电磁学

4.1 引言：电、磁与光

电磁学研究连接世界的无形纽带：跃动的火花、转动的指南针，以及传递星辰信息的光。在统一理论形成之前，电与磁各自作为奇异现象被研究，其历史都可以追溯到古代。

4.1.1 古代的奇异现象

“电”的英文 electricity 源自希腊语 elektron，意为琥珀。相传约公元前600年，米利都的 泰勒斯 注意到，用毛皮摩擦琥珀能够吸引小物体。静电虽然令人困惑，却长期只是有趣的现象。中国和希腊也早已知道天然磁石，即具有天然磁性的矿石。人们利用磁石在地磁场中定向的性质制造指南针，远早于理解其物理原理。

然而，在漫长岁月里，电与磁主要存在于奇闻和导航技术中，尚未成为系统科学。

4.1.2 启蒙时代的早期实验

十八世纪，电学实验成为引人注目的展示。本杰明·富兰克林 著名的风筝实验故事表明，雷电与电火花具有共同性质。他引入正电荷和负电荷的术语，并推广电荷守恒的思想。

与此同时，意大利的实验揭示了电与生物的联系。路易吉·伽伐尼 发现蛙腿接触金属时会抽动，提出“动物电”的解释。亚历山德罗·伏打 对此有不同看法，强调不同材料接触所产生的电效应，并于1800年制造出第一种 伏打电堆，即早期电池。人们第一次获得了连续、可控制的电流源，一场变革由此开始。

十九世纪二十年代，格奥尔格·欧姆 定量描述了电流、电压与电阻的关系：

$$V=IR.$$

欧姆定律起初受到质疑，后来成为电路理论的基石。电学正从奇异现象转变为定量科学。

4.1.3 磁的奥秘

磁学也在发展。指南针对航海探索不可或缺。威廉·吉尔伯特在1600年的《论磁》中提出，地球本身就是一块巨大的磁体。但电与磁在当时仍被作为不同现象研究，它们之间的联系尚未得到实验确立。

十九世纪改变了这一局面。

4.1.4 工业革命与动力的追寻

十九世纪初，蒸汽机驱动工厂和铁路，电气技术也开始出现。电报预示着跨越大陆的快速通信。科学家们开始追问：电能否驱动机器、传输能量、照亮城市？回答这些问题需要更深入的理论。

4.1.5 光的谜题

另一条线索是 光。牛顿曾把光描述为粒子；托马斯·杨和奥古斯丁·菲涅耳则通过干涉与衍射确立了其波动性质。但光究竟是什么波？声音需要介质，水波需要水，那么光靠什么穿过真空？物理学家为此提出充满空间的假想物质——光以太。

统一的舞台已经搭好。十九世纪将揭示，电、磁与光是同一深层物理规律的不同表现。

电学始于摩擦琥珀，磁学始于天然磁石，光学则面对神秘的波。到十九世纪初，电池、电路和指南针已把这些现象转变为有力工具，但它们仍分属不同领域。接下来，我们将追随奥斯特、安培、法拉第与麦克斯韦，理解电磁学的统一如何实现。

4.2 奥斯特、安培与电磁联系的发现

十九世纪初，电与磁仍是不同的研究主题：电池产生稳定电流，磁体使指南针定向。两者的统一尚未确立，直到哥本哈根的一次实验改变了物理学。

4.2.1 汉斯·克里斯蒂安·奥斯特与发现的契机

汉斯·克里斯蒂安·奥斯特（1777—1851）是丹麦物理学家和哲学家。受浪漫主义自然哲学影响，他相信自然具有统一性，电、磁、化学与光彼此联系。他多年寻找证据，却一直没有明确结果。

1820年，奥斯特在实验教学中注意到，通电导线会使附近的指南针偏转。电似乎能够影响磁。这不是微不足道的细节，而是说明 电流会产生磁场。

这一发现迅速传遍欧洲。几个月内，许多物理学家和数学家开始定量研究。其中的 安德烈-玛丽·安培 将奠定电动力学的数学基础。

4.2.2 安培的实验与定律

法国数学家、物理学家 安德烈-玛丽·安培（1775—1836）深受奥斯特报告的吸引。他意识到关键不是静电，而是 电流，于是将载流平行导线并排放置，测量它们之间的力。

他发现，两条平行电流同向时相吸，反向时相斥。这揭示了运动电荷之间的相互作用，超出了静电力的范围。

安培推导出定量关系。两条相距 $r$ 的长直平行导线，其单位长度所受的力为

$$\frac{F}{L}=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{I_1{I}_2}{r},$$

其中 $I_1$ 和 $I_2$ 为电流。这个结果如此基本，以至于国际单位制中安培的历史定义曾以它为基础。

更一般地，安培定律指出，在稳恒电流条件下，磁场 $\mathbf{B}$ 沿闭合回路的环流与所包围的电流成正比：

$$\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}={\mu }_0{I}_{\text{enc}}.$$

这一 安培环路定律 在加入位移电流修正后，成为麦克斯韦方程组的一部分。稳恒情形的现代矢量微积分形式为：

$$\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}.$$

4.2.3 毕奥—萨伐尔定律

与此同时，让-巴蒂斯特·毕奥和费利克斯·萨伐尔研究了电流产生的磁场。他们建立的 毕奥—萨伐尔定律 描述电流元 $Id\mathbf{l}$ 在位置 $\mathbf{r}$ 产生的磁场：

$$d\mathbf{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\mathbf{l}\times \hat{\mathbf{r}}}{r^2}.$$

沿导线积分即可得到总磁场。毕奥—萨伐尔定律与静电学中的库仑定律相似，但其中的叉积体现了磁场方向与电流和观测位置之间的旋转关系。

4.2.4 实验成果的影响

这些发现不只具有学术意义，也奠定了改变社会的技术基础：

• 电磁铁。 将导线绕在铁芯上，可以用电流产生强大且可控制的磁场，用于电报和电动机。
• 测量标准。 可通过磁针偏转测量电流，使电与磁在计量学中联系起来。
• 数学电动力学。 安培定律给出一个统一原理：电流是磁场的源。

4.2.5 哲学上的回响

奥斯特的实验支持了他关于自然统一性的直觉，安培则用数学定量揭示这种统一。电与磁不再是彼此独立的奇异现象，而是深度关联的过程。若把自然现象比作神秘字母，奥斯特与安培已开始读懂其中的词句。

4.2.6 通向法拉第与麦克斯韦

故事并未就此结束。十九世纪三十年代，迈克尔·法拉第 进一步发现，不仅电流产生磁场，变化的磁场也能产生感应电流。这一电磁感应原理，见第4.3节，后来帮助麦克斯韦完成统一，并指出光本身就是电磁波。

小结： 1820年，奥斯特观察到的磁针偏转开启了一场变革。安培的系统研究将新相互作用定量化：电流产生磁场，电流之间的力服从精确规律。毕奥—萨伐尔定律与安培环路定律为电磁学提供了严密方程。从课堂现象出发的研究，最终成为现代电动力学的基础。

4.3 法拉第与场的概念

如果说奥斯特和安培揭示了电与磁的联系，那么 迈克尔·法拉第（1791—1867）则赋予这一联系更深的内涵。他的实验表明，磁也能用于产生电，而“力线”的思想为现代场概念奠定了基础。

4.3.1 法拉第的生平与品格

法拉第出生于伦敦贫困家庭，几乎没有接受正式教育。他做过装订学徒，广泛阅读经手的科学书籍，并前往皇家研究院听著名化学家汉弗里·戴维的讲座。凭借勤奋，他成为戴维的助手，最终跨越社会阶层的障碍，成为历史上最杰出的实验家之一。

法拉第并非数学家，曾坦言自己缺乏数学知识。然而，他通过直觉、实验和想象力发现了后来由麦克斯韦用数学表达的规律。他体现了实验科学的精神：细致观察、巧妙装置和持续的好奇心。

4.3.2 电磁感应的发现

奥斯特之后的核心问题是：既然电流产生磁场，磁能否产生电流？1831年，法拉第用 电磁感应 的发现给出了答案。

他在铁环上绕两组线圈，一组接电池，另一组接检流计。他发现，只有接通或切断电流时，检流计指针才偏转。稳定电流不会持续产生这种效应；只有 磁通量变化 才会在线圈中感应出电流。

法拉第由此得出：随时间变化的磁场可以产生感应电动势。这揭示了深刻的对应关系：电流产生磁场，变化的磁场产生电场。

4.3.3 法拉第电磁感应定律

法拉第将实验概括为一条定律：

$$\mathcal{E}=-\frac{d{\Phi }_B}{dt},$$

其中 $\mathcal{E}$ 是感应电动势，${\Phi }_B$ 是穿过回路的磁通量：

$${\Phi }_B=\int \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.$$

负号体现 楞次定律：感应电流的效果阻碍磁通量的变化，这与能量守恒相一致。

其现代矢量微积分形式为：

$$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.$$

这就是法拉第定律，是麦克斯韦方程组的四个方程之一。

4.3.4 力线与场的概念

法拉第不擅长微积分，便用 力线 描述发现。他把电与磁的作用想象成贯穿空间、在局部施加影响的线。对于习惯“超距作用”的同时代人，这一思想十分新颖。法拉第坚持认为，空间中的场具有真实的物理作用。

把场视为物理实体，是一次重要的概念飞跃。它使物理学逐渐摆脱力能跨越空旷空间瞬时作用的观念。对法拉第来说，场是可以想象、可以画出的真实结构。

4.3.5 实验成就

法拉第的实验室不断产生新的发现：

• 磁体与导体的相对运动。 他展示了导体在磁场中的运动如何产生感应电流，这构成发电机的基础。
• 磁光效应：法拉第效应。 他发现磁场可以使通过玻璃的偏振光的偏振面旋转，揭示电磁学与光学的联系。
• 电化学。 他建立电解定律，并引入电极、阳极、阴极等术语。

这些成果展现了他广泛的实验能力和深刻直觉。

4.3.6 法拉第对麦克斯韦的影响

法拉第虽然主要使用定性语言，但力线抓住了关键物理结构。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦 后来把这些图像转化为方程，明确承认法拉第力线思想可以用数学表达，并成为电磁理论发展的基础。

法拉第由此连接了实验与理论；他的物理图像是麦克斯韦综合理论的重要来源。

4.3.7 技术影响

法拉第的感应原理使电力的大规模应用成为可能：

• 发电机。 磁场中的机械旋转成为发电的基础，为工业提供电力。
• 变压器。 线圈间的电磁感应能够高效转换电压，是电网的重要组成部分。
• 电动机。 电流在磁场中产生运动，实现相反方向的能量转换。

法拉第的发现构成了现代电气技术的重要基础。

4.3.8 哲学意义

法拉第的场概念重塑了物理学。空间中存在具有物理作用的场，这一思想为麦克斯韦方程乃至后来的时空理论开辟了道路。场不只是数学上的便利，而是自然界的真实参与者。爱因斯坦后来也高度评价这一概念，认为它是物理学基本观念中最富成果的变化之一。

4.4 麦克斯韦的综合：场的方程

如果法拉第提供了实验图景，那么 詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（1831—1879）则为电磁学建立了数学框架。麦克斯韦方程统一电、磁与光，表明光本身就是电磁波。物理学因此获得了新的预测能力与研究范式：自然可以由服从微分方程的场来描述。

4.4.1 科学家麦克斯韦

麦克斯韦出生于苏格兰爱丁堡，很早就展现数学才能，并深受法拉第著作影响。法拉第画出的力线，被他转化为微积分。他还研究色觉、土星环稳定性和气体动理论，而最重要的成就是电磁学的统一。

麦克斯韦也重视科学方法。他认为，方程之外还需要模型、类比和可视化。他将直觉与数学结合，继承了法拉第的思想，也预示了现代场论。

4.4.2 现代形式的麦克斯韦方程组

麦克斯韦综合库仑、安培、法拉第和高斯等人的实验规律；用现代记号，可写成四个微分方程：

1. 高斯定律：电场。
   $\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$
   电荷密度 $\rho$ 是电场的源。

2. 磁场的高斯定律。
   $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$
   在这一理论中没有磁单极子，磁力线没有孤立的起点或终点。

3. 法拉第电磁感应定律。
   $\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$
   随时间变化的磁场产生电场。

4. 安培—麦克斯韦定律。
   $\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$
   电流与变化的电场产生磁场。

关键的新项是 位移电流项（${\mu }_0{\epsilon }_0\partial \mathbf{E}/\partial t$），它使方程与电荷守恒相容。没有这一项，安培定律在电容器充电等情形下会出现矛盾；加入之后，方程获得了完整性，并显露电场与磁场之间的对应关系。

4.4.3 波动方程与光的本性

在无源自由空间中（$\rho =0$，$\mathbf{J}=0$），结合两条旋度方程。先对法拉第定律取旋度：

$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=-\frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B}).$$

代入安培—麦克斯韦定律：

$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}.$$

利用矢量恒等式 $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E})-{\nabla }^2\mathbf{E}$，以及自由空间中的高斯定律 $\nabla \cdot \mathbf{E}=0$：

$${\nabla }^2\mathbf{E}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}.$$

得到一个 波动方程，其波速为

$$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}.$$

将 ${\mu }_0$ 与 ${\epsilon }_0$ 的数值代入，得到 $c\approx 3.0\times 10^{8}m/s$，恰好等于测得的光速。因此，光是一种电磁波。这是科学史上极其重要的理论预言：光学被纳入电磁学。

4.4.4 场能与坡印廷矢量

电磁理论还表明，场携带能量和动量。其 能量密度 为

$$u=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}{B}^2,$$

而 坡印廷矢量

$$\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}$$

表示电磁场的能流密度。因此，光不仅是振荡，也是能量的传播。辐射压与动量交换后来也获得了实验验证。

4.4.5 对称性与统一

麦克斯韦方程通过时间变化将 $\mathbf{E}$ 与 $\mathbf{B}$ 耦合起来，并体现电荷、能量和动量的局部守恒。力由局部场产生，变化以有限速度传播，取代了瞬时超距作用的图景。

这一结构启发了后来的推广。在相对论中，麦克斯韦方程可以写成简洁的张量形式：

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu },{\partial }_{[\alpha }{F}_{\beta \gamma ]}=0,$$

其中 $F^{\mu \nu }$ 为电磁场张量。电与磁的统一预示了更深层的统一思想。

目标。 说明如何将下面四个三维矢量形式的麦克斯韦方程

$$\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0},\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},\nabla \cdot \mathbf{B}=0,\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$$

合并为以下协变形式的一对方程：

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu },{\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0,$$

如果进一步将 $F$ 与其对偶组合，还可写成 一个 复数方程。

1. 准备：四维记号与约定

我们在平直时空中工作，采用度规 ${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$ 和坐标 $x^{\mu }=(ct,x,y,z)$。 显式保留国际单位制中的常数，因此 $c=1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}$。

• 四维梯度： ${\partial }^{\mu }=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},-\nabla \right)$
• 四维电流：$J^{\mu }=(c\rho ,\mathbf{J})$
• 四维势：$A^{\mu }=\left(\frac{\varphi }{c},\mathbf{A}\right)$

定义 电磁场张量：

$$F_{\mu \nu }\equiv {\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu },F^{\mu \nu }={\eta }^{\mu \alpha }{\eta }^{\nu \beta }{F}_{\alpha \beta }.$$

其对偶为：

$${\tilde{F}}^{\mu \nu }\equiv \frac{1}{2}{\epsilon }^{\mu \nu \alpha \beta }{F}_{\alpha \beta },{\epsilon }^{0123}=+1.$$ $$F^{i0}=+\frac{E^i}{c},F^{0i}=-\frac{E^i}{c},F^{ij}=-{\epsilon }^{ijk}{B}_k.$$

矩阵形式：

$$F^{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}0& -E_x/c& -E_y/c& -E_z/c\\ E_x/c& 0& -B_z& B_y\\ E_y/c& B_z& 0& -B_x\\ E_z/c& -B_y& B_x& 0\end{array}\right).$$

由势可得：

$$\mathbf{E}=-\nabla \varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t},\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}.$$

2. 从几何得到齐次方程

由于 $F=dA$，有

$${\partial }_{\alpha }{F}_{\beta \gamma }+{\partial }_{\beta }{F}_{\gamma \alpha }+{\partial }_{\gamma }{F}_{\alpha \beta }=0,$$

即

$${\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0⟺\nabla \cdot \mathbf{B}=0,\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.$$

3. 非齐次方程

方程为：

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu },J^{\nu }=(c\rho ,\mathbf{J}).$$

（a）$\nu =0$

$${\partial }_i{F}^{i0}=\frac{1}{c}\nabla \cdot \mathbf{E}={\mu }_{0}c\rho \Rightarrow \nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}.$$

（b）$\nu =i$

$${\partial }_0{F}^{0i}+{\partial }_j{F}^{ji}=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial E^i}{\partial t}+(\nabla \times \mathbf{B}{)}^i={\mu }_0{J}^i.$$

因此

$$\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$$

4. 一个复数方程

定义

$${\mathcal{F}}^{\mu \nu }=F^{\mu \nu }-i{\tilde{F}}^{\mu \nu }.$$

则

$${\partial }_{\mu }{\mathcal{F}}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu },$$

这一形式同时包含齐次与非齐次方程。

5. 速查

• 矢量形式：

$$\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0},\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},\nabla \cdot \mathbf{B}=0,\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$$

• 协变形式的一对方程：

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu },{\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0.$$

• 合并形式：

$${\partial }_{\mu }(F^{\mu \nu }-i{\tilde{F}}^{\mu \nu })={\mu }_0{J}^{\nu }.$$

4.4.6 实验验证

十九世纪八十年代，德国物理学家 海因里希·赫兹 产生并探测到无线电波，证实麦克斯韦的预言。他的实验展示了与光相同的反射、折射和干涉现象，拓展了已知电磁频谱。后来，马可尼将这些波用于无线通信，推动了社会变革。

4.4.7 哲学与历史意义

麦克斯韦的统一可与牛顿相比：牛顿统一了天体与地面力学，麦克斯韦统一了电、磁与光。两者都把原本分离的现象纳入同一个理论框架。

在观念上，麦克斯韦把场提升为物理学的核心。场不只是数学工具，而是具有物理意义的实体。爱因斯坦后来高度评价麦克斯韦场论对十九世纪物理学基本观念的深刻改变。

4.4.8 通向相对论及更远的领域

然而，麦克斯韦方程也带来一个难题：它们给出固定的真空光速。如果要求所有惯性观察者都使用相同形式的方程，这如何与牛顿式的速度叠加相容？洛伦兹变换与爱因斯坦狭义相对论将解决这一问题，也是下一章的主题。

4.5 电磁辐射

麦克斯韦预言光是电磁波，将光学与电磁学统一起来，表明烛光与电火花属于同一物理图景。但理论还需要实验验证。十九世纪末的研究提供了证据，扩展了电磁频谱，并开启塑造现代世界的技术。

4.5.1 光的波动性质

在麦克斯韦之前，人们已经知道光表现出波动性质。托马斯·杨的干涉实验 显示明暗条纹，奥古斯丁·菲涅耳 解释了衍射和偏振。麦克斯韦进一步指出，光是电场和磁场的振荡；在现代观点中，不再需要机械以太作为载体。

自由空间中的平面电磁波是 横波：电场 $\mathbf{E}$、磁场 $\mathbf{B}$ 与传播方向 $\mathbf{k}$ 彼此垂直。在自由空间中：

$$\mathbf{E}\perp \mathbf{B},\mathbf{E}\times \mathbf{B}\parallel \mathbf{k}.$$

波携带的能流由 坡印廷矢量 给出：

$$\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}.$$

因此，光不仅提供照明，也传输电磁能量。

4.5.2 赫兹的实验

十九世纪八十年代，海因里希·赫兹 用火花隙发射器和谐振接收环在实验室中产生无线电波，检验麦克斯韦理论。他观察到反射、折射、干涉与偏振等光的典型特征，证实电磁波可以在空间传播。

虽然赫兹当时没有着眼于实际用途，其他人很快发现了应用价值。古列尔莫·马可尼 将这项技术用于无线电报，开启无线通信时代。今天的广播、手机信号和Wi-Fi，都可以追溯到赫兹的实验。

4.5.3 电磁频谱

电磁辐射覆盖广阔频谱。波长 $\lambda$ 与频率 $\nu$ 满足 $c=\lambda \nu$。以下列出各波段的典型尺度与应用，边界并非都严格分离：

• 无线电波（千米至米量级）：通信、广播、雷达。
• 微波（厘米至毫米量级）：加热、雷达、卫星通信。
• 红外线（10⁻³—10⁻⁶米量级）：热辐射、热成像、天文学。
• 可见光（约400—700纳米）：人眼能够感知的狭窄波段。
• 紫外线（10⁻⁸—10⁻⁷米量级）：杀菌、荧光，也可引起晒伤。
• X射线（约10⁻¹⁰米量级）：医学成像、晶体学。
• 伽马射线（可短于10⁻¹²米）：核跃迁与高能宇宙现象。

这些辐射的共同点不是人类感官的反应，而是它们都属于电磁场的传播。经典上，加速电荷和变化电流会辐射；原子与原子核的量子跃迁也会发出电磁辐射。

4.5.4 天线与辐射机制

经典电动力学中，加速电荷能够产生电磁辐射。一个简单例子是振荡电偶极子：电荷来回运动，形成随时间变化的电流。辐射场随距离按 $1/r$ 衰减，不同于静态库仑场的 $1/r^2$ 衰减，因此能量能够传播到远处。

天线利用这一原理。半波偶极天线与输入电流谐振，高效发射无线电波；接收天线则将入射辐射转换为电流。电磁辐射因此成为通信工具。

4.5.5 辐射压与动量

电磁波不仅携带能量，也携带动量。它施加在表面上的压强为

$$P=\frac{I}{c},$$

其中 $I$ 为强度。辐射压 在日常生活中很小，却在天体物理中十分重要：它影响彗星尘埃尾、恒星内部平衡和宇宙尘埃运动。在实验室中，光与物质的动量交换也是光镊操纵微粒和分子的重要基础。

4.5.6 自然与技术中的电磁辐射

• 天文学。 我们对宇宙的大量认识来自电磁辐射。从绘制星系分布的射电观测，到揭示剧烈事件的伽马射线暴，电磁频谱都是宇宙信使。
• 医学。 X射线用于观察人体内部；磁共振成像利用核磁共振与射频信号；放射治疗可使用高能光子。
• 日常生活。 灯泡、激光器、微波炉、Wi-Fi和光纤都利用电磁频谱的不同部分。

4.5.7 量子问题的出现

十九世纪末，经典波动理论似乎已趋完善，但黑体辐射无法用经典理论正确解释，光电效应又揭示出光的粒子性。这些问题将引向量子理论，见第4.8节。不过，电磁辐射的波动描述依然是光学、无线电与通信的核心。

4.6 相对论的出现

麦克斯韦方程包含一个令人震惊的结果：电磁波的传播速度为

$$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}$$

这是由真空电磁常数决定的普适速度。与声波和水波不同，现代观点中的光不需要物质介质。然而，十九世纪物理学普遍认为波必须有载体，即充满空间的 以太。电磁理论与牛顿力学之间的张力，为概念革命创造了条件。

4.6.1 光以太

十九世纪的物理学家设想，光是在一种微妙介质——光以太——中传播的波。以太必须完全透明，足够刚硬以支持横波，却又不能阻碍行星运动。这样一种物质充满矛盾，也始终未被直接探测到。

若以太提供优先静止系，地球相对它运动就应产生“以太风”。沿着或逆着以太风传播的光，按当时的速度叠加观念应表现不同。探测这种效应成为实验挑战。

4.6.2 迈克耳孙—莫雷实验

1887年，阿尔伯特·迈克耳孙 与 爱德华·莫雷 进行了关键检验。他们的干涉仪把光束分为两条互相垂直的路径，反射后重新叠加。若地球穿过静止以太，旋转仪器应引起干涉条纹移动。

结果没有出现预期的移动。在实验精度内，未探测到预期的以太风效应。此后更精确的检验也支持这一零结果，使它成为物理学史上最著名的实验之一。

4.6.3 洛伦兹—菲茨杰拉德收缩

为了保留以太理论，乔治·菲茨杰拉德（1889年）和 亨德里克·洛伦兹（1892年）提出，物体沿运动方向按以下因子收缩：

$$L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.$$

这种“洛伦兹—菲茨杰拉德收缩”可以解释零结果：干涉仪的臂恰好缩短，从而抵消预期效应。洛伦兹随后发展了 洛伦兹变换，说明若麦克斯韦方程在不同运动参考系中形式不变，时空坐标就必须如何变换。

4.6.4 爱因斯坦1905年的革命

1905年，26岁的专利局职员 阿尔伯特·爱因斯坦 用两个简洁假设重新处理这一问题：

1. 相对性原理。 所有惯性参考系中的物理规律相同。
2. 光速不变原理。 真空中的光以速度 $c$ 传播，不依赖光源或惯性观察者的运动。

爱因斯坦由此推导出洛伦兹变换，将其解释为时空本身的结构，而不再作为以太理论的补丁。

4.6.5 时间膨胀与长度收缩

狭义相对论预言了看似奇特、却可以检验的效应：

• 时间膨胀。 相对于观察者运动的时钟走得更慢：

  $$\Delta t=\gamma \Delta t_0,\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

• 长度收缩。 运动杆沿运动方向的长度变短：

  $$L=\frac{L_0}{\gamma }.$$

• 同时性的相对性。 在一个参考系中同时发生的事件，在另一个参考系中可能并不同时。

这些效应虽然违背牛顿式直觉，却已通过粒子寿命、卫星时钟和加速器等反复得到验证。

4.6.6 电磁学：相对论的源头

相对论并非凭空产生，它深深植根于电磁学。麦克斯韦方程给出普适光速，实验未发现预期的以太漂移，洛伦兹变换保持方程形式不变，而爱因斯坦将这些认识提升为自然的基本原理。

电磁学由此推动人们放弃绝对空间与绝对时间，将两者统一为 时空。

4.6.7 通向推广

爱因斯坦1905年的理论后来称为 狭义相对论，以惯性参考系为基础。十年后，他把引力与更一般的时空描述纳入 广义相对论。麦克斯韦电动力学是这场发展的重要起点。

4.7 电磁学的应用

电磁学不仅具有理论之美，也是现代社会的基础。从家中照明到手中屏幕，从医学成像到行星际通信，电磁学无处不在。奥斯特偏转的磁针和法拉第的线圈所开启的研究，如今支撑着全球经济。

4.7.1 发电：从法拉第圆盘到电网

1831年，法拉第制造了一种简单发电机：让铜盘在磁极之间旋转，产生连续电流。这个简陋装置体现了基本原理：导体在磁场中的适当机械运动可以发电。

现代发电机把这一思想发展得更加完善。在燃煤、核能、水力和风力发电中，涡轮或叶轮带动转子，使线圈与磁场相对运动，产生交流电。输电系统使用同样基于电磁感应的 变压器，升高电压以远距离输电，再降低电压供用户使用。

关键在于 交流电与变压器：交流产生变化磁通，使静止线圈之间也能发生感应，从而实现高效电压转换。变压器对传统大规模交流电网至关重要。

4.7.2 电动机

与发电机相对应，电动机把电能转化为机械运动。磁场中的载流线圈受到转矩，这一原理驱动从家用风扇到工业机器人的各种设备。

• 直流电动机。 换向器切换电流方向，以维持转矩。
• 交流感应电动机。 旋转磁场在转子中感应电流，结构坚固，广泛用于工业。
• 同步电动机。 转子与供电频率保持同步，适用于需要稳定转速的场合。

发电机与电动机实现机械能和电能之间的双向转换，构成现代能源系统的重要环节。

4.7.3 通信：从电报到Wi-Fi

电磁学使跨越距离的通信成为现实。

• 电报：十九世纪三十年代。 沿导线传播的电流脉冲传递编码信息。
• 电话：1876年。 亚历山大·格雷厄姆·贝尔等人利用变化电流传递和重现语音。
• 无线电：十九世纪九十年代起。 马可尼将赫兹验证的电磁波用于无线电报，并逐步实现跨洋通信。
• 电磁频谱。 今天，无线电、微波与光通信承载海量数据。光纤利用全反射导光，卫星通过微波中继连接全球。

基础原理是 加速电荷能够辐射。天线将电流转换为电磁波，再将电磁波转换为电流，实现跨空间通信。

4.7.4 医学：成像与治疗

电磁学改变了医学，使人们能够观察人体内部并研究其功能。

• X射线。 威廉·伦琴于1895年发现X射线，可利用高能光子显示骨骼及其他组织。
• 磁共振成像（MRI）。 强磁场使核自旋产生净极化，射频脉冲激发它们，再利用信号重建精细的解剖图像。
• 心电图（ECG）。 记录心脏活动产生的电信号。
• 放射治疗。 利用高能辐射治疗肿瘤。

这些技术展示了电磁学在诊断与治疗中的双重作用：无形的场和辐射帮助我们认识生命。

4.7.5 日常技术

电磁学贯穿日常生活。

• 照明。 白炽灯、荧光灯和LED都依赖电流控制与电磁辐射。
• 计算。 晶体管高速切换，电磁信号在芯片中传递信息。
• 无线设备。 智能手机与基站交换无线电信号，并集成光学和电子技术。
• 交通。 磁悬浮列车利用磁力悬浮；汽车也依赖电动机、传感器和通信系统。

许多现代设备的核心都是电磁系统。

4.7.6 天体物理应用

电磁学也是天文学家的观察窗口。恒星发光，星际云发射无线电波，脉冲星像灯塔一样向宇宙发送信号。覆盖无线电至伽马射线的望远镜共同描绘宇宙。

磁场影响星系中的物质运动，参与黑洞附近喷流的形成，并把等离子体约束在行星磁层中。没有电磁辐射，我们熟悉的宇宙观测图景将完全不同。

4.7.7 工程原则：㶲与效率

工程应用重视效率。热力学给出能量转换的限制，电磁学提供具体实现方式。

• 输电效率。 欧姆损耗 $I^{2}R$ 是采用高压输电的重要原因。
• 电子学。 降低功耗需要控制电阻、充放电电容以及电感相关损耗。
• 电磁兼容。 设备应避免相互干扰，因此需要屏蔽措施和相应规范。

应用电磁学不仅研究如何产生场，也研究如何控制场以实现可靠性能。

4.7.8 电磁学与数字时代

数字革命的物理基础与电磁学密不可分。信息可以存储为电荷，以电磁信号传输，再以光显示。光纤用光子传送比特，Wi-Fi使用微波，芯片利用电子运动处理信息。以信息熵为核心的香农理论，也与通信工程紧密结合。

互联网的物理实现连接了导线中的电子、光纤中的光和空气中的无线电波，它们都受电磁规律约束。

4.7.9 哲学反思

法拉第发现电磁感应时，不可能预见全球电网与智能手机。然而，变化磁通产生感应电动势的原理，后来成为电气技术的基础。抽象物理通过工程应用改变了社会，曾经的奇异现象由此成为现代化的动力。

电磁学的应用涵盖电力、运动、通信、医学与计算：发电机照亮城市，电动机驱动机器，天线连接大陆，X射线观察人体，晶体管处理信息。从宇宙信号到数字网络，电磁学构成现代生活的重要基础设施。麦克斯韦方程不仅写在黑板上，也体现在实际技术中。

4.8 量子的线索与场论

十九世纪末，电磁学似乎已相当完整：麦克斯韦方程统一光、电、磁，赫兹验证无线电波，电动机、发电机与电报蓬勃发展。然而，新的实验现象暴露了经典理论的局限，并开启量子力学和电磁场量子理论——量子电动力学（QED）——的大门。

4.8.1 黑体辐射与普朗克的量子

黑体 是吸收所有入射辐射的理想物体，在热平衡下，其发射谱只取决于温度。经典电磁学结合统计力学得到 瑞利—金斯定律：

$$u(\nu ,T)\propto {\nu }^2{k}_{B}T,$$

该结果在高频处发散，导致所谓的 紫外灾难。实验却显示，谱强度达到峰值后会下降。

1900年，马克斯·普朗克 提出振子能量具有离散结构，从而得到正确的辐射规律：

$$E=nh\nu .$$

这一新假设给出了正确分布：

$$u(\nu ,T)=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /k_{B}T}-1}.$$

普朗克引入常数 $h$，开启量子时代。

4.8.2 爱因斯坦与光子：光电效应

1905年，阿尔伯特·爱因斯坦 解释了 光电效应：光照射金属时会释放电子。简单经典图像认为，光强应决定电子能量，只要照射足够久，任何频率的光都可能使电子逸出。但实验显示：

• 低于阈值频率时，不发生通常的单光子光电子发射。
• 超过阈值后，电子最大动能取决于频率，而不是光强。
• 光强主要影响发射电子的数量，不改变其最大动能。

爱因斯坦提出，光由能量为 $E=h\nu$ 的量子组成，后来称为 光子。电子吸收一个光子，若 $h\nu$ 超过逸出功 $W$，便可逸出，其最大动能为：

$$K_{\text{max}}=h\nu -W.$$

光的这种粒子性震动了物理学界；爱因斯坦关于光电效应定律的工作是其获得1921年度诺贝尔物理学奖的主要原因。

4.8.3 康普顿散射与波粒二象性

1923年，阿瑟·康普顿 观察到X射线被电子散射后的波长变化：

$$\Delta \lambda =\frac{h}{m_{e}c}(1-\cos \theta ).$$

如果将光子视为动量为 $p=h/\lambda$ 的粒子，该结果就与能量和动量守恒一致。光既表现干涉等波动性质，也表现粒子式的能量和动量交换，经典连续场需要量子化描述。

4.8.4 量子电动力学的诞生

二十世纪二三十年代，量子力学逐渐成熟，但与电磁学相结合需要 量子场论。电磁场被量子化，其激发对应光子。带电粒子的相互作用可用光子的发射、吸收以及微扰计算中的虚光子交换来描述。

二十世纪四十年代，理查德·费曼、朱利安·施温格和朝永振一郎 等人通过重整化完善QED，处理计算中的发散。费曼图用线和顶点表示电子与光子的相互作用。QED成为精度极高的理论之一，对电子磁矩等量的预测与实验达到了极为精密的一致。

说明。 在费曼图中：

• 带箭头的直线 表示费米子，例如电子或正电子。
  • 按常用的有向时间图示约定，顺着时间方向的箭头对应电子。
  • 反向箭头可用于表示正电子；这是一种图示与计算约定。
• 波浪线 在QED中表示光子，其他理论也常用类似线型表示规范玻色子。
• 顶点 是线相交的相互作用位置。
  • 在QED中，每个顶点对应因子 $-ie{\gamma }^{\mu }$，表示电子—光子耦合。

4.8.5 概念转变

量子现象推动了深刻变化：

• 能量量子化。 固定频率的电磁辐射以离散光子交换能量。
• 波粒二象性。 光在干涉中呈现波动性质，在散射中表现粒子式的能量和动量交换。
• 真空涨落。 量子真空并非经典意义上的空无；场的量子效应参与解释卡西米尔效应、兰姆位移等现象。

电磁学因此成为量子场论最早取得成功的领域，也是后来规范理论的范例。

4.8.6 应用与现代影响

量子电磁理论同样支撑着重要技术：

• 激光器。 受激辐射产生相干光，广泛用于通信和医学。
• 半导体。 电子在材料中的量子行为与能带结构构成现代电子学的基础。
• 量子光学。 操纵单个光子可用于量子密码和量子信息。
• 高能物理。 QED为理解标准模型中的电弱和强相互作用提供了重要理论范例。

4.9 结语：自然的统一

电磁学始于零散现象：吸引细草的琥珀、使磁针转动的磁石、劈开树木的闪电，以及照亮双眼的光。十九世纪，这些线索被编织为统一理论。它的故事不仅关乎方程，也关乎电与磁、光与辐射、科学与技术、理论与应用之间的统一。

4.9.1 从奥斯特到麦克斯韦

• 奥斯特发现电流使磁针偏转，建立电与磁的实验联系。
• 安培定量描述电流之间的作用力。
• 法拉第发现电磁感应，说明变化磁通可以产生感应电流，并提出场的图像。
• 麦克斯韦完成理论综合；用现代形式的四个方程，将电、磁与光描述为同一电磁场的表现。

每一步都包含实验和观念上的进展。从火花与指南针出发，最终形成了能够预言电磁波与光速的方程体系。

4.9.2 场的概念

在早期力学图景中，力常被描述为跨空间瞬时发生的超距作用。法拉第的力线经麦克斯韦数学化之后，改变了这一认识：场成为遍布空间、按局部规律演化的物理实体。这一概念影响了整个物理学：

• 爱因斯坦广义相对论用时空曲率描述引力。
• 量子场论把粒子描述为场的激发。

电磁学中发展成熟的场思想，成为现代物理学的核心观念。

4.9.3 电磁频谱与技术

从麦克斯韦的预言和赫兹的验证，到马可尼无线电、激光、光纤、Wi-Fi、MRI与智能手机，电磁频谱不断被用于通信、医学、工业和探索。现代社会深深依赖电磁技术。

电网通过发电、输电和变压器分配能量，电动机与发电机实现电能和机械能互换，半导体与晶体管依靠量子物理运转。从家用设备到空间望远镜，电磁学都是技术的支柱。

4.9.4 哲学与科学影响

电磁学重新划定了物理学的边界：

• 它证明，看似不同的相互作用可以是同一物理结构的不同表现。
• 它确立了场的物理地位。
• 麦克斯韦方程中的普适光速推动了相对论的发展。
• 黑体辐射与光电效应等问题促进了量子理论的诞生。

电磁学因此位于经典与现代物理的交汇处，连接力学、相对论与量子理论。

4.9.5 统一作为指引

电磁学的成功激励物理学家寻找更深的统一。电弱理论统一电磁与弱相互作用，大统一理论尝试进一步纳入强相互作用，而更远的目标还包括引力。这些探索延续麦克斯韦的思路：借助实验与数学，在多样现象中寻找共同结构。

4.9.6 人的故事

电磁学也是人的故事：从贫困装订学徒成长为实验大师的法拉第，用方程描绘场的苏格兰数学家麦克斯韦，让电磁波能够被实验探测的赫兹，以及把原理变成电网和无线电的工程师与发明家。他们说明，想象力、好奇心和坚持能够同时改变科学与社会。

电磁学统一电、磁与光，以场的概念改变物理学，又通过电动机、发电机和通信技术改变生活。它连接经典与现代物理，孕育相对论和量子理论。从火花与磁体中发现的统一，如今体现在灯光、机器运转、遥远星系的信号，以及让我们读到这些文字的光子之中。