相对论

5.1 伽利略相对性与以太的退场

狭义相对论并非凭空出现，而是在伽利略相对性这一旧框架的成功与局限中发展起来。本节先建立旧框架，再考察它与电磁学的冲突，理解为何最终需要放弃以太。

5.1.1 伽利略的船：最初的相对性原理

伽利略请人们设想一艘在平静海面上匀速航行的船。在船舱内，飞虫盘旋、水滴落下、抛出的钥匙落回手中，一切都与船静止时相同。他由此提出：

伽利略相对性原理： 在彼此做匀速直线运动的惯性参考系中，力学规律具有相同形式。

5.1.2 伽利略变换的数学形式

设两个惯性系S和S'沿x轴以相对速度v运动，坐标变换为

$$\begin{array}{rl}{t}^{\prime }& =t,\\ x^{\prime }& =x-vt,\\ y^{\prime }& =y,\\ z^{\prime }& =z\end{array}$$

速度按以下方式变换：

$$\begin{array}{rl}{u}_x^{\prime }& =u_x-v,\\ u_y^{\prime }& =u_y,\\ u_z^{\prime }& =u_z\end{array}$$

加速度保持不变：

$${\mathbf{a}}^{\prime }=\mathbf{a}$$

一个重要推论是速度叠加规则：

$$u_x=u_x^{\prime }+v$$

因为各惯性系中的加速度相同，只要力对相对位置和速度的依赖与这些变换相容，牛顿第二定律 $m\mathbf{a}=\mathbf{F}$ 就保持形式不变。

5.1.3 波动与伽利略变换的冲突

考虑一维波动方程

$$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}=0$$

在伽利略变换 $x^{\prime }=x-vt,t^{\prime }=t$ 下，空间与时间导数发生混合，S'中的方程变为

$$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^{\prime 2}}-\frac{1}{c^2}{\left(\frac{\partial }{\partial t^{\prime }}-v\frac{\partial }{\partial x^{\prime }}\right)}^2\varphi =0$$

形式不再相同。在伽利略运动学中，波速通常相对于某种介质定义。对于声音，介质是空气；地面观察者测得的速度近似为 $c_{\text{sound}}\pm v$。

真空麦克斯韦方程预言电磁波速为c，却不需要在方程中指定物质介质。若强行套用伽利略速度叠加，不同观察者应测得 $c\pm v$，但实验并不支持这种结果。

5.1.4 以太假说

十九世纪物理学家提出一种充满空间、却不拖曳行星的微妙介质——光以太。光被视为以太中的横向振动，类似声音在空气中传播；c则是相对于以太的速度，仍遵循伽利略速度叠加。

斐索1851年的流水实验让光穿过流动的水，发现光速并不是简单相加得到的 $c/n\pm v$，而带有 菲涅耳拖曳因子。观测到的有效速度可近似写为

$$v_{\text{水中的光}}\approx \frac{c}{n}+v\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$$

当时，人们把它解释为物质对以太的部分拖曳。以太理论因此暂时保留下来，却不断需要修补，而且从未被直接观察到。

5.1.5 迈克耳孙—莫雷：影响深远的零结果

如果地球穿过静止以太，就应出现以太风。光沿着或逆着以太风传播，与垂直方向传播相比，应有不同的往返时间。1887年的迈克耳孙—莫雷干涉仪把光分到两条垂直臂中，反射后重新合并，并在旋转仪器时寻找条纹移动。结果基本没有预期的移动。不同时节的后续实验也得到零结果，未发现地球轨道速度所预期的 $v^2/c^2$ 阶效应。

其他实验也不断加入：特劳顿—诺布尔实验寻找运动带电电容器上的预期转矩，肯尼迪—桑代克实验采用不同几何结构检验相关效应。它们同样得到零结果，使传统以太模型越来越难以提供可观测的区别。

5.1.6 洛伦兹的挽救：收缩与地方时

在爱因斯坦之前，一些物理学家试图通过改变物质的运动性质来保留以太，而不改变时空观。乔治·菲茨杰拉德与亨德里克·洛伦兹提出，物体沿运动方向按以下因子收缩：

$$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

洛伦兹进一步引入称为“地方时”的数学量，以保持电磁方程的形式，随后得到完整的变换：

$$\begin{array}{rl}{t}^{\prime }& =\gamma \left(t-\frac{vx}{c^2}\right),\\ x^{\prime }& =\gamma (x-vt),\\ y^{\prime }& =y,\\ z^{\prime }& =z,\\ \gamma & =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\end{array}$$

洛伦兹仍设想以太真实存在，并把这些关系理解为掩盖以太运动效应的机制。数学上，他找到了正确的对称性；概念上，以太却越来越像一个没有可测作用的旁观者。

5.1.7 伽利略运动学为什么不适用于光

冲突如今十分清楚：伽利略运动学假设绝对时间与线性速度叠加；麦克斯韦电动力学给出真空中的固定波速c；实验既未观测到 $c\pm v$，也未发现预期的以太风。若保留旧框架，就必须让长度收缩、时钟变化和动力学效应在各种材料、方向、季节与装置中都恰好抵消可测结果。另一条更简洁的道路，是接受光速不变与零结果，重建与普适c相容的运动学。

5.1.8 冲突的具体演示

设光脉冲在S系中沿+x方向运动：

$$x=ct$$

在满足 $x^{\prime }=x-vt,t^{\prime }=t$ 的伽利略变换下，同一世界线变为

$$x^{\prime }=(c-v)t^{\prime }$$

因此测得速度应为 $c-v$，这正是与麦克斯韦理论的冲突。

相反，洛伦兹变换保持世界线的类光性质，使每个惯性观察者都得到 $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$。这是因为洛伦兹变换保持时空间隔，也保持光锥结构。

5.1.9 多普勒效应、光行差与斐索实验呢？

仔细分析后，三个容易混淆的现象都与相对论一致。

多普勒频移是相对运动引起的观测频率变化。相对论公式在低速下给出相应的经典近似，并能描述高速天体现象。

恒星光行差是有限光速与地球运动导致的恒星视方向偏移。它与相对论相容，无需假设仪器内部存在以太风。

对于折射率为 $n$ 的运动介质，斐索流水实验的结果可由相对论速度叠加推导，不需要以太这一物质。

5.1.10 伽利略思想中保留了什么？

伽利略的核心思想——所有惯性系中的物理规律相同——仍然成立，改变的是实现方式。伽利略运动学中的时间绝对，变换保持 $t$；相对论运动学的不变量则是时空间隔

$$\Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2$$

保持这一量的变换组成洛伦兹群。

5.1.11 以太退场之后

到二十世纪初，以太越来越像一个没有独立可测预言的概念支架。爱因斯坦1905年的论文采取了简洁而激进的做法：不再使用以太，只保留相对性原理与光速不变，并由此导出洛伦兹的数学关系。空间和时间成为时空，电场和磁场成为同一张量的不同分量，同时性失去绝对地位。取代机械以太的不是新介质，而是新的几何描述：电磁场在时空中传播，其光锥结构由时空度规确定。

5.1.12 要点

• 伽利略变换体现绝对时间与简单速度叠加，使牛顿力学保持形式不变，却不能使真空麦克斯韦方程保持形式不变。
• 以太假说试图调和固定光速与伽利略运动学，但精密实验未发现预期的以太风。
• 洛伦兹找到了数学上的正确对称性，爱因斯坦将其提升为时空的物理结构，并取消了以太的必要性。
• 伽利略的相对性原理保留下来，由洛伦兹群和不变时空间隔实现。

5.2 狭义相对论：基本假设与运动学

狭义相对论建立在两个简洁的基本假设上：

（i）相对性原理：所有惯性参考系中的物理规律具有相同形式。

（ii）光速不变原理：每个惯性观察者测得的真空光速都为 $c$，

与光源或观察者的运动无关。相对论的时空结构由此展开。

5.2.1 时钟同步与绝对同时性的消失

爱因斯坦提出用物理操作定义同时性：从A向B发送光脉冲，再反射回来，把B处时钟设定为使去程和回程时间相等。不同惯性观察者对时空的同时面划分不同，因此这种同步依赖参考系。同时性不再绝对，而与相对运动有关；计时由此成为几何问题。

5.2.2 推导洛伦兹变换

考虑处于 标准构型 的两个参考系 $S$ 和 $S^{\prime }$：$S^{\prime }$ 以恒定速度 $v$ 沿 $S$ 的 $x$ 轴运动，原点在 $t=t^{\prime }=0$ 时重合。时空均匀性要求坐标关系为 线性。要求沿 $+x$ 传播的光脉冲在 $S$ 中满足 $x=ct$，在 $S^{\prime }$ 中满足 $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$，再结合相对性、空间各向同性以及 $v=0$ 时的归一化，得到

$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }& =\gamma (x-vt),\\ t^{\prime }& =\gamma \left(t-\frac{vx}{c^2}\right),\\ y^{\prime }& =y,z^{\prime }=z,\\ \gamma & =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\end{array}$$

逆变换通过替换 $v\to -v$ 得到：

$$\begin{array}{rl}x& =\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime }),\\ t& =\gamma \left(t^{\prime }+\frac{v{x}^{\prime }}{c^2}\right),\\ y& =y^{\prime },z=z^{\prime }\end{array}$$

在这些约定下，变换保持时空间隔和光锥。

5.2.3 不变间隔与固有时

由洛伦兹变换可得不变的时空间隔：

$$\Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2$$

对于类时世界线，以 $c^{2}d{\tau }^2=d{s}^2$ 定义固有时 $d\tau$。沿路径积分，就是随行时钟经历的时间。由于 $d{s}^2$ 不变，所有惯性观察者对同一世界线的 $\tau$ 都有一致结论。

5.2.4 时间膨胀、长度收缩与同时性偏移

通过运动观察者携带的光钟，或直接由洛伦兹变换，可得

$$\Delta t=\gamma \Delta \tau$$

运动时钟的走时相差因子 $\gamma$。对于沿 $x$ 轴放置、静止长度为 $L_0$ 的杆，在 $S$ 中同时测量两端位置，得到

$$L=\frac{L_0}{\gamma }$$

同时性依赖参考系。在 $S$ 中相隔 $(\Delta t,\Delta x)$ 的两个事件，在 $S^{\prime }$ 中的时间间隔为

$$\Delta t^{\prime }=\gamma \left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)$$

即使它们在 $S$ 中满足 $\Delta t=0$，也就是同时发生，在 $S^{\prime }$ 中通常仍有 $\Delta t^{\prime }\ne 0$。这就是同时性相对性的操作性含义。

5.2.5 速度叠加与横向分量

速度不再线性相加。对洛伦兹变换微分，得到 爱因斯坦速度叠加公式。若粒子在 $S$ 中的速度分量为 $(u_x,u_y,u_z)$，则在 $S^{\prime }$ 中观测到

$$u_x^{\prime }=\frac{u_x-v}{1-\frac{v{u}_x}{c^2}}$$ $$u_y^{\prime }=\frac{u_y}{\gamma \left(1-\frac{v{u}_x}{c^2}\right)},u_z^{\prime }=\frac{u_z}{\gamma \left(1-\frac{v{u}_x}{c^2}\right)}$$

对于同一直线上的运动，合成公式简化为

$$u\oplus v=\frac{u+v}{1+\frac{uv}{c^2}}$$

无论怎样叠加低于光速的速度，结果仍满足 $<c$。

使用由 $\beta \equiv v/c=\tanh \eta$ 定义的快度 $\eta$ 往往更方便。此时

$$\gamma =\cosh \eta ,\gamma \beta =\sinh \eta$$

共线速度的合成等价于快度相加：

$${\eta }_{\text{total}}={\eta }_1+{\eta }_2$$

运动学因此可用简洁的双曲几何描述。

5.2.6 闵可夫斯基图的几何

事件是点，世界线是曲线。任一事件的光锥把时空分为锥内的类时未来与过去、锥外的类空区域，以及锥面上的类光方向。因果信号必须位于光锥内或光锥上。洛伦兹变换类似双曲旋转，保持光锥而改变等时面的倾斜，因此同时性发生变化，光速却不变。

5.2.7 常见“悖论”及其数学解释

双生子情境。 一人高速旅行后返回，比留在原地的一人更年轻。旅行者在往返中改变惯性运动方向，其世界线的固有时更短。固有时是沿路径对 $d\tau$ 的积分，不能仅凭“对方的钟更慢”这一口号判断。

谷仓与梯子。 在谷仓参考系中，快速运动的梯子因 $L=L_0/\gamma$ 而能在某一时刻装入较短的谷仓。在梯子参考系中，两扇门的关闭并不同时；同时性的相对性消除了矛盾。上面的 $\Delta t^{\prime }$ 变换公式正是关键。

磁体与导体。 实验室中中性载流导线附近的运动电荷受到磁力；在电荷静止系中，可以用变换后的电场解释相应作用。电场与磁场来自同一个电磁张量，运动学与场的变换彼此一致。

5.2.8 实用代数恒等式

洛伦兹因子满足

$${\gamma }^2(1-{\beta }^2)=1,{\gamma }^2-(\gamma \beta {)}^2=1$$

在低速 $v\ll c$ 下展开：

$$\gamma \approx 1+\frac{1}{2}{\beta }^2+\frac{3}{8}{\beta }^4+\cdots$$

沿视线方向运动时，相对论多普勒因子为

$$\mathcal{D}=\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}$$

因此，相互接近时观测频率满足 ${\nu }_{\text{obs}}=\mathcal{D}{\nu }_{\text{emit}}$，相互远离时满足 ${\nu }_{\text{obs}}={\nu }_{\text{emit}}/\mathcal{D}$。

5.2.9 要点

• 在标准构型与相应对称性条件下，两条基本假设导出保持时空间隔和光锥的洛伦兹变换。
• 时间膨胀、长度收缩与同时性偏移，是同一变换的不同表现。
• 相对论速度叠加不会把亚光速合成为超光速；共线洛伦兹推动可用快度线性相加。
• 不变间隔决定固有时与因果结构，闵可夫斯基几何是相对论运动学的自然语言。

接下来，我们将在这个几何框架内重新表述动量、能量与 $E=m{c}^2$。

5.3 闵可夫斯基时空与因果性

狭义相对论将运动学转化为几何。空间与时间不再彼此独立，而是共同构成四维的 闵可夫斯基时空，其几何结构编码了因果关系。本节定义度规，区分类时、类空与类光间隔，引入四维矢量，并把洛伦兹推动理解为双曲旋转，进而学习如何阅读时空图。

5.3.1 事件、坐标与度规

事件 是时空中的一点，坐标为 $x^{\mu }=(ct,x,y,z)$。空间矢量记为 $\mathbf{x}=(x,y,z)$，希腊指标取值范围为 $0,1,2,3$。在惯性笛卡尔坐标中，闵可夫斯基度规为

$${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$$

邻近事件 $x^{\mu }$ 与 $x^{\mu }+d{x}^{\mu }$ 之间的不变间隔平方为

$$d{s}^2={\eta }_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }=c^{2}d{t}^2-d{\mathbf{x}}^2$$

所有惯性观察者计算出的 $d{s}^2$ 相同。这个标量表达了事件间隔中不依赖参考系的物理内容。

5.3.2 光锥与三类间隔

对于事件A与B，$s^2$ 的符号决定它们的关系：

• 类时： $s^2>0$。存在一个参考系，使两事件发生于同一地点、不同时刻；亚光速运动者能够从较早事件到达较晚事件。
• 类光，即零间隔： $s^2=0$。两事件可由以光速传播的信号连接。
• 类空： $s^2<0$。存在一个参考系，使两事件同时发生于不同地点；若要用信号直接连接它们，就必须超过 $c$。

以任一事件为顶点，满足 $d{s}^2=0$ 的集合构成 光锥；在 $1+1$ 维情形中，其母线为 $x=\pm ct$。内部类时，外部类空。洛伦兹变换保持光锥，所以即使观察者对时间和距离的测量不同，也会同意哪些因果联系可能存在。

5.3.3 固有时与世界线

世界线 是描述物体历史的曲线 $x^{\mu }(\lambda )$。对于类时运动，物体携带的时钟记录固有时

$$d\tau =\frac{1}{c}\sqrt{d{s}^2}=\sqrt{d{t}^2-\frac{d{\mathbf{x}}^2}{c^2}}$$

积分得到时钟经历的时间：

$$\Delta \tau ={\int }_{\text{path}}d\tau$$

在平直时空中，连接相同端点的类时曲线里，惯性运动使 $\Delta \tau$ 最大。这一几何事实解释了双生子情境：旅行者经过非惯性的往返路径，经历较少的固有时。

5.3.4 四维速度与四维加速度

定义 四维速度：

$$u^{\mu }\equiv \frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }$$

由 $d{s}^2=c^{2}d{\tau }^2$ 可得归一化关系

$${\eta }_{\mu \nu }{u}^{\mu }{u}^{\nu }=c^2$$

用三维速度 $\mathbf{v}=d\mathbf{x}/dt$ 和 $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ 表示，得到

$$u^{\mu }=\gamma (c,\mathbf{v})$$

四维加速度 $a^{\mu }=d{u}^{\mu }/d\tau$ 满足正交关系

$${\eta }_{\mu \nu }{u}^{\mu }{a}^{\nu }=0$$

这意味着，在瞬时静止系中，加速度四维矢量只有空间分量。这些工具使相对论动力学的表达更简洁，见第5.4节。

5.3.5 洛伦兹变换作为双曲旋转

沿 $x$ 方向、速度为 $v$ 的洛伦兹推动，可用 $\beta =v/c$ 和 $\gamma =1/\sqrt{1-{\beta }^2}$ 写为：

$$\begin{array}{rl}c{t}^{\prime }& =\gamma (ct-\beta x)\\ x^{\prime }& =\gamma (x-\beta ct)\\ y^{\prime }& =y\\ z^{\prime }& =z\end{array}$$

这一变换的矩阵 ${\Lambda }^{\mu }{}_{\nu }$ 满足不变性条件

$${\eta }_{\alpha \beta }{\Lambda }^{\alpha }{}_{\mu }{\Lambda }^{\beta }{}_{\nu }={\eta }_{\mu \nu }$$

这类似于普通旋转保持欧氏长度。若由 $\beta =\tanh \eta$ 定义快度 $\eta$，则

$$\gamma =\cosh \eta ,\gamma \beta =\sinh \eta$$

洛伦兹推动就成为 $ct$—$x$ 平面内的双曲旋转。共线推动的复合只需把快度相加，因此速度合成虽然具有非线性的爱因斯坦形式，却可在快度中简单处理。

5.3.6 阅读闵可夫斯基图

闵可夫斯基图通常以 $ct$ 为纵轴、$x$ 为横轴。光线的斜率为 $\pm 45^{\circ }$，因为在采用 $c=1$ 的单位下满足 $x=\pm ct$。几个实用规则是：

1. 运动参考系的坐标轴。 $x^{\prime }$ 轴对应满足 $t^{\prime }=0$ 的事件，向上倾斜；$c{t}^{\prime }$ 轴是世界线 $x^{\prime }=0$，向右倾斜。两轴相对于光线对称。
2. 同时面。 除非 $v=0$，否则恒定 $t^{\prime }$ 的直线并不水平，这使同时性的相对性直观可见。
3. 单位刻度。 单位双曲线 $ct=\sqrt{x^2+c^2{\tau }^2}$ 用于标定固有时刻度；洛德尔图采用对称表示，使两个参考系具有对称的坐标轴布局。
4. 因果检验。 若事件B位于A的光锥外，就不存在满足 $|v|<c$ 的世界线连接两者。类空事件的先后顺序可随洛伦兹推动改变，类时事件则不会。

时空图不仅是示意图，也能用于分析事件顺序、时间膨胀、长度收缩和同时性偏移。

5.3.7 因果性、无超光速信号与 $c$ 的速度上限

假设某个参考系中存在速度为 $u>c$ 的信号。对于类空间隔，总能找到一个洛伦兹推动，使发射与接收的时间顺序反转。如果还能按同样规则双向发送信号，就可能构造封闭因果回路，产生悖论。狭义相对论通过禁止超光速信息传递避免这一问题：物体和因果信号的世界线为类时或类光，而非类空。由此也不存在完美刚体；拉动杆的一端不能瞬时影响另一端，应力信息只能以材料中的声速 $<c$ 传播。

场论中的微观因果性是这一规则的量子对应：类空分离处的局域可观测量算符对易，因此两处测量不能彼此传递信号。

5.3.8 能量—动量四维矢量预览

后面将使用 能量—动量四维矢量

$$p^{\mu }=\left(\frac{E}{c},\mathbf{p}\right)$$

其不变量为

$$p_{\mu }{p}^{\mu }={\left(\frac{E}{c}\right)}^2-{\mathbf{p}}^2=m^2{c}^2$$

这一关系同时包含静能 $E_0=m{c}^2$ 与色散关系 $E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$。相互作用过程中 $p^{\mu }$ 的守恒，为动力学提供了紧凑且不依赖参考系的表达。

5.3.9 平直时空中的加速运动

即使没有引力，也能研究加速观察者。沿 $x$ 方向具有 恒定固有加速度 $a$ 的世界线是双曲线：

$$\begin{array}{rl}ct(\tau )& =\frac{c^2}{a}\sinh \left(\frac{a\tau }{c}\right)\\ x(\tau )& =\frac{c^2}{a}\cosh \left(\frac{a\tau }{c}\right)\end{array}$$

它以光线 $x=\pm ct$ 为渐近线。固有加速度是加速度计测得的量，其大小不依赖参考系；坐标加速度则依赖坐标选择。

加速参考系使平直时空中也出现 林德勒坐标 与视界，为理解等效原理提供铺垫。

5.3.10 张量与指标运算：基本工具

四维矢量按 $A^{\prime \mu }={\Lambda }^{\mu }{}_{\nu }{A}^{\nu }$ 变换。指标升降使用 ${\eta }_{\mu \nu }$ 及其逆矩阵：

$$A_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{A}^{\nu },A^{\mu }={\eta }^{\mu \nu }{A}_{\nu }$$

通过指标缩并可构造洛伦兹不变量，例如 $A_{\mu }{B}^{\mu }$。电磁场用反对称张量 $F_{\mu \nu }$ 表示。用张量语言书写麦克斯韦方程可显露其对称性；$F_{\mu \nu }$ 变换保持光锥，使因果结构在各惯性系中一致。

5.3.11 什么改变，什么不变

• 改变的量： 不同参考系中的时间间隔、长度和同时面。
• 不变的量： 光锥、间隔 $d{s}^2$、固有时 $\tau$，以及类时相关事件的因果顺序。

相对论计算的实用原则是先找不变量，再处理依赖观察者的分量。

5.3.12 快速解题模板

1. A能否影响B？ 计算 $s^2$。若 $s^2<0$，则不能；若 $s^2=0$，只能由光速信号连接；若 $s^2>0$，则可由亚光速运动连接。讨论A影响B时，还需B位于A的未来方向。
2. 旅行者经历多少时间？ 沿实际速度变化过程积分 $d\tau =\sqrt{1-v^2/c^2}dt$。
3. 运动观察者测得什么？ 应用洛伦兹推动，重新画出坐标轴，按需要使用同时性关系与长度收缩公式。

小结： 闵可夫斯基时空把相对论组织成几何。度规 $d{s}^2=c^{2}d{t}^2-d{\mathbf{x}}^2$ 定义光锥与固有时，洛伦兹推动是保持光锥的双曲旋转。因果性成为世界线必须处于光锥内或光锥上的几何约束，动力学则由协变变换的四维矢量描述。用间隔、光锥与快度思考，许多悖论便得到澄清，计算也更直接。

5.4 相对论动力学

运动学说明坐标如何变换；动力学则研究动量、能量与力如何变化，使所有惯性观察者都使用相同形式的规律。指导思想是用洛伦兹不变或协变的量建立理论，使物理结论不依赖参考系。

5.4.1 四维动量与能量—动量关系

定义 四维速度 与 四维动量：

$$u^{\mu }\equiv \frac{d{x}^{\mu }}{d\tau },p^{\mu }\equiv m{u}^{\mu }$$

其中 $d\tau$ 为固有时。利用 $u^{\mu }{u}_{\mu }=c^2$，得到

$$p^{\mu }=\gamma (mc,m\mathbf{v}),\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

时间分量定义能量：

$$E\equiv p^{0}c=\gamma m{c}^2$$

空间分量定义动量：

$$\mathbf{p}\equiv \gamma m\mathbf{v}$$

$p^{\mu }$ 的不变模给出基本关系

$$p_{\mu }{p}^{\mu }=m^2{c}^2$$

用标量写为

$$E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$$

低速时它回到熟悉的牛顿形式。对 $v\ll c$ 情形下的 $\gamma$ 展开：

$$E=\gamma m{c}^2\approx m{c}^2+\frac{p^2}{2m}+\cdots$$

牛顿动能因此是静能 $m{c}^2$ 之外的首个修正项。

5.4.2 功、功率与相对论力学方程

保留力和功率的定义，但使用相对论的 $\mathbf{p}$ 与 $E$：

$$\mathbf{F}\equiv \frac{d\mathbf{p}}{dt},\frac{dE}{dt}=\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}$$

由 $\mathbf{p}=\gamma m\mathbf{v}$ 得到

$$\mathbf{F}=\gamma m\mathbf{a}+{\gamma }^{3}m\frac{\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot \mathbf{a})}{c^2}$$

将各量分解为平行与垂直于 $\mathbf{v}$ 的分量，得到

$$a_{\parallel }=\frac{F_{\parallel }}{{\gamma }^{3}m},a_{\perp }=\frac{F_{\perp }}{\gamma m}$$

当速度接近 $c$ 时，相同外力产生的加速度越来越小，沿运动方向尤其明显。因此，光速上限既体现在运动学中，也体现在动力学中。

将力写成四维矢量通常更简洁。定义四维力

$$K^{\mu }\equiv \frac{d{p}^{\mu }}{d\tau }$$

它自动满足正交关系

$$K^{\mu }{u}_{\mu }=0$$

因为 $p^{\mu }{p}_{\mu }$ 保持不变。第5.5节将把它用于电磁场中的带电粒子。

5.4.3 作用量原理与自由粒子的拉格朗日量

相对论动力学可以由几何作用量导出。对于自由中性粒子，

$$S=-mc\int ds$$

在给定参考系中，$ds=cdt\sqrt{1-v^2/c^2}$，因此拉格朗日量为

$$L_0=-m{c}^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

由此得到正则动量与哈密顿量：

$$\mathbf{p}=\frac{\partial L_0}{\partial \mathbf{v}}=\gamma m\mathbf{v}$$ $$H=\mathbf{p}\cdot \mathbf{v}-L_0=\gamma m{c}^2=E$$

能量—动量关系于是成为基于世界线不变长度的变分原理的结果，而非额外假设。

若粒子带电 $q$，并与电磁四维势 $A_{\mu }=(\varphi /c,-\mathbf{A})$ 相互作用，最小耦合作用量加入 $-q\int A_{\mu }d{x}^{\mu }$。用通常变量表示，拉格朗日量成为

$$L=-m{c}^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}+q\mathbf{v}\cdot \mathbf{A}-q\varphi$$

其欧拉—拉格朗日方程给出洛伦兹力，协变形式将在第5.5节说明。

5.4.4 碰撞中的动量与能量平衡

由于四维动量守恒，

$$\sum _{\text{in}}{p}^{\mu }=\sum _{\text{out}}{p}^{\mu }$$

这一矢量方程同时编码各参考系中的能量和三维动量守恒。两边取不变内积，可以得到粒子反应中实用的参考系无关关系。

对四维动量为 $p_1,p_2$ 的两个粒子，一个重要不变量是 曼德尔施塔姆变量 $s$：

$$s\equiv (p_1+p_2{)}^2$$

在质心系，即总动量为零的参考系中，$s=(E_{\text{CM}}/c{)}^2$，因此 $E_{\text{CM}}=\sqrt{s}c$。在靶粒子 $b$ 静止、入射粒子 $a$ 能量为 $E_a$ 的实验室系中，

$$s=m_a^2{c}^2+m_b^2{c}^2+2m_b{E}_a$$

也可更直观地写为

$$s{c}^2=m_a^2{c}^4+m_b^2{c}^4+2m_b{c}^2{E}_a$$

若生成末态粒子的总静止质量为 $M_{\text{final}}$，在阈值处，质心系中可用于相对运动的动能恰好为零，因此

$$s_{\text{th}}=M_{\text{final}}^2{c}^2$$

所需的实验室入射能量为

$$E_{a,\text{th}}=\frac{M_{\text{final}}^2{c}^4-\left(m_a^2+m_b^2\right)c^4}{2m_b{c}^2}$$

例如，考虑一个质子静止时的反应 $p+p\to p+p+{\pi }^0$。以 $m_p$ 和 $m_{\pi }$ 表示相应静止质量，$M_{\text{final}}=2m_p+m_{\pi }$，代入上式可得入射质子的阈值总能量约为 1.22 GeV，对应的阈值动能约为 0.28 GeV。

5.4.5 质心系与系统的不变质量

对于孤立系统，定义 总四维动量：

$$P^{\mu }\equiv \sum _i{p}_i^{\mu }$$

不变量

$$M_{\text{sys}}^2{c}^2\equiv P_{\mu }{P}^{\mu }$$

给出系统的 不变质量。在质心系中 $\mathbf{P}=0$，因此 $M_{\text{sys}}{c}^2=E_{\text{CM}}$。关键是，$M_{\text{sys}}$ 不只是各组分静止质量的总和，还包含内部动能和束缚能。例如，装有辐射的盒子比同样的空盒具有更大的 $M_{\text{sys}}$；尽管每个光子的静止质量为零，它们仍携带能量和动量。

5.4.6 无质量粒子与色散关系

当 $m=0$ 时，不变关系成为

$$E=pc$$

类光世界线没有可定义的四维速度，但四维动量仍有限且正确变换。光子的能量与频率满足 $E=h\nu$，与 $p=h/\lambda$ 及麦克斯韦波以 $c$ 传播相一致。有质量粒子无法达到 $c$，因为这要求 $\gamma \to \infty$，也就需要无限能量。

5.4.7 约束动力学与辐射反作用概览

对于带电粒子，洛伦兹力的三维形式为，协变推导见第5.5节：

$$\frac{d\mathbf{p}}{dt}=q\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B}\right),\frac{dE}{dt}=q\mathbf{E}\cdot \mathbf{v}$$

加速电荷会辐射，因此更精细的描述还需要 辐射反作用力。其经典阿布拉罕—洛伦兹—狄拉克形式存在微妙问题，可能出现失控解；实际计算常使用与外场条件相容的近似。动力学上的关键是，必须在 $dE/dt$ 的能量收支中计入辐射损失。

5.4.8 固有加速度与双曲运动

沿 $x$ 方向具有 恒定固有加速度 $a$ 的轨迹满足

$$\begin{array}{rl}ct(\tau )& =\frac{c^2}{a}\sinh \left(\frac{a\tau }{c}\right)\\ x(\tau )& =\frac{c^2}{a}\cosh \left(\frac{a\tau }{c}\right)\end{array}$$

微分得到速度

$$v(\tau )=\frac{dx}{dt}=c\tanh \left(\frac{a\tau }{c}\right)$$

因此，即使固有加速度恒定，当 $v$ 接近 $c$ 时，坐标加速度仍会减小。运动渐近接近光速而不越过，固有时相对于该坐标时间也积累得更慢。

5.4.9 解题工具

• 使用 $p^{\mu }=(E/c,\mathbf{p})$ 并应用四维动量守恒；对四维矢量取平方，可得到不依赖参考系的结果。
• 对火箭或粒子束，用 $dE/dt=\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}$ 计算功率，并通过 $d\mathbf{p}/dt$ 分析推力。
• 选择质心系简化代数，再用第5.3节的洛伦兹公式变换回实验室系。
• 记住 $M_{\text{sys}}$ 包含内部动能与束缚能；系统质量是不变量，而不只是组分静止质量之和。

小结： 相对论动力学将能量与动量合为满足 $E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$ 的四维矢量。力通过 $d\mathbf{p}/dt$ 改变动量，以 $\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}$ 的速率做功；协变四维力 $K^{\mu }=d{p}^{\mu }/d\tau$ 与 $u^{\mu }$ 正交。用 $s$ 和系统质量 $M_{\text{sys}}$ 等不变量处理碰撞尤其方便。守恒四维矢量并保持因果结构，是这一几何化动力学的核心。

5.5 电磁学的相对论形式

麦克斯韦理论本身已蕴含相对论对称性。本节将 $\mathbf{E}$ 与 $\mathbf{B}$ 合为一个 场张量，用 四维形式 表达方程和力，并找出所有观察者一致认可的不变量。

5.5.1 四维电流、四维势与场张量

将电荷密度与电流密度组合为 四维电流：

$$J^{\mu }\equiv \left(c\rho ,\mathbf{J}\right)$$

将标势与矢势组合为 四维势：

$$A^{\mu }\equiv \left(\frac{\varphi }{c},\mathbf{A}\right)$$

定义反对称的 电磁场张量：

$$F_{\mu \nu }\equiv {\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }$$

采用度规 ${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$ 和国际单位制时，

$$F^{0i}=-\frac{E_i}{c},F^{ij}=-{ϵ}^{ijk}{B}_k$$

因此，$\mathbf{E}$ 与 $\mathbf{B}$ 是同一张量的不同部分。

5.5.2 两条简洁的张量方程

四个麦克斯韦方程可以压缩为两个：

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu }$$ $${\partial }_{[\alpha }{F}_{\beta \gamma ]}=0$$

使用对偶张量 ${\tilde{F}}^{\mu \nu }\equiv \frac{1}{2}{ϵ}^{\mu \nu \alpha \beta }{F}_{\alpha \beta }$，第二行成为

$${\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0$$

这样写出后，洛伦兹协变性一目了然：方程在每个惯性参考系中都保持相同形式。

5.5.3 一行写出的洛伦兹力

电荷为 $q$、四维速度为 $u^{\mu }$ 的粒子满足

$$\frac{d{p}^{\mu }}{d\tau }=q{F}^{\mu }{}_{\nu }{u}^{\nu }$$

分离时间和空间分量，得到熟悉的三维形式：

$$\frac{d\mathbf{p}}{dt}=q\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B}\right),\frac{dE}{dt}=q\mathbf{E}\cdot \mathbf{v}$$

一个协变方程统一描述所有惯性参考系。

5.5.4 规范对称性与波动方程

规范变换不改变物理场：

$$A_{\mu }\to A_{\mu }+{\partial }_{\mu }\chi$$

采用 洛伦茨规范

$${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0$$

时，麦克斯韦方程化为势的波动方程：

$$\square A^{\mu }={\mu }_0{J}^{\mu }$$

其中 $\square \equiv {\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\nabla }^2$ 是达朗贝尔算符。

5.5.5 场如何变换：洛伦兹推动混合 $\mathbf{E}$ 与 $\mathbf{B}$

相对论把电场与磁场看作同一张量在给定参考系中的不同分解。对于速度为 $\mathbf{v}$ 的洛伦兹推动，

$${\mathbf{E}}_{\parallel }^{\prime }={\mathbf{E}}_{\parallel },{\mathbf{B}}_{\parallel }^{\prime }={\mathbf{B}}_{\parallel }$$ $${\mathbf{E}}_{\perp }^{\prime }=\gamma \left({\mathbf{E}}_{\perp }+\mathbf{v}\times \mathbf{B}\right),{\mathbf{B}}_{\perp }^{\prime }=\gamma \left({\mathbf{B}}_{\perp }-\frac{\mathbf{v}\times \mathbf{E}}{c^2}\right)$$

若以速度 $v$ 沿 $x$ 方向推动，则

$$\begin{array}{rl}{E}_x^{\prime }& =E_x\\ E_y^{\prime }& =\gamma \left(E_y-v{B}_z\right)\\ E_z^{\prime }& =\gamma \left(E_z+v{B}_y\right)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{B}_x^{\prime }& =B_x\\ B_y^{\prime }& =\gamma \left(B_y+\frac{v}{c^2}{E}_z\right)\\ B_z^{\prime }& =\gamma \left(B_z-\frac{v}{c^2}{E}_y\right)\end{array}$$

一个参考系中的纯电场，在另一个参考系中通常表现为电场与磁场的组合。

5.5.6 两个洛伦兹不变量：不依赖参考系的判断依据

两个独立的洛伦兹标量可以刻画场的性质：

$${\mathcal{I}}_1\equiv F_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }$$ $${\mathcal{I}}_2\equiv \frac{1}{2}{ϵ}^{\mu \nu \alpha \beta }{F}_{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }$$

用国际单位制中的变量表示，

$${\mathcal{I}}_1=2\left({\mathbf{B}}^2-\frac{{\mathbf{E}}^2}{c^2}\right),{\mathcal{I}}_2=-\frac{4}{c}\mathbf{E}\cdot \mathbf{B}$$

对于平面波，

$$\mathbf{E}\perp \mathbf{B},|\mathbf{E}|=c|\mathbf{B}|,\mathbf{E}\cdot \mathbf{B}=0$$

因此 ${\mathcal{I}}_1={\mathcal{I}}_2=0$，称为 零场型，即null field。若 ${\mathcal{I}}_1<0$ 且 ${\mathcal{I}}_2=0$，存在一个参考系使场为纯电场；若 ${\mathcal{I}}_1>0$ 且 ${\mathcal{I}}_2=0$，则存在纯磁场参考系。

5.5.7 场的能量、动量与应力

将能量、动量与应力组合为 电磁能量—动量张量：

$$T^{\mu \nu }=\frac{1}{{\mu }_0}\left(-F^{\mu \alpha }{F}^{\nu }{}_{\alpha }+\frac{1}{4}{\eta }^{\mu \nu }{F}^{\alpha \beta }{F}_{\alpha \beta }\right)$$

存在源时，场与物质交换能量和动量，满足

$${\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=-F^{\nu \lambda }{J}_{\lambda }$$

其分量为：

$$T^{00}=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\mathbf{E}}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}{\mathbf{B}}^2$$ $$T^{0i}=\frac{1}{c}{S}_i,\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}$$

因此，$T^{00}$ 是能量密度，$T^{0i}$ 等于 $S_i/c$，其中 $\mathbf{S}$ 是坡印廷矢量。动量密度是 $S_i/c^2$。空间分量 $T^{ij}$ 是动量通量张量，与通常定义的麦克斯韦应力张量相差一个负号，描述场的压力和张力。

5.5.8 拉格朗日密度：统一表达

场论的出发点可以写成一行：

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4{\mu }_0}{F}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }-J^{\mu }{A}_{\mu }$$

对 $A_{\mu }$ 变分得到麦克斯韦方程；规范对称性与诺特定理所揭示的电荷守恒 ${\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=0$ 密切相关。

5.5.9 运动电荷的场：磁场为何出现

对静态库仑场进行洛伦兹推动，会得到方向分布发生压缩的电场，以及一个磁场。也就是说，

$$\text{磁场}=\text{“从运动参考系看到的电场”}$$

磁场是 $F_{\mu \nu }$ 在特定参考系中的一部分，而不是与电场毫无关联的另一种实体。

5.5.10 快速回顾

• 场为 $F_{\mu \nu }$，源为 $J^{\mu }$，势为 $A^{\mu }$。
• 麦克斯韦方程：${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu }$ 和 ${\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0$。
• 洛伦兹力：$d{p}^{\mu }/d\tau =q{F}^{\mu }{}_{\nu }{u}^{\nu }$。
• 洛伦兹推动混合 $\mathbf{E}$ 与 $\mathbf{B}$，但不变量 ${\mathcal{I}}_1,{\mathcal{I}}_2$ 保持不变。
• 能量与动量通过 $T^{\mu \nu }$ 描述；$\mathbf{S}=(1/{\mu }_0)\mathbf{E}\times \mathbf{B}$。

小结： 电磁场可统一为张量 $F_{\mu \nu }$。洛伦兹变换改变 $\mathbf{E}$ 与 $\mathbf{B}$ 的分解，却不改变物理规律。四维形式使协变性和不变量更加清楚，将冗长的矢量计算组织为紧凑的几何关系。

5.6 相对论光学与技术

当光源或观察者高速运动时，狭义相对论会改变观测到的光。多普勒效应、光行差与束射 构成一组实用工具，可解释类星体喷流、加速器辐射等现象，并用于卫星导航和同步辐射光源。本节介绍主要公式、不变量与应用。

5.6.1 相对论多普勒效应：运动学引起的频移

对于严格沿视线方向的相对运动，令带符号的径向速度 $v$ 在接近时为正、远离时为负，并定义 $\beta \equiv v/c$。此时，观测频率与发射频率通过 多普勒因子 联系：

$$\mathcal{D}\equiv \sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}$$

接近的光源发生蓝移，远离的光源发生红移：

$${\nu }_{\text{obs}}=\mathcal{D}{\nu }_{\text{emit}}$$

低速下，这回到经典近似。当光源在观察者参考系中沿横向运动时，横向多普勒效应 仍产生由时间膨胀导致的红移：

$${\nu }_{\text{obs}}=\frac{{\nu }_{\text{emit}}}{\gamma },\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$$

5.6.2 光行差：光线看起来来自何处

观测者的运动使视在光源方向向运动方向集中；光源的来向与光子的传播方向相反。下式中，$\theta$ 是 $S$ 系内光子传播方向与 $x$ 轴的夹角，${\theta }^{\prime }$ 是在沿 $+x$ 方向以速度 $v$ 运动的 $S^{\prime }$ 系中定义的相应传播角：

$$\cos {\theta }^{\prime }=\frac{\cos \theta -\beta }{1-\beta \cos \theta }$$

等价地，

$$\tan \left(\frac{{\theta }^{\prime }}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)$$

恒星的视位置会发生偏移，即光行差；在高 $\gamma$ 下，辐射图样表现出明显的 前向束射。

5.6.3 束射与强度变换

比强度满足一个重要不变量：

$$\frac{I_{\nu }}{{\nu }^3}\text{是洛伦兹不变量}$$

因此，对于多普勒因子为 $\mathcal{D}$ 的变换，

$$I_{\nu }={\mathcal{D}}^3{I}_{{\nu }^{\prime }}^{\prime },\nu =\mathcal{D}{\nu }^{\prime }$$

对频率积分，得到总辐射强度的变换：

$$I={\mathcal{D}}^4{I}^{\prime }$$

这种 探照灯效应 使接近视线方向的相对论喷流看起来显著增亮，背离我们的喷流则变暗。洛伦兹变换没有创造光子，而是改变了能量、方向和到达速率的观测分布。

5.6.4 同步辐射与曲率辐射

带电粒子沿弯曲轨道运动时会辐射。对于半径为 $\rho$ 的超相对论圆周运动，辐射谱的特征尺度由 临界频率 给出：

$${\omega }_c=\frac{3}{2}{\gamma }^3\frac{c}{\rho }$$

曲率为 $\rho$ 的运动，其总辐射功率对 $\gamma$ 有很强的依赖：

$$P\propto \frac{q^{2}c}{{\rho }^2}{\gamma }^4$$

这里省略了相应的国际单位制比例系数。两个重要结果是：高能电子在磁场中产生宽频段的 同步辐射，可覆盖无线电到X射线；储存环、波荡器和自由电子激光器则能成为明亮、可调的光源，用于蛋白质晶体学、材料研究和纳米光刻。

5.6.5 亮温与频谱：实用标度

对于满足 $I_{{\nu }^{\prime }}^{\prime }\propto {\nu }^{\prime \alpha }$ 的幂律辐射源，变换后的观测谱满足

$$I_{\nu }\propto {\mathcal{D}}^{3-\alpha }{\nu }^{\alpha }$$

静止系中的各向同性辐射会表现为各向异性：视张角约按 $\sim 1/\gamma$ 缩小，变化时间尺度按 $1/\mathcal{D}$ 压缩。这些标度用于估计耀变体和伽马射线暴的整体洛伦兹因子。

5.6.6 高速雷达与激光雷达：不能简单叠加速度

当平台高速运动时，雷达或激光雷达的拍频同样遵循相对论多普勒关系。对于收发同址、目标沿视线以接近速度 $v$ 运动的雷达，往返传播累积两次频移：

$${\nu }_{\text{beat}}\approx \left({\mathcal{D}}^2-1\right){\nu }_{\text{tx}}$$

在低 $v$ 极限下，得到熟悉的 $2v/c$ 公式；在高 $v$ 下，应使用精确的 $\mathcal{D}$，避免系统偏差。

5.6.7 卫星导航与时钟：相对论工程

现代导航依赖精确计时。狭义相对论中，速度为 $v$ 的时钟因因子 $\gamma$ 而走慢：

$$\frac{\Delta t_{\text{sat}}}{\Delta t_{\text{ground}}}\approx \frac{1}{\gamma }\approx 1-\frac{v^2}{2c^2}$$

卫星时钟因轨道速度而走慢，这是狭义相对论效应；又因引力势较高而走快，这是广义相对论效应。导航系统预先调整时钟频率，并使用相对论模型持续校正时间；若忽略这些效应，定位误差每天可增长到千米量级。

5.6.8 相对论速度下的成像

若相机以接近 $c$ 的速度掠过场景，光行差会把观测方向集中到前方，多普勒效应改变颜色和频谱，而光行时差导致的 特雷尔旋转效应 使某些物体看起来像发生旋转，并非简单被压扁。实验中也能利用相关运动学：相对论电子与激光相互作用时，可通过逆康普顿散射产生高能X射线，形成紧凑光源。

5.6.9 切伦科夫辐射与多普勒效应的区别

切伦科夫辐射发生于电荷在 介质 中的速度超过该介质中光的 相速度 时。它并不意味着超过真空光速，也不违反相对论。相对论多普勒效应与光行差则是不同观察者之间的光传播运动学关系。两类现象都用于探测器和天体物理，但描述的是不同机制。

5.6.10 实用速查

• 多普勒因子： $\mathcal{D}=\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}$；使用 ${\nu }_{\text{obs}}=\mathcal{D}{\nu }_{\text{emit}}$。
• 横向多普勒效应： ${\nu }_{\text{obs}}={\nu }_{\text{emit}}/\gamma$。
• 光行差： $\cos {\theta }^{\prime }=\frac{\cos \theta -\beta }{1-\beta \cos \theta }$。
• 强度： $I_{\nu }/{\nu }^3$ 不变，因此 $\Rightarrow I_{\nu }={\mathcal{D}}^3{I}_{{\nu }^{\prime }}^{\prime }$；总辐射强度满足 $I={\mathcal{D}}^4{I}^{\prime }$。
• 同步辐射： ${\omega }_c=(3/2){\gamma }^{3}c/\rho$；功率 $\propto {\gamma }^4/{\rho }^2$。

小结： 相对论光学把时空运动学带入实际工程。多普勒效应与光行差决定频率和视方向，束射与强度不变量决定亮度，同步辐射公式描述弯曲轨道上的电荷辐射。几组关系便能解释宇宙喷流、设计高亮度光源，并保障导航精度。

5.7 等效原理：通向广义相对论

狭义相对论用几何重建运动学，引力则进一步改变几何本身。入口是爱因斯坦的 等效原理：在足够小的局部区域内，均匀引力场的效应与加速参考系的效应无法区分。由此可以理解引力红移、自由落体的普适性，并走向广义相对论的场方程。

5.7.1 惯性质量与引力质量：关键线索

牛顿力学中有两种质量：惯性质量 $m_{\mathrm{i}}$ 描述对加速的抗拒，引力质量 $m_{\mathrm{g}}$ 描述引力耦合强度。实验显示两者以极高精度成正比，采用通常单位后相等，因此自由落体运动不依赖物体组成。这种 自由落体普适性 暗示，引力可以理解为以同样方式影响物质的时空性质。

爱因斯坦将 $m_{\mathrm{g}}=m_{\mathrm{i}}$ 作为出发点，追问：怎样的理论图景能自然解释这一事实？

5.7.2 爱因斯坦的电梯：用加速理解红移与光线偏折

设想深空中一间最初静止的小实验室，也就是电梯。启动火箭，使其以加速度 $a$ 向上运动。地板上的激光向上发射；光到达天花板时，天花板已获得速度，因此接收到的光发生 多普勒红移。对于高度差 $h$，频率的相对变化近似为

$$\frac{\Delta \nu }{\nu }\approx -\frac{ah}{c^2}$$

将 $a$ 替换为 $g$，就得到均匀弱引力场中的 引力红移：

$$\frac{\Delta \nu }{\nu }\approx -\frac{gh}{c^2}$$

同一实验室中，再水平发射一束光。在飞行时间 $t\approx \ell /c$ 内，舱室相对光束向上加速，因此舱内观察者看到光向下弯曲。根据等效原理，光在质量附近也应偏折。电梯思想实验已经揭示了广义相对论核心预言的线索。

5.7.3 局部惯性系：引力只能在局部被消去

在任一时空事件附近，可以选择坐标，使一阶近似下的物理形式与狭义相对论相同。具体而言，在点 $P$ 存在 局部惯性坐标，满足

$$g_{\mu \nu }(P)={\eta }_{\mu \nu },{\partial }_{\alpha }{g}_{\mu \nu }(P)=0$$

在这种坐标下，自由落体在 $P$ 附近局部表现为惯性运动，时钟也服从狭义相对论，但这只在 局部 成立。引力不能在整个区域被消去，因为度规的二阶导数组合形成曲率，体现 潮汐效应。

5.7.4 测地线：自由落体的几何路径

在广义相对论中，自由落体是 测地线运动，即弯曲流形上使固有时取驻值的曲线。运动方程为

$$\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{\tau }^2}+{\Gamma }^{\mu }{}_{\alpha \beta }\frac{d{x}^{\alpha }}{d\tau }\frac{d{x}^{\beta }}{d\tau }=0$$

这里 ${\Gamma }^{\mu }{}_{\alpha \beta }$ 是由 $g_{\mu \nu }$ 构造的克里斯托费尔符号。在平直时空的全局惯性坐标中可令其处处为零；弯曲时空中则可通过局部惯性坐标在一点将其消去，而不能在有限区域内消除真实曲率。

5.7.5 曲率与潮汐：测地线偏离

两个邻近自由落体粒子的间隔为 ${\xi }^{\mu }$、四维速度为 $u^{\mu }$，它们满足 测地线偏离方程：

$$\frac{D^2{\xi }^{\mu }}{D{\tau }^2}=-R^{\mu }{}_{\nu \alpha \beta }{u}^{\nu }{\xi }^{\alpha }{u}^{\beta }$$

$R^{\mu }{}_{\nu \alpha \beta }$ 为黎曼曲率张量。若 $R^{\mu }{}_{\nu \alpha \beta }=0$，就没有由曲率产生的相对加速度；初始平行的自由落体世界线保持平行。非零曲率可以使它们会聚或分离，这就是引力的潮汐表现。广义相对论中的引力由几何描述，而不是一个普通矢量场。

5.7.6 从等效原理到场方程

爱因斯坦寻找满足以下要求的简单场方程：

1. 在弱场、低速极限下回到牛顿引力；
2. 与局部能量—动量守恒相容；
3. 具有广义协变性，即可在任意坐标中表达。

结果是 爱因斯坦场方程：

$$G_{\mu \nu }\equiv R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$

也可以在左侧加入宇宙学常数 $\Lambda$，成为 $(-\Lambda g_{\mu \nu })$；下面为简洁起见将其省略。$T_{\mu \nu }$ 是物质与场的能量—动量张量。左侧的几何 $G_{\mu \nu }$ 与右侧的源 $T_{\mu \nu }$ 相联系，常被概括为：物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动。

5.7.7 牛顿极限：恢复泊松方程

考虑静态弱场，其度规分量为

$$g_{00}\approx 1+\frac{2\Phi }{c^2}$$

其中 $\Phi$ 为牛顿引力势，满足 $|\Phi |/c^2\ll 1$。将这一形式代入场方程，并保留 $1/c^2$ 的最低阶项，得到

$${\nabla }^2\Phi =4\pi G\rho$$

自由落体轨迹则回到 $\mathbf{a}=-\nabla \Phi$。因此，广义相对论包含牛顿引力，后者是它的低速、弱场极限。

5.7.8 引力时间膨胀与红移：静态场中的固有时

对于不随时间变化的度规，固定空间坐标处的时钟记录固有时

$$d\tau =\sqrt{g_{00}}dt$$

在地球附近，$g_{00}\approx 1+2\Phi /c^2$，向上的小势差为 $\Delta \Phi \approx g\Delta h$。光从下方向上传播时，上方接收频率相对于下方发射频率的变化为

$$\frac{\Delta \nu }{\nu }\approx -\frac{\Delta \Phi }{c^2}\approx -\frac{g\Delta h}{c^2}$$

因此，GPS卫星时钟由于位于较高的 $\Phi$，其引力效应使走时快于地面同类时钟，需要预先偏置并持续校正。

5.7.9 加速参考系与林德勒坐标：平直时空中的准备

平直时空中的匀加速观察者可用 林德勒楔区 描述。在 $1+1$ 维情形中，一组方便的坐标 $(\rho ,\eta )$ 与惯性坐标 $(ct,x)$ 的关系为

$$ct=\rho \sinh \left(\frac{a\eta }{c}\right),x=\rho \cosh \left(\frac{a\eta }{c}\right)$$

在这些坐标中，度规写为

$$d{s}^2={\left(\frac{a\rho }{c^2}\right)}^2{c}^{2}d{\eta }^2-d{\rho }^2$$

不同 $\rho$ 处的时钟具有不同走时速率，类似引力红移。等效原理告诉我们，只要实验室尺度上的曲率效应足够小，许多加速参考系效应都有相应的引力类比。

5.7.10 光线偏折、延迟与近日点进动预览

完整的广义相对论通过度规给出定量预言。对于以碰撞参数 $b$ 掠过质量 $M$ 的光线，弱场偏折角为

$$\Delta \theta \approx \frac{4GM}{c^{2}b}$$

掠过大质量天体的信号会出现额外的 夏皮罗时间延迟，它与 $g_{00}$ 和空间曲率有关。弯曲时空中的束缚轨道会进动；扣除行星摄动后，水星剩余的近日点进动与广义相对论相符。下一节将汇总这些经典检验。

5.7.11 等效原理究竟断言什么

• 弱等效原理，即自由落体普适性： 自引力可忽略的试验物体，在同一引力场中具有相同初始条件时，沿相同轨迹运动。
• 爱因斯坦等效原理： 在局部自由落体参考系中，非引力物理回到狭义相对论；局部实验结果不依赖进行实验的位置和时刻。

等效原理并不是说引力可以在整个空间消除，也不是说真实潮汐效应只是虚构。它说明，自由落体可以局部消去联络所表现的引力效应，而曲率及其潮汐作用仍是不可消除的物理内容。

5.7.12 基本解题工具

• 给定度规 $g_{\mu \nu }$，计算静止时钟的 $d\tau =\sqrt{g_{00}}dt$，比较走时速率。
• 在弱场低速条件下，从 $g_{00}\approx 1+2\Phi /c^2$ 读出 $\Phi$，恢复牛顿极限。
• 追踪自由落体时，用 ${\Gamma }^{\mu }{}_{\alpha \beta }(g)$ 建立并积分测地线方程，或利用对称性对应的守恒量，例如由基灵矢量导出的量。

小结： 等效原理将引力重新表述为几何。局部自由落体可消去引力的一阶效应，却不能消去曲率；潮汐作用保留了真实物理信息。结合局部守恒、协变性和牛顿极限等要求，得到爱因斯坦方程 $G_{\mu \nu }=(8\pi G/c^4)T_{\mu \nu }$。从红移、光线偏折到轨道时钟速率，电梯思想实验最终发展为弯曲时空的完整理论。

5.8 检验与前沿

相对论是一套可以接受精密检验的物理理论。从水星轨道到引力波和黑洞图像，它不断面对新的观测。本节先回顾经典检验，再讨论精密测量、强引力和宇宙尺度上的前沿问题。

5.8.1 弱场中的经典检验

水星近日点进动。 牛顿引力加上行星摄动仍留下少量额外进动。对于绕质量 $M$ 运动、半长轴为 $a$、偏心率为 $e$ 的束缚轨道，广义相对论预言每圈进动为

$$\Delta \phi \approx \frac{6\pi GM}{c^{2}a(1-e^2)}$$

光线偏折。 以碰撞参数 $b$ 掠过质量 $M$ 的光线，偏折角为

$$\Delta \theta \approx \frac{4GM}{c^{2}b}$$

这一结果是简单牛顿粒子估算的两倍，因为完整的时空几何同时包含时间与空间部分的贡献。

引力红移。 在静态弱场中，高势处的钟走得更快，而向上传播的光被接收时的频率低于发射频率。在地球附近，重力加速度为 $g$，向上的小高度差为 $h$ 时，光的相对频移为

$$\frac{\Delta \nu }{\nu }\approx -\frac{gh}{c^2}$$

夏皮罗时间延迟。 雷达信号掠过大质量天体时，比平直空间中的预期更晚到达。对于经过质量 $M$ 附近的适当往返几何结构，

$$\Delta t\propto \frac{GM}{c^3}\ln \left(\frac{\text{路径距离}}{\text{碰撞参数}}\right)$$

其中的对数依赖是这一效应的特征。

5.8.2 等效原理检验

若不同组成的不带电试验物体以相同方式下落，厄缶参数 就必须极小：

$$\eta \equiv \frac{2|a_1-a_2|}{a_1+a_2}$$

扭秤、原子干涉仪和月球激光测距等实验，把 $\eta$ 限制在极小范围内，支持自由落体普适性及局部等效原理。

5.8.3 双脉冲星与引力辐射

致密双星通过引力波损失轨道能量，使轨道周期缩短。在广义相对论中，周期变化率依赖 啁啾质量 $M_c$：

$$M_c\equiv \frac{(m_1{m}_2{)}^{3/5}}{(m_1+m_2{)}^{1/5}}$$

对于轨道周期为 $P$ 的近圆双星，

$$\dot{P}=-\frac{192\pi }{5}{\left(\frac{G{M}_c}{c^3}\right)}^{5/3}{\left(\frac{2\pi }{P}\right)}^{5/3}$$

脉冲星的射电计时可以检验这类预言，并约束 $M_c$。对于偏心双星还需加入相应修正；这些观测支持广义相对论的辐射预测。

5.8.4 引力波的直接探测与啁啾

干涉仪测量引力波经过时产生的无量纲应变 $h=\Delta L/L$。对于近圆轨道的旋近过程，引力波频率 $f$ 按以下规律加速变化：

$$\dot{f}=\frac{96}{5}{\pi }^{8/3}{\left(\frac{G{M}_c}{c^3}\right)}^{5/3}{f}^{11/3}$$

由 $f(t)$ 可提取 $M_c$，再结合波幅等信息估计距离，无需传统宇宙距离阶梯。多台探测器联合定位光源，偏振与相位演化则用于检验广义相对论波形。

5.8.5 黑洞与强引力

定义 史瓦西半径：

$$r_s\equiv \frac{2GM}{c^2}$$

$r_s$ 附近的光子轨道、最内稳定圆轨道与潮汐作用，可用于探测强场度规。甚长基线干涉测量解析视界尺度的结构；星系中心附近的恒星轨道则通过进动和红移约束时空结构，并为检验黑洞无毛图景提供途径。

5.8.6 参考系拖曳与测地进动

旋转质量会拖曳局部惯性系。在角动量为 $\mathbf{J}$ 的天体附近，陀螺的引力磁进动速率量级为

$${\mathbf{\Omega }}_{\text{LT}}\sim \frac{G\mathbf{J}}{c^2{r}^3}$$

测地进动则来自物体在弯曲时空中的运动。卫星陀螺和轨道升交点的跟踪可测量这些效应，相关结果在各自精度内支持广义相对论。

5.8.7 技术中的相对论：时钟、导航与时间传递

时间膨胀与引力红移是精密工程必须考虑的效应。卫星时钟利用狭义和广义相对论进行频率预调与时间校正，使测距模型在米级乃至更高精度上保持一致。光纤和微波时间传递也需要相应修正，携带原子钟的实验则检验了预测的走时差。

5.8.8 参数化后牛顿框架

为了比较广义相对论与替代理论，弱场可观测量可用 $\gamma$ 和 $\beta$ 等参数描述。例如，光线偏折正比于 $1+\gamma$，近日点进动依赖 $\gamma$ 与 $\beta$ 的组合。广义相对论预言 $\gamma =\beta =1$。太阳系和脉冲星观测对偏离这些值的可能性给出了严格限制。

5.8.9 传播速度、色散与引力子质量

若引力传播速度不同于 $c$，可通过传播时间检验；若引力子具有质量 $m_g$，通常还会产生频率依赖的色散。简单有质量引力子模型满足

$$E^2=p^2{c}^2+m_g^2{c}^4$$

这使高频波的群速度高于低频波。观测波形和多信使事件对色散及传播速度偏离给出严格限制，结果与以 $c$ 传播相容。

5.8.10 宇宙学前沿

在最大尺度上，广义相对论结合物质成分得到膨胀宇宙解。适当的正宇宙学常数 $\Lambda$ 可以驱动加速膨胀。几何与能量成分通过尺度因子 $a(t)$ 的 弗里德曼方程 联系：

$${\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}+\frac{\Lambda c^2}{3}$$

距离—红移关系、引力透镜和结构增长共同检验宇宙演化中的引力理论；不同探针之间的不一致可能提示模型问题或新的物理。

5.8.11 新物理可能出现在哪里

• 强场偏离。 黑洞并合后的振铃泛音可检验克尔度规预期的频谱。
• 等效原理的边界。 超轻场或暗部门耦合可能引起依赖物质组成的加速度，或基本常数随时间变化。
• 短距离引力。 桌面实验在毫米到微米等尺度寻找平方反比定律的偏离。
• 洛伦兹对称性。 高能宇宙线与精密计时用于寻找引力部门中微小的对称性破缺。

这些检验持续约束替代理论的参数空间，也不断提高广义相对论所面对的检验精度。

5.8.12 基本解题工具

• 用上面的 $\Delta \phi$ 计算类似水星的进动，并与多圈后的牛顿椭圆比较。
• 对掠过质量体的光路，用本节公式估计偏折角与夏皮罗延迟。
• 给定双星质量和周期，使用 $\dot{P}$ 与 $\dot{f}$ 预测波形演化和旋近时间。
• 给定两个时钟的高度差 $\Delta h$，计算引力红移，并联系卫星导航的时钟偏置。

小结： 相对论经历了一个世纪的检验：轨道进动、光线偏折和延迟、时钟速率变化、双星啁啾与黑洞阴影，都在相应观测精度内支持其预言。前沿集中在更高精度与更极端条件：实验室中的微小尺度、宇宙中的兆秒差距尺度，以及 $r_s$ 附近的强引力区域。无论在哪个领域，不变量、光锥和时空度规都是分析的核心工具。