1. 牛顿之前的世界：从亚里士多德到伽利略

在牛顿之前，人们主要用形而上学而非数学来解释运动。亚里士多德的物理学在欧洲占据主导地位近两千年：

• 亚里士多德的世界观：物体各有其“自然位置”。石头下落，是因为它趋向大地；火焰上升，是因为它趋向天空。运动需要持续的推动者，一旦停止推动，运动就会停止。

这种模型符合日常直觉，却经不起深入检验。

亚里士多德理论的困境

• 箭离开弓弦后，为什么还会继续飞行？
• 行星为什么不会落到地球上？

中世纪学者用“冲力说”回答这些问题：施加给物体的推动作用会持续一段时间，然后逐渐消散。这向惯性的概念迈进了一步，但仍把运动与形而上学的“性质”联系在一起。

伽利略登场（1564—1642）

伽利略·伽利莱通过实验打破了亚里士多德理论的权威：

1. 斜面实验 伽利略让小球沿斜面滚下，以减缓重力引起的运动，便于测量。 他发现了匀加速运动；对于从静止开始的自由落体，位移为：

   $$s=\frac{1}{2}g{t}^2$$

   其中，$s$ 是位移，$t$ 是时间，$g$ 是重力加速度。

   → 在同一地点，自由落体由共同的重力加速度 $g$ 支配，与下落物体的质量无关。

   练习 1.1：在真空中同时释放一把锤子和一根羽毛，哪一个先落地？

   答案：它们同时落地，因为加速度 $g$ 与质量无关。

2. 惯性定律的雏形 伽利略指出，在无摩擦平面上滚动的小球不会自行停止。 如果没有力作用，它的速度就保持不变。

   $$\frac{d\mathbf{v}}{dt}=0\text{条件：}\mathbf{F}=0$$

   这就是牛顿第一定律的雏形。

   练习 1.2：冰球在光滑的冰面上滑行，速度只是逐渐减小。是什么力使它减速？ 答案：冰面的摩擦力和空气阻力。在理想的无摩擦、无空气阻力条件下，它不会自行停止。

开普勒与天体之谜

约翰内斯·开普勒（1571—1630）补上了另一块拼图。他利用第谷·布拉赫（1546—1601）的观测数据，总结出行星运动的三条定律：

1. 行星沿椭圆轨道运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。
2. 行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等面积。
3. 轨道周期的平方与半长轴的立方成正比（$T^2\propto a^3$）。

但开普勒没有给出背后的原因。为什么是椭圆？为什么有 $T^2\propto a^3$？他优美地描述了天体运动，却缺少解释它的机制。

笛卡尔与机械宇宙的梦想

勒内·笛卡尔（1596—1650）设想了一个像钟表般运转的宇宙，其中充满精微物质的涡旋，推动行星前行。这一设想富有诗意，却难以检验。尽管如此，用机械原理解释宇宙的梦想仍延续了下来。

一个等待牛顿的世界

因此，到17世纪中叶：

• 伽利略给出了地面上的运动规律。
• 开普勒给出了行星运动规律。
• 笛卡尔提出了机械论的哲学图景。

但还没有人将它们统一起来。 正是在这一空缺之中，艾萨克·牛顿于1642年诞生；按当时英国使用的历法，这也是伽利略去世的那一年。

2. 定律的诞生

牛顿并非凭空创造了物理学，而是将已有成果编织成一个体系。他吸收了伽利略的惯性思想、开普勒的天体规律和笛卡尔的机械论。1687年，他出版了《自然哲学的数学原理》，通常简称《原理》。

书中系统阐述了三条运动定律和万有引力定律。

地面运动与天体运动第一次由同一套原理支配。苹果与月亮遵循同样的规律。

今天的物理学仍以这一统一为重要基础。

3. 第一定律：惯性与不受力的运动

牛顿第一运动定律深化了伽利略的惯性思想：

“任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。”

数学表述

如果物体所受合力为零：

$$\frac{d\mathbf{v}}{dt}=0\Rightarrow \mathbf{v}=\text{常量}$$

用位置来表示，等价地有：

$$\mathbf{r}(t)={\mathbf{r}}_0+{\mathbf{v}}_{0}t$$

因此，惯性参考系是牛顿定律成立的参考系；在其中，不受合力作用的物体会保持速度不变。

通过伽利略斜面实验理解

设想一个小球沿一侧斜面滚下，经过水平面，再滚上另一侧斜面：

• 有摩擦时，它上升的高度较低。
• 摩擦减小时，它能上升得更高。
• 在零摩擦的极限下，它会回到原来的高度；若另一侧完全水平，它就会一直运动下去。

这一实验表明，匀速运动并不需要持续的推动。

例题 3.1：冰面上的滑行

题目：一个冰球以速度 $v_0$ 在无摩擦冰面上滑行。10秒内它能前进多远？ 解答：因为 $a=0$，速度保持不变： $x=v_{0}t$ 若 $v_0=5\text{m/s}$，经过 $t=10\text{s}$ 后，它前进了 $50\text{m}$。

4. 第二定律：力与运动的联系

牛顿第二定律给出了运动变化的原因：

“运动的变化与所施加的动力成正比，并且沿着该力作用的直线方向发生。”

数学表达式为：

$$\mathbf{F}=m\mathbf{a}=m\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}$$ $$\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}$$

仅凭这一关系，宇宙中的运动便可以定量计算。

从拉格朗日量推导

取拉格朗日量 $L=T-V=\frac{1}{2}m{\dot{\mathbf{r}}}^2-V(\mathbf{r})$。

拉格朗日量定义为动能 $T$ 与势能 $V$ 之差。

欧拉–拉格朗日方程为：

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}}=0$$

由此得到：

$$m\ddot{\mathbf{r}}+\nabla V=0\Rightarrow m\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}$$

因此，牛顿的 $F=ma$ 自然地从变分原理中出现。

时间平移对称性 → 能量守恒

如果 $L$ 不显含时间，则定义能量 $E$ 为：

$$E=\dot{\mathbf{r}}\cdot \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}-L$$

该量保持守恒。

对于一个粒子：

$$E=\frac{1}{2}m{v}^2+V(\mathbf{r})=\text{常量}$$

因此，时间平移对称性对应能量守恒。

证明

根据定义：

$$E={\dot{q}}_i\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}-L,$$

对时间求导，得到：

$$\frac{dE}{dt}={\ddot{q}}_i\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}+{\dot{q}}_i\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)-\frac{dL}{dt}.$$

利用欧拉–拉格朗日方程：

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)=\frac{\partial L}{\partial q_i},$$

可得：

$$\frac{dE}{dt}=-\frac{\partial L}{\partial t}.$$

因此，如果 $L$ 不显含时间：

$$\frac{\partial L}{\partial t}=0\Rightarrow \frac{dE}{dt}=0,$$

所以 $E$ 守恒。

这是诺特定理的一个直接例子： 时间平移对称性对应能量守恒。

例题 4.1：斜面上的物块

题目：质量为 $m$ 的物块沿倾角为 $\theta$ 的无摩擦斜面下滑。求其加速度 $a$。

解答： 沿斜面的力：$F=mg\sin \theta$。 由牛顿第二定律：$F=ma$。 所以 $a=g\sin \theta$。

若 $\theta =30^{\circ }$，则 $a=4.9{\text{m/s}}^2$。

例题 4.2：单摆的小角度近似

考虑一个单摆：质量为 $m$ 的质点连接在长度为 $\ell$ 的无质量刚性杆或细线上。支点没有摩擦，摆与竖直方向的夹角记为 $\theta (t)$。

摆球沿半径为 $\ell$ 的圆弧运动。其切向加速度为：

$$a_{\text{tan}}=\ell \ddot{\theta },$$

径向，即向心加速度为：

$$a_{\text{rad}}=\ell {\dot{\theta }}^2.$$

摆球受到两个力：

• 沿杆方向的张力 $T$。
• 竖直向下的重力 $mg$。

重力的切向分量为：

$$F_{\text{tan}}=-mg\sin \theta ,$$

负号表示，重力使摆向 $\theta =0$ 的平衡位置恢复。

在切向应用牛顿第二定律：

$$m{a}_{\text{tan}}=\sum F_{\text{tan}},$$

得到：

$$m(\ell \ddot{\theta })=-mg\sin \theta .$$

化简可得：

$$\ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\sin \theta =0.$$

这就是单摆的精确非线性运动方程。

对于小角位移 $|\theta |\ll 1$，角度以弧度计，可以使用：

$$\sin \theta \approx \theta .$$

于是方程变为：

$$\boxed{\ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\theta =0}.$$

这就是熟悉的简谐振子方程，其角频率和周期为：

$${\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{\ell }},T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}.$$

• 力矩法： 关于支点，重力产生的力矩为：

  $$\tau =-mg\ell \sin \theta ,$$

  转动惯量为 $I=m{\ell }^2$，因此：

  $$I\ddot{\theta }=\tau \Rightarrow \ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\sin \theta =0.$$

• 拉格朗日法：

  $$T=\frac{1}{2}m{\ell }^2{\dot{\theta }}^2,V=mg\ell (1-\cos \theta ),$$ $$L=T-V.$$

  应用欧拉–拉格朗日方程，可以得到相同结果。

由于：

$$\sin \theta =\theta -\frac{{\theta }^3}{6}+\cdots ,$$

相对误差约为 $\sim {\theta }^2/6$：

• 当 $\theta =10^{\circ }\approx 0.17$ 弧度时，误差为 $\approx 0.5\%$。
• 当 $\theta =20^{\circ }\approx 0.35$ 弧度时，误差为 $\approx 2\%$。

因此，对于振幅不大的摆动，小角度方程具有良好的精度。

运动方程：

$$\ddot{\theta }+\frac{g}{l}\theta =0$$

解为：

$$\theta (t)={\theta }_0\cos \left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)$$

周期为：

$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

5. 第三定律：作用的相互性

牛顿第三定律引入了相互作用的概念：

“每一个作用总有一个大小相等、方向相反的反作用。”

数学上表示为：

$${\mathbf{F}}_{12}=-{\mathbf{F}}_{21}$$

推导 → 动量守恒

对于一个双粒子系统：

$$m_1{\ddot{\mathbf{r}}}_1={\mathbf{F}}_{12},m_2{\ddot{\mathbf{r}}}_2={\mathbf{F}}_{21}$$

将两式相加：

$$m_1{\ddot{\mathbf{r}}}_1+m_2{\ddot{\mathbf{r}}}_2={\mathbf{F}}_{12}+{\mathbf{F}}_{21}=0$$

于是：

$$\frac{d}{dt}(m_1{\dot{\mathbf{r}}}_1+m_2{\dot{\mathbf{r}}}_2)=0$$

因此，总动量 $\mathbf{P}$ = $(m_1{\mathbf{v}}_1+m_2{\mathbf{v}}_2)$ 保持守恒。 这正是碰撞与反冲现象的数学核心。

空间平移对称性 → 动量守恒

如果拉格朗日量在变换 $\mathbf{r}\to \mathbf{r}+ϵ$ 下不变，那么：

$$\mathbf{P}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}=m\mathbf{v}$$

就是守恒量。

例题 5.1：弹性碰撞

题目：两个质量分别为 $m_1,m_2$ 的物体发生一维弹性碰撞，初速度为 $v_1,v_2$。求碰撞后的速度 $v_1^{\prime },v_2^{\prime }$。

解答： 动量守恒：

$$m_1{v}_1+m_2{v}_2=m_1{v}_1^{\prime }+m_2{v}_2^{\prime }$$

能量守恒：

$$\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2=\frac{1}{2}{m}_1(v_1^{\prime }{)}^2+\frac{1}{2}{m}_2(v_2^{\prime }{)}^2$$

联立求解，得到：

$$v_1^{\prime }=\frac{(m_1-m_2)v_1+2m_2{v}_2}{m_1+m_2},v_2^{\prime }=\frac{(m_2-m_1)v_2+2m_1{v}_1}{m_1+m_2}$$

例题 5.2：齐奥尔科夫斯基火箭方程

考虑一枚瞬时质量为 $M(t)$ 的火箭，以速度 $v(t)$ 在不受外力的空间中运动。 在很短的时间 $dt$ 内，火箭向后喷出质量为 $|dM|$ 的物质，其相对火箭的排气速度为 $u$。

1 动量守恒

火箭的动量变化写为：

$$d{P}_{\text{rocket}}=Mdv+vdM.$$

喷出燃料在惯性参考系中的速度为 $(v-u)$，其动量为：

$$d{P}_{\text{exhaust}}=-(dM)(v-u).$$

这里 $dM<0$，因为火箭正在失去质量。 总动量守恒给出下式。由于火箭的质量变化为负，喷出物质的质量为其相反数。

$$Mdv+vdM-(dM)(v-u)=0,$$

火箭运动的标准微分关系为：

$$Mdv=-udM.$$

2 微分形式

除以 $dt$：

$$M\frac{dv}{dt}=-u\frac{dM}{dt}.$$

3 积分

改写为：

$$dv=-u\frac{dM}{M}.$$

从 $(M_0,v_0)$ 积分到 $(M,v)$：

$${\int }_{v_0}^{v}d{v}^{\prime }=-u{\int }_{M_0}^M\frac{d{M}^{\prime }}{M^{\prime }},$$

得到：

$$v-v_0=u\ln \left(\frac{M_0}{M}\right).$$

因此，一般的火箭方程为：

$$\boxed{v(t)=v_0+u\ln \left(\frac{M_0}{M(t)}\right)}.$$

4 理解公式时的注意事项

• 简化形式

  $$v=u\ln \left(\frac{M_0}{M}\right)$$

  假设 $v_0=0$，也就是火箭从静止开始运动。

• $u$ 是相对于火箭的排气速度。有些教材将向后的方向计为负，并以带负号的 $u$ 表示，这会改变公式中相应的符号。

• 这一推导假设不存在重力、阻力等外力。加入这些作用后，方程需要作相应修改。

5 物理意义

方程表明，火箭速度随初始质量与最终质量之比呈对数增长：

$$\frac{M_0}{M}=\text{“质量比”}.$$

更高的排气速度 $u$ 或更大的质量比，都能带来更高的最终速度。

火箭方程源自动量守恒。 对于质量为 $M$、以速度 $u$ 喷出质量为 $dm$ 的气体的火箭：

$$M\frac{dv}{dt}=-u\frac{dM}{dt}$$

积分得到：

$$v=u\ln \left(\frac{M_0}{M}\right)$$

这就是齐奥尔科夫斯基火箭方程。

6. 为什么这些定律仍然重要

牛顿三定律是力学课程、工程计算和航天轨道设计的基础。 它们也蕴含着深刻的对称性：

• 空间平移对称性 → 动量守恒。
• 旋转对称性 → 角动量守恒。
• 时间平移对称性 → 能量守恒。

接下来，我们将看到这些关系如何从牛顿力学的框架中显现出来。

7. 来自天空的问题

17世纪70年代，牛顿思考着：是什么让月亮保持在轨道上？ 开普勒给出了经验规律，却没有解释原因。牛顿意识到，使苹果下落的力也支配着月亮的运动。

如果距离为 $r\approx 60R_{\oplus }$ 的月亮以加速度 $a=g/60^2$ 向地球下落，那么它与地表附近的物体受到的就是同一种遵循平方反比定律的作用。

例题 7.1：月亮的加速度

题目：地表重力加速度为 $g=9.8{\text{m/s}}^2$，地球半径为 $R_{\oplus }=6.4\times 10^6\text{m}$。月亮在 $r=60R_{\oplus }$ 处的向心加速度是多少？

解答：

$$a=\frac{g}{60^2}\approx \frac{9.8}{3600}\approx 0.0027{\text{m/s}}^2$$

这与观测到的月亮向心加速度一致。牛顿看到了其中的联系：苹果与月亮遵循同样的定律。

8. 万有引力定律

牛顿提出：

$$\mathbf{F}=-\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}\hat{r}$$

任何两个有质量的物体都会相互吸引。这是一种有心力，方向始终沿着两物体的连线。

球壳定理

牛顿证明了：

• 均匀球壳对外部粒子的引力，等效于将全部质量集中在球心时产生的引力。
• 在球壳内部，合引力为零。

证明需要微积分和几何，但结论十分重要：研究轨道运动时，球对称的行星可以视为质点。

例题 8.1：珠穆朗玛峰顶的重量

题目：地球半径为 $R=6.4\times 10^6\text{m}$，珠穆朗玛峰高度为 $h=8.8\times 10^3\text{m}$。峰顶的重力加速度会减小多少？

解答：

$$g^{\prime }=g{\left(\frac{R}{R+h}\right)}^2$$ $$\frac{g^{\prime }}{g}\approx {\left(\frac{6.4\times 10^6}{6.4\times 10^6+8.8\times 10^3}\right)}^2\approx 0.997256$$

在这一球形地球近似下，山顶的重力约减小 $0.274\%$。

9. 有心力与轨道运动

对于有心力运动，角动量为：

$$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}$$

力矩与角动量变化的关系为：

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{r}\times \mathbf{F}$$

若 $\mathbf{F}\parallel \mathbf{r}$，则 $\mathbf{r}\times \mathbf{F}=0$，所以：

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=0\Rightarrow \mathbf{L}=\text{const.}$$

因此，旋转对称性对应角动量守恒。

例题 9.1：地球–太阳系统

题目：如果地球到太阳的距离变为原来的两倍，为保持角动量守恒，其切向速度应如何变化？

解答： 角动量 $L=mvr$ 保持不变，其中 $v$ 表示速度的切向分量。若 $r\to 2r$，则 $v\to v/2$。

10. 重新审视开普勒问题

在平方反比力的作用下，轨道方程为：

$$r(\theta )=\frac{p}{1+e\cos \theta }$$

其中 $e$ 是偏心率。

• $0\le e<1$：椭圆。
• $e=1$：抛物线。
• $e>1$：双曲线。

开普勒第二定律的证明

根据角动量守恒：

$$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }=\frac{L}{2m}=\text{常量}$$

因此，在相等时间内扫过的面积相等。

例题 10.1：卫星的周期

题目：一颗卫星在距地表高度为 $h=R_{\oplus }$ 的圆轨道上绕地球运行。求其周期。

解答： 轨道半径为 $a=2R_{\oplus }=1.28\times 10^7\text{m}$。

根据开普勒第三定律：

$$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3$$

取 $GM=3.986\times 10^{14}$，得到：

$$T\approx 1.44\times 10^4\text{s}\approx 4.00\text{小时}$$

11. 从牛顿力学理解开普勒三定律

牛顿推导出了开普勒的经验规律：

1. 椭圆轨道：由平方反比定律得到。
2. 等时扫过等面积：由角动量守恒得到。
3. 周期定律：

$$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3$$

例题 11.1：彗星的轨道

题目：一颗沿抛物线轨道（$e=1$）运动的彗星接近太阳。它在近日点距离 $r_p$ 处的速度是多少？

解答： 对于抛物线轨道，单位质量的机械能为 $E=0$：

$$\frac{1}{2}{v}^2-\frac{GM}{r_p}=0\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2GM}{r_p}}$$

因此，抛物线轨道上的彗星在近日点处的速度，等于该处的逃逸速度。

12. 与哈雷的相遇

1684年，埃德蒙·哈雷来到剑桥。当时天文学家困惑于这样一个问题：如果引力遵循平方反比定律，行星轨道会是什么形状？ 哈雷向牛顿提出这个问题。牛顿回答：“它会是一个椭圆。”

这一看似随意的回答，最终发展成由哈雷资助出版的《原理》。如果没有他的推动，地面力学与天体力学的统一也许还会长久停留在未发表的手稿中。

例题 12.1：哈雷彗星的周期

题目：哈雷彗星的半长轴为 $a=17.8\text{AU}$。求其轨道周期。

解答： 以天文单位和年为单位，开普勒第三定律为：$T^2=a^3$。 所以 $T=\sqrt{(17.8{)}^3}\approx 75.1\text{年}$。 这一结果与约76年的观测周期相近；行星摄动会使每次回归之间的间隔发生变化。

13. 钟表般的宇宙

牛顿力学揭示了一个如机器般运行的宇宙：潮汐、日月食和彗星都可以预测。启蒙时代接受了这种决定论的世界观。

在这背后，是深刻的守恒定律——宇宙的运行规则。

例题 13.1：潮汐

题目：为什么许多海岸在一个太阴日内会出现两次高潮？ 答案：在简化的平衡潮汐模型中，月球引力在地球不同位置的差异使近月侧和远月侧形成两个潮汐隆起。地球相对于这一分布转过一周需要约24小时50分，即一个太阴日。海盆、海岸形状等因素会改变响应，因此实际海岸可呈现半日潮、全日潮或混合潮。

14. 万有引力的影响

牛顿的引力理论推动了航海、历法，以及后来的航天器设计。 即使在爱因斯坦的相对论中，弱引力、低速条件下也会还原出牛顿理论。

例题 14.1：逃逸速度

题目：求从地球表面逃逸所需的最小速度。

解答： 由能量守恒：

$$\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{R}=0$$ $$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}\approx 11.2\text{km/s}$$

15. 刚体力学

牛顿力学可以从质点推广到具有空间大小的物体。

15.1 绕固定轴转动

转动惯量：

$$I=\sum _i{m}_i{r}_i^2$$

动能：

$$T=\frac{1}{2}I{\omega }^2$$

角动量：

$$L=I\omega$$

例题 15.1：均匀细杆

题目：一根长度为 $L$ 的均匀细杆绕通过中心且垂直于杆的轴转动。求 $I$。

解答：

$$I={\int }_{-L/2}^{L/2}{x}^2\frac{M}{L}dx=\frac{M{L}^2}{12}$$

15.2 欧拉方程

对于一般的刚体转动，采用随体坐标系中的分量，其中 $I$ 为惯性张量，时间导数也在该坐标系中计算：

$$\frac{d}{dt}(I\omega )+\omega \times (I\omega )=\tau$$

这些方程描述陀螺、回转仪和航天器的转动。

例题 15.2：花样滑冰运动员的旋转

题目：滑冰运动员收拢双臂，使 $I$ 减为一半。$\omega$ 会怎样变化？

解答： 角动量守恒：$I\omega =\text{const.}$。 若 $I\to I/2$，则 $\omega \to 2\omega$。 她的转速变为原来的两倍。

16. 非惯性参考系

牛顿定律在惯性参考系中成立。但在地球这样的旋转参考系中，我们必须引入惯性力。

16.1 科里奥利力与离心力

在角速度为 $\vec{\Omega }$ 的匀速旋转参考系中，若其原点没有平移加速度：

$${\mathbf{a}}^{\prime }=\mathbf{a}-2\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }-\mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r})$$

• $-2\mathbf{\Omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }$ 是科里奥利项，表示单位质量所受的科里奥利力。
• $-\mathbf{\Omega }\times (\mathbf{\Omega }\times \mathbf{r})$ 是离心项，表示单位质量所受的离心力。

例题 16.1：下落物体的偏转

题目：一个物体在纬度 $\varphi$ 处从高度 $h$ 落下。科里奥利力会使它向东偏转多远？

近似解答： 下落时间为 $t=\sqrt{2h/g}$。 取 $v_z$ 的正方向为竖直向下，向东加速度为 $\approx 2\Omega \cos \varphi \cdot v_z$。 位移为：

$$x\approx \frac{1}{3}\Omega \cos \varphi g{t}^3$$

当 $h=100\text{m},\varphi =45^{\circ }$ 时，$x\approx 2\text{cm}$。

例题 16.2：气旋

题目：为什么北半球的气旋逆时针旋转？

答案：科里奥利力使运动空气向其前进方向的右侧偏转。在低压系统中，向中心汇聚的空气在北半球形成逆时针环流，在南半球则形成顺时针环流。

17. 作为普通人的牛顿

作为科学家，牛顿才华卓越；作为一个人，他又十分复杂。他花费数十年研究的不只是物理学，还有炼金术、神学，并卷入各种政治与学术纷争。 担任皇家铸币厂负责人时，他改革了英国货币制度，并以细致的调查追查伪币制造者。担任皇家学会会长时，他推动英国科学的发展，有时也强势压制竞争者。

然而，他的力学超越了个人的局限，成为具有持久影响和广泛适用性的理论框架。

例题 17.1：铸币厂的金币

题目：如果一枚伪币比真币轻1%，牛顿如何用天平检测出来？

解答：天平平衡时，两侧力矩相等。 与标准砝码或标准金币比较，1%的质量差会造成可测量的不平衡。牛顿对精度的重视，也体现在他追查伪币的工作中。

18. 传承与转变

到1727年牛顿去世时，他的力学已成为启蒙时代的重要思想基础。 在此后的约两百年里，工程师和天文学家的工作主要建立在牛顿力学之上。

但它的局限也逐渐显现：

• 水星的近日点进动无法完全由牛顿理论解释。
• 牛顿曾用微粒解释的光，表现出波动现象。
• 原子和电子需要量子规律来描述。

例题 18.1：水星的轨道

题目：水星近日点每世纪的进动，比牛顿引力理论预言的多出 $43^{\prime \prime }$。为什么？

答案：广义相对论解释了这一修正。时空弯曲使高精度计算的结果偏离牛顿理论。

例题 18.2：牛顿力学何时失效

• 接近光速时 → 狭义相对论用 $F=dp/dt$ 取代简单的 $F=ma$，其中 $p=\gamma mv$。
• 原子尺度上 → 量子力学用波函数代替确定的经典轨迹。

不过，牛顿力学仍然是重要的第一近似：

• 当 $v\ll c$ 且研究宏观系统时，牛顿理论通常仍足够精确，能够用于设计飞往火星的轨道。

19. 为什么我们仍然学习牛顿力学

尽管已有相对论和量子物理，课程仍通常从牛顿力学开始，因为：

• 它在日常宏观条件下十分准确。
• 它提供了物理学的基本语言：把文字转化为方程，再转化为预测。
• 它揭示了对称性与守恒定律之间的联系。

对称性与守恒定律回顾

• 空间平移不变性 → 动量守恒。 $\mathbf{P}=\sum m_i{\mathbf{v}}_i=\text{const.}$

• 旋转不变性 → 角动量守恒。 $\mathbf{L}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}=\text{const.}$

• 时间平移不变性 → 能量守恒。 $E=T+V=\text{const.}$

这些思想是诺特定理的种子，并在20世纪发展成完整的理论。

例题 19.1：蹦极者

题目：一名70千克的蹦极者跳下，绳索可视为劲度系数 $k=50\text{N/m}$、原长 $L=30\text{m}$ 的弹簧。求绳索的最大伸长量。

解答： 由能量守恒：

$$mg(L+x)=\frac{1}{2}k{x}^2$$

取 $g=9.8{\text{m/s}}^2$ 解二次方程，得到 $x\approx 45.5\text{m}$。 因此，最大下落距离为 $L+x\approx 75.5\text{m}$。

20. 总结

• 三条运动定律：惯性、力与运动变化、作用与反作用。
• 万有引力：统一地面与天空中的运动。
• 守恒定律：动量、角动量和能量守恒源于相应的对称性。
• 刚体与非惯性参考系：把基本定律推广到更复杂的实际问题。
• 作为普通人的牛顿：才华卓越，也有局限，但为物理学奠定了基础。

牛顿的图景不是最终真理，而是第一幅系统地用数学描绘宇宙的地图。 每一位学习力学的学生，都走进了同一条探索传统。

尾声

从伍尔索普庄园的苹果园，到飞出太阳系的航天器，牛顿方程始终发挥着作用。

• 工程师仍然使用 $F=ma$。
• 天文学家仍然利用 $T^2\propto a^3$ 预测轨道。
• 建筑师仍然用牛顿静力学计算载荷。

即使爱因斯坦和薛定谔的理论超越了牛顿，牛顿力学也从未被抛弃。

他曾写道：

“我不知道世人怎样看待我，但在我自己看来，我不过像一个在海边玩耍的孩子，时而发现一颗更光滑的卵石，或一个比寻常更美丽的贝壳，并因此欣喜；而真理的浩瀚海洋，仍未被发现地铺展在我面前。”

四个世纪之后，我们仍在使用牛顿留下的指南针，探索那片海洋。