统计物理

9.1 基础：从微观状态到热力学

统计物理从微观的不确定性出发，预测宏观规律。我们永远无法确知包含 个粒子的系统的精确状态；因此，我们用系综来组织这种未知，使系综平均能够再现温度、压强、磁化强度等宏观量。本节建立核心框架：微观状态与宏观状态、基本假设、三种标准系综以及热力学极限。我们还将展示，信息论的视角如何使“最大熵”成为导出这些熟悉分布的唯一机制。

最初被限制在容器一半空间中的气体膨胀，充满整个孤立容器。更多可访问的微观状态对应更大的熵。

9.1.1 微观状态、宏观状态与相空间

微观状态是对系统自由度的完整描述。对于 个经典质点，它是 维相空间中的一个点，其坐标为

宏观状态由少数几个宏观变量定义，例如孤立气体的 。许多微观状态对应同一个宏观状态。对这些微观状态计数，就引出了熵。

刘维尔定理指出，哈密顿流在相空间中是不可压缩的，因此体积元沿轨迹保持不变。这使能量壳上的均匀分布在动力学上保持自洽。

9.1.2 基本假设与玻尔兹曼原理

基本假设。 对于处于平衡态、 固定的孤立系统，满足这些约束的所有微观状态都等概率。

设 为能量处于 范围内的微观状态数，其中 很小，但仍是宏观尺度的能量间隔。那么，熵为

热力学温度由下式给出

压强和化学势则为

对于相互作用很弱的子系统 和 ， 在总能量 固定时的可加性给出平衡条件 ：只需使 在约束 下达到最大值。

9.1.3 热力学极限、广延性与凹性

热力学极限定义为 、，同时保持 不变。在这一极限下：

  • 熵具有广延性：
  • 是其自然变量的凹函数，从而保证稳定性，并在适用时保证热容为正
  • 强度变量的涨落按 缩小，使热力学描述变得确定

短程相互作用保证系综等价；长程相互作用的情形（自引力、未屏蔽的库仑相互作用）可能破坏可加性，需要谨慎处理。

9.1.4 微正则系综

微正则概率密度相对于刘维尔测度诱导的不变能量壳测度均匀分布，而不是相对于欧几里得超曲面面积均匀分布。这里， 是态密度；对于固定的窄能量间隔，它与有限能量壳内的状态数 不同：

期望值为

在约束条件下使 最大化，可以重现热力学关系。对于许多系统，这是概念上的基石；在实际计算中，正则系综往往更容易处理，并且在 很大时与微正则系综等价。

9.1.5 通过热库引出正则系综

让系统 与一个巨大的热库 弱耦合，并保持 固定。发现系统 处于微观状态 （能量为 ）的概率，正比于热库在能量 下的状态数：

其中逆温度 。归一化后得到

是配分函数。热力学势由此得到：

能量涨落满足

因此，对于通常的系统，相对涨落按 缩小。

9.1.6 巨正则系综：交换粒子

如果系统与库同时交换能量和粒子，那么微观状态 （具有 ）的概率为

其中巨配分函数为

定义巨热力学势

则有

涨落为：

而能量与粒子数的协方差由 的混合导数给出。

9.1.7 勒让德变换与热力学势

热力学通过勒让德变换来组织其结构，用这种变换替换自然变量：

  • ，自然变量为
  • ，自然变量为
  • ，自然变量为
  • ，自然变量为

混合偏导数相等可导出麦克斯韦关系，例如

9.1.8 信息论基础（杰恩斯观点）

设 为各微观状态的概率。最大化香农熵

同时满足已知约束。如果只有归一化条件和平均能量固定这两个约束，拉格朗日乘子法给出

如果同时有能量和粒子数约束，就得到巨正则形式 。因此，系综是与宏观数据相容的、偏倚最小的分布。

相对熵 衡量分布与先验分布 的差异。许多涨落定理和线性响应结果都可以用这种语言简洁地表达。

9.1.9 大偏差、集中与系综等价

当 时，概率以指数方式集中在热力学值附近。如果 是一个可加的可观测量，

其中速率函数 在平衡值处为零。在标准的凸性条件下：

  • 微正则、正则和巨正则系综在热力学极限下等价
  • 非凹性表明存在相共存；麦克斯韦构造在热力学势的层面上修复这些非凹部分

9.1.10 简短例题

(a) 二能级系统
能级为 和 ，共有 个互不相互作用的格点。每个格点的正则配分函数为

总配分函数为 。平均能量为 ，热容在 附近出现肖特基峰。

(b) 量子谐振子
对于单个振子， 给出

平均能量 在 很高时趋于 （能量均分），在 时趋于 。

(c) 抛硬币与斯特林公式
对于 枚独立的均匀硬币，出现 个正面的多重度为 ，其中 ，二元熵为 。这是大偏差的典型例子。

(d) 理想气体的微正则温度
对于经典理想气体，状态计数给出

因此，在固定能量壳宽度下， 给出 和 。在热力学极限下，。

(e) 正则涨落
通过计算 ，证明 ，并将热容与 的曲率联系起来。

9.1.11 基础练习题组

  • 从 出发，推导 和
  • 在约束 和 下最大化 ，推导正则系综
  • 证明 蕴含 和
  • 对于经典理想气体，利用相空间体积计算 （允许相差一个常数因子），并求得萨库尔–特特罗德熵
  • 在巨正则系综中证明
  • 讨论系综等价何时失效，并给出一个具有长程力的物理实例

9.2 配分函数与热力学势

配分函数生成所有热力学量。一旦得到 、 或 系综中对应的函数，通过求导就能得到 以及所有响应系数。本节建立正则和巨正则系综的计算框架，加入等温等压系综，并说明勒让德变换和鞍点如何将它们与微正则熵联系起来。具体例题将帮助理解这些公式。

9.2.1 正则配分函数与累积量

对于固定的 ，正则权重为 ，其中

亥姆霍兹自由能为

标准的导数关系为

能量累积量由 对 的导数给出。例如

对于进入 的控制参数 ，广义力满足

例如：对于磁场 ，有 ；对于体积，有 。

9.2.2 巨配分函数、逸度与压强

当粒子数在固定的 下涨落时

定义巨热力学势

这一系综中的热力学关系可以简洁地写为

通常使用逸度 。粒子数涨落与压缩性的联系为

对于均匀理想气体，可以得到实用的恒等式 。

9.2.3 等温等压系综与吉布斯自由能

许多实验保持 固定。等温等压配分函数是 对 的拉普拉斯变换，其中固定的参考体积 使其成为无量纲量：

其热力学势是吉布斯自由能

于是

在固定 下， 的涨落由 的导数生成。

9.2.4 勒让德结构及其与微正则系综的联系

正则系综和巨正则系综是微正则状态计数的拉普拉斯变换

对于大系统，积分由鞍点 主导，且 ，即 。在鞍点处求值，得到勒让德关系

类似地，同时对 和 作巨正则变换，得到

这解释了为什么热力学势是 的勒让德变换。

9.2.5 正则系综中的经典理想气体

考虑 个质量为 的不可分辨粒子，其哈密顿量为 ，并忽略相互作用。正则配分函数分解为平动部分

其中热波长为

于是

立即得到状态方程

熵具有萨库尔–特特罗德形式

内能为 ，热容为 。因子 通过体现不可分辨性消除了吉布斯佯谬。

9.2.6 通过集团展开研究量子理想气体

对于单粒子能量为 的无相互作用玻色子或费米子，

上符号对应玻色子，下符号对应费米子。占有数为

在连续极限下，用 替换求和，就能得到光子、声子或电子气体的热力学性质。可通过维里展开或集团展开以微扰方式计入相互作用，利用系数 对 作修正。

9.2.7 广义力与响应矩阵

如果经典哈密顿量线性依赖于外部控制参数 ，那么 的二阶导数矩阵给出下列协方差响应。与哈密顿量对易的量子可观测量也适用这种等时形式。非线性耦合需要额外的显式导数项，不对易的量子可观测量则需要虚时久保关联：

其中 是共轭可观测量。例如，磁化率、压缩系数和热容都属于此类响应。混合导数包含麦克斯韦关系，例如 。

9.2.8 类伊辛晶格系统与计数练习

对于自旋为 、哈密顿量为 的有限晶格，正则配分函数为

虽然在一维以上精确求值很困难，但 的导数仍然定义磁化强度 和磁化率 。平均场或转移矩阵方法可以系统地近似计算 。

9.2.9 吉布斯–杜亥姆关系与广延性检验

对于具有广延性的系统， 是一次齐次函数，欧拉关系成立

微分后得到吉布斯–杜亥姆方程

它可用于检验从配分函数导出的任何状态方程是否自洽。

9.2.10 拉普拉斯变换技巧、鞍点与系综何时等价

由于 和 是拉普拉斯变换，大 系统的热力学由主导鞍点决定。 的凹性保证系综等价。在一级相变处， 出现多个相互竞争的鞍点；勒让德变换选取凸包络，而有限系统中的涨落则变为非高斯涨落。

9.2.11 简短例题

(a) 理想气体

利用 计算理想气体的 ，证明

并验证 和 。当 很大时，相对的 修正消失，且 。

(b) 通过维里关系从 求压强

对于具有两体势 的经典相互作用气体，利用 和均匀缩放论证，证明 ，其中 ， 为对分布函数。

(c) 粒子数涨落与压缩系数

在巨正则系综中，验证 ，并将其与等温压缩系数 联系起来。

(d) 微正则 ↔ 正则

从 出发，在 附近将 展开到二阶，得到方差为 的高斯能量涨落。

(e) 二能级系统的自由能

对于 个相互独立、能级为 和 的二能级格点，计算 ，进而求出 、 和 ，并确定肖特基峰的位置。

9.2.12 基础练习题组

  • 从 出发，推导 的所有正则系综关系，并验证麦克斯韦关系
  • 证明在巨正则系综中，理想气体满足 ，并从 的导数求出 和
  • 将经典谐振固体视为 个独立振子，计算其等温等压配分函数，并在压缩性很弱的极限下求出
  • 利用 ，重新得到玻色–爱因斯坦分布和费米–狄拉克分布，以及 时的经典极限
  • 从广延性出发，证明欧拉关系 ，再证明吉布斯–杜亥姆方程，并用上述理想气体结果检验它们

9.3 经典理想气体与能量均分

经典理想气体是统计物理的训练场：在这里，你学习计数状态、对配分函数的 求导，并看着宏观规律轻松地浮现。我们将推导麦克斯韦–玻尔兹曼分布，证明能量均分定理，重新得到 ，并建立对绝热线、声速以及经典图像何时失效的直觉（这时就轮到 登场了）。

9.3.1 正则计数回顾与理想气体的 Z

对于体积 中 个质量为 的不可分辨质点，其哈密顿量为 ，正则配分函数可因子化为：

其中热波长为

随即得到热力学关系：

热容为：

熵具有萨库尔–特特罗德形式：

因子 通过体现不可分辨性消除了吉布斯佯谬。

9.3.2 麦克斯韦–玻尔兹曼分布（速度、速率与能量）

每个动量分量都服从高斯分布：

等价地，每个速度分量都服从高斯分布，方差为 。速率分布（速度空间中的径向分布）为

常用的矩为：

动能分布类似于具有 个自由度的 分布：

9.3.3 能量均分定理

定理陈述。 哈密顿量中的每个二次型自由度对平均能量贡献 。

证明概要（正则系综，分部积分）。 如果 包含一项 ，那么

对于 ，每个二次项 都给出 。单原子气体有 个平动动量分量 → 。

何时失效（以及为什么这反而有用）。 当量子化转动或振动的能级间隔大于 时，即使哈密顿量仍是二次型，经典能量均分也会失效。其热激发贡献被“冻结”。这解释了低 下比热的下降和杜隆–珀蒂定律的适用范围。

9.3.4 气体动理论

由粒子与器壁的弹性碰撞，压强可写为

结合 ，得到 。更一般地，对于两体相互作用 ，维里定理给出

理想气体满足 ，因此第二项为零。

9.3.5 绝热线、声速与简便的热力学推演

对于单原子理想气体的可逆绝热变化（），

其中 。声速（小振幅绝热密度波的传播速度）为

对于混合物，将 替换为平均分子质量，并将 替换为相应的热容比。

9.3.6 外场：气压公式与可分离性

在均匀重力场 中，单粒子的玻尔兹曼权重可因子化：

动量部分与位置部分相互分离，因此动能相关的结果（能量均分、麦克斯韦–玻尔兹曼速率分布）保持不变。

9.3.7 输运概览：平均自由程及相关量

对于直径为 、数密度为 的硬球，平均自由程为

采用典型速率 ，

这些动理论标度关系对稀薄气体非常准确；考虑实际散射截面和混合物，可以进一步改进前面的系数。

9.3.8 经典图像的适用范围

经典的非简并行为要求稀薄程度参数很小：

如果 （低 或高 ），量子统计就开始发挥作用：玻色子遵循玻色–爱因斯坦统计，费米子受泡利原理约束，麦克斯韦–玻尔兹曼分布便不再适用。

9.3.9 超越单原子情形：能量均分究竟计数什么

对于刚性的线性双原子分子，在中等 下：

  • 个平动加 个转动二次型模式 → 有效自由度为 ，因此 ，
  • 振动会再增加 个二次型模式，但只有在 超过振动量子能级间隔时才会起作用；否则它们处于冻结状态

要点是：只计入在所考察的 下已被激活的模式。

9.3.10 简短例题

(a) 室温 下空气的方均根速率

对于 时的 ，其质量为 ，

代入数值，得到几百 ；将其与 和 比较。

(b) 绝热压缩

单原子气体从 绝热压缩到 。利用 ，求出 。

(c) 氦气的气压标高

对于 下的 He，计算 ，并与 比较，从中看出质量的影响。

(d) 标准温度和压强下的平均自由程

取 、；估算 ，并说明气味为何能迅速扩散。

(e) 能量均分的合理性检验

直接从 证明 ，并推广到三个分量。

9.3.11 基础练习题组

  • 从 出发，推导 、 和
  • 对二次型坐标证明能量均分恒等式 ，并将其应用于
  • 通过统计粒子与器壁的碰撞，推导 ，并重新得到
  • 对于转动常数为 的线性双原子分子，通过比较 与 ，估算转动开始被“激活”的温度
  • 检验数密度为 、温度为 的冷原子气体是否满足经典性判据：计算 ，并讨论何时需要量子统计

9.4 涨落与涨落–响应原理

宏观规律看起来如此确定，是因为相对涨落按 缩小——直到这种标度不再成立。本节梳理什么量会涨落、涨落有多大，以及为什么响应等于涨落。我们将联系正则、巨正则和等温等压系综，介绍静态涨落–耗散关系，将对关联与压缩系数联系起来，并预览临界点附近哪些结论会失效。

9.4.1 能量与粒子数：两种代表性的方差

正则系综（固定 ）：

对于通常的系统，相对涨落按 缩小。

巨正则系综（固定 ）：

等价地，用数密度 和等温压缩系数 表示，

这里考虑的是单组分流体，使用了 和标准热力学恒等式。

9.4.2 固定压强下的体积涨落

保持 固定，等温等压配分函数 给出

这里再次体现了涨落 = 响应：压缩系数衡量 发生微小变化时 改变多少；同一个系数也决定了平衡态的方差。

9.4.3 一式概括静态涨落–响应关系

设控制参数 通过 与不依赖于源的可观测量 耦合（因此 ）。在经典正则系综中，或当量子可观测量与哈密顿量对易时，

特殊情形：

  • 对能量， 与 给出 。这里逆温度是玻尔兹曼权重中的共轭参数；改变它不同于上面在固定温度下改变源 。
  • 在巨正则系综中， 给出

方差非负 稳定性：在固定 的系综中，、。

9.4.4 关联、结构因子与压缩系数求和规则

定义微观密度 、对关联函数 ，以及静态结构因子

在均匀流体中，

取 ，便将微观关联与宏观响应联系起来：

这就是压缩系数求和规则。在临界点附近，， 急剧增大，也就是临界乳光现象。

9.4.5 鞍点、曲率与大偏差

微正则熵 通过其曲率控制涨落。在最概然能量 附近展开：

通过拉普拉斯变换转到正则系综，可得到 的高斯分布，方差为 ，等价于 。更一般地，可加的可观测量服从大偏差原理：

其中 是速率函数（累积量生成函数的勒让德变换）。在一级相变处，相关热力学势出现多个相互竞争的鞍点 → 非高斯涨落与相共存。

9.4.6 临界涨落与关联长度

设 为序参量（例如磁化强度密度）。定义连通关联函数

远离临界点时，临界幂律在有限关联长度处被截断。示意性地可以写成

其中关联长度 有限；所示前因子并不是一般情形下严格的远距离渐近形式。将热归一化因子吸收到定义中的约化静态响应率 的标度为

因此，在体积 中，空间平均序参量的方差按 标度变化。当 有限时，相对涨落 。当 时，， 定律失效。

9.4.7 有限尺寸标度：N 很大但并非无穷大时

  • 对于非临界系统：可加量 满足 → 相对涨落 。
  • 在临界点附近：当 与系统尺寸 相当时，在标度公式中用 替换 ；比热或响应率的峰会变圆滑并移动，其随 的变化可以预测（可据此在数值计算中提取临界指数）。

9.4.8 例：无相互作用的顺磁体与居里定律

磁场 中有 个自旋 ，哈密顿量为 ，其中 。单自旋配分函数为 ，每个自旋的磁化量为

的方差由二项分布给出：

静态磁化率 满足涨落–响应关系：

在弱场极限下，得到居里定律：

9.4.9 例：理想气体的密度涨落与 S(0)

在巨正则系综的经典理想气体中，粒子之间没有关联：。因此，对所有 都有 ，并且

所以 ，这正是理想气体的结果。在这一与粒子库接触的系综中，子体积 的粒子数方差具有泊松形式：。若总粒子数固定，子体积涨落则服从二项分布（见9.4.11(e)），且波矢严格为零时的结构因子为零。此时，压缩系数求和规则指先取热力学极限、再取长波长极限。

9.4.10 常见误区

  • 混用系综。 除非已经使系综与测量条件相匹配，否则不要将正则系综的 与巨正则系综的粒子数涨落混用。
  • 在相变附近强行作高斯拟合。 在一级相变处，分布可能呈双峰（对应两相）；临界点处的序参量分布通常不是高斯分布，但其尾部不一定服从幂律。
  • 忽略约束。 守恒的总量会压低方差（例如，总 固定会减小子体积中的涨落）。
  • 将负 称为“不稳定”。 在具有长程力的微正则小系统中，可能出现 ；这表明系综不等价，而非代数计算错误。

9.4.11 简短例题

(a) 系综中的体积方差
从 出发，证明 ，并对理想气体验证这一关系。

(b) 压缩系数求和规则
从 出发，取 ，并利用热力学推导 。

(c) 能量的大偏差
从 出发，作二阶展开，并读出 ；指出高斯近似何时失效。

(d) 顺磁体方差 → 居里定律
从 计算 和 ，证明 ；取 ，得到 。

(e) 子体积涨落
对于理想气体，将容器分为 和 两个体积。在总 固定时，证明 （二项分布），并将其与巨正则系综的泊松方差作比较。

9.4.12 基础练习题组

  • 对含源项的 求导，证明一般的静态关系
  • 推导 ，并对单组分流体将其与 联系起来
  • 证明由 可知，当液体接近其气液临界点时，，并定性解释“临界乳光”
  • 利用朗道 自由能 ，计算 以上的高斯涨落，并在平均场层面求得
  • 对于序参量守恒的晶格模型，讨论在固定 下，守恒如何改变长时间弛豫（但不改变等时静态方差）

9.5 量子气体：玻色与费米统计、多重对数及通往简并的道路

经典的麦克斯韦–玻尔兹曼统计非常有效……直到 不再很小。这时，不可分辨性和交换对称性会彻底改变局面。本节从巨正则系综推导玻色–爱因斯坦分布和费米–狄拉克分布，利用多重对数函数计算热力学量，通过维里展开联系经典极限，并建立包括索末菲展开在内的简并费米气体计算工具。我们还将梳理化学势如何随 和 变化。

正 x 区间内三条递减的平均占据数曲线：玻色—爱因斯坦最高，麦克斯韦—玻尔兹曼居中，费米—狄拉克最低。

这里 ，占据数按单粒子态计算，不含态密度因子。x 很大时，三者均趋近经典结果。玻色占据数可以超过一，并在 x 从正侧趋于零时发散；凝聚的基态需单独处理。 这些曲线描述处于热平衡的理想气体。

  • 玻色—爱因斯坦：，上方曲线。
  • 麦克斯韦—玻尔兹曼：，中间曲线。
  • 费米—狄拉克：，下方曲线。图中只显示 ，不显示已填满的费米海。

打开原尺寸图像

9.5.1 巨正则系综 → 玻色–爱因斯坦／费米–狄拉克分布

将无相互作用的全同粒子置于 下的巨正则系综中。取逸度 和单粒子能级 ，

上符号对应玻色子，下符号对应费米子。占有数为

分母中的减号给出玻色–爱因斯坦聚束效应，加号则给出费米–狄拉克阻塞效应。

9.5.2 三维态密度与连续近似

对于体积 中自旋简并度为 、非相对论色散关系为 的系统，

求和变为积分 。

定义热波长

以及多重对数函数 。

9.5.3 多重对数形式的热力学：N、U 与 p

对于玻色子和费米子，都可用多重对数函数简洁地表达结果。令

那么，在 维的均匀非相对论气体中，

  • 玻色子
  • 费米子

维里恒等式 对任何具有二次型色散关系的非相对论理想气体都成立。

9.5.4 经典极限与首个量子修正

当 （高 或低 ）时，由于 和 ，两种统计都退化为麦克斯韦–玻尔兹曼统计。进一步展开，得到理想气体定律的首阶量子修正

上符号对应费米子（泡利“排斥”提高压强），下符号对应玻色子（玻色“吸引”降低压强）

9.5.5 化学势的变化规律

  • 玻色子：。在固定 下，随着 降低， 升高并趋近 。对于均匀理想气体，激发态的容纳能力受到 的限制，因此当 超过某个常数时，就会发生玻色–爱因斯坦凝聚。我们将在§9.7详细讨论这一现象。
  • 费米子： 在低 下为正，并趋近费米能 ，当 时达到该极限。取 ，自旋简并度为 ，

当 有限但很小时， 相对 的下降量按 标度变化。

9.5.6 简并费米气体与索末菲展开

当 时，对费米积分作渐近计算。令 。

  • 化学势
  • 低 下的内能与压强
  • 每个粒子的热容

热容随 线性变化，标志着费米面附近存在一层热激活态，其薄壳厚度为 。

9.5.7 非简并玻色气体与凝聚边缘

在凝聚温度以上（基态没有宏观占据）， 是方程 的解。热力学量由§9.5.3在 时的公式给出。在固定 下降低 时，、，激发态密度饱和于

在§9.7给出的临界温度及以下，“多余”的粒子必须进入基态。

9.5.8 相对论与无质量极限（预告）

对于满足 的无质量粒子，态密度为 。有质量的色散关系 仅在超相对论极限下趋近这一形式。无质量玻色子（光子）满足 ，且 。我们将在§9.6进一步讨论光子和声子。

9.5.9 简短例题

(a) 经典极限检验

证明在 和 中取 ，可在最低阶重新得到 ，并在下一阶得到 修正。

(b) 三维态密度

通过计算容器中的动量态数，并利用 ，推导 。

(c) 费米能的数值计算

对于金属中的电子，取 和 ，计算 与 ，再估算 时的 。

(d) 费米子的低 化学势

对 使用索末菲展开，求得 直到 的级数。

(e) 附近的玻色气体

利用多重对数展开，在接近 时数值计算 ，并展示 如何趋近 。

9.5.10 基础练习题组

  • 从 出发，推导 以及玻色–爱因斯坦和费米–狄拉克分布的形式
  • 用 替换求和，得到 时 、 和 的多重对数公式
  • 将 按 的幂展开，并确定玻色子与费米子的第二维里系数的符号
  • 推导费米能 和 ，再利用索末菲展开得到
  • 对固定 的理想玻色气体，证明当 时 ，并由粒子数方程计算 时的斜率

9.6 光子与声子：黑体辐射和固体热容

两种典型的玻色气体，却属于两个截然不同的世界。光子：无质量，自旋为1，粒子数不守恒，，压强 ，遵循 定律。声子：晶格振动，在长波长下具有线性色散关系，有三个偏振方向，德拜截断保证共有 个模式。两者共同解释了光的频谱，以及固体的比热为何在低 下趋于零。

9.6.1 光子气体基础

在热平衡中，光子可以自由产生和湮灭，因此化学势必须为零。将电磁波置于体积为 、采用周期性边界条件的大立方腔体中。按角频率 计数横向模式，得到态密度

在 时，玻色占有数为 ，从而得到普朗克能量密度

粒子数谱可通过除以 得到

9.6.2 斯特藩–玻尔兹曼与维恩：两个著名推论

对所有 积分 ，得到

各向同性光子气体的辐射压强为

黑色表面的辐射通量为 ，其中

光谱辐出度峰值对应的波长满足维恩位移定律

它可通过对普朗克定律的 形式求最大值得到。

由 可求出熵密度和焓密度：

9.6.3 声子：具有线性色散关系的量子化声波

在晶体中，微小的晶格位移形成简正模式。在长波长下，声学支满足

其中声速为 ，并有三个偏振方向（一个纵向、两个横向）。将这些模式视为无相互作用的玻色气体，其玻色占有数仍为 ，但态密度中要用 代替 ，而且必须引入截断，以保证模式数有限。

德拜的关键做法是：将声学支近似为线性关系，直到截断波数 ；选择该截断，使总模式数等于 ，其中 为原子数

定义德拜频率和德拜温度

采用一个“平均”，就能在体相热力学中相当准确地描述三个偏振方向。

9.6.4 德拜模型

略去零点能项后，声子的内能为

其中德拜态密度为

作变量代换 ，得到标准的德拜热容

渐近行为：

  • 低
  • 高

从而恢复杜隆–珀蒂定律。

9.6.5 爱因斯坦模型：光学模式与过渡

爱因斯坦将每个原子设想为频率均为 的独立振子。于是

该模型能够描述高 极限，以及指数冻结行为（出现在低 下），但无法得到 定律，因为它缺少低频声学模式。实际晶体往往介于两者之间：光学模式类似爱因斯坦模型，声学模式类似德拜模型。

9.6.6 声子气体的热力学

对于 和三个偏振方向，自由声子气体的能量密度在低温 下与光子类似，只需作 的替换，并乘以因子 ，因为三个声学分支取代了光子的两个偏振

求导得到 ，与德拜模型一致。在固体中，声子的“压强”会改变弹性响应，而不像气体那样对容器体积施压，但其标度直觉相同。

9.6.7 自然界中的黑体：简要巡览

  • 宇宙微波背景是温度 的近乎完美的黑体，是充满宇宙的遗存光子气体
  • 恒星在部分光谱范围内近似黑体；偏离黑体的部分包含恒星大气和谱线的信息
  • 带有小孔的实验室腔体可模拟黑体辐射源，并用于建立辐射测量标准

9.6.8 常见误区

  • 忘记光子满足 。 除非同时通过泵浦约束频谱，否则试图在平衡态固定光子数目是不符合物理的
  • 混淆 谱与 谱的峰。 与 的最大值出现在不同位置；维恩常数 指的是波长谱的峰
  • 忽略偏振或截断。 德拜模型要求总共有 个模式；遗漏因子3或截断都会使 出错
  • 在量子单位下讨论高 极限。 在声称出现“经典”行为之前，始终检查 或

9.6.9 简短例题

(a) 重新得到斯特藩–玻尔兹曼定律。
对 积分，作代换 后利用 ，得到 和 。

(b) 维恩位移定律。
对波长谱密度求最大值，证明 ，并通过超越方程数值求出 。

(c) 德拜模型的低 渐近式。
在 时展开德拜积分，推导 。

(d) 中等 下的爱因斯坦模型与德拜模型。
分别绘制两个模型中 随 的变化，并解释为何实际数据通常在两者之间弯曲过渡。

(e) 光子气体的熵密度。
利用 和 ，推导 。

9.6.10 基础练习题组

  • 从腔体模式计数出发，推导 和普朗克的
  • 对各向同性辐射的麦克斯韦应力张量取平均，证明
  • 证明采用德拜截断后的声子模式数等于 ，并求出
  • 在 时数值计算德拜热容积分，并取 ，与相同 下的爱因斯坦模型预测比较
  • 将光子计算中的 ，推导低 下声子能量密度的 标度

9.7 玻色–爱因斯坦凝聚与简并费米气体

把温度调低、相空间密度调高，量子统计便开始主导局面。玻色子涌入基态 → 玻色–爱因斯坦凝聚（BEC）。费米子则填成费米海，产生泡利压强。我们将建立三维BEC的理想气体基准，加入陷阱和相互作用修正，通过玻戈留玻夫理论概述超流，并回顾简并费米气体，同时举几个例子说明这些内容为何重要。

9.7.1 均匀理想玻色气体中的BEC（三维）

根据§9.5，对于无相互作用的玻色子，

其中 ， 为多重对数函数。由于 ，激发态至多容纳

在固定数密度 下，降低 会使 减小，从而降低激发态能够容纳的最大粒子数。该容量等于总粒子数时的温度就是临界温度

低于 时，化学势固定在 ，凝聚比例为

低于 时，热力学性质完全来自激发（理想气体中的 不贡献能量）：

当 时，每个粒子的比热为

高于 时， 由 确定，而 在高 下趋于经典值 。在 处，理想气体的 出现尖点。

9.7.2 有限 下均匀一维／二维系统中不存在BEC

对于均匀理想气体，在 维中有 。当 时，级数在 处发散：二维中 发散， 按对数增长，而一维中的发散更强。因此，在热力学极限下，均匀一维／二维系统在有限 时不存在真正的BEC；二维相互作用仍可通过科斯特利茨–索利斯转变支持超流，但这不是单个 模式的宏观占据。

9.7.3 陷阱中的玻色气体：谐势

实验将原子束缚在近似谐性的陷阱 中。单粒子态密度变为 ，其中几何平均频率为 。理想陷阱气体的临界温度为

并且，当 时，

更大的指数反映了不同的态密度。

9.7.4 正则与巨正则涨落：“灾难”

在理想BEC的巨正则系综中， 以下宏观占据的基态具有 ；这一基于粒子库的结果不适用于粒子数固定的有限原子云。正则系综固定总 ，但剩余涨落的标度依赖于能谱。在通常的凝聚区间，三维谐振阱给出 ，而固定密度的均匀三维理想气体具有 。系综与限制势都应与实验条件对应。

9.7.5 相互作用与格罗斯–皮塔耶夫斯基（GP）平均场

在超低温 下， 波散射占主导，其振幅由散射长度 决定。有效耦合常数为

对于具有宏观波函数 的弱相互作用凝聚体，

这就是格罗斯–皮塔耶夫斯基方程。在密度为 的均匀物质中，

其中 为声速， 为愈合长度，即序参量在缺陷或边界附近恢复到体相值的尺度。

9.7.6 玻戈留玻夫谱与超流（概述）

对凝聚体附近的涨落作线性化，得到玻戈留玻夫色散关系

在低 下呈声子特征，；在高 下则过渡到自由粒子形式 。朗道判据给出临界流速

这解释了为何弱相互作用BEC是超流体，其流速低于 时可以无摩擦流动。

9.7.7 简并费米气体回顾：T=0 与低温

根据§9.5，无相互作用费米气体的费米能为

有限 修正由索末菲展开给出：，。 时的压强体现了泡利压强，它可以支撑系统免于坍缩，并决定金属和致密天体中的相关尺度。

谐性陷阱。 对于三维谐性陷阱中的 个费米子，取几何平均频率 ， 时的费米能为

原子云半径则由托马斯–费米分布给出。

9.7.8 两个简短应用

  • 白矮星（示意图像）。 电子形成高度简并的气体。在相对论极限下，压强按 而非 变化，从而出现能够支撑的最大质量（钱德拉塞卡极限）。这里着重强调定性理解：简并压强确实存在，而热压强并非必需。
  • 冷原子实验室。 费什巴赫共振可将 调过零点 → 弱相互作用BEC、强相互作用的幺正费米气体，以及BEC–BCS过渡。玻戈留玻夫声波和集体模式是上述理论的典型实验验证。

9.7.9 常见误区

  • 忘记理想玻色气体满足 ，只要温度低于 。 凝聚体形成后，不要强行令 为负
  • 对固定 的陷阱使用巨正则涨落。 对于冷原子云，应采用正则系综的方差
  • 声称均匀二维系统存在BEC。 有限 下并不存在；应当考察KT超流
  • 未检查 就认为相互作用“很弱”。 弱耦合的GP／玻戈留玻夫理论要求

9.7.10 简短例题

(a) 典型BEC的 。
取 ，其质量 、、数密度 。代入 公式，并估算 时的凝聚比例。

(b) 二维中不存在BEC。
通过将求和转为积分并识别其中的对数，证明对于均匀二维气体， 在 时发散。

(c) 陷阱中的 。
给定 个原子和 ，计算 ，以及 时的凝聚比例。

(d) 愈合长度。
对于 和 ，估算 、 和 。

(e) 玻戈留玻夫谱的斜率。
验证在 时 ，并求出色散关系偏离该近似例如 时的过渡波数 。

(f) 费米压强的数值检验。
对于 的电子，计算 和 ，并与大气压强比较。

9.7.11 基础练习题组

  • 推导均匀理想玻色气体的 和凝聚比例，再使用适当的态密度，对谐性陷阱重复推导
  • 从 出发，计算 以下的 ，并展示 处的尖点
  • 明确说明为何三维中的 收敛，而二维中的 发散，并将其与均匀二维系统中不存在BEC联系起来
  • 在均匀解附近线性化GP方程，推导玻戈留玻夫色散关系和朗道临界速度
  • 利用索末菲展开，求得三维费米气体的 和 ，保留到 阶；推导谐性束缚下的

9.8 平均场与朗道理论：序参量、范德瓦耳斯与居里–外斯

平均场是一种“集体协作”式的近似：每个自由度感受到的都是其他自由度的平均作用。它常能准确抓住相图的形状，并给出解析的临界指数。朗道理论将这一思想转化为依据序参量和对称性的可控展开。本节将建立居里–外斯磁性理论、带麦克斯韦构造的范德瓦耳斯流体、朗道自由能与临界指数、朗道–金兹堡理论中的关联长度，以及金兹堡判据，并讨论一级相变和三临界点如何出现。

对于实标量序参量，偶对称双阱有两个由对称性联系的极小值。选择其中任一极小值都会打破反射对称性。

9.8.1 平均场作了哪些假设

选择一个在所破缺的对称性变换下改变符号的序参量 ：

  • 铁磁体：（磁化强度密度），对称性为
  • 液气系统：（密度偏差），没有伊辛对称性，但在 附近具有相同的数学形式

平均场思想： 用邻居的平均值替代邻居。当配位数很大或相互作用为长程时，可以忽略涨落；空间维数 越高，这一点就越适用。

9.8.2 居里–外斯铁磁体（类伊辛模型，z 个邻居）

从伊辛自旋 、耦合 和外场 出发。在平均场中，每个自旋感受到有效场 ，其中 。单格点配分函数为 ，由此得到自洽方程

在 时，对小 展开，得到居里–外斯临界温度

临界行为：

  • 当 且 很小时：，其中

因此

  • 当 且 时：出现非零解

因此

  • 当 时，，因此

比热具有有限跳跃（不发散）：

9.8.3 朗道自由能：对称性决定形式

按照对称性要求，对序参量作解析展开。对于均匀系统中的类伊辛标量 ，

其中温度偏差为 ，标准二级相变要求 。在这一普通临界点附近截断至四次项；下面的极小化与主要临界公式忽略六次项：

在 时的结论：

  • 当 时：极小值位于
  • 当 时：极小值位于

因此

由线性响应求得 以上的响应率：

因此 ，

当 且 时：

因此

比热跳跃。 将 代入 ：

因此， 在 处出现有限台阶，即 ，但存在不连续性。

9.8.4 一级相变与三临界行为

如果微观物理使 ， 项会导致不稳定。取 可恢复稳定。此时，随着 改变，位于 的两个极小值会在 之前出现；当两个势阱等深，即达到共存条件 时，系统发生跃变。这一跃变是伴随潜热的一级相变。

在 处， 改变符号的点是三临界点。取 的朗道分析预言不同的临界指数，例如 。

9.8.5 朗道–金兹堡泛函与关联长度

允许序参量在空间中缓慢变化。朗道–金兹堡自由能泛函为

其中 。在高斯区域（ 很小，）中，傅里叶空间的两点关联函数具有奥恩斯坦–泽尼克形式

定义关联长度

因此 。在三维中，实空间关联函数具有 的形式；这一指数衰减前的幂因子不是任意维度下的通式。在大于二维的临界点，高斯关联函数按距离的“维度减二”次反比衰减，因此 。

9.8.6 金兹堡判据：平均场何时失效

平均场忽略序参量涨落。将关联体积 内的涨落大小与 比较。粗略地说，

利用 和 ，可得到一个金兹堡数 ，使得平均场仅在下列条件下有效

简言之：对于 ，涨落积分行为良好，平均场在渐近意义下精确。对于 ，靠近 的一个区域由涨落主导，需要使用重整化群（§9.10）。

9.8.7 范德瓦耳斯流体：液气系统的平均场

用数密度 写出状态方程：

其中 表示排除体积， 表示吸引作用。临界点满足 ，由此得到

采用摩尔形式 ，可得 、、。

定义约化变量 、、，得到对应态定律

在 以下， 呈S形。机械不稳定区域满足 ；旋节线由 确定。给定 时的共存压强由麦克斯韦等面积规则确定（因为两相中的 必须相等）。

在 附近，密度差服从平均场定律

这与 一致。

9.8.8 亚稳态、成核与旋节线

当 且外场 很小时，朗道双阱具有两个深度不同的极小值：较高的那个是亚稳态。衰变通过临界液滴的成核进行；静态平均场无法描述这一过程，但极小值之间的势垒暗示了它的存在。接近旋节线时，势垒消失；在平均场中，响应率和关联长度沿这一极限发散。

9.8.9 速查表：平均场指数与标度关系

平均场指数（类伊辛）：

指数含义数值
，伴随跳跃
，在 时
，在 时

标度关系（平均场满足）：

  • 威多姆关系：
  • 拉什布鲁克关系：
  • 约瑟夫森关系（超标度）：
    • 使用平均场指数时，它在 的幂律层面成立（可能存在对数修正），而在 时失效。低于 时，应使用包含涨落修正的指数。

9.8.10 常见误区

  • 在 以上、 时强行令 。 在 的朗道理论中， 时唯一的极小值为
  • 混淆共存线与旋节线。 麦克斯韦构造确定共存；旋节线则是亚稳态的极限，满足
  • 忽略对称性。 如果对称性禁止奇次项，就不要人为加入。如果外场 打破该对称性，则应加入
  • 宣称平均场“精确”。 它在远离 、高 或长程相互作用下表现良好；在 且接近 时，请参见§9.10

9.8.11 简短例题

(a) 居里–外斯
在 时，对小 线性化 ，推导 ，并确定 。

(b) 朗道理论的 与 跳跃
在 、 时，极小化 ，得到 。将其代入 ，并计算 处的比热不连续量。

(c) 奥恩斯坦–泽尼克形式
从二次型朗道–金兹堡泛函出发，推导 ，并确定 。

(d) 范德瓦耳斯临界点
利用 ，令 ，求出 ；再写出约化状态方程。

(e) 三临界标度
令 ，保持 ，极小化 。证明 ，并求出 。

9.8.12 基础练习题组

  • 从朗道多项式推导平均场指数 ，并验证威多姆和拉什布鲁克关系
  • 从朗道–金兹堡泛函出发，计算 维实空间关联函数 ，并确认
  • 对给定 和 的三维类伊辛磁体，应用金兹堡判据，估算非平均场临界区域 的宽度
  • 对范德瓦耳斯流体，在 附近解析地实施麦克斯韦等面积构造，并证明
  • 探索 的一级相变情形：通过令势阱等深，求出共存条件 ，并确定极小值处二阶导数为零的旋节线

9.9 伊辛模型：转移矩阵、对偶性与精确的二维临界行为

如果统计物理有吉祥物，那一定是伊辛模型：自旋 只与邻居相互作用，却能重现相变的丰富现象。在一维中，它很平静（没有有限 相变）。在二维中，它则堪称经典：具有精确的临界点、非平均场指数和对数发散的比热。本节介绍一维精确解、畴壁直觉、克拉默斯–万尼尔对偶性、昂萨格解的核心结果，以及实际常用的标度数据。

比较双分格晶格上的平行自旋排列与相邻自旋交替排列。

9.9.1 定义与记号

在最近邻为 、外场为 的晶格上，

我们还将使用无量纲耦合常数

正的 有利于自旋同向排列（铁磁体）。配分函数为 。

9.9.2 一维链：转移矩阵的精确解

对于由 个自旋组成的环（周期性边界条件），构造 转移矩阵

其本征值为

在 极限下，热力学由 决定：

在零场 时，

在任何 下都不存在自发磁化，即 。连通两点函数呈指数衰减，

因此关联长度为

它在所有 时都有限，仅在 时发散。结论：一维伊辛模型不存在有限 相变。

9.9.3 畴壁（扭结）的直觉：为何一维保持无序

翻转一段连续的自旋，就会产生两个畴壁，每个畴壁需要能量 。但它们的熵按 增长（因为可以放置它们的位置很多）。一对畴壁的自由能为 ，因此对任意 ，当 很大时熵项占优 → 畴壁大量出现 → 长程有序被破坏。在二维中，能量随周长增长，与熵的竞争方式不同，因此允许有限的 。

9.9.4 二维正方晶格

克拉默斯–万尼尔对偶性将耦合为 的配分函数映射到对偶耦合 的配分函数，两者满足

临界点位于自对偶处，即 ，因此

等价地，

对于各向异性耦合 ，临界线为 。

9.9.5 昂萨格解：精确的临界行为（H=0）

时的完整自由能已被精确求出（这里不再写出其积分），其核心结果如下：

  • 比热呈对数发散

因此 ，但带有对数项

  • 时的自发磁化（杨振宁）
  • 临界指数（二维伊辛普适类）
  • 关联长度按 发散，其中 ；二维中的临界关联函数按 衰减

二维伊辛临界点也对应一个中心荷为 的共形场论（这对后面的有限尺寸标度和精确振幅比很有用）。

9.9.6 转移矩阵、标度与有限尺寸技巧

  • 转移矩阵 ↔ 量子映射。 二维经典伊辛模型可通过特罗特分解映射到一维量子横场伊辛链。经典的 量子零温临界点。许多有限尺寸公式可直接移用。
  • 有限尺寸标度。 在线性尺寸为 的盒子中，响应率和序参量的矩在 处按以下规律变化

宾德累积量和交点法是在模拟中确定 的实用方法。

9.9.7 普适性带来了什么

你不必每次都重新处理晶格层面的数学。任何具有 对称性破缺的二维短程系统（临界等温线上的液气系统、单轴磁体、二元合金），在临界点附近都具有相同的指数和标度函数。朗道平均场（§9.8）在定性上正确，但其指数不同；重整化（§9.10）解释了其中的原因。

9.9.8 常见误区

  • 忘记一维不存在有限 有序态。 如果代码在一维、、 时给出 ，那么你可能受到了有限尺寸效应的误导，或算法打破了对称性
  • 混淆外场条件。 上述 的闭式表达式仅适用于 ；打开 后，这种精确形式的临界奇异性就会消失
  • 用错 。 正确条件是 ，而不是 或 ；等价地，
  • 在二维使用平均场指数。 平均场给出 、 等，但这些对二维伊辛模型并不正确；应使用上述精确指数
  • 关联长度的符号错误。 在一维中，；注意负号，以及 时

9.9.9 简短例题

(a) 时的一维转移矩阵。
推导 ，求得 ，并证明 。

(b) 克拉默斯–万尼尔对偶性。
从 的高温和低温级数出发，证明在 下，两者除一个前置因子外相同，再由自对偶性推出 。

(c) 磁化检验。
由 验证 ，以及 。

(d) 的有限尺寸标度。
假设 ，证明二维中的峰值按 标度变化，并说明如何通过数据塌缩提取 。

(e) 一维畴壁气体。
将扭结视为无相互作用、逸度为 的粒子。证明两点函数在最低阶 ，从而在 时重新得到 。

9.9.10 基础练习题组

  • 构造带外场 的一维转移矩阵，推导 和 ；计算 ，并检验 时
  • 利用对偶性求出各向异性二维临界线 ，再化为各向同性条件
  • 从精确的 提取 ，并用 和 确认威多姆关系
  • 在 附近展开昂萨格自由能积分，证明二维比热的行为为
  • 将二维经典模型映射到一维量子横场伊辛链，并用横场与交换作用确定量子临界点

9.10 临界现象与重整化群基础

接近连续相变时，系统会忘记微观细节，变得尺度不变。关联长度 发散，涨落遍及所有尺度，热力学量呈现带有普适指数的幂律。重整化群（RG） 将这一图像转化为数学：粗粒化、重新缩放，并追踪耦合常数如何流动。不动点决定附近的行为，其本征值决定临界指数。

9.10.1 平均场为何失效

平均场假定涨落很小。然而在临界点处，关联长度

发生发散， 时的关联函数变为幂律

自由能密度的奇异部分按 标度变化。当系统没有单一长度尺度时，就不能围绕某个单一尺度展开。

9.10.2 标度假设与齐次性定律

假设自由能密度的奇异部分在按因子 重新缩放时满足齐次关系

这里 是与序参量共轭的外场。选择 ，并确定各指数：

  • 比热 ，其中
  • 序参量 ，其中
  • 响应率 ，其中

在 时，选择 ，得到 ，其中

费舍尔关系通过临界关联函数将 与 联系起来：

汇总经典的标度关系

  • 威多姆关系：
  • 拉什布鲁克关系：
  • 约瑟夫森关系（超标度）：
  • 费舍尔关系：

超标度通常在上临界维数 以下成立。

9.10.3 卡达诺夫块自旋：有效的示意图像

将自旋粗粒化为尺寸为 的块，取平均得到新场 ，再将长度重新缩放回原来的晶格。耦合 流向新的耦合 。反复进行这一过程：

  • 相关方向在重整化群变换下增大（，其中 ）
  • 无关方向缩小（）
  • 边缘方向需要更高阶分析

临界行为对应于流向一个非平凡不动点 ，该点至少有一个相关方向（温度）。关联长度指数是热本征值的倒数：

外场本征值则决定 ，从而通过§9.10.2决定 。

9.10.4 威尔逊动量壳重整化群与贝塔函数

对于标量序参量，朗道–金兹堡–威尔逊（LGW）泛函为

积分消去动量壳 内的模式以实现粗粒化，再作缩放 和 。耦合随“重整化群时间” 的流动示意如下；省略号包括求温度方向本征值所必需的依赖质量参数的圈修正：

其中 。常数 取决于约定；关键在于：

  • 对于 （），存在威尔逊–费舍尔不动点 ，给出非平均场指数
  • 对于 （），高斯不动点 稳定，平均场指数成立（在 时可能出现对数修正）

对于 模型， 展开给出以下单圈关联长度指数与首个双圈反常维数：

对于伊辛普适类（）：

代入 ，可得到粗略的三维估计；更高圈计算结合重求和可以改进这些结果。

9.10.5 上临界维数与危险无关变量

耦合 在 时是边缘的，在 时是无关的。然而，在 时，它可能是危险无关的：它在重整化群变换下趋于零，却仍然决定 以下 的振幅，从而改变朴素的超标度关系。其结果包括：

  • 平均场指数 对 成立
  • 超标度关系 在 时失效（若不作依赖 的重新缩放，自由能密度就不按 标度变化）

在 时会出现对数项，例如 。

9.10.6 有限尺寸标度与数据塌缩

对于尺寸为 的周期性盒子，重整化群与齐次性意味着自由能奇异部分满足有限尺寸标度（FSS） 假设

可观测量的通用形式：

  • 序参量：
  • 响应率：
  • 比热：，另有可加的解析背景项

实际用途： 以 为横坐标，并将序参量的纵坐标乘以 ，或将响应率的纵坐标乘以 后，不同 的曲线会塌缩到一起；伪临界温度的偏移满足

9.10.7 普适类（简图）

  • 伊辛（， 对称性）： 单轴磁体、临界等温线上的液气系统、二元合金
  • XY（）： 超流氦、平面自旋、薄膜超导体；在二维中具有科斯特利茨–索利斯转变（本质奇异性，而非幂律）
  • 海森堡（）： 各向同性磁体
  • 渗流： 几何连通性转变，具有自身的临界指数
  • 有向渗流： 吸收态相变（非平衡）

相同维数 + 相同对称性 + 相似的守恒规则 → 相同指数。

9.10.8 KT转变插曲（二维XY）

在二维中，涡旋在 处解束缚，关联长度为

这里没有标准的幂律指数；取而代之的是超流刚度的普适跳跃。这仍然是重整化群，只是对应另一种流图，其耦合参数为涡旋逸度和刚度。

9.10.9 简短例题

(a) 两步得到标度关系
从 出发，推导 ，并验证威多姆和拉什布鲁克关系。

(b) 单圈 动量壳重整化群
对LGW理论积分消去 中的模式，重新缩放，并示意性地证明 和 。确定 。若要将 求至 阶，须保留此示意流方程省略的依赖于质量参数的单圈项，移至临界面后再作线性化。

(c) 有限尺寸偏移
假设 ，证明响应率峰的位置满足 。

(d) 数据塌缩步骤
给定二维伊辛模型在 时的 蒙特卡洛数据，取 、，作缩放 和 。解释可调参数和质量检查方法。

(e) 以上的危险无关变量
在 时，证明平均场层面上 ，说明一个“无关”耦合如何决定振幅并破坏朴素的超标度关系。

9.10.10 常见误区

  • 在超标度失效的区域使用它。 对类伊辛系统，在 以上，不能不加限制地使用
  • 混淆过渡行为与临界行为。 在不动点附近但并未到达不动点的流会表现出随尺度漂移的有效指数
  • 忽略解析背景。 比热往往包含非奇异部分，可能掩盖较小的
  • 在有限尺寸标度中忘记边界条件。 指数是普适的；标度函数和次领阶修正则不是
  • 将KT与幂律标度混为一谈。 在二维XY模型中，应预期本质奇异性和刚度跳跃，而非 等指数

9.10.11 基础练习题组

  • 从齐次性假设推导四个标准标度关系，并确定一组独立指数
  • 对 模型计算 和 至 阶，并分别取
  • 证明在 时高斯不动点是边缘的，并在 理论中推导 的一个对数修正
  • 利用有限尺寸标度，从尺寸 下合成或模拟的伊辛响应率峰估算
  • 对KT重整化群流，写出刚度 和涡旋逸度 的最低阶方程，并展示对应于 的分界轨线

9.11 线性响应与涨落–耗散

轻轻扰动系统，观察它如何变化。线性响应理论将微小扰动转化为联系耗散与平衡涨落的普适公式。推迟关联函数决定响应，因果性给出克拉默斯–克罗尼希关系，而涨落–耗散定理（FDT） 将噪声谱与响应率的虚部联系起来。随后，输运系数可由流的自关联函数对时间积分求出（格林–久保关系）。

9.11.1 设置：源、可观测量与响应核

用与算符 耦合的弱含时外场 扰动平衡态哈密顿量：

测量另一个可观测量 。在线性阶，

其中响应率满足因果性，即 。在频域中，

正弦驱动 所产生的吸收功率由耗散部分 决定。

9.11.2 久保公式：量子与经典极限

在海森堡绘景中，以 表示平衡平均，推迟响应率为

等价地，

经典极限。 将对易子替换为 乘以泊松括号，得到

这就是共轭变量的时域涨落–耗散定理形式。

9.11.3 因果性 ⇒ 克拉默斯–克罗尼希关系

因果性使 在上半平面内解析。实部与虚部互为希尔伯特变换：

耗散 色散：两者不可分离。

9.11.4 频域中的涨落–耗散定理

定义 的对称化平衡谱密度，

那么，量子涨落–耗散定理表明

经典极限 给出

其含义是：在驱动下耗散能量的模式，也会在平衡态中发生涨落，两者之比由 决定（在高频下则由 决定）。

9.11.5 格林–久保关系：由自关联求输运

输运系数是流自关联函数的时间积分。

  • 维中速度为 的粒子的自扩散：
  • 体积 中总电流为 时的电导率：
  • 由体积积分后的微观应力分量 得到的剪切黏度：
  • 对于各向同性的 维系统，总热流 （热流密度的体积积分）对应的热导率为：

所有平均都是采用未受扰动动力学的平衡平均。

9.11.6 朗之万、福克–普朗克与爱因斯坦关系

对于黏性流体中位置为 的布朗粒子，

其中高斯白噪声满足 。求解得到爱因斯坦关系

以及速度自关联函数 ，其中 。相应的福克–普朗克方程描述概率密度的演化，并使其弛豫到麦克斯韦–玻尔兹曼稳态。

9.11.7 噪声实例：约翰逊–奈奎斯特噪声及其他

对于经典区域 中的电阻 ，单边（正频率）电压噪声谱密度是9.11.4中定义的双边谱密度的两倍：

量子修正需要乘以 。对于单独的电阻，相应电流噪声为 。同样的逻辑也是核磁共振中磁噪声、原子力显微镜中力噪声，以及介观导体中散粒噪声极限的基础。

9.11.8 昂萨格互易性与微观可逆性

当广义流 对热力学力 作线性响应时，

时间反演对称性意味着昂萨格–卡西米尔关系

其中 是 的时间反演宇称。在零磁场下，对于具有相同宇称的力与流，。互易性是平衡关联对称性在宏观上的体现。

9.11.9 因果性、无源性与求和规则

  • 无源性： 对稳定的无源系统， 时 ，这体现了正的耗散。
  • 求和规则： 的矩与等时对易子或静态响应率相联系，例如电荷响应的 求和规则。
  • 高频尾部： 往往由短时间算符代数决定，可用于检验数值结果或截断模型。

9.11.10 常见误区

  • 在 中使用对称关联函数而非推迟关联函数。 久保公式的 需要对易子和 。
  • 忘记选择系综。 格林–久保平均应在与守恒量相匹配的平衡系综中计算。
  • 在高频下滥用经典涨落–耗散定理。 当 时，应使用量子因子 。
  • 混淆响应通道。 耦合 意味着正确的涨落–耗散关系联系的是 与 ，而非其他算符。
  • 忽略守恒律。 与守恒密度相关的流具有流体力学长时间尾部，可能改变对积分收敛性的朴素判断。

9.11.11 简短例题

(a) 由因果性得到克拉默斯–克罗尼希关系
假设 时 ，作傅里叶变换，并证明 与 的希尔伯特变换关系。

(b) 时域中的经典涨落–耗散定理
取 且 ，证明 ，并重新得到 。

(c) 约翰逊噪声
考虑一个仅含电阻的电路。利用 和涨落–耗散定理，推导经典频段内的 。

(d) 由速度关联求扩散
对于单个笛卡尔速度分量，其指数型关联函数为 ，积分得到 ；取 和 ，将其与 比较。

(e) 电导率的格林–久保关系
证明在矢势等于负电场乘以时间的时间规范下，均匀电场的耦合形式为 ，并推导 。

(f) 昂萨格互易性检验
对于包含电流和热流的热电输运，写出 的 矩阵，并论证 。

9.11.12 基础练习题组

  • 从久保公式出发，证明量子涨落–耗散定理
  • 将迁移率 与速度响应的低频极限联系起来，推导爱因斯坦关系
  • 通过计算正弦驱动下的平均吸收功率，证明无源系统满足
  • 从连续性方程出发，将流关联的长时间尾部与流体力学扩散联系起来，并讨论格林–久保积分的收敛性
  • 通过应力自关联函数，从微观硬球模型计算 ，并与动理论标度比较

9.12 动理论与玻尔兹曼方程

统计力学告诉我们平衡态是什么样子。动理论则解释系统如何趋近平衡，以及尚未达到平衡时会发生什么。主角是玻尔兹曼方程，它是描述单粒子分布 的介观演化规律。由此，我们将推导输运系数，联系流体力学，并考察这一理论在哪里、为何失效。

9.12.1 从微观到介观：分布函数

定义 ，使 表示相空间单元中粒子的期望数目。归一化为 。守恒密度是 的矩：

压强张量和热流密度是相对流速 的更高阶矩。

9.12.2 玻尔兹曼方程与分子混沌

在外力 下，

碰撞积分 描述二体碰撞。对于短程相互作用，并采用分子混沌假设（Stosszahlansatz：碰撞前速度不相关），

其中 ， 为微分截面， 为由能量–动量守恒决定的碰撞后取值。

碰撞不变量。 当 取 、 或 时，均有

从而得到质量、动量和能量的局域守恒。

9.12.3 局域平衡 = 麦克斯韦–玻尔兹曼分布

（对所有截面而言）当且仅当 为局域麦克斯韦分布，

给定 时，这一 使局域熵密度最大，并且是碰撞过程的不动点。

9.12.4 H定理：熵增长

定义玻尔兹曼的 。利用碰撞积分，

等号仅在 时成立。令 ，便得到趋向局域平衡时的熵单调增加。需要注意：这一结论依赖分子混沌以及稀薄气体的二体碰撞；长程力和碰撞前的关联可能使证明失效。

9.12.5 作为矩方程的流体力学

对玻尔兹曼方程取矩，并利用碰撞不变量，得到欧拉（理想）方程或纳维–斯托克斯–傅里叶（耗散）方程。令 、。

  • 连续性
  • 动量
  • 能量

为黏性应力， 为热流密度。为了使这些方程闭合，需要在 附近展开。

9.12.6 查普曼–恩斯科格方法与输运系数

假设梯度很弱（克努森数 很小），并写成 ，其中 对梯度为线性。求解一阶玻尔兹曼方程，得到牛顿黏性定律和傅里叶导热定律：

对于数密度为 、温度为 的硬球（质量 、直径 ），

这些结果还可乘以较小的索宁多项式修正因子；单原子理想气体的体积黏度 为零。

9.12.7 弛豫时间与BGK模型

精确的碰撞积分很难处理。巴特纳格尔–格罗斯–克鲁克（BGK）模型将 替换为以单一速率向局域平衡弛豫的形式：

选择 以匹配 ，可以重现一阶流体力学，并将 确定为模型的预测。对于单原子气体，单一弛豫时间的BGK模型给出 ，因此不能独立拟合这两个系数。此类弛豫模型广泛用于格子玻尔兹曼方法和半导体输运。固体中更简单的弛豫时间近似对电子散射采取同样的处理。

9.12.8 克努森数、边界层与理论失效

  • 流体力学区域 ：纳维–斯托克斯–傅里叶方程有效。
  • 过渡区域 ：出现滑移流和壁面附近的克努森层，需要动理论边界条件。
  • 弹道区域 ：自由分子流；需使用不作梯度展开的玻尔兹曼方程，甚至无碰撞的弗拉索夫动力学（对于长程力）。
  • 稠密气体：恩斯科格修正会改变 和输运。
  • 长程库仑作用：多次小角偏转 → 朗道（福克–普朗克）碰撞算符。

9.12.9 量子玻尔兹曼方程与泡利／玻色因子

对于温度 足够高、相干长度较短的稀薄量子气体，碰撞项需计入末态的受激增强／阻塞：

上符号对应玻色子，下符号对应费米子。这就是尤林–乌伦贝克修正。在超流体的极低 下，动理论必须包含集体模式（声子、玻戈留玻夫准粒子）。

9.12.10 固体中的玻尔兹曼输运（电子与声子）

在晶体中， 在 空间中演化，能带速度为 ，作用力来自电场和贝里曲率（进阶主题）。采用弛豫时间 ，

这一结果在自由电子能带中重现德鲁德模型；声子玻尔兹曼方程则通过三声子散射和边界限制解释晶格热导率。

9.12.11 线性响应与动理论：同一问题，不同视角

格林–久保关系（9.11）指出，输运系数等于自关联函数的时间积分。查普曼–恩斯科格方法则指出，输运系数来自玻尔兹曼方程对梯度的一阶解。两者都适用时，结果一致。动理论在平均自由程和截面明确时更有优势；对于相互作用液体，准粒子图像不清晰，但模拟能够测量关联，此时格林–久保方法更有优势。

9.12.12 简短例题

(a) 平均自由程与黏度
对于数密度为 、截面为 的硬球，证明 ，并估算 ；将其与查普曼–恩斯科格结果比较。

(b) 从BGK到纳维–斯托克斯方程
将 代入玻尔兹曼方程，求解 ，并推导单原子气体的 和 。

(c) 声衰减
对于平面波 ，在 附近线性化玻尔兹曼方程，并用 和 计算衰减系数。

(d) 洛伦兹气体
对于在数密度为 的固定硬散射中心上发生弹性散射的轻粒子，计算 ，并展示各向异性截面如何改变输运。

(e) 量子修正
对双态费米子碰撞推导包含泡利阻塞的细致平衡，并说明它如何在低 下压缩截面为 的散射所能利用的相空间。解释为何对电导率的影响取决于这些碰撞是否弛豫动量。

9.12.13 常见误区

  • 忘记 中的守恒约束。 任何模型碰撞算符都必须守恒质量、动量和能量（如果 与局域矩匹配，BGK在构造上就满足这一点）。
  • 在大 下使用纳维–斯托克斯方程。 此时应预期滑移、克努森层或弹道行为，转而使用动理论。
  • 普遍假定 。 这只对单原子理想气体成立；内部模式会产生体积黏度。
  • 忽略边界条件。 壁面上的镜面反射与漫反射会使近壁输运产生量级为一的差别。
  • 将库仑作用当作硬球碰撞。 多体小角偏转占主导时，需要朗道／福克–普朗克处理，而非描述稀少强碰撞的玻尔兹曼处理。

9.12.14 基础练习题组

  • 从玻尔兹曼方程出发，推导连续性、动量和能量方程，并确定 与
  • 对硬球完成索宁多项式展开的第一步，计算最低阶 ，并与启发式结果 比较
  • 实现BGK并证明 ；用实测黏度拟合 ，以预测热导率和普朗特数
  • 对存在弹性杂质散射的稀薄电子气体，在弛豫时间近似下计算 ，并定性讨论马蒂森定则
  • 推导不可分辨粒子的尤林–乌伦贝克碰撞项，并证明它在 时退化为经典玻尔兹曼形式

总结： 玻尔兹曼方程是从微观碰撞通向宏观流动的桥梁。在分子混沌和短程散射条件下，它驱动 趋向局域麦克斯韦分布；该分布的缓慢梯度产生流体力学，其中 可由截面计算。当平均自由程过大、密度过高或相互作用范围过长时，方程的形式会改变，但核心思想仍然成立：支配非平衡物理的是分布的动力学，而不仅是单个粒子的运动

章节

从基础到前沿，逐步建立理解。

  1. 01牛顿力学
  2. 02振动与波
  3. 03热力学
  4. 04电磁学
  5. 05相对论
  6. 06早期量子理论
  7. 07量子力学
  8. 08量子场论
  9. 09统计物理
  10. 10凝聚态物理
  11. 11宇宙学与天体物理
  12. 12物理学前沿

探索

深入探索那些仍在塑造物理学的问题。

  1. 01弦理论
  2. 02圈量子引力
  3. 03黑洞信息悖论
  4. 04暗物质
  5. 05暗能量
  6. 06纳维–斯托克斯方程
  7. 07微分几何
  8. 08群、李代数与规范理论