ブラックホール情報パラドックス
本がブラックホールに落ちたら、文字を読み戻すことは非常に難しい。しかし、情報パラドックスが問うのはもっと根本的なことである。異なる初期量子状態が、残ったものを完全に操作できる観測者にとってさえ、同じ最終状態になってしまうのだろうか。普通の燃焼は、情報を煙、光、その間の相関に複雑に分散させる。原理的な消去は、量子力学の法則そのものを変える。
この問題は一般相対論、場の量子論、統計力学を結びつける。いずれも成功した理論だが、時空自体の量子性が必要な領域では、単純に組み合わせるだけでは不十分である。以下では、制御された近似の結果、ユニタリ性を仮定した推論、実際の観測を区別する。
規約： アイランド公式まではSI定数を明示し、同公式では とする。 は熱力学的エントロピー、 は自然対数で定義する無次元のフォン・ノイマンエントロピーである。後者をエントロピーの単位にするには を掛け、ビット数にするには で割る。主に非回転・無電荷のブラックホールを考える。
1. 古典的なブラックホール
事象の地平面は、遠方の外部の未来へ信号が到達できない領域の境界である。物質でできた表面ではなく、時空全体の因果構造によって決まる。球対称で非回転の天体の外側が真空なら、シュヴァルツシルト計量は
となる。 は質量、 は面積半径、 は単位球面の計量である。半径 の球面の面積は となる。 に見える発散は、地平面で正則な座標を使えば取り除ける。 の曲率特異点とは異なる。
十分に大きいブラックホールなら、自由落下する観測者は局所的な曲率が小さいまま地平面を横切れる。脱出を妨げるのは未来向きの光円錐の向きであり、地平面上の局所重力が無限大になることではない。外部が質量・角運動量・電荷で特徴づけられる単純な状態に落ち着いても、完全な量子状態にその三つ以外の性質がないとは限らない。
古典的に見えなくなることだけでは、まだ矛盾しない。 外部の観測者が内部を調べられないのは、もつれた系の一部分だけを測ると全体の相関が分からないことに似ている。それだけで全体の状態が壊れるわけではない。量子放射でブラックホールが完全に消え、放射を純粋化する内部が残らない場合に問題が鋭くなる。最終的な量子重力段階まで完全蒸発するかどうかも、検討すべき仮定である。
2. ホーキング放射
ホーキングの計算（1975年）では、古典的な重力崩壊の時空上を量子場が伝わる。遠い過去で正周波数だったモードは、遠い未来では正負の周波数の混合として表される。このため初期真空でも、遠方には粒子が検出され得る。ゆっくり変化するシュヴァルツシルト・ブラックホールでは
を得る。 は角周波数で、占有数の式はボース粒子の熱的因子である。フェルミ粒子では分母がプラスになる。外向きの波は曲率によって散乱されるため、実際の流束には周波数と角運動量に依存するグレイボディ透過係数も必要である。これはスペクトルを変えるが、アクセスできない自由度とのもつれを、それだけで解消するわけではない。粒子・反粒子対という説明はイメージであり、厳密な導出でも、生成場所の一意な指定でもない。
数値の目安。 太陽質量 を代入すると、、 となる。質量が十倍なら半径は十倍、温度は十分の一である。天体ブラックホールの周囲で明るく光るガスは、ホーキング放射ではない。この計算は大きなブラックホールがゆっくり変化する場合に最も信頼でき、プランク質量までの外挿は制御された近似ではない。
地平面に対応するエントロピーは
である。ベッケンシュタイン（1973年）が動機づけた面積依存性は、通常の物質でなじみ深い体積依存性と異なる。太陽質量なら である。これを整合する微視的状態数の対数と読むのは統計的な解釈であり、あらゆる実在ブラックホールの状態を直接数えた結果ではない。
整合性を確かめよう。 を微分すると
となり、非回転・無電荷の場合の熱力学第一法則を満たす。また なので、エネルギーを失うほど温度は上昇する。孤立したブラックホールの熱容量は負だが、絶対温度が負という意味ではない。
3. 情報パラドックス
放出済みの放射を 、残るブラックホールを とする。全体が純粋状態なら、放射だけを観測するときの状態は部分トレースで与えられる。
この操作は へのアクセスを捨てるのであり、 が物理的に消滅したと仮定する操作ではない。純粋状態の密度行列は固有値一が一つだけで 、混合状態は複数の非零固有値を持つ。閉じた全体系のユニタリ発展 は固有値を保存する。一方、部分系はもつれによって混合状態になれる。
二量子ビットで計算する。 次の状態を考える。
なので、 についてトレースすると全体の非対角項が消える。放射の固有値は が二つとなり、 である。しかし対全体は である。片方だけでは相関は読めない。最後に両方が放射として集まれば、個別の測定結果がランダムでも全体は純粋であり得る。
線は量子相関を表し、地平面を越える信号ではない。 でも である。両方を回収するとアクセス可能な範囲が変わるが、全体の純粋性は変わらない。
半古典近似の最低次では、外向きのホーキングモードは内部の相手ともつれる。内部が消え、相関を担うものがほかに残らなければ、初期全体が純粋でも最終外部は混合状態のままである。これがホーキング（1976年）の問題である。完全蒸発、滑らかな地平面近傍の局所的な場の理論、独立した内外の状態への素朴な分割という仮定の組合せが問題なのである。
「熱的」にも注意が要る。プランク型スペクトルや一粒子の熱的統計だけから、多粒子全体の密度行列が厳密な熱状態だとは言えない。多数の量子にまたがる相関が情報を担い得る。ただし「小さな補正で直る」と言うだけでも不十分である。マトゥールの小補正の議論は、局所的な対生成や部分系の独立性という仮定が保たれる限り、その可能性を制限する。
4. ページ曲線
二つの部分系からなる純粋状態をシュミット分解すると、 と の非零固有値は一致する。それぞれの状態空間の次元を とすれば
となる。最初の関係は有限次元系の一般的な上限である。二つ目は典型的な状態についての近似で、 は詳細な相関を無視して求める無次元の放射エントロピーである。ページの部分系の計算は、大きな純粋状態の小さな部分系がほぼ最大混合になる理由を示す。ブラックホール放射への適用には、ユニタリな力学と有効な状態数の仮定が必要になる。
初めは放射の状態空間が増え、エントロピーも増す。しかし後には残るブラックホールの状態数が減るため、際限なく大きい放射エントロピーを純粋化できなくなる。そこで曲線は折り返し、初期に純粋だった孤立系がユニタリに完全蒸発すれば、最後はゼロになる。放射のエネルギーや温度がゼロになるという意味ではない。 初期状態が混合状態だったり、外部の参照系ともつれていたりすれば、放射単独は最後まで純粋にならなくてよい。
横軸は蒸発開始からの時間、縦軸は無次元エントロピー。上昇する破線は 、下降する点線は 、太線は小さい方を選んだ の概形である。交差がこの近似での折返しに対応するが、普遍的な時刻の割合を示す図ではない。
ページ時刻の簡単な模型。 孤立したシュヴァルツシルト・ブラックホールが、定数 を用いた次の質量減少則に従うとし、放出粒子の種類の変化を無視する。
さらに と理想化する。二つの枝が等しくなるのは、ブラックホールのエントロピーが初期値の半分になったときである。 より
を得る。 はこの模型の仮定の結果であり、現実の放射の予言ではない。実際のエントロピー生成、グレイボディ係数、自転、周囲の物質、粒子の生成閾値は収支を変える。「エントロピーが半分」でも、質量や寿命が半分とは限らない。
5. 提案されている解決策
解決案には、どの仮定を変え、最終的な相関をどう説明するかが求められる。エントロピー曲線の計算、微視的状態の説明、実行可能な復号法の構成は別の成果である。以下の考え方も、あらゆる面で相互排他的とは限らない。
(a) 情報の喪失（ホーキングの当初の見解）
根本的な情報喪失を認めるなら、閉じた系のユニタリ発展を別の法則に置き換える必要がある。残存する環境を部分トレースするだけなら、普通の開放系の量子力学であり、根本的な消去ではない。情報喪失の理論は整合的な力学を与え、重力が弱い状況では成功している量子力学の予測を再現しなければならない。この逆説は仮定の再検討を促すが、量子力学の破れを実験で示したわけではない。
(b) 残骸
小さな安定残骸、または長寿命の残骸が情報を保管するなら、最終系は放射だけではない。ただし有限の質量の残骸が、任意に大きな初期ブラックホールの状態を保存するなら、内部状態数は膨大になる。ギディングズ（1993年）が論じたように、生成率や状態数の扱いは大きな課題となる。外部場との結合の仕方にも依存するため、すべての残骸模型が否定されたと言うのは強すぎる。
(c) 情報が放射とともに外へ出る
ユニタリな記述では、情報は放出量子間の相関に残る。マルダセナのAdS/CFT提案は、反ド・ジッター境界条件を持つ特定の重力理論と、境界上の重力を含まない量子理論を結びつける。この双対性を仮定すれば、境界理論のユニタリ性が重力側を強く制約する。これは有力な理論的根拠であって、放射の実測でも、漸近平坦な時空で崩壊するすべての星についての直接的な構成でもない。
日記を落とす思考実験。 以前の放射を保存しておき、古くて情報を速く混ぜるブラックホールに、小さな量子メッセージを落とす。ヘイデン＝プレスキル模型では、十分な追加放射があれば、相関からメッセージを回復できる。ユニタリな情報混合と放射へのほぼ完全な操作能力が仮定されている。最新の光子だけを見れば読めるわけではなく、回復操作の存在は計算や回収の実行可能性を保証しない。
(d) ファイアウォール
AMPSの議論（2012年）は、後期の外向きモード 、内部の相手 、初期放射 の関係を問題にする。滑らかな地平面は の強いもつれを要求する一方、ページ時刻後の純粋化には の適切な相関が必要になる。三者を独立した部分系とすると、もつれの単婚性と衝突する。一つの が独立した二つの相手と同時に最大もつれにはなれない。
ファイアウォール案は、滑らかな地平面の真空を捨て、高エネルギーの励起を認める。観測された壁でも、議論の唯一の帰結でもない。部分系の独立性や、内部演算子が放射にどう符号化されるかを見直す道もある。
(e) アイランドと量子極値面
アイランド処方では、内部領域 もエントロピー計算に含めて、放射の粗視化していないエントロピーを求める。
まず候補となる境界 を動かして式を停留させ、次に空のアイランドを含む許された極値の中で一般化エントロピーが最小のものを選ぶ。面積項は重力によるエントロピーのコストであり、 は和集合上の量子場のエントロピーである。紫外発散は繰り込みで整合的に扱う必要がある。「極値を求めてから最小を選ぶ」のであり、任意の領域に対する無条件の最小化ではない。
制御された蒸発模型では、初期は空のアイランド、後期は非空のアイランドの枝が優勢になる。ペニントン（2019年）とアルムヘイリら（2019年）は、ホログラフィーの設定でページ曲線に対応する振る舞いを得た。レプリカ・ワームホールの計算は、特定の模型で重力経路積分からの導出を与える。エントロピーを求めるための複製同士を結ぶ鞍点が寄与するのであり、天体ブラックホールからメッセージを運ぶ通行可能なトンネルではない。
重要なのは、重力系の状態の数え方と内部情報の符号化である。アイランドは地平面から飛び出す追加の物質ではない。また、エントロピー曲線を再現しても、放射状態の全振幅や効率的な復号器が自動的に得られるわけではない。
6. 研究の状況
根拠と適用範囲（2026年10月13日確認）。 連星合体の重力波やM87のシャドウ解析は、一般相対論に基づく天体ブラックホール像を支持する。しかしホーキング放射の粗視化していないエントロピーを測定してはいない。ここで挙げた一次研究は、特定の設定でユニタリな記述を理論的に支えるもので、天体のページ曲線を直接検出した報告ではない。
現実の宇宙にある回転ブラックホールの完全な微視的記述、半古典的な部分系の議論がどこで破れるか、蒸発の最終段階、エントロピー計算と測定可能な量の接続は、引き続き課題である。低エネルギーで成功している物理を保ちながら、完全な量子状態を説明しなければならない。
アクセスできないことと根本的な消去、熱的に見えるスペクトルと全体の混合状態、模型でのページ曲線と実験による全面的解決は、それぞれ異なる。この区別が、情報パラドックスを理解する鍵になる。