χ (ω) = \frac{1}{π} P \int_{- \infty}^{\infty} d ω^{'} \frac{χ ^{''} ( ω ^{'} )}{ω ^{'} - ω}

χ^{''} (ω) = - \frac{1}{π} P \int_{- \infty}^{\infty} d ω^{'} \frac{Re χ ( ω ^{'} )}{ω ^{'} - ω}

소산 $\Leftrightarrow$ 분산: 하나만 있고 다른 하나가 없을 수는 없다.

9.11.4 진동수 공간의 요동–소산 정리

$A$ 의 대칭화된 평형 스펙트럼 밀도를 다음과 같이 정의한다.

S_{AA} (ω) \equiv \int_{- \infty}^{\infty} d t e^{iω t} \frac{1}{2} ⟨{δ A (t), δ A (0)}⟩

그러면 양자 FDT는 다음을 말한다.

S_{AA} (ω) = ℏ coth (\frac{β ℏ ω}{2}) χ_{AA}^{''} (ω)

고전 극한 $β ℏ ω ≪ 1$ 에서는

S_{AA} (ω) = \frac{2 k _{B} T}{ω} χ_{AA}^{''} (ω)

해석하자면 구동될 때 에너지를 소산하는 바로 그 모드가 평형에서도 요동하며, 두 양의 비는 $T$ 가 정한다. 높은 진동수에서는 $ℏ ω$ 가 정한다.

9.11.5 그린–구보 관계: 자기상관함수로 구하는 수송

수송 계수는 흐름의 자기상관함수를 시간에 대해 적분한 값이다.

속도 $v$ 를 가진 $d$ 차원의 자기확산:

D = \frac{1}{d} \int_{0}^{\infty} d t ⟨ v (t) \cdot v (0)⟩

부피 $V$ 안의 전체 전류 $J_{x}$ 에 대한 전기 전도도:

σ = \frac{β}{V} \int_{0}^{\infty} d t ⟨ J_{x} (t) J_{x} (0)⟩

미시적 응력 성분을 부피 적분한 $σ_{x y}$ 로부터 구하는 전단 점성 계수:

η = \frac{β}{V} \int_{0}^{\infty} d t ⟨ σ_{x y} (t) σ_{x y} (0)⟩

등방적인 $d$ 차원 계에서 전체 열 흐름 $J_{Q}$ , 즉 열유속 밀도를 부피 적분한 양으로 구하는 열전도도:

κ = \frac{k _{B} β ^{2}}{d V} \int_{0}^{\infty} d t ⟨ J_{Q} (t) \cdot J_{Q} (0)⟩

모두 섭동하지 않은 동역학에 대한 평형 평균이다.

9.11.6 랑주뱅, 포커–플랑크, 아인슈타인 관계

점성 유체 속 위치 $x$ 의 브라운 입자에 대해

m \overset{v}{˙} = - γ v + ξ (t)

여기서 $⟨ ξ (t) ξ (0)⟩ = 2 γ k_{B} T δ (t)$ 는 가우스 백색 잡음이다. 이를 풀면 아인슈타인 관계를 얻는다.

D = \frac{k _{B} T}{γ}

또한 속도 자기상관함수는 $⟨ v (t) v (0)⟩ = (k_{B} T / m) e^{- t / τ}$ 이고 $τ = m / γ$ 이다. 이에 대응하는 포커–플랑크 방정식은 확률 밀도를 시간에 따라 변화시키며 맥스웰–볼츠만 정상상태로 이완시킨다.

9.11.7 잡음의 예: 존슨–나이퀴스트 잡음과 관련 현상

고전적 영역 $ℏ ω ≪ k_{B} T$ 의 저항 $R$ 에서 한쪽(양의 진동수) 전압 잡음 스펙트럼 밀도는 9.11.4에서 정의한 양쪽 스펙트럼 밀도의 두 배이다.

S_{V}^{(1)} (ω) = 4 k_{B} T R

양자 보정은 여기에 $\frac{ℏ ω}{2 k _{B} T} coth (β ℏ ω /2)$ 를 곱한다. 저항만 있을 때 전류 잡음은 $S_{I}^{(1)} (ω) = 4 k_{B} T / R$ 로 얻는다. 같은 논리가 NMR의 자기 잡음, AFM의 힘 잡음, 중간 규모 도체의 산탄 잡음 한계에도 바탕이 된다.

9.11.8 온사게르 상반성과 미시적 가역성

일반화된 흐름 $J_{i}$ 가 열역학적 힘 $X_{j}$ 에 선형으로 응답하면

J_{i} = j \sum L_{ij} X_{j}

시간 반전 대칭은 다음 온사게르–카시미르 관계를 뜻한다.

L_{ij} (B) = ϵ_{i} ϵ_{j} L_{ji} (- B)

여기서 $ϵ_{i} = \pm 1$ 는 $J_{i}$ 의 시간 반전 패리티이다. 자기장이 0이고 힘과 흐름의 패리티가 같으면 $L_{ij} = L_{ji}$ 이다. 상반성은 평형 상관함수의 대칭이 거시적으로 드러난 것이다.

9.11.9 인과성, 수동성, 합 규칙

수동성: 안정한 수동계에서는 $ω > 0$ 일 때 $χ^{''} (ω) \geq 0$ 이다. 이는 양의 소산을 나타낸다.
합 규칙: $χ^{''} (ω)$ 의 모멘트는 같은 시각의 교환자나 정적 감수율과 연결된다. 예를 들어 전하 응답에는 $f$ 합 규칙이 있다.
고진동수 꼬리: 흔히 짧은 시간의 연산자 대수로 정해진다. 수치 계산이나 절단된 모형을 확인하는 데 유용하다.

9.11.10 흔한 함정

$χ$ 에 지연 상관함수 대신 대칭 상관함수를 사용하는 것. 구보 $χ$ 에는 교환자와 $Θ (t)$ 가 필요하다.
앙상블 선택을 잊는 것. 그린–구보 평균은 보존량에 맞는 평형 앙상블에서 구한다.
높은 진동수에서 고전 FDT를 무리하게 사용하는 것. $ℏ ω ≳ k_{B} T$ 이면 양자 인자 $coth (β ℏ ω /2)$ 를 사용하라.
응답 채널을 혼동하는 것. 결합 $H^{'} = - h A$ 는 올바른 FDT가 $S_{AA}$ 를 $χ_{AA}^{''}$ 와 연결한다는 뜻이며, 다른 연산자와 연결하는 것이 아니다.
보존 법칙을 무시하는 것. 보존 밀도와 연결된 흐름에는 유체역학적인 긴 시간 꼬리가 있으며, 이것이 단순하게 예상한 적분의 수렴성을 바꿀 수 있다.

9.11.11 간단한 풀이 예제

(a) 인과성에서 얻는 크라머르스–크로니히 관계
$t < 0$ 에서 $χ (t) = 0$ 를 가정하고 푸리에 변환하여, $Re χ$ 와 $χ^{''}$ 의 힐베르트 변환 관계를 보여라.

(b) 시간 영역의 고전 FDT
$H^{'} = - h (t) A$ 와 $B = A$ 를 사용하여 $χ_{AA} (t) = - Θ (t) β \frac{d}{d t} C_{AA} (t)$ 를 증명하고 $S_{AA} (ω) = \frac{2 k _{B} T}{ω} χ_{AA}^{''} (ω)$ 를 회복하라.

(c) 존슨 잡음
저항만 있는 회로를 생각하자. $I (ω) = V (ω) / R$ 와 FDT를 이용하여 고전적 진동수 대역의 $S_{V}^{(1)} = 4 k_{B} TR$ 를 유도하라.

(d) 속도 상관함수로 구하는 확산
지수형 상관함수 $⟨ v (t) v (0)⟩ = v_{0}^{2} e^{- t / τ}$ 를 가진 하나의 데카르트 속도 성분에 대해 적분하여 $D = v_{0}^{2} τ$ 를 구하고, $v_{0}^{2} = k_{B} T / m$ 와 $τ = m / γ$ 를 사용한 $D = k_{B} T / γ$ 와 비교하라.

(e) 전도도의 그린–구보 관계
시간 게이지에서 벡터 퍼텐셜이 전기장과 시간의 곱에 음의 부호를 붙인 값일 때, 균일한 전기장이 $H^{'} = + E_{x} J_{x} t$ 로 결합함을 보이고 $σ = (β / V) \int_{0}^{\infty} d t ⟨ J_{x} (t) J_{x} (0)⟩$ 를 유도하라.

(f) 온사게르 상반성의 확인
전류와 열 흐름이 있는 열전 수송에 대해 $2 \times 2$ $L$ 행렬을 쓰고 $L_{12} (B) = L_{21} (- B)$ 를 논증하라.

9.11.12 최소 연습문제 모음

구보 공식에서 출발하여 양자 FDT $S_{AA} (ω) = ℏ coth (β ℏ ω /2) χ_{AA}^{''} (ω)$ 를 증명하라.
이동도 $μ$ 를 속도 응답의 낮은 진동수 극한과 연결하여 아인슈타인 관계 $D = μ k_{B} T$ 를 유도하라.
사인파 구동에서 평균 흡수 일률을 계산하여 수동계에서 $χ^{''} (ω) \geq 0$ 임을 보여라.
연속 방정식에서 출발하여 흐름 상관함수의 긴 시간 꼬리를 유체역학적 확산과 연결하고, 그린–구보 적분의 수렴성을 논하라.
미시적인 강체구 모형의 응력 자기상관함수로 $η$ 를 계산하고 운동론적 스케일링과 비교하라.

9.12 운동론과 볼츠만 방정식

통계역학은 평형이 어떤 모습인지 알려 주었다. 운동론은 계가 평형을 향해 어떻게 움직이며, 아직 평형에 도달하지 않았을 때 무슨 일이 일어나는지 설명한다. 주인공은 단일 입자 분포 $f (r, v, t)$ 의 중간 규모 시간 진화 법칙인 볼츠만 방정식이다. 여기서 수송 계수를 유도하고 유체역학과 연결하며, 이론이 어디에서 왜 무너지는지 살펴본다.

9.12.1 미시적 규모에서 중간 규모로: 분포 함수

위상 공간 셀 안의 입자 기대 개수가 $f d^{3} r d^{3} v$ 가 되도록 $f (r, v, t)$ 를 정의한다. $N = \int d^{3} r d^{3} v f$ 로 규격화한다. 보존 밀도는 $f$ 의 모멘트이다.

n (r, t) = \int d^{3} v f, u (r, t) = \frac{1}{n} \int d^{3} v v f, ε (r, t) = \int d^{3} v \frac{1}{2} m v^{2} f

압력 텐서와 열유속은 유동 속도에 대한 상대 속도 $c \equiv v - u$ 의 더 높은 모멘트이다.

9.12.2 볼츠만 방정식과 분자 혼돈

외력 $F$ 가 있을 때

\frac{\partial f}{\partial t} + v \cdot \nabla_{r} f + \frac{F}{m} \cdot \nabla_{v} f = C [f]

충돌 적분 $C [f]$ 는 이체 충돌을 나타낸다. 단거리 상호작용과 분자 혼돈(Stosszahlansatz: 충돌 전 속도들이 상관되지 않는다는 가정) 아래에서는

C [f] (r, v) = \int d^{3} v_{2} \int d Ω g σ (g, Ω) [f^{'} f_{2}^{'} - f f_{2}]

여기서 $g = ∣ v - v_{2} ∣$ 이고, $σ$ 는 미분 단면적이며, $f^{'} = f (r, v^{'}, t)$ 는 에너지–운동량 보존으로 정해지는 충돌 후의 값이다.

충돌 불변량. $1$ , $v$ 또는 $v^{2}$ 와 같은 어떤 $ψ (v)$ 에 대해서도

\int d^{3} v ψ (v) C [f] = 0

이는 질량, 운동량, 에너지의 국소 보존으로 이어진다.

9.12.3 국소 평형 = 맥스웰–볼츠만

모든 단면적에 대해 $C [f] = 0$ 가 성립할 필요충분조건은 $f$ 가 국소 맥스웰 분포인 것이다.

f_{LE} (r, v, t) = n (r, t) (\frac{m}{2 π k _{B} T ( r , t )})^{3/2} exp [- \frac{m ∣ v - u ( r , t ) ∣ ^{2}}{2 k _{B} T ( r , t )}]

이 $f_{LE}$ 는 주어진 $n, u, T$ 에서 국소 엔트로피 밀도를 최대화하며 충돌 과정의 고정점이다.

9.12.4 H 정리: 엔트로피는 증가한다

볼츠만의 $H \equiv \int d^{3} r d^{3} v f ln f$ 를 정의하자. 충돌 적분을 이용하면

\frac{d H}{d t} = \int d^{3} r d^{3} v C [f] (1 + ln f) \leq 0

등호는 $f = f_{LE}$ 에서만 성립한다. $S = - k_{B} H + const$ 로 놓으면 국소 평형을 향한 엔트로피의 단조 증가를 얻는다. 주의할 점은 이 증명이 분자 혼돈과 희박한 기체의 이체 충돌에 의존한다는 것이다. 장거리 힘과 충돌 전 상관관계가 있으면 증명이 성립하지 않을 수 있다.

9.12.5 모멘트 방정식으로서의 유체역학

볼츠만 방정식의 모멘트를 취하고 충돌 불변량을 이용하면 오일러 방정식(이상적 경우) 또는 나비에–스토크스–푸리에 방정식(소산이 있는 경우)을 얻는다. $ρ = mn$ , $p = n k_{B} T$ 라 하자.

연속 방정식

\partial_{t} ρ + \nabla \cdot (ρ u) = 0

운동량

\partial_{t} (ρ u) + \nabla \cdot (ρ u u + p I + Π) = n F

에너지

\partial_{t} ε + \nabla \cdot [(ε + p) u + Π \cdot u + q] = n F \cdot u

$Π$ 는 점성 응력이고 $q$ 는 열유속이다. 이 방정식들을 닫으려면 $f_{LE}$ 주변에서 전개한다.

9.12.6 채프먼–엔스코그와 수송 계수

기울기가 작다고, 즉 크누센 수 $K n \equiv ℓ / L$ 가 작다고 가정하고 $f = f_{LE} + f^{(1)} + \dots$ 로 쓰자. 여기서 $f^{(1)}$ 는 기울기에 선형이다. 볼츠만 방정식을 일차까지 풀면 뉴턴 점성 법칙과 푸리에 열전도 법칙을 얻는다.

Π = - η [\nabla u + (\nabla u)^{T} - \frac{2}{3} (\nabla \cdot u) I] - ζ (\nabla \cdot u) I

q = - κ \nabla T

수밀도 $n$ , 온도 $T$ 에서 질량 $m$ 와 지름 $d$ 를 가진 강체구에 대해

η \sim \frac{5}{16 d ^{2}} \frac{m k _{B} T}{π}, κ \sim \frac{75 k _{B}}{64 d ^{2}} \frac{k _{B} T}{πm}

이 식에는 작은 소닌 다항식 보정 인자가 더해질 수 있다. 단원자 이상기체에서는 체적 점성 계수 $ζ$ 가 0이다.

9.12.7 이완 시간 모형과 BGK 모형

정확한 충돌 적분은 다루기 어렵다. 바트나가르–그로스–크루크(BGK) 모형은 $C [f]$ 를 국소 평형을 향한 하나의 이완율로 대체한다.

C_{BGK} [f] = - \frac{f - f _{LE}}{τ}

$η$ 에 맞도록 $τ$ 를 선택하면 일차 유체역학을 재현하고 $κ$ 를 예측값으로 정한다. 단원자 기체의 단일 이완 시간 BGK 모형은 $Pr = 1$ 를 가지므로 두 계수를 독립적으로 맞출 수 없다. 이런 이완 모형은 격자 볼츠만 방법과 반도체 수송에서 널리 사용된다. 고체의 더 단순한 이완 시간 근사도 전자 산란에 대해 같은 역할을 한다.

9.12.8 크누센 수, 경계층, 이론의 한계

유체역학적 영역 $K n ≪ 1$ : 나비에–스토크스–푸리에 방정식이 유효하다.
전이 영역 $K n \sim 0.1$ : 미끄럼 흐름과 벽 근처의 크누센 층이 나타난다. 운동론적 경계 조건이 필요하다.
탄도 영역 $K n ≳ 1$ : 자유 분자 흐름이다. 기울기 전개를 하지 않는 볼츠만 방정식, 또는 장거리 힘에 대해서는 무충돌 블라소프 동역학을 사용한다.
조밀한 기체: 엔스코그 보정이 $C [f]$ 와 수송을 바꾼다.
장거리 쿨롱 상호작용: 많은 작은 각도 편향이 란다우(포커–플랑크) 충돌 연산자로 이어진다.

9.12.9 양자 볼츠만 방정식과 파울리·보스 인자

결맞음 길이가 짧을 만큼 $T$ 가 충분히 높은 희박한 양자 기체에서는, 충돌 항에 최종 상태의 증강 또는 차단 인자가 들어간다.

C_{Q} [f] \propto \int d Γ [f^{'} f_{2}^{'} (1 \pm f) (1 \pm f_{2}) - f f_{2} (1 \pm f^{'}) (1 \pm f_{2}^{'})]

위쪽 부호는 보손, 아래쪽 부호는 페르미온에 해당한다. 이것이 율링–울렌베크 수정이다. 매우 낮은 $T$ 의 초유체에서는 운동론에 집단 모드인 포논과 보골류보프 준입자를 포함해야 한다.

9.12.10 고체의 볼츠만 수송 (전자와 포논)

결정에서 $f (k, r, t)$ 는 띠 속도 $v_{k} = \nabla_{k} ϵ_{k} /ℏ$ 와 전기장 및 베리 곡률에 의한 힘(고급 주제)에 따라 $k$ 공간에서 진화한다. 이완 시간이 $τ (k)$ 이면

σ_{xx} = e^{2} \int \frac{d ^{3} k}{( 2 π ) ^{3}} τ (k) v_{x}^{2} (- \frac{\partial f _{0}}{\partial ϵ})

이는 자유 전자 띠에서 드루드 결과를 재현한다. 한편 포논 볼츠만 방정식은 세 포논 산란과 경계에 의한 제한을 통해 격자 열전도도를 설명한다.

9.12.11 선형 응답과 운동론: 같은 물리를 다른 방식으로 보기

그린–구보 관계(9.11)는 수송을 자기상관함수의 시간 적분으로 나타낸다. 채프먼–엔스코그 방법은 수송을 기울기에 대해 일차까지 구한 볼츠만 방정식의 해로 나타낸다. 둘 다 적용 가능한 경우에는 일치한다. 평균 자유 행로와 단면적이 명확할 때는 운동론이 유리하다. 준입자가 불분명하지만 시뮬레이션으로 상관함수를 측정할 수 있는 상호작용하는 액체에서는 그린–구보 방법이 유리하다.

9.12.12 간단한 풀이 예제

(a) 평균 자유 행로와 점성
수밀도 $n$ 와 단면적 $σ = π d^{2}$ 를 가진 강체구에 대해 $ℓ ≃ 1/ (2 nσ)$ 를 보이고 $η \sim \frac{1}{3} nm \overset{v}{ˉ} ℓ$ 를 추정하라. 채프먼–엔스코그 값과 비교하라.

(b) BGK에서 나비에–스토크스로
$C_{BGK}$ 를 볼츠만 방정식에 대입하고 $f^{(1)}$ 를 구한 뒤, 단원자 기체의 $η = p τ$ 와 $κ = \frac{5}{2} k_{B}^{2} T n τ / m$ 를 유도하라.

(c) 음파 감쇠
평면파 $e^{i (k \cdot r - ω t)}$ 에 대해 $f_{LE}$ 주변에서 볼츠만 방정식을 선형화하고, 감쇠 계수를 $η$ 와 $κ$ 로 나타내어 계산하라.

(d) 로런츠 기체
밀도 $n_{i}$ 의 고정된 강체 산란 중심에서 가벼운 입자들이 탄성 산란할 때 $D$ 를 계산하고, 비등방적 단면적이 수송을 어떻게 바꾸는지 보여라.

(e) 양자적 수정
두 상태의 페르미온 충돌에 대해 파울리 차단을 포함한 상세 균형을 유도하고, 낮은 $T$ 에서 단면적 $σ$ 의 산란에 허용되는 위상 공간이 어떻게 줄어드는지 보여라. 전도도에 미치는 영향이 그 충돌이 운동량을 이완시키는지에 따라 달라지는 이유를 설명하라.

9.12.13 흔한 함정

$C [f]$ 에서 보존 제약을 잊는 것. 어떤 모형 충돌 연산자도 질량, 운동량, 에너지를 보존해야 한다. BGK는 $f_{LE}$ 가 국소 모멘트와 일치하도록 정하면 구성상 이를 보존한다.
큰 $K n$ 에서 나비에–스토크스를 사용하는 것. 미끄럼, 크누센 층, 탄도 거동을 예상하고 운동론을 사용하라.
일반적으로 $ζ = 0$ 라고 가정하는 것. 이는 단원자 이상기체에 대해서만 맞다. 내부 모드는 체적 점성을 만든다.
경계 조건을 무시하는 것. 벽에서의 거울 반사와 확산 반사는 벽 근처의 수송에 1에 견줄 만한 상대적 변화를 일으킨다.
쿨롱 상호작용을 강체구처럼 취급하는 것. 다체계의 작은 각도 산란이 지배하면, 드물고 강한 충격을 가정한 볼츠만 방식이 아니라 란다우/포커–플랑크 방식이 필요하다.

9.12.14 최소 연습문제 모음

볼츠만 방정식에서 출발하여 연속 방정식, 운동량 방정식, 에너지 방정식을 유도하고 $Π$ 와 $q$ 를 찾아라.
강체구에 대해 소닌 다항식 전개의 첫 단계를 수행하여 선도 차수의 $η$ 를 계산하고, 발견적 추정 $\frac{1}{3} nm \overset{v}{ˉ} ℓ$ 와 비교하라.
BGK를 구현하고 $η = p τ$ 를 보여라. 측정된 점성 계수에 $τ$ 를 맞추어 열전도도와 프란틀 수를 예측하라.
탄성 불순물 산란을 겪는 희박한 전자 기체에 대해 이완 시간 근사에서 $σ$ 를 계산하고, 마티센 법칙을 정성적으로 논하라.
구별할 수 없는 입자의 율링–울렌베크 충돌 항을 유도하고, $f ≪ 1$ 일 때 고전 볼츠만 형태로 환원됨을 보여라.

요약: 볼츠만 방정식은 미시적 충돌과 거시적 흐름을 잇는 다리이다. 분자 혼돈과 단거리 산란 아래에서 $f$ 를 국소 맥스웰 분포로 이끌며, 이 분포의 느린 기울기는 단면적으로부터 $η, κ, ζ$ 를 계산할 수 있는 유체역학을 만들어 낸다. 평균 자유 행로가 너무 길거나, 밀도가 너무 높거나, 상호작용이 지나치게 장거리이면 방정식의 형태는 바뀐다. 그래도 핵심은 남는다. 비평형 물리를 지배하는 것은 입자만의 동역학이 아니라 분포의 동역학이다.