場の量子論

8.1 粒子から場へ：なぜ場の量子論が必要なのか

量子力学は原子を、特殊相対性理論は高速で運動する物体をよく記述します。しかし両者を組み合わせると、粒子の個数をどう扱うかが問題になります。相対論では粒子の生成・消滅が可能ですが、単一粒子の量子力学では扱えません。この問題を解決するのが場の量子論（QFT）です。基本的な対象を場とし、粒子をその場の量子、すなわち励起として捉えます。この節では、場が必要な理由、単純な場の量子化、粒子の現れ方、そして理論の整合性を支える局所性と対称性を学びます。

8.1.1 単一粒子の量子力学では何が行き詰まるのか

• 相対論的エネルギー $E^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4$ は負の $E$ も許すため、適切な確率密度を持つ単一粒子の波動方程式を構成することは容易ではありません。
• 粒子の生成・消滅：高エネルギー光子から $e^{+}{e}^{-}$ が生成されたり、励起原子が光子を放出したりします。粒子数 $N$ を固定したヒルベルト空間では、こうした過程を記述できません。
• 局所性と因果律：空間的（スペースライク）に分離した事象での測定は互いに影響しないはずです。これを粒子数が一定の波動関数だけで実現しようとすると、すぐに複雑になります。

場の量子論は、場を演算子にすることでこれらの問題を解決します。状態は粒子数が変動できるフォック空間に属し、場の交換関係には微視的因果律が組み込まれています。

8.1.2 「無限個の振動子」としての場

自由な古典場を、運動量 $\mathbf{k}$ で分類されるモードにフーリエ展開しましょう。各モードは調和振動子になります。したがって量子化は、第7章の手順をすべての $\mathbf{k}$ に適用することです。すべての基準モードを量子化する、というのが基本的な考え方です。

8.1.3 古典論の準備：クライン–ゴルドン場

$x=(ct,\mathbf{x})$ とし、実スカラー場 $\varphi (x)$ に対するローレンツ不変な作用を次のように定めます。

$$S[\varphi ]=\int d^{4}x\mathcal{L},\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}{\varphi }^2$$

オイラー–ラグランジュ方程式から、クライン–ゴルドン（KG）方程式が得られます。

$$\left(\square +\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\right)\varphi (x)=0,\square \equiv {\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }$$

平面波解は $k_{\mu }{k}^{\mu }=m^2{c}^2/{\hslash }^2$ を満たします。これは相対論的な分散関係です。

8.1.4 正準量子化：等時刻の交換関係

場 $\varphi$ と、その共役運動量

$$\pi (x)\equiv \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_0\varphi )}={\partial }_0\varphi$$

を演算子にし、次の等時刻交換関係を課します。

$$[\hat{\varphi }(t,\mathbf{x}),\hat{\varphi }(t,\mathbf{y})]=0$$ $$[\hat{\pi }(t,\mathbf{x}),\hat{\pi }(t,\mathbf{y})]=0$$ $$[\hat{\varphi }(t,\mathbf{x}),\hat{\pi }(t,\mathbf{y})]=i\hslash {\delta }^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})$$

これは $[x,p]=i\hslash$ の場の理論版です。

8.1.5 モード展開と生成・消滅演算子

体積 $V$ の大きな箱を考え（後で $V\to \infty$ とします）、場を次のように展開します。

$$\hat{\varphi }(x)=\frac{1}{\sqrt{V}}\sum _{\mathbf{k}}\sqrt{\frac{\hslash c}{2{\omega }_{\mathbf{k}}}}\left({\hat{a}}_{\mathbf{k}}{e}^{-i{\omega }_{\mathbf{k}}t+i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}+{\hat{a}}_{\mathbf{k}}^{†}{e}^{i{\omega }_{\mathbf{k}}t-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}\right)$$

ここで、

$${\omega }_{\mathbf{k}}=\sqrt{c^2{\mathbf{k}}^2+\frac{m^2{c}^4}{{\hslash }^2}}$$

規格化は、次の関係が成立するように選びます。

$$[{\hat{a}}_{\mathbf{k}},{\hat{a}}_{{\mathbf{k}}^{\prime }}^{†}]={\delta }_{\mathbf{k}{\mathbf{k}}^{\prime }},[{\hat{a}}_{\mathbf{k}},{\hat{a}}_{{\mathbf{k}}^{\prime }}]=0,[{\hat{a}}_{\mathbf{k}}^{†},{\hat{a}}_{{\mathbf{k}}^{\prime }}^{†}]=0$$

これは§7.3の振動子の代数を、それぞれの運動量に適用したものです。

8.1.6 フォック空間と粒子

真空を ${\hat{a}}_{\mathbf{k}}|0⟩=0$ によって定義します。1粒子状態は

$$|\mathbf{k}⟩\equiv {\hat{a}}_{\mathbf{k}}^{†}|0⟩$$

であり、生成演算子をさらに作用させれば多粒子状態が得られます。モード $\mathbf{k}$ の数演算子は ${\hat{N}}_{\mathbf{k}}={\hat{a}}_{\mathbf{k}}^{†}{\hat{a}}_{\mathbf{k}}$ です。自由場のハミルトニアンは次のようになります。

$$\hat{H}=\sum _{\mathbf{k}}\hslash {\omega }_{\mathbf{k}}\left({\hat{a}}_{\mathbf{k}}^{†}{\hat{a}}_{\mathbf{k}}+\frac{1}{2}\right)$$

$\frac{1}{2}$ の項を全モードについて足し合わせたものが真空エネルギーです。重力を扱わない問題では、通常は正規順序化によってこの項を取り除きます。

8.1.7 正規順序と真空エネルギー

すべての ${\hat{a}}^{†}$ をすべての $\hat{a}$ より左に置く操作を、正規順序化 $:\cdots :$ と定義します。すると、

$$:{\hat{a}}_{\mathbf{k}}^{†}{\hat{a}}_{\mathbf{k}}:={\hat{a}}_{\mathbf{k}}^{†}{\hat{a}}_{\mathbf{k}}$$

および

$$:\hat{H}:=\sum _{\mathbf{k}}\hslash {\omega }_{\mathbf{k}}{\hat{a}}_{\mathbf{k}}^{†}{\hat{a}}_{\mathbf{k}}$$

が得られます。これは規約として真空エネルギーをゼロに設定することです。曲がった時空や重力を扱う場合には絶対値を考慮する必要がありますが、平坦な時空での素粒子物理ではエネルギーの差が重要なので、正規順序化を利用できます。

8.1.8 局所性と微視的因果律

場の量子論の基本的な要請のひとつが、微視的因果律です。

$$[\hat{\varphi }(x),\hat{\varphi }(y)]=0\text{次の条件で：}(x-y{)}^2<0$$

つまり、空間的（スペースライク）に分離した点の場は可換です。自由なKG場では、交換子は光円錐の外側でゼロとなるc数です。こうして場の量子論は、光速を超える影響が伝わらないことを演算子の水準で実現しています。

8.1.9 グリーン関数と伝播関数

相関関数には理論の情報が集約されています。時間順序を取った2点関数、すなわちファインマン伝播関数は、

$$\hslash {\Delta }_F(x-y)\equiv ⟨0|T\{\hat{\varphi }(x)\hat{\varphi }(y)\}|0⟩$$

で定義されます。これはKG演算子のグリーン関数です。

$$\left(\square +\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\right){\Delta }_F(x-y)=-i{\delta }^{(4)}(x-y)$$

運動量空間では、

$${\Delta }_F(k)=\frac{i}{k^2-\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}+iϵ}$$

となります。質量殻上の極と $iϵ$ の処方が、極をどちら側から避けるかを指定します。これは複素解析の形で表された因果律です。

8.1.10 ネーターカレントと応力テンソル

作用の連続対称性から保存カレントが得られます。時空並進に対応するのはエネルギー運動量テンソル $T^{\mu \nu }$ です。便利な対称形のひとつは、

$$T^{\mu \nu }={\partial }^{\mu }\varphi {\partial }^{\nu }\varphi -{\eta }^{\mu \nu }\mathcal{L}$$

であり、${\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$ を満たします。対応する保存量は4元運動量です。

$$P^{\nu }=\int d^{3}x{T}^{0\nu }$$

これは場に対する時空並進の生成子として作用します。

$\varphi$ が複素場で、大域的な $U(1)$ 対称性 $\varphi \to e^{i\alpha }\varphi$ を持つ場合には、保存するネーターカレントと電荷も得られます。自由場では、この電荷は粒子と反粒子の個数の差に対応します。

8.1.11 ボソン、フェルミオン、スピン統計則

実験と理論の両面から、整数スピンの場は交換関係で量子化されるボソン、半整数スピンの場は反交換関係で量子化されるフェルミオンに対応します。スピノル $\psi$ に対する等時刻の関係は、

$$\{{\hat{\psi }}_{\alpha }(t,\mathbf{x}),{\hat{\psi }}_{\beta }^{†}(t,\mathbf{y})\}={\delta }_{\alpha \beta }{\delta }^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})$$

となります。この選択は単なる規約ではありません。スピン統計関係、局所性、正値性を同時に満たすために必要です。

8.1.12 相互作用の導入：予告

ラグランジアンに相互作用項を加えます。スカラー場なら、例えば、

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4$$

です。また、湯川結合 $\bar{\psi }\psi \varphi$ や共変微分を通じたゲージ結合で、異なる場を結び付けることもできます。摂動論では相関関数をファインマン図に展開し、線を伝播関数、頂点を結合に対応させます。繰り込みは発散を処理し、物理的パラメーターを定義します。

8.1.13 短い計算例

（a）1粒子状態の規格化 $[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]$ の代数を用いて、$⟨{\mathbf{k}}^{\prime }|\mathbf{k}⟩={\delta }_{{\mathbf{k}}^{\prime }\mathbf{k}}$ を示してください。

（b）真空の2点関数 $⟨0|T\{\hat{\varphi }(x)\hat{\varphi }(y)\}|0⟩$ にモード展開を代入し、${\Delta }_F(x-y)$ とその運動量空間での形を導いてください。

（c）微視的因果律の確認 自由場について $[\hat{\varphi }(x),\hat{\varphi }(y)]$ を計算し、$(x-y{)}^2<0$ のときにゼロになることを複素積分によって示してください。

（d）1量子状態のエネルギー $|\mathbf{k}⟩$ に $\hat{H}$ を作用させ、$E=\hslash {\omega }_{\mathbf{k}}$ を確認してください。

8.1.14 基本演習

• $\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial \varphi {)}^2-\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2$ から正準運動量 $\pi$ を導き、モードの代数を再現する等時刻交換関係を求めてください。
• 複素スカラー場を量子化し、保存する $U(1)$ 電荷演算子を特定して、粒子数から反粒子数を引いた値を数えることを示してください。
• 遅延グリーン関数 ${\Delta }_R(x)$ を計算し、値がゼロでない領域を ${\Delta }_F(x)$ と比較してください。
• 平坦な時空の自由スカラー場について、$\hat{H}$ と $T^{\mu \nu }$ の両方を正規順序化し、真空期待値がゼロになることを確認してください。この真空の寄与の減算を、相互作用や曲がった時空におけるトレースアノマリーと区別してください。
• 箱の中で周期境界条件を満たすスカラー場について、$V\to \infty$ の極限で和を積分に置き換え、連続系のデルタ関数を再現してください。

8.2 ディラック場：スピノル、反交換関係、相対論的フェルミオン

電子をはじめとするスピン $\frac{1}{2}$ の粒子を、量子力学と特殊相対性理論の両方に従って記述するには、スピノルの自由度と等時刻の反交換関係を持つ場が必要です。ディラック方程式はその枠組みを与え、反粒子を予言し、磁気モーメントの $g\approx 2$ も自然に導きます。この節では、代数、解、量子化、カレント、非相対論的極限を扱います。

単位系：特に断りのない限り、式を簡潔にするため自然単位系 $\hslash =c=1$ を用います。$\hslash$ と $c$ は次元解析で復元できます。

8.2.1 出発点となる考え方

クライン–ゴルドン方程式は相対論に対応しますが、スピン0を記述し、負の密度も許します。ここで求めたいのは、$E^2={\mathbf{p}}^2+m^2$ と整合し、正定値の確率密度を持つ時間について1階の方程式です。ディラックは、新しい代数を満たす行列を使って相対論的分散関係を線形化しました。

8.2.2 ガンマ行列とクリフォード代数

次の関係を満たす $4\times 4$ 行列 ${\gamma }^{\mu }$ を導入します。

$$\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}\equiv {\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }+{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }=2{\eta }^{\mu \nu }\mathbb{I}$$

計量は ${\eta }^{\mu \nu }=\mathrm{diag}(+,-,-,-)$ とします。よく用いられる表現には次の2つがあります。

• ディラック基底：${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cc}\mathbb{I}& 0\\ 0& -\mathbb{I}\end{array}\right)$、${\gamma }^i=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }^i\\ -{\sigma }^i& 0\end{array}\right)$
• カイラル（ワイル）基底：${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cc}0& \mathbb{I}\\ \mathbb{I}& 0\end{array}\right)$、${\gamma }^i=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }^i\\ -{\sigma }^i& 0\end{array}\right)$

次を定義します。

$${\gamma }^5\equiv i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3,({\gamma }^5{)}^2=1,\{{\gamma }^5,{\gamma }^{\mu }\}=0$$

また、シグマ行列を次のように定義します。

$${\sigma }^{\mu \nu }\equiv \frac{i}{2}[{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }]$$

8.2.3 ディラック方程式、随伴、ラグランジアン

スピノル場 $\psi (x)$ に対するディラック方程式は、

$$(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi (x)=0$$

です。随伴を $\bar{\psi }\equiv {\psi }^{†}{\gamma }^0$ と定義すると、ローレンツ不変なラグランジアンは、

$$\mathcal{L}=\bar{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi$$

となります。$\bar{\psi }$ に関する変分からディラック方程式が、$\psi$ に関する変分から随伴方程式 $\bar{\psi }(i{\overleftarrow{\partial }}_{\mu }{\gamma }^{\mu }+m)=0$ が得られます。

ネーターの定理を大域的な $U(1)$ 位相対称性に適用すると、次の保存カレントが得られます。

$$j^{\mu }=\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi ,{\partial }_{\mu }{j}^{\mu }=0$$

$j^0={\psi }^{†}\psi$ は解に対して正定値なので、適切な確率密度を与えます。

8.2.4 平面波スピノルと完全性

質量殻条件 $p^2=m^2$ を満たす平面波 $\psi =u_s(p)e^{-ip\cdot x}$ と $\psi =v_s(p)e^{+ip\cdot x}$ を考えます。これらは、

$$(/p-m)u_s(p)=0,(/p+m)v_s(p)=0$$

を満たします。ここで $/p\equiv {\gamma }^{\mu }{p}_{\mu }$、$s$ はスピンを表します。場の量子論では次の規格化が便利です。

$${\bar{u}}_s(p)u_{s^{\prime }}(p)=2m{\delta }_{s{s}^{\prime }},{\bar{v}}_s(p)v_{s^{\prime }}(p)=-2m{\delta }_{s{s}^{\prime }}$$

スピン和、すなわち完全性関係は、

$$\sum _s{u}_s(p){\bar{u}}_s(p)=/p+m$$ $$\sum _s{v}_s(p){\bar{v}}_s(p)=/p-m$$

です。これらの恒等式は、断面積や伝播関数の計算で繰り返し用います。

8.2.5 最小結合とパウリ項：予告

電磁相互作用は共変微分 $D_{\mu }={\partial }_{\mu }+ie{A}_{\mu }$ によって導入されます。ディラック方程式は $(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }-m)\psi =0$、ラグランジアンは $\mathcal{L}=\bar{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }-m)\psi$ となります。非相対論的極限では、次の磁気モーメントを持つ相互作用が得られます。

$$\mathbf{\mu }=g\frac{e}{2m}\mathbf{S},g_{\text{Dirac}}=2$$

QEDの放射補正により、微小な $a_e$ を伴う $g=2(1+a_e)$ となります。

8.2.6 正準量子化と反交換関係

$\psi$ を演算子場にし、次の等時刻反交換関係を課します。

$$\{{\hat{\psi }}_{\alpha }(t,\mathbf{x}),{\hat{\psi }}_{\beta }^{†}(t,\mathbf{y})\}={\delta }_{\alpha \beta }{\delta }^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})$$ $$\{\hat{\psi },\hat{\psi }\}=\{{\hat{\psi }}^{†},{\hat{\psi }}^{†}\}=0$$

箱規格化でモード展開します。後で $\sum \to \int$ とします。

$$\hat{\psi }(x)=\sum _s\int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}}\left[{\hat{b}}_s(\mathbf{p})u_s(p)e^{-ip\cdot x}+{\hat{d}}_s^{†}(\mathbf{p})v_s(p)e^{+ip\cdot x}\right]$$

ここで $E_{\mathbf{p}}=\sqrt{{\mathbf{p}}^2+m^2}$ であり、

$$\{{\hat{b}}_s(\mathbf{p}),{\hat{b}}_{s^{\prime }}^{†}({\mathbf{p}}^{\prime })\}=(2\pi {)}^3{\delta }_{s{s}^{\prime }}{\delta }^{(3)}(\mathbf{p}-{\mathbf{p}}^{\prime })$$ $$\{{\hat{d}}_s(\mathbf{p}),{\hat{d}}_{s^{\prime }}^{†}({\mathbf{p}}^{\prime })\}=(2\pi {)}^3{\delta }_{s{s}^{\prime }}{\delta }^{(3)}(\mathbf{p}-{\mathbf{p}}^{\prime })$$

です。それ以外の反交換子はすべてゼロです。${\hat{b}}^{†}$ は粒子を、${\hat{d}}^{†}$ は反粒子を生成します。

正規順序化したハミルトニアンは次のようになります。

$$:\hat{H}:=\sum _s\int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2\pi {)}^3}{E}_{\mathbf{p}}\left[{\hat{b}}_s^{†}(\mathbf{p}){\hat{b}}_s(\mathbf{p})+{\hat{d}}_s^{†}(\mathbf{p}){\hat{d}}_s(\mathbf{p})\right]$$

8.2.7 伝播関数とファインマン則

時間順序を取った2点関数、すなわちディラック伝播関数は、

$$S_F(x-y)\equiv ⟨0|T\{\hat{\psi }(x)\bar{\hat{\psi }}(y)\}|0⟩$$

です。運動量空間では、

$$S_F(p)=\frac{i}{/p-m+iϵ}=i\frac{/p+m}{p^2-m^2+iϵ}$$

となります。ファインマン図の自由なディラック粒子の線にはこの因子が対応し、相互作用には頂点因子が対応します。QEDでは頂点因子は $-ie{\gamma }^{\mu }$ です。

8.2.8 双線形形式、カレント、ゴードン恒等式

便利な双線形形式と、その変換特性を示します。

• スカラー：$\bar{\psi }\psi$
• 擬スカラー：$i\bar{\psi }{\gamma }^5\psi$
• ベクトル：$\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi$
• 軸性ベクトル：$\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^5\psi$
• テンソル：$\bar{\psi }{\sigma }^{\mu \nu }\psi$

大域的な位相対称性により、ベクトルカレントは保存します。ゴードン恒等式は、ベクトルカレントを軌道部分とスピン部分に分ける関係です。

$$\bar{u}(p^{\prime }){\gamma }^{\mu }u(p)=\frac{1}{2m}\bar{u}(p^{\prime })\left[(p^{\prime }+p{)}^{\mu }+i{\sigma }^{\mu \nu }(p^{\prime }-p{)}_{\nu }\right]u(p)$$

これは、低エネルギー展開に現れるパウリの磁気相互作用項の代数的な起源です。

8.2.9 カイラリティ、ヘリシティ、質量ゼロの極限

カイラル射影演算子を次のように定義します。

$$P_L=\frac{1-{\gamma }^5}{2},P_R=\frac{1+{\gamma }^5}{2}$$

$m=0$ のとき、左成分と右成分 ${\psi }_{L,R}=P_{L,R}\psi$ は分離します。ヘリシティ、すなわち運動量方向のスピンは、質量ゼロの状態でのみカイラリティと一致します。標準模型の弱い荷電カレント相互作用では、レプトンの ${\psi }_L$ は結合しますが ${\psi }_R$ は結合しません。したがってカイラリティは重要です。

マヨラナ場とディラック場：マヨラナ場は ${\psi }^c=\psi$、すなわち自身の荷電共役に等しいという条件を満たし、独立な反粒子を持ちません。電子のようなディラック場は、保存する $U(1)$ 電荷を持ちます。

8.2.10 離散対称性 $C$、$P$、$T$ の概略

具体的な変換の形は、位相の規約と表現に依存します。

• パリティ $P$：$\psi (t,\mathbf{x})\to {\gamma }^0\psi (t,-\mathbf{x})$
• 荷電共役 $C$：$\psi \to C{\bar{\psi }}^T$。ここで $C^{-1}{\gamma }^{\mu }C=-({\gamma }^{\mu }{)}^T$ です。
• 時間反転 $T$：反ユニタリ変換です。ディラック基底では、おおよそ $\psi (t,\mathbf{x})\to i{\gamma }^1{\gamma }^3{\psi }^{\ast }(-t,\mathbf{x})$ の形になります。

双線形形式から作られる局所的かつローレンツ不変な相互作用は、$C$、$P$、$T$ に対する偶奇性で分類できます。

8.2.11 非相対論的極限からパウリ方程式へ

最小結合 $D_{\mu }$ を導入し、ディラック基底で「大きい成分」と「小さい成分」に分けます。$1/m$ の次数まで小さい成分を消去すると、パウリ・ハミルトニアンが得られます。

$$H_{\text{Pauli}}=\frac{1}{2m}(\mathbf{p}-e\mathbf{A}{)}^2+e\varphi -\frac{e}{2m}\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{B}$$

ここで $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ です。$\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{B}$ の項から、ツリーレベルで $g=2$ が得られます。高次の項にはスピン軌道相互作用とダーウィン項が含まれ、水素原子の微細構造に対応します。

8.2.12 短い計算例

（a）カレントの保存 ディラック方程式と随伴方程式を用いて、${\partial }_{\mu }(\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi )=0$ を示してください。

（b）伝播関数による逆演算 $(/p-m)[(/p+m)/(p^2-m^2)]=\mathbb{I}$ を確認してください。

（c）スピン和 平面波解の完全性から、${\sum }_s{u}_s(p){\bar{u}}_s(p)=/p+m$ を証明してください。

（d）パウリ方程式への還元 $\mathbf{\pi }=\mathbf{p}-e\mathbf{A}$ として $(\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\pi }+\beta m+e\varphi )\psi =i{\partial }_t\psi$ から出発し、$1/m$ の次数まで小さい成分を消去して、$-\frac{e}{2m}\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{B}$ を再現してください。

（e）$m=0$ におけるヘリシティの保存 自由な質量ゼロのディラック・ハミルトニアンについて $[H,\mathbf{\Sigma }\cdot \hat{\mathbf{p}}]=0$ を示し、ヘリシティが保存することを確認してください。

8.2.13 基本演習

• ディラック基底またはカイラル基底の具体的なガンマ行列についてクリフォード代数を確認し、${\gamma }^5$ を計算してください。
• $\hat{\psi }$ を $u_s(p)$ と $v_s(p)$ に射影してモード展開の係数を導き、$\{\hat{b},{\hat{b}}^{†}\}$ と $\{\hat{d},{\hat{d}}^{†}\}$ の代数を再現してください。
• ゴードン恒等式から電磁カレントの非相対論的極限を求め、スピン磁気モーメントの項を特定してください。
• 双線形形式 $\bar{\psi }\Gamma \psi$ を、$C$、$P$、$T$ の変換特性で分類してください。
• 質量項 $m\bar{\psi }\psi$ はカイラリティを混合する一方、$\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi$ は混合しないことを具体的に示してください。
• マヨラナ場の実条件をカイラル基底で書き、質量殻上の自由度をディラック場と比較してください。

8.2A ワイルスピノルとマヨラナスピノル：2成分表示、質量項、自由度の数え方

ディラックスピノルは便利ですが、多くの計算は2成分表示で整理すると簡潔になります。カイラル基底では、ディラックスピノルを左・右ワイルスピノル $\chi$ と $\varphi$ を用いて $\psi =\left(\begin{array}{c}\chi \\ \varphi \end{array}\right)$ と分解します。

8.2A.1 ワイル方程式とヘリシティ

質量ゼロのフェルミオンでは、左成分と右成分が分離します。

$$i{\sigma }^{\mu }{\partial }_{\mu }\chi =0,i{\bar{\sigma }}^{\mu }{\partial }_{\mu }\varphi =0$$

ここで ${\sigma }^{\mu }=(\mathbb{I},\mathbf{\sigma })$、${\bar{\sigma }}^{\mu }=(\mathbb{I},-\mathbf{\sigma })$ です。単一のワイル場は質量殻上に2つの自由度を持ち、一定のカイラリティの場が粒子と反粒子を記述します。$m=0$ では、粒子のヘリシティはカイラリティと一致します。

8.2A.2 ディラック質量とカイラリティの混合

2成分表示でのディラック質量項は、

$${\mathcal{L}}_{m_D}=-m_D\left({\chi }^{†}\varphi +{\varphi }^{†}\chi \right)$$

です。これは大域的な $U(1)$、すなわちフェルミオン数を保存し、$\chi$ と $\varphi$ を結び付けます。この項を導入すると、2つのワイル場が1つのディラックフェルミオンになります。

8.2A.3 マヨラナ質量と実条件

荷電共役は ${\psi }^c\equiv C{\bar{\psi }}^T$ として作用します。マヨラナフェルミオンは、次の実条件を満たします。

$$\psi ={\psi }^c$$

2成分表示では、単一のワイル場に対してマヨラナ質量項を書けます。例えば左カイラリティの場合は、

$${\mathcal{L}}_{m_M}=-\frac{1}{2}{m}_M\left({\chi }^{T}i{\sigma }^2\chi +{\chi }^{†}i{\sigma }^2{\chi }^{\ast }\right)$$

です。これは $U(1)$ の粒子数対称性を破ります。粒子 $\leftrightarrow$ 反粒子が同一だからです。ディラック質量とマヨラナ質量を組み合わせると、シーソー機構のような構造も得られます。

8.2A.4 自由度を数える

• ディラック：質量殻上の状態は4つ。2つのスピン状態 $\times$（粒子、反粒子）です。
• マヨラナ：質量殻上の状態は2つ。2つのスピン状態を持ちますが、粒子自身が反粒子でもあります。
• 質量ゼロのワイル場：ひとつのカイラリティの場に対応する2つの質量殻上の状態を持ち、質量ゼロの極限で各状態のヘリシティが定まります。

8.2A.5 2成分表示の便利な恒等式

スピノルの縮約には ${ϵ}^{ab}$（${ϵ}^{12}=+1$）を用います。よく使う関係は次の通りです。

$${\sigma }^{\mu }{\bar{\sigma }}^{\nu }+{\sigma }^{\nu }{\bar{\sigma }}^{\mu }=2{\eta }^{\mu \nu }\mathbb{I},{\bar{\sigma }}^{\mu }{\sigma }^{\nu }+{\bar{\sigma }}^{\nu }{\sigma }^{\mu }=2{\eta }^{\mu \nu }\mathbb{I}$$

運動量 $p\cdot \sigma \equiv p_{\mu }{\sigma }^{\mu }$ と $p\cdot \bar{\sigma }\equiv p_{\mu }{\bar{\sigma }}^{\mu }$ に対して、

$$(p\cdot \sigma )(p\cdot \bar{\sigma })=p^2\mathbb{I}$$

が成り立ちます。これらを使うと、2成分と4成分のスピノル代数を容易に行き来できます。

8.2A.6 演習

• 同じ場について、マヨラナ質量と保存する大域的 $U(1)$ 対称性が両立しないことを示してください。
• 上の2成分表示から、ディラック質量項 $\bar{\psi }\psi$ を導いてください。
• $m=0$ の平面波解では、ヘリシティ演算子がカイラリティと一致することを証明してください。
• 1粒子状態を具体的に構成し、ディラック場とマヨラナ場の物理的自由度を数えてください。

まとめ：ワイルスピノルはカイラルな最小構成要素です。ディラック質量は左と右を結び付け、マヨラナ質量は場とその荷電共役を結び付けて $U(1)$ 粒子数対称性を破ります。2成分表示にすると、自由度の整理や対称性の議論が明確になります。

8.2B 離散対称性の早見表：スピノルと双線形形式に対する $C$、$P$、$T$

離散対称性を使うと、許される相互作用を分類できます。以下では、ディラック基底でよく使われる位相規約を採用します。$T$ は反ユニタリです。全体の符号は位相規約に依存する場合がありますが、変換の構造は共通です。

8.2B.1 場への作用：標準的な規約のひとつ

• パリティ $P$：$\psi (t,\mathbf{x})\to {\gamma }^0\psi (t,-\mathbf{x})$、$\bar{\psi }\to \bar{\psi }(t,-\mathbf{x}){\gamma }^0$
• 荷電共役 $C$：$\psi \to C{\bar{\psi }}^T$、$\bar{\psi }\to -{\psi }^T{C}^{-1}$。ここで $C^{-1}{\gamma }^{\mu }C=-({\gamma }^{\mu }{)}^T$ です。
• 時間反転 $T$：$\psi (t,\mathbf{x})\to i{\gamma }^1{\gamma }^3{\psi }^{\ast }(-t,\mathbf{x})$（反ユニタリ）

8.2B.2 双線形形式と変換の符号

双線形形式を次のように定義します。

• スカラー：$S=\bar{\psi }\psi$
• 擬スカラー：$P=i\bar{\psi }{\gamma }^5\psi$
• ベクトル：$V^{\mu }=\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi$
• 軸性ベクトル：$A^{\mu }=\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^5\psi$
• テンソル：$T^{\mu \nu }=\bar{\psi }{\sigma }^{\mu \nu }\psi$。ここで ${\sigma }^{\mu \nu }=\frac{i}{2}[{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }]$ です。

$C$（荷電共役）による変換：

• $S$：偶
• $P$：偶
• $V^{\mu }$：奇
• $A^{\mu }$：偶
• $T^{\mu \nu }$：奇

$P$（パリティ）による変換：

• $S$：偶
• $P$：奇
• $V^0$：偶、$V^i$：奇
• $A^0$：奇、$A^i$：偶
• $T^{0i}$：奇、$T^{ij}$：偶

$T$（時間反転、反ユニタリ、標準規約）による変換：

• $S$：偶
• $P$：奇
• $V^0$：偶、$V^i$：奇
• $A^0$：偶、$A^i$：奇
• $T^{0i}$：偶、$T^{ij}$：奇

整合性の確認：$CP$ の下で、擬スカラー $P$ は奇となります。これはアクシオンや $\theta$ 項の議論で用いられます。また、$CPT$ は局所的かつローレンツ不変なラグランジアン密度を不変に保ちます。

8.2B.3 すぐに使える応用

• 模型の項を作る：一緒に現れる場も含め、縮約した演算子全体の $CP$ 変換を調べます。$S$、$V^{\mu }$、$P$、$A^{\mu }$ のどれを含むかだけでは、全体の偶奇性は決まりません。
• 分光：双線形形式を補間演算子として用い、遷移を $J^{PC}$ で分類します。
• 電気双極子モーメント（EDM）の検証：電子のEDM演算子 $\bar{\psi }i{\sigma }^{\mu \nu }{\gamma }^5\psi F_{\mu \nu }$ は $P$ 奇かつ $T$ 奇なので、$CPT$ を通じて $CP$ の破れを明瞭に調べられます。

8.2B.4 演習

• $C^{-1}{\gamma }^{\mu }C=-({\gamma }^{\mu }{)}^T$ を使い、$V^{\mu }$ の $C$ に対する偶奇性を導いてください。
• 空間反転を具体的に適用し、$V^0$ と $V^i$ の間で $P$ の符号が反転することを示してください。
• $T$ の反ユニタリ性、すなわち複素共役を考慮し、擬スカラーに生じる追加の符号を追ってください。
• $\bar{\psi }{\sigma }^{\mu \nu }{\gamma }^5\psi$ の $C$、$P$、$T$ に対する性質を分類し、双対テンソル ${\tilde{F}}^{\mu \nu }$ との関係を示してください。

まとめ：規約を固定すれば、$C$、$P$、$T$ が5種類の基本的な双線形形式にどう作用するかを整理できます。この表を使うと、演算子がどの離散対称性を保ち、どれを破るかを判断できます。

8.2C QEDの頂点とワード恒等式：ゲージ不変性の要点

最小結合を使うと、場の量子論における電磁相互作用は簡潔に記述できます。ワード恒等式は、ゲージ対称性によって非物理的な偏極の寄与が消えることを表す代数的な関係です。

8.2C.1 最小結合からファインマン則へ

次のラグランジアンから出発します。

$${\mathcal{L}}_{\text{QED}}=\bar{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }-m)\psi -\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu },D_{\mu }={\partial }_{\mu }+ie{A}_{\mu }$$

相互作用項は、

$${\mathcal{L}}_{\text{int}}=-e\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi A_{\mu }$$

なので、1本の光子線と2本のフェルミオン線に対する頂点因子は、

$$-ie{\gamma }^{\mu }$$

となります。外線フェルミオンにはスピノル $u,\bar{u}$ または $v,\bar{v}$ が、内線には通常の伝播関数が対応します。

8.2C.2 ツリーレベルのワード恒等式：質量殻上

運動量 $q=p^{\prime }-p$ の外線光子がフェルミオン線につながるとき、振幅の対応する部分は ${\mathcal{M}}^{\mu }=\bar{u}(p^{\prime }){\gamma }^{\mu }u(p)$ です。これを $q_{\mu }$ と縮約すると、

$$q_{\mu }{\mathcal{M}}^{\mu }=\bar{u}(p^{\prime })(/p^{\prime }-/p)u(p)$$

となります。$(/p-m)u(p)=0$ と $\bar{u}(p^{\prime })(/p^{\prime }-m)=0$ を代入すると、

$$q_{\mu }{\mathcal{M}}^{\mu }=0$$

が得られます。したがって光子の偏極 ${ϵ}^{\mu }$ を ${ϵ}^{\mu }+\alpha q^{\mu }$ に置き換えても振幅は変わりません。これがゲージ不変性の具体的な現れです。

8.2C.3 ワード–高橋恒等式：完全なグリーン関数

ツリーレベルを超えると、完全な頂点 ${\Gamma }^{\mu }(p^{\prime },p)$ と厳密なフェルミオン伝播関数 $S(p)$ の間には、

$$q_{\mu }{\Gamma }^{\mu }(p^{\prime },p)=S^{-1}(p^{\prime })-S^{-1}(p)$$

が成立します。この恒等式は電荷保存を保証し、繰り込み定数を関係付けます。QEDでは $Z_1=Z_2$ です。また、光子の縦モードが物理的な $S$ 行列要素に現れない理由でもあります。

8.2C.4 偏極和とゲージの選択

共変ゲージでの光子伝播関数

$$D_{\mu \nu }(k)=\frac{-i}{k^2+iϵ}\left[g_{\mu \nu }-(1-\xi )\frac{k_{\mu }{k}_{\nu }}{k^2}\right]$$

には、ゲージパラメーター $\xi$ が含まれます。ワード恒等式によって、観測量の $\xi$ 依存部分はすべて相殺されます。外線の実光子については、$q\cdot \mathcal{M}=0$ を利用して非物理的な部分を除けば、${\sum }_{\lambda }{ϵ}_{\mu }^{(\lambda )}{ϵ}_{\nu }^{(\lambda )\ast }=-g_{\mu \nu }$ を使用できます。

8.2C.5 短い計算例

（a）古典的カレントによる電子の散乱 行列要素 ${\mathcal{M}}^{\mu }=\bar{u}(p^{\prime }){\gamma }^{\mu }u(p)$ について、上と同様に $q_{\mu }{\mathcal{M}}^{\mu }=0$ を確認してください。

（b）ツリーレベルの $e^{-}{\mu }^{-}\to e^{-}{\mu }^{-}$ 両方のフェルミオン線でカレント保存を用い、光子伝播関数の縦成分が振幅に寄与しないことを示してください。

（c）ワード–高橋恒等式からの $Z_1=Z_2$ $q_{\mu }{\Gamma }^{\mu }=S^{-1}(p^{\prime })-S^{-1}(p)$ からQEDの頂点と波動関数の繰り込み定数が等しくなることを概説してください。

8.2C.6 演習

• ${\mathcal{L}}_{\text{QED}}$ のゲージ不変性から出発し、任意のツリー振幅の外線光子について $q_{\mu }{\mathcal{M}}^{\mu }=0$ を導いてください。
• 時間順序積の中のカレント保存、または経路積分のソースの変換から、ワード–高橋恒等式を証明してください。
• 共変ゲージでコンプトン散乱を計算し、$\xi$ の項が相殺されることを具体的に示してください。
• 外線光子の各偏極ベクトルに $q^{\mu }$ に比例する項を加えても、QEDのツリー振幅が不変であることを示してください。

8.3 場の経路積分：生成汎関数、ダイアグラム、ユークリッド化

演算子を時間発展させる代わりに、位相の重みを付けてすべての場の配位を足し合わせると、場の量子論の見通しが大きく変わります。相関関数は生成汎関数の微分から求められ、摂動論はテイラー展開となり、対称性はグリーン関数の恒等式に対応します。この節ではスカラー場を出発点とし、相互作用からファインマン則を導く方法、連結汎関数と1PI汎関数、計算や格子理論に欠かせないユークリッド時空への回転を説明します。

単位系：この節では自然単位系 $\hslash =c=1$ を用います。

8.3.1 粒子から場へ：基本的な考え方の復習

非相対論的粒子の遷移振幅は、各経路に重み $e^{iS[x]}$ を付けた和です。場の量子論では「経路 $x(t)$」を「時空全体の場 $\varphi (x)$」へ拡張し、和を汎関数積分に置き換えます。観測量を記述するのは場の相関関数であり、それを生み出すのが生成汎関数です。

8.3.2 自由スカラー場の $Z[J]$ を求める

次の作用を持つ実クライン–ゴルドン場を考えます。

$$S_0[\varphi ]=\int d^{4}x\left[\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2\right]$$

ソース $J(x)$ を導入し、次を定義します。

$$Z_0[J]\equiv \int \mathcal{D}\varphi \exp \left\{i\int d^{4}x\left[\frac{1}{2}\partial \varphi \cdot \partial \varphi -\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2+J\varphi \right]\right\}$$

次の関係を満たすグリーン関数 ${\Delta }_F$ を使って平方完成します。

$$(\square +m^2){\Delta }_F(x-y)=-i{\delta }^{(4)}(x-y)$$

ガウス積分を実行すると、

$$Z_0[J]=Z_0[0]\exp \left[-\frac{1}{2}\int d^{4}x{d}^{4}yJ(x){\Delta }_F(x-y)J(y)\right]$$

が得られます。自由理論のすべての相関関数は、$J$ に関する微分で求められます。

8.3.3 相関関数、連結部分、ウィックの定理

時間順序を取った $n$ 点関数は、

$$G^{(n)}(x_1,\dots ,x_n)\equiv ⟨0|T\{\varphi (x_1)\cdots \varphi (x_n)\}|0⟩={\frac{1}{Z_0[0]}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta }{\delta J(x_1)}\right)\cdots \left(\frac{1}{i}\frac{\delta }{\delta J(x_n)}\right)Z_0[J]|}_{J=0}$$

です。次を定義します。

$$W[J]\equiv -i\ln Z[J]$$

すると、連結相関関数は $W$ から得られます。

$$G_{\text{conn}}^{(n)}(x_1,\dots ,x_n)={i^{1-n}\frac{{\delta }^{n}W[J]}{\delta J(x_1)\cdots \delta J(x_n)}|}_{J=0}$$

自由なガウス理論では、ウィックの定理により $n$ 点関数は2点関数 ${\Delta }_F$ の積の和になります。これは2次式の指数関数から得られる構造そのものです。

8.3.4 相互作用の導入：${\varphi }^4$ とダイアグラムの生成

4次の項を加えます。

$$S[\varphi ]=S_0[\varphi ]-\int d^{4}x\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4(x)$$

相互作用する理論の生成汎関数は、

$$Z[J]=\int \mathcal{D}\varphi \exp \left\{i{S}_0[\varphi ]+i\int d^{4}x\left[J\varphi -\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4\right]\right\}$$

です。相互作用を自由理論の $Z_0[J]$ に作用する演算子として扱うと、

$$Z[J]=\exp \left[-i\frac{\lambda }{4!}\int d^{4}x{\left(\frac{1}{i}\frac{\delta }{\delta J(x)}\right)}^4\right]Z_0[J]$$

と書けます。指数関数を展開すれば、次の規則を持つファインマン図が得られます。

• 伝播関数（内線）：${\Delta }_F(x-y)$、または運動量空間では $i/(p^2-m^2+iϵ)$。
• 頂点：4本の線が集まり、因子 $-i\lambda$ を与えます。
• 外線：ソースを付けて微分し、$J=0$ とすることで相関関数を得ます。さらに連結部分を取り、外線伝播関数を除去できます。
• 対称性因子：各図の自己同型に対応する $1/S$。

これらの規則によって、摂動展開をダイアグラムとして整理できます。

補足：ファインマン図の読み方

• 矢印付きの直線は、電子や陽電子などのフェルミオンを表します。
  • 時間の向きに進む矢印：電子。
  • 時間と逆向きに進む矢印：陽電子。
• 波線は光子、より一般にはゲージボソンを表します。
• 頂点は線が集まる相互作用点です。
  • QEDの各頂点には、電子と光子の結合を表す因子 $-ie{\gamma }^{\mu }$ が対応します。

8.3.5 有効作用と1PI：系統的な整理法

古典場、すなわち平均場を次のように定義します。

$${\varphi }_c(x)\equiv \frac{\delta W[J]}{\delta J(x)}$$

ルジャンドル変換によって有効作用を定義します。

$$\Gamma [{\varphi }_c]\equiv W[J]-\int d^{4}xJ(x){\varphi }_c(x)$$

ここでは、与えられた ${\varphi }_c$ を生み出すように $J$ を選びます。すると、

$$\frac{\delta \Gamma }{\delta {\varphi }_c(x)}=-J(x)$$

が得られます。$J=0$ と置けば、量子的な運動方程式 $\delta \Gamma /\delta {\varphi }_c=0$ になります。一定の背景場で $\Gamma$ を汎関数微分すると、1PI（1粒子既約）頂点が得られます。$\Gamma$ のループ展開は、系統的な半古典展開です。

8.3.6 シュウィンガー–ダイソン方程式：場の空間での部分積分

積分内の全汎関数微分は消えるので、

$$\int \mathcal{D}\varphi \frac{\delta }{\delta \varphi (x)}\left[\mathcal{F}[\varphi ]e^{iS[\varphi ]}\right]=0$$

となります。スカラー理論で $\mathcal{F}=\varphi (y)$ を選ぶと、

$$⟨T\left\{\left[\left({\square }_x+m^2\right)\varphi (x)+\frac{\lambda }{3!}{\varphi }^3(x)\right]\varphi (y)\right\}⟩=-i{\delta }^{(4)}(x-y)$$

が得られます。一般には、$n$ 点関数とより高次の相関関数を結ぶ階層となり、結び付く次数は相互作用で決まります。運動量空間では、完全な伝播関数や頂点に対する厳密な積分方程式になります。

8.3.7 ウィック回転：ユークリッド時空へ

実時間の積分は激しく振動するため、数値計算が困難です。そこでユークリッド時間 $t\to -i\tau$ へ回転します。

$$S_E[\varphi ]=\int d^4{x}_E\left[\frac{1}{2}({\partial }_{\mu }\varphi {)}^2+\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2+\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4\right]$$

重みは $e^{-S_E}$ となり、

$$Z_E[J]=\int \mathcal{D}\varphi \exp \left[-S_E[\varphi ]+\int d^4{x}_{E}J\varphi \right]$$

が得られます。こうすると $Z_E$ は統計力学の分配関数に似た形になります。これは格子場の量子論、モンテカルロ法、場の量子論と臨界現象を結ぶ考え方への入り口です。解析接続によってミンコフスキー時空の結果へ戻せます。

8.3.8 経路積分におけるゲージ場：ゲージ固定とゴーストの概略

ゲージ場 $A_{\mu }$ に対して、単純に

$$Z=\int \mathcal{D}A{e}^{iS[A]}$$

とすると、物理的に等価な配位を重複して数えてしまいます。ゲージ固定のデルタ関数とファデーエフ–ポポフ行列式を挿入します。

$$Z=\int \mathcal{D}A\mathcal{D}\bar{c}\mathcal{D}c\exp \left\{iS[A]+i{S}_{\text{gf}}[A]+i{S}_{\text{FP}}[\bar{c},c,A]\right\}$$

共変ゲージでは、

$$S_{\text{gf}}=-\frac{1}{2\xi }\int d^{4}x({\partial }_{\mu }{A}^{\mu }{)}^2$$

となり、行列式からゴースト作用が生じます。隠れた大域的対称性であるBRST対称性がこの構造を整理し、量子化後のゲージ不変性を保つワード恒等式やスラヴノフ–テイラー恒等式を導きます。

8.3.9 経路積分で見る正則化と繰り込み

ループ積分は発散するため、カットオフ、次元正則化、パウリ–ヴィラース法などで正則化します。次に、物理的な $n$ 点関数が実験と一致するように $S$ に反項を加えて繰り込みます。経路積分では、次の点が明確になります。

• 反項は、作用に加える局所的な項です。
• 繰り込み群は、スケールに応じた有効作用の変化を追います。
• カイラル異常などの量子異常は、特定の変換に対する積分測度の非不変性として現れます。これが藤川の方法です。

8.3.10 図が表すもの：$Z[J]$ から得られる規則

• 非連結と連結：$Z$ はすべての図を生成し、$W=-i\ln Z$ は非連結な寄与を取り除きます。
• 外線除去と1PI：$W$ を微分して外線伝播関数を除去すると散乱の核が得られ、$\Gamma$ を微分すると1PI頂点を直接得られます。
• 対称性因子：同じソース因子に繰り返し微分が作用する際の組合せに由来し、図の前に付く $1/S$ を与えます。

8.3.11 短い計算例

（a）自由なガウス理論の確認 $Z_0[J]$ から直接、次の関係を示してください。

$$G^{(2)}(x,y)={\Delta }_F(x-y),G^{(4)}(x_1,\dots ,x_4)={\Delta }_{12}{\Delta }_{34}+{\Delta }_{13}{\Delta }_{24}+{\Delta }_{14}{\Delta }_{23}$$

ここで ${\Delta }_{ij}\equiv {\Delta }_F(x_i-x_j)$ です。

（b）0次元の ${\varphi }^4$：簡単な模型 次の積分について、$\int \mathcal{D}\varphi$ を $\int d\varphi$ に置き換えます。

$$Z(J)={\int }_{-\infty }^{\infty }d\varphi \exp \left[i\left(\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4+J\varphi \right)\right]$$

$\lambda$ で展開し、ファインマン図による級数と照合してください。時空がないため、純粋に組合せの問題になります。

（c）${\varphi }^4$ における1ループのタドポールの構造 演算子展開 $\exp [-i(\lambda /4!)\int (\delta /i\delta J{)}^4]$ から、$G^{(2)}$ に対する $O(\lambda )$ の補正には次の項が含まれます。

$$\frac{-i\lambda }{2}\int d^{4}z{\Delta }_F(x-z){\Delta }_F(0){\Delta }_F(z-y)$$

${\Delta }_F(0)$ の紫外発散が現れ、質量の繰り込みが必要になることが分かります。

（d）停留位相による古典極限 $S\to S/\hslash$ として $\hslash \to 0$ の極限を取ります。$Z$ への主要な寄与は $\delta S/\delta \varphi =0$ を満たす場から生じ、その周りの揺らぎがループ展開を与えます。これが「ループは量子的である」という言葉の正確な意味です。

（e）変数変換から得られるワード恒等式 大域的対称性 $\varphi \to \varphi +ϵ\delta \varphi$ に対して、測度と作用の不変性から、

$${\partial }_{\mu }⟨T\left\{J^{\mu }(x)\mathcal{O}[\varphi ]\right\}⟩=-i⟨T\left\{\delta \varphi (x)\frac{\delta \mathcal{O}[\varphi ]}{\delta \varphi (x)}\right\}⟩$$

が得られます。これは相関関数内のカレント保存を汎関数で表したものです。

8.3.12 基本演習

• 平方完成によって $Z_0[J]$ を導き、$Z_0[0]=1$ を要請して規格化を決めてください。
• ${\varphi }^4$ 理論の $Z[J]$ から運動量空間のファインマン則を導き、4点関数の1ループ「フィッシュ図」の対称性因子を特定してください。
• 連結2点関数を $-i{\delta }^{2}W/\delta J\delta J$ として計算し、$W=-i\ln Z$ が非連結部分を除くことを確認してください。
• ${\varphi }^4$ のウィック回転を注意深く行い、$iS\to -S_E$ と $Z\to Z_E$ を示して、伝播関数の変化を調べてください。
• ${\varphi }^4$ 理論の完全な伝播関数 $G(x,y)$ に対するシュウィンガー–ダイソン方程式を書き、図で表してください。
• $U(1)$ ゲージ理論について、共変ゲージでゴーストを導くファデーエフ–ポポフの手順を概説し、BRST変換を書いてください。

8.4 LSZ還元と散乱振幅

グリーン関数は理論を記述するのに適していますが、実験で測るのは断面積です。両者を結ぶのがLSZ還元公式です。時間順序相関関数から外線伝播関数を除去し、外線を質量殻上に置くと、$S$ 行列の振幅 $\mathcal{M}$ が得られます。この節ではスカラー場とフェルミオン場のLSZ、$Z$ の役割、位相空間と断面積、計算例、光学定理を通じたユニタリ性を扱います。

8.4.1 相関関数から振幅へ

• 相関関数：$G^{(n)}=⟨0|T\{\varphi \cdots \varphi \}|0⟩$。
• 連結部分：$W=-i\ln Z$。
• 外線除去：外線の伝播関数を取り除きます。
• 質量殻上の極限：$p^2\to m^2$。フェルミオンでは $/p\to m$ です。
• 波動関数の繰り込み：1粒子極の留数が $Z$ 因子を定義します。

こうして得られるのが $\mathcal{M}$ であり、断面積にはその $|\mathcal{M}{|}^2$ が現れます。

8.4.2 極、留数、$Z$ 因子

実スカラー場の完全な運動量空間2点関数は、1粒子極の近傍で次のように振る舞います。

$${\tilde{G}}^{(2)}(p)=\int d^{4}x{e}^{ip\cdot x}{G}^{(2)}(x)\sim \frac{i{Z}_{\varphi }}{p^2-m^2+iϵ}+\text{正則項}$$

留数 $Z_{\varphi }$ は、場から1粒子状態を生成する重なりの大きさを表します。そのため、LSZでは外線ごとに $Z_{\varphi }^{-1/2}$ が現れます。

ディラック場についても同様に、

$$\tilde{S}(p)\equiv \int d^{4}x{e}^{ip\cdot x}⟨0|T\{\psi (x)\bar{\psi }(0)\}|0⟩\sim \frac{i{Z}_{\psi }(/p+m)}{p^2-m^2+iϵ}$$

8.4.3 スカラー場のLSZ還元：入射状態から出射状態へ

質量 $m$ の中性スカラー粒子の $n\to m$ 過程を考えます。完全な時間順序相関関数を $G^{(n+m)}$ とします。外線を除去した質量殻上の振幅は次のようになります。

$$\mathcal{M}(\{p\}\to \{p^{\prime }\})=\left[\prod _{a=1}^n{Z}_{\varphi }^{-1/2}i\int d^4{x}_a{e}^{i{p}_a\cdot x_a}\left({\square }_{x_a}+m^2\right)\right]\left[\prod _{b=1}^m{Z}_{\varphi }^{-1/2}i\int d^4{y}_b{e}^{-i{p}_b^{\prime }\cdot y_b}\left({\square }_{y_b}+m^2\right)\right]G^{(n+m)}(\{x\};\{y\})$$

微分を行った後、外線運動量をすべて質量殻上、すなわち $p_a^2=m^2$ と $(p_b^{\prime }{)}^2=m^2$ に置きます。フーリエ変換すると、運動量保存を表す全体の因子 $(2\pi {)}^4{\delta }^{(4)}(\sum p-\sum p^{\prime })$ が現れます。

8.4.4 フェルミオンのLSZ還元：スピノルを含む場合

入射フェルミオンや出射反フェルミオンでは、スピノルによる射影とディラック演算子を用います。運動量 $p$ の入射フェルミオン1個と、運動量 $p^{\prime }$ の出射フェルミオン1個に対する概略の形は、

$$\mathcal{M}\propto Z_{\psi }^{-1/2}\bar{u}(p^{\prime })\left[-i\int d^{4}y{e}^{-i{p}^{\prime }\cdot y}\left(i{\overleftarrow{/partial}}_y+m\right)\right]⟨0|T\{\psi (y)\cdots \bar{\psi }(x)\}|0⟩\left[i\int d^{4}x{e}^{ip\cdot x}\left(i/partia{l}_x-m\right)\right]Z_{\psi }^{-1/2}u(p)$$

です。すべての外線演算子を作用させて質量殻上の極限を取ると、通常のファインマン則による振幅が得られます。外線が反フェルミオンの場合には、$u\leftrightarrow v$ と $\psi \leftrightarrow \bar{\psi }$ による射影を対応する形に置き換えます。

8.4.5 「外線を除去した連結グリーン関数」が重要な理由

• 連結：$W=-i\ln Z$ は非連結部分を取り除き、散乱に関与しない粒子を重複して数えることを避けます。
• 外線除去：外線伝播関数で割ることで、$\mathcal{M}$ に直接入る核が得られます。
• 1PIと連結の関係：$\Gamma [{\varphi }_c]$ の1PI頂点を完全な伝播関数でつなぐと、外線を除去した連結関数を構成できます。

これが「図を描き、外線を付け、計算する」という手順の背後にある代数です。

8.4.6 平面波、波束、$iϵ$ の処方

厳密なLSZの議論では波束を用います。重なり積分が収束し、相互作用を断熱的に入れたり切ったりする操作に意味を持たせるためです。実際の計算では平面波を使い、$iϵ$ 処方によって因果律と極の適切な取り扱いを確保します。

8.4.7 位相空間、断面積、崩壊率

$n_i\to n_f$ 散乱について、ローレンツ不変な $n$ 体位相空間を定義します。

$$d{\Pi }_{n_f}(P;\{p_f\})=\left[\prod _{k=1}^{n_f}\frac{d^3{\mathbf{p}}_k}{(2\pi {)}^{3}2E_k}\right](2\pi {)}^4{\delta }^{(4)}\left(P-\sum _k{p}_k\right)$$

重心系における2粒子散乱の流束因子は、

$$\mathcal{F}=4\sqrt{(p_1\cdot p_2{)}^2-m_1^2{m}_2^2}$$

であり、微分断面積は、

$$d\sigma =\frac{|\mathcal{M}{|}^2}{\mathcal{F}}d{\Pi }_{n_f}$$

となります。質量 $M$、全運動量 $P$ の粒子の崩壊幅は、

$$d\Gamma =\frac{|\mathcal{M}{|}^2}{2M}d{\Pi }_{n_f}(P;\{p_f\})$$

です。必要に応じて、$|\mathcal{M}{|}^2$ に対して終状態のスピン和と初期偏極の平均を取ります。

8.4.8 ユニタリ性と光学定理

$S^{†}S=\mathbb{I}$ と書くと、$S=1+iT$ から、

$$2\mathrm{Im}{\mathcal{M}}_{i\to i}=\sum _X\int d{\Pi }_X|{\mathcal{M}}_{i\to X}{|}^2$$

が得られます。前方散乱振幅の虚部は全断面積に対応します。カットコスキー則はループを切断し、この関係をダイアグラムの水準で実現します。

8.4.9 交差対称性：解析接続の基礎

振幅は解析関数の境界値なので、粒子を初期状態から終状態へ移す操作は $p\to -p$ の解析接続に対応します。同じ $\mathcal{M}$ が $s$、$t$、$u$ チャネルを記述し、異なる物理過程は異なる運動学的領域に対応します。

8.4.10 簡単な例

（a）ツリーレベルの ${\varphi }^4$ 理論における $2\to 2$

相互作用を ${\mathcal{L}}_{\text{int}}=-\lambda {\varphi }^4/4!$ とし、外線を適切に規格化すると、

$${\mathcal{M}}_{\text{tree}}(2\to 2)=-i\lambda$$

となります。ツリーレベルでは運動量依存性はありません。1ループでは $s,t,u$ の対数と反項が加わります。

（b）湯川交換：ツリーレベルの $f\bar{f}\to f\bar{f}$

${\mathcal{L}}_{\text{int}}=-g\bar{\psi }\psi \varphi$ に対する $t$ チャネルのスカラー交換は、

$$\mathcal{M}=(-ig{)}^2\bar{u}(p_3)u(p_1)\frac{i}{t-m_{\varphi }^2+iϵ}\bar{v}(p_2)v(p_4)$$

です。ここで $t=(p_3-p_1{)}^2$ です。スピン和を取ると、双線形形式はトレースに置き換わります。

（c）外線におけるQEDのカレント保存

フェルミオン線につながる光子について、質量殻上では、

$$q_{\mu }\bar{u}(p^{\prime }){\gamma }^{\mu }u(p)=0$$

となります。したがって、どのツリー振幅でも縦偏極の寄与は消えます。これがワード恒等式です。

8.4.11 実用的な規格化と見落としやすい因子

• 各外線スカラーには $Z_{\varphi }^{-1/2}$、各外線スピノルには $Z_{\psi }^{-1/2}$ とスピノル波動関数 $u$ または $v$ が対応します。
• ツリーレベルを超えた厳密な構成では、内線に完全な伝播関数を使います。
• 初期状態のスピン・偏極を平均し、終状態については和を取ります。
• 位相空間の同種粒子因子：同一の終状態ボソン $n$ 個に対しては $n!$ で割ります。

8.4.12 注意点：質量ゼロの量子と赤外領域

質量ゼロのゲージボソンを含む理論では、厳密なフォック状態にLSZを適用する際に注意が必要です。ソフト放射と共線放射によって排他的な確率は赤外発散しますが、包括的な率はKLN定理により有限になります。実際には、検出器の分解能より小さいエネルギーの放射と仮想補正を合わせて計算します。

8.4.13 短い計算例

（1）極構造からスカラー場のLSZを導く $G^{(n+m)}$ のフーリエ変換から出発し、1粒子極を分離して留数 $Z_{\varphi }$ を読み取り、$(\square +m^2)$ を作用させると外線伝播関数が除去されることを示してください。

（2）接触型の ${\varphi }^4$ 散乱の断面積 質量が等しく $m$ である粒子の重心系で、$|\mathcal{M}{|}^2={\lambda }^2$ とすると、

$$\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{{\lambda }^2}{64{\pi }^{2}s}\frac{|{\mathbf{p}}_f|}{|{\mathbf{p}}_i|}$$

となります。ここで $s=(p_1+p_2{)}^2$ であり、質量が等しいので $|{\mathbf{p}}_f|=|{\mathbf{p}}_i|$ です。

（3）${\varphi }^4$ 理論の1ループで光学定理を確認する $s$ チャネルのバブル図を考えてください。しきい値より上での虚部は、ツリーレベル振幅の絶対値の2乗を $2\to 2$ の位相空間で積分したものに等しくなります。

（4）フェルミオンのLSZ射影 出射 $\psi$ 線に $(i\overleftarrow{/partial}+m)$ を挿入して $\bar{u}(p^{\prime })$ と縮約すると、$p^{\prime 2}=m^2$ の極限で通常の外線スピノル因子が得られることを示してください。

8.4.14 基本演習

• 厳密な2点関数から、$Z_{\varphi }^{-1/2}(\square +m^2)G^{(n+m)}$ によってスカラー外線1本が除去されることを証明し、$n+m$ 本の外線へ拡張してください。
• $e^{-}{\mu }^{-}\to e^{-}{\mu }^{-}$ のLSZ公式を書き、伝播関数と頂点から通常のQEDのツリー振幅を再現してください。
• 重心系での2体位相空間要素 $d{\Pi }_2$ を導き、一定の $\mathcal{M}$ に対して積分し、標準的な $2\to 2$ の全断面積を求めてください。
• 簡単な1ループ図について、カットコスキー則で $\mathrm{Im}{\mathcal{M}}_{ii}$ を計算し、光学定理を確認してください。
• 外線運動量の解析接続により、${\varphi }^4$ 理論の $2\to 2$ 振幅が $s$、$t$、$u$ チャネルの間でどう移り変わるかを具体的に示してください。

8.5 繰り込み：発散、相殺項、結合定数の走行

ループ図は紫外領域で発散します。繰り込みは、その無限大を扱い、物理的なパラメーターを定義し、スケール依存性を予測するための方法です。この節では、扱いやすい $d=4$ 次元の実スカラー ${\varphi }^4$ 理論を例に、相殺項の導入、次元正則化、$\beta$ 関数の抽出、カラン–シマンジク方程式の導出を順に進めます。要点は、結合定数が走行し、場が異常次元を獲得することです。計算には繰り込みスケール $\mu$ が現れますが、観測量はこの任意のスケールに依存しません。

8.5.1 次元の数え上げと「繰り込み可能」の意味

次のラグランジアンを持つ実スカラー場を考えます。

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}({\partial }_{\mu }\varphi )({\partial }^{\mu }\varphi )-\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4$$

$d=4$ では場の質量次元は $[\varphi ]=1$ なので、$[\lambda ]=0$、$[m^2]=2$ です。$L$ 個のループ、$I$ 本の内線、$V_4$ 個の4次頂点を持つ図の表面的な紫外発散次数 $D$ は、

$$D=4L-2I$$

図の位相的な恒等式を用いると、${\varphi }^4$ 理論では $d=4$ 次元において原始発散を持ち得るのは 2点振幅と 4点振幅だけだと分かります。それより高次の $n$ 点関数は、表面的には収束します。これが「繰り込み可能」という性質の具体的な内容です。

8.5.2 相殺項ラグランジアンと繰り込み条件

裸の量にハットを付け、有限な繰り込まれた量と相殺項に分けます。

$${\varphi }_0=Z_{\varphi }^{1/2}\varphi ,m_0^2=m^2+\delta m^2,{\lambda }_0={\mu }^{ϵ}(\lambda +\delta \lambda )$$

ここでは $d=4-ϵ$ とする次元正則化を導入し、$\lambda$ を無次元に保つためにスケール $\mu$ を入れました。ラグランジアンは次のようになります。

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{Z}_{\varphi }(\partial \varphi {)}^2-\frac{1}{2}(m^2+\delta m^2){\varphi }^2-\frac{1}{4!}(\lambda +\delta \lambda ){\varphi }^4$$

$Z_{\varphi }=1+\delta Z_{\varphi }$ を展開すると、相殺項ラグランジアンが得られます。

$${\mathcal{L}}_{\text{ct}}=\frac{1}{2}\delta Z_{\varphi }(\partial \varphi {)}^2-\frac{1}{2}\delta m^2{\varphi }^2-\frac{1}{4!}\delta \lambda {\varphi }^4$$

繰り込み条件によって $\delta Z_{\varphi },\delta m^2,\delta \lambda$ を決めます。よく使われる選択は次の2つです。

• オンシェル（OS）法：完全な伝播関数の極を $p^2=m^2$ に置き、その留数を $1$ とします。また、指定した運動学的点での $4$ 点関数 $1\text{PI}$ を $\lambda$ に等しくします。
• 最小減算法（MS または $\overline{\text{MS}}$）：相殺項で $1/ϵ$ の極だけを打ち消します。$\overline{\text{MS}}$ では一定の定数項も差し引きます。計算が簡潔で、繰り込み群の解析に適しています。

8.5.3 1ループ：2点タドポール図と質量の繰り込み

$1$ ループの $2$ 点図はタドポール図です。次元正則化では、

$$-i{\Sigma }_{\text{tad}}=\frac{-i\lambda }{2}\int \frac{d^{d}k}{(2\pi {)}^d}\frac{i}{k^2-m^2+iϵ}$$

これを計算すると、

$${\Sigma }_{\text{tad}}=\frac{\lambda m^2}{32{\pi }^2}\left(\frac{2}{ϵ}-{\gamma }_E+\ln 4\pi +\ln \frac{{\mu }^2}{m^2}+1\right)+\text{有限項}$$

$\overline{\text{MS}}$ では、極と $-{\gamma }_E+\ln 4\pi$ を差し引き、繰り込まれた自己エネルギーが有限になるように $\delta m^2$ を定義します。${\varphi }^4$ 理論では1ループで $\delta Z_{\varphi }=0$ であることに注意してください。波動関数の繰り込みは2ループから始まります。

8.5.4 1ループ：4点フィッシュ図と結合定数の繰り込み

$4$ 点関数 $1\text{PI}$ への $1$ ループ補正は、$s,t,u$ チャネルのフィッシュ図から生じます。外部粒子の質量をゼロとするか、対称なユークリッド点を選ぶと、発散部分を次のように取り出せます。

$${\Gamma }_{\text{1-loop, div}}^{(4)}=-\frac{3{\lambda }^2}{16{\pi }^2}\frac{1}{ϵ}$$

したがって、$\overline{\text{MS}}$ では、

$$\delta \lambda =\frac{3{\lambda }^2}{16{\pi }^2}\frac{1}{ϵ}$$

係数 $3$ は $s,t,u$ の寄与を数えたものです。有限部分は運動学と繰り込み方式に依存しますが、この次数の $\beta$ 関数には影響しません。

8.5.5 繰り込み群と $\beta$ 関数

裸のパラメーターは $\mu$ に依存しないため、$\mu d{\lambda }_0/d\mu =0$ です。$Z_{\lambda }=1+\delta \lambda /\lambda$ として ${\lambda }_0={\mu }^{ϵ}{Z}_{\lambda }\lambda$ を用い、次のように定義します。

$$\beta (\lambda )\equiv \mu \frac{d\lambda }{d\mu }{|}_{{\lambda }_0},{\gamma }_{\varphi }(\lambda )\equiv \frac{1}{2}\mu \frac{d\ln Z_{\varphi }}{d\mu }{|}_{{\lambda }_0},{\gamma }_m(\lambda )\equiv \frac{1}{m^2}\mu \frac{d{m}^2}{d\mu }{|}_{{\lambda }_0}$$

$d=4$ 次元の実 ${\varphi }^4$ 理論では、1ループで、

$$\beta (\lambda )=\frac{3}{16{\pi }^2}{\lambda }^2$$ $${\gamma }_{\varphi }(\lambda )=0+\mathcal{O}({\lambda }^2)$$ $${\gamma }_m(\lambda )=\frac{\lambda }{16{\pi }^2}+\mathcal{O}({\lambda }^2)$$

このように、$\lambda$ は紫外側へスケールを上げると増大します。$d\lambda /d\ln \mu =\frac{3}{16{\pi }^2}{\lambda }^2$ を解くと、

$$\lambda (\mu )=\frac{\lambda ({\mu }_0)}{1-\frac{3\lambda ({\mu }_0)}{16{\pi }^2}\ln \left(\frac{\mu }{{\mu }_0}\right)}$$

有限の $\mu$ で分母がゼロになる可能性があります。これがランダウ極であり、$d=4$ 次元の純粋な ${\varphi }^4$ 理論が、それだけでは紫外完備でないことを示唆します。

8.5.6 カラン–シマンジク方程式とスケーリング

繰り込まれた $n$ 点グリーン関数 $G^{(n)}$ は、次の式を満たします。

$$\left[\mu \frac{\partial }{\partial \mu }+\beta (\lambda )\frac{\partial }{\partial \lambda }-n{\gamma }_{\varphi }(\lambda )+{\gamma }_m(\lambda )m^2\frac{\partial }{\partial m^2}\right]G^{(n)}(x_1,\dots ,x_n;\lambda ,m,\mu )=0$$

これは、物理が任意のスケール $\mu$ に依存してはならないことを表しています。この方程式を解くと、結合定数と質量を対象となるスケールまで走らせることで、大きな対数 $\ln (p/\mu )$ を再総和できます。

8.5.7 繰り込み方式への依存性と観測量

繰り込み方式を変えると $\lambda (\mu )$ の数値は変化します。しかし、厳密な $S$ 行列要素や測定可能な反応率は方式に依存しません。有限の摂動次数で一貫して対応付けた結果には、計算していない高次の差が残ります。代表的な選択は次のとおりです。

• オンシェル法：直感的ですが、1ループを超えると計算が複雑になります。
• $\overline{\text{MS}}$ 法：極を差し引く処方が簡潔で、繰り込み群の計算によく使われます。

方式間の変換は、有限な再定義 $\lambda \to \lambda +c_1{\lambda }^2+\cdots$ によって行えます。

8.5.8 異常次元と場の強度

${\varphi }^4$ 理論の1ループでは ${\gamma }_{\varphi }=0$ ですが、一般には場は異常次元を獲得します。その結果、相関関数のスケーリングを決めるべき指数は ${\gamma }_{\varphi }$ によって補正されます。固定点 $\beta =0$ にある共形理論では、演算子の次元は古典次元と異常次元の和であり、共形場理論のデータによって決まります。

8.5.9 紫外と赤外、対数発散とべき発散

次元正則化では、対称性を保ちながら2次発散を極と質量依存性の形で表します。紫外発散は $1/ϵ$ の極に対応し、質量がゼロのときには赤外発散も別の極として現れます。計算では次の点に注意します。

• ゲージ理論と繰り込み群には次元正則化を用います。
• 質量がゼロの場合は赤外正則化を保持し、包括的な観測量を構成してから取り除きます。

8.5.10 短い計算例

(a) $\overline{\text{MS}}$ におけるタドポール図

次の選択によって、

$$\delta m^2=\frac{\lambda m^2}{32{\pi }^2}\left(\frac{2}{ϵ}\right)$$

$\overline{\text{MS}}$ の ${\Sigma }_{\text{tad}}$ にある紫外極が打ち消されることを示し、残る有限な自己エネルギーを書いてください。

(b) 相殺項の代数から求める1ループの $\beta$

$\delta \lambda =\frac{3{\lambda }^2}{16{\pi }^2}\frac{1}{ϵ}$ として ${\lambda }_0={\mu }^{ϵ}(\lambda +\delta \lambda )$ から出発し、$d{\lambda }_0/d\mu =0$ を課して $\beta (\lambda )=\frac{3}{16{\pi }^2}{\lambda }^2$ を導いてください。

(c) 走行結合定数とランダウ極

${\mu }_0=m$ における $\lambda ({\mu }_0)=0.1$ が与えられたとき、分母がゼロになるスケールを求め、その物理的意味を説明してください。

(d) 対称点での繰り込み

$s=t=u=-{\mu }^2$ における $1\text{PI}$ の $4$ 点関数によって $\lambda$ を定義してください。$\mu$ を変えると、同じ1ループの $\beta$ に従って $\lambda$ が変化することを示してください。

(e) $G^{(2)}$ のカラン–シマンジク方程式

運動量空間で $G^{(2)}(p^2)$ の方程式を書き、1ループの ${\gamma }_{\varphi }=0$ を使って繰り込み群で改善した伝播関数を求め、主要対数を総和してください。

8.5.11 基本演習

• 次元正則化で1ループのフィッシュ図を計算し、その極を取り出してください。
• 自己エネルギーの運動量依存性を調べ、1ループで $\delta Z_{\varphi }=0$ となることを示してください。
• 相殺項 $\delta m^2$ から1ループの ${\gamma }_m$ を計算し、上の結果を確認してください。
• カラン–シマンジク方程式から出発し、大きな運動量での $n$ 点関数が、硬いスケールで評価した走行結合定数によって支配されることを示してください。
• 1ループで $\lambda$ の OS 定義と $\overline{\text{MS}}$ 定義を比較し、有限な変換式を導いてください。

8.6 非可換ゲージ場とヤン–ミルズ理論

電磁気学は可換な $U(1)$ ゲージ理論であり、ゲージ場どうしは自己相互作用しません。標準模型では非可換ゲージ対称性が中心的な役割を果たし、ゲージ粒子自身が電荷を持って自己相互作用します。この節ではヤン–ミルズ（YM）理論を構成し、物質場との結合、ゲージ固定とゴーストによる量子化、BRST 対称性、ウィルソン線、そして漸近的自由性をもたらす1ループの $\beta$ 関数を学びます。

8.6.1 ゲージ群、生成子、共変微分

$G$ をコンパクトなリー群とし、ある表現の生成子 $T^a$ が次の関係を満たすとします。

$$[T^a,T^b]=i{f}^{abc}{T}^c$$

色の代数の規格化を、次のように定めます。

$$\mathrm{tr}(T^a{T}^b)=T_R{\delta }^{ab},T^a{T}^a=C_F\mathbb{I},f^{acd}{f}^{bcd}=C_A{\delta }^{ab}$$

$G=SU(N)$ の基本表現では、$T_R=\frac{1}{2}$、$C_F=\frac{N^2-1}{2N}$、$C_A=N$ です。

物質場 $\psi$ は、$U(x)\in G$ によって $\psi \to U(x)\psi$ と変換します。共変微分は、

$$D_{\mu }\equiv {\partial }_{\mu }+ig{A}_{\mu }^a{T}^a$$

こう定義すると、$D_{\mu }\psi$ は $\psi$ と同じように変換します。非可換な場の強度は交換子から得られます。

$$[D_{\mu },D_{\nu }]=ig{F}_{\mu \nu }^a{T}^a$$

ここで、

$$F_{\mu \nu }^a={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^a-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }^a+g{f}^{abc}{A}_{\mu }^b{A}_{\nu }^c$$

8.6.2 ヤン–ミルズのラグランジアンと運動方程式

ディラック物質場を含む YM 作用は、

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{YM}+\mathrm{mat}}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }^a{F}^{a\mu \nu }+\bar{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }-m)\psi$$

パラメーター ${\alpha }^a(x)$ による無限小ゲージ変換は、次のように作用します。

$$\delta \psi =ig{\alpha }^a{T}^a\psi ,\delta A_{\mu }^a=-\frac{1}{g}(D_{\mu }\alpha {)}^a$$

YM の運動方程式は、

$$(D_{\mu }{F}^{\mu \nu }{)}^a=g\bar{\psi }{\gamma }^{\nu }{T}^a\psi$$

これにビアンキ恒等式 $D_{[\mu }{F}_{\nu \rho ]}=0$ が加わります。

3グルーオン相互作用と4グルーオン相互作用。 $F^2$ を展開すると、QED にはない3次の $\sim g{f}^{abc}(\partial A)AA$ と4次の $\sim g^2{f}^{abe}{f}^{cde}{A}^a{A}^b{A}^c{A}^d$ の自己相互作用が現れます。

8.6.3 ゲージ固定、ゴースト、伝播関数

$A_{\mu }$ についてそのまま経路積分すると、ゲージ変換で結ばれた同じ物理状態を重複して数えてしまいます。共変ゲージでは、次の項を加えます。

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{gf}}=-\frac{1}{2\xi }({\partial }_{\mu }{A}^{a\mu }{)}^2$$

さらに、ファデエフ–ポポフのゴースト場 $c^a,{\bar{c}}^a$ を、次のラグランジアンで導入します。

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{FP}}=({\partial }_{\mu }{\bar{c}}^a)(D^{\mu }c{)}^a$$

ゴーストは反交換するスカラー場で、ループ内にのみ現れます。運動量空間でのグルーオン伝播関数は、

$${\tilde{D}}_{\mu \nu }^{ab}(k)=\frac{-i{\delta }^{ab}}{k^2+iϵ}\left[g_{\mu \nu }-(1-\xi )\frac{k_{\mu }{k}_{\nu }}{k^2}\right]$$

ゴースト伝播関数は $i{\delta }^{ab}/(k^2+iϵ)$ です。ファインマンゲージは $\xi =1$、ランダウゲージは $\xi =0$ に対応します。

8.6.4 BRST 対称性の要点

ゲージ固定はゲージ対称性を破りますが、冪零な微分 $s$ によって生成される、大域的な BRST 不変性を残します。

$$s{A}_{\mu }^a=(D_{\mu }c{)}^a,s{c}^a=-\frac{g}{2}{f}^{abc}{c}^b{c}^c,s{\bar{c}}^a=\frac{1}{\xi }{\partial }_{\mu }{A}^{a\mu },s\psi =ig{c}^a{T}^a\psi$$

すべての場に対して $s^2=0$ です。ゲージ固定した作用 ${\mathcal{L}}_{\mathrm{YM}}+{\mathcal{L}}_{\mathrm{gf}}+{\mathcal{L}}_{\mathrm{FP}}$ は BRST 不変です。物理状態は BRST コホモロジー、すなわちBRST閉であり、BRST完全な状態を同一視した同値類で表されます。これによって、非物理的な偏極とゴーストが物理量から分離されます。

8.6.5 ファインマン則と色因子

頂点の一覧です。運動量はすべて頂点に流入する向きに取ります。

• グルーオン–グルーオン–グルーオン 頂点は $-g{f}^{abc}[g^{\mu \nu }(k-p{)}^{\rho }+g^{\nu \rho }(p-q{)}^{\mu }+g^{\rho \mu }(q-k{)}^{\nu }]$ です。

• 4グルーオン $-i{g}^2[f^{abe}{f}^{cde}(g^{\mu \rho }{g}^{\nu \sigma }-g^{\mu \sigma }{g}^{\nu \rho })+\text{巡回置換項}]$

• グルーオン–ゴースト–ゴースト $-g{f}^{abc}{k}_{\mu }$。ここで $k$ はゴーストから反ゴーストに向かって頂点へ流入する運動量です。

• グルーオン–フェルミオン–フェルミオン $-ig{\gamma }^{\mu }{T}^a$

色の計算に便利な恒等式は、

$$T_{ij}^a{T}_{kl}^a=T_R\left({\delta }_{il}{\delta }_{jk}-\frac{1}{N}{\delta }_{ij}{\delta }_{kl}\right)\text{次の条件で：}SU(N)$$

および、

$$\sum _a(T^a{T}^a{)}_{ij}=C_F{\delta }_{ij}$$

これらは振幅を2乗し、色について和を取るときに現れます。

8.6.6 ウィルソン線、ループ、ゲージ不変な観測量

経路 $\mathcal{C}$ に沿った平行移動には、ウィルソン線を用います。

$$W(\mathcal{C})=\mathcal{P}\exp \left(ig{\int }_{\mathcal{C}}{A}_{\mu }^a{T}^{a}d{x}^{\mu }\right)$$

閉じたループ $\mathrm{tr}W(\mathcal{C})$ はゲージ不変です。非摂動的な領域では、大きな長方形ループが面積則に従うか周長則に従うかによって、閉じ込めを調べられます。摂動論では、ウィルソン線はソフトグルーオンの効果を再総和します。

8.6.7 ベータ関数と漸近的自由性

基本表現に属するディラックフェルミオンが $n_f$ 個、複素スカラーが $n_s$ 個ある場合、1ループでは、

$$\beta (g)\equiv \mu \frac{dg}{d\mu }=-\frac{g^3}{16{\pi }^2}\left(\frac{11}{3}{C}_A-\frac{4}{3}{T}_R{n}_f-\frac{1}{3}{T}_R{n}_s\right)$$

QCD（$SU(3)$、$T_R=\frac{1}{2}$、$n_s=0$）では、

$$\beta (g)=-\frac{g^3}{16{\pi }^2}\left(11-\frac{2}{3}{n}_f\right)$$

$\beta$ が負なら、高いスケールで結合定数は減少します。これが漸近的自由性です。$SU(3)$ では、その条件は $n_f<17$ です。逆に赤外側では結合が強くなり、閉じ込めの可能性を示唆します。

8.6.8 位相的な項と $CP$

$-\frac{1}{4}{F}^2$ のほかに、ローレンツ不変かつゲージ不変な次の密度を考えられます。

$${\mathcal{L}}_{\theta }=\theta \frac{g^2}{32{\pi }^2}{F}_{\mu \nu }^a{\tilde{F}}^{a\mu \nu },{\tilde{F}}^{\mu \nu }\equiv \frac{1}{2}{ϵ}^{\mu \nu \rho \sigma }{F}_{\rho \sigma }$$

これは古典的には全微分ですが、非自明なゲージ束を通じて量子物理に影響します。縮約した位相密度は、可換・非可換のどちらのゲージ場でも $C$ に対して偶、$P$、$T$、$CP$ に対して奇です。アノマリーと位相的性質は8.10節で再び扱います。

8.6.9 短い計算例

(a) 3グルーオン頂点の導出。 $-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }^a{F}^{a\mu \nu }$ を展開して $A$ の3次の項を残し、運動量空間のファインマン則を読み取ってください。

(b) $q\bar{q}\to q^{\prime }{\bar{q}}^{\prime }$ の色因子。 入射粒子の色について平均すると、全体の係数 $T_R^2$ と、フェルミオン線上の $C_F$ のトレースが得られることを示してください。

(c) グルーオン自己エネルギーのゴーストループ。 符号とテンソル構造を計算し、グルーオンループとゴーストループの和が横方向の条件 $k_{\mu }{\Pi }^{\mu \nu }(k)=0$ を満たすことを確認してください。

(d) $A_{\mu }$ に作用する BRST 変換の冪零性。 $s{A}_{\mu }^a=(D_{\mu }c{)}^a$ と $s{c}^a=-\frac{g}{2}{f}^{abc}{c}^b{c}^c$ を用い、ヤコビ恒等式から $s^2{A}_{\mu }^a=0$ を示してください。

(e) 1ループの $\beta$ の符号。 グルーオン2点関数に寄与する図を数え、グルーオンループ $\propto +\frac{11}{3}{C}_A$、フェルミオンループ $\propto -\frac{4}{3}{T}_R{n}_f$、スカラーループ $\propto -\frac{1}{3}{T}_R{n}_s$ を足し合わせてください。

8.6.10 基本演習

• $D_{\mu }$ から出発して $F_{\mu \nu }$ を導き、ビアンキ恒等式 $D_{[\mu }{F}_{\nu \rho ]}=0$ を証明してください。
• 共変ゲージで YM 理論を量子化し、ゴーストを含む完全なファインマン則を書いてください。
• スラヴノフ–テイラー恒等式が、繰り込まれたグルーオン伝播関数の横波性と、クォーク–グルーオン頂点の電荷の普遍性を保証することを示してください。
• 長方形のウィルソンループを $g^2$ の次数まで計算し、その対数からクーロンポテンシャルを読み取ってください。
• 有効作用のゲージ不変性を明示的に保つ背景場ゲージを使い、1ループの $\beta$ 関数を導いてください。

8.7 QED の実践：基本過程、1ループの効果、$\alpha$ の走行

QED は、精密な実験で検証されてきた素粒子物理学の代表的なゲージ理論です。対称性が計算を強く制約し、予測値と測定値は非常に高い精度で一致します。この節では、木のレベルの散乱、赤外発散が打ち消される仕組み、1ループの効果である真空偏極・頂点補正・電子自己エネルギー、そして電荷がスケールとともに走行する理由を調べます。

規約：自然単位系（$\hslash =c=1$）を用います。計量は $g_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(+,-,-,-)$。電荷の規約を $e>0$ とし、電子の電荷は $-e$ です。微細構造定数は $\alpha \equiv e^2/4\pi$ です。

8.7.1 ラグランジアン、場、ウォード恒等式の復習

QED のラグランジアンは、

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{QED}}=\bar{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }-m)\psi -\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu },D_{\mu }={\partial }_{\mu }+ie{A}_{\mu }$$

ゲージ不変性 $\psi \to e^{i\alpha (x)}\psi$、$A_{\mu }\to A_{\mu }-{\partial }_{\mu }\alpha /e$ から、カレントの保存とウォード–高橋恒等式が導かれます。

$$q_{\mu }{\Gamma }^{\mu }(p^{\prime },p)=S^{-1}(p^{\prime })-S^{-1}(p)$$

この恒等式は $Z_1=Z_2$、すなわち頂点と波動関数の繰り込みの一致を要求し、振幅から縦方向の光子の寄与を取り除きます。

8.7.2 計算に使うファインマン則

• フェルミオン伝播関数：$i(/p+m)/(p^2-m^2+iϵ)$
• 光子伝播関数（共変ゲージ）：

$$\frac{-i}{k^2+iϵ}\left[g_{\mu \nu }-(1-\xi )\frac{k_{\mu }{k}_{\nu }}{k^2}\right]$$

• 頂点：$-ie{\gamma }^{\mu }$
• 外線：スピノル $u,\bar{u},v,\bar{v}$、および光子の偏極 ${ϵ}^{\mu }$。物理的なゲージでは $q\cdot ϵ=0$ を満たします。

8.7.3 木のレベルの基本例：$e^{+}{e}^{-}\to {\mu }^{+}{\mu }^{-}$

$s$ チャネルの光子1本による振幅は、

$$\mathcal{M}=\bar{v}(p_2)(-ie{\gamma }^{\mu })u(p_1)\frac{-i{g}_{\mu \nu }}{s}\bar{u}(k_1)(-ie{\gamma }^{\nu })v(k_2)$$

重心系で $m_e,m_{\mu }\approx 0$ とすると、

$$\overline{|\mathcal{M}{|}^2}=e^4(1+{\cos }^2\theta )$$

微分断面積は、

$$\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{{\alpha }^2}{4s}(1+{\cos }^2\theta )$$

全断面積は、

$$\sigma (e^{+}{e}^{-}\to {\mu }^{+}{\mu }^{-})=\frac{4\pi {\alpha }^2}{3s}$$

これは R 比の基準となる結果です。$\mu$ を、色の因子を掛けた ${\sum }_q{Q}_q^2$ に置き換えることで、クォーク生成のしきい値を調べられます。

8.7.4 バーバー散乱とメラー散乱：同種粒子と $t$ チャネル

• バーバー散乱（$e^{+}{e}^{-}\to e^{+}{e}^{-}$）：$s$ チャネル $+$ $t$ チャネルの干渉を含みます。小角では $t$ チャネルが支配的になり、$\sim 1/{\theta }^4$ となります。この性質はルミノシティーの測定に使われます。
• メラー散乱（$e^{-}{e}^{-}\to e^{-}{e}^{-}$）：$t$ と $u$ の寄与に、フェルミ統計による相対的なマイナス符号が付きます。こちらも前方に強く集中します。

どちらもスピノルのトレースと干渉のよい練習になります。スピンの平均・和を取り、必要な場合は同種粒子の係数 $1/2!$ を忘れないでください。

8.7.5 コンプトン散乱：$e\gamma \to e\gamma$

図は s チャネルと u チャネルの2つです。スピンについて和を取ると、クライン–仁科の公式が得られます。電子の静止系で、入射光子のエネルギーを $\omega$、散乱角を $\theta$ とすると、

$$\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{r_e^2}{2}{\left(\frac{{\omega }^{\prime }}{\omega }\right)}^2\left(\frac{{\omega }^{\prime }}{\omega }+\frac{\omega }{{\omega }^{\prime }}-{\sin }^2\theta \right)$$

ここで古典電子半径は $r_e=e^2/4\pi m$ であり、

$${\omega }^{\prime }=\frac{\omega }{1+\frac{\omega }{m}(1-\cos \theta )}$$

低エネルギー極限 $\omega \ll m$ では、トムソン散乱 $d\sigma /d\Omega =r_e^2(1+{\cos }^2\theta )/2$ が得られます。

8.7.6 モット散乱：クーロン場による電子の散乱

外部電荷 $Z$ による1光子交換の散乱では、モット散乱の断面積が得られます。

$${\left(\frac{d\sigma }{d\Omega }\right)}_{\mathrm{Mott}}={\left(\frac{Z\alpha }{2p{\sin }^2\frac{\theta }{2}}\right)}^2{\cos }^2\frac{\theta }{2}$$

ラザフォード散乱と比べると、相対論的なスピンの効果が因子 ${\cos }^2\frac{\theta }{2}$ として現れます。

8.7.7 赤外領域の物理：ソフト光子と KLN 定理

光子を含む仮想的な1ループ図には赤外発散が生じます。エネルギー $\omega <\Delta E$ のソフト光子の実放出にも同様の発散があります。ブロッホ–ノルドシーク／KLN 定理によれば、検出器の分解能を固定して仮想補正と実放出を足すと有限になります。QED の一般的な $2\to 2$ 過程では、次の構造になります。

• 仮想ソフト補正：赤外正則化パラメーター $\lambda$ を使うと、$\propto \alpha {\ln }^2\left(\frac{\lambda }{E}\right)$ または $\alpha \ln \lambda$ が現れます。
• ソフト光子の実放出：$\propto -$ となり、$\lambda \to \Delta E$ を伴う同じ対数が現れます。
• 両者の和：正則化パラメーターが消え、残る $\ln (E/\Delta E)$ は測定で「見えた」と数える条件に依存する物理的な量です。

実際の NLO 計算では、測定条件と整合するソフト・共線領域の実光子放出を必ず加えます。

8.7.8 1ループ自己エネルギーと繰り込みの例

電子自己エネルギー $\Sigma (/p)$ は、質量と波動関数を繰り込みます。$\overline{\mathrm{MS}}$ では、1ループで、

$$\Sigma (/p)=\frac{\alpha }{4\pi }\left[\left(\frac{1}{ϵ}-{\gamma }_E+\ln 4\pi \right)(-/p+4m)+\cdots \right]$$

真空偏極、すなわち光子自己エネルギーのテンソル構造は、

$${\Pi }_{\mu \nu }(q)=\left(q_{\mu }{q}_{\nu }-q^2{g}_{\mu \nu }\right)\Pi (q^2)$$

ゲージ不変性は横方向の条件 $q^{\mu }{\Pi }_{\mu \nu }=0$ を要求します。質量 $m$ のフェルミオンによる1ループでは、

$$\Pi (q^2)=\frac{\alpha }{3\pi }\left(\frac{1}{ϵ}-{\gamma }_E+\ln 4\pi -\ln \frac{m^2}{{\mu }^2}\right)+\text{有限項}(q^2/m^2)$$

頂点補正 ${\Gamma }^{\mu }={\gamma }^{\mu }{F}_1(q^2)+\frac{i{\sigma }^{\mu \nu }{q}_{\nu }}{2m}{F}_2(q^2)$ は、異常磁気モーメント $a_e=F_2(0)$ を生み出します。

1ループでは、シュウィンガーの結果として、

$$a_e=\frac{\alpha }{2\pi }$$

高次のループはさらに小さな補正を加え、それらも精密実験で検証され続けています。

8.7.9 電磁結合定数の走行

真空偏極は光子の伝播を修正し、有効電荷をスケールに依存させます。次のように定義します。

$$\alpha (q^2)=\frac{\alpha ({\mu }^2)}{1-\Delta \alpha (q^2,{\mu }^2)}$$

電荷 $Q_f$、質量 $m_f$ のフェルミオンに対して、最低次では、

$$\Delta \alpha (q^2,{\mu }^2)=\frac{\alpha }{3\pi }{Q}_f^2\ln \left(\frac{q^2}{{\mu }^2}\right)+\cdots$$

そのスケールまでのすべての荷電粒子種を足し合わせると、$\alpha$ は緩やかに増加します。$q^2\approx 0$ での ${\alpha }^{-1}\approx 137$ から、$Z$ の極の近くでの ${\alpha }^{-1}\approx 128$ へと変わります。これらは目安の数値であり、詳細はハドロンの真空偏極に依存します。

8.7.10 偏極和、ゲージの選択、計算の確認

• 共変ゲージの内部光子には、完全な伝播関数を使います。ウォード恒等式により、観測量では $\xi$ が打ち消されます。
• 外部の実光子には、次の置き換えを使えます。

$$\sum _{\lambda }{ϵ}_{\mu }^{(\lambda )}(q){ϵ}_{\nu }^{(\lambda )\ast }(q)=-g_{\mu \nu }$$

ただし、結合する各カレントについて $q_{\mu }{\mathcal{M}}^{\mu }=0$ を示しておく必要があります。

• スピン和には、標準的なトレースの公式を使います。

$$\sum _s{u}^s(p){\bar{u}}^s(p)=/p+m,\sum _s{v}^s(p){\bar{v}}^s(p)=/p-m$$

8.7.11 短い計算例

(a) $e^{+}{e}^{-}\to {\mu }^{+}{\mu }^{-}$ のトレース計算 $\gamma$ 行列のトレースを用いて $\overline{|\mathcal{M}{|}^2}$ を評価し、$(1+{\cos }^2\theta )$ を確認してください。

(b) ソフト光子の因数分解 ソフト極限で $n\to m+{\gamma }_{\mathrm{soft}}$ の振幅が、次のように因数分解されることを示してください。

$${\mathcal{M}}_{\mathrm{soft}}={\mathcal{M}}_0\left[e\sum _{i\in \text{荷電した外線}}{\eta }_i\frac{p_i\cdot ϵ}{p_i\cdot q}\right]$$

ここで、出射・入射する電荷に対して ${\eta }_i=\pm 1$ です。

(c) 1ループの $a_e$ の計算の概略 $q^2\to 0$ で頂点の ${\sigma }^{\mu \nu }$ 成分を取り出し、ファインマンパラメーターを積分して $F_2(0)=\alpha /2\pi$ を求めてください。

(d) 真空偏極と $\alpha (q^2)$ $|q^2|\gg m^2$ の極限で $\Pi (q^2)$ を計算し、$\alpha$ の走行を表す主要な対数項を導いてください。

(e) コンプトン散乱の低エネルギー極限 $\omega \ll m$ について木のレベルの振幅を展開し、トムソン散乱の断面積を再現してください。

8.7.12 基本演習

• 質量ゼロの極限で、木のレベルのバーバー散乱の微分断面積を導いてください。$s\leftrightarrow t$ の対称性と小角での振る舞いを確認してください。
• 2つの図からクライン–仁科の公式を計算し、トムソン極限を示してください。
• NLO の $e^{+}{e}^{-}\to {\mu }^{+}{\mu }^{-}$ において、仮想補正とソフトな実放出の間で赤外正則化パラメーターが打ち消され、$\ln (E/\Delta E)$ が残ることを示してください。
• ウォード–高橋恒等式を用い、次元正則化で1ループの $Z_1=Z_2$ を証明してください。
• 繰り込まれた光子伝播関数から、トムソン極限と重いフェルミオンのしきい値付近の有効電荷を求め、デカップリングとマッチングの関係を論じてください。

8.8 対称性の自発的破れ：ゴールドストーン機構とヒッグス機構

方程式が持つ対称性を、基底状態がすべて保つとは限りません。この違いが対称性の自発的破れ（SSB）です。大域的な対称性の場合には、質量ゼロのゴールドストーン粒子が生まれます。ゲージ理論では、対応する自由度がゲージ場に吸収され、ヒッグス機構によってゲージ粒子が質量を得ます。この節では、大域的な $U(1)$ 対称性、可換ヒッグス模型、非可換な場合への一般化、電弱理論の概要を扱います。さらに、有効ポテンシャルと位相欠陥も紹介します。

8.8.1 「自発的」とは何か

ラグランジアンが連続対称性を持つ一方で、真空はその対称性を持ちません。対称変換で互いに結ばれる縮退した極小があり、その1つが真空として選ばれることで対称性が破れます。平坦な方向の励起はゴールドストーン粒子に、その方向に垂直な励起は質量を持つ粒子になります。

秩序変数とは、その真空期待値（vev）が対称変換の下で不変でない場、または複合演算子です。ここではその値を $v$ と書きます。

8.8.2 複素スカラー場の大域的 $U(1)$ 対称性：メキシカンハット型ポテンシャル

1つの複素スカラー場 $\varphi$ を考えます。大域的な $U(1)$ 対称性によって $\varphi \to e^{i\alpha }\varphi$ と変換し、ラグランジアンを次のように取ります。

$$\mathcal{L}={\partial }_{\mu }{\varphi }^{\ast }{\partial }^{\mu }\varphi -V(\varphi ),V(\varphi )=-{\mu }^2|\varphi {|}^2+\frac{\lambda }{2}|\varphi {|}^4,{\mu }^2>0,\lambda >0$$

極小は $|\varphi {|}^2=v^2/2$ を満たします。ここで、

$$v\equiv \sqrt{\frac{2{\mu }^2}{\lambda }}$$

真空を1つ選び、その周りで展開します。

$$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2}}[v+h(x)+i\pi (x)]$$

これを代入し、2次の項を残すと、

$${\mathcal{L}}_{\text{quad}}=\frac{1}{2}(\partial h{)}^2+\frac{1}{2}(\partial \pi {)}^2-\frac{1}{2}{m}_h^2{h}^2$$

ここで、

$$m_h^2=\lambda v^2,m_{\pi }^2=0$$

したがって、$h$ は質量を持つ動径方向のモード、$\pi$ は $U(1)\to \{\}$ の破れによって生じる質量ゼロのゴールドストーン粒子です。

8.8.3 ゴールドストーンの定理の要点

保存カレント $J_a^{\mu }$ と電荷 $Q_a$ を持つ連続的な大域対称性を考えます。ある局所演算子 $\mathcal{O}$ の真空期待値が対称変換に対して不変でなく、$⟨0|[Q_a,\mathcal{O}]|0⟩\ne 0$ なら、質量ゼロのスピン0モードが存在します。より一般に、リー群 $G$ が $H$ に破れる場合、ゴールドストーン粒子の数は破れた生成子の数に等しくなります。

$$N_{\text{GB}}=\dim G-\dim H$$

ローレンツ不変な真空を持つ相対論的な理論では、ゴールドストーン粒子は小さな運動量で線形の分散関係を持ちます。

8.8.4 可換ヒッグス機構：ゴールドストーン自由度の吸収

今度は $U(1)$ を、結合定数 $g$ でゲージ化します。${\partial }_{\mu }\to D_{\mu }={\partial }_{\mu }+ig{A}_{\mu }$ と置き換えます。

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }+|D_{\mu }\varphi {|}^2-\left(-{\mu }^2|\varphi {|}^2+\frac{\lambda }{2}|\varphi {|}^4\right)$$

同じ真空期待値の周りで展開します。ユニタリーゲージでは位相をゼロにして、次のように書きます。

$$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2}}[v+h(x)]$$

2次のラグランジアンには、次の項が含まれます。

$${\mathcal{L}}_{\text{quad}}\supset \frac{1}{2}(\partial h{)}^2-\frac{1}{2}{m}_h^2{h}^2+\frac{1}{2}{m}_A^2{A}_{\mu }{A}^{\mu }$$

質量は、

$$m_h^2=\lambda v^2,m_A^2=g^2{v}^2$$

自由度を数えて確認しましょう。

• 対称性の破れの前：複素スカラー場の実自由度 $=2$ と、質量ゼロのゲージ場の横偏極 $=2$ で、合計 $4$ です。
• 対称性の破れの後：実スカラー $h$ の自由度 $=1$ と、質量を持つベクトル $A_{\mu }$ の偏極 $=3$ で、合計 $4$ です。

ゴールドストーン自由度 $\pi$ は消えたのではなく、質量を持つゲージ粒子の縦偏極になったのです。

8.8.5 $R_{\xi }$ ゲージ、ゴールドストーン自由度、BRST 対称性

ユニタリーゲージでは、繰り込み可能性が見えにくくなります。共変な $R_{\xi }$ ゲージでは、次の項を加えます。

$${\mathcal{L}}_{\text{gf}}=-\frac{1}{2\xi }{\left({\partial }_{\mu }{A}^{\mu }-\xi gv\pi \right)}^2$$

ゴールドストーン自由度に対応する $\pi$ は、次の質量を持って伝播します。

$$m_{\pi }^2=\xi m_A^2$$

ファデエフ–ポポフのゴーストも、$\xi$ に依存する質量を得ます。物理的な観測量は $\xi$ に依存しません。必要な打ち消しを保証するのが BRST 対称性です。

8.8.6 非可換ヒッグス機構：$G\to H$

$\varphi$ が非可換群 $G$ のある表現に従って変換するとします。ポテンシャルの極小が $G$ を部分群 $H$ へ破るように選びます。共変微分を $D_{\mu }={\partial }_{\mu }+ig{A}_{\mu }^a{T}^a$ と書くと、真空期待値 $⟨\varphi ⟩$ の周りでの展開から、ゲージ粒子の質量行列が得られます。

$$(M^2{)}^{ab}\propto g^2⟨\varphi {⟩}^{†}\{T^a,T^b\}⟨\varphi ⟩$$

破れた生成子に対応するゲージ粒子は質量を獲得し、対応するゴールドストーン自由度を吸収します。破れていない生成子に対応するゲージ粒子は質量ゼロのままで、残るゲージ群 $H$ を生成します。

8.8.7 電弱理論の概要：$SU(2{)}_L\times U(1{)}_Y\to U(1{)}_{\text{em}}$

超電荷 $Y=1/2$ を持つ複素スカラー二重項 $H$ と、ポテンシャル $V=-{\mu }^2{H}^{†}H+\lambda (H^{†}H{)}^2$ を考えます。次の真空期待値を取ると、

$$⟨H⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}0\\ v\end{array}\right),v\approx 246\text{GeV}$$

ゲージ粒子の質量は、

$$m_W=\frac{gv}{2},m_Z=\frac{\sqrt{g^2+g^{\prime 2}}v}{2},m_{\gamma }=0$$

物理的なスカラー粒子 $h$ の質量は、

$$m_h^2=2\lambda v^2$$

湯川結合 ${\mathcal{L}}_Y=-y_f{\bar{f}}_{L}H{f}_R+\text{h.c.}$ は、フェルミオンの質量を生み出します。

$$m_f=\frac{y_{f}v}{\sqrt{2}}$$

このため、$h$ への結合は質量に比例します。重い粒子ほどヒッグス粒子に強く結合するのは、このためです。

8.8.8 有効ポテンシャルと量子補正による対称性の破れ

量子補正を含めたポテンシャルが有効ポテンシャル $V_{\text{eff}}(\varphi )$ です。その極小が真の真空を決めます。

$$e^{i\int d^{4}x\left[-V_{\text{eff}}({\varphi }_c)\right]}\sim \int \mathcal{D}\phi \exp \left\{iS[{\varphi }_c+\phi ]\right\}$$

$\overline{\text{MS}}$ での1ループの形を概略的に書くと、

$$V_{\text{eff}}^{(1)}(\varphi )=\sum _i\frac{n_i}{64{\pi }^2}{M}_i^4(\varphi )\left[\ln \left(\frac{M_i^2(\varphi )}{{\mu }^2}\right)-c_i\right]$$

ここで $M_i(\varphi )$ は場の値に依存する質量で、$n_i$ は自由度を数える係数です。フェルミオンには符号が付きます。木のレベルで ${\mu }^2=0$ であっても、量子補正によって対称性の自発的破れが誘起されることがあります。これがコールマン–ワインバーグ機構です。

8.8.9 位相欠陥：真空の空間に穴があるとき

真空多様体 $\mathcal{M}=G/H$ は、非自明な位相構造を持つことがあります。生じる欠陥は、そのホモトピー群に依存します。

• ${\pi }_0(\mathcal{M})\ne 0$ → 離散対称性の破れによるドメインウォール。
• ${\pi }_1(\mathcal{M})\ne 0$ → ひも状欠陥。大域的な $U(1)$ では大域的ストリング、ゲージ化した $U(1)$ ではアブリコソフ–ニールセン–オレセン渦が生じます。
• ${\pi }_2(\mathcal{M})\ne 0$ → 適切な非可換対称性の破れでは単極子が生じます。

これらは物性系や宇宙論に現れ、観測可能な痕跡を残すことがあります。

8.8.10 短い計算例

(a) 可換ヒッグス模型の質量スペクトル

$\varphi =(v+h+i\pi )/\sqrt{2}$ として $|D\varphi {|}^2$ から出発してください。運動項を展開し、$A_{\mu }$ に $\frac{1}{2}{g}^2{v}^2{A}_{\mu }{A}^{\mu }$ が生じることを示してください。さらに、$R_{\xi }$ のゲージ固定によって $A_{\mu }{\partial }^{\mu }\pi$ の混合項が消え、$m_A^2=g^2{v}^2$ と $m_{\pi }^2=\xi m_A^2$ が残ることを確認してください。

(b) $O(N)\to O(N-1)$ のゴールドストーン粒子の数え上げ

実 $N$ 成分ベクトル $\mathbf{\varphi }$ と $V=-\frac{1}{2}{\mu }^2{\mathbf{\varphi }}^2+\frac{\lambda }{4}({\mathbf{\varphi }}^2{)}^2$ に対して、$G/H=O(N)/O(N-1)\cong S^{N-1}$ が得られます。破れた生成子に対応する $N-1$ 個のゴールドストーン粒子と、$m_h^2=2\lambda v^2$ を満たす1つの質量を持つ動径モードが生じます。

(c) 真空期待値から生じる湯川質量

$⟨\varphi ⟩=v/\sqrt{2}$ を満たす複素スカラー場に対して $-y{\bar{\psi }}_L\varphi {\psi }_R+\text{h.c.}$ が与えられたとき、フェルミオンの質量が $m=yv/\sqrt{2}$、湯川パラメーターが $y=\sqrt{2}m/v$ であり、物理的なヒッグス結合の係数は $y/\sqrt{2}=m/v$ になることを示してください。

(d) 非可換な質量行列

表現 $R$ に属する $\varphi$ について $(M^2{)}^{ab}\propto g^2⟨\varphi {⟩}^{†}{T}^{\{a}{T}^{b\}}⟨\varphi ⟩$ を導いてください。簡単な $SU(2)\to \{\}$ の例で対角化し、縮退した3つの質量を持つゲージ粒子を求めてください。

(e) 1ループの $V_{\text{eff}}$ の停留条件

大域的な $U(1)$ に対して、簡単なスペクトル $M_h^2(\varphi )=3\lambda {\varphi }^2-{\mu }^2$、$M_{\pi }^2(\varphi )=\lambda {\varphi }^2-{\mu }^2$ を考えてください。停留条件 $d{V}_{\text{eff}}/d\varphi =0$ を書き、$\mu \sim \varphi$ と選ぶことで走行結合定数を使って計算を改善する方法を論じてください。

8.8.11 基本演習

• ローレンツ不変な真空を持つ相対論的な理論で、ゴールドストーン粒子の数 $N_{\text{GB}}=\dim G-\dim H$ を証明してください。
• $R_{\xi }$ ゲージで可換ヒッグス模型の質量スペクトルを導き、極質量が $\xi$ に依存しないことを確認してください。
• ヒッグス二重項が1つの $SU(2{)}_L\times U(1{)}_Y$ 理論について、$m_W$、$m_Z$、および弱混合角の関係 $\cos {\theta }_W=m_W/m_Z$ を導いてください。
• 高エネルギーでの散乱振幅 $W_L{W}_L\to W_L{W}_L$ を計算し、ヒッグス交換が $s$ に伴う増大を抑える仕組みを示してください。
• 大域的な $U(1)$ 模型のネーターカレントを構成し、ゴールドストーン粒子が微分を通じて結合するため、低エネルギー振幅が抑制されることを示してください。

8.9 量子色力学（QCD）：色、パートン、閉じ込め

QCD は、クォークとグルーオンを記述する非可換な $SU(3{)}_{\text{color}}$ ゲージ理論です。短距離では結合が弱くなる漸近的自由性を示し、長距離では強い結合と閉じ込めが現れます。衝突型加速器で散乱する自由度はパートンであり、実際に検出するのはハドロンです。両者をつなぐのが、因子化、結合定数の走行、そして対称性です。

8.9.1 ラグランジアン、場、色の代数

$SU(3)$ の基本表現に属する $n_f$ フレーバーのクォーク ${\psi }_f$ と、随伴表現のグルーオン $A_{\mu }^a$ を含む QCD のラグランジアンは、

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{QCD}}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }^a{F}^{a\mu \nu }+\sum _{f=1}^{n_f}{\bar{\psi }}_f(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }-m_f){\psi }_f$$

共変微分と場の強度は、

$$D_{\mu }={\partial }_{\mu }+ig{A}_{\mu }^a{T}^a,F_{\mu \nu }^a={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^a-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }^a+g{f}^{abc}{A}_{\mu }^b{A}_{\nu }^c$$

$SU(3)$ の色因子は、

$$C_A=3,C_F=\frac{4}{3},T_R=\frac{1}{2}$$

これらの定数は、振幅、分裂関数、$\beta$ 関数で重要な役割を果たします。

8.9.2 漸近的自由性と走行結合定数

1ループの QCD の $\beta$ 関数は、

$$\beta (g)\equiv \mu \frac{dg}{d\mu }=-\frac{g^3}{16{\pi }^2}\left(\frac{11}{3}{C}_A-\frac{4}{3}{T}_R{n}_f\right)+\cdots$$

$SU(3)$ では $\beta (g)=-(g^3/16{\pi }^2)(11-2n_f/3)$ となり、物理的な $n_f$ に対して負です。${\alpha }_s\equiv g^2/4\pi$ を用いると、

$${\alpha }_s(\mu )=\frac{4\pi }{{\beta }_0\ln ({\mu }^2/{\Lambda }_{\mathrm{QCD}}^2)},{\beta }_0=11-\frac{2}{3}{n}_f$$

高い $\mu$ では結合が小さくなり、紫外側で漸近的自由性が現れます。一方、${\Lambda }_{\mathrm{QCD}}$ 付近では結合が強くなります。重いクォークのしきい値を越える際には、$n_f$ のマッチングを行います。

8.9.3 閉じ込め、フラックスチューブ、ハドロン化

非摂動的な QCD では色が閉じ込められると考えられ、孤立したクォークやグルーオンは観測されません。その直感的な描像は次のとおりです。

• 非可換な場の力線は自己相互作用し、束となってフラックスチューブを形成します。ひもを長くするにはエネルギー $\propto r$ が必要で、やがてクォーク–反クォーク対を生成して切れます。
• 格子上で求めた静的クォークポテンシャルは、次のコーネル型に近い形をしています。

$$V(r)\simeq -\frac{4{\alpha }_s}{3r}+\kappa r$$

短距離ではクーロン型、長距離では線形に増加します。高エネルギー事象では、閉じ込めはジェットとして現れます。これは、元のパートンの方向を反映した、狭い角度に集まる粒子の束です。

8.9.4 カイラル対称性とその破れ

軽い $u,d,s$ クォークと $m_q\ll {\Lambda }_{\mathrm{QCD}}$ に対し、古典的なラグランジアンは次の近似的な大域対称性を持ちます。

$$SU(N_f{)}_L\times SU(N_f{)}_R\to SU(N_f{)}_V$$

この対称性は、クォーク凝縮 $⟨\bar{q}q⟩$ によって自発的に破れます。生じるゴールドストーン粒子は軽い擬スカラー粒子です。クォーク質量による明示的な破れのため、これらは擬ゴールドストーン粒子になります。ゲルマン–オークス–レナーの関係は、

$$f_{\pi }^2{m}_{\pi }^2\simeq -(m_u+m_d)⟨\bar{q}q⟩$$

軸性の $U(1{)}_A$ 対称性は、アノマリーによって破れます。

$${\partial }_{\mu }{J}_5^{\mu }=\frac{n_f{g}^2}{16{\pi }^2}{F}_{\mu \nu }^a{\tilde{F}}^{a\mu \nu }$$

その結果、${\eta }^{\prime }$ はパイ中間子よりずっと重くなります。

8.9.5 深非弾性散乱とパートン

レプトンは、大きな運動量移行 $Q^2=-q^2$ によってハドロンの内部を調べます。最低次のビョルケン・スケーリングでは、電子はほぼ自由なスピン $\frac{1}{2}$ のパートンを見ます。構造関数 $F_1(x,Q^2)$ と $F_2(x,Q^2)$ はビョルケン変数 $x=Q^2/(2P\cdot q)$ に依存します。スピン $\frac{1}{2}$ のパートンでは、最低次にカラン–グロスの関係が成り立ちます。

$$F_2(x,Q^2)=2x{F}_1(x,Q^2)$$

スケーリングの破れは QCD の放射から生じ、DGLAP 発展方程式によって予測されます。

$$\mu \frac{\partial f_i(x,\mu )}{\partial \mu }=\sum _j{\int }_x^1\frac{dz}{z}{P}_{ij}\left(z,{\alpha }_s(\mu )\right)f_j\left(\frac{x}{z},\mu \right)$$

ここで $f_i$ はパートン分布関数（PDF）、$P_{ij}$ は $C_F,C_A,T_R$ から作られる分裂核です。

8.9.6 因子化：ハドロンの反応をパートンで記述する

スケール $Q\gg {\Lambda }_{\mathrm{QCD}}$ の硬い過程は、普遍的な長距離の部分と、摂動的に計算できる短距離の核に因子化されます。

$${\sigma }_{AB\to X}(Q)=\sum _{i,j}{\int }_0^{1}d{x}_{a}d{x}_b{f}_{i/A}(x_a,\mu )f_{j/B}(x_b,\mu ){\hat{\sigma }}_{ij\to X}(\hat{s},Q,\mu )+\mathcal{O}{\left(\frac{{\Lambda }_{\mathrm{QCD}}}{Q}\right)}^p$$

終状態のハドロンは、破砕関数 $D_{h/k}(z,\mu )$ で記述します。これも DGLAP 方程式で発展します。物理的な予測は、計算していない高次の寄与を除けば、非物理的なスケール $\mu$ に依存しません。

8.9.7 ジェットの物理とソフト・共線構造

クォークとグルーオンは、低エネルギーで元の粒子と平行に近い量子を放射しやすく、スダコフ対数を生みます。意味のある観測量を得るには、赤外・共線安全性が必要です。実際の計算では、次の点が重要です。

• 赤外・共線安全なジェットアルゴリズム、例えば $k_T$ や anti-$k_T$ を使います。
• 運動量空間での繰り込み群法や有効理論を使い、ソフト・共線因子化によって大きな対数を再総和します。
• 放射のパターンは色因子に支配されます。グルーオンジェットがクォークジェットより広がりやすいことは、$C_A/C_F$ に関係します。

8.9.8 重いクォークとクォーコニウム

$m_Q\gg {\Lambda }_{\mathrm{QCD}}$ のとき、短距離での生成は摂動的に扱えます。一方、束縛は非摂動的ですが、非相対論的に扱えます。上に挙げたコーネル型ポテンシャルは、簡単な模型としてよく機能します。重いクォークの有効理論（HQET）や非相対論的 QCD（NRQCD）は、$1/m_Q$ またはクォークの速度で展開し、スケールを分離します。

8.9.9 格子 QCD：ユークリッド経路積分による計算

ユークリッド時間へ回転し、格子間隔 $a$ で時空を離散化して、次の積分を評価します。

$$Z_E=\int \mathcal{D}U\mathcal{D}\bar{\psi }\mathcal{D}\psi \exp \left[-S_E[U,\bar{\psi },\psi ]\right]$$

ゲージ場はリンク $U=\exp (iagA)$ 上に置き、フェルミオンには適切な離散化を施します。$a\to 0$、大体積、物理的なクォーク質量へ外挿します。こうして、ハドロンのスペクトル、行列要素、静的ポテンシャルなどが得られます。

8.9.10 アノマリー、位相的性質、$\theta$

非自明なゲージ束があると、CP に対して奇な真空角を導入できます。

$${\mathcal{L}}_{\theta }=\theta \frac{g^2}{32{\pi }^2}{F}_{\mu \nu }^a{\tilde{F}}^{a\mu \nu }$$

インスタントンという位相的な配位は、巻き数で区別される真空を結び、軸性アノマリーに関わります。強い相互作用の $CP$ の破れがなぜ小さいのかは未解決の問題で、アクシオン模型の動機となっています。ただし、ここまで述べた QCD の基本的な力学は、それとは独立に成り立ちます。

8.9.11 短い計算例

(a) ${\alpha }_s$ の1ループの走行。 $d{\alpha }_s/d\ln \mu =-{\beta }_0{\alpha }_s^2/(2\pi )$ を解いて対数の逆数の形を導き、$\mu \sim {\Lambda }_{\mathrm{QCD}}$ におけるランダウ極に似た赤外側での増大を確認してください。

(b) パートン模型から導くカラン–グロスの関係。 自由なスピン $\frac{1}{2}$ のパートンによる散乱を仮定して $F_2=2x{F}_1$ を導き、DGLAP 発展を通じてグルーオン放射が厳密なスケーリングを破る仕組みを論じてください。

(c) $qq\to qq$ の色因子。 $t$ チャネルのグルーオン交換の色の代数を計算し、終状態の色を足し、初期状態の色を平均した $|\mathcal{M}{|}^2$ に、このチャネルの色因子 $T_R^2(N_c^2-1)/N_c^2$ が現れることを示してください。同じフレーバーの場合は、別のチャネルとその干渉も必要です。

(d) ソフト・共線分裂。 クォーク $\to$ クォーク＋グルーオンの分裂確率から、最低次の核を導いてください。

$$P_{qq}(z)=C_F{\left[\frac{1+z^2}{1-z}\right]}_{+}$$

また、「プラス」処方が赤外安全な減算を表すことを説明してください。

(e) GMOR のスケーリング。 カイラル摂動論の次数の数え上げを用い、最低次では $m_{\pi }^2$ が軽いクォークの平均質量に比例することを示してください。

8.9.12 基本演習

• 1ループの QCD の $\beta$ 関数を導き、QED と比べて符号が逆になる理由を説明してください。
• 因子化から出発し、PDF とパートン過程 $q\bar{q}\to {\gamma }^{\ast }$ の核を用いて、ドレル–ヤン生成の最低次のハドロン断面積を計算してください。
• 簡単な PDF $f(x,{\mu }_0)=x^a(1-x{)}^b$ を、$P_{qq}$ 核を用いて $\ln \mu$ について1段階発展させ、小さい $x$ と大きい $x$ での振る舞いを論じてください。
• 最低次で、グルーオンジェットの広がりがクォークジェットより大きくなることを比 $C_A/C_F$ と結び付け、粒子多重度のスケーリングとの関係を説明してください。
• コーネル型ポテンシャルを使い、重いクォーコニウムの基底状態のボーア半径を見積もってください。クーロン型の描像が自己無撞着になる条件も論じてください。

8.10 アノマリーと位相的性質：量子力学が古典的な対称性を破るとき

量子化の後にも残る対称性と、残らない対称性があります。古典的なラグランジアンの対称性が量子論では成り立たず、通常は保存カレントの発散がゼロでなくなる形で現れるとき、その対称性にはアノマリーがあるといいます。アノマリーは単なる計算上の不具合ではなく、理論への深い制約です。ゲージアノマリーは打ち消されなければ理論が不整合になります。大域対称性のアノマリーは物理的に許され、${\pi }^0\to \gamma \gamma$ のような過程を予測したり、トフーフトのマッチング条件を通じて赤外の力学を制約したりします。$F\tilde{F}$、インスタントン、チャーン–サイモンズ形式を通じて、位相的な性質が中心的な役割を果たします。

8.10.1 アノマリーとは何か

古典的なネーターカレント $J^{\mu }$ は ${\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=0$ を満たします。しかし量子論では、この関係が次のように破れることがあります。

$${\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=\mathcal{A}$$

ここで $\mathcal{A}$ は、紫外側のデータと対称性によって決まる局所演算子です。$J^{\mu }$ がゲージ場に結合している場合、$\mathcal{A}\ne 0$ はゲージ不変性とユニタリー性を損ないます。$J^{\mu }$ が大域対称性のカレントなら、$\mathcal{A}$ は許され、測定可能な効果を持つこともあります。

8.10.2 QED の軸性アノマリー（ABJ）：三角形図の効果

QED の質量ゼロのディラックフェルミオンでは、古典的な軸性カレント $J_5^{\mu }=\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^5\psi$ は保存されます。しかし、1ループの三角形図から、次の結果が得られます。

$${\partial }_{\mu }{J}_5^{\mu }=\frac{e^2}{8{\pi }^2}{F}_{\mu \nu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }$$

ここで双対場の強度は、

$${\tilde{F}}^{\mu \nu }\equiv \frac{1}{2}{ϵ}^{\mu \nu \rho \sigma }{F}_{\rho \sigma }$$

質量を持つフェルミオンでは、右辺に古典的な項 $2im\bar{\psi }{\gamma }^5\psi$ を加えます。このアノマリーは、クォークの軸性カレントを通じて、測定された ${\pi }^0\to \gamma \gamma$ の崩壊率を説明します。

8.10.3 藤川の経路積分による導出：鍵は積分測度にある

カイラル回転 $\psi \to e^{i\alpha {\gamma }^5}\psi$、$\bar{\psi }\to \bar{\psi }{e}^{i\alpha {\gamma }^5}$ を考えます。作用の変化は表面項になりますが、汎関数積分の測度にはヤコビアンが生じます。

$$\mathcal{D}\bar{\psi }\mathcal{D}\psi \to \mathcal{D}\bar{\psi }\mathcal{D}\psi \exp \left[i\int d^{4}x\alpha (x)\frac{e^2}{8{\pi }^2}{F}_{\mu \nu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }\right]$$

これは $\mathrm{Tr}{\gamma }^5\exp (-/D^2/{\Lambda }^2)$ を正則化して得られます。同じ ABJ の結果を再現し、非可換な場合にも一般化できます。

8.10.4 非可換なカイラルアノマリーと整合性

ゲージ群の表現 $R$ に属する1個の質量ゼロのディラック場 $\psi$ について、一重項の軸性カレントのアノマリーは次の形になる。

$${\partial }_{\mu }{J}_5^{\mu }\supset \frac{g^2}{8{\pi }^2}{\mathrm{tr}}_R\left(F_{\mu \nu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }\right)$$

ここでは $F_{\mu \nu }=F_{\mu \nu }^a{T}^a$ なので、係数は ${\mathrm{tr}}_R(T^a{T}^b)=T_R{\delta }^{ab}$ を通じて 2次の指数 に依存する。一方、カイラルなゲージアノマリーには 3次のトレース ${\mathrm{tr}}_R(T^a\{T^b,T^c\})$ が現れ、カイラルフェルミオンについて符号付きで足した寄与はゼロでなければならない。ウェス–ズミノ整合条件は、異なるゲージカレントのアノマリー間の整合性を制約する。

8.10.5 ゲージアノマリーの相殺：標準模型が整合する理由

4次元では、次のアノマリーを打ち消す必要があります。

• 純粋な非可換アノマリー $[G{]}^3$。
• 混合アノマリー $[G{]}^2-U(1)$。
• 可換アノマリー $[U(1){]}^3$。
• ゲージ場と重力の混合アノマリー $[\text{grav}{]}^2-U(1)$。

標準模型の1世代の超電荷は $\sum Y=\sum Y^3=0$ を満たし、色の因子も含めると $SU(3{)}^2-U(1)$ と $SU(2{)}^2-U(1)$ がゼロになります。また、二重項では $[SU(2){]}^3$ が自動的に打ち消されます。その結果、ゲージアノマリーは相殺され、理論は整合的になります。

8.10.6 トフーフトのアノマリー・マッチング：紫外の情報は赤外にも残る

大域対称性が紫外側でゼロでないアノマリーを持つなら、赤外側の記述も同じアノマリーを再現しなければなりません。位相的な自由度がそのアノマリーを担わない限り、自明で対称性を保ったギャップのある理論へは流れません。これは、可能な閉じ込めや対称性の破れのパターンを制約し、ある種の双対性を支持する重要な根拠となります。

8.10.7 インスタントン、位相的性質、$\theta$ 項

ユークリッド時空の $SU(N)$ ゲージ理論では、有限な作用を持つ配位は次の整数で分類されます。

$$Q\equiv \frac{1}{32{\pi }^2}\int d^{4}x\mathrm{tr}\left(F_{\mu \nu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }\right)$$

インスタントンは $Q=\pm 1,\pm 2,\dots$ を満たし、異なるチャーン–サイモンズ数の真空をつなぎます。CP に対して奇な項は、

$${\mathcal{L}}_{\theta }=\theta \frac{g^2}{32{\pi }^2}\mathrm{tr}(F_{\mu \nu }{\tilde{F}}^{\mu \nu })$$

運動方程式を変えませんが、真空に影響し、$CP$ を破ります。強い相互作用における $CP$ の破れが小さいことは $\theta$ 問題と呼ばれ、アクシオンを考える動機となっています。

アティヤ–シンガーの指数定理は、位相的な性質をディラック演算子のゼロモードと結び付けます。

$$n_{+}-n_{-}=Q$$

これは、軸性アノマリーの非摂動的な起源、$U(1{)}_A$ 問題、カイラリティーを破る過程の選択則の基礎にあります。

8.10.8 スファレロンとアノマリーによる $B+L$ の破れ

有限温度の電弱理論では、スファレロンを経由して障壁を越える遷移がチャーン–サイモンズ数を変えます。この過程は、$B-L$ を保存しながらバリオン数とレプトン数を破ります。位相数が1だけ変化するときの正味の変化は、

$$\Delta B=\Delta L=N_g$$

ここで $N_g$ はフェルミオンの世代数で、チャーン–サイモンズ数が正に1だけ変化する場合を示しています。各世代から、バリオン数がそれぞれ3分の1の3色のクォークと、レプトン数が1のレプトンが寄与します。したがって3世代ではバリオン数とレプトン数がそれぞれ3変化し、逆向きの遷移では両者の符号が反転します。この関係は、アノマリーと初期宇宙のバリオン数生成のシナリオを結び付けます。

8.10.9 チャーン–サイモンズ形式、アノマリー流入、パリティーアノマリー

微分形式の言葉では、

$$d{\mathrm{CS}}_3(A)=\mathrm{tr}F\wedge F$$

ここで、

$${\mathrm{CS}}_3(A)=\mathrm{tr}\left(A\wedge dA+\frac{2ig}{3}A\wedge A\wedge A\right)$$

境界をバルクのチャーン–サイモンズ項に結合すると、アノマリー流入が生じます。境界のアノマリーによる変化がバルクの寄与で打ち消され、全体のゲージ不変性が保たれます。奇数次元では、フェルミオンを積分消去するとチャーン–サイモンズ項が誘起されることがあります。そのレベルの量子化は、大きなゲージ変換に関する整合性に必要です。これとパリティー対称性を同時に保てない問題が、パリティーアノマリーです。

8.10.10 ウェス–ズミノ–ウィッテン項と ${\pi }^0\to \gamma \gamma$

紫外側のアノマリーは、赤外側の特定の演算子として現れます。カイラル・ラグランジアンのウェス–ズミノ–ウィッテン（WZW）項はアノマリーによって決まり、$N_c$ に比例する整数の係数を持ちます。${\pi }^0\to \gamma \gamma$ の振幅は、

$$\mathcal{A}({\pi }^0\to \gamma \gamma )=\frac{\alpha N_c}{3\pi f_{\pi }}{ϵ}^{\mu \nu \rho \sigma }{ϵ}_{\mu }{q}_{\nu }{ϵ}_{\rho }^{\prime }{q}_{\sigma }^{\prime }$$

これから崩壊幅が得られます。

$$\Gamma ({\pi }^0\to \gamma \gamma )=\frac{{\alpha }^2{m}_{\pi }^3}{64{\pi }^3{f}_{\pi }^2}$$

これは実験とよく一致します。アノマリーが、具体的な数値の予測につながる例です。

8.10.11 ゲージ場と重力の混合アノマリー、純粋な重力アノマリー

カイラルな物質には、次の混合アノマリーが生じることがあります。

$${\partial }_{\mu }{J}^{\mu }\supset \frac{1}{384{\pi }^2}{ϵ}^{\mu \nu \rho \sigma }{R}^{\alpha }{}_{\beta \mu \nu }{R}^{\beta }{}_{\alpha \rho \sigma }$$

また、偶数次元のある種の理論には純粋な重力アノマリーがあり、整合性のために打ち消す必要があります。弦理論のコンパクト化では、これらの制約が許されるスペクトルを選びます。物性系の境界では、高次元のバルクからの流入がアノマリーを相殺します。

8.10.12 短い計算例

(a) ループ運動量の割り当てと ABJ 三角形図 曖昧さを持つ線形発散の積分を正則化し、ベクトルカレントのウォード恒等式を保つと、軸性アノマリーの係数が $e^2/8{\pi }^2$ に決まることを示してください。

(b) 藤川のトレース $1/\Lambda$ の最低次まで $\mathrm{Tr}{\gamma }^5\exp (-/D^2/{\Lambda }^2)$ を計算し、$F\tilde{F}$ を取り出してください。

(c) 無限遠の純ゲージから求めるインスタントン数 有限作用の場では空間の無限遠で $A_{\mu }\to U^{-1}{\partial }_{\mu }U/g$ となり、$Q$ が $U:S^3\to SU(2)$ の巻き数を測ることを示してください。

(d) 標準模型のアノマリーの確認 1世代について、クォークの色の多重度を含めて $\sum Y=0$、$\sum Y^3=0$ を確認し、$SU(2{)}^2-U(1)$ と $SU(3{)}^2-U(1)$ のアノマリーが消えることを示してください。

(e) WZW 項から求める ${\pi }^0\to \gamma \gamma$ WZW 項から出発して ${\pi }^{0}F\tilde{F}$ の結合を導き、上の崩壊幅を再現してください。

8.10.13 基本演習

• 表現 $R$ に属するディラックフェルミオンの一重項軸性アノマリーの係数を導き、群論因子を ${\mathrm{tr}}_R(T^a{T}^b)$ で表してください。カイラルなゲージアノマリーとの違いも説明してください。
• トフーフトのアノマリー・マッチングを使い、$N_f$ フレーバーを持つ簡単な $SU(N)$ ゲージ理論の赤外側を、カイラルな大域対称性の下で制約してください。
• 電弱理論の $B+L$ カレントの発散が $\mathrm{tr}{W}_{\mu \nu }{\tilde{W}}^{\mu \nu }$ に比例することを示し、$\Delta (B+L)$ の選択則を求めてください。
• バルクの $\theta \int \mathrm{tr}F\wedge F$ を変分し、境界カレントの非保存と対応させることで、アノマリー流入を示してください。
• $2+1$ 次元で、$U(1)$ に結合した重いディラックフェルミオンを積分消去し、誘起されるチャーン–サイモンズのレベルが $\frac{1}{2}\mathrm{sign}(m)$ となることを示してください。さらに、大きなゲージ変換に対する不変性が、全体のレベルを量子化する理由を説明してください。