暗能量

约定： 引力方程取 $c=1$，$\rho$ 表示能量密度；第3节在距离公式中恢复 $c$。令今天的 $a_0=1$，则 $1+z=1/a$。上方圆点表示对宇宙时间求导。距离示例假定空间平坦。暗能量是在广义相对论中解释宇宙晚期加速的成分名称，并不是已经发现的某种粒子。

1. 现象：加速膨胀的宇宙

为什么加速令人意外？普通物质产生吸引，应当使已经开始的膨胀减速。但超新星团队发现，经过标准化的远方Ia型超新星，比减速参照模型预言的更暗，因此距离更远。1998年的分析和独立的1999年分析从距离—红移关系推断加速，并非实时看到某个星系的速度上升。尘埃、天体演化和样本选择都需要检验；不同宇宙学探针的一致性使这种解释更有说服力。

尺度因子 $a(t)$ 描述随平均宇宙流自由运动的观测者之间的距离。均匀性与各向同性给出下面的FLRW度规，$k$ 表示空间曲率。把理想流体的能动张量代入爱因斯坦方程，得到两条弗里德曼方程。这里的 $\rho ,p$ 不包含单独写出的宇宙学常数。

$$\begin{array}{c}d{s}^2=-d{t}^2+a^2(t)\left[\frac{d{r}^2}{1-k{r}^2}+r^{2}d{\Omega }^2\right],H=\frac{\dot{a}}{a}.\\ H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k}{a^2}+\frac{\Lambda }{3},\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +3p)+\frac{\Lambda }{3}.\end{array}$$

广义相对论中压力也产生引力：加速方程包含 $\rho +3p$，而不只是密度。因此，正密度配合足够负的压力就能使膨胀加速，无须负质量。也可把 $\Lambda$ 吸收到满足 ${\rho }_{\Lambda }=\Lambda /(8\pi G)$、$p_{\Lambda }=-{\rho }_{\Lambda }$ 的流体中，同时删去显式的 $\Lambda$ 项，不能重复计算。若总密度为正，加速要求 $w_{\mathrm{total}}=p_{\mathrm{total}}/{\rho }_{\mathrm{total}}<-1/3$。即使暗能量本身满足 $w<-1/3$，若其占比太小而物质仍占主导，也不会加速。

减速参数 $q$ 把这一区别定量化。各 ${\Omega }_i$ 都是相对于同一时期临界密度 $3H^2/(8\pi G)$ 的比例，下面把暗能量视作流体。加速意味着 $q<0$，但不一定意味着 $H$ 增大：距离的增长速度可以越来越快，同时相对增长率却在下降。

$$q\equiv -\frac{\ddot{a}}{a{H}^2}=\frac{1}{2}{\Omega }_m+{\Omega }_r+\frac{1}{2}(1+3w){\Omega }_{\mathrm{DE}},\dot{H}=\frac{\ddot{a}}{a}-H^2.$$

计算示例： 仅作说明，取平坦的物质＋$\Lambda$ 模型，${\Omega }_{m0}=0.30$、${\Omega }_{\Lambda 0}=0.70$，忽略辐射。今天 $q_0=0.30/2-0.70=-0.55$。由于 ${\rho }_m\propto a^{-3}$，加速从 ${\rho }_m=2{\rho }_{\Lambda }$ 开始，所以 $a_{\mathrm{acc}}=(0.30/1.40{)}^{1/3}\simeq 0.598$，即 $z_{\mathrm{acc}}\simeq 0.67$。物质与真空密度相等则发生在更晚的 $a\simeq 0.754$。暗能量超过物质和加速开始是两个不同的门槛。

加速有自己的门槛。 在示例平坦模型 $({\Omega }_{m0},{\Omega }_{\Lambda 0})=(0.30,0.70)$ 中，$q(a)$ 在 $a\simeq 0.598$ 穿过零点（实线辅助线），密度相等则在 $a\simeq 0.754$（虚线）。曲线按给定模型计算，并非观测拟合。

2. 状态方程与参数化

定义 $w=p_{\mathrm{DE}}/{\rho }_{\mathrm{DE}}$。对于不与其他组分交换能量的均匀成分，局部能量动量守恒给出连续性方程。除以 $H\rho$，再用 $d\ln a=Hdt$，即可积分：

$$\begin{array}{c}{\dot{\rho }}_{\mathrm{DE}}+3H({\rho }_{\mathrm{DE}}+p_{\mathrm{DE}})=0,\frac{d\ln {\rho }_{\mathrm{DE}}}{d\ln a}=-3(1+w).\\ {\rho }_{\mathrm{DE}}(a)={\rho }_{\mathrm{DE},0}\exp \left[-3{\int }_1^a(1+w(a^{\prime }))d\ln a^{\prime }\right].\end{array}$$

若 $w$ 恒定，则 $\rho \propto a^{-3(1+w)}$。物质的 $w\simeq 0$，密度随体积增加而稀释；辐射的 $w=1/3$，还多出光子红移造成的能量损失。宇宙学常数满足 $w=-1$，密度不变。对共动体积 $V\propto a^3$ 使用 $d(\rho V)=-pdV$ 也得到同样结果。负压允许体积内的能量随体积增长，符合局部守恒。一般膨胀时空不一定具有静态时空那种全局守恒的总能量。

Chevallier–Polarski–Linder（CPL）形式用今天的 $w_0$ 和变化系数 $w_a$ 描述可能的时间演化。将其代入积分，得到下面的密度；指数因子不可遗漏。参见原始论文：Chevallier–Polarski与Linder。

$$\begin{array}{c}w(a)=w_0+w_a(1-a)=w_0+\frac{w_{a}z}{1+z},\\ \frac{{\rho }_{\mathrm{DE}}(z)}{{\rho }_{\mathrm{DE},0}}=(1+z{)}^{3(1+w_0+w_a)}\exp \left[-\frac{3w_{a}z}{1+z}\right].\end{array}$$

CPL是一族拟合函数，不是微观理论。$(-1,0)$ 对应 $\Lambda$；它可以跨过 $w=-1$，而单个最小耦合、正能量的正则标量场做不到。对正密度理想流体，$w<-1$ 意味着 $\rho +p<0$，违反零能量条件；但有效拟合不一定意味着基本理论中存在鬼场。当 $w_a\ne 0$ 时，CPL在 $a\to \infty$ 发散，因而不能据此合理外推遥远未来。

3. 背景可观测量

望远镜测量辐射通量、角度、光谱和相关性。模型把它们转换成距离和膨胀率；没有仪器直接读出暗能量密度。每一种探针提供的是这种转换的不同环节。

3.1 哈勃膨胀

定义 ${\Omega }_{i0}={\rho }_{i0}/{\rho }_{c0}$，其中 ${\rho }_{c0}=3H_0^2/(8\pi G)$。平坦宇宙中的各比例之和为1。分别守恒的物质、辐射和暗能量给出：

$$\frac{H^2(z)}{H_0^2}={\Omega }_{r0}(1+z{)}^4+{\Omega }_{m0}(1+z{)}^3+{\Omega }_{\mathrm{DE},0}\frac{{\rho }_{\mathrm{DE}}(z)}{{\rho }_{\mathrm{DE},0}}.$$

在示例的 $z=1$ 处，$H/H_0=\sqrt{0.30\times 8+0.70}\simeq 1.761$。保持今天的比例及 $H_0$ 不变，将 $w=-1$ 改为恒定的 $w=-0.8$，暗能量项变为 $0.70\times 2^{0.6}$，得到 $H/H_0\simeq 1.860$。该时期的暗能量密度变化约52%，而总膨胀率只变化5.7%。物质削弱了效应，距离积分又进一步平滑变化，因此测量时间演化非常困难。

3.2 距离（Ia 型超新星、重子声学振荡、宇宙微波背景）

径向光线满足 $d{s}^2=0$，把距离与 $1/H$ 的积分联系起来。平坦空间中，共动距离 $\chi$、光度距离 $d_L$ 和角直径距离 $D_A$ 满足以下关系。若存在曲率，后两条距离关系中的 $\chi$ 要换成依赖曲率的横向共动距离。通常的距离对偶性还要求光子沿零测地线运动，且光子数守恒。

$$\begin{array}{c}\chi (z)=c{\int }_0^z\frac{d{z}^{\prime }}{H(z^{\prime })},d_L=(1+z)\chi ,D_A=\frac{\chi }{1+z},\\ \mu =5{\log }_{10}\left(\frac{d_L}{10\mathrm{pc}}\right),D_V={\left[(1+z{)}^2{D}_A^2\frac{cz}{H(z)}\right]}^{1/3}.\end{array}$$

标定的光度 $L$ 与辐射通量 $F$ 满足 $F=L/(4\pi d_L^2)$。Ia型超新星是可标准化的烛光，而非完全相同的烛光：光变曲线形状、颜色和宿主星系修正都很重要。距离模数 $\mu$ 用对数表达距离。没有绝对标定的样本主要给出相对距离，绝对光度与 $H_0$ 存在简并。0.10星等的偏移就会使推断距离改变 $10^{0.10/5}-1\simeq 4.7\%$，说明标定的重要性。

重子声学振荡（BAO）利用早期等离子体声波留下的统计优选间距。共动声学视界 $r_d$ 在重子拖曳时期计算。垂直视线方向约束 $D_M/r_d$，沿视线方向约束 $D_H/r_d$，其中 $D_H=c/H$。小间距下的示意关系是：

$${\theta }_{\mathrm{BAO}}\simeq \frac{r_d}{D_M(z)},\Delta z_{\mathrm{BAO}}\simeq \frac{H(z)r_d}{c},D_M=(1+z)D_A.$$

一把统计标尺，两个方向。 橙色横向间距把 $r_d$ 与角度 $\theta$、$D_M$ 联系起来；蓝色径向间距把 $r_d$ 与 $\Delta z$、$H$ 联系起来。几何为示意，标尺采用共动长度。

$D_V$ 概括各向同性BAO分析的距离信息；各向异性分析保留径向与横向信息。BAO是相关函数的特征，不是单个星系携带的刚性尺子。宇宙微波背景（CMB）约束早期密度和声学尺度，帮助标定 $r_d$。晚期参数的推断仍依赖早期物理：改变早期膨胀就可能改变尺子长度。Planck参数分析是这种条件性推断的具体例子。

4. 结构增长

膨胀只是检验的一半。物质密度超额 $\delta =\delta {\rho }_m/{\rho }_m$ 也通过引力增长。对广义相对论中视界内、线性、无压的物质扰动，假定暗能量平滑且辐射贡献可忽略，连续性、欧拉和泊松方程合并为：

$$\ddot{\delta }+2H\dot{\delta }-4\pi G{\rho }_m\delta =0,f\equiv \frac{d\ln D}{d\ln a}.$$

$\delta \propto D(a)$ 描述增长模。$2H\dot{\delta }$ 项抑制增长，密度项推动增长。在平坦的纯物质时期，$D\propto a$；平滑暗能量变重要后，增长相对于 $a$ 变慢。$f\simeq {\Omega }_m(a{)}^{0.55}$ 是 $\Lambda$CDM附近的近似，不是对所有模型和尺度都成立的恒等式。红移空间畸变约束 $f{\sigma }_8$ 等组合。${\sigma }_8$ 是半径 $8h^{-1}$ Mpc球内平均的线性密度反差的均方根，$h=H_0/(100\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}\mathrm{Mp}{\mathrm{c}}^{-1})$。

星系运动响应牛顿势 $\Psi$，而引力透镜探测 $\Phi +\Psi$。采用傅里叶约定 ${\nabla }^2\to -k^2$，相对基准模型的偏离常写为：

$$k^2\Psi =-4\pi G_{\mathrm{eff}}(k,a)a^2{\rho }_m\Delta ,\eta =\frac{\Phi }{\Psi }.$$

$\Delta$ 是共动物质密度扰动；这里的 $k$ 是波数，不是背景曲率。在可忽略各向异性应力的广义相对论中，$G_{\mathrm{eff}}=G$、$\eta =1$。但中微子应力或其他非理想组分也能在广义相对论内造成两势不同。因此，声称修正引力前必须检验物质物理、星系偏置和观测系统误差。

5. 微观模型概述

背景层面的 $w$ 拟合不能唯一确定某个场或引力理论。同样的 $H(z)$ 可以对应不同的扰动、稳定性条件和局部引力行为。

5.1 宇宙学常数 $\Lambda$

洛伦兹不变真空的能动张量与度规成正比。即使能量密度为正，其压力也是负的：

$$T_{\mu \nu }^{(\Lambda )}=-{\rho }_{\Lambda }{g}_{\mu \nu },p_{\Lambda }=-{\rho }_{\Lambda },{\rho }_{\Lambda }=\frac{\Lambda }{8\pi G}.$$

宇宙学常数问题是：包含引力常数项和量子修正的真空重整化总贡献为什么如此小？截断估算不是测得的预言，其数值差异取决于假定的能量尺度和正则化。加入自由的 $\Lambda$ 可以匹配观测值，却不能解释它为何能抵御巨大修正而保持稳定。即使最终确认 $w=-1$，问题仍在。参见Peebles与Ratra的理论讨论。

巧合问题则是另一个问题：真空与物质的密度比按 $a^3$ 变化，为什么我们恰好观测到两者相近的时期？它为动力学模型提供动机，却不证明这些模型正确。

5.2 精质场

精质场模型引入最小耦合的正则标量场。对于均匀场和度规号差 $(-,+,+,+)$，以动能 $K$ 和势能 $V$ 表示：

$$\begin{array}{c}\mathcal{L}=-\frac{1}{2}{g}^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }_{\nu }\varphi -V(\varphi ),\\ K=\frac{1}{2}{\dot{\varphi }}^2,{\rho }_{\varphi }=K+V,p_{\varphi }=K-V,w_{\varphi }=\frac{K-V}{K+V}.\end{array}$$

变分作用量得到场方程；在 $\dot{\varphi }\ne 0$ 时，也可把 ${\rho }_{\varphi },p_{\varphi }$ 代入连续性方程推得。$3H\dot{\varphi }$ 项起宇宙学摩擦作用。

$$\ddot{\varphi }+3H\dot{\varphi }+V_{,\varphi }=0,{\rho }_{\varphi }+3p_{\varphi }=4K-2V.$$

若该场占主导，加速要求 $K<V/2$。当 $K\ll V$ 时它近似宇宙学常数；若 $V=0$，则 $w=1$，所以有标量场并不自动意味着加速。若 $K,V\ge 0$ 且密度为正，$-1\le w\le 1$。逆幂或指数势在适当参数下可有跟踪解，降低对某些初始条件的敏感性，却不会消除全部调节。势、耦合和扰动稳定性仍是物理假设，不能从CPL拟合成功中推导出来。

5.3 修正引力（MG）

修正引力改变物质与曲率的关系。例如，度规 $f(R)$ 理论通常增加一个标量自由度。变色龙屏蔽可能抑制其局部效应；Vainshtein屏蔽则出现在其他含导数相互作用的理论中，两者都不是所有模型的普遍性质。Horndeski及退化高阶标量—张量理论组织了更广泛的可能性。GW170817及其伽马射线对应体严格约束观测范围内引力与光的传播速度差，在相应假设下排除许多相互作用，但没有排除所有修正引力。

6. 张力与一致性检验

哈勃张力比较依赖模型的早期宇宙 $H_0$ 推断与本地距离阶梯测量。Planck分析属于前者，并非直接测量本地膨胀。改变晚期暗能量不会自动解决问题，因为同一改变也必须符合BAO与超新星距离。“早期暗能量”是影响更早时期的另一种提案，并非今天加速成分的别称。

$S_8={\sigma }_8\sqrt{{\Omega }_m/0.3}$ 概括透镜测量的重要简并，而不是全部信息。与CMB推断的差异依赖数据、非线性建模、重子反馈、红移标定和星系内禀排列。应比较完整似然和共有的干扰参数，而不是把每个表面张力都当作独立的新物理证据。

7. 参数推断流程（实践要点）

1. 指定模型与先验：曲率、中微子质量、早期物理，以及暗能量是否聚集；$w_0,w_a$ 本身不是完整理论。
2. 一致计算 $H$、距离、早期声学尺度和线性扰动。精密分析需要玻尔兹曼求解器，而不能只靠增长指数拟合或压缩的CMB距离信息。
3. 结合选择、标定和干扰参数预测观测统计量。保留重叠数据的协方差，把相关似然当作独立量相乘会重复计算信息。
4. 采样后验，检验拟合优度、先验依赖和逐一去掉探针后的稳定性。更多参数可以改善拟合，但不能单凭这一点确认新的物理成分。

8. 研究现状

证据核实至2026年10月13日。 2025年DESI DR2 BAO论文发现，BAO单独可由平坦 $\Lambda$CDM良好描述。在CPL扩展中，BAO＋CMB以 $3.1\sigma$ 偏好时间演化；加入不同超新星样本后为 $2.8$–$4.2\sigma$。这些是与 $(w_0,w_a)=(-1,0)$ 的特定比较，不是直接发现标量场。

2026年DES多探针分析结合几何与结构增长，在CPL内报告：DES单独偏离 $2.2\sigma$，加入DESI DR2 BAO后 $2.3\sigma$，再加初级CMB信息后 $3.0\sigma$。这些组合与其他分析重叠，不能把显著性作为相互独立的确认来相乘。

2026年7月发表、8月修订的DESI Lyα全形状分析加入有效红移 $z=2.33$ 的Alcock–Paczyński几何测量。新的基准点向 $\Lambda$CDM移动；论文报告DESI＋CMB以 $2.7\sigma$ 偏好CPL，加入其超新星样本后为 $3.2\sigma$。证据持续变化，并依赖拟合中使用的信息。

标准差的倍数以模型、似然和系统误差处理为条件，并非“暗能量演化的概率”。开放问题包括：独立标定与增长检验能否保留这一模式，什么稳定的物理理论能实现它，以及更简单的解释是否仍成立。现有迹象值得研究，但加速的微观起源尚未解决。

常见误解： 暗能量不是聚集在晕中的暗物质。负压不意味着负能量密度，也不是从宇宙中心吹出、推动星系的风。束缚的原子、太阳系和星系并不简单跟随宇宙尺度因子。今天的加速或有限红移范围的CPL拟合，都不能确定宇宙最终命运：恒定真空、变化的势以及未来的不稳定性有不同的外推。