電磁気学

4.1 はじめに：電気・磁気・光

電磁気学は、火花、方位磁針、星からの光など、世界を結ぶ目に見えない働きの科学である。統一理論が生まれる以前、電気と磁気は別々の不思議な現象として研究され、その歴史は古代にさかのぼる。

4.1.1 古代の不思議

電気を意味する英語 electricity は、琥珀を意味するギリシャ語 elektron に由来する。紀元前600年ごろ、ミレトスのタレスは、琥珀を毛皮でこすると小物を引きつけることに気づいたとされる。静電気は不思議な見世物だった。中国やギリシャでは天然の磁鉄鉱も知られ、磁石は地球の磁場に沿って向きをそろえ、原理の解明よりはるか前に羅針盤へ利用された。

それでも長い間、電気と磁気は体系的な科学というより、伝承や航海の道具だった。

4.1.2 啓蒙時代の初期実験

18世紀、電気は人々を驚かせる実演の対象となった。ベンジャミン・フランクリンの有名な凧の実験は、雷と電気火花の関係を示したとされる。彼は電荷に正・負の呼び名を用い、電荷保存の考えを広めた。

イタリアでは、電気と生物の関係が注目された。ルイージ・ガルヴァーニは金属に触れたカエルの脚が動くことから「動物電気」を唱えた。アレッサンドロ・ボルタは、原因は生物ではなく化学的な作用だと考え、1800年に電池の原型であるボルタ電堆を作った。連続して制御できる電流源が、研究を大きく変えた。

1820年代、ゲオルク・オームは、電流、電圧、抵抗の関係を定量化した。

$$V=IR.$$

当初は反対もあったオームの法則が、回路理論の基礎となった。電気は不思議な現象から定量的な科学へ変わりつつあった。

4.1.3 磁気の謎

磁気の研究も進んだ。羅針盤は探検に欠かせず、ウィリアム・ギルバートは1600年の『磁石論』で、地球自体が巨大な磁石であると論じた。しかし、電気と磁気の関係はまだ明らかでなかった。

19世紀に、その状況が変わる。

4.1.4 産業革命と動力の探究

1800年代初め、蒸気機関が工場や鉄道を動かす一方、電気技術も生まれつつあった。電信は大陸をまたぐ迅速な通信を約束した。電気で機械を動かし、エネルギーを送り、都市を照らせるだろうか。その答えには、より深い理論が必要だった。

4.1.5 光の謎

ここへ光というもう一つの問題が加わった。ニュートンの粒子説に対し、ヤングとフレネルは干渉・回折によって波動性を示した。しかし、何が振動しているのか。音には空気、水面波には水が必要なら、真空を進む光の媒質は何か。物理学者は空間を満たす仮想物質、光エーテルを考えた。

こうして統一への条件が整った。19世紀には、電気、磁気、光が一つの現象の異なる側面であることが明らかになる。

こすった琥珀、天然磁石、不思議な光の波から始まった研究は、電池、回路、羅針盤を生んだが、まだ別々の分野だった。次節から、エルステッド、アンペール、ファラデー、マクスウェルによる電磁気学の統一を追う。

4.2 エルステッド、アンペールと電磁気の発見

19世紀初め、電池は定常電流を作り、磁石は方位磁針を動かしたが、電気と磁気は別々に扱われていた。コペンハーゲンでの実験が、この関係を決定的に変えた。

4.2.1 エルステッドの発見

デンマークの物理学者・哲学者ハンス・クリスティアン・エルステッド（1777〜1851）は、ロマン主義の自然哲学に影響され、電気、磁気、化学、光は結びついていると考えていた。長く証拠を探したが、決定的な結果は得られていなかった。

1820年、学生への講義中、電流が流れる導線の近くで方位磁針が振れることに気づいた。電気が磁気へ影響する、つまり電流が磁場を作ることが示されたのである。

発見はヨーロッパへ急速に広まり、数か月のうちに定量化が始まった。その中心に、電気力学の数学的基礎を築くアンドレ＝マリ・アンペールがいた。

4.2.2 アンペールの実験と法則

フランスの数学者・物理学者アンドレ＝マリ・アンペール（1775〜1836）は、鍵が静電気ではなく電流にあると考えた。電流の流れる平行な導線を並べ、力を測った。

同じ向きの平行電流は引き合い、逆向きなら反発することを見いだした。静止電荷だけでなく、動く電荷の間にも力が働くのである。

間隔$r$で並ぶ長い平行導線の単位長さ当たりの力は、

$$\frac{F}{L}=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{I_1{I}_2}{r},$$

となる。$I_1$と$I_2$は各導線の電流である。この関係は、かつてSIのアンペアの定義にも用いられた。

より一般に、閉曲線に沿った磁場$\mathbf{B}$の周回積分は、囲む電流と次のように関係する。

$$\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}={\mu }_0{I}_{\text{enc}}.$$

アンペールの法則は、後に変位電流項を加えてマクスウェル方程式の一つとなる。定常電流について、ベクトル解析では、

$$\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}.$$

4.2.3 ビオ＝サバールの法則

同時期にジャン＝バティスト・ビオとフェリックス・サバールも、電流による磁場を調べた。電流要素$Id\mathbf{l}$が点$\mathbf{r}$に作る磁場を、ビオ＝サバールの法則で表した。

$$d\mathbf{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\mathbf{l}\times \hat{\mathbf{r}}}{r^2}.$$

導線に沿って積分すれば、磁場全体が得られる。電気のクーロンの法則に似ているが、外積によって、電流を取り巻く磁場の向きが表される点が重要である。

4.2.4 実験が生んだもの

これらの発見は、社会を変える技術の基礎となった。

• 電磁石。 鉄心に導線を巻き、電流で強い磁場を制御する。電信やモーターを可能にした。
• 計測標準。 磁針の振れから電流を測り、電気と磁気を計測の中で結びつけた。
• 数理的な電気力学。 アンペールの法則は、電流が磁場の源となるという共通の原理を与えた。

4.2.5 思想的な意味

エルステッドの実験は自然の統一という直感を裏づけ、アンペールの数学はそれを量として示した。電気と磁気は深く結びついていたのである。ゲーテの「自然現象は神秘的な文字の一つ一つ」という比喩になぞらえれば、2人はその文字からいくつかの言葉を読み取った。

4.2.6 ファラデーとマクスウェルへ

1830年代、マイケル・ファラデーは、電流が磁場を作るだけでなく、変化する磁場から電流を生み出せることを示した。電磁誘導（4.3節）が、マクスウェルによる統一と、光が電磁波であるという理解へつながる。

要点をまとめよう。 1820年の方位磁針の振れから、電磁気学の転換が始まった。アンペールは電流が作る磁場と力を定量化した。ビオ＝サバールの法則とアンペールの周回積分の法則によって、電磁気学は厳密な方程式を得た。講義室の現象が、近代電気力学の基礎となったのである。

4.3 ファラデーと場の概念

電気と磁気の関係をさらに深めたのが、マイケル・ファラデー（1791〜1867）である。磁気から電気を生み出せることを実験で示し、「力線」の考え方によって、現代の場の概念を準備した。

4.3.1 ファラデーの生涯と人柄

ロンドンの貧しい家庭に生まれたファラデーは、十分な学校教育を受けなかった。製本職人の見習いとして、手がける科学書を熱心に読んだ。王立研究所でハンフリー・デービーの講義を聴き、やがて助手に採用された。社会的な障壁を越えて、歴史を代表する実験家となった。

数学の専門家ではなく、自身も数学的知識を誇るものはないと述べた。それでも直感、実験、想像力を通して、後にマクスウェルが数式にする法則を見いだした。注意深い観察、巧みな装置、絶え間ない好奇心を体現する研究者だった。

4.3.2 電磁誘導の発見

電流が磁場を作るなら、磁気から電流を作れるだろうか。ファラデーは1831年、電磁誘導の発見で答えた。

鉄の輪に2つのコイルを巻き、一方を電池、他方を検流計につないだ。針が振れたのは、電流を入れた瞬間と切った瞬間だけだった。定常電流ではなく、磁束の変化が第2のコイルに電流を誘導したのである。

時間変化する磁場は起電力を生む。電気が磁気を生み、変化する磁気が電気を生むという、深い関係が明らかになった。

4.3.3 ファラデーの電磁誘導の法則

実験結果は、次の法則へまとめられる。

$$\mathcal{E}=-\frac{d{\Phi }_B}{dt},$$

$\mathcal{E}$は誘導起電力、${\Phi }_B$は回路を貫く磁束であり、

$${\Phi }_B=\int \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.$$

負号はレンツの法則を表す。誘導電流は磁束の変化を妨げる向きに流れ、エネルギー保存と整合する。

後にマクスウェルが整理したベクトル解析の形では、

$$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.$$

これが、マクスウェル方程式の一つであるファラデーの法則である。

4.3.4 力線と場の概念

ファラデーは微積分ではなく、力線で発見を描いた。電気や磁気の作用を、空間を通り、各点で局所的に働く線として捉えた。遠隔作用に慣れた当時には革新的だったが、彼にとって場は実在するものだった。

場を物理的な実体と考えることは、大きな概念の転換だった。空虚な空間を通して力が瞬時に作用するという見方から離れ、場を図として描き、考えられるものにした。

4.3.5 実験の成果

ファラデーの実験室では、次々に発見が生まれた。

• 回転する磁石と導体。 導体と磁場の相対運動による電流の誘導を示し、発電機の基礎となった。
• 磁気光学効果：ファラデー効果。 磁場がガラス中を通る光の偏光面を回転させることを発見し、電磁気と光の関係を示した。
• 電気化学。 電気分解の法則を定式化し、電極、アノード、カソードといった用語を導入した。

これらは、幅広い能力と深い直感を示している。

4.3.6 マクスウェルへの影響

定性的に描かれた力線には、重要な内容があった。ジェームズ・クラーク・マクスウェルはそれを方程式へ変え、ファラデーの力線は数学で表現でき、電磁気理論はその発展であると評価した。

ファラデーは実験と理論をつないだ。その見方なしには、マクスウェルの統合は生まれなかったかもしれない。

4.3.7 技術への影響

電磁誘導は、電気の実用化を可能にした。

• 発電機。 磁場中の機械的な回転から電力を得て、産業を支える。
• 変圧器。 コイル間の誘導で効率よく電圧を変え、送電網を支える。
• モーター。 電流から運動を作る逆向きの変換と合わせて、電気と機械の循環が成立する。

ファラデーの発見は、電力を使う現代技術のほぼ全体を支えている。

4.3.8 哲学的な意義

空間に場が存在するという見方は、マクスウェル方程式からアインシュタインの時空へつながった。場は計算上の便宜ではなく、自然界の担い手である。アインシュタインも、ファラデーの場の概念を、物理学の基礎における最も実り豊かな変化の一つとして評価した。

4.4 マクスウェルの統合：場の方程式

ファラデーの実験的な構想に数学的な形を与えたのが、ジェームズ・クラーク・マクスウェル（1831〜1879）である。その方程式は電気、磁気、光学を統一し、光が電磁波であることを示した。自然を微分方程式に従う場として捉える、新しい枠組みが生まれた。

4.4.1 科学者マクスウェル

スコットランドのエディンバラに生まれ、幼いころから数学に優れたマクスウェルは、ファラデーの著作に深く影響された。力線を微積分の言葉へ変え、色覚、土星の環の安定性、気体分子運動論などを研究した。その最大の成果が電磁気の統合だった。

方程式だけでなく、模型、類推、視覚化も重視した。直感と数学を結びつける姿勢によって、ファラデーの後継者であり、現代場理論の先駆者となった。

4.4.2 現代的なマクスウェル方程式

クーロン、アンペール、ファラデー、ガウスらの実験法則は、4つの微分方程式にまとめられる。

1. 電場のガウスの法則。
   $\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$
   電荷密度$\rho$が電場の源になる。

2. 磁場のガウスの法則。
   $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$
   この理論では磁気単極子を含まず、磁力線には始点と終点がない。

3. ファラデーの電磁誘導の法則。
   $\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$
   時間変化する磁場が電場を誘導する。

4. アンペール＝マクスウェルの法則。
   $\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$
   電流と時間変化する電場が磁場を生む。

決定的な追加が、電荷保存を保つための変位電流項（${\mu }_0{\epsilon }_0\partial \mathbf{E}/\partial t$）である。これがなければ、コンデンサーの充電などでアンペールの法則に矛盾が生じる。この項によって、方程式は整合性と対称性を得た。

4.4.3 波動方程式と光の本性

電荷も電流もない空間（$\rho =0$、$\mathbf{J}=0$）で、ファラデーの法則とアンペール＝マクスウェルの法則を組み合わせる。前者の回転を取ると、

$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=-\frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B}).$$

後者を代入して、

$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}.$$

ベクトル恒等式$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E})-{\nabla }^2\mathbf{E}$と、電荷のない空間でのガウスの法則$\nabla \cdot \mathbf{E}=0$を使うと、

$${\nabla }^2\mathbf{E}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}.$$

これは、次の速さを持つ波動方程式である。

$$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}.$$

${\mu }_0$と${\epsilon }_0$の値を入れると、測定された光速$c\approx 3.0\times 10^{8}m/s$が得られた。光は電磁波だったのである。光学が電磁気学へ統合される、驚くべき理論的予測だった。

4.4.4 場のエネルギーとポインティングベクトル

場はエネルギーと運動量を持つ。エネルギー密度は、

$$u=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}{B}^2,$$

また、ポインティングベクトル

$$\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}$$

は電磁場のエネルギー流束を表す。光は単なる振動ではなく、移動するエネルギーでもある。後に放射圧や運動量交換が実験で確かめられた。

4.4.5 対称性と統一

マクスウェル方程式では、$\mathbf{E}$と$\mathbf{B}$が時間変化を通じて結びつき、電荷、エネルギー、運動量の局所保存が表される。力は瞬時の遠隔作用ではなく、局所的な場から生じる。

この構造は、さらなる一般化を促した。相対論では、方程式は簡潔なテンソル形式になる。

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu },{\partial }_{[\alpha }{F}_{\beta \gamma ]}=0,$$

$F^{\mu \nu }$は電磁場テンソルである。電気と磁気の統一は、より深い統一の先駆けとなった。

目標。 3次元ベクトルで書かれた4つのマクスウェル方程式

$$\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0},\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},\nabla \cdot \mathbf{B}=0,\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$$

が、共変な2つの式

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu },{\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0,$$

にまとめられることを示す。さらに$F$とその双対を組み合わせれば、1つの複素方程式にもできる。

1. 準備：4次元の記法と規約

計量 ${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$、座標 $x^{\mu }=(ct,x,y,z)$ の平坦な時空を考える。 SI単位系を明示し、$c=1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}$とする。

• 4元勾配： ${\partial }^{\mu }=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},-\nabla \right)$
• 4元電流：$J^{\mu }=(c\rho ,\mathbf{J})$
• 4元ポテンシャル：$A^{\mu }=\left(\frac{\varphi }{c},\mathbf{A}\right)$

場のテンソルを定義する。

$$F_{\mu \nu }\equiv {\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu },F^{\mu \nu }={\eta }^{\mu \alpha }{\eta }^{\nu \beta }{F}_{\alpha \beta }.$$

双対テンソルは、

$${\tilde{F}}^{\mu \nu }\equiv \frac{1}{2}{\epsilon }^{\mu \nu \alpha \beta }{F}_{\alpha \beta },{\epsilon }^{0123}=+1.$$ $$F^{i0}=+\frac{E^i}{c},F^{0i}=-\frac{E^i}{c},F^{ij}=-{\epsilon }^{ijk}{B}_k.$$

行列形式では、

$$F^{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}0& -E_x/c& -E_y/c& -E_z/c\\ E_x/c& 0& -B_z& B_y\\ E_y/c& B_z& 0& -B_x\\ E_z/c& -B_y& B_x& 0\end{array}\right).$$

ポテンシャルからは、

$$\mathbf{E}=-\nabla \varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t},\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}.$$

2. 幾何学から得られる同次方程式

$F=dA$より、

$${\partial }_{\alpha }{F}_{\beta \gamma }+{\partial }_{\beta }{F}_{\gamma \alpha }+{\partial }_{\gamma }{F}_{\alpha \beta }=0,$$

これは次の式に相当する。

$${\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0⟺\nabla \cdot \mathbf{B}=0,\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.$$

3. 非同次方程式

方程式は、

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu },J^{\nu }=(c\rho ,\mathbf{J}).$$

(a) $\nu =0$

$${\partial }_i{F}^{i0}=\frac{1}{c}\nabla \cdot \mathbf{E}={\mu }_{0}c\rho \Rightarrow \nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}.$$

(b) $\nu =i$

$${\partial }_0{F}^{0i}+{\partial }_j{F}^{ji}=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial E^i}{\partial t}+(\nabla \times \mathbf{B}{)}^i={\mu }_0{J}^i.$$

したがって、

$$\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$$

4. 1つの複素方程式

次のように定義する。

$${\mathcal{F}}^{\mu \nu }=F^{\mu \nu }-i{\tilde{F}}^{\mu \nu }.$$

すると、

$${\partial }_{\mu }{\mathcal{F}}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu },$$

となり、非同次方程式と同次方程式をまとめて表せる。

5. 早見表

• ベクトル形式：

$$\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0},\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},\nabla \cdot \mathbf{B}=0,\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$$

• 共変な2式：

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu },{\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0.$$

• 1つの式：

$${\partial }_{\mu }(F^{\mu \nu }-i{\tilde{F}}^{\mu \nu })={\mu }_0{J}^{\nu }.$$

4.4.6 実験による確認

1880年代、ドイツの物理学者ハインリヒ・ヘルツは電波を発生・検出し、マクスウェルの予測を確認した。反射、屈折、干渉が光と同じように現れ、電磁スペクトルが広がった。後にマルコーニが無線通信へ利用し、社会を変えた。

4.4.7 思想的・歴史的な意義

ニュートンが天体と地上の力学を統一したのに対し、マクスウェルは電気、磁気、光を統一した。異なる現象が、一つの理論の下にまとめられたのである。

場は物理学の中心概念となった。単なる数学的な道具ではなく、物理的な実在である。アインシュタインも、19世紀の物理学の基礎における大きな変化として、マクスウェルの場の理論を評価した。

4.4.8 相対論とその先へ

一方、一定の光速を含むマクスウェル方程式は、ニュートン力学の相対性とどう整合するかという謎を残した。ローレンツ変換とアインシュタインの特殊相対論による解決が、次章の主題となる（第5章）。

4.5 電磁放射

光が電磁波だという予測は、ろうそくの光と火花を同じ現象として結びつけた。しかし理論には実験的な確認が必要だった。19世紀末の実験はそれを与え、スペクトルを広げ、現代社会を支える技術を生み出した。

4.5.1 光の波としての性質

マクスウェル以前から、ヤングの二重スリット実験（1801年ごろ）は干渉を示し、フレネルは回折と偏光を説明していた。マクスウェルは、その波が電場と磁場の振動であることを示した。

真空中の平面電磁波は横波であり、電場$\mathbf{E}$、磁場$\mathbf{B}$、伝播方向$\mathbf{k}$が互いに垂直となる。

$$\mathbf{E}\perp \mathbf{B},\mathbf{E}\times \mathbf{B}\parallel \mathbf{k}.$$

波のエネルギー流束は、ポインティングベクトルで与えられる。

$$\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}.$$

光は照明となるだけでなく、電磁エネルギーの流れでもある。

4.5.2 ヘルツの実験

1880年代、ハインリヒ・ヘルツは火花放電の送信器と共鳴ループを使い、実験室で電波を作った。反射、屈折、干渉、偏光という光の特徴が観察された。電磁波が自由空間に存在することを実証し、マクスウェルの予測を確かめたのである。

ヘルツ自身はすぐに実用を考えなかったが、グリエルモ・マルコーニらは無線電信へ応用した。今日の放送、携帯電話、Wi-Fiは、ヘルツの火花から続く技術である。

4.5.3 電磁スペクトル

電磁放射は広いスペクトルを持ち、波長$\lambda$と周波数$\nu$は$c=\lambda \nu$に従う。各領域には次のような用途や現象がある。

• 電波（km〜m程度）：通信、放送、レーダー。
• マイクロ波（cm〜mm程度）：加熱調理、レーダー、衛星通信。
• 赤外線（およそ10⁻³〜10⁻⁶ m）：熱放射、熱画像、天文学。
• 可視光（400〜700 nm程度）：人間の目が検出する狭い範囲。
• 紫外線（およそ10⁻⁶〜10⁻⁸ m）：殺菌、蛍光、日焼け。
• X線（10⁻¹⁰ m程度）：医用画像、結晶構造解析。
• ガンマ線（およそ10⁻¹² m未満）：原子核の遷移、宇宙の高エネルギー現象。

これらは感覚への作用が違っても、電磁場の放射という点で共通する。アンテナ、原子、原子核などの電荷や電流の変化が放射に関わる。

4.5.4 アンテナと放射の仕組み

古典論では、加速する電荷が電磁波を放射する。単純な例が、電荷が往復して時間変化する電流を作る振動双極子である。放射場は$1/r$で減衰し、静電クーロン場の$1/r^2$とは異なり、エネルギーを遠方へ運ぶ。

半波長ダイポールアンテナは電流と共鳴し、効率よく電波を放射する。受信アンテナは逆に、入射する波を電流へ変える。こうして電磁放射は通信の道具となった。

4.5.5 放射圧と運動量

電磁波はエネルギーだけでなく運動量も運ぶ。面に及ぼす圧力は、

$$P=\frac{I}{c},$$

$I$は強度である。放射圧は日常では小さいが、彗星のダストの尾、恒星内部の釣り合い、宇宙塵の運動に重要である。実験室では、光で微粒子や分子を操作する光ピンセットに関係する。

4.5.6 自然と技術の中の電磁放射

• 天文学。 宇宙の情報の多くは電磁放射で届く。電波による銀河観測から、激しい現象を示すガンマ線バーストまで、スペクトルは宇宙の使者である。
• 医学。 X線は体内を映し、電波を用いる核磁気共鳴を基礎とするMRIも電磁気を利用する。放射線治療では高エネルギー光子を用いる。
• 日常生活。 電球、レーザー、電子レンジ、Wi-Fi、光ファイバーは、それぞれ電磁スペクトルの一部を利用する。

4.5.7 量子の課題へ

19世紀末、波動理論は完成したように見えたが、黒体放射や光電効果は古典論で説明できなかった。これらが量子論への入口となる（4.8節）。それでも電磁波の波としての描像は、光学、電波、通信の基礎であり続ける。

4.6 相対論の登場

マクスウェル方程式は、電磁波の伝播速度が

$$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}$$

という真空の定数で決まることを予測した。音波や水面波とは異なり、光は媒質を必要としないように見える。しかし19世紀には、波には必ず担い手が必要だと考え、空間を満たすエーテルを仮定した。この緊張関係が、概念の大転換を準備した。

4.6.1 光エーテル

光エーテルは、透明で、横波を支えるほど硬く、しかも惑星の運動を妨げないものと想定された。理論上は必要と考えられながら、検出できない奇妙な物質だった。

地球がエーテル中を動けば、「エーテル風」が生じるはずである。風に沿う音のように、光の速さも向きで変わると予想された。その検出が実験の課題となった。

4.6.2 マイケルソン＝モーリーの実験

1887年、アルバート・マイケルソンとエドワード・モーリーは、光を直交する経路に分け、反射させて再び合わせる干渉計で調べた。地球がエーテルに対して動いていれば、装置の回転に伴い干渉縞が移動するはずだった。

予想された移動は見つからなかった。地球の運動による方向差は検出されず、精度を高めた実験でもエーテル風は現れなかった。物理学で最も有名な零結果の一つである。

4.6.3 ローレンツ＝フィッツジェラルド収縮

エーテルを残すため、ジョージ・フィッツジェラルド（1889年）とヘンドリック・ローレンツ（1892年）は、運動方向に物体が次の割合で縮むと考えた。

$$L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.$$

その収縮が光路差を打ち消せば、零結果を説明できる。ローレンツはさらに、マクスウェル方程式の形を保つために空間と時間の座標がどう変わるべきかを示す、ローレンツ変換を発展させた。

4.6.4 アインシュタインの1905年

1905年、26歳の特許局員アルバート・アインシュタインは、2つの原理から問題を考え直した。

1. 相対性原理。 物理法則は、すべての慣性系で同じである。
2. 光速度不変の原理。 真空中の光は、光源や観測者の運動によらず速さ$c$で進む。

ここからローレンツ変換を、エーテル説の補修ではなく、空間と時間の構造として導いた。

4.6.5 時間の遅れと長さの収縮

相対論は、意外だが検証可能な効果を予測した。

• 時間の遅れ。 相対運動する時計は遅れて進む。

  $$\Delta t=\gamma \Delta t_0,\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

• 長さの収縮。 相対運動する棒は、運動方向に短く測定される。

  $$L=\frac{L_0}{\gamma }.$$

• 同時性の相対性。 ある系で同時の事象が、別の系でも同時とは限らない。

ニュートン力学の直感には反するが、粒子の寿命、GPS衛星、加速器などで繰り返し検証されている。

4.6.6 相対論の種となった電磁気学

相対論は抽象的な思いつきではなく、電磁気学の課題から生まれた。マクスウェル方程式の光速、エーテル風の不検出、方程式を不変にするローレンツ変換を、アインシュタインは自然の原理へ高めた。

電磁気学は絶対的な空間と時間を見直すきっかけとなり、両者を時空として結びつけた。

4.6.7 一般化へ

1905年の特殊相対論は慣性系を基準とする。10年後、アインシュタインは重力を含む一般相対論へ進んだ。その発展の出発点に、マクスウェルの電気力学があった。

4.7 電磁気学の応用

電磁気学は理論だけでなく、現代社会の基盤である。家庭の照明、手元の画面、医用画像、惑星間通信を支える。エルステッドの方位磁針とファラデーのコイルから始まった研究が、世界の経済を動かしている。

4.7.1 発電：ファラデーの円板から電力網へ

1831年、ファラデーは磁極の間で銅の円板を回し、定常電流を得る発電機を作った。磁場中の機械的な運動から電気を生むという原理が含まれていた。

火力、原子力、水力、風力発電では、タービンの回転によって磁束を変化させ、交流を発生させる。電磁誘導による変圧器で送電時は高電圧にし、配電時は必要な電圧へ下げる。

交流と変圧器が重要である。交流は時間変化するため、静止したコイル間でも誘導が起こる。これにより効率的な電圧変換ができ、大規模な交流電力網を支えている。

4.7.2 電動機

発電機と逆の変換を行うのが、電気から機械運動を作るモーターである。磁場中のコイルに電流を流すとトルクが働き、扇風機から産業ロボットまでを動かす。

• 直流モーター。 整流子が電流の向きを切り替え、回転を続ける。
• 交流誘導モーター。 回転磁場が回転子に電流を誘導する。頑丈で産業に広く使われる。
• 同期モーター。 回転子が電源周波数に同期し、正確な回転に適する。

発電機とモーターは、機械から電気へ、電気から機械へというエネルギー変換をつなぐ。

4.7.3 通信：電信からWi-Fiへ

電磁気学は、距離を越える通信を可能にした。

• 電信（1830年代）。 導線の電流パルスで符号化したメッセージを送る。
• 電話（1876年）。 アレグザンダー・グラハム・ベルは、変化する電流で音声を再現した。
• 無線（1890年代）。 マルコーニらがヘルツの電波を利用し、海を越える無線電信へ発展させた。
• 電磁スペクトルの利用。 電波、マイクロ波、光で膨大なデータを送る。光ファイバーは全反射で光を導き、衛星はマイクロ波を中継する。

基本には、加速する電荷が放射するという原理がある。アンテナは電流と電磁波を相互に変換し、空間を結ぶ。

4.7.4 医学：画像と治療

電磁気学は、体内の構造や機能を調べる医学を変えた。

• X線。 1895年にヴィルヘルム・レントゲンが発見した高エネルギー光子で、骨や組織を映す。
• MRI：磁気共鳴画像法。 強い磁場で核スピンに偏りを作り、電波で励起し、得られる信号から精細な体内画像を再構成する。
• 心電図（ECG）。 心臓の電気信号を測る。
• 放射線治療。 高エネルギーの電磁放射で、がん細胞を狙う。

目に見えない電磁的作用が、診断と治療の両方に使われている。

4.7.5 日常の技術

電磁気学は日常の中にもある。

• 照明。 白熱電球、蛍光灯、LEDは、電流と電磁放射を制御する。
• 計算機。 トランジスターはギガヘルツ級で切り替わり、チップ内を電磁的な信号が運ばれる。
• 無線機器。 スマートフォンは基地局とマイクロ波を交換し、無線、光学、電子回路を組み合わせる。
• 交通。 磁気浮上式の高速鉄道や、自動車のモーター、センサー、通信に利用される。

現代の機器の多くは、根底で電磁気の働きを利用している。

4.7.6 宇宙物理への応用

恒星は電磁波で輝き、星間雲は電波を放ち、パルサーは灯台のような信号を送る。電波からガンマ線までの望遠鏡が、宇宙を描き出す。

磁場は銀河の構造、ブラックホール近傍のジェット、惑星磁気圏のプラズマに関係する。宇宙を理解するにも電磁気学は欠かせない。

4.7.7 工学の原理：エクセルギーと効率

工学では効率が重要である。熱力学（第3章）が上限を定め、電磁気学が実際の変換を担う。

• 送電効率。 ジュール損失$I^{2}R$を抑えるため、高電圧で送電する。
• 電子回路。 消費電力の削減には、抵抗、容量、誘導に関わる損失を抑える必要がある。
• 電磁両立性。 機器どうしが妨害せず動くよう、遮蔽や規格が必要になる。

応用電磁気学では、場を作るだけでなく、性能に合わせて管理する。

4.7.8 電磁気学とデジタル時代

情報は電荷として記憶され、電磁信号として送られ、光として表示される。光ファイバーは光子、Wi-Fiはマイクロ波、チップは電子の動きを利用する。エントロピーを用いるシャノンの情報理論も、電磁気工学と結びつく。

インターネットでは、導線の電子、ガラス中の光子、空中の波が連携し、マクスウェルの法則に従っている。

4.7.9 哲学的な振り返り

ファラデーは世界規模の電力網やスマートフォンを想像できなかっただろう。しかし磁束の変化が起電力を生む原理が、それらを支える。抽象的な物理学が社会を変え、かつての不思議な現象が近代の動力となったのである。

電磁気学は電力、運動、通信、医学、計算に広がる。発電機が都市を照らし、モーターが機械を動かし、アンテナが大陸を結び、X線が体内を映し、トランジスターが計算する。マクスウェル方程式は、現代生活の基盤を記述している。

4.8 量子への手がかりと場の理論

19世紀末、電気、磁気、光の統一と電波の実証、モーターや電信の発展により、電磁気学は完成したように見えた。しかし古典論では説明できない現象が現れ、量子力学と電磁場の量子論、**量子電気力学（QED）**への道を開いた。

4.8.1 黒体放射とプランクの量子

黒体は入射する放射をすべて吸収し、温度だけで決まるスペクトルを放出する理想物体である。古典電磁気学と統計力学からは、レイリー＝ジーンズの法則

$$u(\nu ,T)\propto {\nu }^2{k}_{B}T,$$

が得られるが、高周波で発散する。これが紫外破綻である。実験のスペクトルは極大を持ち、その後は減衰する。

1900年、マックス・プランクは、電磁的な振動子が離散的な量としてエネルギーを交換すると仮定した。

$$E=nh\nu .$$

この大胆な仮定から、正しい分布が得られた。

$$u(\nu ,T)=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /k_{B}T}-1}.$$

プランク定数$h$の導入が、量子の時代を開いた。

4.8.2 アインシュタインと光子：光電効果

1905年、アルバート・アインシュタインは、金属に光を当てると電子が飛び出す光電効果を説明した。単純な古典的描像では、電子のエネルギーは強度で決まり、どの周波数でも十分待てば放出が起こるはずだった。実験では、

• しきい周波数未満では電子が放出されない。
• しきい値を越えると、電子の最大エネルギーは強度ではなく周波数で決まる。
• 強度は主に電子の数を変え、最大エネルギーは変えない。

アインシュタインは、光がエネルギー$E=h\nu$を持つ量子、光子からなると考えた。電子が1個の光子を吸収し、$h\nu$が仕事関数$W$を越えると、次の運動エネルギーで飛び出す。

$$K_{\text{max}}=h\nu -W.$$

この光の粒子的な性質の説明が、1921年のノーベル物理学賞につながった。

4.8.3 コンプトン散乱と波・粒子の二重性

1923年、アーサー・コンプトンは、電子で散乱したX線に波長の変化が生じることを観測した。

$$\Delta \lambda =\frac{h}{m_{e}c}(1-\cos \theta ).$$

光子を運動量$p=h/\lambda$を持つ粒子として扱うと、エネルギー・運動量保存から説明できる。光は波と粒子の両面を持ち、連続的な電磁場にも量子論が必要になった。

4.8.4 量子電気力学の誕生

1920〜1930年代、量子力学と電磁気学を整合させるため、場の量子論が発展した。電磁場を量子化し、その励起を光子とする。荷電粒子の相互作用は、実光子や仮想光子の放出・吸収や交換で記述される。

1940年代、リチャード・ファインマン、ジュリアン・シュウィンガー、朝永振一郎らが、発散を扱う繰り込みの方法を発展させた。ファインマン図は、電子と光子の相互作用を線と頂点で表す。QEDは電子の磁気モーメントなどを極めて高い精度で予測する理論となった。

補足。 ファインマン図では、

• 矢印のある直線は、電子や陽電子などのフェルミ粒子を表す。
  • 時間の進む向きと同じ矢印：電子。
  • 時間の進む向きと逆の矢印：陽電子。
• 波線は光子、または文脈によってゲージ粒子を表す。
• 頂点は線が交わる相互作用点である。
  • QEDでは各頂点に、電子と光子の結合を表す因子$-ie{\gamma }^{\mu }$が対応する。

4.8.5 概念の変化

量子現象は、次の転換を迫った。

• エネルギーの量子化。 光の交換は、離散的な光子の単位で行われる。
• 波と粒子の二重性。 光は波として干渉し、粒子的なエネルギー・運動量交換で散乱する。
• 真空ゆらぎ。 真空にも量子場のゆらぎがあり、カシミール効果やラムシフトなどに関わる。仮想光子はその計算上の記述に現れる。

電磁気学は場の量子論の最初の重要な舞台となり、後のゲージ理論の原型となった。

4.8.6 応用と現代への影響

量子的な電磁気の理解も、技術を支えている。

• レーザー。 光子の誘導放出でコヒーレントな光を作り、通信や医学に利用する。
• 半導体。 電子と電磁的相互作用の量子論に基づくバンド理論が、電子工学を支える。
• 量子光学。 個々の光子の操作を、暗号や量子情報に利用する。
• 高エネルギー物理。 QEDの枠組みは、標準模型の電弱相互作用や強い相互作用の理論を導いた。

4.9 結び：自然の統一

琥珀がわらを引きつけ、磁石が針を回し、雷が木を裂き、光が目を照らす。別々に見えた現象が19世紀に一つへ結びついた。電磁気学の物語は、電気と磁気、光と放射、科学と技術、理論と応用を結ぶ統一の物語である。

4.9.1 エルステッドからマクスウェルへ

• エルステッドは、電流が方位磁針を振らせることを示し、電気と磁気を結んだ。
• アンペールは、電流間の力の法則を定量化した。
• ファラデーは、磁束の変化が起電力を生む電磁誘導と、場の見方を導入した。
• マクスウェルは4つの方程式で、電気、磁気、光を一つの電磁場の現れとして統合した。

各段階は実験と概念の両方の進歩だった。火花と方位磁針から、電磁スペクトルと光速を予測する方程式へ到達したのである。

4.9.2 場の概念

瞬時の遠隔作用という考え方を、ファラデーの力線とマクスウェルの数学が変えた。場は空間に存在し、局所的な法則に従って変化する。この考えは物理学全体に広がった。

• 一般相対論は、重力を時空の幾何学として記述する。
• 場の量子論は、粒子を場の励起として扱う。

電磁気学で育った場の概念は、現代物理学の中心となった。

4.9.3 電磁スペクトルと技術

マクスウェルの予測、ヘルツの実証、マルコーニの無線から、レーザー、光ファイバー、Wi-Fi、MRI、スマートフォンへとつながった。電波からガンマ線までが、通信、医学、産業、探査に利用されている。

電力網は誘導と変圧器でエネルギーを配り、モーターと発電機は電気と運動を変換する。量子論に基づく半導体とトランジスターがデジタル社会を動かす。家庭の機器から宇宙望遠鏡まで、電磁気学が技術を支える。

4.9.4 思想と科学への影響

電磁気学は物理学の範囲を変えた。

• 別々に見える力が、一つの現象の側面であることを示した。
• 場を物理的な実体として位置づけた。
• 光速を含む方程式が、相対論への道を開いた。
• 黒体放射や光電効果の謎が、量子論の種となった。

電磁気学は古典物理と現代物理の交点にあり、力学、相対論、量子論をつないでいる。

4.9.5 指針としての統一

この成功は、より深い統一への探究を促した。電弱理論は電磁気と弱い相互作用を統合し、大統一理論は強い相互作用も含めようとする。さらに重力との統合が目標となる。多様さの下にある共通性を、実験と数学で見いだすという考え方が続いている。

4.9.6 人々の物語

電磁気学は人々の物語でもある。製本職人から実験家となったファラデー、数式に場を見たマクスウェル、電波を実証したヘルツ、原理を電力網や無線へ変えた技師たち。想像力、好奇心、粘り強さが科学と社会を変えた。

電磁気学は電気、磁気、光を統一し、場の概念で物理学を、モーター、発電機、通信で技術を変えた。相対論と量子論を生む橋渡しでもあった。その遺産は黒板の方程式だけでなく、明かり、機械の音、遠い銀河の信号、そしてこの文章を読むための光子にも息づいている。