相対性理論

5.1 ガリレイの相対性原理とエーテルの終焉

特殊相対性理論は突然生まれたわけではありません。その出発点は、ガリレイの相対性原理という古い枠組みの成功と限界でした。この節では、その枠組みを組み立て、電磁気学と照らし合わせて破綻する点を調べ、なぜエーテルを手放す必要があったのかを考えます。

5.1.1 ガリレイの船：相対性原理の原点

ガリレイは、穏やかな海を滑らかに進む船を想像しました。船室ではハエが飛び、水滴が落ち、投げた鍵が手に戻ります。船が静止しているときと変わりません。こうした観察から、次の原理が導かれます。

ガリレイの相対性原理： 互いに一定の速度で運動するどの慣性系でも、力学の法則は同じ形をとります。

5.1.2 ガリレイ変換の数式

2つの慣性系 S と S' が、x 軸方向に一定の相対速度 v で運動しているとします。座標変換は次のとおりです。

$$\begin{array}{rl}{t}^{\prime }& =t,\\ x^{\prime }& =x-vt,\\ y^{\prime }& =y,\\ z^{\prime }& =z\end{array}$$

速度は次のように変換されます。

$$\begin{array}{rl}{u}_x^{\prime }& =u_x-v,\\ u_y^{\prime }& =u_y,\\ u_z^{\prime }& =u_z\end{array}$$

加速度は変わりません。

$${\mathbf{a}}^{\prime }=\mathbf{a}$$

よく知られた帰結が、速度の加法則です。

$$u_x=u_x^{\prime }+v$$

加速度はすべての慣性系で同じなので、力がこれらの変換と整合する形で相対位置や相対速度に依存する限り、ニュートンの第2法則 $m\mathbf{a}=\mathbf{F}$ は同じ形を保ちます。

5.1.3 波動とガリレイ変換の衝突

1次元の波動方程式を考えます。

$$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}=0$$

ガリレイ変換 $x^{\prime }=x-vt,t^{\prime }=t$ を行うと、微分演算子が混ざり合い、S' での方程式は次のようになります。

$$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^{\prime 2}}-\frac{1}{c^2}{\left(\frac{\partial }{\partial t^{\prime }}-v\frac{\partial }{\partial x^{\prime }}\right)}^2\varphi =0$$

これは元の方程式と同じ形ではありません。ガリレイの運動学では、波動方程式は暗黙に特定の媒質を選び、波の速さはその媒質に対して測られます。音の場合は空気が媒質であり、地上の観測者が測る速さはおよそ $c_{\text{sound}}\pm v$ です。

真空中のマクスウェル方程式は速さ c の電磁波を予言しますが、物質的な媒質を導入しません。これをガリレイの世界に当てはめると、観測者によって $c\pm v$ が測られるはずですが、実験はそうした予測を支持しませんでした。

5.1.4 エーテル仮説

19世紀の物理学者は、空間を満たしながら惑星の運動を妨げない、きわめて希薄な媒質である光を伝えるエーテルを提案しました。音が空気の振動であるように、光はエーテルの横振動であり、c はエーテルに対する速さだと考えたのです。そうであれば、通常のガリレイの速度加法則を使えます。

1851年のフィゾーの流水実験では、流れる水に光を通したところ、光速は単純な $c/n\pm v$ ではなく、フレネルの随伴係数による補正を受けました。観測された実効的な速さは、簡潔には次のように表されます。

$$v_{\text{水中の光}}\approx \frac{c}{n}+v\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$$

当時は、物質がエーテルを部分的に引きずると解釈されました。エーテルは修正を重ねながら存続しましたが、直接観測されることはありませんでした。

5.1.5 マイケルソン＝モーリー実験：変化が見えないという結果

地球が静止したエーテルの中を動くなら、「エーテル風」が生じるはずです。その風に沿う方向と横切る方向とでは、光の往復時間がわずかに異なると予想されます。1887年のマイケルソン＝モーリー干渉計は、光を直交する2本の腕に分けて再び合成し、装置の回転に伴う干渉縞の移動を調べました。しかし、移動は実質的に見られませんでした。季節を変えて繰り返しても同じ結果で、地球の公転速度から期待される $v^2/c^2$ の効果は現れませんでした。

ほかにも実験が重ねられました。トルートン＝ノーブル実験は運動する帯電コンデンサーに働くトルクを探し、ケネディ＝ソーンダイク実験は異なる配置で周波数の安定性を調べました。いずれも予想された変化は見つかりません。仮にエーテルが存在しても、力学的にも運動学的にも検出できないことになります。

5.1.6 ローレンツの救済策：収縮と局所時間

アインシュタイン以前、物理学者は時空ではなく物質の性質を修正してエーテルを救おうとしました。ジョージ・フィッツジェラルドとヘンドリック・ローレンツは、運動方向の物体の長さが次の因子で収縮すると提案しました。

$$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

ローレンツはさらに進み、電磁気学の方程式を保つために「局所時間」という数学的な道具を導入しました。そして、マクスウェル方程式を不変に保つ完全な変換を見いだしました。

$$\begin{array}{rl}{t}^{\prime }& =\gamma \left(t-\frac{vx}{c^2}\right),\\ x^{\prime }& =\gamma (x-vt),\\ y^{\prime }& =y,\\ z^{\prime }& =z,\\ \gamma & =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\end{array}$$

ローレンツはなお実在するエーテルを想定し、これらの関係をエーテルの存在を隠す効果と考えました。数学的には正しい対称性を捉えていましたが、エーテルには測定できる役割がなくなっていたのです。

5.1.7 ガリレイの相対性原理が光に適用できない理由

対立点は明確です。ガリレイの運動学は絶対時間と単純な速度加算を仮定します。一方、マクスウェルの電磁気学は真空中の普遍的な波の速さ c を予言します。実験では $c\pm v$ もエーテル風も見られません。ガリレイの枠組みを守るには、長さの収縮、時計の変化、力学的な力が、あらゆる物質・方向・季節・装置で観測可能な効果を打ち消すと仮定しなければならず、不自然です。別の道は、c と実験結果を受け入れ、普遍的な c と両立する運動学へ置き換えることです。

5.1.8 破綻を具体的に見る：2つの変換の比較

慣性系 S で光パルスが +x 方向へ進むとします。

$$x=ct$$

ガリレイ変換 $x^{\prime }=x-vt,t^{\prime }=t$ を使うと、同じ世界線は次のようになります。

$$x^{\prime }=(c-v)t^{\prime }$$

測定される速さは $c-v$ になり、マクスウェルの理論と衝突します。

これに対してローレンツ変換では、同じ世界線は光的なままで、すべての慣性観測者について $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$ を満たします。ローレンツ変換は光円錐を保つ線形変換だからです。

5.1.9 ドップラー効果、光行差、フィゾーの実験はどうなるか

混同されやすい3つの現象も、丁寧に分析すれば相対論と整合します。

ドップラーシフトは相対運動による観測周波数の変化です。相対論的な式は低速では古典的な式に帰着し、高速の天体に関するデータとも一致します。

星の光行差は、光速が有限で地球が運動するために星の見かけの方向がずれる現象です。相対論と両立し、装置内部にエーテル風を仮定する必要はありません。

フィゾーの流水実験の結果は、屈折率 $n$ の運動する媒質中での光に相対論的速度加法則を使うと得られ、エーテルを必要としません。

5.1.10 概念の整理：ガリレイから何が残るか

すべての慣性系で物理法則は同じである、というガリレイの核心的な考えは残ります。変わるのは、その実現方法です。ガリレイの運動学では時間は絶対的で、変換群は $t$ を保ちます。相対論的運動学で不変なのは、次の時空間隔です。

$$\Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2$$

変換群であるローレンツ群は、この量を保ちます。

5.1.11 エーテルの終焉と、それに代わったもの

20世紀初頭には、エーテルは何も説明せず新たな予測も生まない、形而上学的な足場になっていました。アインシュタインの1905年の論文は、エーテルを捨て、相対性原理と光速一定という2つの原理だけからローレンツの数学が導かれることを示しました。空間と時間は時空となり、電場と磁場は1つのテンソルの側面となり、同時性は絶対的な地位を失いました。エーテルに代わったのは新しい物質ではなく、新しい幾何学です。電磁波は電磁場の擾乱であり、その光円錐構造を規定するのは物質的なエーテルではなく時空の計量です。

5.1.12 要点

• ガリレイ変換は絶対時間と単純な速度加算を表し、ニュートンの法則を保ちますが、マクスウェル方程式を保ちません。
• エーテル仮説は普遍的な c とガリレイの運動学を両立させようとしましたが、精密実験で予想された効果が見つからず、維持できなくなりました。
• ローレンツは数学的に正しい対称性を発見し、アインシュタインは c の不変性を原理に据えてそれを物理学とし、エーテルを不要にしました。
• ガリレイから残るのは相対性原理そのものです。その実現を担うのは、ローレンツ群と不変な時空間隔です。

5.2 特殊相対性理論：基本原理と運動学

特殊相対性理論は、2つの簡潔な原理と、従来の常識を見直す勇気に基づいています。その原理は次のとおりです。

(i) 相対性原理：すべての慣性系で物理法則は同じ形をとります。

(ii) 光速度不変の原理：どの慣性観測者も、真空中の光が速さ $c$ で進むと測定します。

これは光源や観測者の運動によらず成り立ちます。この2つから、時空の構造が導かれます。

5.2.1 時計の同期と同時性の相対化

アインシュタインは、同時性を定義するための物理的な手順を提案しました。離れた時計を同期するには、A から B へ光パルスを送り、反射して戻ってくるまでの往路と復路の時間が等しくなるように B の時計を合わせます。この構成は慣性系に依存します。観測者によって時空を同時刻に切り分ける仕方が異なるからです。同時性は絶対的ではなく、運動に依存します。時刻の定義が幾何学の問題になるのです。

5.2.2 ローレンツ変換の導出

2つの系 $S$ と $S^{\prime }$ を標準配置に置きます。$S^{\prime }$ は $S$ の $x$ 軸に沿って一定速度 $v$ で動き、$t=t^{\prime }=0$ で両系の原点が一致します。時空の一様性と等方性から、座標間の関係は線形になります。$+x$ 方向の光パルスの世界線が $S$ では $x=ct$、$S^{\prime }$ では $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$ となることを要求すると、全体の尺度を除いて変換が定まります。相対性、空間の等方性、互いに逆となる変換の関係を用い、$v=0$ では恒等変換となるように尺度を定めると、次の結果を得ます。

$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }& =\gamma (x-vt),\\ t^{\prime }& =\gamma \left(t-\frac{vx}{c^2}\right),\\ y^{\prime }& =y,z^{\prime }=z,\\ \gamma & =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\end{array}$$

逆変換は、$v\to -v$ と置き換えることで得られます。

$$\begin{array}{rl}x& =\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime }),\\ t& =\gamma \left(t^{\prime }+\frac{v{x}^{\prime }}{c^2}\right),\\ y& =y^{\prime },z=z^{\prime }\end{array}$$

これらの仮定のもとで、変換は時空間隔と光円錐を保ちます。

5.2.3 不変間隔と固有時

ローレンツ変換から、次のローレンツ不変な時空間隔が得られます。

$$\Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2$$

時間的な世界線では、$c^{2}d{\tau }^2=d{s}^2$ により固有時 $d\tau$ を定義します。経路に沿って積分すると、動く時計が刻む時間になります。$d{s}^2$ が不変なので、同じ世界線の $\tau$ については、すべての慣性観測者が一致します。

5.2.4 時間の遅れ、長さの収縮、同時性のずれ

運動する観測者が持つ光時計を考えるか、変換式を直接使うと、次の関係が得られます。

$$\Delta t=\gamma \Delta \tau$$

動く時計の進みは $\gamma$ 倍だけ遅くなります。静止長 $L_0$ の棒を $x$ 軸に沿って置き、その両端を $S$ で同時に測ると、長さは次のようになります。

$$L=\frac{L_0}{\gamma }$$

同時性は系に依存します。$S$ での間隔が $(\Delta t,\Delta x)$ である2つの事象について、$S^{\prime }$ での時間差は次式で与えられます。

$$\Delta t^{\prime }=\gamma \left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)$$

$S$ で $\Delta t=0$、すなわち同時であっても、一般に $S^{\prime }$ では $\Delta t^{\prime }\ne 0$ です。これが、測定手順に即した同時性の相対性の意味です。

5.2.5 速度の加法則と横方向成分

速度は単純には足し合わされません。ローレンツ変換を微分すると、アインシュタインの速度加法則が得られます。$S$ で速度成分が $(u_x,u_y,u_z)$ である粒子を $S^{\prime }$ から見ると、速度は次のようになります。

$$u_x^{\prime }=\frac{u_x-v}{1-\frac{v{u}_x}{c^2}}$$ $$u_y^{\prime }=\frac{u_y}{\gamma \left(1-\frac{v{u}_x}{c^2}\right)},u_z^{\prime }=\frac{u_z}{\gamma \left(1-\frac{v{u}_x}{c^2}\right)}$$

同一直線上の運動では、合成則は次式に簡約されます。

$$u\oplus v=\frac{u+v}{1+\frac{uv}{c^2}}$$

光速未満の速度を何度合成しても、結果は $<c$ のままです。

$\beta \equiv v/c=\tanh \eta$ で定義するラピディティ $\eta$ を使うと便利です。このとき、

$$\gamma =\cosh \eta ,\gamma \beta =\sinh \eta$$

となり、同一直線上の速度はラピディティを足すことで合成できます。

$${\eta }_{\text{total}}={\eta }_1+{\eta }_2$$

こうして運動学を、単純な双曲幾何学として扱えます。

5.2.6 ミンコフスキー図の幾何学

事象は点、世界線は曲線です。各事象の光円錐は、時空を時間的な未来・過去（円錐内部）、空間的な領域（外部）、光的な領域（表面）に分けます。因果律に従う信号は光円錐の内部か表面を進みます。ローレンツ変換は、光円錐を保ちながら等時刻の断面を傾ける双曲回転です。そのため、同時性は変わっても光速は変わりません。

5.2.7 典型的な「パラドックス」と数学による解決

双子の問題。 一方の双子が高速で旅行して戻ると、地球に残った双子より若くなっています。旅行者は途中で慣性系を変え、折り返し時に加速するため、その世界線に沿う固有時は小さくなります。固有時は経路に沿った $d\tau$ の積分であり、「向こうでは時間が遅い」という単純な標語だけでは決まりません。

納屋とはしごの問題。 高速で動くはしごは、納屋の系では $L=L_0/\gamma$ により短い納屋に収まります。はしごの系では、納屋の両扉は同時には閉じません。同時性の相対性によって因果関係が保たれます。上に示した $\Delta t^{\prime }$ の変換式が、この違いを説明します。

磁石と導体。 中性の導線の近くを動く電荷は、自身の系では電場を受け、実験室系では磁気力を受けます。どちらも、1つの電磁場テンソルをローレンツ変換した結果です。運動学と場の記述は整合しています。

5.2.8 便利な代数的恒等式

ローレンツ因子は次式を満たします。

$${\gamma }^2(1-{\beta }^2)=1,{\gamma }^2-(\gamma \beta {)}^2=1$$

低速 $v\ll c$ では、次のように展開できます。

$$\gamma \approx 1+\frac{1}{2}{\beta }^2+\frac{3}{8}{\beta }^4+\cdots$$

視線方向に沿った運動の相対論的ドップラー効果には、次のドップラー因子を使います。

$$\mathcal{D}=\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}$$

したがって観測周波数は、接近時には ${\nu }_{\text{obs}}=\mathcal{D}{\nu }_{\text{emit}}$、遠ざかる場合には ${\nu }_{\text{obs}}={\nu }_{\text{emit}}/\mathcal{D}$ です。

5.2.9 要点

• 標準配置と通常の対称性の仮定のもとで、2つの原理から時空間隔と光円錐を保つローレンツ変換が導かれます。
• 時間の遅れ、長さの収縮、同時性のずれは、同じ変換の異なる側面です。
• 速度加法則では光速を超える合成速度は生じません。ラピディティを使うと、同一直線上のブーストを加算で扱えます。
• 不変間隔は固有時と因果関係の基礎です。ミンコフスキー幾何学は、運動学を自然に表す言葉です。

次は、この幾何学的枠組みで運動量、エネルギー、$E=m{c}^2$ などの力学を捉え直します。

5.3 ミンコフスキー時空と因果律

特殊相対性理論は、運動学を幾何学へと置き換えます。空間と時間は別々のものではなく、因果関係を幾何学に組み込んだ4次元の舞台、ミンコフスキー時空を構成します。この節では計量を定義し、間隔を時間的・空間的・光的に分類し、4元ベクトルと双曲回転としてのブーストを導入して、時空図を読むための実用的な規則を学びます。

5.3.1 事象、座標、計量

事象とは、座標 $x^{\mu }=(ct,x,y,z)$ で表される時空の1点です。空間ベクトルには $\mathbf{x}=(x,y,z)$ のようなラテン文字を使い、ギリシャ文字の添字は $0,1,2,3$ をとります。慣性系の直交座標では、ミンコフスキー計量は次のようになります。

$${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$$

近接する2事象 $x^{\mu }$ と $x^{\mu }+d{x}^{\mu }$ の不変な間隔の2乗は、次式です。

$$d{s}^2={\eta }_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }=c^{2}d{t}^2-d{\mathbf{x}}^2$$

どの慣性観測者が計算しても、$d{s}^2$ は同じです。この1つのスカラーが、事象間の隔たりに関する物理的な内容を表します。

5.3.2 光円錐と3種類の間隔

任意の2事象 A、B の関係は、$s^2$ の符号によって分類されます。

• 時間的： $s^2>0$。両事象が同じ空間位置の異なる時刻に起こる系が存在し、光速未満の旅行者が A から B へ移動できます。
• 光的（零的）： $s^2=0$。両事象は光信号によって結ばれます。
• 空間的： $s^2<0$。両事象が異なる場所で同時に起こる系が存在します。$c$ を超えずに両者を結ぶ信号はありません。

各事象で $d{s}^2=0$ を満たす集合が光円錐を作ります。$1+1$ 次元では、その母線は $x=\pm ct$ です。内部は時間的、外部は空間的です。ローレンツ変換はこの円錐を保つので、時刻や距離の値が異なっても、因果的につながり得るかどうかについてはすべての慣性観測者が一致します。

5.3.3 固有時と世界線

世界線は、物体の履歴を表す曲線 $x^{\mu }(\lambda )$ です。時間的な運動では、物体に携えた時計が次の固有時を刻みます。

$$d\tau =\frac{1}{c}\sqrt{d{s}^2}=\sqrt{d{t}^2-\frac{d{\mathbf{x}}^2}{c^2}}$$

積分すれば、その時計での経過時間が得られます。

$$\Delta \tau ={\int }_{\text{path}}d\tau$$

平坦な時空で同じ始点と終点を結ぶ時間的曲線のうち、慣性運動は $\Delta \tau$ を最大にします。この幾何学的な事実が双子の問題を解決します。旅行した双子は非慣性的な経路を通り、固有時が小さくなるのです。

5.3.4 4元速度と4元加速度

4元速度を次のように定義します。

$$u^{\mu }\equiv \frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }$$

$d{s}^2=c^{2}d{\tau }^2$ を使うと、次の規格化条件を得ます。

$${\eta }_{\mu \nu }{u}^{\mu }{u}^{\nu }=c^2$$

空間速度を $\mathbf{v}=d\mathbf{x}/dt$、ローレンツ因子を $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ と書くと、

$$u^{\mu }=\gamma (c,\mathbf{v})$$

4元加速度 $a^{\mu }=d{u}^{\mu }/d\tau$ は、次の直交関係を満たします。

$${\eta }_{\mu \nu }{u}^{\mu }{a}^{\nu }=0$$

つまり、瞬間静止系では加速度は純粋に空間的です。これらの道具を使うと、相対論的力学を簡潔に扱えます（5.4節）。

5.3.5 双曲回転としてのローレンツ変換

$x$ 方向に速さ $v$ のブーストを行うとき、$\beta =v/c$ と $\gamma =1/\sqrt{1-{\beta }^2}$ を使えば、次のように書けます。

$$\begin{array}{rl}c{t}^{\prime }& =\gamma (ct-\beta x)\\ x^{\prime }& =\gamma (x-\beta ct)\\ y^{\prime }& =y\\ z^{\prime }& =z\end{array}$$

この変換の行列 ${\Lambda }^{\mu }{}_{\nu }$ は、次の不変性条件を満たします。

$${\eta }_{\alpha \beta }{\Lambda }^{\alpha }{}_{\mu }{\Lambda }^{\beta }{}_{\nu }={\eta }_{\mu \nu }$$

これは通常の回転がユークリッド的な長さを保つことに対応します。実際、$\beta =\tanh \eta$ によってラピディティ $\eta$ を定義すれば、

$$\gamma =\cosh \eta ,\gamma \beta =\sinh \eta$$

となり、ブーストは $ct$–$x$ 平面の双曲回転になります。同一直線上のブーストはラピディティの加算で合成できます。そのため、速度の合成が非線形なアインシュタインの式であっても、ラピディティによる合成は結合則を満たします。

5.3.6 ミンコフスキー図の読み方

ミンコフスキー図では、縦軸に $ct$、横軸に $x$ をとります。光線は $\pm 45^{\circ }$ の直線です（$c=1$ とする単位系では $x=\pm ct$）。実用上、次の規則が役立ちます。

1. 運動系の座標軸。 $x^{\prime }$ 軸は $t^{\prime }=0$ の事象を結ぶ直線で、上方へ傾きます。$c{t}^{\prime }$ 軸は $x^{\prime }=0$ の世界線で、右へ傾きます。2本の軸は光円錐に関して対称です。
2. 同時刻の断面。 $v=0$ でない限り、$t^{\prime }$ が一定の直線は水平ではありません。同時性の相対性が目に見える形になります。
3. 単位の目盛り。 単位双曲線 $ct=\sqrt{x^2+c^2{\tau }^2}$ は固有時の目盛りを与えます。ローデル図では対称な尺度を使い、両方の系を同じ光円錐の角度で描きます。
4. 因果関係の判定。 B が A の光円錐の外にあれば、$|v|<c$ の世界線で A と B を結べません。空間的に離れた2事象の順序はブーストで逆転し得ますが、時間的に離れた事象では逆転しません。

図は単なる絵ではありません。事象の順序、時間の遅れ、長さの収縮、同時性のずれを判断する計算道具です。

5.3.7 因果律、無信号性、そして $c$ が速度の上限である理由

ある系で速さ $u>c$ の信号が存在すると仮定します。放出と受信が空間的に離れているので、時間順序を逆転させるブーストが存在します。さらに両方向へ信号を送れるとすると、因果関係が閉じたループを作り、矛盾が生じます。特殊相対性理論は超光速通信を認めず、物理的な世界線を時間的または光的に制限することで、これを避けます。この帰結として、完全な剛体も存在しません。棒の一端を急に動かしても、その影響は他端へ瞬時には届かず、応力の情報は物質中の音速 $<c$ で伝わるからです。

場の理論における微視的因果律は、この規則の量子論版です。空間的（類空）に分離した時空点における局所的な可観測量の演算子は可換なので、そこでの測定によって互いに信号を伝えられません。

5.3.8 4元ベクトルとしてのエネルギーと運動量：予告

後で、次のエネルギー・運動量4元ベクトルを使います。

$$p^{\mu }=\left(\frac{E}{c},\mathbf{p}\right)$$

その不変量は次式です。

$$p_{\mu }{p}^{\mu }={\left(\frac{E}{c}\right)}^2-{\mathbf{p}}^2=m^2{c}^2$$

この1つの関係に、静止エネルギー $E_0=m{c}^2$ と分散関係 $E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$ の両方が含まれています。相互作用の前後で $p^{\mu }$ を保存させれば、系によらない簡潔な方法で力学を扱えます。

5.3.9 平坦な時空での加速運動

重力がなくても、加速する観測者を扱えます。$x$ 方向の固有加速度 $a$ が一定の世界線は、双曲線を描きます。

$$\begin{array}{rl}ct(\tau )& =\frac{c^2}{a}\sinh \left(\frac{a\tau }{c}\right)\\ x(\tau )& =\frac{c^2}{a}\cosh \left(\frac{a\tau }{c}\right)\end{array}$$

この曲線は光の直線 $x=\pm ct$ に漸近します。固有加速度は加速度計が示す値であり、系に依存する座標加速度と違って不変です。

加速系を考えると、平坦な時空でもリンドラー座標や地平線が現れます。これは等価原理へ進むためのよい足場です（5.7節）。

5.3.10 テンソルと添字の操作：最小限の道具

4元ベクトルは $A^{\prime \mu }={\Lambda }^{\mu }{}_{\nu }{A}^{\nu }$ と変換されます。添字の上げ下げには ${\eta }_{\mu \nu }$ とその逆行列を使います。

$$A_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{A}^{\nu },A^{\mu }={\eta }^{\mu \nu }{A}_{\nu }$$

添字を縮約すると、例えば $A_{\mu }{B}^{\mu }$ のようなローレンツ不変スカラーが得られます。電磁場は反対称テンソル $F_{\mu \nu }$ で表されます。この言葉でマクスウェル方程式を書くと対称性が明らかになり、$F_{\mu \nu }$ の変換が光円錐を保つことから、因果構造とも整合します。

5.3.11 変わるものと変わらないもの

• 変わるもの： 系ごとに異なる時間間隔、長さ、同時刻の断面。
• 変わらないもの： 光円錐、間隔 $d{s}^2$、固有時 $\tau$、時間的に結ばれた事象の因果的順序。

相対論では、まず不変量を計算します。それ以外の量は、観測する立場によって変わります。

5.3.12 問題を解くための基本手順

1. A は B に影響できるか。 $s^2$ を計算します。$s^2<0$ なら不可能、$s^2=0$ なら光でのみ可能、$s^2>0$ なら光速未満の運動で可能です。
2. 旅行者はどれだけ年をとるか。 実際の速度変化に沿って $d\tau =\sqrt{1-v^2/c^2}dt$ を積分します。
3. 動く観測者にはどう見えるか。 ブーストを行い、座標軸を描き直し、必要に応じて同時性の式や長さの収縮を使います。

まとめ： ミンコフスキー時空は、相対論を幾何学として表します。計量 $d{s}^2=c^{2}d{t}^2-d{\mathbf{x}}^2$ が光円錐と固有時を定義し、ブーストは光円錐を保つ双曲回転になります。因果律は、世界線が光円錐の内部または表面にあるという幾何学的制約です。力学は共変に変換される4元ベクトルで記述できます。間隔、光円錐、ラピディティを使って考えると、パラドックスが解け、計算も簡潔になります。

5.4 相対論的力学

運動学では、座標がどう変換されるかを学びました。力学では、どの慣性観測者にも法則が同じに見えるように、運動量、エネルギー、力がどう振る舞うかを調べます。基本方針は、ローレンツ不変または共変な量から式を組み立て、物理的予測が系に依存しないようにすることです。

5.4.1 4元運動量とエネルギー・運動量関係

4元速度と4元運動量を次のように定義します。

$$u^{\mu }\equiv \frac{d{x}^{\mu }}{d\tau },p^{\mu }\equiv m{u}^{\mu }$$

ここで $d\tau$ は固有時です。$u^{\mu }{u}_{\mu }=c^2$ を使うと、次式を得ます。

$$p^{\mu }=\gamma (mc,m\mathbf{v}),\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

時間成分からエネルギーを定義します。

$$E\equiv p^{0}c=\gamma m{c}^2$$

空間成分から運動量を定義します。

$$\mathbf{p}\equiv \gamma m\mathbf{v}$$

$p^{\mu }$ の不変な大きさから、基本関係式が得られます。

$$p_{\mu }{p}^{\mu }=m^2{c}^2$$

これをスカラー量で書くと、次のようになります。

$$E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$$

低速では、よく知られたニュートン力学の式に帰着します。$v\ll c$ で $\gamma$ を展開すると、

$$E=\gamma m{c}^2\approx m{c}^2+\frac{p^2}{2m}+\cdots$$

となり、静止エネルギー $m{c}^2$ からの最初の補正として、ニュートン力学の運動エネルギーが現れます。

5.4.2 仕事、仕事率、相対論的な力の法則

ニュートン力学の定義を保ちつつ、相対論的な $\mathbf{p}$ と $E$ を使います。

$$\mathbf{F}\equiv \frac{d\mathbf{p}}{dt},\frac{dE}{dt}=\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}$$

$\mathbf{p}=\gamma m\mathbf{v}$ から、次式が得られます。

$$\mathbf{F}=\gamma m\mathbf{a}+{\gamma }^{3}m\frac{\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot \mathbf{a})}{c^2}$$

$\mathbf{v}$ に平行な成分と垂直な成分に分けると、簡潔な関係になります。

$$a_{\parallel }=\frac{F_{\parallel }}{{\gamma }^{3}m},a_{\perp }=\frac{F_{\perp }}{\gamma m}$$

したがって、速度が $c$ に近づくほど、同じ力によって生じる加速度は小さくなり、とくに運動方向でその効果が強まります。光速という上限は、運動学だけでなく力学にも現れます。

力を4元ベクトルにまとめると、さらに見通しがよくなります。4元力を次のように定義します。

$$K^{\mu }\equiv \frac{d{p}^{\mu }}{d\tau }$$

これは、自動的に次の直交関係を満たします。

$$K^{\mu }{u}_{\mu }=0$$

$p^{\mu }{p}_{\mu }$ が一定だからです。5.5節では、電磁場中の荷電粒子に適用します。

5.4.3 作用原理と自由粒子のラグランジアン

相対論的力学は、幾何学的な作用から導かれます。電荷を持たない粒子では、

$$S=-mc\int ds$$

ある系で $ds=cdt\sqrt{1-v^2/c^2}$ なので、ラグランジアンは次式です。

$$L_0=-m{c}^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

正準運動量とハミルトニアンは、次のように得られます。

$$\mathbf{p}=\frac{\partial L_0}{\partial \mathbf{v}}=\gamma m\mathbf{v}$$ $$H=\mathbf{p}\cdot \mathbf{v}-L_0=\gamma m{c}^2=E$$

つまり、エネルギーと運動量の関係は追加の仮定ではなく、世界線の不変な長さから作った変分原理の帰結です。

電荷 $q$ の粒子が電磁4元ポテンシャル $A_{\mu }=(\varphi /c,-\mathbf{A})$ と相互作用する場合、最小結合の作用には $-q\int A_{\mu }d{x}^{\mu }$ を加えます。通常の変数では、ラグランジアンは次のようになります。

$$L=-m{c}^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}+q\mathbf{v}\cdot \mathbf{A}-q\varphi$$

このオイラー＝ラグランジュ方程式から、共変な形のローレンツ力が得られます（5.5節）。

5.4.4 衝突における運動量とエネルギーの収支

4元運動量が保存されるので、

$$\sum _{\text{in}}{p}^{\mu }=\sum _{\text{out}}{p}^{\mu }$$

この1本のベクトル方程式が、すべての系における運動量保存とエネルギー保存を表します。両辺の4元内積をとると、粒子反応に便利な系によらない関係が得られます。

4元運動量 $p_1,p_2$ を持つ2粒子に対する重要な不変量が、マンデルスタム変数 $s$ です。

$$s\equiv (p_1+p_2{)}^2$$

重心系（CM系）では $s=(E_{\text{CM}}/c{)}^2$、したがって $E_{\text{CM}}=\sqrt{s}c$ です。標的 $b$ が静止し、入射粒子 $a$ のエネルギーが $E_a$ である実験室系では、

$$s=m_a^2{c}^2+m_b^2{c}^2+2m_b{E}_a$$

あるいは、より分かりやすく書けば、

$$s{c}^2=m_a^2{c}^4+m_b^2{c}^4+2m_b{c}^2{E}_a$$

静止質量の合計が $M_{\text{final}}$ の終状態粒子を生成するしきい値では、重心系の運動エネルギーがちょうどゼロになります。したがって、

$$s_{\text{th}}=M_{\text{final}}^2{c}^2$$

必要な入射粒子の実験室系でのエネルギーは、次式です。

$$E_{a,\text{th}}=\frac{M_{\text{final}}^2{c}^4-\left(m_a^2+m_b^2\right)c^4}{2m_b{c}^2}$$

具体例として、一方の陽子が静止した $p+p\to p+p+{\pi }^0$ を考えます。陽子とパイ中間子の静止質量を $m_p$、$m_{\pi }$ とすると、$M_{\text{final}}=2m_p+m_{\pi }$ です。上の式から、入射粒子の全エネルギーのしきい値は約1.22 GeV、対応する運動エネルギーのしきい値は約0.28 GeVとなります。

5.4.5 重心系と系の不変質量

任意の孤立系について、全4元運動量を定義します。

$$P^{\mu }\equiv \sum _i{p}_i^{\mu }$$

次の不変量が、

$$M_{\text{sys}}^2{c}^2\equiv P_{\mu }{P}^{\mu }$$

系の不変質量です。重心系では $\mathbf{P}=0$ なので、$M_{\text{sys}}{c}^2=E_{\text{CM}}$ です。重要なのは、$M_{\text{sys}}$ が静止質量の単純な和ではなく、運動エネルギーや結合エネルギーも含むことです。例えば、放射を閉じ込めた箱の $M_{\text{sys}}$ は空箱より大きくなります。各光子の静止質量がゼロでも、エネルギーと運動量を持つためです。

5.4.6 質量のない粒子と分散関係

$m=0$ の場合、不変な関係は次のようになります。

$$E=pc$$

光的な世界線では4元速度は定義できませんが、4元運動量は有限で、正しく変換されます。光子のエネルギーと周波数は $E=h\nu$ で結ばれ、$p=h/\lambda$ および速さ $c$ で伝わるマクスウェルの波と整合します。質量を持つ粒子が $c$ に達するには $\gamma \to \infty$、すなわち無限のエネルギーが必要なので、光速には到達できません。

5.4.7 拘束のある力学と放射反作用：概観

荷電粒子のローレンツ力は、3次元ベクトルでは次の形です（5.5節で共変に導きます）。

$$\frac{d\mathbf{p}}{dt}=q\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B}\right),\frac{dE}{dt}=q\mathbf{E}\cdot \mathbf{v}$$

加速する電荷は放射するため、より精密に扱うと放射反作用の力が加わります。その古典的表式であるアブラハム＝ローレンツ＝ディラックの式には微妙な問題があり、暴走解が生じる場合があります。実際には、外場と整合する近似を使います。力学上の要点は、放射によるエネルギー損失を $dE/dt$ に含めることです。

5.4.8 固有加速度と双曲運動

$x$ 方向の固有加速度 $a$ が一定の軌道は、次式を満たします。

$$\begin{array}{rl}ct(\tau )& =\frac{c^2}{a}\sinh \left(\frac{a\tau }{c}\right)\\ x(\tau )& =\frac{c^2}{a}\cosh \left(\frac{a\tau }{c}\right)\end{array}$$

微分すると、速度は次のようになります。

$$v(\tau )=\frac{dx}{dt}=c\tanh \left(\frac{a\tau }{c}\right)$$

したがって、固有加速度が一定でも、$v$ が $c$ に近づくにつれて座標加速度は小さくなります。速度は光速に漸近し、固有時の進みは次第に遅くなります。

5.4.9 問題を解くための道具

• $p^{\mu }=(E/c,\mathbf{p})$ を使って4元運動量を保存させます。系によらない答えが欲しいときは、4元内積をとります。
• ロケットやビームでは、$dE/dt=\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}$ で仕事率を計算し、推力と $d\mathbf{p}/dt$ を結び付けます。
• 重心系を選ぶと代数計算が簡単になります。必要なら5.3節のローレンツ変換で元の系に戻します。
• $M_{\text{sys}}$ は運動エネルギーと結合エネルギーを含みます。「系の質量」は不変量であり、構成粒子の静止質量の和ではありません。

まとめ： 相対論的力学は、エネルギーと運動量を $E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$ に従う1つの4元ベクトルにまとめます。力は $d\mathbf{p}/dt$ によって運動量を変え、$\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}$ の率で仕事をします。共変な4元力 $K^{\mu }=d{p}^{\mu }/d\tau$ は $u^{\mu }$ と直交します。衝突は $s$ や系の質量 $M_{\text{sys}}$ などの不変量で簡潔に扱えます。4元ベクトルを保存し、光円錐に従うという幾何学的視点から、力学を運動学と同じように見通しよく理解できます。

5.5 相対論的な形で書く電磁気学

マクスウェル理論には、もともと相対論的な対称性が備わっています。ここでは $\mathbf{E}$ と $\mathbf{B}$ を1つの場のテンソルにまとめ、方程式と力を4次元の形で書き、どの観測者も同じ値を得る不変量を明らかにします。

5.5.1 4元電流、4元ポテンシャル、場のテンソル

電荷密度と電流密度を、4元電流にまとめます。

$$J^{\mu }\equiv \left(c\rho ,\mathbf{J}\right)$$

スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルを、4元ポテンシャルにまとめます。

$$A^{\mu }\equiv \left(\frac{\varphi }{c},\mathbf{A}\right)$$

反対称な電磁場テンソルを定義します。

$$F_{\mu \nu }\equiv {\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }$$

計量を ${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$ とすると、SI単位系では、

$$F^{0i}=-\frac{E_i}{c},F^{ij}=-{ϵ}^{ijk}{B}_k$$

このように、$\mathbf{E}$ と $\mathbf{B}$ は別々のものではなく、同じテンソルの異なる側面です。

5.5.2 2本の短いテンソル方程式で表すマクスウェル方程式

4本のマクスウェル方程式は、次の2本にまとめられます。

$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu }$$ $${\partial }_{[\alpha }{F}_{\beta \gamma ]}=0$$

双対テンソル ${\tilde{F}}^{\mu \nu }\equiv \frac{1}{2}{ϵ}^{\mu \nu \alpha \beta }{F}_{\alpha \beta }$ を使うと、2本目は次のようになります。

$${\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0$$

この形ではローレンツ共変性が明白です。どの慣性系でも、方程式は同じ形を保ちます。

5.5.3 1行で表すローレンツ力

電荷 $q$、4元速度 $u^{\mu }$ の粒子は、次式に従います。

$$\frac{d{p}^{\mu }}{d\tau }=q{F}^{\mu }{}_{\nu }{u}^{\nu }$$

時間成分と空間成分に分けると、よく知られた3次元ベクトルの形になります。

$$\frac{d\mathbf{p}}{dt}=q\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B}\right),\frac{dE}{dt}=q\mathbf{E}\cdot \mathbf{v}$$

1本の共変な方程式で、すべての慣性系を扱えます。

5.5.4 ゲージ対称性と波動方程式

ゲージ変換をしても、物理的内容は変わりません。

$$A_{\mu }\to A_{\mu }+{\partial }_{\mu }\chi$$

ローレンツゲージ（Lorenz gauge） では、

$${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0$$

マクスウェル方程式は、ポテンシャルの波動方程式に帰着します。

$$\square A^{\mu }={\mu }_0{J}^{\mu }$$

ここで $\square \equiv {\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\nabla }^2$ はダランベルシアンです。

5.5.5 場の変換：ブーストによる $\mathbf{E}$ と $\mathbf{B}$ の混合

相対論では「電場」と「磁場」を、1つのテンソルを系に応じて分解したものとして扱います。速度 $\mathbf{v}$ のブーストでは、

$${\mathbf{E}}_{\parallel }^{\prime }={\mathbf{E}}_{\parallel },{\mathbf{B}}_{\parallel }^{\prime }={\mathbf{B}}_{\parallel }$$ $${\mathbf{E}}_{\perp }^{\prime }=\gamma \left({\mathbf{E}}_{\perp }+\mathbf{v}\times \mathbf{B}\right),{\mathbf{B}}_{\perp }^{\prime }=\gamma \left({\mathbf{B}}_{\perp }-\frac{\mathbf{v}\times \mathbf{E}}{c^2}\right)$$

$x$ 方向に速さ $v$ のブーストを行うと、

$$\begin{array}{rl}{E}_x^{\prime }& =E_x\\ E_y^{\prime }& =\gamma \left(E_y-v{B}_z\right)\\ E_z^{\prime }& =\gamma \left(E_z+v{B}_y\right)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{B}_x^{\prime }& =B_x\\ B_y^{\prime }& =\gamma \left(B_y+\frac{v}{c^2}{E}_z\right)\\ B_z^{\prime }& =\gamma \left(B_z-\frac{v}{c^2}{E}_y\right)\end{array}$$

ある系で純粋な電場であっても、別の系では一般に電場と磁場が混ざって現れます。

5.5.6 2つのローレンツ不変量：系によらない場の判定

次の独立な2つのローレンツスカラーで、場の性質を調べます。

$${\mathcal{I}}_1\equiv F_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }$$ $${\mathcal{I}}_2\equiv \frac{1}{2}{ϵ}^{\mu \nu \alpha \beta }{F}_{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }$$

SI単位系の変数では、

$${\mathcal{I}}_1=2\left({\mathbf{B}}^2-\frac{{\mathbf{E}}^2}{c^2}\right),{\mathcal{I}}_2=-\frac{4}{c}\mathbf{E}\cdot \mathbf{B}$$

平面波の場合は、

$$\mathbf{E}\perp \mathbf{B},|\mathbf{E}|=c|\mathbf{B}|,\mathbf{E}\cdot \mathbf{B}=0$$

となるので、${\mathcal{I}}_1={\mathcal{I}}_2=0$ です（零場）。${\mathcal{I}}_1<0$ かつ ${\mathcal{I}}_2=0$ なら、純粋な電場になる系が存在します。${\mathcal{I}}_1>0$ かつ ${\mathcal{I}}_2=0$ なら、純粋な磁場になる系が存在します。

5.5.7 場のエネルギー、運動量、応力

エネルギー、運動量、応力を、電磁場のエネルギー・運動量テンソルにまとめます。

$$T^{\mu \nu }=\frac{1}{{\mu }_0}\left(-F^{\mu \alpha }{F}^{\nu }{}_{\alpha }+\frac{1}{4}{\eta }^{\mu \nu }{F}^{\alpha \beta }{F}_{\alpha \beta }\right)$$

源が存在する場合の保存則、より正確には物質との交換を表す式は、次のとおりです。

$${\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=-F^{\nu \lambda }{J}_{\lambda }$$

各成分は次のようになります。

$$T^{00}=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\mathbf{E}}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}{\mathbf{B}}^2$$ $$T^{0i}=\frac{1}{c}{S}_i,\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}$$

$T^{00}$ はエネルギー密度で、$T^{0i}$ はポインティングベクトル $\mathbf{S}$ の成分を使って $S_i/c$ と表されます。運動量密度は $S_i/c^2$ です。空間成分 $T^{ij}$ は運動量流束テンソルで、通常のマクスウェル応力テンソルとは符号が逆になり、場の圧力や張力を表します。

5.5.8 ラグランジアン密度：理論をまとめる1行

場の理論の出発点は、次の1行にまとめられます。

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4{\mu }_0}{F}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }-J^{\mu }{A}_{\mu }$$

$A_{\mu }$ について変分するとマクスウェル方程式が得られます。ゲージ対称性はネーターの定理を通じて、電荷保存 ${\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=0$ に結び付きます。

5.5.9 運動する電荷の場：磁場が現れる理由

静止したクーロン場をブーストすると、異方的に圧縮された電場に加えて磁場が現れます。すなわち、

$$\text{磁場}=\text{「運動する座標系から見た電場」}$$

磁気は独立した別種の力ではなく、$F_{\mu \nu }$ を系に応じて分解した一側面です。

5.5.10 要点の確認

• 場は $F_{\mu \nu }$、源は $J^{\mu }$、ポテンシャルは $A^{\mu }$ で表します。
• マクスウェル方程式は ${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu }$ と ${\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0$ です。
• ローレンツ力は $d{p}^{\mu }/d\tau =q{F}^{\mu }{}_{\nu }{u}^{\nu }$ です。
• ブーストは $\mathbf{E}$ と $\mathbf{B}$ を混ぜますが、不変量 ${\mathcal{I}}_1,{\mathcal{I}}_2$ は変わりません。
• エネルギーと運動量の流れは $T^{\mu \nu }$ に含まれ、$\mathbf{S}=(1/{\mu }_0)\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ です。

まとめ： 電磁気学の場は、別々の2つの場ではなく1つのテンソル $F_{\mu \nu }$ です。ローレンツ変換は $\mathbf{E}$ と $\mathbf{B}$ の見え方を変えますが、物理的内容は変えません。4次元の形で書くと共変性と不変量が明確になり、長いベクトル計算を簡潔な幾何学に置き換えられます。

5.6 相対論的光学と技術への応用

光源や観測者が高速で動くと、光の見え方は特殊相対性理論によって変わります。ドップラー効果、光行差、ビーミングという少数の道具で、クエーサーのジェットから加速器の光までを説明でき、GPSや放射光X線源にも応用できます。この節では主要な式と不変量を整理し、応用を概観します。

5.6.1 相対論的ドップラー効果：運動学としての周波数変化

視線方向の相対運動では、符号付きの動径速度 $v$ を接近時に正、遠ざかるときに負とします（$\beta \equiv v/c$ と定義）。このとき、観測周波数と放出周波数は次のドップラー因子で関係付けられます。

$$\mathcal{D}\equiv \sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}$$

接近する光源は青方偏移し、遠ざかる光源は赤方偏移します。

$${\nu }_{\text{obs}}=\mathcal{D}{\nu }_{\text{emit}}$$

低速では古典的なドップラー効果に帰着します。純粋に横方向の相対運動でも、時間の遅れだけによる赤方偏移が生じます。

$${\nu }_{\text{obs}}=\frac{{\nu }_{\text{emit}}}{\gamma },\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$$

5.6.2 光行差：光がどの方向から来るように見えるか

観測者が動くと、光源の見かけの方向は進行方向へ集中します。ただし、光源の到来方向と光子の伝播方向は反対です。以下の式で、$\theta$ は $S$ における光子の伝播方向と $x$ 軸の角度、${\theta }^{\prime }$ は $+x$ 方向に速さ $v$ で動く $S^{\prime }$ における同じ定義の伝播角です。

$$\cos {\theta }^{\prime }=\frac{\cos \theta -\beta }{1-\beta \cos \theta }$$

同じ関係を半角で書くと、

$$\tan \left(\frac{{\theta }^{\prime }}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)$$

星の見かけの位置がずれ（光行差）、$\gamma$ が大きいと放射のパターンは前方に集中します。

5.6.3 ビーミングと強度の変換

比強度には、次の重要な不変量があります。

$$\frac{I_{\nu }}{{\nu }^3}\text{はローレンツ不変}$$

したがって、ドップラー因子 $\mathcal{D}$ のブーストでは、

$$I_{\nu }={\mathcal{D}}^3{I}_{{\nu }^{\prime }}^{\prime },\nu =\mathcal{D}{\nu }^{\prime }$$

周波数について積分した全放射強度は、次のようになります。

$$I={\mathcal{D}}^4{I}^{\prime }$$

このヘッドライト効果により、相対論的ジェットは視線近くを向くと著しく明るく、反対を向くと暗く見えます。光子が新たに生じるのではなく、ブーストによって位相空間での分布が変わるためです。

5.6.4 シンクロトロン放射と曲率放射

荷電粒子が曲がった軌道を進むと、放射が生じます。半径 $\rho$ の円軌道を超相対論的速度で運動する場合、スペクトルは次の臨界角周波数付近で大きくなります。

$${\omega }_c=\frac{3}{2}{\gamma }^3\frac{c}{\rho }$$

曲率半径 $\rho$ の運動で放射される全パワーは、$\gamma$ に強く依存します。

$$P\propto \frac{q^{2}c}{{\rho }^2}{\gamma }^4$$

ここでは標準的なSIの比例係数を省略しています。重要な帰結は2つあります。(i) 磁場中の高エネルギー電子は、電波からX線にわたる広帯域のシンクロトロン放射を生みます。(ii) 蓄積リングやアンジュレーターは、明るく波長を調整できる光源となり、放射光施設や自由電子レーザー（FEL）として、タンパク質結晶構造解析、材料科学、ナノリソグラフィーに使われます。

5.6.5 輝度温度とスペクトル：便利な関係

$I_{{\nu }^{\prime }}^{\prime }\propto {\nu }^{\prime \alpha }$ というべき乗スペクトルを持つ放射源では、ブースト後に観測されるスペクトルは次式に従います。

$$I_{\nu }\propto {\mathcal{D}}^{3-\alpha }{\nu }^{\alpha }$$

静止系で等方的な放射も、運動系では異方的になります。見かけの開き角は $\sim 1/\gamma$ に比例し、変動の時間尺度は $1/\mathcal{D}$ に短縮されます（時間圧縮）。これらの関係から、ブレーザーやガンマ線バーストの集団運動のローレンツ因子を推定します。

5.6.6 高速でのレーダーとライダー：接近速度は単純加算ではない

装置や標的が相対論的に運動すると、レーダーやライダーで測るうなり周波数にも同じドップラー計算を使います。送受信機が同じ場所にあるモノスタティック・レーダーで、標的が視線方向に速さ $v$ で接近すると、往復で周波数変化が2回積み重なります。

$${\nu }_{\text{beat}}\approx \left({\mathcal{D}}^2-1\right){\nu }_{\text{tx}}$$

低い $v$ の極限では、よく知られた $2v/c$ の式に帰着します。高い $v$ では系統的な偏りを避けるため、正確な $\mathcal{D}$ を使います。

5.6.7 GPSと時計：相対論を使う工学

現代の測位では、正確な時刻が重要です。特殊相対性理論では、速さ $v$ で動く時計は $\gamma$ に応じて遅れます。

$$\frac{\Delta t_{\text{sat}}}{\Delta t_{\text{ground}}}\approx \frac{1}{\gamma }\approx 1-\frac{v^2}{2c^2}$$

衛星時計は、公転速度のために遅れる一方（特殊相対論）、重力ポテンシャルが高いために速く進みます（一般相対論、5.8節）。時計の周波数にはあらかじめ補正を施し、相対論モデルを使って時刻を継続的に補正します。これがなければ、測位誤差は1日で数kmに達します。

5.6.8 相対論的速度での撮像：思考実験から実験室へ

カメラが $c$ に近い速さで景色のそばを通ると、光行差によって多くの光子が前方の円錐へ集中し、ドップラー効果でスペクトルが変化します。また、幾何学的効果であるテレル回転により、物体は単に縮むのではなく回転したように見えます。実験室でもその一部に対応する現象が見られます。相対論的な電子束から見ると、レーザーパルスはドップラー効果でX線領域へ高周波化します。これを利用した逆コンプトン光源は、コンパクトなX線発生を可能にします。

5.6.9 チェレンコフ放射とドップラー効果の違い

チェレンコフ放射は、電荷が媒質中を、その媒質での光の位相速度より速く進むときに生じます。真空中の光速を超えているわけではなく、相対論に反しません。一方、相対論的ドップラー効果や光行差は真空中の運動学です。どちらも検出器や天体物理学に現れますが、説明する現象は異なります。

5.6.10 実用公式集

• ドップラー因子： $\mathcal{D}=\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}$。${\nu }_{\text{obs}}=\mathcal{D}{\nu }_{\text{emit}}$ を使います。
• 横ドップラー効果： ${\nu }_{\text{obs}}={\nu }_{\text{emit}}/\gamma$。
• 光行差： $\cos {\theta }^{\prime }=\frac{\cos \theta -\beta }{1-\beta \cos \theta }$。
• 強度： $I_{\nu }/{\nu }^3$ が不変なので $\Rightarrow I_{\nu }={\mathcal{D}}^3{I}_{{\nu }^{\prime }}^{\prime }$。全放射強度は $I={\mathcal{D}}^4{I}^{\prime }$。
• シンクロトロン放射： ${\omega }_c=(3/2){\gamma }^{3}c/\rho$。パワーは $\propto {\gamma }^4/{\rho }^2$。

まとめ： 相対論的運動学は、日常の工学にも使われます。ドップラー効果と光行差は検出周波数や光源の見かけの方向を定め、ビーミングと強度の不変量は明るさを定めます。シンクロトロン放射の式は、曲がる荷電粒子からの放射を支配します。同じ少数の関係式が宇宙のジェットを説明し、高輝度光源を実現し、スマートフォンの地図の精度も支えています。

5.7 等価原理：一般相対性理論へ

特殊相対性理論は運動学を幾何学として再構成しました。重力を扱うには、幾何学そのものが変化すると考えます。その入り口が、局所的には一様な重力場と一様に加速する系を区別できないという、アインシュタインの等価原理です。この考えから、重力赤方偏移、自由落下の普遍性、そして一般相対性理論の場の方程式へと進みます。

5.7.1 慣性質量と重力質量：手がかり

ニュートン力学には、加速しにくさを表す慣性質量 $m_{\mathrm{i}}$ と、重力の受けやすさを表す重力質量 $m_{\mathrm{g}}$ が登場します。実験では両者が非常に高い精度で等しく、重力場中の運動は物体の組成によらないことが示されています。この自由落下の普遍性は、重力が通常の意味での力ではなく、すべての物質に同じように働く時空の性質であることを示唆します。

アインシュタインは $m_{\mathrm{g}}=m_{\mathrm{i}}$ を原理として受け入れ、この一致を自然に説明する世界像を問いました。

5.7.2 アインシュタインのエレベーター：重力なしで赤方偏移と光の曲がりを考える

宇宙空間で初め静止している小さな実験室、すなわちエレベーターを想像します。ロケットを噴射して、一定加速度 $a$ で上向きに加速させます。床から上向きにレーザー光を出すと、光が天井に届くまでに天井の速度が増しているため、天井ではドップラー赤方偏移が観測されます。高さ $h$ に対する相対的な周波数変化は、

$$\frac{\Delta \nu }{\nu }\approx -\frac{ah}{c^2}$$

$a$ を $g$ に置き換えると、一様な場での重力赤方偏移になります。

$$\frac{\Delta \nu }{\nu }\approx -\frac{gh}{c^2}$$

同じ実験室で、今度は光パルスを水平に飛ばします。飛行時間 $t\approx \ell /c$ の間に、実験室は光線に対して上向きに加速するので、実験室では光が下向きに曲がって見えます。等価原理から、質量の近くでも光が曲がるはずです。エレベーターの思考実験には、一般相対論の主要な予測の芽が含まれています。

5.7.3 局所慣性系：重力は局所的にのみ変換で消せる

時空のどの事象でも、1次の近似で物理法則が特殊相対論と同じに見える座標を選べます。具体的には、点 $P$ で次の条件を満たす局所慣性座標が存在します。

$$g_{\mu \nu }(P)={\eta }_{\mu \nu },{\partial }_{\alpha }{g}_{\mu \nu }(P)=0$$

この系では、自由落下する試験物体は $P$ を通る直線を進み、時計は特殊相対論と同じように振る舞います。ただし、これは局所的な話です。計量の2階微分、すなわち曲率は残るので、重力をあらゆる場所で消すことはできません。その2階微分が潮汐効果を表します。

5.7.4 測地線：自由落下を最もまっすぐな経路として捉える

一般相対論の自由落下は、力に駆動される運動ではなく、曲がった多様体で固有時を停留させる測地線に沿う運動です。運動方程式は次のとおりです。

$$\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{\tau }^2}+{\Gamma }^{\mu }{}_{\alpha \beta }\frac{d{x}^{\alpha }}{d\tau }\frac{d{x}^{\beta }}{d\tau }=0$$

ここで ${\Gamma }^{\mu }{}_{\alpha \beta }$ は $g_{\mu \nu }$ から作られるクリストッフェル記号です。平坦な時空では適切な座標で全域にわたってゼロにできますが、曲がった時空では局所慣性系を選んで1点でゼロにできるだけです。

5.7.5 曲率と潮汐力：測地線偏差

近接して自由落下する2粒子の隔たりを ${\xi }^{\mu }$、4元速度を $u^{\mu }$ とすると、測地線偏差方程式に従います。

$$\frac{D^2{\xi }^{\mu }}{D{\tau }^2}=-R^{\mu }{}_{\nu \alpha \beta }{u}^{\nu }{\xi }^{\alpha }{u}^{\beta }$$

$R^{\mu }{}_{\nu \alpha \beta }$ はリーマン曲率テンソルです。$R^{\mu }{}_{\nu \alpha \beta }=0$ なら初めに平行な自由落下の世界線は平行に保たれ、曲率による潮汐加速度はありません。曲率が非零なら、世界線が集まったり離れたりします。一般相対論での重力はこの幾何学にあります。「重力場」は単なるベクトルではありません。

5.7.6 等価原理から場の方程式へ

アインシュタインは、次の条件を満たす最も簡単な場の方程式を求めました。

1. 弱い場と低速の極限でニュートン重力に帰着する。
2. エネルギーと運動量を保存する。
3. 一般共変であり、任意の座標で成り立つ。

その答えが、アインシュタイン方程式です。

$$G_{\mu \nu }\equiv R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$

必要なら左辺に宇宙定数 $\Lambda$ の項 $(-\Lambda g_{\mu \nu })$ を加えられますが、以下では簡単のため省きます。$T_{\mu \nu }$ は物質と場のエネルギー・運動量テンソルです。左辺の $G_{\mu \nu }$ が幾何学、右辺の $T_{\mu \nu }$ が源を表します。物質が時空の曲がり方を決め、時空が物質の動き方を決める、という表現で知られています。

5.7.7 ニュートン極限：ポアソン方程式の回復

静的で弱い場を考えると、計量成分は次のようになります。

$$g_{00}\approx 1+\frac{2\Phi }{c^2}$$

ここで $\Phi$ はニュートン重力ポテンシャルで、$|\Phi |/c^2\ll 1$ です。この形を場の方程式へ代入し、$1/c^2$ の最低次を残すと、

$${\nabla }^2\Phi =4\pi G\rho$$

が得られ、自由落下の軌道も $\mathbf{a}=-\nabla \Phi$ に帰着します。一般相対論は、低速・弱重力場の極限としてニュートン理論を含んでいます。

5.7.8 重力による時間の遅れと赤方偏移：静的な場の固有時

定常な計量で、空間座標を固定した時計が刻む固有時は次式です。

$$d\tau =\sqrt{g_{00}}dt$$

地表付近で $g_{00}\approx 1+2\Phi /c^2$、上向きの小さなポテンシャル差を $\Delta \Phi \approx g\Delta h$ とすると、下で放出した光を上で受け取るときの相対的な周波数変化は、

$$\frac{\Delta \nu }{\nu }\approx -\frac{\Delta \Phi }{c^2}\approx -\frac{g\Delta h}{c^2}$$

このため、$\Phi$ が高いGPS衛星の時計は地上の同じ時計より速く進み、事前調整と継続的な補正が必要になります。

5.7.9 加速系とリンドラー座標：平坦な時空での準備

平坦な時空で一様に加速する観測者が覆う領域は、リンドラー楔です。$1+1$ 次元で便利な座標 $(\rho ,\eta )$ は、慣性座標 $(ct,x)$ と次のように関係します。

$$ct=\rho \sinh \left(\frac{a\eta }{c}\right),x=\rho \cosh \left(\frac{a\eta }{c}\right)$$

これらの座標では、計量は次のようになります。

$$d{s}^2={\left(\frac{a\rho }{c^2}\right)}^2{c}^{2}d{\eta }^2-d{\rho }^2$$

$\rho$ が異なる時計は異なる速さで進み、重力赤方偏移に似た効果を示します。実験室内で曲率の影響が小さければ、多くの加速系の効果には重力場での対応物があることを、等価原理は教えます。

5.7.10 光の偏向、遅延、近日点移動：予告

一般相対論は、計量を通じて定量的な効果を予言します。質量 $M$ の近くを衝突径数 $b$ で通る光線の偏向角は、

$$\Delta \theta \approx \frac{4GM}{c^{2}b}$$

質量の近くを通る信号には、$g_{00}$ と空間曲率に由来するシャピロ時間遅延が加わります。曲がった時空での束縛軌道は歳差運動し、惑星の摂動を差し引いた水星の近日点移動は一般相対論と一致します。古典的な検証は5.8節でまとめます。

5.7.11 等価原理が実際に述べていること

• 弱い等価原理（自由落下の普遍性）： 自己重力を無視できる試験物体は、同じ重力場で同じ初期条件を与えれば、同じ軌道をたどります。
• アインシュタインの等価原理： 局所的な自由落下系では、重力以外の物理法則は特殊相対論に帰着し、実験結果は実験を行う場所や時刻によらず同じです。

等価原理は、重力を全域で変換により消せるとも、「重力は見かけの力にすぎない」とも述べていません。自由落下によって局所的な重力効果を除けますが、不変な内容として曲率、すなわち潮汐項が残ります。

5.7.12 問題を解くための最小限の道具

• 計量 $g_{\mu \nu }$ が与えられたら、静止した時計の $d\tau =\sqrt{g_{00}}dt$ を計算して進み方を比べます。
• 弱い場での低速運動では、$g_{00}\approx 1+2\Phi /c^2$ から $\Phi$ を読み取り、ニュートン極限を求めます。
• 自由落下を追うには、${\Gamma }^{\mu }{}_{\alpha \beta }(g)$ を使って測地線方程式を立てて積分するか、対称性（キリングベクトル）から得られる保存量を使います。

まとめ： 等価原理は、重力を幾何学として捉え直します。局所的には自由落下で場を消せても、曲率は消せません。潮汐効果こそ、系によらず残る内容です。等価原理、エネルギー・運動量保存、ニュートン極限を要求すると、アインシュタイン方程式 $G_{\mu \nu }=(8\pi G/c^4)T_{\mu \nu }$ に至ります。赤方偏移、光の偏向、軌道上の時計の進みまで、エレベーターの思考実験は曲がった時空の理論へ発展します。

5.8 検証と最前線

相対論は直感だけの理論ではなく、実験で繰り返し検証されてきました。水星の軌道、重力波、ブラックホールの画像に至るまで、ますます厳しい試験を通過しています。この節では古典的な検証を整理し、精密測定、強重力場、宇宙的なスケールで理論を試す最前線へ進みます。

5.8.1 弱重力場での古典的検証

水星の近日点移動。 ニュートン重力と惑星の摂動だけでは、小さな余剰の移動が説明できません。質量 $M$ の周囲を、長半径 $a$、離心率 $e$ で回る束縛軌道について、一般相対論は1周当たり次の移動を予言します。

$$\Delta \phi \approx \frac{6\pi GM}{c^{2}a(1-e^2)}$$

光の偏向。 質量 $M$ のそばを衝突径数 $b$ で通る光線は、次の角度だけ曲がります。

$$\Delta \theta \approx \frac{4GM}{c^{2}b}$$

時間だけでなく空間の曲率も効くため、この値は素朴なニュートン粒子モデルの予測の2倍です。

重力赤方偏移。 静的で弱い場では、高いポテンシャルの時計ほど速く進みますが、上向きに伝わる光は、放出時より低い周波数で受信されます。地表付近で重力加速度が $g$、上向きの小さな高度差が $h$ の場合、光の相対的な周波数変化は、

$$\frac{\Delta \nu }{\nu }\approx -\frac{gh}{c^2}$$

シャピロ時間遅延。 大きな質量のそばをかすめるレーダー信号は、ユークリッド幾何学から予想されるより遅れて届きます。適切な配置で質量 $M$ のそばを往復すると、

$$\Delta t\propto \frac{GM}{c^3}\ln \left(\frac{\text{経路上の距離}}{\text{衝突径数}}\right)$$

この対数依存性が、一般相対論に特徴的な印です。

5.8.2 等価原理の検証

電荷を持たないすべての試験物体が同じように落下するなら、次のエトヴェシュ・パラメーターは非常に小さいはずです。

$$\eta \equiv \frac{2|a_1-a_2|}{a_1+a_2}$$

現代のねじり天秤、原子干渉計、月レーザー測距は、$\eta$ が極めて小さいことを示しています。アインシュタインのエレベーターで想定した局所的な区別のつかなさが、高い精度で支持されています。

5.8.3 連星パルサーと重力放射

コンパクト連星は重力波として軌道エネルギーを失い、周期が短くなります。一般相対論では、周期の時間変化率は次のチャープ質量 $M_c$ に依存します。

$$M_c\equiv \frac{(m_1{m}_2{)}^{3/5}}{(m_1+m_2{)}^{1/5}}$$

軌道周期 $P$ のほぼ円形の連星では、

$$\dot{P}=-\frac{192\pi }{5}{\left(\frac{G{M}_c}{c^3}\right)}^{5/3}{\left(\frac{2\pi }{P}\right)}^{5/3}$$

パルサーの電波到来時刻の測定はこの予測と整合し、$M_c$ を精密に測定できます。強重力場と重力放射を扱う一般相対論も、検証を通過しています。

5.8.4 重力波の直接観測とチャープ

干渉計は、通過する重力波による無次元のひずみ $h=\Delta L/L$ を測定します。ほぼ円軌道で互いに接近する連星の重力波周波数 $f$ は、次式に従って増加します。

$$\dot{f}=\frac{96}{5}{\pi }^{8/3}{\left(\frac{G{M}_c}{c^3}\right)}^{5/3}{f}^{11/3}$$

$f(t)$ から $M_c$ を求め、測定した波の振幅や光源の向きと組み合わせることで、宇宙の距離梯子に頼らず距離を推定できます。複数の検出器で到来時刻を比較して位置を絞り込み、偏極や位相を使って一般相対論の波形テンプレートを検証します。

5.8.5 ブラックホールと強重力場

シュワルツシルト半径を定義します。

$$r_s\equiv \frac{2GM}{c^2}$$

$r_s$ 付近の光子軌道、最内安定円軌道、潮汐力は、曲率の大きな領域の計量を探ります。超長基線電波干渉計は地平線規模の構造を分解し、銀河中心の星の軌道は、歳差や赤方偏移を通じて時空と無毛性の描像を検証します。

5.8.6 慣性系の引きずりと測地的効果

回転する質量は慣性系を引きずります。角運動量 $\mathbf{J}$ の天体の周囲で、ジャイロスコープの重力磁気的な歳差角速度は、およそ次式です。

$${\mathbf{\Omega }}_{\text{LT}}\sim \frac{G\mathbf{J}}{c^2{r}^3}$$

測地的歳差は、曲がった時空を運動することによって生じます。衛星搭載のジャイロスコープや衛星の昇交点の追跡で、地球の場における両効果が測定され、一般相対論とよく一致しています。

5.8.7 技術の中の相対論：時計、測位、時刻伝送

時間の遅れと重力赤方偏移は、工学でも無視できません。衛星時計は特殊・一般相対論に基づいて事前調整と補正を受け、m以下の精度でも測距式の整合性を保ちます。光ファイバーやマイクロ波による時刻伝送にも相対論的補正を取り入れ、原子時計の輸送実験は予測されるずれを確認しています。

5.8.8 パラメーター化ポスト・ニュートン形式（PPN）

一般相対論の代替理論を比較するため、弱重力場の観測量を $\gamma$ や $\beta$ などのパラメーターで表します。例えば、光の偏向は $1+\gamma$ に比例し、近日点移動は $\gamma$ と $\beta$ の組み合わせに依存します。一般相対論の予測は $\gamma =\beta =1$ です。太陽系やパルサーの検証により、これらの値は一般相対論の値の非常に近くに制限されています。

5.8.9 伝播速度、分散、重力子の質量

重力の伝播速度が $c$ と異なるかどうかは到来時刻から検証できます。分散には周波数に依存する伝播速度が必要であり、重力子が質量 $m_g$ を持つ場合にはそのような依存性が生じます。質量のある重力子は、次式に従います。

$$E^2=p^2{c}^2+m_g^2{c}^4$$

この関係では、同じ光源から同時に出た高周波の波が低周波の波より早く届きます。観測波形やマルチメッセンジャー観測は分散を厳しく制限し、ごく小さな誤差の範囲で速さ $c$ の伝播と整合しています。

5.8.10 宇宙論の最前線

最大のスケールでは、一般相対論と単純な物質成分から膨張宇宙の解が得られます。宇宙定数 $\Lambda$ を導入すると、加速膨張を記述できます。スケール因子 $a(t)$ に対するフリードマン方程式が、幾何学とエネルギー内容を結び付けます。

$${\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}+\frac{\Lambda c^2}{3}$$

距離と赤方偏移の関係、重力レンズ、構造形成によって、宇宙の歴史を通じて一般相対論を検証します。理論からのずれは、これらの観測手法間の不一致として現れます。

5.8.11 新しい物理が現れ得る場所

• 強重力場のずれ。 ブラックホール合体後のリングダウンの高次モードから、カー計量で予想されるスペクトルを検証します。
• 等価原理の限界。 超軽量の場や暗黒セクターとの結合により、組成に依存した加速度や定数の時間変化が生じる可能性があります。
• 短距離の重力。 卓上実験では、mmからμmのスケールで逆2乗則からのずれを探します。
• ローレンツ対称性。 高エネルギー宇宙線や精密な時刻測定で、重力分野の微小な対称性の破れを探ります。

これまで異常が見つかっていないことは一般相対論を支持し、代替理論に許されるパラメーターの範囲を狭めています。

5.8.12 問題を解くための最小限の道具

• 上の $\Delta \phi$ で水星のような近日点移動を計算し、多数の周回を通じてニュートン力学の楕円と比べます。
• 質量をかすめる光の経路について、ここで示した式で偏向とシャピロ遅延を見積もります。
• 質量と周期を与えた連星について、$\dot{P}$ と $\dot{f}$ から波形の変化と合体までの時間を予測します。
• 2つの時計の高度差 $\Delta h$ から重力赤方偏移を求め、GPS時計の補正設定と結び付けます。

まとめ： 相対論は、1世紀にわたる多様な検証を受けてきました。軌道の歳差、光の偏向と遅延、時計のずれ、連星のチャープ、地平線の影は、方程式の予測と整合しています。最前線は、実験室のμm、宇宙のMpc、$r_s$ 付近の曲率など、精密さと極端な条件にあります。どの場面でも、不変量を計算し、光円錐を尊重し、計量から物質の運動を求めるという方針は同じです。