ニュートン力学

1. ニュートン以前の世界 — アリストテレスからガリレオへ

ニュートン以前、運動は数学ではなく形而上学の問題だった。アリストテレスの自然学は、ほぼ二千年にわたってヨーロッパを支配していた。

アリストテレスの世界観：物体にはそれぞれ 自然な場所 がある。石が落ちるのは地上を目指すからであり、火が上がるのは天を目指すからである。運動には 動かし続けるもの が必要で、押すのをやめれば運動も止まるとされた。

この模型は日常の直感を説明したが、詳しく検討すると問題が生じた。

アリストテレスの難問

矢は弓の弦を離れた後も、なぜ飛び続けるのだろうか。
惑星はなぜ地球に落ちてこないのだろうか。

中世の学者たちは「インペトゥス理論」で答えようとした。これは、物体に与えられた力がしばらく持続した後に消散するという考え方である。慣性の概念に近づく一歩だったが、運動を依然として形而上学的な「性質」に結び付けていた。

ガリレオの登場（1564–1642）

ガリレオ・ガリレイは、実験によってアリストテレスの正統的な見方を打ち破った。

斜面の実験
ガリレオは重力による運動をゆっくり観察するため、球を斜面に沿って転がした。
そこから等加速度運動を見いだした。静止状態から自由落下する場合、変位は次式で与えられる。
$s = \frac{1}{2} g t^{2}$
ここで、 $s$ は変位、 $t$ は時間、 $g$ は重力加速度である。

→ 同じ場所では、自由落下は落下物体の質量によらず、共通の重力加速度 $g$ に支配される。

演習1.1：真空中でハンマーと羽を落とす。どちらが先に地面に着くだろうか。

解答：加速度 $g$ は質量によらないので、同時に着地する。
慣性の法則の原型
ガリレオは、摩擦のない平面上を転がる球は、ひとりでに止まらないと考えた。
力が作用しなければ、その速度は一定に保たれる。
$\frac{d v}{d t} = 0 条件： F = 0$
これがニュートンの第一法則の萌芽だった。

演習1.2：パックが滑らかな氷の上を滑り、ゆっくり減速する。減速させるのはどの力だろうか。
解答：氷との摩擦と空気抵抗である。理想的な摩擦のない面では、いつまでも止まらない。

ケプラーと天体の謎

ヨハネス・ケプラー（1571–1630）は、別の手掛かりをもたらした。ティコ・ブラーエ（1546–1601）の観測データを用いて、惑星運動の三つの法則を導き出した。

惑星は、太陽を一つの焦点とする楕円軌道を描く。
惑星と太陽を結ぶ線分は、等しい時間に等しい面積を掃く。
公転周期の二乗は、軌道長半径の三乗に比例する（ $T^{2} \propto a^{3}$ ）。

しかし、ケプラーにはその原因が分からなかった。なぜ楕円なのか。なぜ $T^{2} \propto a^{3}$ なのか。天体の運動を見事に記述したものの、その仕組みを説明するには至らなかった。

デカルトと機械論の夢

ルネ・デカルト（1596–1650）は、微細な物質の渦が惑星を押し動かす、時計仕掛けの宇宙を思い描いた。詩的な構想ではあったが、検証できなかった。それでも、宇宙を機械的に説明するという夢は残った。

ニュートンを待つ世界

こうして17世紀半ばまでに、次の考えがそろっていた。

ガリレオは、地上の運動法則を示した。
ケプラーは、惑星の法則を示した。
デカルトは、哲学的な機械論を示した。

しかし、誰もそれらを統一していなかった。
その空白の中で、ガリレオが亡くなった1642年に、アイザック・ニュートンが生まれた。

2. 法則の誕生

ニュートンは物理学そのものを発明したのではなく、諸々の考えを一つの体系へと織り上げた。ガリレオの慣性、ケプラーの調和、デカルトの力学を吸収し、1687年に 自然哲学の数学的諸原理、通称 プリンキピア を刊行した。

そこに、運動の三法則と万有引力の法則が示された。

地上と天上の運動が、初めて同じ原理によって支配されるものとなった。リンゴも月も、同じ法則に従うのである。

今日の私たちは、この統一の上に立っている。

3. 第一法則 — 慣性と孤立

ニュートンの運動の第一法則は、ガリレオの慣性の考えをさらに深めた。

「すべての物体は、加えられた力によってその状態を変えるよう強制されない限り、静止または等速直線運動の状態を保ち続ける。」

数学的な表現

物体に合力が働かないならば、次の関係が成り立つ。

\frac{d v}{d t} = 0 \Rightarrow v = 一定

これを位置で表すと、同じ内容は次のようになる。

r (t) = r_{0} + v_{0} t

したがって、慣性系とは、ニュートンの法則が成り立ち、力が働かないときに物体が速度を保つ座標系として定義される。

ガリレオの斜面による論証

一方の斜面を転がり下り、平面を通り、反対側の斜面を上がる球を考えよう。

摩擦があると、元の高さまで上がらない。
摩擦を小さくすると、より高く上がる。
摩擦がゼロの極限では元と同じ高さまで上がり、面が完全に水平ならば、いつまでも進み続ける。

この実験は、等速運動を維持するのに、持続的な原因は必要ないことを示している。

例題3.1 — 氷上の滑走

問題：ホッケーのパックを、摩擦のない氷の上で速さ $v_{0}$ で打ち出す。10秒間にどれだけ進むだろうか。
解答： $a = 0$ なので、速度は一定である。
$x = v_{0} t$
$v_{0} = 5 m/s$ ならば、 $t = 10 s$ 後には $50 m$ 進んでいる。

4. 第二法則 — 力と天才

ニュートンの第二法則は、原因と結果を結び付ける。

「運動の変化は、加えられた起動力に比例し、その力が加えられた直線の方向に生じる。」

数学的には、次のように表される。

F = m a = m \frac{d ^{2} r}{d t ^{2}}

a = \frac{d v}{d t} = \frac{d ^{2} r}{d t ^{2}}

この一つの関係式によって、宇宙の運動を計算できるようになる。

ラグランジアンからの導出

ラグランジアンを $L = T - V = \frac{1}{2} m \dot{r}^{2} - V (r)$ とする。

ラグランジアンは、運動エネルギー $T$ と位置エネルギー $V$ の差として定義される。

オイラー–ラグランジュ方程式は、次のようになる。

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial r ˙}) - \frac{\partial L}{\partial r} = 0

これから、次式が得られる。

m \ddot{r} + \nabla V = 0 \Rightarrow m \ddot{r} = F

このように、ニュートンの $F = ma$ は変分原理から自然に導かれる。

時間並進対称性 → エネルギー保存

$L$ が時間に陽に依存しないとき、エネルギー $E$ は次式で与えられる。

E = \dot{r} \cdot \frac{\partial L}{\partial r ˙} - L

この量が保存される。

粒子の場合には、次のようになる。

E = \frac{1}{2} m v^{2} + V (r) = 一定

つまり、時間対称性はエネルギー保存に対応する。

証明

定義から、

E = \overset{q}{˙}_{i} \frac{\partial L}{\partial q ˙ _{i}} - L,

その時間微分は、次のようになる。

\frac{d E}{d t} = \overset{q}{¨}_{i} \frac{\partial L}{\partial q ˙ _{i}} + \overset{q}{˙}_{i} \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial q ˙ _{i}}) - \frac{d L}{d t} .

オイラー–ラグランジュ方程式を用いると、

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial q ˙ _{i}}) = \frac{\partial L}{\partial q _{i}},

次式が得られる。

\frac{d E}{d t} = - \frac{\partial L}{\partial t} .

したがって、 $L$ が時間に陽に依存しなければ、

\frac{\partial L}{\partial t} = 0 \Rightarrow \frac{d E}{d t} = 0,

となり、 $E$ が保存される。

これは ネーターの定理 の直接的な例である。
時間並進対称性は、エネルギー保存に対応する。

例題4.1 — 斜面上の物体

重力は鉛直下向きに、垂直抗力は斜面に垂直に働く。重力の斜面に沿う成分はmg sin thetaである。

問題：質量 $m$ の物体が、角度 $θ$ の摩擦のない斜面を滑り下りる。加速度 $a$ を求めよ。

解答：
斜面方向の力は $F = m g sin θ$ である。
ニュートンの第二法則は $F = ma$ である。
よって $a = g sin θ$ となる。

$θ = 3 0^{\circ}$ ならば、 $a = 4.9 m/s^{2}$ である。

例題4.2 — 単振り子（小角近似）

長さ $ℓ$ の質量のない剛体棒（または糸）の先に、質量 $m$ の質点を取り付けた単振り子を考える。支点には摩擦がなく、鉛直方向からの角度を $θ (t)$ とする。

振り子が角度thetaだけ変位している。張力は支点に向かい、重力は下向きに働く。

おもりは半径 $ℓ$ の円弧に沿って動く。接線方向の加速度は、

a_{tan} = ℓ \ddot{θ},

半径方向の向心加速度は、次のようになる。

a_{rad} = ℓ \dot{θ}^{2} .

おもりには二つの力が働く。

棒に沿う張力 $T$ 。
鉛直下向きの重力 $m g$ 。

重力の接線方向成分は、

F_{tan} = - m g sin θ,

ここで負号は、重力が振り子を $θ = 0$ に戻す向きに働くことを示している。

接線方向にニュートンの第二法則を適用すると、

m a_{tan} = \sum F_{tan},

次式を得る。

m (ℓ \ddot{θ}) = - m g sin θ .

整理すると、

\ddot{θ} + \frac{g}{ℓ} sin θ = 0.

これは単振り子の 厳密な非線形運動方程式 である。

角変位が小さく、ラジアンで $∣ θ ∣ ≪ 1$ のときは、次の近似を使える。

sin θ \approx θ .

このとき、方程式は次のようになる。

\ddot{θ} + \frac{g}{ℓ} θ = 0 .

これはよく知られた 単振動の方程式 であり、角振動数は次式で与えられる。

ω_{0} = \frac{g}{ℓ}, T = \frac{2 π}{ω _{0}} = 2 π \frac{ℓ}{g} .

トルクによる方法：
支点のまわりの重力によるトルクは、
$τ = - m g ℓ sin θ,$
また、慣性モーメントを $I = m ℓ^{2}$ とすると、
$I \ddot{θ} = τ \Rightarrow \ddot{θ} + \frac{g}{ℓ} sin θ = 0.$
ラグランジアンによる方法：
$T = \frac{1}{2} m ℓ^{2} \dot{θ}^{2}, V = m g ℓ (1 - cos θ),$ $L = T - V .$
オイラー–ラグランジュ方程式を適用すると、同じ結果が得られる。

次の展開より、

sin θ = θ - \frac{θ ^{3}}{6} + \dots,

相対誤差は $\sim θ^{2} /6$ となる。

$θ = 1 0^{\circ} \approx 0.17$ radでは、誤差は $\approx 0.5%$ 。
$θ = 2 0^{\circ} \approx 0.35$ radでは、誤差は $\approx 2%$ 。

したがって、小角近似の方程式は、振幅がそれほど大きくない振動に対して精度がよい。

運動方程式：

\ddot{θ} + \frac{g}{l} θ = 0

解：

θ (t) = θ_{0} cos (\frac{g}{l} t)

周期：

T = 2 π \frac{l}{g}

5. 第三法則 — 対称性と格闘

ニュートンの 第三法則 は、作用の相互性を導入する。

「すべての作用に対して、常に大きさが等しく向きが反対の反作用がある。」

数学的には、次のように表される。

F_{12} = - F_{21}

導出 → 運動量保存

二粒子系について、

m_{1} \ddot{r}_{1} = F_{12}, m_{2} \ddot{r}_{2} = F_{21}

両式を加えると、

m_{1} \ddot{r}_{1} + m_{2} \ddot{r}_{2} = F_{12} + F_{21} = 0

したがって、

\frac{d}{d t} (m_{1} \dot{r}_{1} + m_{2} \dot{r}_{2}) = 0

このように、全運動量 $P$ = $(m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2})$ が保存される。
これが、衝突や反動を記述する数学の中心にある。

空間並進対称性 → 運動量保存

ラグランジアンが $r \to r + ϵ$ の変換に対して不変ならば、

P = \frac{\partial L}{\partial r ˙} = m v

が保存される。

例題5.1 — 弾性衝突

問題：質量 $m_{1}, m_{2}$ の二つの物体が一次元で弾性衝突する。初速度を $v_{1}, v_{2}$ とするとき、衝突後の速度 $v_{1}^{'}, v_{2}^{'}$ を求めよ。

解答：
運動量保存より、

m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}

エネルギー保存より、

\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} (v_{1}^{'})^{2} + \frac{1}{2} m_{2} (v_{2}^{'})^{2}

これらを解くと、

v_{1}^{'} = \frac{( m _{1} - m _{2} ) v _{1} + 2 m _{2} v _{2}}{m _{1} + m _{2}}, v_{2}^{'} = \frac{( m _{2} - m _{1} ) v _{2} + 2 m _{1} v _{1}}{m _{1} + m _{2}}

例題5.2 — ロケット方程式（ツィオルコフスキー）

瞬間の質量が $M (t)$ のロケットが、外力のない自由空間を速度 $v (t)$ で進んでいるとする。
短い時間 $d t$ の間に、ロケットは質量 $∣ d M ∣$ を、ロケットに対する排気速度 $u$ で後方へ噴出する。

1 運動量保存

ロケットの運動量の変化は、

d P_{rocket} = M d v + v d M .

噴出した燃料の慣性系での速度は $(v - u)$ なので、その運動量は、

d P_{exhaust} = - (d M) (v - u) .

ここで、ロケットの質量は減少するため、 $d M < 0$ である。
全運動量の保存から、

M d v + v d M - (d M) (v - u) = 0,

整理すると、

M d v = - u d M .

2 微分形

$d t$ で割ると、

M \frac{d v}{d t} = - u \frac{d M}{d t} .

3 積分

式を書き直すと、

d v = - u \frac{d M}{M} .

$(M_{0}, v_{0})$ から $(M, v)$ まで積分すると、

\int_{v_{0}}^{v} d v^{'} = - u \int_{M_{0}}^{M} \frac{d M ^{'}}{M ^{'}},

次式を得る。

v - v_{0} = u ln (\frac{M _{0}}{M}) .

したがって、一般的なロケット方程式は、

v (t) = v_{0} + u ln (\frac{M _{0}}{M ( t )}) .

4 解釈上の注意

簡略化した形である
$v = u ln (\frac{M _{0}}{M})$
は、 $v_{0} = 0$ 、すなわちロケットが静止状態から出発することを仮定している。
$u$ は ロケットに対する排気速度 である。後方を負として $u$ を定義する教科書もあり、その場合は式の符号が変わることがある。
この導出では、重力も抵抗もなく、外力が作用しないと仮定している。それらを含めると、方程式は大きく変わる。

5 物理的な意味

この方程式は、ロケットの速度が初期質量と最終質量の比に対して 対数的に 増加することを示している。

\frac{M _{0}}{M} = 「質量比」 .

排気速度 $u$ が大きいほど、また質量比が大きいほど、最終的な速さは大きくなる。

ロケット方程式は、運動量保存から導かれる。
質量 $M$ のロケットが、質量 $d m$ の排気を速度 $u$ で噴出するとき、

M \frac{d v}{d t} = - u \frac{d M}{d t}

積分すると、

v = u ln (\frac{M _{0}}{M})

これが ツィオルコフスキーのロケット方程式 である。

6. これらの法則が今も重要な理由

ニュートンの三法則は、あらゆる力学の講義、工学の計算、宇宙機関による軌道計画の基礎をなしている。
そこには、深い 対称性 も含まれている。

空間並進対称性 → 運動量保存
回転対称性 → 角運動量保存
時間並進対称性 → エネルギー保存

これらがニュートンの枠組みからどのように直接現れるかを見ていこう。

7. 天からの問い

1670年代、ニュートンは 月を軌道にとどめているのは何か と考えた。
ケプラーは経験則を示したが、その原因は説明していなかった。ニュートンは、リンゴを引く力と同じ力が月の運動も支配していると気付いた。

距離 $r \approx 60 R_{\oplus}$ にある月が、加速度 $a = g /6 0^{2}$ で地球に向かって落下しているならば、地表付近に働くのと同じ 逆二乗則 が成り立つ。

例題7.1 — 月の加速度

問題：地球の重力加速度を $g = 9.8 m/s^{2}$ 、半径を $R_{\oplus} = 6.4 \times 1 0^{6} m$ とする。 $r = 60 R_{\oplus}$ にある月の向心加速度はいくらか。

解答：

a = \frac{g}{6 0 ^{2}} \approx \frac{9.8}{3600} \approx 0.0027 m/s^{2}

これは、観測される月の向心加速度と一致する。ニュートンは、リンゴも月も同じ法則に従う というつながりを見抜いた。

8. 万有引力の法則

ニュートンは、次の法則を提案した。

F = - \frac{G m _{1} m _{2}}{r ^{2}} \overset{r}{^}

質量を持つ物体は、互いに引き合う。この力は中心力であり、常に二つの物体を結ぶ直線に沿って働く。

球殻定理の証明

ニュートンは、次のことを証明した。

一様な球殻は、その全質量が中心に集中しているかのように、外部の粒子を引く。
球殻の内部では、合力はゼロになる。

証明には微積分と幾何学が必要だが、その結論は重要である。軌道運動を考えるとき、惑星を質点として扱えるのだ。

例題8.1 — エベレスト山頂での重さ

問題：地球の半径を $R = 6.4 \times 1 0^{6} m$ 、エベレストの標高を $h = 8.8 \times 1 0^{3} m$ とする。山頂では重力がどれだけ小さくなるか。

解答：

g^{'} = g (\frac{R}{R + h})^{2}

\frac{g ^{'}}{g} \approx (\frac{6.4 \times 1 0 ^{6}}{6.4 \times 1 0 ^{6} + 8.8 \times 1 0 ^{3}})^{2} \approx 0.997256

地球を球とみなすこの近似では、山頂の重力は約 $0.274%$ 小さくなる。

9. 中心力と軌道運動

中心力について、

L = r \times m v

楕円軌道の焦点に、引力を及ぼす質量がある。力は焦点を向き、速度は軌道の接線方向を向く。

トルクは、次のようになる。

\frac{d L}{d t} = r \times F

$F ∥ r$ ならば $r \times F = 0$ なので、

\frac{d L}{d t} = 0 \Rightarrow L = const.

このように、回転対称性は角運動量保存に対応する。

例題9.1 — 地球と太陽の系

問題：地球と太陽の距離が2倍になった場合、角運動量を保存するには、速度はどのように変わらなければならないか。

解答：
$L = m v r$ は一定であり、ここで $v$ は速度の接線成分である。 $r \to 2 r$ ならば、 $v \to v /2$ となる。

10. ケプラー問題の再検討

逆二乗の力のもとでは、軌道の方程式は次のようになる。

r (θ) = \frac{p}{1 + e cos θ}

ここで $e$ は離心率である。

$0 \leq e < 1$ ：楕円
$e = 1$ ：放物線
$e > 1$ ：双曲線

ケプラーの第二法則の証明

角運動量保存より、

\frac{d A}{d t} = \frac{1}{2} r^{2} \dot{θ} = \frac{L}{2 m} = 一定

したがって、等しい時間に等しい面積が掃かれる。

例題10.1 — 人工衛星の周期

問題：人工衛星が高度 $h = R_{\oplus}$ で地球を周回している。その周期を求めよ。

解答：
軌道半径は $a = 2 R_{\oplus} = 1.28 \times 1 0^{7} m$ である。

ケプラーの第三法則より、

T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{GM} a^{3}

$GM = 3.986 \times 1 0^{14}$ を用いると、

T \approx 1.44 \times 1 0^{4} s \approx 4.00 時間

11. ニュートンの視点から見たケプラーの三法則

ニュートンは、ケプラーの経験則を導き出した。

楕円軌道：逆二乗則から導かれる。
等しい時間に等しい面積：角運動量保存から導かれる。
調和の法則：

T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{GM} a^{3}

例題11.1 — 彗星の軌道

問題：放物線軌道（ $e = 1$ ）を描く彗星が太陽に近づいている。近日点距離 $r_{p}$ における速さはいくらか。

解答：
放物線軌道では、単位質量当たりのエネルギーは $E = 0$ である。

\frac{1}{2} v^{2} - \frac{GM}{r _{p}} = 0 \Rightarrow v = \frac{2 GM}{r _{p}}

したがって、放物線軌道の彗星は、近日点で脱出速度と同じ速さで運動する。

12. ハレーとの出会い

1684年、エドモンド・ハレーがケンブリッジを訪れた。天文学者たちは、重力が逆二乗則に従うならば、惑星の軌道はどのような形になるのか という問いに頭を悩ませていた。
ハレーが尋ねると、ニュートンは「楕円になる」と答えた。

この何気ない一言が、ハレーの資金援助によって プリンキピア へとつながった。彼の後押しがなければ、地上と天上の力学の統一は、公刊されずに終わっていたかもしれない。

例題12.1 — ハレー彗星の周期

問題：ハレー彗星の軌道長半径は $a = 17.8 AU$ である。公転周期を求めよ。

解答：
AUと年を単位にしたケプラーの第三法則は、 $T^{2} = a^{3}$ となる。
したがって、 $T = (17.8)^{3} \approx 75.1 年$ である。
これは約76年という観測周期に近い。惑星による摂動のため、回帰の間隔は一定ではない。

13. 時計仕掛けの宇宙

ニュートン力学は、潮汐、日食や月食、彗星の運動を予測できる、機械のような宇宙を示した。啓蒙思想は、この決定論的な世界観を受け入れた。

しかし、その背後には深い保存則、すなわち宇宙の 動作規則 があった。

例題13.1 — 潮汐

問題：多くの海岸で、一太陰日あたり二回の満潮が起こるのはなぜか。
解答：単純化した平衡潮汐モデルでは、月の重力が地球上の場所によって異なるため、月に近い側と遠い側に二つの潮汐隆起ができる。地球は約24時間50分の一太陰日でこの分布に対して一回転する。実際の海岸では、海盆や海岸の形状などが応答を変えるため、半日周潮、日周潮、混合潮が生じる。