群・リー代数・ゲージ理論

8.1 目標と学習の道筋

$S U (3)_{c} \times S U (2)_{L} \times U (1)_{Y}$ という式は、それが何をするのかを知って初めて役立ちます。この式は連続的な内部変換を指定し、場がどのように変換できるかを示し、相互作用を組織する代数を与えます。ただし、それだけですべての粒子、結合定数、真空の力学まで決まるわけではありません。ここでの目標は、この式を数学的な操作を簡潔にまとめた指示書として読めるようになることです。

その指示書を五段階で組み立てます。可逆な操作は群をなし、行列はベクトルへの作用を実現します。連続群を微分するとリー代数が得られ、表現はどのベクトルが変換されるかを指定します。そして、時空の隣り合う点で変換を比較すると、ゲージ接続が必要になります。その曲率がゲージ場の強さです。

前提とするのは行列の積、複素数、微分、量子力学の基礎です。終盤の三分の一では、場と特殊相対論に慣れていると理解が進みます。群論や微分幾何学の予備知識は不要です。8.2〜8.6節で用語を整え、8.7〜8.11節で数学的な道具を作り、8.12〜8.15節でゲージ理論を構成し、8.16〜8.18節で標準模型を組み立てます。例題は議論の一部です。8.19節の演習では、主要な考え方をもう一度たどります。

多様体、接続、曲率を広く学ぶには、微分幾何学の Curiosityを参照してください。本編の場の量子論の章では、この導入を越えて量子化、相互作用、アノマリー、ヒッグス機構を扱います。この記事は第8 Curiosityであり、本編の物理学の第8章とは別の記事です。

計算の際に確認したい規約

ベクトルは列ベクトルとし、積 $g h$ では $h$ が先に作用します。 $I$ は単位行列、 $e$ は電磁結合定数と明記した場合を除いて群の単位元です。ダガーは共役転置を表します。リー代数の添字が繰り返された場合は和を取るものとします。時空の添字は $μ, ν = 0, 1, 2, 3$ です。

量子場には自然単位系 $ℏ = c = 1$ とミンコフスキー計量の符号 $(+, -, -, -)$ を使います。内部生成子 $t_{a}$ はエルミートで、 $S U (N)$ の定義表現では

[t_{a}, t_{b}] = i f_{ab}^{c} t_{c}, tr (t_{a} t_{b}) = \frac{1}{2} δ_{ab}

とします。トレースの規格化は選択であり、あらゆる表現に適用される公理ではありません。ゲージに関する規約は

ψ^{'} = U ψ, D_{μ} = \partial_{μ} - i g A_{μ}, [D_{μ}, D_{ν}] = - i g F_{μν} .

です。途中で符号を切り替えず、この規約から帰結を導きます。ハイパーチャージは $Q = T_{3} + Y$ で定義します。 $Q = T_{3} + Y /2$ を使う文献では、ここでの $Y$ の2倍をハイパーチャージと呼んでいます。式を比較するときは、これらの規約を一組としてそろえる必要があります。

8.2 群とは何か

群とは、集合 $G$ と二項演算の組です。二項演算とは、 $G$ の各組 $g, h$ に対して $G$ の元 $g h$ を対応させる規則です。可逆な操作の合成に必要な性質は、次の四条件にまとめられます。

閉性： 許された二つの操作を合成すると、やはり許された操作になる。
結合律： $(g h) k = g (hk)$ 。括弧の位置を変えても結果は変わらないが、順序を変えてよいとは限らない。
単位元： $e g = g e = g$ を満たす元 $e$ が存在する。
逆元： 各 $g$ に対して、 $g^{- 1} g = g g^{- 1} = e$ を満たす元 $g^{- 1}$ が存在する。

演算は数の掛け算である必要はありません。整数の足し算では単位元は $0$ 、 $n$ の逆元は $- n$ です。したがって $(Z, +)$ は群です。非負整数の集合は、正の整数の加法逆元が集合内に存在しないため、足し算について群になりません。ゼロでない実数は掛け算について群をなしますが、実数全体はそうではありません。 $0$ に乗法逆元がないからです。

すべての組について $g h = h g$ が成り立つ群を**可換群（アーベル群）**といいます。整数の足し算は可換ですが、空間回転の合成は一般には可換ではありません。非可換性とは、途中の操作によって次の操作が作用する状況が変わることです。合成に矛盾があるという意味ではありません。

例題1：五つの位置をもつ時計

$Z_{5}$ を剰余類 $0, 1, 2, 3, 4$ の集合とし、 $5$ を法とする足し算を考えます。このとき

3 + 4 = 2 (mod 5), - 3 = 2 (mod 5) .

です。元 $1$ を繰り返し足すと五つの位置すべてを訪れるので、この元は群全体を生成します。同じ巡回群を、 $r^{5} = e$ を満たす $C_{5} = {e, r, r^{2}, r^{3}, r^{4}}$ と書いてもかまいません。この群の位数、すなわち元の個数は五です。一方、連続群の実パラメーターの個数は次元と呼びます。位数と次元は別の概念です。

結合律があれば、可換性を仮定せずに方程式を解けます。 $gx = h$ の左から $g^{- 1}$ を掛けると、 $x = g^{- 1} h$ を得ます。一般には、反対側から掛けても正しい答えにはなりません。同様に

(g h)^{- 1} = h^{- 1} g^{- 1},

です。一連の操作を元に戻すには、最後の操作から先に取り消す必要があるからです。この単純な恒等式は、行列の計算やゲージ変換でも再び現れます。

部分群とは、同じ演算についてそれ自体が群となる部分集合です。たとえば5の倍数は $(Z, +)$ の部分群をなします。準同型写像は積を保つ写像、すなわち $ρ (g h) = ρ (g) ρ (h)$ を満たす写像です。単位元と逆元も自動的に保たれます。この写像が全単射なら同型写像と呼び、二つの表示が同じ抽象的な群構造をもつことを表します。

理解の確認。 結合律は $g h = h g$ を主張していません。三つの操作の実行結果が、計算を整理する括弧の位置によらないというだけです。

8.3 対称性の作用：三角形を実験室にする

抽象的な群には、変換される具体的な対象が最初から付いているとは限りません。群の作用がその対象を与えます。集合 $X$ に対して、 $e \cdot x = x$ と $(g h) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)$ を満たすように $g \cdot x$ を対応させます。同じ群でも、位置、関数、量子状態、場の内部成分などに作用できます。

正三角形の頂点に $1, 2, 3$ と番号を付けます。 $r = (123)$ は頂点を巡回させ、 $s = (23)$ は頂点 $1$ を固定して頂点 $2$ と $3$ を交換するとします。巡回置換の記法では $(123)$ は $1 \mapsto 2$ 、 $2 \mapsto 3$ 、 $3 \mapsto 1$ を意味します。三角形の六つの対称操作は二面体群 $D_{3}$ をなし、置換群 $S_{3}$ と同型です。

D_{3} = {e, r, r^{2}, s, sr, s r^{2}}, r^{3} = e, s^{2} = e, srs = r^{- 1} .

最初の二つの関係は、回転を3回、鏡映を2回行うと元に戻ることを表します。三つ目は、鏡映によって回転の向きが反転することを表します。

三角形の回転と鏡映を異なる順序で合成すると、頂点の置換が異なります。合成は右から左に作用します。

頂点の色によって作用を追跡できます。使う二つの操作は同じですが、 $sr$ と $rs$ は異なる頂点の組を交換します。

例題2：交換できないことを計算する

$sr$ について頂点 $1$ を追います。 $r$ がそれを $2$ へ移し、次に $s$ が $2$ を $3$ へ移します。頂点 $3$ はまず $1$ へ移り、その位置にとどまります。頂点 $2$ は元に戻ります。したがって $sr = (13)$ です。逆に $rs$ は $1$ を $2$ へ、 $2$ を $1$ へ移し、 $3$ を固定するので $rs = (12)$ です。よって $sr \neq = rs$ となります。

ある点の軌道とは、群の作用でその点が移りうる場所の集合です。頂点 $1$ の軌道には三つの頂点すべてが含まれます。**固定部分群（安定化群）**は、その点を固定する操作の集合で、ここでは ${e, s}$ です。有限群の軌道・固定部分群の関係が、この例で見えます。

∣ D_{3} ∣ = ∣ Orb (1) ∣ ∣ Stab (1) ∣ = 3 \times 2.

作用の核は、すべての点に自明に作用する元からなります。この三角形への作用では核が単位元のみなので、忠実な作用と呼びます。忠実でない作用は、群の一部を見えなくしてしまいます。後ほど、通常の3次元ベクトルでは $S U (2)$ の異なる二つの元を区別できないことを見ます。

能動的な変換と、記述を受動的に変更することも区別すると便利です。座標軸を固定し、行列 $R$ でベクトルを能動的に回転させれば $v^{'} = R v$ です。幾何学的なベクトルを固定して軸を受動的に回転させると、成分は $R^{- 1}$ で変換されます。どちらの規約も使えますが、混同すると、とくに回転やゲージの基底に関して見かけ上の符号の不一致が生じます。

理解の確認。 対称性を指定するには、群の元と、その元が作用する対象の両方が必要です。ある作用では見えない群の元が、別の作用では見えることがあります。

8.4 行列、複素数、保存される量

線形変換は和を和へ、スカラー倍をスカラー倍へ移します。基底を選ぶと行列で表せます。合成は行列の積となり、可逆行列は可逆な線形変換を表します。体 $F$ 上の可逆な $n \times n$ 行列は、一般線形群 $G L (n, F)$ をなします。

なぜ、もっと小さな群を選ぶのでしょうか。通常は、ある物理量を保存する必要があるからです。実ベクトルのユークリッド的な長さの二乗を $v^{T} v$ で測ると、行列 $R$ がすべての長さを保つための必要十分条件は

(R v)^{T} (R v) = v^{T} R^{T} R v = v^{T} v, R^{T} R = I .

です。これが直交行列であり、 $O (n)$ をなします。行列式は $(det R)^{2} = 1$ を満たすので、 $det R = \pm 1$ です。 $+ 1$ を要求すると特殊直交群 $SO (n)$ が得られます。鏡映は行列式が $- 1$ なので除かれ、回転は $SO (n)$ に属します。

複素ベクトルでは、非負のノルムの二乗を与えるのは $z^{T} z$ ではなく $z^{†} z$ です。それを保つ行列は $U^{†} U = I$ を満たし、ユニタリー行列と呼ばれます。これらは $U (n)$ をなし、さらに $det U = 1$ を課すと $S U (n)$ になります。「特殊」は行列式が1であること、「ユニタリー」はエルミート内積を保つことを意味します。どちらも行列の成分が実数であるという意味ではありません。

例題3：複素位相は実平面の回転である

$z = x + i y$ と書きます。 $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ を掛けると

e^{i θ} z = (x cos θ - y sin θ) + i (x sin θ + y cos θ) .

となります。つまり、一つの複素成分は二つの実成分とまったく同じように変換されます。

(x^{'} y^{'}) = (cos θ sin θ - sin θ cos θ) (x y) .

絶対値 $∣ z ∣$ は変わりません。位相 $e^{i θ}$ の集合は $U (1)$ をなし、この対応は群の同型 $U (1) ≅ SO (2)$ です。ただし、群のあらゆる物理的な使い方まで同じになるわけではありません。電子場に作用する位相は内部変換ですが、実験室の平面の回転は空間内の位置に作用します。

量子力学では複素内積がとくに重要です。ユニタリー変換は $⟨ U ϕ, U ψ ⟩ = ⟨ ϕ, ψ ⟩$ により遷移確率を保ちます。エルミート行列は $H^{†} = H$ を満たし、観測量を表せます。ただし、一般にはそれ自体が群の変換ではありません。一方、実数 $α$ に対して $e^{i α H}$ はユニタリーです。これが観測量や生成子と有限変換を結びます。

たとえば $diag (1, - 1)$ はエルミートかつユニタリーですが、 $diag (2, 3)$ はエルミートであってもユニタリーではありません。エルミート性とユニタリー性は異なる条件であり、役割も異なります。

8.5 連続的な回転と位相の円

前節の行列を $R (θ)$ と書きます。角の加法公式を使って直接掛け算すると

R (α) R (β) = R (α + β), R (θ)^{- 1} = R (- θ) .

を得ます。平面回転は一つのパラメーターで表せますが、そのパラメーターは周期的です。 $θ$ と $θ + 2 π$ は同じ元を表します。群全体は無限に延びる直線ではなく円です。局所的には角度の小さな区間で十分ですが、大域的にはそれらの区間を円周上でつなぐ必要があります。

実平面ではベクトルが反時計回りに回転し、対応する複素位相は単位円に沿って動きます。

実行列 $R (θ)$ と複素数 $e^{i θ}$ は、同じ1パラメーターの合成則を実現します。

例題4：無限小回転

小さな角度 $ϵ$ に対して

R (ϵ) = I + ϵ J + O (ϵ^{2}), J = (01 - 1 0), J^{2} = - I .

です。指数関数の級数を偶数べきと奇数べきに分けると

e^{θ J} = I (1 - \frac{θ ^{2}}{2 !} + \dots) + J (θ - \frac{θ ^{3}}{3 !} + \dots) = I cos θ + J sin θ = R (θ) .

となります。これだけでも、すでにリー理論の例になっています。一つの無限小方向 $J$ が、連続的な変換の族全体を生成しているのです。

3次元回転には独立な無限小方向が三つあり、それらは可換ではありません。抽象記法を使わずに確かめるため、 $v = (1, 0, 0)^{T}$ から始めます。右ねじの向きの正の回転 $R_{y} (π /2)$ は $v$ を $(0, 0, - 1)^{T}$ へ移し、その後の $R_{z} (π /2)$ はこのベクトルを固定します。逆順では、まず $(0, 1, 0)^{T}$ となり、 $R_{y} (π /2)$ はそれを固定します。したがって

R_{z} (π /2) R_{y} (π /2) v \neq = R_{y} (π /2) R_{z} (π /2) v .

です。3次元の回転を角度と軸で表せても、独立なパラメーターが四つあるわけではありません。単位軸に二つ、角度に一つ必要です。角度がゼロならどの軸も同じ単位元を表すため、この表示は、群の座標に冗長性や特異点がありうることも示しています。

理解の確認。 $U (1)$ の周期的な角度と、単位元付近の動きを記述する実数の無限小パラメーターは、大域的には同じ空間ではありません。

8.6 リー群：多様体でもある群

リー群とは、群の積と逆元を取る操作が滑らかな写像になっている滑らかな多様体です。多様体とは、全体を一つの座標系で覆えなくても、局所的には一定個数の実座標で記述できる空間です。滑らかさがあるからこそ、微分が意味をもちます。

したがって覚えておくべき構造は二つあります。群の演算は変換の合成を教え、多様体の構造は変換が連続的にどう変化するかを教えます。円 $U (1)$ は両方を備えています。加法についての直線 $(R, +)$ も両方を備えますが、大域的には円と異なります。

行列群では、定義する制約を展開することで近くの独立なパラメーターを数えられます。この考え方は接空間へつながりますが、まずは次元を実際に数える方法を与えます。

例題5：生成子を選ぶ前に個数を数える

$U = I + i ϵH + O (ϵ^{2})$ と置くと

U^{†} U = I + i ϵ (H - H^{†}) + O (ϵ^{2}),

なので、ユニタリー性には $H = H^{†}$ が必要です。 $n \times n$ エルミート行列は、実数の対角成分を $n$ 個、独立な複素非対角成分を $n (n - 1) /2$ 個もちます。実パラメーターの個数は

n + 2 \frac{n ( n - 1 )}{2} = n^{2} .

です。行列式が1という条件は $tr H = 0$ を課し、実パラメーターを一つ減らします。よって $dim U (n) = n^{2}$ 、 $dim S U (n) = n^{2} - 1$ です。同様に $R = I + ϵ X$ を $R^{T} R = I$ に代入して展開すると $X^{T} = - X$ を得るので、独立な成分は $n (n - 1) /2$ 個です。

群	定義する行列	群の実次元	表示されたベクトル空間の次元
$U (1)$	一つの複素位相	$1$	複素 $1$ 次元
$SO (2)$	行列式 $1$ の実直交 $2 \times 2$ 行列	$1$	実 $2$ 次元
$SO (3)$	行列式 $1$ の実直交 $3 \times 3$ 行列	$3$	実 $3$ 次元
$S U (2)$	行列式 $1$ のユニタリー $2 \times 2$ 行列	$3$	複素 $2$ 次元
$S U (3)$	行列式 $1$ のユニタリー $3 \times 3$ 行列	$8$	複素 $3$ 次元

最後の二列は異なる問いに答えています。 $S U (3)$ の次元は、独立な変換パラメーターが八つあることを数えます。その定義表現は3成分の複素ベクトルに作用します。どちらの数もクォークの世代数ではありません。

**階数（ランク）**はさらに別の数です。ここで扱うコンパクト群では、極大トーラスに含まれる独立で互いに可換な生成子の個数を数えます。 $S U (2)$ の階数は1、 $S U (3)$ の階数は2です。階数は群の次元でも表現の次元でもありません。

多様体、滑らかな群演算、古典的な行列群の厳密な数学的説明は、Etingof の MIT リー群講義ノート、第1〜5講を参照してください。ここでの計算には、その行列による具体形だけで十分です。

8.7 接ベクトル、生成子、指数写像

行列群の中で $g (0) = I$ を満たす微分可能な曲線 $g (t)$ を選びます。その初速度 $X = g^{'} (0)$ が単位元における接ベクトルです。このような速度全体は実ベクトル空間 $g = T_{e} G$ をなし、これがリー代数の台となるベクトル空間です。

$U (n)$ では、 $g (t)^{†} g (t) = I$ を $t = 0$ で微分すると $X^{†} = - X$ となります。そのため数学では $u (n)$ を反エルミート行列、 $su (n)$ をトレースがゼロの反エルミート行列として実現します。一方、物理では実係数 $α^{a}$ を使って

X = i α^{a} t_{a}, t_{a}^{†} = t_{a},

と書くのが一般的です。エルミートな $t_{a}$ は便利な生成子の基底であり、因子 $i$ を掛けることで実際の接行列になります。この区別を保てば、「エルミート行列二つの通常の交換子もエルミートである」という誤った主張を避けられます。

単位元での接方向は、指数写像によって群多様体上の曲線へ移ります。直線が円に巻き付く様子で示しています。

接空間は局所的な方向を記録します。指数写像は群に沿った移動を与えますが、接空間の異なる点が同じ群の元に対応することもあります。

行列の指数関数

exp X = I + X + \frac{X ^{2}}{2 !} + \dots

は無限小生成子を有限変換へ変換します。曲線 $g (t) = e^{tX}$ は、初期条件 $g (0) = I$ のもとで $g^{'} (t) = X g (t)$ を解き、 $g (t + s) = g (t) g (s)$ を満たします。このような曲線を1パラメーター部分群と呼びます。

例題6：指数写像が $S U (n)$ の中にとどまる理由

エルミートでトレースがゼロの $H$ に対して

(e^{i H})^{†} e^{i H} = e^{- i H} e^{i H} = I, det (e^{i H}) = e^{i tr H} = 1.

です。したがって $e^{i H}$ は特殊ユニタリーです。逆に、特殊ユニタリー行列はユニタリーな基底変換で対角化できます。固有値は位相で、その角度の和は $2 π$ の整数倍です。一つの角度からその整数倍を差し引けば、トレースがゼロのエルミートな対数が得られます。よって $S U (n)$ のすべての元は指数関数で表せますが、対数は一意ではありません。

この最後の主張は、この状況に特有のものです。任意のリー群では、指数写像は単位元付近の局所座標を与えますが、群全体を覆うとは限りません。全射であっても、一般には一対一ではありません。 $U (1)$ では $e^{i (θ + 2 πk)} = e^{i θ}$ が、その多価性を直接示しています。

群の積による移動は、単位元の接ベクトルを別の点の接ベクトルへ運びます。そのため、一つの接空間には、単位元を含む連結成分全体で局所的な積を再構成するのに十分な情報が含まれます。しかし、大域的な同一視や非連結な成分のすべてまでは符号化しません。リー代数は局所構造を与えますが、群の大域的な構造を完全には決めません。

8.8 リー括弧は無限小操作の順序を測る

接ベクトル空間に括弧積を与えると、リー代数になります。行列群では、それは交換子

[X, Y] = X Y - Y X .

です。これは双線形かつ反対称で、ヤコビ恒等式

[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0.

を満たします。これらの性質を使えば、行列がなくてもリー代数を抽象的に定義できます。括弧積の結果も代数の中に属する必要があります。反エルミート行列については $[X, Y]^{†} = - [X, Y]$ 、トレースがゼロの行列については $tr [X, Y] = 0$ なので、行列に課した制約は保たれます。

例題7：小さな交換子のループを一周する

各指数関数を2次まで展開して掛け合わせると

e^{ϵ X} e^{ϵ Y} e^{- ϵ X} e^{- ϵ Y} = I + ϵ^{2} [X, Y] + O (ϵ^{3}) .

となります。1次の変位はすべて打ち消し合います。残る量は、二つの無限小変換の順序を交換したことによるずれを測ります。可換群の括弧積はゼロです。ゼロでない括弧積は、非可換性が局所的に残した効果です。

エルミート生成子の基底では $[t_{a}, t_{b}] = i f_{ab}^{c} t_{c}$ と書きます。数 $f_{ab}^{c}$ は、その基底での構造定数です。構造定数は基底と規格化に依存しますが、リー代数そのものは依存しません。ここでのトレース規約を使うコンパクト群 $S U (N)$ では、 $δ_{ab}$ で代数の上付き添字と下付き添字を同一視でき、 $f^{ab c}$ を完全反対称テンソルとして書けます。

ベーカー・キャンベル・ハウスドルフ公式は、対数展開が使えるほど単位元に近い有限変換について、同じ問題を整理します。

lo g (e^{X} e^{Y}) = X + Y + \frac{1}{2} [X, Y] + \frac{1}{12} ([X, [X, Y]] + [Y, [Y, X]]) + \dots .

したがって $e^{X} e^{Y} = e^{X + Y}$ は $X$ と $Y$ が可換なら成り立ちますが、一般の行列恒等式ではありません。入れ子の括弧積が補正を与えます。この公式は局所的な展開なので、大域的に一意な対数があると主張するためには使えません。Etingof、第7講に厳密なリー理論の記述があります。

理解の確認。 「群を線形化する」とは、非線形な効果をすべて捨てることではありません。リー代数は、順序に関する最初の非自明な情報を覚えている括弧積を備えたベクトル空間です。

8.9 パウリ行列、 $S U (2)$ 、回転の二重被覆

パウリ行列は、具体的なエルミート基底を与えます。

σ_{1} = (0110), σ_{2} = (0 i - i 0), σ_{3} = (10 0 - 1) .

$t_{a} = σ_{a} /2$ と置きます。その積の法則は

σ_{a} σ_{b} = δ_{ab} I + i ϵ_{ab c} σ_{c}, [t_{a}, t_{b}] = i ϵ_{ab c} t_{c}, tr (t_{a} t_{b}) = \frac{1}{2} δ_{ab} .

です。たとえば $σ_{1} σ_{2} = i σ_{3}$ 、 $σ_{2} σ_{1} = - i σ_{3}$ なので、 $[t_{1}, t_{2}] = i t_{3}$ です。ここでは $ϵ_{123} = + 1$ とします。

任意の $S U (2)$ 行列は $U = a_{0} I + i a \cdot σ$ と書け、実係数は $a_{0}^{2} + ∣ a ∣^{2} = 1$ を満たします。したがって多様体としての $S U (2)$ は3次元球面 $S^{3}$ であり、空間の方向を表す通常の2次元球面ではありません。

例題8：スピノルの回転とベクトルの回転

単位軸 $n$ のまわりに角度 $θ$ だけ能動的に空間回転させるには

U (n, θ) = e^{- i θ n \cdot σ /2} = I cos \frac{θ}{2} - i n \cdot σ sin \frac{θ}{2} .

を使います。負号は能動的な量子回転の通常の規約であり、一般の指数関数 $e^{i α^{a} t_{a}}$ で負のパラメーターを選ぶことに対応します。リー代数やゲージの規約を変更するわけではありません。

実ベクトル $v$ を、トレースがゼロのエルミート行列 $V = v \cdot σ$ に対応させます。変換 $V^{'} = U V U^{†}$ はエルミート性、トレース、 $det V = - ∣ v ∣^{2}$ を保つので、 $v$ の直交変換を定めます。その行列式は $+ 1$ です。作用は連続的に変化し、 $S U (2)$ は連結で、単位元は行列式 $+ 1$ の変換として作用するからです。したがって、これは回転です。 $z$ 軸の場合には

U σ_{1} U^{†} = cos θ σ_{1} + sin θ σ_{2},

となり、期待どおり $x$ 方向を $y$ 方向へ回します。

$U$ と $- U$ は同じ $V^{'}$ を与えます。写像 $S U (2) \to SO (3)$ は全射で、核は ${I, - I}$ です。

SO (3) ≅ S U (2) / Z_{2} .

連続的なスピノル回転は2πで負の単位行列に達し、4πで単位行列へ戻ります。対応する空間回転は2πですでに閉じています。

一つの空間回転に対して、 $S U (2)$ には二つの持ち上げが存在します。この図は一つの回転軸に沿った経路を示しており、3次元球面全体を描いたものではありません。

2成分のスピノルは $χ^{'} = U χ$ に従って変換します。 $θ = 2 π$ では $U = - I$ 、 $χ^{'} = - χ$ となり、 $4 π$ では $U = I$ となります。単独の状態と、その符号を反転した状態は同じ確率を与えますが、コヒーレントに比較される二つの経路の相対的な符号は干渉に影響しえます。したがって二重被覆は単なる図の描き方の工夫ではありません。ただし、古典的な矢印が元に戻るのに $4 π$ 必要だという意味でもありません。

$S U (2)$ と $SO (3)$ のリー代数は同型ですが、大域的に許される表現は異なります。半整数スピンの表現は $S U (2)$ の表現であり、通常の一価な $SO (3)$ の表現には降りません。Etingof の例2.13と被覆の議論を参照してください。

8.10 表現：同じ群が異なる対象に作用する

ベクトル空間 $V$ 上の表現とは、準同型写像 $ρ : G \to G L (V)$ です。その基本法則

ρ (g h) = ρ (g) ρ (h),

により、行列は抽象的な合成則を尊重します。表現の次元は $dim V$ です。滑らかな表現を微分すると、 $d ρ (i t_{a}) = i T_{a}$ で定義される生成子行列 $T_{a}$ が得られます。つまり微分写像は実際の反エルミートな接行列に作用します。これらは同じ交換関係 $[T_{a}, T_{b}] = i f_{ab}^{c} T_{c}$ を満たします。

$S U (n)$ の定義表現は、基本表現ともよく呼ばれ、群を定義する行列を使って $C^{n}$ に作用します。より広い数学の用語では、単純群が複数の基本表現をもつことがあります。ここで「 $S U (n)$ の基本表現」といえば、この $n$ 次元の定義表現を指します。自明表現、または一重項は、すべての元を $1$ へ写します。

ゼロでなく全空間でもない不変部分空間をもたない表現を既約といいます。「基本」と「既約」は同義ではありません。定義表現以外にも、多くの既約表現があります。コンパクト群の有限次元ユニタリー表現は、既約表現の直和に分解できます。

直和は二つの空間に独立に作用します。

(ρ_{1} \oplus ρ_{2}) (g) = (ρ_{1} (g) 0 0 ρ_{2} (g)), dim (V \oplus W) = dim V + dim W .

テンソル積は、対にした成分へ作用します。

(ρ_{1} \otimes ρ_{2}) (g) (v \otimes w) = ρ_{1} (g) v \otimes ρ_{2} (g) w, dim (V \otimes W) = dim V dim W .

微分すると、全生成子 $T_{a}^{total} = T_{a}^{(1)} \otimes I + I \otimes T_{a}^{(2)}$ を得ます。これが角運動量の合成の起源です。

例題9：二つの二重項には三重項と一重項が含まれる

基底 $∣ ↑ ⟩, ∣ ↓ ⟩$ をもつ二つの $S U (2)$ 二重項を考えます。4次元のテンソル積は、対称な状態

∣ ↑↑ ⟩, \frac{∣ ↑↓ ⟩ + ∣ ↓↑ ⟩}{2}, ∣ ↓↓ ⟩

と、反対称な状態

∣ s ⟩ = \frac{∣ ↑↓ ⟩ - ∣ ↓↑ ⟩}{2} .

に分かれます。全 $T_{3}$ の固有値は、対称な状態について $1, 0, - 1$ です。三つの全生成子はすべて $∣ s ⟩$ に作用するとゼロを与えます。したがって $2 \otimes 2 = 3 \oplus 1$ 、スピンの記法では $\frac{1}{2} \otimes \frac{1}{2} = 1 \oplus 0$ です。次元も $2 \times 2 = 3 + 1$ と一致します。

直和は二つのベクトル空間を並べ、テンソル積は成分を組み合わせます。二つのSU2二重項は三重項と一重項に分解されます。

表現は、どの数学的対象が変換するかを指定します。テンソル積で対象を組み合わせると、不変な部分が見えてくることがあります。

随伴表現は、共役変換 $X \mapsto g X g^{- 1}$ によってリー代数そのものに作用します。その次元は群の次元に等しくなります。したがって $S U (2)$ は2次元の定義表現と3次元の随伴表現をもち、 $S U (3)$ は3次元の定義表現と8次元の随伴表現をもちます。ゲージ曲率は随伴表現で変換します。ゲージ接続にはさらに微分項が加わるため、局所変換の全体は単なる随伴作用ではありません。

$U (1)$ の連続で一価な既約ユニタリー表現は、整数 $n$ に対して $ρ_{n} (e^{i θ}) = e^{in θ}$ です。周期性が $e^{2 πin} = 1$ を要求します。物理での電荷の規約では、結合定数とともにこれらの整数を尺度変更できます。標準模型の分数ハイパーチャージがこの記述にどう収まるかは、後で明示します。

8.11 $S U (3)$ ：三つの成分、八つの生成子

$S U (3)$ の基本表現のベクトルは、三つの複素成分をもちます。

q = q_{r} q_{g} q_{b}, q^{'} = U q .

赤、緑、青という色のラベルは内部空間の基底の名前であり、光学的な色や空間の方向とは無関係です。基底の変更は $q^{†} q$ を保ちながら成分を混ぜ合わせます。フレーバーを一つに固定したクォークが色の三重項です。アップ、ダウン、ストレンジはフレーバーのラベルであり、この色表現の三つの成分と混同してはいけません。

トレースがゼロの一般のエルミート $3 \times 3$ 行列は

H = a z_{1}^{*} z_{2}^{*} z_{1} b z_{3}^{*} z_{2} z_{3} - a - b .

と書けます。二つの実数 $a, b$ と三つの複素数 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ が八つの実パラメーターを与えます。八つのゲルマン行列すべてを暗記しなくても、八つの生成子が必要なことを具体的に理解できます。

慣用的な基底は $t_{a} = λ_{a} /2$ です。二つの対角生成子は

t_{3} = \frac{1}{2} 100 0 - 1 0 000, t_{8} = \frac{1}{2 3} 100010 00 - 2 .

です。これらは可換で、階数2のカルタン部分代数を与えます。残る六つは色成分の組を混ぜ合わせます。左上の $2 \times 2$ にパウリ行列のブロックを置き、第3行と第3列をゼロにしたものは、 $[t_{1}, t_{2}] = i t_{3}$ を満たす $su (2)$ 部分代数を与えます。 $S U (3)$ の中にある部分群が、標準模型の特定の弱い $S U (2)_{L}$ である必要はありません。標準模型では、それらは異なる添字に作用する独立した因子です。

例題10：色の一重項と八重項

反クォークは、行列 $U^{*}$ を使う複素共役表現 $\overline{3}$ で変換します。クォークと反クォークのテンソルは、 $M \mapsto U M U^{†}$ と変換する行列 $M$ にまとめられます。それを

M = \frac{tr M}{3} I + (M - \frac{tr M}{3} I) .

と分けます。トレース部分は共役変換で変化しません。トレースがゼロの部分は八つの複素成分をもち、複素化された随伴表現で変換します。したがって

3 \otimes \overline{3} = 1 \oplus 8 .

です。随伴作用を受けるリー代数そのものは、八つの実接方向をもちます。一方、量子論の表現空間は通常複素です。ここでは二種類の次元の数値が一致しますが、異なるベクトル空間についての次元です。

この分解は、中間子の色の波動関数を整理し、随伴の色ラベルが八つの値を取る理由を理解する助けになります。標準模型でグルーオンは基本的なゲージ場の励起であり、文字どおりのクォーク・反クォーク束縛状態ではありません。八種類という代数的なラベルは、独立な色・反色グルーオンが九つあることを意味しません。トレースの一重項は $su (3)$ に含まれないのです。

8.12 大域的対称性から局所的な基底の選択へ

内部ベクトルの添字をもつ複素場 $ψ (x)$ を考えます。大域的な内部変換では、どこでも同じ行列を使います。すなわち、一定の $U$ によって $ψ (x) \mapsto U ψ (x)$ と変換します。時空点 $x$ は固定したままです。 $U$ がユニタリーなら $ψ^{†} ψ$ のような項は不変であり、

\partial_{μ} (U ψ) = U \partial_{μ} ψ .

も成り立ちます。対応する不変な組合せから作られたラグランジアンは、大域的対称性をもちえます。通常の仮定のもとで、連続的な物理的な大域的対称性には、保存するネーターカレントが対応します。ただし、大域的対称性の存在だけで自然界にゲージ場の導入が強制されるわけではありません。ゲージ理論を構成することは、さらに必要な物理的選択です。

今度は、点ごとに変化する行列 $U (x)$ を許します。微分は

\partial_{μ} (U ψ) = U \partial_{μ} ψ + (\partial_{μ} U) ψ .

となります。問題のすべては、この余分な項にあります。近接する二点の成分は異なる内部基底で書かれているため、そのまま差を取ると、場の変化と基底の変化を混同してしまいます。

時空の各点に小さなベクトル空間を割り当てると考えましょう。この族がベクトル束であり、各ベクトル空間をファイバーと呼びます。各ファイバーで基底を選ぶことが、局所フレームを選ぶことです。接続は、隣り合うファイバーのベクトルをどう比較するかを指定します。この幾何学は曲面上の接ベクトルの平行移動に似ていますが、内部ファイバーが時空の接空間である必要はありません。色ベクトルは内部の色空間にあり、物理的な変位の空間にあるのではありません。

例題11：記述が作り出す位相勾配

ある記述で $ψ (x) = ψ_{0}$ が一定とし、一つの空間方向に $U (x) = e^{ik x}$ を選びます。新しい記述では $ψ^{'} (x) = e^{ik x} ψ_{0}$ となり、

\partial_{x} ψ^{'} = ik ψ^{'} .

です。二つの記述が同じ配置を表すのであれば、見かけの勾配そのものは物理的な励起ではありません。位相の規約が場所によって変わったことだけに由来する勾配を、補償する接続が打ち消す必要があります。次節でこの相殺を具体的に確かめます。

ゲージ冗長性とは、許されたゲージ変換で結ばれる配置が、系の異なる状態ではなく同じ物理状態を表すことです。ゲージ不変量が物理的記述を与えます。それでもゲージポテンシャルは非自明な力学を担えます。冗長な座標を取り除くことは、物理的な場の強さを取り除くことではありません。

境界については注意が必要です。境界で単位元に近づくことを要求されるゲージ変換は冗長性ですが、漸近領域や境界のデータに非自明に作用する変換は、物理的な電荷を担うことがあります。したがって、「一定のゲージ変換はすべて自動的に物理的に自明である」と言い切るのは強すぎます。物理的な大域的対称性と記述の変更を区別するには、境界条件を指定する必要があります。Tong によるゲージ不変性の議論が、場の理論での背景を与えます。

8.13 共変微分と接続の変換則を導く

ゲージポテンシャルを $A_{μ} = A_{μ}^{a} t_{a}$ と書き、

D_{μ} ψ = (\partial_{μ} - i g A_{μ}) ψ .

と定義します。係数 $g$ は結合定数です。別の表現に属する場では、 $t_{a}$ をその表現の行列 $T_{a}$ に置き換えます。ゲージ場の成分 $A_{μ}^{a}$ は同じです。中性の一重項では生成子がゼロなので、通常の微分になります。

共変微分が場自身と同じように変換することを要求します。

D_{μ}^{'} ψ^{'} = U D_{μ} ψ .

左辺を展開し、 $U \partial_{μ} ψ$ を打ち消すと

(\partial_{μ} U) ψ - i g A_{μ}^{'} U ψ = - i gU A_{μ} ψ .

となります。これはすべての $ψ$ について成り立つので、右から $U^{- 1}$ を掛ければ

A_{μ}^{'} = U A_{μ} U^{- 1} - \frac{i}{g} (\partial_{μ} U) U^{- 1} .

を得ます。第1項は内部成分を回転させ、第2項は位置によって変化するフレームを補正します。第2項を省くと、共変性の要求を満たせません。同じことを微分演算子として $D_{μ}^{'} = U D_{μ} U^{- 1}$ と書けます。この演算子恒等式の微分は、その右側すべてに作用します。

例題12：可換な場合の相殺と符号の確認

単位電荷をもつ $U (1)$ の場に対して $U = e^{i gα (x)}$ とします。このとき $(\partial_{μ} U) U^{- 1} = i g \partial_{μ} α$ なので

A_{μ}^{'} = A_{μ} + \partial_{μ} α .

です。直接代入すると

(\partial_{μ} - i g A_{μ} - i g \partial_{μ} α) (e^{i gα} ψ) = e^{i gα} (\partial_{μ} - i g A_{μ}) ψ .

を得ます。位相の微分が、ポテンシャルのずれを打ち消します。前節の一定場の例では $A_{x} = 0$ 、 $α = k x / g$ とすればよく、変換後のポテンシャルは $A_{x}^{'} = k / g$ です。 $\partial_{x} ψ^{'} \neq = 0$ であっても $D_{x}^{'} ψ^{'} = 0$ となります。

共変とは「指定された仕方で変換する」という意味であり、「変わらない」という意味ではありません。ベクトル $D_{μ} ψ$ は $U$ で変換しますが、スカラー $(D_{μ} ψ)^{†} D^{μ} ψ$ は不変です。共変性と不変性の区別は、非可換な場の強さを読む際に欠かせません。

次元解析は便利な確認になります。4次元時空では $\partial_{μ}$ の質量次元は1、 $g$ は無次元なので、 $A_{μ}$ の次元は1です。物質スカラー場の次元は1、フェルミオン場は $3/2$ 、ラグランジアン密度は4です。ここでいう次元は質量を単位とした次元であり、群や表現の次元とは別です。

8.14 曲率、非可換な微分、ループに沿う輸送

通常の偏微分は座標方向に沿う変化を測ります。共変微分はそれに加えて内部フレームを比較します。そのため、二つの共変微分を続けて行って比較すると、輸送が方向の順序に依存するかどうかを調べることになります。

例題13：場の強さを導く

試験場に $D_{μ} D_{ν} - D_{ν} D_{μ}$ を作用させます。座標近傍では偏微分が可換なので、2階微分を含む項は打ち消し合います。試験場に一つの微分が作用する項も、対になって打ち消し合います。結果は

[D_{μ}, D_{ν}] ψ = [- i g (\partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}) - g^{2} [A_{μ}, A_{ν}]] ψ .

です。ここで

F_{μν} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ} - i g [A_{μ}, A_{ν}], [D_{μ}, D_{ν}] = - i g F_{μν} .

と定義します。行列 $F_{μν}$ はエルミートです。 $[A_{μ}, A_{ν}]$ は反エルミートであり、 $- i$ を掛けるとエルミートになるからです。成分では

F_{μν}^{a} = \partial_{μ} A_{ν}^{a} - \partial_{ν} A_{μ}^{a} + g f^{ab c} A_{μ}^{b} A_{ν}^{c} .

です。これがゲージ接続の曲率です。非可換な項は行列の交換子から生じ、生成子が可換であれば存在しません。

$D_{μ}^{'} = U D_{μ} U^{- 1}$ なので、交換子は共役変換し、

F_{μν}^{'} = U F_{μν} U^{- 1} .

となります。 $U (1)$ では $F^{'} = F$ に帰着します。非可換群では、行列としての場の強さは一般には不変ではなく共変です。一方、 $tr (F_{μν} F^{μν})$ のような量はトレースの巡回性によって不変です。

経路 $x (s)$ に沿う平行移動では $\overset{x}{˙}^{μ} D_{μ} ψ = 0$ と置くので、

\frac{d ψ}{d s} = i g \overset{x}{˙}^{μ} A_{μ} ψ, ψ (y) = W (y, x) ψ (x), W (y, x) = P exp (i g \int_{x}^{y} A_{μ} d x^{μ}) .

を得ます。経路順序を表す $P$ は、後で行われる輸送の行列を左に置きます。異なる点の行列は可換とは限らないため、この指定が必要です。

隣り合う内部フレームを接続で比較します。向きを定めた小さなループを一周して輸送すると、ベクトルの内部方向が最初に戻らないことがあります。

図の向きでは、まず正の $μ$ 方向、次に正の $ν$ 方向へ輸送します。曲率は単位面積あたりの主要なずれを測ります。

異なる二方向を固定し、それらの添字については和を取らず、小さな長方形を $+ μ, + ν, - μ, - ν$ の順に進むと

W_{□} = I + i g F_{μν} δ x^{μ} δ x^{ν} + O (δ x^{3}) .

です。向きを逆にすると、主要な面積項の符号が反転します。この符号は $D = \partial - i g A$ と上の輸送方程式に整合しています。輸送演算子を微分の交換子と安易に同一視して得られるものではありません。

開いた経路の輸送子は $W^{'} (y, x) = U (y) W (y, x) U (x)^{- 1}$ と変換します。 $x$ を基点とする閉じたループでは、そのトレースはゲージ不変で、ウィルソンループを与えます。平坦な接続は $F = 0$ であり、十分小さい単連結な近傍では局所的に取り除けます。それでも、縮められないループのまわりに大域的で非自明なホロノミーをもちえます。アハラノフ・ボーム効果の配置は可換な例です。通行可能な経路上では場の強さがゼロでも、その経路が磁束を囲むことがあります。

8.15 電磁気学とヤン・ミルズの力学

ここまでは変換則と曲率を導きました。物理理論には、さらに力学が必要です。4次元ミンコフスキー時空で、一つの非可換因子に対する通常のゲージ運動項は

L_{gauge} = - \frac{1}{2} tr (F_{μν} F^{μν}) = - \frac{1}{4} F_{μν}^{a} F^{a μν},

です。二つ目の等号は、ここでの定義表現のトレース規格化を使っています。 $F$ が共役変換するため、作用は不変です。 $μ, ν$ についての反対称性と時空計量による縮約が、ローレンツ不変性を与えます。これが基本的なヤン・ミルズ運動項です。

電磁気学では、電磁結合定数 $e$ と符号付きの無次元電荷 $q$ を選び、物理的な電荷を $e q$ とします。すると

D_{μ} = \partial_{μ} - i e q A_{μ}, ψ^{'} = e^{i e q α} ψ, A_{μ}^{'} = A_{μ} + \partial_{μ} α,

および

F_{μν} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}, L_{EM} = - \frac{1}{4} F_{μν} F^{μν} .

です。電子では $q = - 1$ なので、この規約では $D_{μ} = \partial_{μ} + i e A_{μ}$ です。 $D$ に反対の符号を使う文献では、対応する変換の規約も変更しなければなりません。一貫した規約を選ぶ限り、観測可能な予言はその選択に依存しません。

例題14：一定のポテンシャルから生じるゼロでない曲率

ある近傍の $S U (2)$ ゲージ場として、一定の $A_{x} = a t_{1}$ 、 $A_{y} = b t_{2}$ を取ります。微分項はすべて消えますが、

F_{x y} = - i g ab [t_{1}, t_{2}] = g ab t_{3} .

となります。空間的に一定の非可換接続は、平坦であるとは限りません。場の強さは、非可換な内部輸送だけから生じます。可換な場合には、局所的な近傍で一定のポテンシャルが与える曲率はゼロです。

ヤン・ミルズ運動項を展開すると、非可換ゲージ場どうしが相互作用する理由がわかります。 $F$ は $A$ に線形な微分項と、 $A$ の2次の項を含みます。その二乗は、ゲージポテンシャルの3次と4次の項を生みます。純粋な可換マクスウェル理論では交換子が消えるため、古典的なゲージ運動項に対応する光子の自己相互作用は現れません。ただし、荷電物質は量子ループを通じて有効な光子相互作用を生みえます。

物質の力学にも同じ共変微分を使います。たとえば、スカラー多重項には

L_{ϕ} = (D_{μ} ϕ)^{†} D^{μ} ϕ - V (ϕ^{†} ϕ) .

があります。どの生成子が現れるか、したがって場がどのように結合するかは表現が決めます。ゲージ群だけでは、スカラーポテンシャル、物質の表現、許されるすべての相互作用の係数までは選べません。

本編の場の量子論の章では、ゲージ固定、量子化、伝播関数、結合定数のエネルギースケール依存性、散乱へと進みます。Tong のヤン・ミルズ講義ノートは、この構成をより詳しく扱っています。同文献では結合定数を接続に吸収することがあるため、式を比べる前に定義を比較してください。

8.16 標準模型の群と物質の表を読む

よく知られた局所的なゲージ構造は

G_{SM} = S U (3)_{c} \times S U (2)_{L} \times U (1)_{Y}, g_{SM} = su (3) \oplus su (2) \oplus u (1) .

です。添字 $c$ は色を意味します。添字 $L$ は、標準模型の左カイラルなフェルミオンが弱い相互作用の二重項をなす一方、右カイラルな荷電フェルミオンは弱い相互作用の一重項であることを示します。添字 $Y$ はハイパーチャージです。弱い $S U (2)$ は内部群です。空間スピンにも $S U (2)$ の数学を使うというだけで、その二重項が空間的なスピノルになるわけではありません。

ディラックスピノルでは、カイラリティーは $P_{L} = (1 - γ^{5}) /2$ と $P_{R} = (1 + γ^{5}) /2$ で選ばれます。ヘリシティーは運動量方向へのスピンの射影です。質量のない粒子では両者は特定の仕方で対応しますが、質量をもつ粒子では置き換えられません。以下の表のラベルはカイラリティーを指します。

内部表現を $(R_{c}, R_{L})_{Y}$ の順に書き、 $Q = T_{3} + Y$ を使います。表の $u_{R}, d_{R}, e_{R}$ は実際の右カイラルな場であり、それらの左カイラルな荷電共役場ではありません。1世代分を示すと、次のようになります。

場	成分	$(S U (3)_{c}, S U (2)_{L})_{Y}$	電荷 $Q$
$Q_{L}$	$(u_{L}, d_{L})^{T}$ 、それぞれ三つの色をもつ	$(3, 2)_{1/6}$	$2/3, - 1/3$
$u_{R}$	右カイラルなアップクォーク、三つの色	$(3, 1)_{2/3}$	$2/3$
$d_{R}$	右カイラルなダウンクォーク、三つの色	$(3, 1)_{- 1/3}$	$- 1/3$
$L_{L}$	$(ν_{L}, e_{L})^{T}$	$(1, 2)_{- 1/2}$	$0, - 1$
$e_{R}$	右カイラルな荷電レプトン	$(1, 1)_{- 1}$	$- 1$
$H$	複素スカラー二重項 $(H^{+}, H^{0})^{T}$	$(1, 2)_{1/2}$	$1, 0$

フェルミオンへの割り当ては3世代で繰り返されます。ヒッグス二重項は一つのスカラー多重項であり、第4のフェルミオン世代ではありません。最小の繰り込み可能な標準模型には $ν_{R}$ がなく、ニュートリノは質量をもちません。観測されたニュートリノ質量には、高次元演算子や新しい場などの追加要素が必要です。表の標準的な割り当てと規約は、Tong、5.1節で確認できます。

例題15：直積群の表現を読む

左クォーク二重項は、色の添字 $a = 1, 2, 3$ と弱い相互作用の添字 $i = 1, 2$ をもちます。変換は

Q_{L}^{ai} ⟼ (U_{c})^{a}_{b} (U_{L})^{i}_{j} e^{i β /6} Q_{L}^{bj} .

という形です。内部空間は $C^{3} \otimes C^{2}$ で、1世代あたり六つの成分があります。二つの因子が別々の添字を通じて同じ場に作用するため、これはテンソル積です。この空間で、異なる群因子は可換です。 $U_{c} \otimes I_{2}$ は $I_{3} \otimes U_{L}$ と可換です。ただし、各非可換因子の内部では変換は一般に可換ではありません。

ここでのパラメーター $β$ は局所的なハイパーチャージのパラメーターです。角度の周期が $2 π$ のコンパクトな円を表すには、整数に規格化した電荷 $n = 6 Y$ を使い、 $β = 6 θ$ として $e^{in θ}$ と書きます。したがって分数の $Y$ は規格化の規約であり、 $U (1)$ の表現が整数で指定される規則に反するものではありません。

標準模型の任意の多重項に作用する共変微分は

D_{μ} = \partial_{μ} - i g_{s} G_{μ}^{a} T_{c}^{a} - i g W_{μ}^{i} T_{L}^{i} - i g^{'} B_{μ} Y .

です。場が対応する因子の一重項なら、その生成子はゼロです。グルーオンのゲージ場 $G_{μ}^{a}$ が八つ、弱いゲージ場 $W_{μ}^{i}$ が三つ、ハイパーチャージのゲージ場 $B_{μ}$ が一つあり、電弱対称性の破れの前には代数の方向が $8 + 3 + 1 = 12$ あります。これは種類のラベルであり、物理的な偏極状態の数ではありません。右カイラルな荷電フェルミオンもハイパーチャージに結合し、混合後には光子と $Z$ に結合します。弱い一重項であることは、相互作用しないことを意味しません。

8.17 電弱混合から光子が現れる仕組み

ハイパーチャージは電磁気そのものではありません。その理由を見るため、ヒッグス場のポテンシャルが $H^{†} H = v^{2} /2$ に極小をもつとします。便利なゲージを選び、真空の代表を

⟨ H ⟩ = \frac{1}{2} (0 v) .

とします。下側の成分は $T_{3} = - 1/2$ 、 $Y = + 1/2$ なので

(T_{3} + Y) ⟨ H ⟩ = 0.

です。したがって組合せ $Q = T_{3} + Y$ は、この代表を固定します。これによって、破れていない電磁的な生成子が特定できます。通常の「電弱対称性の破れ」という言い方は、このヒッグス機構を表します。局所的なゲージ冗長性は、大域的対称性と同じ意味で破れる物理的対称性ではありません。ゲージを固定した真空の言葉は、物理的スペクトルを計算するうえで有用です。

例題16：中性場の混合行列を得る

一定のヒッグスの代表を $(D_{μ} H)^{†} D^{μ} H$ に代入します。 $T_{i} = σ_{i} /2$ 、 $Y = 1/2$ なら、ゲージ場について2次の項は

\frac{v ^{2}}{8} [g^{2} ((W_{μ}^{1})^{2} + (W_{μ}^{2})^{2}) + (g W_{μ}^{3} - g^{'} B_{μ})^{2}],

です。各二乗はローレンツ添字の縮約を表します。質量項に現れる中性の組合せは一つだけです。ここで

tan θ_{W} = \frac{g ^{'}}{g}, A_{μ} = sin θ_{W} W_{μ}^{3} + cos θ_{W} B_{μ},

Z_{μ} = cos θ_{W} W_{μ}^{3} - sin θ_{W} B_{μ}, W_{μ}^{\pm} = \frac{W _{μ}^{1} \mp i W _{μ}^{2}}{2} .

と定義します。すると $g W^{3} - g^{'} B = g^{2} + g^{'2} Z$ です。それと直交する組合せ $A$ はヒッグスから質量を得ず、光子場となります。ツリーレベルでは

m_{W} = \frac{gv}{2}, m_{Z} = \frac{v g ^{2} + g ^{'2}}{2}, m_{A} = 0.

です。混合の逆変換を共変微分の中性部分へ代入します。 $A_{μ}$ の係数は

g sin θ_{W} T_{3} + g^{'} cos θ_{W} Y = e (T_{3} + Y) = e Q, e = g sin θ_{W} = g^{'} cos θ_{W} .

となります。これにより、電荷演算子と電磁結合定数の関係の両方が導かれました。光子は元の二つのゲージ場の混合であり、ハイパーチャージ場の名前を変えただけではありません。これらはツリーレベルの関係で、精密な電弱解析には繰り込みとその方式の指定が必要です。

色、弱い相互作用、ハイパーチャージの因子は、それぞれ八つ、三つ、一つの生成子を与えます。ヒッグス機構の後、中性の弱い場とハイパーチャージ場は光子とZへ混合します。

直積群は内部の添字に作用します。電弱混合は $W^{3}$ と $B$ を組み合わせますが、色は独立したゲージ因子のままです。

例題17：よく知っている電荷を再現する

$Q_{L}$ では、 $T_{3}$ の固有値は $+ 1/2, - 1/2$ で、 $Y = 1/6$ は両成分に掛かります。したがって $Q (u_{L}) = 1/2 + 1/6 = 2/3$ 、 $Q (d_{L}) = - 1/2 + 1/6 = - 1/3$ です。 $L_{L}$ では $Y = - 1/2$ なので、 $Q (ν_{L}) = 0$ 、 $Q (e_{L}) = - 1$ となります。弱い一重項は $T_{3} = 0$ なので、電荷は表に記された $Y$ と等しくなります。

ヒッグス機構の前、電弱理論には、それぞれ二つの物理的偏極をもつ四つの質量ゼロのゲージ場と、ヒッグスの四つの実成分があり、物理的自由度は $8 + 4 = 12$ です。その後は、それぞれ三つの偏極をもつ三つの有質量ベクトルボソン、二つの偏極をもつ一つの光子、一つのヒッグススカラーとなり、 $9 + 2 + 1 = 12$ です。この摂動論的な数え上げは、余分な自由度を生まずにベクトルの縦モードが現れる仕組みを説明します。八つのグルーオンはラグランジアンでは質量ゼロのままです。閉じ込めは、それらが長距離でどのように物理的に現れるかという問題であり、ヒッグスによる質量項ではありません。

8.18 大域構造と、対称性だけでは決まらないこと

先に比較した $S U (2)$ と $SO (3)$ は、標準模型の記法にある微妙な点を理解する準備になっています。リー代数と局所的な結合を指定しても、ゲージ群の大域的な形は一意には決まりません。

ハイパーチャージの円を $n = 6 Y$ で規格化し、 $ω = e^{2 πi /3}$ と置きます。中心の元

z = (ω I_{3}, - I_{2}, e^{iπ /3}) \in S U (3) \times S U (2) \times U (1) .

を考えます。場への作用には位相 $(e^{iπ /3})^{6 Y}$ が含まれます。 $Q_{L}$ では全体の因子は $ω (- 1) e^{iπ /3} = 1$ です。 $L_{L}$ では $(- 1) e^{- iπ} = 1$ 、 $H$ では $(- 1) e^{iπ} = 1$ です。 $u_{R}, d_{R}, e_{R}$ では、それぞれ $ω e^{4 πi /3} = 1$ 、 $ω e^{- 2 πi /3} = 1$ 、 $e^{- 2 πi} = 1$ となります。

したがって、上の物質場では $z$ が生成する部分群 $Z_{6}$ の元を区別できません。それらの局所表現は、大域的な形

\frac{S U ( 3 ) \times S U ( 2 ) \times U ( 1 )}{Γ}, Γ \subseteq Z_{6},

と両立します。商を取る部分群としては自明な部分群、 $Z_{2}$ 、 $Z_{3}$ 、 $Z_{6}$ が含まれます。よく知っている粒子の表だけで、最大の商群が一意に確定すると言うのは強すぎます。ここで扱った局所的な摂動論のデータを共有していても、これらの選択では許される線演算子、束、磁気的なセクターが異なりえます。Tong、5.1.6節に、この留保の説明があります。

まだ残る課題もあります。ゲージ不変性は相互作用を制限しますが、量子論としての無矛盾性にはゲージアノマリーの相殺も必要です。簡単な例として、混合 $S U (2)^{2} U (1)$ アノマリーに対する二重項の寄与は

3 (\frac{1}{6}) + (- \frac{1}{2}) = 0.

に比例します。因子3はクォークの色を数え、共通する二重項のトレース規格化の因子 $1/2$ は省いています。これは一つの相殺であり、すべてのアノマリーが消えることの証明ではありません。完全な計算には、カイラリティーの規約を統一して、3次、混合、大域的なアノマリーを含める必要があります。すべて左カイラルな場で表を書く場合、右カイラルな場を共役にすると、色の表現も共役になり、ハイパーチャージの符号も反転します。

ゲージ不変性は $\overline{L}_{L} H e_{R}$ のような湯川相互作用を許します。そのハイパーチャージの和は $+ 1/2 + 1/2 - 1 = 0$ です。しかし、湯川結合定数の数値までは予言しません。また、群の名前だけでは、ヒッグスポテンシャル、閉じ込め、3世代、ニュートリノ質量、暗黒物質、重力も導けません。それらには、さらに力学、実験的証拠、あるいは拡張が必要です。

ここまでで、構造を読み取る道具がそろいました。群の積は変換の合成を、リー代数は局所的な非可換性を、表現はどの場がどの電荷をもつかを教えます。接続は内部フレームを比較し、曲率と不変な作用がゲージ場の力学を決めます。物理学の最前線の章では、この構造を、確立した物理学と未解決問題のより広い見取り図に位置付けます。

8.19 解答付き演習

解答を読む前に、それぞれの計算を試してください。目標は群の名前の一覧を暗記することではなく、推論を自分で再現することです。

演習1：部分群と反例

偶数全体は $(Z, +)$ の部分群ですか。正の実数全体は、掛け算についてゼロでない実数全体の部分群ですか。

解答。 どちらも部分群です。偶数全体は $0$ を含み、足し算について閉じていて、加法逆元を含みます。正の実数全体は $1$ を含み、掛け算について閉じていて、逆数も正です。一方、正の数は $0$ と加法逆元を含まないため、足し算では群になりません。演算を必ず指定してください。

演習2：逆元と三角形

$r^{3} = s^{2} = e$ と $srs = r^{- 1}$ を使い、 $(sr)^{- 1}$ を求め、 $(sr)^{2} = e$ を示してください。

解答。 順序を逆にする規則から $(sr)^{- 1} = r^{- 1} s$ です。 $srs = r^{- 1}$ の左から $s$ を掛けると $rs = s r^{- 1}$ となり、同値に $sr = r^{- 1} s$ です。したがって $(sr)^{- 1} = sr$ です。直接計算しても $srsr = r^{- 1} r = e$ となります。積 $sr$ は鏡映であり、置換 $(13)$ とも一致します。

演習3：行列式と次元

$diag (e^{i α}, e^{i β})$ は $S U (2)$ に属しますか。 $S U (4)$ には独立な実パラメーターがいくつありますか。

解答。 この対角行列は常にユニタリーですが、特殊ユニタリーとなるのは $α + β$ が $2 π$ の整数倍のときだけです。次元の公式から $4^{2} - 1 = 15$ です。定義表現の複素次元は4であり、別の数です。

演習4：生成子の交換子を計算する

$t_{a} = σ_{a} /2$ として、 $[t_{2}, t_{3}]$ と $tr (t_{3}^{2})$ を求めてください。

解答。 $σ_{2} σ_{3} = i σ_{1}$ 、 $σ_{3} σ_{2} = - i σ_{1}$ なので、交換子は $i t_{1}$ です。また $t_{3}^{2} = I /4$ で、そのトレースは $2/4 = 1/2$ です。2の因子を落とすと、構造定数や結合定数の規格化が変わってしまいます。

演習5：どの表現が $SO (3)$ に降りるか

$S U (2)$ の既約表現がスピン $j$ 、次元 $2 j + 1$ をもつとします。 $2 π$ 回転は $(- 1)^{2 j} I$ として作用します。どの $j$ の値が $SO (3)$ の表現を与えますか。

解答。 表現が ${I, - I}$ による商を通じて降りるには、 $- I$ が自明に作用する必要があります。これは整数 $j = 0, 1, 2, \dots$ で成り立ちます。半整数の $j$ では非自明な符号が付き、降りません。これは局所的な交換子の代数だけでは見えない大域的な制約です。

演習6：二つの $U (1)$ 電荷を足す

二つの場が $ϕ \mapsto e^{in θ} ϕ$ 、 $χ \mapsto e^{im θ} χ$ と変換します。 $ϕ χ$ と $ϕ^{*} χ$ の電荷はいくつですか。

解答。 位相を掛け合わせると、電荷はそれぞれ $n + m$ 、 $m - n$ です。複素共役は $U (1)$ 電荷の符号を反転させます。これはテンソル積と共役表現を取る操作の可換版であり、相互作用項のハイパーチャージ中性を素早く確かめる方法です。

演習7：純ゲージのポテンシャル

$A_{μ} = 0$ から始めて、滑らかな $U (x)$ で変換します。 $A_{μ}^{'}$ とその曲率を求めてください。

解答。 ポテンシャルは $A_{μ}^{'} = - (i / g) (\partial_{μ} U) U^{- 1}$ です。 $F^{'} = U F U^{- 1} = 0$ なので曲率は消えます。ポテンシャルはゼロでなくても、場の強さがゼロになりえます。これは、ある近傍上の滑らかなゲージ変換についての局所的な主張です。大域的な位相構造によっては、一つのゲージ選択で配置全体を覆えないことがあります。

演習8：小さな非可換ループ

一定の $A_{x} = a t_{1}$ 、 $A_{y} = b t_{2}$ に対して、面積 $S$ の、正の向きをもつ小さな $x y$ 長方形を一周する輸送の最低次を求めてください。

解答。 8.15節から $F_{x y} = g ab t_{3}$ なので、 $W_{□} = I + i g^{2} ab S t_{3} + \dots$ です。最初のゼロでない効果は周長ではなく面積に比例します。ループの向きを反転すると、この主要項の符号も反転します。

演習9：フェルミオン1世代を数える

ローレンツスピノルの成分を重ねて数えずに、 $Q_{L}, u_{R}, d_{R}, L_{L}, e_{R}$ の内部成分を数えてください。不活性な $ν_{R}$ を加えると何が変わりますか。

解答。 1世代あたりのワイル場の個数は $3 \times 2 + 3 + 3 + 2 + 1 = 15$ です。ゲージ一重項の $ν_{R}$ は一つを加えるので16となり、その割り当ては $(1, 1)_{0}$ です。この数はゲージ生成子の数でも、名前の付いた粒子フレーバーの数でもありません。

演習10：湯川結合を検証する

$\overline{Q}_{L} H d_{R}$ と $\overline{Q}_{L} H u_{R}$ のハイパーチャージ中性を確認してください。ただし $H = i σ_{2} H^{*}$ です。

解答。 $Q_{L}$ を共役にするとハイパーチャージは $- 1/6$ です。最初の和は $- 1/6 + 1/2 - 1/3 = 0$ となります。 $H$ は $Y = - 1/2$ をもつので、二つ目は $- 1/6 - 1/2 + 2/3 = 0$ です。色の添字は $\overline{3}$ と $3$ の間で縮約し、弱い二重項の添字も一重項に縮約します。ハイパーチャージ中性は必要条件ですが、すべての群因子を確認する必要があります。

演習11：電磁的な生成子を特定する

ハイパーチャージ $y$ の二重項について、二つの電荷を求めてください。下側の成分が中性になるのは、どの $y$ ですか。

解答。 電荷は $y + 1/2$ と $y - 1/2$ です。下側が中性になるのは $y = 1/2$ 、すなわちヒッグスの割り当てです。中性の真空成分があるため、ヒッグスの記述では組合せ $T_{3} + Y$ が破れずに残れます。

演習12：群のラベルが指定しないものを読む

二つの理論が同じゲージ代数 $su (3) \oplus su (2) \oplus u (1)$ をもつとします。粒子、結合定数、大域的な群、予言も同じでなければなりませんか。

解答。 いいえ。アノマリーの相殺などの無矛盾性の条件を満たしながら、物質の表現、結合定数の値、スカラーポテンシャル、大域的な商が異なることがあります。局所的な場の内容が同一でも、異なる大域的選択が許される場合があります。代数は理論に制約を課しますが、理論の全体ではありません。

8.20 用語集、読み進め方、参考文献

用語	この章での意味
群	結合的な合成、単位元、逆元を備えた集合。
可換（アーベル）	群の任意の二つの元が可換であること。
作用	群が集合を変換する、整合的な規則。
準同型	合成則を保つ写像。
核	恒等変換へ写される元の集合。
忠実	核が自明で、異なる群の元を区別できること。
リー群	滑らかな群演算をもつ滑らかな多様体。
リー代数	単位元での接空間にリー括弧を備えたもの。
生成子	無限小変換。物理ではしばしばエルミート基底で書く。
構造定数	選んだ基底で生成子の交換子を表す係数。
表現	ベクトル空間上の可逆な線形写像による群の作用。
既約	ゼロでなく全空間でもない不変部分空間をもたないこと。
定義表現	古典的な行列群を定義する際に使う標準的な行列作用。
随伴表現	共役変換によるリー代数への作用。
一重項	指定した群の1次元自明表現。
接続	隣り合う点の内部ベクトルを比較する規則。
曲率	共変微分、あるいは無限小輸送が可換でないことを測る量。
ホロノミー	閉じた経路に沿う輸送で生じる全体の変換。
ゲージ不変	許されたゲージ変換で変わらないこと。
ゲージ共変	指定された表現の法則に従って変換すること。
ハイパーチャージ	$U (1)_{Y}$ の生成子。ここでは $Q = T_{3} + Y$ で規格化する。
カイラリティー	$γ^{5}$ で選ばれるローレンツスピノルの左・右のセクター。有質量粒子ではヘリシティーと異なる。

計算が行き詰まったら、最小の具体例に戻りましょう。合成は三角形の頂点で試し、行列の恒等式はパウリ行列で試します。ゲージ変換の符号は、一定の場に掛ける位相で確認します。標準模型の電荷は、ヒッグス二重項の下側の成分で確認します。こうした確認が、抽象的な記法を実行可能な操作へ結び付けます。

以下の数学の資料は基礎となる定義と定理を、物理の資料は場の理論の規約と標準模型の背景を与えます。この記事の文章、例題、図は独自に作成しており、参考文献間の記法を無差別に混ぜず、記事内で一貫させています。

Pavel Etingof『Lie Groups and Lie Algebras I』、MIT 18.745。第2〜7講でリー群、被覆、指数写像、括弧積を展開し、第9講で表現を導入します。8.6〜8.10節の先にある数学を学べます。
Eckhard Meinrenken『Lie Groups and Lie Algebras』、トロント大学。行列群、指数写像、大域構造と局所構造の関係についての補完的な説明です。 $S U (2)$ と $SO (3)$ の違いを、幾何学の観点から読み直すのに役立ちます。
Peter Woit『Lie Groups and Representations』、リー代数の講義ノート、コロンビア大学、および表現の一般論。接空間の規約と、不変部分空間、直和、テンソル積の言葉を展開します。
Hugh Osborn『Symmetries and Groups』、ケンブリッジ大学。数学と物理の記法を行き来する読者のための、群と表現の理論の続きです。
David Tong『The Standard Model』第1章「対称性」、ケンブリッジ大学。1.3節はマクスウェル理論、リー代数、ヤン・ミルズ理論を結びます。8.12〜8.15節で使ったゲージ理論の枠組みを支える資料です。
David Tong『Gauge Theory』第2章「ヤン・ミルズ理論」。ウィルソン線、非可換な力学、量子ゲージ理論へ進む道筋です。接続の定義のどこに結合定数が含まれているかを確認してください。
David Tong『The Standard Model』第5章「電弱相互作用」。5.1〜5.2節で場の割り当て、アノマリーの制約、大域的なゲージ群の選択、電弱混合を扱います。ここでの順序 $(R_{c}, R_{L})_{Y}$ は色を先に置きますが、文献は独自の順序を使います。列の位置ではなくラベルを比べてください。

Open Physics Notes の中でさらに進むには、幾何学の言葉を学ぶ微分幾何学、力学と量子化を学ぶ場の量子論、標準模型の広い背景と限界を学ぶ物理学の最前線へ進んでください。

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