群、李代数与规范理论

8.1 目标与路线

只有知道 $S U (3)_{c} \times S U (2)_{L} \times U (1)_{Y}$ 究竟在做什么，这个表达式才真正有用。它规定连续的内部变换，告诉我们场可以怎样变换，并提供组织相互作用所需的代数结构。但它本身并没有指定所有粒子、所有耦合，也没有规定真空的动力学。我们的目标，是把这个表达式读成一套精炼的数学指令。

我们将分五步建立这套指令：可逆操作组成群；矩阵实现群对向量的作用；对连续群求导得到李代数；表示规定究竟是哪些向量在变换；而比较相邻时空点的变换，则引入规范联络。联络的曲率就是规范场强。

预备知识包括矩阵乘法、复数、导数以及基本量子力学。熟悉场和狭义相对论，有助于阅读最后约三分之一的内容。我们不假定读者已经学过群论或微分几何。第 8.2—8.6 节建立基本词汇；第 8.7—8.11 节发展数学工具；第 8.12—8.15 节构造规范理论；第 8.16—8.18 节组装标准模型。例题是论述的一部分，而第 8.19 节的练习可帮助你再次梳理主要思想。

关于流形、联络和曲率的更广泛介绍，可以阅读微分几何专题。主课程中的量子场论一章则进一步讨论量子化、相互作用、反常和希格斯机制。本文是第八篇 Curiosity（物理探趣），与主课程的第八章是两篇不同的文章。

计算时需要随时查阅的约定

向量写成列向量；乘积 $g h$ 中先作用的是 $h$ 。符号 $I$ 表示单位矩阵； $e$ 表示群的单位元，除非明确指出它是电磁耦合常数。匕首符号表示共轭转置。重复出现的李代数指标默认求和。时空指标取 $μ, ν = 0, 1, 2, 3$ 。

对于量子场，我们使用自然单位制 $ℏ = c = 1$ ，闵可夫斯基度规号差取 $(+, -, -, -)$ 。内部生成元 $t_{a}$ 是厄米矩阵，在 $S U (N)$ 的定义表示中满足

[t_{a}, t_{b}] = i f_{ab}^{c} t_{c}, tr (t_{a} t_{b}) = \frac{1}{2} δ_{ab}

迹的归一化是一种选择，并不是适用于所有表示的公理。我们的规范场约定是

ψ^{'} = U ψ, D_{μ} = \partial_{μ} - i g A_{μ}, [D_{μ}, D_{ν}] = - i g F_{μν} .

我们会推导这些约定的结果，不在中途切换符号。超荷通过 $Q = T_{3} + Y$ 定义；若某份资料使用 $Q = T_{3} + Y /2$ ，那么其中的超荷是本文 $Y$ 的两倍。比较方程时，必须把整套约定一起对照。

8.2 什么是群？

群是一个集合 $G$ ，配备一个二元运算：对于 $G$ 中的每一对元素 $g, h$ ，都指定一个仍属于 $G$ 的元素 $g h$ 。可逆操作的复合需要满足以下四条要求。

**封闭性：**两个允许的操作复合后，仍然是一个允许的操作。
结合律： $(g h) k = g (hk)$ 。移动括号不改变结果，但不能随意改变顺序。
**单位元：**存在元素 $e$ ，使得 $e g = g e = g$ 。
**逆元：**每个 $g$ 都有一个元素 $g^{- 1}$ ，满足 $g^{- 1} g = g g^{- 1} = e$ 。

这里的运算不一定是数的乘法。整数在加法下的单位元是 $0$ ， $n$ 的逆元是 $- n$ ，所以 $(Z, +)$ 是群。非负整数在加法下不是群，因为正整数的加法逆元不在这个集合中。非零实数在乘法下组成群；所有实数在乘法下则不能组成群，因为 $0$ 没有乘法逆元。

如果每一对元素都满足 $g h = h g$ ，这个群就是阿贝尔群。整数加法是阿贝尔的，空间旋转的复合通常不是。非交换性意味着前一个操作会改变后一个操作所面对的情形，并不意味着复合运算自相矛盾。

例题 1：只有五个刻度的钟

令 $Z_{5}$ 由剩余类 $0, 1, 2, 3, 4$ 组成，运算是模 $5$ 加法。于是

3 + 4 = 2 (mod 5), - 3 = 2 (mod 5) .

元素 $1$ 可以生成整个群：不断相加，就会走遍五个刻度。等价地，可以把这个循环群写成 $C_{5} = {e, r, r^{2}, r^{3}, r^{4}}$ ，其中 $r^{5} = e$ 。群的阶，也就是元素的个数，是五。对于连续群，独立实参数的个数称为维数；阶与维数是不同的概念。

利用结合律，即使不假设交换律，也能解方程。由 $gx = h$ 出发，在左边乘以 $g^{- 1}$ ，便得到 $x = g^{- 1} h$ 。若乘错了边，一般就不能得到正确答案。同样，

(g h)^{- 1} = h^{- 1} g^{- 1},

因为撤销一串操作时，必须先撤销最后一步。这个简单的恒等式会在矩阵代数和规范变换中再次出现。

子群是原集合的一个子集，且在同一运算下本身也是群。例如，五的整数倍组成 $(Z, +)$ 的一个子群。同态是保持乘法的映射，即 $ρ (g h) = ρ (g) ρ (h)$ ；它自动保持单位元和逆元。如果这样的映射是双射，就称为同构，表示两种不同的呈现方式具有相同的抽象群结构。

**概念检查。**结合律并没有断言 $g h = h g$ 。它只是说，执行三个操作的结果不依赖于我们把用于记账的括号放在哪里。

8.3 对称性如何作用：以三角形为实验室

抽象群不一定自带一个被变换的具体对象。群作用补上了这个对象：对于一个集合 $X$ ，它指定 $g \cdot x$ ，并满足 $e \cdot x = x$ 和 $(g h) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)$ 。同一个群可以作用于位置、函数、量子态或场的内部分量。

把等边三角形的顶点标为 $1, 2, 3$ 。令 $r = (123)$ 循环置换三个顶点；令 $s = (23)$ 固定顶点 $1$ ，同时交换顶点 $2$ 和 $3$ 。在循环记号中， $(123)$ 表示 $1 \mapsto 2$ 、 $2 \mapsto 3$ 、 $3 \mapsto 1$ 。三角形的六种对称操作组成二面体群 $D_{3}$ ，它与置换群 $S_{3}$ 同构：

D_{3} = {e, r, r^{2}, s, sr, s r^{2}}, r^{3} = e, s^{2} = e, srs = r^{- 1} .

前两个关系表示连续旋转三次或连续反射两次都会回到起点。第三个关系说明，反射会反转旋转的方向。

以不同顺序进行三角形旋转与反射，会产生不同的顶点置换；复合运算从右向左作用。

彩色顶点帮助我们追踪群的作用。两种顺序使用同样的两个操作，但 $sr$ 与 $rs$ 交换的是不同的顶点对。

例题 2：算出不交换的具体结果

对于 $sr$ ，先跟踪顶点 $1$ ： $r$ 把它送到 $2$ ，接着 $s$ 把 $2$ 送到 $3$ 。顶点 $3$ 先到 $1$ ，随后保持不动。顶点 $2$ 则回到自身。因此 $sr = (13)$ 。反过来， $rs$ 把 $1$ 送到 $2$ ，把 $2$ 送到 $1$ ，并固定 $3$ ，所以 $rs = (12)$ 。由此得到 $sr \neq = rs$ 。

一个点的轨道，是群能把它送到的所有位置构成的集合。顶点 $1$ 的轨道包含全部三个顶点。它的稳定子由保持它不动的操作组成，即 ${e, s}$ 。有限群的轨道—稳定子关系在这里一目了然：

∣ D_{3} ∣ = ∣ Orb (1) ∣ ∣ Stab (1) ∣ = 3 \times 2.

群作用的核由对每个点都不起作用的元素组成。这个三角形作用的核只包含单位元，因此称为忠实作用。非忠实作用可能隐藏群的一部分。后面我们会看到，普通三维向量无法区分 $S U (2)$ 中两个不同的元素。

还需要区分主动变换与被动的描述变换。保持坐标轴不动，用矩阵 $R$ 主动旋转向量，得到 $v^{'} = R v$ 。若保持几何向量不动，被动地旋转坐标轴，则分量按 $R^{- 1}$ 变换。两种约定都可以使用，但混淆它们会造成表面上的符号分歧，在旋转和规范标架中尤其如此。

**概念检查。**描述一种对称性，既要指定群元素，也要指定它作用于什么。在一种作用中不可见的群元素，可能在另一种作用中变得可见。

8.4 矩阵、复数与保持不变的量

线性变换把和映为和，把标量倍数映为相同的标量倍数。选定基之后，可以用矩阵表示线性变换。复合变成矩阵乘法；可逆矩阵描述可逆的线性变换。域 $F$ 上所有可逆的 $n \times n$ 矩阵组成一般线性群 $G L (n, F)$ 。

为什么还要挑选更小的群？通常是因为某个物理量必须保持不变。对于欧氏长度平方为 $v^{T} v$ 的实向量，矩阵 $R$ 保持所有向量的长度，当且仅当

(R v)^{T} (R v) = v^{T} R^{T} R v = v^{T} v, R^{T} R = I .

这些矩阵称为正交矩阵，组成 $O (n)$ 。其行列式满足 $(det R)^{2} = 1$ ，所以 $det R = \pm 1$ 。要求行列式为 $+ 1$ ，便选出特殊正交群 $SO (n)$ 。反射的行列式为 $- 1$ ，因此被排除；旋转则属于 $SO (n)$ 。

对于复向量，非负的范数平方是 $z^{†} z$ ，而不是 $z^{T} z$ 。保持它的矩阵满足 $U^{†} U = I$ ，称为酉矩阵。它们组成 $U (n)$ ；再加上 $det U = 1$ ，就得到 $S U (n)$ 。这里“特殊”表示行列式为一，“酉”表示保持厄米内积。这两个词都没有要求矩阵元素是实数。

例题 3：复相位就是实平面上的旋转

写成 $z = x + i y$ 。乘以 $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ ，得到

e^{i θ} z = (x cos θ - y sin θ) + i (x sin θ + y cos θ) .

因此，一个复分量的变换，恰好等同于两个实分量的变换：

(x^{'} y^{'}) = (cos θ sin θ - sin θ cos θ) (x y) .

模长 $∣ z ∣$ 保持不变。所有相位 $e^{i θ}$ 组成 $U (1)$ ，上述对应是群同构 $U (1) ≅ SO (2)$ 。但这并不意味着这些群的所有物理用途都相同：作用于电子场的相位是内部变换，而实验室平面的旋转作用于空间位置。

量子力学使复内积格外重要。酉变换保持跃迁概率，因为 $⟨ U ϕ, U ψ ⟩ = ⟨ ϕ, ψ ⟩$ 。厄米矩阵满足 $H^{†} = H$ ，可以表示可观测量。它本身通常不是群变换。不过，对于实数 $α$ ， $e^{i α H}$ 是酉矩阵，这就在可观测量或生成元与有限变换之间搭起了桥梁。

例如， $diag (1, - 1)$ 既是厄米矩阵也是酉矩阵，但 $diag (2, 3)$ 是厄米矩阵却不是酉矩阵。厄米性和酉性是不同的条件，承担不同的角色。

8.5 连续旋转与相位圆

把上一节的矩阵记为 $R (θ)$ 。利用三角函数的和角公式直接相乘，可以得到

R (α) R (β) = R (α + β), R (θ)^{- 1} = R (- θ) .

平面旋转由一个参数标记，但这个参数具有周期性： $θ$ 与 $θ + 2 π$ 描述同一个元素。因此，群是一个圆，而不是无限长的直线。局部来看，一小段角度区间就足够了；整体来看，这些区间必须沿圆周拼接起来。

实平面上的向量逆时针旋转，对应的复相位则沿单位圆移动。

实矩阵 $R (θ)$ 与复数 $e^{i θ}$ 实现同一个单参数复合规律。

例题 4：无穷小旋转

对于小角度 $ϵ$ ，

R (ϵ) = I + ϵ J + O (ϵ^{2}), J = (01 - 1 0), J^{2} = - I .

把指数级数中的偶数次幂与奇数次幂分开：

e^{θ J} = I (1 - \frac{θ ^{2}}{2 !} + \dots) + J (θ - \frac{θ ^{3}}{3 !} + \dots) = I cos θ + J sin θ = R (θ) .

这已经是在做李理论：一个无穷小方向 $J$ ，生成了整族连续变换。

三维旋转具有三个独立的无穷小方向，而且它们不交换。不使用抽象记号也能看出这一点。从 $v = (1, 0, 0)^{T}$ 出发，按右手定则的正向旋转 $R_{y} (π /2)$ 把 $v$ 送到 $(0, 0, - 1)^{T}$ ，随后 $R_{z} (π /2)$ 使该向量保持不动。反过来，先旋转得到 $(0, 1, 0)^{T}$ ，随后 $R_{y} (π /2)$ 保持它不动。因此

R_{z} (π /2) R_{y} (π /2) v \neq = R_{y} (π /2) R_{z} (π /2) v .

角度与转轴可以描述一个三维旋转，但这不意味着有四个独立参数：单位转轴需要两个参数，角度再增加一个。当角度为零时，所有转轴都描述同一个单位元。这也提醒我们，群上的坐标可能存在冗余或奇点。

概念检查。 $U (1)$ 的周期角度，与描述单位元附近运动的实无穷小参数，并不是同一个整体空间。

8.6 李群：同时也是流形的群

李群是一个光滑流形，其群乘法和求逆都是光滑映射。流形是局部可以用固定数量的实坐标描述的空间，即使没有任何一个坐标系能覆盖整个空间。光滑性让求导有了意义。

因此，需要记住两种相互独立的结构：群运算法则告诉我们变换如何复合，而流形结构告诉我们变换如何连续变化。圆 $U (1)$ 同时具有这两种结构；加法直线 $(R, +)$ 也一样，但它的整体结构与圆不同。

对于矩阵群，可以展开定义它的约束条件，从而数出附近的独立参数。这将引出切空间，不过首先，它给出了实用的维数计算方法。

例题 5：先数生成元，再选择生成元

令 $U = I + i ϵH + O (ϵ^{2})$ 。则

U^{†} U = I + i ϵ (H - H^{†}) + O (ϵ^{2}),

所以酉性要求 $H = H^{†}$ 。一个 $n \times n$ 厄米矩阵具有 $n$ 个实对角元，以及 $n (n - 1) /2$ 个独立的复非对角元。因此，实参数的数目为

n + 2 \frac{n ( n - 1 )}{2} = n^{2} .

行列式为一的条件要求 $tr H = 0$ ，因此减少一个实参数。于是 $dim U (n) = n^{2}$ ， $dim S U (n) = n^{2} - 1$ 。类似地，把 $R = I + ϵ X$ 代入 $R^{T} R = I$ 并展开，得到 $X^{T} = - X$ ，其独立元素数为 $n (n - 1) /2$ 。

群	定义所用的矩阵	群的实维数	表中向量空间的维数
$U (1)$	一个复相位	$1$	复维数 $1$
$SO (2)$	实正交 $2 \times 2$ 矩阵，行列式为 $1$	$1$	实维数 $2$
$SO (3)$	实正交 $3 \times 3$ 矩阵，行列式为 $1$	$3$	实维数 $3$
$S U (2)$	酉 $2 \times 2$ 矩阵，行列式为 $1$	$3$	复维数 $2$
$S U (3)$	酉 $3 \times 3$ 矩阵，行列式为 $1$	$8$	复维数 $3$

最后两列回答的是不同问题。 $S U (3)$ 的维数数的是八个独立的变换参数；它的定义表示则作用于三分量复向量。这两个数字都不是夸克有多少代。

秩是另一个数：对于这里的紧群，它是极大环面中独立且彼此交换的生成元数。 $S U (2)$ 的秩为一； $S U (3)$ 的秩为二。秩既不是群的维数，也不是表示的维数。

关于流形、光滑群运算和经典矩阵群的严格数学处理，可参见 Etingof 的 MIT 李群讲义第 1—5 讲。本文的计算只需要它们的矩阵形式。

8.7 切向量、生成元与指数映射

在矩阵群中选一条可微曲线 $g (t)$ ，使 $g (0) = I$ 。它的初速度 $X = g^{'} (0)$ 是单位元处的一个切向量。所有这样的速度组成实向量空间 $g = T_{e} G$ ，也就是李代数的底层向量空间。

对于 $U (n)$ ，在 $t = 0$ 处对 $g (t)^{†} g (t) = I$ 求导，得到 $X^{†} = - X$ 。因此，数学中把 $u (n)$ 实现为反厄米矩阵，把 $su (n)$ 实现为无迹反厄米矩阵。物理学中通常写成

X = i α^{a} t_{a}, t_{a}^{†} = t_{a},

其中系数 $α^{a}$ 为实数。厄米矩阵 $t_{a}$ 是方便使用的生成元基；因子 $i$ 把它们转为真正的切矩阵。记住这一区别，就不会错误地声称两个厄米矩阵的普通对易子仍然是厄米矩阵。

单位元处的切方向通过指数映射变成群流形上的曲线；示意图用缠绕在圆上的直线展示这一过程。

切空间记录局部方向。取指数使我们沿着群移动；切空间中的不同点可能到达同一个群元素。

矩阵指数

exp X = I + X + \frac{X ^{2}}{2 !} + \dots

把无穷小生成元转为有限变换。曲线 $g (t) = e^{tX}$ 满足微分方程 $g^{'} (t) = X g (t)$ 和初始条件 $g (0) = I$ ，并且满足 $g (t + s) = g (t) g (s)$ 。这样的曲线称为单参数子群。

例题 6：为什么取指数后仍在 $S U (n)$ 中

对于无迹厄米矩阵 $H$ ，

(e^{i H})^{†} e^{i H} = e^{- i H} e^{i H} = I, det (e^{i H}) = e^{i tr H} = 1.

所以 $e^{i H}$ 是特殊酉矩阵。反过来，任何特殊酉矩阵都能通过酉基变换对角化。其特征值是相位，角度之和为 $2 π$ 的整数倍；把其中一个角度减去这个整数倍，就得到一个无迹厄米对数。因此， $S U (n)$ 的每个元素都是某个矩阵的指数，但对数并不唯一。

最后这句话是此处特定情形的性质。对于一般李群，指数映射在单位元附近给出局部坐标映射，但不一定覆盖整个群。即使它是满射，通常也不是单射。对于 $U (1)$ ， $e^{i (θ + 2 πk)} = e^{i θ}$ 就直接展示了这种不唯一性。

利用群乘法作平移，可以把单位元处的切向量移到其他点的切空间。这就是为什么一个切空间的信息，足以重建单位元连通分支内各处的局部乘法。不过，它仍然没有编码所有整体上的等同关系，也不能描述其他不连通分支。李代数提供的是局部结构，而不是群的完整整体身份。

8.8 李括号衡量无穷小操作的顺序效应

给切向量空间配上一个括号运算，就得到李代数。对于矩阵群，这个括号就是对易子：

[X, Y] = X Y - Y X .

它满足双线性、反对称性以及雅可比恒等式：

[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0.

即使不使用矩阵，这些性质也足以抽象地定义李代数。括号运算的结果还必须留在代数中。对于反厄米矩阵， $[X, Y]^{†} = - [X, Y]$ ；对于无迹矩阵， $tr [X, Y] = 0$ 。因此，矩阵的约束条件得以保持。

例题 7：沿一个微小的对易子回路走一圈

把每个指数展开到二阶并相乘：

e^{ϵ X} e^{ϵ Y} e^{- ϵ X} e^{- ϵ Y} = I + ϵ^{2} [X, Y] + O (ϵ^{3}) .

所有一阶位移都相互抵消。剩下的部分衡量的是交换两个无穷小变换顺序所造成的不一致。阿贝尔群的括号为零。非零括号则是非交换性在局部留下的痕迹。

在厄米生成元基中，写成 $[t_{a}, t_{b}] = i f_{ab}^{c} t_{c}$ 。数 $f_{ab}^{c}$ 称为这组基下的结构常数。它们依赖于基和归一化，而李代数本身不依赖这些选择。对于紧群 $S U (N)$ ，采用本文的迹约定后，可以用 $δ_{ab}$ 等同上下李代数指标，并把 $f^{ab c}$ 写成全反对称张量。

对于足够接近单位元、能够展开对数的有限变换，贝克—坎贝尔—豪斯多夫公式系统地处理同一个问题：

lo g (e^{X} e^{Y}) = X + Y + \frac{1}{2} [X, Y] + \frac{1}{12} ([X, [X, Y]] + [Y, [Y, X]]) + \dots .

因此，当 $X$ 与 $Y$ 交换时， $e^{X} e^{Y} = e^{X + Y}$ 成立；但它不是一般的矩阵恒等式。嵌套括号给出了修正项。这个公式是局部展开，不能用来断言存在整体唯一的对数。Etingof 第 7 讲给出了严格的李理论表述。

概念检查。“把群线性化”并不意味着丢掉一切非线性效应。李代数是配备了括号运算的向量空间，这个括号保留了最先出现的非平凡顺序信息。

8.9 泡利矩阵、 $S U (2)$ 与旋转的双覆盖

泡利矩阵给出了一组具体的厄米基：

σ_{1} = (0110), σ_{2} = (0 i - i 0), σ_{3} = (10 0 - 1) .

令 $t_{a} = σ_{a} /2$ 。它们的乘法规律为

σ_{a} σ_{b} = δ_{ab} I + i ϵ_{ab c} σ_{c}, [t_{a}, t_{b}] = i ϵ_{ab c} t_{c}, tr (t_{a} t_{b}) = \frac{1}{2} δ_{ab} .

例如， $σ_{1} σ_{2} = i σ_{3}$ ，而 $σ_{2} σ_{1} = - i σ_{3}$ ，所以 $[t_{1}, t_{2}] = i t_{3}$ 。这里取 $ϵ_{123} = + 1$ 。

每个 $S U (2)$ 矩阵都可以写成 $U = a_{0} I + i a \cdot σ$ ，其中实系数满足 $a_{0}^{2} + ∣ a ∣^{2} = 1$ 。因此，作为流形， $S U (2)$ 是三维球面 $S^{3}$ ，而不是表示空间方向的普通二维球面。

例题 8：旋量旋转与向量旋转

为描述绕单位轴 $n$ 主动旋转角度 $θ$ ，使用

U (n, θ) = e^{- i θ n \cdot σ /2} = I cos \frac{θ}{2} - i n \cdot σ sin \frac{θ}{2} .

负号是量子力学中主动旋转的常用约定，相当于在一般指数 $e^{i α^{a} t_{a}}$ 中选取负的参数。它并不改变李代数，也不改变规范场的约定。

把实向量 $v$ 与无迹厄米矩阵 $V = v \cdot σ$ 对应起来。变换 $V^{'} = U V U^{†}$ 保持厄米性、迹以及 $det V = - ∣ v ∣^{2}$ ，因此定义了 $v$ 的一个正交变换。该变换的行列式为 $+ 1$ ：这个作用连续变化， $S U (2)$ 连通，而且单位元的作用具有行列式 $+ 1$ 。所以它是一个旋转。对于 $z$ 轴，

U σ_{1} U^{†} = cos θ σ_{1} + sin θ σ_{2},

正如预期，它使 $x$ 方向朝 $y$ 方向转动。

$U$ 与 $- U$ 给出同一个 $V^{'}$ 。映射 $S U (2) \to SO (3)$ 是满射，核为 ${I, - I}$ ：

SO (3) ≅ S U (2) / Z_{2} .

连续的旋量旋转在转过 2π 时到达负单位矩阵，在转过 4π 时回到单位矩阵，而对应的空间旋转在转过 2π 时就已闭合。

每个空间旋转在 $S U (2)$ 中有两个提升。图中只跟踪绕一个固定转轴的路径，并不代表整个三维球面。

二分量旋量按 $χ^{'} = U χ$ 变换。当 $θ = 2 π$ 时， $U = - I$ ，所以 $χ^{'} = - χ$ ；当角度为 $4 π$ 时， $U = I$ 。一个孤立的态及其相反数给出相同的概率，但如果比较两条相干路径，它们之间的相对负号就可能影响干涉。因此，双覆盖不只是画图技巧，但也不意味着经典箭头需要转过 $4 π$ 才能复原。

$S U (2)$ 与 $SO (3)$ 的李代数同构，但整体上允许的表示不同。半整数自旋表示是 $S U (2)$ 的表示，却不能下降为 $SO (3)$ 的普通单值表示。参见 Etingof 例 2.13 及覆盖的讨论。

8.10 表示：同一个群，不同种类的对象

向量空间 $V$ 上的一个表示，是同态 $ρ : G \to G L (V)$ 。其定义条件

ρ (g h) = ρ (g) ρ (h),

保证矩阵遵守抽象的复合规律。表示的维数为 $dim V$ 。对光滑表示求导，得到生成元矩阵 $T_{a}$ ，其定义为 $d ρ (i t_{a}) = i T_{a}$ ；因此微分实际作用在反厄米切矩阵上。这些矩阵满足同样的对易关系 $[T_{a}, T_{b}] = i f_{ab}^{c} T_{c}$ 。

$S U (n)$ 的定义表示使用定义该群的矩阵作用于 $C^{n}$ ，通常也称为基本表示。在更一般的数学术语中，一个单群可以有多个基本表示；本文所说的“ $S U (n)$ 的基本表示”，专指这个 $n$ 维定义表示。平凡表示，也称单态表示，把所有群元素都映到 $1$ 。

如果一个表示没有非零的真不变子空间，它就是不可约表示。“基本”与“不可约”不是同义词：许多不可约表示都不是定义表示。对于紧群，有限维酉表示可以分解为不可约表示的直和。

直和独立地作用于两个空间：

(ρ_{1} \oplus ρ_{2}) (g) = (ρ_{1} (g) 0 0 ρ_{2} (g)), dim (V \oplus W) = dim V + dim W .

张量积作用于配对的分量：

(ρ_{1} \otimes ρ_{2}) (g) (v \otimes w) = ρ_{1} (g) v \otimes ρ_{2} (g) w, dim (V \otimes W) = dim V dim W .

求导得到总生成元 $T_{a}^{total} = T_{a}^{(1)} \otimes I + I \otimes T_{a}^{(2)}$ 。这就是角动量相加的来源。

例题 9：两个二重态包含一个三重态和一个单态

取两个 $S U (2)$ 二重态，基为 $∣ ↑ ⟩, ∣ ↓ ⟩$ 。它们的四维张量积可分成对称态

∣ ↑↑ ⟩, \frac{∣ ↑↓ ⟩ + ∣ ↓↑ ⟩}{2}, ∣ ↓↓ ⟩

以及反对称态

∣ s ⟩ = \frac{∣ ↑↓ ⟩ - ∣ ↓↑ ⟩}{2} .

总生成元 $T_{3}$ 在对称态上的特征值为 $1, 0, - 1$ 。三个总生成元作用于 $∣ s ⟩$ 都得到零。因此， $2 \otimes 2 = 3 \oplus 1$ ；若用自旋记号，则是 $\frac{1}{2} \otimes \frac{1}{2} = 1 \oplus 0$ 。维数也一致： $2 \times 2 = 3 + 1$ 。

直和把两个向量空间并列起来，张量积组合它们的分量；两个 SU2 二重态分解为一个三重态与一个单态。

表示告诉我们究竟是什么数学对象在变换。用张量积组合对象，可以找出其中的不变部分。

伴随表示通过共轭作用于李代数自身： $X \mapsto g X g^{- 1}$ 。它的维数等于群的维数。因此， $S U (2)$ 有二维定义表示和三维伴随表示； $S U (3)$ 有三维定义表示和八维伴随表示。规范曲率按伴随表示变换。规范联络则带有额外的导数项，所以它完整的局部变换不只是伴随作用。

对于 $U (1)$ ，连续、单值、不可约的酉表示为 $ρ_{n} (e^{i θ}) = e^{in θ}$ ，其中 $n$ 为整数。周期性要求 $e^{2 πin} = 1$ 。物理上的电荷约定可以把这些整数与耦合常数一起重新缩放；后面会明确解释标准模型的分数超荷如何符合这一结论。

8.11 $S U (3)$ ：三个分量，八个生成元

$S U (3)$ 的基本表示向量有三个复分量：

q = q_{r} q_{g} q_{b}, q^{'} = U q .

红、绿、蓝这些颜色标签表示内部空间的一组基，与光学颜色或空间方向无关。改变这组基会混合各个分量，同时保持 $q^{†} q$ 。一个确定味的夸克是色三重态。上、下、奇是味的标签，不能把它们误认为这个色表示的三个分量。

一般的无迹厄米 $3 \times 3$ 矩阵形如

H = a z_{1}^{*} z_{2}^{*} z_{1} b z_{3}^{*} z_{2} z_{3} - a - b .

两个实数 $a, b$ 与三个复数 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 一共给出八个实参数。这样，无须背下全部八个盖尔曼矩阵，也能具体看出为什么有八个生成元。

通常选用的基是 $t_{a} = λ_{a} /2$ 。其中两个对角生成元为

t_{3} = \frac{1}{2} 100 0 - 1 0 000, t_{8} = \frac{1}{2 3} 100010 00 - 2 .

它们彼此交换，给出一个秩为二的嘉当子代数。其余六个生成元混合成对的颜色分量。左上角的 $2 \times 2$ 泡利矩阵块，加上全为零的第三行和第三列，构成一个 $su (2)$ 子代数： $[t_{1}, t_{2}] = i t_{3}$ 。 $S U (3)$ 内部的子群，并不一定就是标准模型中特定的弱 $S U (2)_{L}$ ；在标准模型里，这两者是独立因子，作用于不同的指标。

例题 10：色单态与色八重态

反夸克使用矩阵 $U^{*}$ ，按复共轭表示 $\overline{3}$ 变换。夸克—反夸克张量可以排成矩阵 $M$ ，按 $M \mapsto U M U^{†}$ 变换。把它分解为

M = \frac{tr M}{3} I + (M - \frac{tr M}{3} I) .

迹的部分在共轭下不变。无迹部分具有八个复分量，按复化的伴随表示变换。因此

3 \otimes \overline{3} = 1 \oplus 8 .

伴随作用所在的李代数自身具有八个实切方向；量子表示空间通常是复空间。这里两种维数在数值上相同，但指的是不同的向量空间。

这个分解有助于组织介子的色波函数，也解释了为什么伴随色标签有八种取值。在标准模型的描述中，胶子是基本规范场的激发，并非字面意义上的夸克—反夸克束缚态。它们的八重代数标签不意味着存在九种独立的色—反色胶子：迹对应的单态并不属于 $su (3)$ 。

8.12 从整体对称性到局部标架的选择

考虑带有内部向量指标的复场 $ψ (x)$ 。整体内部变换在所有位置使用同一个矩阵： $ψ (x) \mapsto U ψ (x)$ ，其中 $U$ 为常数。时空点 $x$ 不变。若 $U$ 为酉矩阵，则 $ψ^{†} ψ$ 这样的项保持不变，而且

\partial_{μ} (U ψ) = U \partial_{μ} ψ .

用相应的不变量组合构造的拉格朗日量，可以具有整体对称性。在通常的假设下，连续的物理整体对称性会给出守恒的诺特流。但仅仅存在整体对称性，并不会迫使自然界引入规范场；构造规范理论是一个额外的物理选择。

现在允许矩阵 $U (x)$ 随位置改变。导数变成

\partial_{μ} (U ψ) = U \partial_{μ} ψ + (\partial_{μ} U) ψ .

额外出现的那一项，就是整个问题所在。相邻两点的分量列表使用了不同的内部标架，因此直接相减，会把场的变化与标架的变化混淆。

想象在每个时空点都放置一个小小的向量空间。这一族空间称为向量丛；其中每个向量空间称为纤维。在每条纤维中选基，就是选择局部标架。联络规定了如何比较相邻纤维中的向量。虽然这种几何与曲面上切向量的平行移动相似，但内部纤维不一定是时空的切空间。色向量处在内部色空间中，而不是描述位移的物理空间中。

例题 11：人为引入的相位梯度

设某种描述中的场为常量 $ψ (x) = ψ_{0}$ ，并沿一个空间方向选取 $U (x) = e^{ik x}$ 。新描述为 $ψ^{'} (x) = e^{ik x} ψ_{0}$ ，其中

\partial_{x} ψ^{'} = ik ψ^{'} .

如果这两种描述代表同一个场构型，那么这个表面上的梯度本身就不能是物理激发。必须用一个补偿联络，抵消仅由相位约定变化所引起的梯度。下一节会明确验证这一抵消。

规范冗余指的是：由允许的规范变换联系起来的构型，代表同一个物理态，而不是系统的不同状态。规范不变量给出物理描述。规范势仍然可以编码非平凡的动力学：去掉冗余坐标，并不意味着去掉物理场强。

这里有一个与边界有关的限定。要求在边界趋近单位元的规范变换属于冗余，而非平凡地作用于渐近或边界数据的变换，则可能携带物理荷。因此，“每个常数规范变换都自动在物理上平凡”是过于笼统的说法。区分物理整体对称性与描述方式的改变，需要指定边界条件。Tong 关于规范不变性的讨论给出了相应的场论背景。

8.13 推导协变导数与联络的变换规律

把规范势写成 $A_{μ} = A_{μ}^{a} t_{a}$ ，并定义

D_{μ} ψ = (\partial_{μ} - i g A_{μ}) ψ .

系数 $g$ 是耦合常数。对于其他表示中的场，把 $t_{a}$ 换成该表示的矩阵 $T_{a}$ ；规范场分量 $A_{μ}^{a}$ 不变。中性单态的生成元为零，使用普通导数。

我们要求协变导数与场本身按相同的方式变换：

D_{μ}^{'} ψ^{'} = U D_{μ} ψ .

展开左边，并消去 $U \partial_{μ} ψ$ ：

(\partial_{μ} U) ψ - i g A_{μ}^{'} U ψ = - i gU A_{μ} ψ .

由于这对任意 $ψ$ 都成立，在右边乘以 $U^{- 1}$ ，得到

A_{μ}^{'} = U A_{μ} U^{- 1} - \frac{i}{g} (\partial_{μ} U) U^{- 1} .

第一项旋转内部分量，第二项则补偿标架随位置的变化。如果省去第二项，协变性的要求就无法满足。等价地，作为微分算符有 $D_{μ}^{'} = U D_{μ} U^{- 1}$ ；这个算符恒等式中的导数作用于其右侧的一切。

例题 12：阿贝尔情形中的抵消，包括符号

对于单位荷的 $U (1)$ 场，取 $U = e^{i gα (x)}$ 。于是 $(\partial_{μ} U) U^{- 1} = i g \partial_{μ} α$ ，因此

A_{μ}^{'} = A_{μ} + \partial_{μ} α .

直接代入可得

(\partial_{μ} - i g A_{μ} - i g \partial_{μ} α) (e^{i gα} ψ) = e^{i gα} (\partial_{μ} - i g A_{μ}) ψ .

相位的导数与规范势的平移项相互抵消。在前面的常量场例子中，令 $A_{x} = 0$ 、 $α = k x / g$ 。变换后的势为 $A_{x}^{'} = k / g$ ，并且 $D_{x}^{'} ψ^{'} = 0$ ，尽管 $\partial_{x} ψ^{'} \neq = 0$ 。

协变的意思是“按照指定方式变换”，并不是“不变”。向量 $D_{μ} ψ$ 按 $U$ 变换，而标量 $(D_{μ} ψ)^{†} D^{μ} ψ$ 保持不变。理解非阿贝尔场强时，必须分清协变与不变。

量纲分析提供了有用的检查。在四维时空中， $\partial_{μ}$ 的质量量纲为一， $g$ 无量纲，因此 $A_{μ}$ 的质量量纲为一。标量物质场的质量量纲为一，费米子场为 $3/2$ ，拉格朗日密度为四。这些是以质量为单位的量纲，不是群或表示的维数。

8.14 曲率、不交换的导数与沿闭合回路的平行移动

普通偏导数衡量沿坐标方向的变化。协变导数还要比较内部标架。因此，比较连续进行的两次协变求导，就是在问：平行移动是否依赖于方向的先后顺序？

例题 13：推导场强

把 $D_{μ} D_{ν} - D_{ν} D_{μ}$ 作用于一个测试场。二阶导数项抵消，因为在该坐标片内偏导数交换；只有一个导数作用于测试场的项也成对抵消。结果是

[D_{μ}, D_{ν}] ψ = [- i g (\partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}) - g^{2} [A_{μ}, A_{ν}]] ψ .

定义

F_{μν} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ} - i g [A_{μ}, A_{ν}], [D_{μ}, D_{ν}] = - i g F_{μν} .

矩阵 $F_{μν}$ 是厄米的： $[A_{μ}, A_{ν}]$ 是反厄米矩阵，乘以 $- i$ 后成为厄米矩阵。写成分量形式，

F_{μν}^{a} = \partial_{μ} A_{ν}^{a} - \partial_{ν} A_{μ}^{a} + g f^{ab c} A_{μ}^{b} A_{ν}^{c} .

这就是规范联络的曲率。其中的非阿贝尔项来自矩阵对易子；如果生成元交换，该项就不存在。

由于 $D_{μ}^{'} = U D_{μ} U^{- 1}$ ，它们的对易子也按共轭变换，所以

F_{μν}^{'} = U F_{μν} U^{- 1} .

对于 $U (1)$ ，这退化为 $F^{'} = F$ 。对于非阿贝尔群，矩阵场强通常是协变的，而非不变的；但由迹的循环性质， $tr (F_{μν} F^{μν})$ 这样的量是不变的。

沿路径 $x (s)$ 的平行移动要求 $\overset{x}{˙}^{μ} D_{μ} ψ = 0$ ，从而得到

\frac{d ψ}{d s} = i g \overset{x}{˙}^{μ} A_{μ} ψ, ψ (y) = W (y, x) ψ (x), W (y, x) = P exp (i g \int_{x}^{y} A_{μ} d x^{μ}) .

路径排序符号 $P$ 把较晚作用的移动矩阵放在左边。之所以需要它，是因为不同位置的矩阵未必交换。

联络用于比较相邻的内部标架；沿一个有方向的微小闭合回路平行移动后，向量可能无法回到原先的内部方向。

按图示方向，先沿正 $μ$ 方向移动，再沿正 $ν$ 方向移动。曲率衡量的是单位面积上首阶的不一致。

对于按 $+ μ, + ν, - μ, - ν$ 顺序绕行的小矩形，固定两个不同方向，并且不对它们求和，有

W_{□} = I + i g F_{μν} δ x^{μ} δ x^{ν} + O (δ x^{3}) .

反转绕行方向会改变面积首项的符号。这里的符号与 $D = \partial - i g A$ 以及上述平行移动方程一致；不能草率地把移动算符与导数对易子直接等同来确定它。

开路径的移动算符按 $W^{'} (y, x) = U (y) W (y, x) U (x)^{- 1}$ 变换。对于以 $x$ 为基点的闭合回路，其迹是规范不变量，这就给出了威尔逊环。平坦联络满足 $F = 0$ ，并且在足够小的单连通区域内，可以通过规范选择局部消去。但绕不可收缩回路仍可能产生非平凡的整体和乐（holonomy，即沿闭合路径平行移动后的净变换）。阿哈罗诺夫—玻姆效应的几何提供了一个阿贝尔例子：即使场强沿可通行的路径处处为零，这些路径仍可能围住非零的通量。

8.15 电磁学与杨—米尔斯动力学

到这里，我们已经推导了变换规律和曲率。物理理论还需要动力学。在四维闵可夫斯基时空中，一个非阿贝尔因子通常使用的规范场动能项为

L_{gauge} = - \frac{1}{2} tr (F_{μν} F^{μν}) = - \frac{1}{4} F_{μν}^{a} F^{a μν},

第二个等号使用了本文在定义表示中的迹归一化。由于 $F$ 按共轭变换，相应的作用量保持不变。关于 $μ, ν$ 的反对称性以及时空度规的缩并保证了洛伦兹不变性。这就是基本的杨—米尔斯动能项。

对于电磁学，选取电磁耦合常数 $e$ 和带符号的无量纲电荷 $q$ ，于是物理电荷为 $e q$ 。那么

D_{μ} = \partial_{μ} - i e q A_{μ}, ψ^{'} = e^{i e q α} ψ, A_{μ}^{'} = A_{μ} + \partial_{μ} α,

并且

F_{μν} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}, L_{EM} = - \frac{1}{4} F_{μν} F^{μν} .

对于电子， $q = - 1$ ，因此这个约定给出 $D_{μ} = \partial_{μ} + i e A_{μ}$ 。如果某份资料在 $D$ 中使用相反的符号，也必须相应地改变配套的变换约定。只要前后一致，可观测预言就不会依赖所选约定。

例题 14：常数势也能产生非零曲率

在一个局部区域中取 $S U (2)$ 规范场，令 $A_{x} = a t_{1}$ 、 $A_{y} = b t_{2}$ 都为常量。所有导数项消失，但

F_{x y} = - i g ab [t_{1}, t_{2}] = g ab t_{3} .

空间上恒定的非阿贝尔联络不一定平坦。这里的场强完全来自不交换的内部平行移动。在阿贝尔情形中，局部区域上的常数势则给出零曲率。

展开杨—米尔斯动能项，就能看出为什么非阿贝尔规范场会彼此相互作用： $F$ 同时包含对 $A$ 为线性的导数项，以及对 $A$ 为二次的项。平方后，就产生规范势的三次项与四次项。在纯阿贝尔麦克斯韦理论中，对易子为零，因此经典规范场动能项中没有类似的光子自相互作用。不过，带电物质仍然可以通过量子圈图产生光子的有效相互作用。

物质场的动力学使用同一个协变导数。例如，标量多重态具有

L_{ϕ} = (D_{μ} ϕ)^{†} D^{μ} ϕ - V (ϕ^{†} ϕ) .

表示决定出现哪些生成元，因而决定场如何耦合。仅凭规范群，不能选定标量势、物质表示或所有允许相互作用的系数。

主课程中的量子场论一章继续讨论规范固定、量子化、传播子、跑动耦合和散射。Tong 的杨—米尔斯讲义更详细地讨论了这套构造；该资料有时把耦合常数吸收到联络的定义中，因此比较公式前，先比较定义。

8.16 读懂标准模型的群与物质场表

熟悉的局部规范结构是

G_{SM} = S U (3)_{c} \times S U (2)_{L} \times U (1)_{Y}, g_{SM} = su (3) \oplus su (2) \oplus u (1) .

下标 $c$ 表示色。下标 $L$ 表示标准模型的左手征费米子属于弱二重态，而带电的右手征费米子属于弱单态。下标 $Y$ 表示超荷。弱 $S U (2)$ 是内部群：不能仅仅因为空间自旋也使用 $S U (2)$ 的数学，就把弱二重态当成空间旋量。

对于狄拉克旋量，手征性由 $P_{L} = (1 - γ^{5}) /2$ 与 $P_{R} = (1 + γ^{5}) /2$ 选出。螺旋度是自旋沿动量方向的投影。对于无质量粒子，两者有特定的对应关系；但对于有质量粒子，不能混用这两个概念。下表中的标签指的是手征性。

我们按 $(R_{c}, R_{L})_{Y}$ 的顺序书写内部表示，并使用 $Q = T_{3} + Y$ 。下表的 $u_{R}, d_{R}, e_{R}$ 是实际的右手征场，而不是它们的左手征电荷共轭场。对于一代粒子：

场	分量	$(S U (3)_{c}, S U (2)_{L})_{Y}$	电荷 $Q$
$Q_{L}$	$(u_{L}, d_{L})^{T}$ ，每个都有三种颜色	$(3, 2)_{1/6}$	$2/3, - 1/3$
$u_{R}$	右手征上夸克，有三种颜色	$(3, 1)_{2/3}$	$2/3$
$d_{R}$	右手征下夸克，有三种颜色	$(3, 1)_{- 1/3}$	$- 1/3$
$L_{L}$	$(ν_{L}, e_{L})^{T}$	$(1, 2)_{- 1/2}$	$0, - 1$
$e_{R}$	右手征带电轻子	$(1, 1)_{- 1}$	$- 1$
$H$	复标量二重态 $(H^{+}, H^{0})^{T}$	$(1, 2)_{1/2}$	$1, 0$

费米子的这些指派在三代中重复出现。希格斯二重态是单独一个标量多重态，不是第四代费米子。最小可重整化标准模型不含 $ν_{R}$ ，并给出无质量中微子；观测到的中微子质量需要高维算符或新场等额外要素。表中的标准指派与约定可对照 Tong 第 5.1 节。

例题 15：读懂一个乘积表示

左手征夸克二重态携带色指标 $a = 1, 2, 3$ 与弱指标 $i = 1, 2$ 。变换形式为

Q_{L}^{ai} ⟼ (U_{c})^{a}_{b} (U_{L})^{i}_{j} e^{i β /6} Q_{L}^{bj} .

内部空间为 $C^{3} \otimes C^{2}$ ，每代共有六个分量。这里是张量积，因为两个因子通过不同的指标作用于同一个场。不同的群因子在这个空间上交换： $U_{c} \otimes I_{2}$ 与 $I_{3} \otimes U_{L}$ 交换。但在任意一个非阿贝尔因子内部，变换一般不交换。

这里的 $β$ 是局部超荷参数。若要用周期为 $2 π$ 的角度表示一个紧致圆，可以使用整数归一化的荷 $n = 6 Y$ ，写成 $e^{in θ}$ ，其中 $β = 6 θ$ 。因此，分数 $Y$ 是归一化约定，并不违反 $U (1)$ 表示的整数规则。

作用于任意标准模型多重态的协变导数为

D_{μ} = \partial_{μ} - i g_{s} G_{μ}^{a} T_{c}^{a} - i g W_{μ}^{i} T_{L}^{i} - i g^{'} B_{μ} Y .

如果场是某个因子的单态，对应生成元就为零。共有八个胶子规范场 $G_{μ}^{a}$ 、三个弱规范场 $W_{μ}^{i}$ ，以及一个超荷规范场 $B_{μ}$ ：电弱对称性破缺之前，共有 $8 + 3 + 1 = 12$ 个代数方向。这些是场的种类标签，不是物理偏振态的数目。带电的右手征费米子仍然耦合于超荷，混合之后也耦合于光子和 $Z$ ；弱单态并不等于没有相互作用。

8.17 光子如何从电弱混合中出现

超荷不是电磁荷。为了看清原因，设希格斯场的势能在 $H^{†} H = v^{2} /2$ 处达到极小值。在一个方便的规范中，选择真空的代表元

⟨ H ⟩ = \frac{1}{2} (0 v) .

下分量具有 $T_{3} = - 1/2$ 与 $Y = + 1/2$ ，因此

(T_{3} + Y) ⟨ H ⟩ = 0.

所以组合 $Q = T_{3} + Y$ 保持这个代表元不变。这就确定了未破缺的电磁生成元。通常所谓“电弱对称性破缺”描述的是这个希格斯机制；局部规范冗余并不是一种能以整体对称性同样的意义发生破缺的物理对称性。固定规范后的真空语言，是计算物理谱的一种有效方法。

例题 16：求出中性场的混合矩阵

把常量的希格斯代表元代入 $(D_{μ} H)^{†} D^{μ} H$ 。取 $T_{i} = σ_{i} /2$ 、 $Y = 1/2$ ，规范场的二次项为

\frac{v ^{2}}{8} [g^{2} ((W_{μ}^{1})^{2} + (W_{μ}^{2})^{2}) + (g W_{μ}^{3} - g^{'} B_{μ})^{2}],

其中每个平方都表示洛伦兹指标的缩并。质量项中只出现一个中性组合。定义

tan θ_{W} = \frac{g ^{'}}{g}, A_{μ} = sin θ_{W} W_{μ}^{3} + cos θ_{W} B_{μ},

Z_{μ} = cos θ_{W} W_{μ}^{3} - sin θ_{W} B_{μ}, W_{μ}^{\pm} = \frac{W _{μ}^{1} \mp i W _{μ}^{2}}{2} .

则 $g W^{3} - g^{'} B = g^{2} + g^{'2} Z$ 。与它正交的组合 $A$ 没有由希格斯机制产生的质量，它就是光子场。在树图阶，

m_{W} = \frac{gv}{2}, m_{Z} = \frac{v g ^{2} + g ^{'2}}{2}, m_{A} = 0.

把混合关系的逆变换代入协变导数的中性部分。 $A_{μ}$ 的系数为

g sin θ_{W} T_{3} + g^{'} cos θ_{W} Y = e (T_{3} + Y) = e Q, e = g sin θ_{W} = g^{'} cos θ_{W} .

这样就同时推导出了电荷算符和电磁耦合关系。光子是两个原始规范场的混合，而不只是改了名字的超荷场。这些公式是树图阶关系；精密电弱分析还需要重整化，并指定相应的方案。

色、弱和超荷因子分别贡献八个、三个和一个生成元；希格斯机制之后，中性弱场与超荷场混合成光子场和 Z 场。

乘积群作用于内部指标。电弱混合组合 $W^{3}$ 与 $B$ ，而色仍是独立的规范因子。

例题 17：恢复熟悉的电荷

对于 $Q_{L}$ ， $T_{3}$ 的特征值为 $+ 1/2, - 1/2$ ，而 $Y = 1/6$ 同时乘在两个分量上。因此 $Q (u_{L}) = 1/2 + 1/6 = 2/3$ ， $Q (d_{L}) = - 1/2 + 1/6 = - 1/3$ 。对于 $L_{L}$ ， $Y = - 1/2$ ，所以 $Q (ν_{L}) = 0$ ， $Q (e_{L}) = - 1$ 。弱单态的 $T_{3} = 0$ ，因此电荷就等于表中列出的 $Y$ 。

在希格斯机制发生之前，电弱描述具有四个无质量规范场，每个有两个物理偏振，再加上四个实希格斯分量，共有 $8 + 4 = 12$ 个物理自由度。之后有三个有质量矢量玻色子，每个有三个偏振；一个光子，有两个偏振；再加上一个希格斯标量，共有 $9 + 2 + 1 = 12$ 个自由度。这个微扰计数说明，纵向矢量模式如何出现，而不额外创造自由度。八个胶子在拉格朗日量中仍然无质量；禁闭涉及它们在长距离上的物理实现，并不是希格斯质量项。

8.18 整体结构，以及对称性尚未完成的任务

前面对 $S U (2)$ 与 $SO (3)$ 的比较，为理解标准模型记号中的一个细节做好了准备。指定李代数及其局部耦合，并不能唯一确定规范群的整体形式。

用 $n = 6 Y$ 归一化超荷圆，并令 $ω = e^{2 πi /3}$ 。考虑中心元素

z = (ω I_{3}, - I_{2}, e^{iπ /3}) \in S U (3) \times S U (2) \times U (1) .

它对场的作用包含相位 $(e^{iπ /3})^{6 Y}$ 。对于 $Q_{L}$ ，总因子是 $ω (- 1) e^{iπ /3} = 1$ 。对于 $L_{L}$ ，因子为 $(- 1) e^{- iπ} = 1$ ；对于 $H$ ，则为 $(- 1) e^{iπ} = 1$ 。对于 $u_{R}, d_{R}, e_{R}$ ，分别是 $ω e^{4 πi /3} = 1$ 、 $ω e^{- 2 πi /3} = 1$ 和 $e^{- 2 πi} = 1$ 。

因此，表中的物质场无法区分由 $z$ 生成的子群，也就是 $Z_{6}$ 。它们的局部表示与以下整体形式都相容：

\frac{S U ( 3 ) \times S U ( 2 ) \times U ( 1 )}{Γ}, Γ \subseteq Z_{6},

其中可以取平凡子群、 $Z_{2}$ 、 $Z_{3}$ 或 $Z_{6}$ 。若声称熟悉的粒子表已经唯一确定了最大的商群，就说得过头了。尽管这些选择共享本文讨论的局部微扰数据，它们允许的线算符、丛以及磁性扇区仍可能不同。Tong 第 5.1.6 节解释了这一限定。

还有其他尚未完成的任务。规范不变性约束相互作用，但量子一致性还要求规范反常相消。作为一个简短的例子，混合 $S U (2)^{2} U (1)$ 反常中，二重态贡献正比于

3 (\frac{1}{6}) + (- \frac{1}{2}) = 0.

因子三来自夸克的颜色数；这里省略了共同的二重态迹归一化因子 $1/2$ 。这只展示了一种反常的相消，并不能证明所有反常都消失。完整计算包括三次反常、混合反常和整体反常，并须一致地使用手征性约定。在全用左手征场写成的表中，对右手征场取共轭时，也必须共轭其色表示，并反转超荷。

规范不变性允许 $\overline{L}_{L} H e_{R}$ 这样的汤川相互作用：它的超荷之和为 $+ 1/2 + 1/2 - 1 = 0$ 。但它不预言汤川耦合的具体数值。群的名称也无法推导出希格斯势、禁闭、三代粒子、中微子质量、暗物质或引力。这些问题需要进一步的动力学、证据或理论扩展。

我们已经建立了一套可以读懂的结构：群的复合告诉我们变换如何组合；李代数告诉我们它们局部的非交换性；表示告诉我们哪些场携带哪些荷；联络比较内部标架；曲率与不变作用量确定规范动力学。物理学前沿一章把这套结构放进已确立物理与未解问题的更广阔版图中。

8.19 附答案的练习

先自己尝试计算，再阅读答案。目标是重现推理过程，而不是背诵一串群的名称。

练习 1：子群与反例

偶整数是 $(Z, +)$ 的子群吗？正实数是非零实数乘法群的子群吗？

**答案。**两者都是子群。偶整数包含 $0$ ，对加法封闭，也包含加法逆元。正实数包含 $1$ ，对乘法封闭，倒数也为正。不过，正数在加法下不能组成群，因为其中既没有 $0$ ，也没有加法逆元。一定要说明所用的运算。

练习 2：逆元与三角形

利用 $r^{3} = s^{2} = e$ 与 $srs = r^{- 1}$ ，求 $(sr)^{- 1}$ ，并证明 $(sr)^{2} = e$ 。

**答案。**逆序规则给出 $(sr)^{- 1} = r^{- 1} s$ 。在 $srs = r^{- 1}$ 左边乘以 $s$ ，得到 $rs = s r^{- 1}$ ；等价地， $sr = r^{- 1} s$ 。因此 $(sr)^{- 1} = sr$ 。也可以直接计算 $srsr = r^{- 1} r = e$ 。乘积 $sr$ 是一个反射，与置换 $(13)$ 相符。

练习 3：行列式与维数

$diag (e^{i α}, e^{i β})$ 属于 $S U (2)$ 吗？ $S U (4)$ 有多少个独立实参数？

**答案。**这个对角矩阵总是酉矩阵，但只有当 $α + β$ 是 $2 π$ 的整数倍时，才是特殊酉矩阵。维数公式给出 $4^{2} - 1 = 15$ 。定义表示的复维数为四，这是另一个不同的数字。

练习 4：计算生成元的对易子

取 $t_{a} = σ_{a} /2$ ，计算 $[t_{2}, t_{3}]$ 与 $tr (t_{3}^{2})$ 。

**答案。**因为 $σ_{2} σ_{3} = i σ_{1}$ ， $σ_{3} σ_{2} = - i σ_{1}$ ，所以对易子是 $i t_{1}$ 。此外， $t_{3}^{2} = I /4$ ，其迹为 $2/4 = 1/2$ 。漏掉这些二的因子，会改变结构常数或耦合的归一化。

练习 5：哪些表示能够下降到 $SO (3)$ ？

一个不可约 $S U (2)$ 表示的自旋为 $j$ ，维数为 $2 j + 1$ 。一次 $2 π$ 旋转的作用是 $(- 1)^{2 j} I$ 。哪些 $j$ 值给出 $SO (3)$ 的表示？

**答案。**一个表示能够通过对 ${I, - I}$ 取商而下降，当且仅当 $- I$ 的作用平凡。这在整数 $j = 0, 1, 2, \dots$ 时成立。半整数 $j$ 会给出非平凡的负号，因而不能下降。这是仅凭局部对易关系无法看出的整体限制。

练习 6：相加两个 $U (1)$ 荷

两个场分别按 $ϕ \mapsto e^{in θ} ϕ$ 和 $χ \mapsto e^{im θ} χ$ 变换。 $ϕ χ$ 与 $ϕ^{*} χ$ 的荷分别是多少？

**答案。**相乘相位，得到荷 $n + m$ 与 $m - n$ 。复共轭使 $U (1)$ 荷反号。这是取张量积与共轭表示的阿贝尔版本，也说明了怎样快速检查相互作用项的总超荷是否为零。

练习 7：纯规范势

从 $A_{μ} = 0$ 出发，施加光滑的变换 $U (x)$ 。 $A_{μ}^{'}$ 是什么？其曲率是多少？

**答案。**规范势为 $A_{μ}^{'} = - (i / g) (\partial_{μ} U) U^{- 1}$ 。曲率为零，因为 $F^{'} = U F U^{- 1} = 0$ 。势可以不为零，而场强为零。这是在一个局部区域上使用光滑规范变换得到的局部结论；整体拓扑可能阻止我们用同一个规范选择覆盖整个构型。

练习 8：微小的非阿贝尔回路

设 $A_{x} = a t_{1}$ 、 $A_{y} = b t_{2}$ 为常量。求沿面积为 $S$ 、取正向的微小 $x y$ 矩形回路平行移动的首阶结果。

**答案。**第 8.15 节给出 $F_{x y} = g ab t_{3}$ ，所以 $W_{□} = I + i g^{2} ab S t_{3} + \dots$ 。第一个非零效应正比于面积，而不是周长。反转回路方向会反转这一首项的符号。

练习 9：数一代费米子

计算 $Q_{L}, u_{R}, d_{R}, L_{L}, e_{R}$ 的内部分量数，不要把洛伦兹旋量分量再数一遍。若加入一个惰性 $ν_{R}$ ，会有什么变化？

**答案。**每代共有 $3 \times 2 + 3 + 3 + 2 + 1 = 15$ 个外尔场。规范单态 $ν_{R}$ 再增加一个，总共十六个，其指派为 $(1, 1)_{0}$ 。这个计数既不是规范生成元数，也不是按名称区分的粒子味数。

练习 10：检查汤川耦合

检查 $\overline{Q}_{L} H d_{R}$ 与 $\overline{Q}_{L} H u_{R}$ 的总超荷是否为零，其中 $H = i σ_{2} H^{*}$ 。

**答案。**对 $Q_{L}$ 取共轭，得到超荷 $- 1/6$ 。第一个和为 $- 1/6 + 1/2 - 1/3 = 0$ 。由于 $H$ 具有 $Y = - 1/2$ ，第二个和为 $- 1/6 - 1/2 + 2/3 = 0$ 。色指标在 $\overline{3}$ 与 $3$ 之间缩并；弱二重态指标也缩并成单态。总超荷为零是必要条件，但必须检查所有群因子。

练习 11：找出电磁生成元

对于超荷为 $y$ 的二重态，求两个分量的电荷。 $y$ 取什么值时，下分量不带电？

**答案。**电荷分别为 $y + 1/2$ 与 $y - 1/2$ 。当 $y = 1/2$ 时，下分量中性，正是希格斯的指派。中性的真空分量使组合 $T_{3} + Y$ 在希格斯描述中保持未破缺。

练习 12：读出群标签没有指定的内容

两个理论具有相同的规范代数 $su (3) \oplus su (2) \oplus u (1)$ 。它们必须具有相同的粒子、耦合、整体群和预言吗？

**答案。**不必。它们可以具有不同的物质表示、耦合数值、标量势或整体商群，只需满足反常相消等一致性条件。即使局部场的内容完全相同，也可能允许不同的整体选择。代数约束一个理论，但不是整个理论。

8.20 术语表、阅读路线与参考资料

术语	本章中的含义
群	具有满足结合律的复合运算、单位元和逆元的集合。
阿贝尔	任意两个群元素都交换。
作用	群以一致的规则变换某个集合。
同态	保持复合规律的映射。
核	被映到恒等变换的元素。
忠实	核平凡，因而不同群元素仍然可区分。
李群	具有光滑群运算的光滑流形。
李代数	单位元处的切空间，配备李括号。
生成元	无穷小变换，在物理中常用厄米基书写。
结构常数	在选定基中，把生成元对易子展开所得到的系数。
表示	群通过可逆线性映射作用于向量空间。
不可约	没有非零的真不变子空间。
定义表示	定义经典矩阵群时所用的标准矩阵作用。
伴随表示	通过共轭作用于李代数的表示。
单态	指定群的一维平凡表示。
联络	比较相邻点内部向量的规则。
曲率	协变导数或无穷小平行移动不交换的程度。
和乐（holonomy）	沿闭合路径平行移动后产生的净变换。
规范不变	在允许的规范变换下保持不变。
规范协变	按指定的表示规律变换。
超荷	$U (1)_{Y}$ 的生成元，本文按 $Q = T_{3} + Y$ 归一化。
手征性	由 $γ^{5}$ 选出的左或右洛伦兹旋量部分；对有质量粒子而言，不同于螺旋度。

如果计算卡住了，就回到最小的具体例子。在三角形的一个顶点上检验复合操作，用泡利矩阵检验矩阵恒等式，用乘在常量场上的相位检验规范变换的符号，用希格斯二重态的下分量检验标准模型的电荷。这些检查把抽象记号与可以明确执行的操作联系起来。

下面的数学资料建立了相关定义与定理；物理资料提供场论约定与标准模型背景。本文的文字、例题和示意图均为原创，记号经过统一，以保持内部一致，而不是不加区分地从不同参考资料中照搬。

Pavel Etingof，《李群与李代数 I》，MIT 18.745。第 2—7 讲发展李群、覆盖、指数映射与括号；第 9 讲介绍表示。这是第 8.6—8.10 节在数学上的延伸。
Eckhard Meinrenken，《李群与李代数》，多伦多大学。从另一个角度介绍矩阵群、指数映射以及整体与局部结构。如果需要从几何上再次理解 $S U (2)$ 与 $SO (3)$ 的区别，这份资料很有帮助。
Peter Woit，《李群与表示》中的李代数讲义，哥伦比亚大学，以及表示的一般性质。这些资料发展切空间的约定，以及不变子空间、直和与张量积的语言。
Hugh Osborn，《对称性与群》，剑桥大学。适合需要在数学与物理记号之间切换、继续学习群论和表示论的读者。
David Tong，《标准模型》第 1 章：对称性，剑桥大学。第 1.3 节联系了麦克斯韦理论、李代数和杨—米尔斯理论，为第 8.12—8.15 节使用的规范理论框架提供依据。
David Tong，《规范理论》第 2 章：杨—米尔斯理论。由此可以进一步学习威尔逊线、非阿贝尔动力学和量子规范理论。阅读时要留意耦合常数是否已包含在联络定义中。
David Tong，《标准模型》第 5 章：电弱相互作用。第 5.1—5.2 节涵盖场的指派、反常约束、规范群整体形式的选择以及电弱混合。本文的顺序 $(R_{c}, R_{L})_{Y}$ 把色放在前面；资料中采用自己的排列顺序，所以应比较标签，而不是列的位置。

在 Open Physics Notes 中继续学习时，可以阅读微分几何来掌握几何语言，阅读量子场论来学习动力学与量子化，并阅读物理学前沿来了解标准模型更广泛的背景及其局限。

群、李代数与规范理论

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